Dr. Trk Tams

A halmaz-logika tmakr tantsaEgy osztly tanuli kzl tizenketten nyaraltak mr a Balatonnl, kilencen nyaraltak mr a Dunakanyarban. Ht tanul mg egyik helyen sem nyaralt. Hny tanul jrhat ebbe az osztlyba a) legalbb? b) legfeljebb?

Ksztsnk halmazbrt a feladathoz!O 12 B D

7

Prblkozssal felfedezhetjk, hogy minl nagyobb szmot runk a kzs rszbe, az osztlyltszm annl kisebb lesz. Az osztlyltszm teht akkor lesz a legkisebb (legnagyobb), ha a kzs rszbe a lehet legnagyobb (legkisebb) szmot rjuk:O B 3 7 9 D 0 7 O B 12 0 D 9

Az osztlyltszm legalbb 19.

Az osztlyltszm legfeljebb 28.

Tanti kziknyv ltalnos iskola 14. osztly

1

dr. Trk Tams, Nemzeti Tanknyvkiad Zrt., 2010

Nemzeti Tanknyvkiad Zrt. a Sanoma company www.ntk.hu Vevszolglat: info@ntk.hu Telefon: 06 80 200 788 A kiadsrt felel: Kiss Jnos Tams vezrigazgat Raktri szm: RE84236 Felels szerkeszt: Kalls Katalin Mszaki igazgat: Babicsn Vasvri Etelka Mszaki szerkeszt: Szabn Szetey Ildik Grafikai szerkeszt: Rth gnes 1. kiads, 2010 Formakszts:

2

Tartalom

Bevezets ... 1. A halmaz-logika tmakr az als tagozatos tananyagban . 2. Egyszempont vlogatsok ... 3. Ktszempont vlogatsok 4. Egyszerbb logikai kvetkeztetsek .. 5. Nyitott mondatok ... 6. ralers a halmaz-logika tmakr 3. osztlyos tantshoz . 7. ralers a halmaz-logika tmakr 4. osztlyos tantshoz . Felhasznlt s ajnlott irodalom

4 5 7 11 14 19 24 28 32

3

BevezetsA Varga Tams nevvel fmjelzett tananyag- s tantsi reformot hossz, 1963 ta foly ksrleti munka ksztette el. Ennek eredmnyekppen 1978-ban az ltalnos iskolk 1. osztlyaiban mr az j tanterv szerint kezddtt el a matematika tantsa. A halmaz-logika az t f tmacsoport egyik meghatroz elemeknt kerlt be az als tagozatos matematika tananyagrszei kz. Az 1986-ban megjelent Korrekcis Tanterv az elmlt idszak tapasztalatai alapjn tovbb finomtotta az vfolyamonknt feldolgozand tmaterletek tartalmt, funkcijt s az elvrhat kvetelmnyeket. 1989 ta szinte folyamatosan zajlik az egyes mveltsgterletek tanterveinek fellvizsglata, mdostsa. Ezek a tartalmi vltoztatsok a dokumentumok szintjn legalbbis taln legkevsb a matematikt rintettk. Ltszlag mindssze annyi tstrukturls trtnt, hogy a halmaz-logika (a relcik s a kombinatorika tmakrkkel egytt) a gondolkodsi s megismersi mdszerek alapozst szolglja. Az osztlytermekben azonban mskpp alakult a helyzet. Egy szakmai munkacsoport vlemnye szerint: Csak nhny szz tant, vn, fiskolai tanr, szaktancsad haladt tovbb azon az ton, melyen a vargai rksg elindtotta, s dolgozik, alkot tretlen hittel s lelkesedssel annak rdekben, hogy a kisgyermekek szeressk s rtsk a matematikt. Fiskolai tanrknt ezek kz a pedaggusok kz tartoznak rzem magam. Szeretnm, ha ez a kpessgek fejlesztse szempontjbl rendkvl fontos terlet a tantsi rkon jra kell hangslyt kapna. J lenne, ha a halmazlogika tmakre nem korltozdna egy-kt nehezebb, gondolkodtat feladat esetleges feldolgozsra. Tisztelt Pedaggusok! Remljk, hogy a kziknyv kell segtsget ad a halmaz-logika tmakr tantsnak szisztematikus megtervezshez, a tanulk gondolkodsnak irnytott s sokoldal fejlesztshez. Bzva rdekldskben, hasznlathoz kvnunk kedvet s sok sikerlmnyt: A kiad s a szerz

4

1. A halmaz-logika tmakr az als tagozatos tananyagbanA halmaz-logika tmakr a gondolkodsi mdszerek alapozsban meghatroz szerepet jtszik, elssorban a tanulk szvegrtsnek, fogalomalkotsnak, tl-, rendszerez- s kvetkeztetsi kpessgnek fejlesztsben. Ez a tmakr a matematika valamennyi tmacsoportjval kapcsolatban ll, hiszen a szmok, mveletek, alakzatok, mennyisgek, esemnyek tulajdonsgainak megfigyelsre vonatkoz tapasztalataikat, a felismert sszefggseket lltsok formjban fogalmazzk meg. Az lltsok tagadsa, tfogalmazsa s sszekapcsolsa segti a kznyelvi s a matematikai kifejezsek megrtst, egyttal pontostja azok hasznlatt. Halmazokkal alaktjuk ki a gyerekek szm-, mvelet- s fggvnyfogalmt, de pldul a kombinatorikus feladatok helyes megoldsai, a valsznsgi ksrletek lehetsges kimenetelei is egy-egy halmazt alkotnak.Szmtan Algebra Geometria Mrsek sszefggsek Fggvnyek Sorozatok Halmaz-logika Kombinatorika Valsznsg Statisztika

A halmaz-logika tmakr egyik kzponti fogalmt az lltsok jelentik, amelyek informcitartalmuk szerint lehetnek matematikai s nem matematikai megllaptsok, logikai rtkk szerint igaz vagy hamis kijelentsek, bonyolultsguk szerint egyszerek vagy sszetettek, vonatkozhatnak konkrt dolgokra, sszessgekre vagy sszefggsekre, s keletkezhetnek nyitott mondatok konkretizlsval is. A tmakr feldolgozsa sorn a legfontosabb tanti teendk s ezzel sszefggsben a tanuli tevkenysgek, illetve feladattpusok az albbiak szerint foglalhat ssze. Konkrt dolgokra vonatkoz elemi lltsok kimondsa s logikai rtknek eldntse. A halmaz fogalmnak kialaktsa. Halmazok ltrehozsa szabadon vlasztott, elre adott tulajdonsg alapjn, hibs vlogats javtsval, megkezdett vlogats folytatsval. Halmazok szemlltetse Venn-diagrammal. Alaphalmaz, rszhalmaz, kiegszt halmaz. Az res halmaz. Halmazok cmkzse. Ktszempont osztlyozsok. Logikai szavak hasznlata a rszhalmazok elemeinek jellemzsre. Mellrendelt, al- s flrendelt fogalmak kapcsolatnak szemlltetse.5

Halmazokra vonatkoz lltsok. Egy tulajdonsgot tartalmaz lltsok. Kt tulajdonsg viszonyra vonatkoz lltsok. lltsok tagadsa s tfogalmazsa. Halmazok elemszmval kapcsolatos feladatok. Egyszerbb logikai kvetkeztetsek. A nyitott mondat fogalmi kialaktsa. Kznyelvi s matematikai pldk. Az ismeretlen konkretizlsa. Algebrai alak nyitott mondatok s megoldsi mdszereik. Nyitott mondatok alkalmazsa vltozk kztti sszefggsek lejegyzsre s szveges feladatok modellezsre. A felsorolt tantsi tartalmak egymsra plsnek idrendjt az egymssal prhuzamos, egyidej tevkenysgek miatt nehz pontosan meghatrozni. Pldul a nyitott mondatok fogalmi kialaktsa egytt jr igaz-hamis lltsok kimondsval, ami viszont sszefgg a megoldshalmaz keressvel. Ugyanakkor viszont bizonyos tevkenysgekhez nem kezdhetnk hozz a szksges elzmnyek nlkl. Pldul a halmazok elemszmval kapcsolatos feladatok felttelezik a rszhalmazok tulajdonsgainak pontos ismerett. Az utbbi nhny vben megjelent kerettantervek nem adnak a korrekcis tantervhez hasonl pontos tjkoztatst a halmaz-logika tmakr vfolyamonknti lebontsrl. A helyi tanterv esetleges mdostsval, de mg inkbb a gyakorlati megvalstsban trekedjnk arra, hogy a felsorolt tantsi tartalmak helyet kaphassanak a tanrkon. Errl rszben a vlasztott tanknyvcsaldnak, rszben pedig magunknak kell gondoskodni.

6

2. Egyszempont vlogatsokA matematikai fogalomalkots alapjt, egyttal kiindulpontjt az osztlyozsok jelentik. Az osztlyozs matematikai rtelemben egy halmaz elemeinek olyan, egymstl idegen (nem res) rszhalmazokba sorolsa, amelynl a rszhalmazok egyestettje maga a halmaz. Az osztlyozs sorn teht minden elem egy s csak egy osztlyba kerl. Az als tagozaton sztvlogatsnak nevezett tevkenysg 12. osztlyban jellemzen csak egy szempont (tulajdonsg) alapjn trtnik. Egyrtelm, egyrtk tulajdonsgot felttelezve (pl. fi, zld, magnhangz, pros, egyjegy stb.) a tanulk trgyakat, szemlyeket, szavakat, szmokat, alakzatokat, jeleket kt osztlyba sorolnak. Az egyik rszbe azok az elemek kerlnek, amelyek rendelkeznek az adott tulajdonsggal, a msik rszbe pedig azok, amelyek nem. Szintn az egyszempont rendezsek kz sorolhatk azok a tevkenysgek is, amelyeknl a megadott szempont vagy ismrv tbbrtk (pl. szn, eveszkz, sztagszm, 3-mal val oszts maradka, testek lapszma stb.) A sztvlogatst a tanulk tnyleges rakosgatssal valsthatjk meg, de sznezssel, sszektssel, nyilazssal, bekarikzssal, halmazkarikba rssal vagy rajzolssal is megadhatjk. A csoportosts kezdetben mindenki ltal ismert tulajdonsg alapjn trtnjen, de ksbb a matematikai fogalmak elksztsre, bevezetsre vagy ppen az elsajtts ellenrzsre vonatkozzon. Az egyszempont vlogatsok ngy vltozatt klnbztethetjk meg: A) Vlogats szabadon vlasztott tulajdonsg alapjn Ebben a vltozatban a tanulk szabad szempontvlasztsbl az is kiderl, hogy kinek mi a legfontosabb csoportostsi tulajdonsg. Msfell a klnbz vlogatsi javaslatok megismersvel tapasztalhatjk, hogy a dolgok tbbflekppen is rendszerezhetk. Pldul a jrmvek osztlyozsnl lesz olyan gyerek, aki hrom: szrazfldn, levegben s vzen kzleked csoportba sorolja ket. De elfordulhat, hogy egy msik gyerek a van kereke, egy harmadik pedig az utaztam mr rajta szempont szerint vlogat. Az llatok is rendszerezhetk aszerint, hogy hny lbuk van, hol lnek vagy mivel tpllkoznak. 1. Vlogasd a dominkat ktfel, ktflekppen! Nyllal jelld, hogy melyiknek hol van a helye! Fogalmazd meg szban, hogy milyen tulajdonsg szerint vlogattl!

Nhny lehetsges vlogatsi szempont: Ugyanannyi ptty van mindkt oldalon. A pttyk szma sszesen 6. A pttyk szma tbb, mint 6. Van rajta ptty. Hasonl feladatokat beszlhetnk meg frontlisan hangszereket, nvnyeket vagy sportgakat brzol jelkrtykkal, skidomokkal vagy logikai lapokkal.7

B) Vlogats elre adott tulajdonsg alapjn A sztvlogatsnak ez az irnytott formja egyrszt segt az egyszerbb matematikai (s nem matematikai) fogalmak kialaktsban, msrszt visszajelzst ad a tantnak az elsajtts mrtkrl. A helyes vlogatssal azt fejezik ki a tanulk, hogy tisztban vannak az adott fogalommal, akr egy konkrt tulajdonsgrl (pl. egybevg, hromszg alak, osztja a 12-nek), akr egy tbbrtk ismrvrl (pl. szn, forma, sokszg) legyen sz. 2. Karikzd be az egyjegy szmokat! rd hozzjuk a kimaradtakat! 3, 10, 4, 7, 12, 1, 20, 0, 9, 17, __________________________________________ 3. Sznezd ki azokat a skidomokat, amelyek a szrke skidomhoz hasonlak! Indokold is meg, hogy mirt hasonlak!

MEGJEGYZS Az egymshoz hasonl alakzatok nagytssal, illetve kicsinytssel vihetk t egymsba. Ez a feladat egy nehz geometriai fogalom kialakultsgnak ellenrzst clozza, amely radsul eltr annak htkznapi rtelmezstl. Az als rcs ellipsziseinek sszehasonltsakor nem alakult mg ki a hasonlsg fogalma abban a tanulban, aki mindegyiket kisznezi, mert krszerek, ovlis alakak. C) Hibs vlogats javtsa Ezeknl a Keresd a kakukktojst! tpus feladatoknl egy elre adott halmaz vagy osztlyozs esetn kell megtallni a rossz helyre tett elemet vagy elemeket. A sok azonos tulajdonsg dolog (szm, sz, test, mrtkegysg, logikai lap stb.) kztt a nem odaval felismerse a fogalom megszilrdtshoz jrul hozz. 4. Melyik mrtkegysg nem illik a sorba? Hzd t, majd rj helyette egy msikat! a) mm, cm, dl, m, km, ___ b) ra, perc, v, tonna, hnap, ___

5. Melyik a kakukktojs? Sznezd ki! Nyllal jelld, hogy hol lenne a helye!

8

D) Megkezdett vlogats folytatsa Ennl a vltozatnl a tanulk dolga az egy csoportba kerlt dolgok kzs tulajdonsgnak felismerse, majd a vlogats folytatsa rajzzal vagy rakosgatssal. (Ezen alapul az 5. fejezetben ismertetsre kerl fordtott barkochba elnevezs jtk.) Krhetjk elszr a vlogats folytatst, majd a csoportostsi ismrv megnevezst, de fordtott sorrendet is kvethetnk. Az ilyen jeleg feladatoknl nem mindig egyrtelm a folytats. Ez fgg a csoportostott elemek, illetve a szba jhet tulajdonsgok szmtl. Magnak a tevkenysgnek a megrtse szempontjbl szerencss, ha szndkosan a tbbfle folytats lehetsgre treksznk. Pldul a szavak szfajok szerinti rendezst csak nhny szval elkezdve szmthatunk msfle (pl. sztagszm, betszm, a magnhangzk tpusa szerinti) folytatsra is. Minl inkbb egy fogalom kialaktsa vagy a kialakultsg ellenrzse a clunk, annl inkbb trekedjnk az egyrtelm folytathatsgra. (J esetben persze errl a tanknyvi feladatoknak kell gondoskodnia.) A tkrssg vagy szimmetrikussg fogalmnak kialakultsgrl kaphatunk visszajelzst a kvetkez plda megoldsa alapjn: 6. Folytasd a megkezdett vlogatst! rd a tbbi skidom betjelt is a megfelel rszbe!E C D J F G H I A B F C

A

B

D E

MEGJEGYZS Nhny tanulnak szksge lehet arra, hogy a skidomokat kzbe is foghassa, s ne csak rnzsre, hanem hajtogatssal vagy tkr segtsgvel keressen szimmetriatengelyt. A frontlis ellenrzs sorn rthetbb is vlik a helyes megolds, ha a paprbl kivgott skidomokat helyezik el a megfelel rszben. Alaphalmaz, rszhalmaz A ktfel vlogatsnl a legtbb esetben magrl rtetd, hogy miket kell sztvlogatni, mit tekintnk alaphalmaznak. Ezek lehetnek a tbln szemlltetett skidomok, a tanri asztalra kirakott testek, a padra kiksztett logikai lapok, a tanknyvben szerepl kpek, a fzetbe rt szmok s gy tovbb. Ennek ellenre clszer minden esetben egyrtelmv tenni, hogy a tanulk mik kzl vlogathatnak. Ha pldul 2. osztlyban nem elre adott szmokat kell valamilyen tulajdonsg szerint sztvlogatni, akkor biztosan lesz olyan tanul, aki 100-nl nagyobb szmokat is elhelyez. Az alaphalmaz megvlasztsakor (s megnevezsekor) arra szoktassuk tantvnyainkat, hogy abban minden olyan dolog helyet kaphasson, amit az adott tulajdonsg szerinti osztlyozsnl el akarunk helyezni. Ennek a ksbbiek sorn hasznt veszik pl. a szveges feladatokhoz tartoz halmazbrk ksztsnl.

9

Az alaphalmazt kerettel (tglalappal) szoks jellni, a vizsglt tulajdonsggal rendelkez elemeket pedig ezen bell ltalban ellipszis formban (halmazkarikban) helyezzk el. Az adott tulajdonsggal nem rendelkez elemek helye a halmazkarikn kvl, de a tglalapon bell van. A tants sorn egy ltalnos halmazfogalom kialaktsa utn hasznljuk is az alaphalmaz, rszhalmaz kifejezseket! Halmazok cmkzse Az osztlyozsoknl a gyerekek beszd helyett tevkenysggel fejezik ki egy-egy fogalom tartalmt s az alaphalmazra vonatkoz terjedelmt. Ehhez kell hozzillesztennk a fogalom megnevezst, az alaphalmaz s a rszhalmazok cmkzst. A cmke valjban egy olyan nyitott mondat, amely a fogalomhoz tartoz (a halmazon belli) dolgok mindegyikre, teht kln-kln is igaz, s a kvl marad dolgok mindegyikre hamis (egyikre sem igaz). Az alaphalmaz s a rszhalmaz cmkzsben nem mindig tudunk egysgesek lenni. Ez addik a Mik kzl vlogatunk? s a Milyen tulajdonsg szerint vlogatunk? krdsek klnbzsgbl is. 7. Cmkzz! Vlogass! a) Adj cmkt a halmazoknak! b) Vlogasd szt az egyjegy szmokat!egyjegy pros 10 14 18 12 16 11 13 19 17 15 20

A fenti 1. osztlyos feladat mindkt rsznl egyes szmban fogalmazhatjuk meg az alaphalmaz s a rszhalmaz elemeinek kzs tulajdonsgt. Ezt minden esetben megtehetjk, s gy is kell eljrnunk, ha a rszhalmaz cmkzsrl van sz (pl. ktsztag, piros, gymlcs, osztja a 18-nak, legalbb 100, konvex). Ha a vlogatsnl nem az sszes szba jhet hanem csak nhny konkrt elemet akarunk osztlyozni, akkor az alaphalmaz cmkjt tbbes szmban is megfogalmazhatjuk (pl. az osztly tanuli, a tbln szerepl szavak, szmok 0-tl 20-ig, a kivgott skidomok, a padra ksztett sznes rudak). Persze a hosszabb megnevezsek helyett rvidebbeket (pl. a felsoroltak helyett: tanulk, szavak, 020, skidomok, rudak) is hasznlhatunk, de csak akkor, ha a szituci egyrtelmv teszi az alaphalmaz elemeit. A rszhalmaz cmkjt viszont azrt nem szerencss tbbes szmban megfogalmazni (pl. prosak), mert az nem tiltan, hogy a rszhalmazon kvl ne fordulhasson el ugyanilyen tulajdonsg (szintn pros) elem. A rszhalmaz cmkzsnek (pl. konvex) kvetkezmnye, hogy azoknak az elemeknek a rszhalmazon kvl van a helye, amelyek a megnevezett tulajdonsggal nem rendelkeznek. Ha 1. osztlytl kezdve kvetkezetesen ehhez szoktatjuk tantvnyainkat, akkor a kiegszt halmaz cmkzse (pl. nem konvex) flslegess vlik. Ezt a ketts cmkzst ugyan megtehetjk, de akkor szmthatunk arra, hogy a ktszempont vlogatsoknl a ngyes (az alaphalmazzal egytt ts) cmkzs komoly zavart okozhat a tjkozdsban.10

3. Ktszempont vlogatsokAz egyszempont vlogatsoknl lnyegesen nehezebb feladatot jelent az osztlyozs, ha kt tulajdonsgot egyidejleg vesznk figyelembe. Ilyenkor az elemeket az alaphalmaz ngy, egymstl idegen rszhalmazban kell elhelyezni. Ezt a tevkenysget s a hozz tartoz helyes halmazbrval val ismerkedst 3. osztlyban kezdhetjk el. A vlogatsokhoz kezdetben szndkosan olyan rajzot ksztsnk, hogy abban ne lehessen minden elemet elhelyezni: 1. Tedd a szmkrtykat a megfelel rszbe! Hagyd a helykn azokat, amelyeket nem tudsz j helyre tenni!7 23 50 120 80 630 149 401 1000szmkrtyk kerek tzes hromjegy

MEGJEGYZSEK A 120-at s a 630-at nem tudjuk elhelyezni. Ha a kerek tzesek kz tennnk, akkor a hromjegyek kzl hinyozna s fordtva. Azrt szerencss szmok helyett szmkrtykkal dolgozni, mert a gyerekek gy knnyebben beltjk, hogy a 120-at s a 630-at nem tudjk j helyre tenni. Mindkt helyre nem tehetik ket, mert a szmkrtykbl csak egy van. Nehezebb a meggyzs, ha szmokat kellene berni, mert akkor hajlamosak lennnek arra, hogy a kt szmot mindkt helyen feltntessk. Hasonl feladatot tallunk a 3. osztlyos ralersban. Az elhelyezs problmja kapcsn egy bemutatrn a tanulk maguk javasoltk, hogy a kt halmazkarikt sszbb kellene tolni. A ktszempont vlogatsok elksztsre kszttethetnk olyan rajzot, amelynl a ngy tartomny a krlkerts ltal automatikusan keletkezik: 2. Kertsd krl elszr csak a lyukasakat, majd utna csak a ngyzeteket! Mondd el egyenknt a lapok tulajdonsgait!

A ktszempont osztlyozsoknl keletkez tartomnyok tulajdonsgainak ltalnos megnevezse kedvrt ttelezznk fel egy tetszleges alaphalmazt! Legyen az egyik tulajdonsg az,

11

hogy ilyen, a msik pedig az, hogy olyan! Akkor az egyes rszhalmazokba kerl elemek tulajdonsgai:

ilyenilyen, de nem olyan ilyen is s olyan is

olyanolyan, de nem ilyen

se nem ilyen, se nem olyan

A konkrt tulajdonsgok alapjn trtn osztlyozsoknl szoktassuk a gyerekeket a logikai szavak helyes hasznlathoz. Egy-egy elem elhelyezsnl indokoljk is meg, hogy mirt kerlt abba a rszbe. Pldul a skidomok ngyszg illetve konvex tulajdonsg szerinti csoportostsnl hasznljk az albbi kifejezseket a skidomok jellemzsre: ngyszg, de nem konvex (konkv), ngyszg is s konvex is (konvex ngyszg), konvex, de nem ngyszg, se nem ngyszg, se nem konvex. Szintn fontos, hogy a tanulk az ujjukkal krl is tudjk hatrolni (vagy sznezssel jellni) az egyes rszhalmazokat. Ne egy pontra mutassanak, hanem adjk meg pontosan a tartomnyok hatrait. 3. Az osztly tanulirl ksztettem a rajzokat. Kik tartoznak a szrkre sznezett rszbe? rd a fzetbe egy olyan osztlytrsad nevt, aki abba a rszbe tartozik!a)tanulkkezes bal

b)tanulk napkzi

c)tanulk napkzi

kezes bal

kezes bal

napkz i

s

s

s

d)tanulkkezes bal

e)tanulk napkzi

f)tanulk napkzi

kezes bal

kezes bal

napkz i

s

s

s

g)tanulkkezes bal

h)tanulk napkzi

i)tanulk napkzi

kezes bal

kezes bal

napkz i

s

s

s

12

MEGJEGYZSEK A g)-nl a szrke rszbe a balkezes napkzis tanulk (a kt halmaz kzs rsznek elemei) tartoznak. Ha a halmazcmkket tbbes szmban fogalmaztuk volna meg, akkor a Kik tartoznak ide? krdsre A balkezesek s a napkzisek vlasz addna. Ez viszont hibs, hiszen az s ebben a megfogalmazsban felsorolst fejez ki, nem pedig a kt tulajdonsggal val egyttes rendelkezst. Az i)-nl a szrke rszbe tartoz tanulkat a legegyszerbben megenged vagy-gyal tudjuk jellemezni: balkezes vagy napkzis. Ebben az esetben a vagy nem kizr rtelm. Ezt azzal tudjuk nyomatkostani (a megfogalmazst pontostani), hogy hozztesszk: a balkezes napkzisek is ebbe a rszbe tartoznak. Az egyestett halmazok elemeit ltalban is gy jellemezhetjk, hogy azok legalbb az egyik (csak az egyik vagy mindkt) tulajdonsggal rendelkeznek. Tzznk ki olyan feladatokat is, amelyeknl nem minden tartomnyba kerl elem: 4. Vonalkzd be azokat a rszeket, ahov semmi sem kerlhet! Indokold is meg, hogy mirt!a)szmokzitv ponega t

b)szmokpros

c)ngyszgekprat lagyzet n

tglal ap

MEGJEGYZS Ezeknl a feladatoknl az resen maradt tartomnyok figyelembevtelvel leegyszersthetjk a rajzot. Egyttal megfigyeltethetjk, hogy a kt tulajdonsg (fogalom) milyen viszonyban ll egymssal.Mellrendelt fogalmak:ilyen olyan

Negyedik osztlyban egy-egy plda erejig foglalkozhatunk olyan osztlyozsokkal is, amelyeknl egyidejleg hrom szempontot kell figyelembe venni. Ezeknl a feladatoknl mr nyolc egymstl idegen rszhalmaz keletkezik. Az elemek elhelyezse nehezebb, s az egyes tartomnyok tulajdonsgainak megnevezse is bonyolultabb. Szintn a halmazok osztlyozsval fgg ssze az a feladattpus, amikor az egyes osztlyokba kerl elemek szmra vagyunk kvncsiak. Ezekrl a feladatokrl a Szveges feladatok s tantsuk cm kziknyvben tallunk lerst.

v

n

Al-, flrendelt fogalmak:olyan ilyen

13

4. Egyszerbb logikai kvetkeztetsekA helyes logikai kvetkeztets lnyegt tekintve azt a gondolati tevkenysget jelenti, amikor igaz lltsok (premisszk) birtokban egy j, szintn igaz lltshoz (konklzi) jutunk. Ilyen rtelemben kvetkeztetnk akkor is, amikor valamilyen szablyt vagy szablyrendszert sokszor szinte automatikusan alkalmazunk. Tanuljk a gyerekek pldul azt a helyesrsi szablyt, hogy a magnhangzra vgzd igk mlt ideje tt-re vgzdik. A n ige magnhangzra vgzdik, teht mlt ideje: ntt. Egy tanttl hallottam, hogy ugyanennek a szablynak hibs analgijaknt nhny tanul a hossz magnhangzra vgzd fnevek trgyesett szintn tt-vel rja (pl. erd, erdtt). Tudjuk, hogy ha a jelzlmpa zld, akkor tmehetnk a zebrn. Ha messzirl azt ltjuk, hogy egy gyalogtkel eltt tbben vrakoznak, akkor arra kvetkeztetnk, hogy a lmpa pirosat mutat. Ha kt pros szmot sszeadunk, akkor az sszeg is pros lesz. Abbl a tnybl viszont, hogy pros lett az sszeg, helytelen arra kvetkeztetnnk, hogy kt pros szmot adtunk ssze (kt pratlan szm sszege is pros). A logikus gondolkodsra nevels szempontjbl a kvetkeztetsek meghatroz jelentsgek, egyttal az nll ismeretszerzs s az ismeretek gyakorlati alkalmazsnak elengedhetetlen felttelt (logikai alapjt) kpezik. Als tagozaton a kvetkeztetssel kapcsolatos feladatok egyik csoportjt az n. barkochba jtkok alkotjk. A tanulk elre adott lltsokbl vagy a krdseikre kapott igen-nem vlaszokbl kvetkeztetnek egy kigondolt dologra. Egy ilyen tpus szmkitalls feladatot tallunk a 4. osztlyos ralersban. A logikai kszlet hasznlatra hrom klnbz barkochba jtkot ajnlok rai feldolgozsra. I. Egyszer barkochba Egy logikai lapot tettem a zsebembe. Azt kell kitallnotok, hogy melyik lap lehet ez! A jtk kt lehetsges szervezse: a) Krdezz-felelek prbeszddel Egy plda: az eldugott lap a kicsi, sima piros kr. Srga? (Nem.) Piros? (Igen.) Sima? (Igen.) Nagy? (Nem.) Hromszg? (Nem.) Kr? (Igen.) Megtudhatjuk az eddig feltett krdsekbl s vlaszokbl, hogy melyik lapot tettem a zsebembe? (Igen, a kicsi, sima piros krt.) Ellenrzskppen fel is teszem az eldugott lapot a tblra. MEGJEGYZSEK A jtk termszetesen akkor r vget, ha az eldugott lapnak mind a ngy tulajdonsgt kitalljk a gyerekek. A flsleges krdsekre hvjuk fel a tanulk figyelmt! Ha pl. a lyukas? krdsre nem a vlasz, akkor ne krdezzk meg, hogy sima-e.14

p

A jtk folyamn a knnyebb memorizls kedvrt tbbszr is sszefoglalhatjuk, hogy mit tudtunk mr meg, illetve mit kell mg megtudnunk az eldugott laprl. Megknnyti a jtkot, ha a tanulknak a mr kitallt tulajdonsgokat nem kell megjegyeznie. Helyette a sajt logikai kszletk lapjainak fokozatos cskkentsvel juthatnak el a megoldshoz. b) A tulajdonsgkrtyk rendszerezsvel Tizenegy tanulnak adok egy-egy tulajdonsgkrtyt. A tblt kt rszre osztottam. Az igaz rszbe tedd a krtyd, ha igen lesz a vlasz! A hamis rszbe tedd, ha nemmel fogok vlaszolni! Az a) szervezsi md pldjnl elhangzott krdsek s vlaszok alapjn a tblakp gy alakul:i piros sima kicsi kr srga lyukas nagy hromszg ngyzet h zld kk

MEGJEGYZSEK Amikor pl. a piros felirat krtya tulajdonosa feltette a krtyt az igaz rszbe, akkor krdezzk meg, hogy mg ki tudn a sajt krtyjt elhelyezni! (A zld s a kk felirat krtyk gazdi a hamis rszben helyezhetik el krtyikat.) De ugyanezt megkrdezhetjk pl. akkor is, amikor a nagy felirat krtya a hamissal jellt tartomnyba kerlt. A b) rszben javasolt lebonyoltsi md ugyan idignyesebb, de az egymst kizr lltsok felismerse miatt hasznosabbnak rzem. II. Nma barkochba Egy logikai lapra gondoltam. Igaz lltsokat rtam rla. Prbld kitallni, hogy melyik lapra gondolhattam! A feladatlapon dolgozz, nllan! Figyelmesen olvasd el az lltsokat! Hzd t azokat a tulajdonsgokat, amelyekkel nem rendelkezhet a kigondolt lap! Jelentkezzen, aki mr tudja a vlaszt! (Amg a gyerekek dolgoznak, a tant a tblra is felrja az lltsokat, s felteszi a tulajdonsgkrtykat.) Egy plda: 1. Kr vagy hromszg alak. 2. Csak egyenes vonal hatrolja. 3. Nem igaz, hogy nem lyukas. 4. Se nem srga, se nem zld. 5. Ha kk, akkor kicsi. 6. Nem kicsi. sima kicsi nagy lyukas piros kr ngyzet hromszg srga zld kk

15

Megbeszls, ellenrzs (a gyerekek indoklsainak figyelembevtelvel): Olvassuk jra egyenknt az lltsokat, s vegyk le a tblrl azokat a tulajdonsgkrtykat, amelyek kiesnek! Az 1. s a 2. lltsbl mi kvetkezik? (A lap hromszg alak.) A 3. llts szerint a lap sima vagy lyukas? (Lyukas.) Mirt? (A nem lyukas azt jelenti, hogy sima, de mivel ez nem igaz, ezrt a lap lyukas.) A 4. llts miatt csak milyen szn lehet? (Csak piros vagy kk szn lehet.) Akkor vegyk le a srga s a zld tulajdonsgkrtykat is! Mit mond a 6. llts? (Azt, hogy a lap nagy.) Mr csak a sznt nem tudjuk! Lehet-e kk? (Nem, mert akkor kicsi lenne, de tudjuk, hogy nagy.) Akkor milyen szn? (Piros) Foglaljuk ssze, hogy mit tudtunk meg! (Az eldugott lap a nagy, piros, lyukas hromszg.) MEGJEGYZSEK A feladat ellenrzsvel visszajelzst kaphatunk a logikai szavak (vagy, nem, csak, .s, semsem, ha, akkor) helyes rtelmezsre. Egy hasonl, de egyszerbb pldt tallunk a 3. osztlyos ralersban. III. Fordtott barkochba A logikai lapok valamelyik tulajdonsgra gondoltam (a 11 lehetsges tulajdonsg kzl 1-re). Ezt a tulajdonsgot kell majd kitallnotok! Jjjn ki egy tanul a tanri asztalhoz, s mutasson fel egy lapot az n kszletembl! Igent fogok mondani, ha a lap rendelkezik a kigondolt tulajdonsggal, egybknt nem lesz a vlasz. A jtk kt lehetsges szervezse: Egyetlen kzs tulajdonsg megkeressvel Kt rszre osztottam a tblt:igen nem

A felmutatott lapot a vlaszomtl fggen tedd a megfelel rszbe! Egy plda (a kigondolt tulajdonsg az, hogy kk):

kkTtelezzk fel, hogy a gyerekek ezeket a lapokat vlasztottk ki, s a tanti vlaszok alapjn gy helyeztk ket el:

16

igen k p

nem s z

k

Az igen rszbe kerlt kt lapnak csak egy kzs tulajdonsga van, ezrt tovbbi lapok felmutatsra mr nincs szksg. MEGJEGYZS: Ennl a lebonyoltsi mdnl a jtk teht akkor r vget, ha az igen rszben elhelyezett lapoknak mr csak egyetlen kzs tulajdonsga van. A nem rszbe kerl lapok tulajdonsgait nem fontos figyelembe venni. b) Kizrsos alapon (a tulajdonsgkrtyk fokozatos cskkentsvel)

A jtk megkezdse eltt rakjuk fel a 11 tulajdonsgkrtyt a tblra! Maradjon a kigondolt tulajdonsg a kk, s ttelezzk fel, hogy a gyerekek az albbi 4 lapot mutattk fel egyms utn:

p z k

s

Akkor a jtk az albbiak szerint alakul (ezt ltjk a tbln):Felmutatott lap p srga zld nem kk z nem k igen s kk nem17

Megmaradt tulajdonsgkrtyk ngyzet hromszg kicsi lyukas

srga kk

ngyzet hromszg

lyukas

kk

hromszg

Ebben az esetben az a) pldban utoljra felmutatott lapra (a nagy, kk, lyukas hromszgre) mr nincs is szksg. MEGJEGYZS Ennl a mdszernl igen vlasz esetn csak azokat a tulajdonsgokat kell megtartani, amivel az ppen felmutatott lap rendelkezik. Nem vlasznl viszont pont ezeket a tulajdonsgokat kell elvetni. Dntse el a T. Olvas, hogy a kt bemutatott mdszer kzl melyiket tallja knynyebbnek! Termszetesen nem csak a barkochbajtkok adnak lehetsget egyszerbb logikai kvetkeztetsek levonsra. Kvetkeztetseink kiindulpontjt vagy eredmnyt bizonyos sszefggsek is jelenthetik. Kt plda: 1. A ngy krtya egyik oldaln az A, B, E, F betk valamelyike, msik oldaln az 1, 2, 3, 4 szmok valamelyike szerepel. Tudjuk, hogy amelyik krtya egyik oldaln magnhangz van, annak msik oldaln pros szm ll. Mi van a krtyk msik oldaln? MEGOLDS Az 1. krtya msik oldaln csak a 4 szerepelhet, mivel a 2 mr elkelt. Az E bet nem lehet a 2. krtyn, mert akkor a msik oldalon pros szmnak kellene lennie. Ezrt az E bet csak a 4. krtyn lehet.

A

1

B

2

A 4

1 F

B 3

2 E

A megoldsbl az is kvetkezik, hogy amelyik krtya egyik oldaln mssalhangz van, annak msik oldaln pratlan szm ll. (Ezt a tnyt viszont nem ttelezhettk volna fel a megadott informcik alapjn.) 2. Kvetkeztess a kitlttt tblzatok alapjn! Tedd igazz a hinyos mondatokat! + pros pratlan a) b) pros pratlan

pros pratlan

pros

pratlan

Ha kt szm sszege pratlan, akkor szorzatuk _________________________________ . Ha kt szm szorzata pratlan, akkor sszegk _________________________________ .

MEGOLDS A tanulk 34. osztlyban a szmok s a mveletek kapcsn mr kell tapasztalatot szereztek a tblzatok kitltshez. A kt tblzat sszevetsvel megllapthatjk, hogy a) b) ha kt szm sszege pratlan, akkor szorzatuk pros. ha kt szm szorzata pratlan, akkor sszegk pros.

18

5. Nyitott mondatokA nyitott mondat a logikai fggvny als tagozatos elnevezse. Olyan specilis fggvnyt jelent, amelynek rtelmezsi tartomnya egy halmaz, rtkkszlete pedig igaz s hamis logikai rtkekbl ll. A nyitott mondat teht nem llts, de ha a benne szerepl ismeretlen vagy ismeretlenek helyre konkrt dolgot helyettestnk, akkor mr egy igaz vagy hamis lltst kapunk. A nyitott mondatot igazz tev elemek alkotjk az n. igazsghalmazt. Nhny plda: a) Ma ______________________ van, s ez a ___ ra. b) A zld rd rvidebb, mint a __________________ . c) Ha nagyobb mrtkegysget vlasztunk, akkor a mrszm _______________________. d) A 18 tbbszrse a ___ -nek. e) 12 dl f) 24 g) 6 + h) 2 i) 12 < j) 7 k) 2 2l 8=3 = 15 +3 10 = = 12 4 < 20

Az als tagozatban elfordul nyitott mondatok tbbflekppen osztlyozhatk: rtelmezsi tartomnyukat szavak, szmok, alakzatok, relcis vagy mveleti jelek (e) s f) plda) egyarnt alkothatjk. A bennk elfordul vltozk szma szerint beszlhetnk egy- vagy tbbvltozs nyitott mondatrl. Egy nyitott mondat lehet megoldhatatlan (j) plda) vagy megoldhat. Ez utbbi esetben a megoldsok szma (az igazsghalmaz elemszma) lehet egy vagy tbb. A szmokon rtelmezett (n. algebrai alak) nyitott mondatok megjelensi formjukat tekintve egyenletek, egyenltlensgek vagy egyenltlensgprok. Ha egy ilyen alak nyitott mondatot az rtelmezsi tartomny minden eleme igazz tesz, akkor azonossgrl van sz (k) plda). A nyitott mondat fogalmi kialaktsakor nem szabad figyelmen kvl hagyni a fenti pldkbl s a rendszerezsbl is kvetkez sokflesget. Hibsnak tartom azt a felfogst, amely als tagozatban ezt a problmakrt leszkti bizonyos fajta egyenletek s egyenltlensgek megoldsra. Olyan fogalmat alaktsunk ki a tanulkban, hogy egy mondatbl vagy egy sszefggsbl valami hinyzik, s ennek a hinynak a ptlsval igaz vagy hamis lltshoz jutunk. A bevezet szakaszban az ismeretlen konkretizlsa, a behelyettestsi tevkenysg gyakorlsa a fontos, nem pedig az igazsghalmaz keresse. Ezrt az 12. osztlyos feladatok tbbsgben az igazz s a hamiss tevs prhuzamosan van jelen, a kt tevkenysg egymssal egyenrtk. A nyitott mondat, az ismeretlen, a behelyettests s az igaz/hamis fogalmak kialaktshoz s megszilrdtshoz mind a ngy vfolyamon hasznljunk kznyelvi s matematikai pldkat!19

A nyitott mondatok rtelmezsi tartomnyt (az alaphalmaz elemeit) bizonyos esetekben elre rgztjk: 1. rd a 15, 26, 32, 37 szmokat a megfelel helyre! Igazz tegyk a nyitott mondatot! A ___ 4-gyel osztva 0 maradkot ad. A ___ 4-gyel osztva 0 maradkot ad. 2. Tedd igazz! A ___ test tglatest. Az ___ test nem sklap test. Az ___ test minden lapja hromszg. A ___ 4-gyel osztva 1 maradkot ad. A ___ 4-gyel osztva 1 maradkot ad. Tedd hamiss! A ___ test kocka. Az ___ test lei ugyanolyan hosszak. A ___ s a ___ testnek ugyanannyi cscsa van.

B A

E C D

F

Ha nem adjuk meg az alaphalmazt, akkor ennek alapveten kt oka lehet: a) Brmilyen szmra vagy dologra gondolva egyrtelm megoldsa van a feladatnak: 3. rd be a hinyz szorzt s a hinyz sszeadandt! Az sszeadand kisebb legyen, mint a szorzand!26 3+ 5+ 44 8 + 7 + 52 7 + 9 +

b) A tanulk elzetes ismereteire vagy kreativitsra bzzuk, hogy ppen mit helyettestenek a valamennyi helyre: 4. Mely szmok teszik igazz (hamiss) az egyenltlensget? rd a vonalakra! 8< : __________________________ ( i ) 4 : __________________________ ( h )

MEGJEGYZS Ha ez a feladat 1. osztlyban hangzik el, akkor a 20-as szmkr s a kivons elvgezhetsge miatt arra szmthatunk, hogy a tanulk csak 4 s 20 kztt termszetes szmokat fognak kiprblni. Ennek ellenre biztos lesz olyan gyerek, aki pl. azt mondja: A 30 is igazz teszi, st a 100 is. 4. osztlyban pedig el is vrjuk, hogy pl. a 3-ra azt mondjk: Hamiss teszi.20

NHNY TOVBBI SZREVTEL A nyitott mondatokban szerepl ismeretleneket klnbz mdon jellhetjk. 12. osztlyban inkbb a keretszer jellsmd ( , , , , ) ajnlatos. Az ismeretlenek jellsre olyan skidomokat vegynk fel, amelyekbe bele lehet rni. Ez a tanulk szmra megknnyti a behelyettestssel kapott llts rtelmezst, mivel az lthatv is vlik. Egy nyitott mondat olvassakor (s megoldsakor is) az ismeretlenre irnytsuk a figyelmet! Ezt gy rhetjk el, ha a szoksos balrl jobbra halads helyett a valamennyivel kezdjk az olvasst. Pldul a 15 + > 9 + 8 egyenltlensg helyes olvassa: Valamennyit hozzadtam a 15-hz, gy a 9 + 8-nl nagyobb szmot kaptam. A behelyettestsekkel kapott lltsok olvassa viszont balrl jobbra trtnjen! 34. osztlyban a vltozk jellsre mr btran hasznlhatunk betket vagy tetszleges, nem keretszer szimblumokat. Ezt termszetesen csak akkor tehetjk meg, ha a tanulknak mr nincs szksge a behelyettests lthatv ttelre, azt mr gondolatban is el tudjk vgezni. Egy-, kt-, st hromvltozs nyitott mondatok mr 1. osztlytl kezdve szerepelnek a tananyagban. A szveges feladatokba gyazott ptlsi s bontsi problmk szmtannyelv lejegyzse kivl alkalmat biztost a nyitott mondatok felrsra s megoldsra. A nyitott mondatok konkretizlsnak fontos szablya, hogy ugyanannak a jelnek a helyre csak ugyanazt a dolgot helyettesthetjk. Pldul a + = 14 egyenlet prblkozssal trtn megoldsnl nem rhatunk az egyik hromszgbe 6-ot, a msikba pedig 8-at. Ennek megfordtsa viszont nem igaz: klnbz jelek helyre ugyanazt a dolgot is rhatjuk. Pldul a + + = 21 hromtag bontsi feladatnl mindhrom ismeretlen helyre rhatunk 7-et. Tbb alkalommal is tallkoztam mr a tanulk fzetben vagy a tblra rva a jellssel. Nem rtek egyet ennek a szimblumnak az als tagozatos hasznlatval. Ha azt akarjuk jelezni, hogy mg nagyon sok, a nyitott mondatot igazz vagy hamiss tev szm van, akkor elgedjnk meg a hrom pont lejegyzsvel. Ha az igazsghalmaz nagyon sok, de csak vges szm elembl ll, akkor tntessk fel a legnagyobb elemet. Ha pedig vgtelen, akkor ne zrjuk le a felsorolst a jellel. Pldul a 10 < 2 40 200 egyenltlensgprt a 26, 27, 28, , 120 egsz szmok, a 3 + 1 > 13 egyenltlensget az 5, 6, 7, egsz szmok teszik igazz. Az elre adott nyitott mondatokkal val ismerkeds fejleszti a tanulk tlkpessgt s szmolsi kszsgt. A megoldsok keresse, az igazsghalmaz meghatrozsa kzelebb viszi ket a vltoz s a halmaz fogalmnak jobb megrtshez. A nyitott mondatok als tagozatos tantsnak azonban nem ez az egyetlen clja. Az egyik fontos alkalmazsi lehetsget a vltozk kztti fggvnyszer sszefggsek szmtannyelv lejegyzse szolgltatja. sszetartoz szmprok, szmhrmasok kztt felismert kapcsolatot nyitott mondattal jegyezhetnk le Az ilyen jelleg problmk nagyon sokflk lehetnek, nem szkthetk le az n. gpjtkos feladatokra. Kt plda:

21

5. Hajts flbe egy rlapot egyszer, ktszer, hromszor, majd ngyszer! Mindig ugyanolyan irnyban hajtogass! a) Minden hajtogats utn szmold meg, hogy hny rsz s hny hajtsl tallhat a szthajtogatott rlapon! rd a tblzatba! Hajtsok szma (h) Rszek szma (r) Hajtslek szma () 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7

b) Keress sszefggseket a tblzatban, hogy a kt utols oszlopot is ki tudd tlteni! MEGOLDS A rszek szma minden hajtogats utn megduplzdik, a hajtslek szma pedig mindig 1-gyel kevesebb a rszek szmnl. Ez utbbi sszefggs az = r 1 nyitott mondattal jegyezhet le. Az sszefggsek felismersnek fontossgra hvhatjuk fel a tanulk figyelmt azzal, hogy br tevkenysggel nem, de a szably ismeretben mgis ki tudjuk tlteni a kt utols oszlopot. 6. Szmtsd ki a tblzat hinyz adatait! rj sszefggseket a, b, c s d meghatrozsra! Osztand (a) Oszt (b) Hnyados (c) Maradk (d) 23 3 7 130 6 21 100 8 9 5 4 10 3 33 1 44 8 4 56 9 2 90 7 6

a = __________, b = ___________, c = ___________, d = __________ MEGOLDS A helyesen kitlttt tblzat alapjn az albbi sszefggseket rhatjuk fel: a = b c + d, b = (a d) : c, c = (a d) : b, d = a b c. A feladat a maradkos oszts ngy szereplje kztt keres kapcsolatot. Ha a 4 szm kzl brmelyik 3-at ismerjk, a negyedik szm mr meghatrozhat. Ez sszesen 4 lehetsg, amelyekre a tblzatban 2-2 feladatrsz vonatkozik. MEGJEGYZSEK A hinyz adatok (s sszefggsek) megllaptsakor abbl a tanult ismeretbl indulhatnak ki a gyerekek, hogy a maradkos osztst szorzssal s sszeadssal ellenrizzk (a = b c + d). A msik hrom sszefggst (az sszeads s a kivons, illetve a szorzs s az oszts kapcsolatnak ismeretben) ellenttes mveletek segtsgvel fedezhetik fel. Termszetesen a hnyados s a maradk kiszmtshoz elg lett volna az osztandt s az osztt megadni. Ugyanakkor msik kt adat (pl. az oszt s a maradk) ismeretben a hinyz kt adatot (az osztandt s a hnyadost) nem tudnnk egyrtelmen meghatrozni. A nyitott mondatok a tanulk modellalkotsi kpessgnek fejlesztsben is komoly szerepet jtszanak. A szveges feladatok egy rszt az adatok s az ismeretlenek kztti sszefggsek22

felrsval nyitott mondatokkal modellezhetjk, amelyek egyttal megoldsi tervknt is szolglnak. A Szveges feladatok s tantsuk cm tanti kziknyvben rszletes tbaigaztst tallunk az egyvltozs nyitott mondatok fajtirl, megoldsi mdszereirl s modellknt val alkalmazsrl. A kt- vagy hromvltozs nyitott mondatok megoldsnl azt kell tudatostanunk a tanulkban, hogy a megoldshalmazt nem szmok, hanem szmprok, illetve szmhrmasok alkotjk. Als tagozaton a megolds keressnek egyetlen lehetsges mdja a prblgats, amelyet clszer tblzatban rgzteni. Egyszerbb esetekben, pl. a szmok adott nyitott mondatnak megfelel bontsakor tervszer prblgatst s az sszes megolds ellltst is elvrhatjuk a tanulktl. 7. rd a tblzatba, hogy mely szmprok teszik igazz a nyitott mondatot! 1