HAL 531

13.2 GAYA DALAM DAN MOMENTS SEBAGAI REDUNDANTS

Sejauh ini, kita telah menganalisis struktur eksternal tak tentu dengan

satu tingkat ketidakpastian dengan memilih reaksi dukungan sebagai redudant.

Analisis struktur tersebut juga dapat diatasi oleh

memilih gaya dalam atau momen sebagai redudant, asalkan

penghapusan pembatasan internal yang sesuai dari hasil struktur tak tentu dalam struktur primer

yang statis tentu dan stabil.

Pertimbangkan balok dua-bentang terus menerus ditunjukkan pada Gambar. 13.8 (a). itu

balok tak tentu ke tingkat pertama. Sebagaimana dibahas dalam sebelumnya

bagian, balok ini dapat dianalisis dengan memperlakukan salah satu reaksi vertikal

sebagai berlebihan. Namun, biasanya lebih mudah untuk menganalisis terus menerus

balok (terutama mereka dengan rentang yang tidak sama) dengan memilih internal yang

membungkuk saat sebagai redundants. Mari kita mempertimbangkan analisis balok

Gambar. 13.8 (a) dengan menggunakan momen lentur, MB, di support interior

B sebagai berlebihan tersebut. Dari Gambar. 13.8 (a), kita dapat melihat bahwa kemiringan

kurva elastis balok tak tentu adalah kontinu pada B. Dengan kata lain,

tidak ada perubahan kemiringan garis singgung kurva elastis di hanya untuk

kiri B dan di hanya di sebelah kanan B, yaitu sudut antara garis singgung

adalah nol. Ketika menahan diri sesuai dengan lentur berlebihan

MB saat dihapus dengan menyisipkan engsel internal di B, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar. 13.8 (b), diskontinuitas berkembang di kemiringan kurva elastis di B,

dalam arti bahwa bersinggungan dengan kurva elastis di hanya di sebelah kiri B berputar

relatif terhadap singgung di hanya di sebelah kanan B. Perubahan kemiringan

(atau sudut) antara dua garis singgung karena beban eksternal dilambangkan

oleh ΘBO rel: : dan dapat dinyatakan sebagai

HAL 533

(lihat Gambar. 13,8 (b)) di mana YBL dan YBR menunjukkan lereng di ujung B

dari bentang kiri dan kanan dari balok, masing-masing, karena diberikan

eksternal loading.

Sejak saat MB berlebihan lentur menyediakan kontinuitas

kemiringan kurva elastis di B pada balok tak tentu yang sebenarnya, itu harus

akan besarnya sien su ‰ untuk menghapus diskontinuitas yBO rel: dari

balok utama dengan membawa garis singgung kembali bersama-sama. Untuk mengevaluasi

e ¤ ect dari MB pada balok utama, kita menentukan fleksibilitas koefisien ‰ koefisien

FBB rel: mewakili perubahan kemiringan (atau sudut) antara garis singgung

dengan kurva elastis di hanya di sebelah kiri B dan di hanya di sebelah kanan

B karena nilai satuan MB, seperti ditunjukkan pada Gambar. 13.8 (c). Internal lentur

Saat didefinisikan oleh sepasang pasangan sama tetapi berlawanan. Dengan demikian, dua

pasangan berlawanan besarnya satuan harus diterapkan pada balok utama

untuk menentukan fleksibilitas koefisien ‰ efisien, seperti ditunjukkan pada Gambar. 13.8 (c).

Perhatikan bahwa

MB berlebihan dianggap positif sesuai dengan

balok konvensi-yaitu, ketika itu menyebabkan kompresi pada serat atas

dan ketegangan dalam serat lebih rendah dari balok. Dari Gambar. 13.8 (c), kita dapat melihat

bahwa fleksibilitas koefisien ‰ sien dapat dinyatakan sebagai

(13,9)

Hal 534

di mana fBBL dan fBBR menunjukkan lereng di B ujung kiri danhak bentang balok, masing-masing, karena nilai unitberlebihan MB.Persamaan kompatibilitas didasarkan pada persyaratan bahwakemiringan kurva elastis balok tak tentu yang sebenarnya kontinudi B, yaitu, tidak ada perubahan kemiringan dari hanya di sebelah kiri B hanyadi sebelah kanan B. Oleh karena itu, jumlah aljabar dari sudut antaratangents di hanya ke kiri dan di hanya di sebelah kanan B akibat eksternalpemuatan dan MB berlebihan harus nol. Dengan demikian,yBO rel: þ FBB rel: MB ¼ 0 (13.10)yang dapat diselesaikan untuk MB momen lentur berlebihan setelahperubahan lereng yBO rel: rel dan FBB: telah dievaluasi.Karena masing-masing bentang balok primer dapat diperlakukan sebagaihanya didukung balok, lereng di B ujung kiri dan kananrentang dapat dengan mudah dihitung dengan menggunakan metode conjugate-beam. itubalok konjugasi untuk beban eksternal yang ditunjukkan pada Gambar. 13.8 (d). mengingatbahwa kemiringan pada suatu titik pada balok nyata adalah sama dengan geser padatitik itu balok bergabung yang sesuai, kita menentukan lerengYBL dan YBR di ujung B dari kiri dan rentang yang tepat, masing-masing, sepertiYBL ¼

Fleksibilitas koefisien ‰ koefisien FBB rel: dapat dihitung sama dengan menggunakanconjugate beam untuk nilai satuan MB berlebihan ditunjukkan pada Gambar.13.8 (e). demikian

Dengan mengganti nilai-nilai yBO rel: rel dan FBB: ke kompatibilitasPersamaan (Persamaan (13.10)), kita menentukan besarnya berlebihanMB sebagai

hal535

Dengan MB berlebihan diketahui, pasukan di ujung anggota

serta reaksi pendukung dapat ditentukan dengan mempertimbangkan

keseimbangan tubuh bebas dari AB dan BC dan anggota

B bersama, seperti ditunjukkan pada Gambar. 13.8 (f). Perhatikan bahwa momen lentur negatif

MB diterapkan pada B ujung anggota AB dan BC sehingga

menyebabkan ketegangan dalam serat atas dan kompresi dalam serat lebih rendah dari

para anggota.

Ketika saat-saat di ujung anggota balok terus menerus

diketahui, biasanya mudah untuk menyusun diagram momen lentur yang

dalam dua bagian, satu untuk pemuatan eksternal dan satu lagi untuk

anggota saat akhir. Prosedur ini sering disebut sebagai pembangunan

diagram bending momen dengan sederhana-balok bagian, karena

setiap anggota balok terus menerus diperlakukan sebagai hanya didukung

balok, dimana beban eksternal dan saat-saat akhir diterapkan

secara terpisah dan diagram momen lentur yang sesuai diambil.

Seperti diagram untuk AB dan BC anggota dari balok terus menerus

dalam pertimbangan ditunjukkan pada Gambar. 13,8 (g). Anggota membungkuk

diagram saat dapat ditarik bersama-sama, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13,8 (h), untuk

memperoleh diagram momen lentur untuk balok terus menerus keseluruhan.

Struktur internal tak tentu

Seperti pembahasan sebelumnya menunjukkan, struktur dengan gelar tunggal

dari ketidakpastian yang tak tentu eksternal dapat dianalisis dengan

memilih baik reaksi atau kekuatan internal atau momen sebagai

berlebihan. Namun, jika struktur secara internal tak tentu, tetapi

eksternal determinate, maka hanya suatu kekuatan internal atau momen dapat

digunakan sebagai berlebihan, karena penghapusan reaksi eksternal dari

struktur seperti akan menghasilkan struktur primer statis tidak stabil.

Perhatikan, misalnya, truss ditunjukkan pada Gambar. 13,9 (a). Truss

terdiri dari enam anggota terhubung bersama-sama oleh empat sendi dan didukung

oleh tiga komponen reaksi. Dengan demikian, seperti dibahas dalam Bagian

4.4, tingkat ketidakpastian dari truss sama dengan dm þ RTH? 2j ¼

D6 þ 3th? 2ð4Þ ¼ 1. Karena tiga reaksi dapat ditentukan dari

tiga persamaan kesetimbangan dari truss keseluruhan, truss adalah internal

ditentukan untuk tingkat pertama, yaitu, mengandung satu tambahan

anggota dari yang dibutuhkan untuk stabilitas internal.

Untuk menganalisis truss, kita harus memilih gaya aksial di salah satu perusahaan

anggota untuk menjadi berlebihan. Misalkan kita memilih FAD berlaku di

AD anggota diagonal menjadi berlebihan tersebut. Menahan diri sesuai

FAD untuk kemudian dihapus dari truss dengan memotong anggota AD

untuk mendapatkan truss utama ditunjukkan pada Gambar. 13,9 (b). Perhatikan bahwa sejak

AD anggota tidak bisa lagi mempertahankan kekuatan, yang truss utama adalah statis

determinate. Ketika truss primer tunduk pada P beban eksternal,

deformasi dan DADO kesenjangan membuka antara ujung-ujung dari dua bagian

AD anggota, seperti ditunjukkan pada Gambar. 13,9 (b). Karena tidak ada kesenjangan tersebut ada

Hal536

dalam rangka tak tentu yang sebenarnya, kita menyimpulkan bahwa kekuatan berlebihan

FAD harus besarnya ‰ su sien untuk membawa ujung dari dua bagian

AD anggota kembali bersama-sama untuk menutup kesenjangan. Untuk mengevaluasi efek

dari FAD dalam menutup celah, kita subjek truss utama untuk unit

nilai FAD dengan menerapkan unit muatan aksial yang sama dan berlawanan dengan dua

bagian dari AD anggota, seperti ditunjukkan pada Gambar. 13,9 (c). Perhatikan bahwa sebenarnya

rasa FAD berlebihan belum diketahui dan sewenang-wenang diasumsikan

menjadi tarik, dengan unit pasukan aksial yang cenderung memanjang bagian

AD anggota, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Nilai satuan FAD deformasi

rangka batang primer dan menyebabkan ujung dari dua bagian anggota

AD tumpang tindih oleh Fad jumlah; AD, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13,9 (c). Dengan

demikian,

tumpang tindih dalam AD anggota karena gaya aksial FAD besarnya sama

Fad; ADFAD.

Hal 537

Karena tidak kesenjangan atau tumpang tindih ada di AD anggota dalam aktual

truss tak tentu, kita dapat mengekspresikan persamaan kompatibilitas sebagai

yang dapat diselesaikan untuk FAD kekuatan berlebihan aksial setelah besarandari DADO dan FAD, AD telah ditentukan.Perhatikan bahwa DADO dan FAD, AD sebenarnya perpindahan relatif antarasendi A dan D dari truss utama. Ini pemindahan dapatdengan mudah dihitung dengan menggunakan metode kerja virtual dengan menggunakansistem virtual yang terdiri dari dua unit muatan diterapkan dengan berlawananindra ke arah AD anggota pada sendi A dan D, seperti yang ditunjukkan padaGambar. 13,9 (d). Sebuah perbandingan Gambar. 13,9 (c) dan (d) menunjukkan bahwaaksial kekuatan dalam anggota truss utama karena untuk unit mayabeban (Gambar 13.9 (d)) akan sama dengan UAD pasukan karena unitaksial berlaku di AD anggota (Gambar 13.9 (c)). Jadi truss dengan aksial Unitkekuatan dalam AD anggota dapat digunakan sebagai sistem virtual untuk komputasirelatif perpindahan. Jika gaya aksial akibat eksternal anggotaP beban yang secara simbolis dilambangkan sebagai FO pasukan (Gambar 13.9 (b)), makaEkspresi kerja virtual untuk DADO dapat ditulis sebagai

Untuk menghitung koefisien fleksibilitas Fad ‰ koefisien, AD, baik yang nyata dan

sistem virtual terdiri dari gaya aksial unit AD anggota, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar. 13,9 (c). Dengan demikian, ekspresi kerja virtual untuk Fad, AD diberikan oleh

di mana kekuatan dalam AD anggota berlebihan harus dimasukkan dalam

penjumlahan untuk memperhitungkan deformasi anggota ini.

Setelah DADO perpindahan relatif dan FAD, AD telah dievaluasi,

nilai-nilai mereka disubstitusikan ke dalam persamaan kompatibilitas

(Persamaan (13.11)), yang kemudian dipecahkan untuk FAD berlebihan. Dengan berlebihan

FAD diketahui, gaya aksial dalam anggota tak tentu

truss dapat ditentukan oleh superposisi dari anggota tersebut

Pasukan dari truss utama karena P beban eksternal dan karena berlebihan

FAD, yaitu

Hal 538

Tentukan reaksi dan menggambar diagram momen lentur untuk balok dua-bentang terus menerus

ditunjukkan pada Gambar.

13.10 (a) dengan metode deformasi yang konsisten. Pilih momen lentur pada B dukungan interior

menjadi

berlebihan.

larutan

Balok ini dianalisis dalam Contoh 13.3 dengan memilih reaksi vertikal di B dukungan sebagai

berlebihan.

Beam Primer Sinar primer diperoleh dengan menghapus pembatasan yang sesuai dengan lentur

berlebihan

Saat MB dengan menyisipkan engsel internal di B pada balok tak tentu diberikan, seperti ditunjukkan

pada Gambar. 13.10 (b). Selanjutnya,

balok primer dikenakan secara terpisah untuk pemuatan eksternal dan nilai satuan MB berlebihan,

seperti ditunjukkan pada Gambar.

13.10 (b) dan (c), masing-masing.

Hal 539

Persamaan Kompatibilitas Lihat Gambar. 13.10 (b) dan (c):

Lereng Beam Primer Setiap bentang balok primer dapat diperlakukan sebagai balok sederhana

didukung

EI kekakuan lentur konstan, sehingga kita dapat menggunakan balok-defleksi formula yang diberikan

dalam sampul depan buku untuk

mengevaluasi perubahan lereng yBO rel: rel dan FBB:. Dari Gambar. 13.10 (b), kita dapat melihat

bahwa

di mana YBL dan YBR adalah lereng di B ujung kiri dan kanan bentang balok utama, masing-masing,

karena

ke beban eksternal. Dengan menggunakan rumus lendutan, kita memperoleh

ha 540

Fleksibilitas koefisien ‰ koefisien FBB rel: dapat dihitung dengan cara yang sama. Dari Gambar.

13.10 (c), kita dapat melihat bahwa

Besarnya Redundant Dengan menggantikan nilai-nilai yBO rel: rel dan FBB: ke dalam persamaan

kompatibilitas

(Persamaan (1)), kita memperoleh

Reaksi Pasukan di ujung AB anggota dan BD dari balok terus menerus sekarang dapat ditentukan

oleh

menerapkan persamaan keseimbangan dengan tubuh bebas dari anggota ditunjukkan pada Gambar.

13.10 (d). Dengan mempertimbangkan

kesetimbangan anggota AB, kita memperoleh

Dengan mempertimbangkan keseimbangan B bersama dalam arah vertikal, kita memperoleh

Hal 541

Balok sederhana

bagian, ditunjukkan pada Gambar. 13.10 (e). Dua bagian dari diagram karena beban eksternal dan

anggota yang

saat akhir dapat ditumpangkan, jika diinginkan, untuk mendapatkan diagram momen lentur yang

dihasilkan ditunjukkan pada

Contoh 13.3. Jawaban.

contoh 13,7

Tentukan reaksi dan gaya dalam setiap anggota truss ditunjukkan pada Gambar. 13.11 (a) dengan

metode yang konsisten

deformasi.

larutan

Tingkat ketidakpastian truss terdiri dari sepuluh anggota dihubungkan oleh enam sendi dan

didukung oleh tiga

Reaksi komponen. Dengan demikian tingkat ketidakpastian dari truss sama dengan dm þ RTH? 2j ¼

D10 þ 3th? 2ð6Þ ¼ 1.

Ketiga reaksi dapat ditentukan dari tiga persamaan keseimbangan eksternal, sehingga truss secara

internal tak tentu

ke tingkat pertama.

Truss Primer FCE gaya aksial dalam anggota CE diagonal dipilih menjadi berlebihan tersebut. Rasa

FCE adalah

sewenang-wenang dianggap tarik. The truss primer yang diperoleh dengan menghapus anggota CE

ditunjukkan pada Gambar. 13.11 (b). selanjutnya,

rangka batang primer dikenakan secara terpisah untuk pemuatan eksternal dan tarik kekuatan unit

di CE anggota berlebihan, seperti

ditunjukkan pada Gambar. 13.11 (b) dan (c), masing-masing.

Persamaan Kompatibilitas Persamaan kompatibilitas dapat dinyatakan sebagai

di mana DCEO menunjukkan perpindahan relatif antara sendi C dan E dari truss utama karena beban

eksternal,

dan fleksibilitas koefisien ‰ sien FCE, CE menunjukkan perpindahan relatif antara sendi yang sama

karena nilai satuan

FCE berlebihan.

Defleksi dari Truss Primer Ekspresi kerja virtual untuk DCEO dapat ditulis sebagai

di mana FO dan UCE mewakili masing-masing, anggota pasukan karena beban eksternal dan tarik

kekuatan unit

anggota CE. Nilai-nilai numerik dari kekuatan-kekuatan yang dihitung dengan metode sendi (Gambar

13.11 (b) dan (c)) dan

ditabulasikan dalam Tabel 13.3. Persamaan (2) kemudian diterapkan seperti yang ditunjukkan pada

Tabel 13.3, untuk mendapatkan

Selanjutnya, fleksibilitas koefisien ‰ sien FCE, CE dihitung dengan menggunakan ekspresi kerja

virtual (lihat Tabel 13.3):

Hal 543

Besarnya Redundant Dengan menggantikan nilai-nilai DCEO dan FCE, CE ke dalam persamaan

kompatibilitas

(Persamaan (1)), kami menentukan FCE berlebihan menjadi

Reaksi Lihat Gambar. 13.11 (d). Perhatikan bahwa reaksi akibat FCE berlebihan adalah nol, seperti

yang ditunjukkan pada

Gambar. 13.11 (c). Jawaban.

Anggota Axial Pasukan Pasukan dalam anggota yang tersisa dari truss tak tentu sekarang dapat

ditentukan oleh

menggunakan hubungan superposisi:

Anggota pasukan yang diperoleh ditunjukkan pada Tabel 13.3 dan Gambar. 13.11 (d).

Hal 544

13.3 STRUKTUR DENGAN DERAJAT GANDA DARI ketidakpastian

Metode deformasi konsisten dikembangkan di bagian sebelumnya

untuk menganalisis struktur dengan gelar tunggal ketidakpastian dapat

mudah diperluas untuk analisis struktur dengan derajat beberapa

ketidakpastian. Perhatikan, misalnya, balok empat rentang terus menerus

dikenakan w beban merata, seperti ditunjukkan pada Gambar. 13.12 (a).

Balok ini didukung oleh enam reaksi tumpuan, sehingga derajat ketidakpastian

sama dengan 6? 3 ¼ 3. Untuk menganalisis balok, kita harus memilih

tiga dukungan reaksi sebagai redundants. Misalkan kita pilih vertikal

Dengan reaksi, Cy, dan Dy di interior mendukung B, C, dan D, masing-masing,

menjadi redundants. Roller mendukung di B, C, dan D adalah

kemudian dihapus dari balok tak tentu diberikan untuk mendapatkan statis

determinate dan stabil primer balok, seperti ditunjukkan pada Gambar. 13.12 (b). Itu

tiga redundants sekarang diperlakukan sebagai beban diketahui pada primer

balok, dan besaran mereka dapat ditentukan dari kompatibilitas

kondisi bahwa defleksi dari balok utama di lokasi

B, C, dan D dari redundants karena e gabungan ¤ ect dari dikenal

eksternal beban w dan redundants diketahui By, Cy, dan Dy harus

sama dengan nol. Hal ini karena defleksi yang tak tentu diberikan

balok di roller mendukung B, C, dan D adalah nol.

Untuk menentukan persamaan kompatibilitas, kita subjek utama

balok secara terpisah ke beban w eksternal (Gambar 13.12 (b)) dan nilai satuan

dari masing-masing redundants By, Cy, dan Dy (Gambar 13.12 (c), (d), dan (e), masing-masing).

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13.12 (b), para defleksi dari primer

balok di titik B, C, dan D karena w beban eksternal yang ditandai dengan

DBO, DCO, dan DDO, masing-masing. Perhatikan bahwa subskrip pertama defleksi

D menunjukkan lokasi defleksi, sedangkan kedua

subskrip, O, digunakan untuk menunjukkan bahwa defleksi disebabkan oleh eksternal

loading. Fleksibilitas koefisien ‰ koefisien mewakili defleksi dari

balok utama karena nilai unit redundants juga ditentukan oleh

menggunakan subskrip ganda, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13.12 (c) sampai dengan (e).

Yang pertama

subscript dari fleksibilitas koefisien ‰ sien menunjukkan lokasi defleksi,

dan subskrip kedua menunjukkan lokasi dari unit beban menyebabkan

defleksi. Misalnya, fleksibilitas koefisien ‰ sien FCB menunjukkan

defleksi pada titik C dari balok utama karena beban unit pada titik B

(Gambar 13.12 (c)), sedangkan FBC menunjukkan defleksi di B karena unit

beban di C (Gambar 13.12 (d)), dan sebagainya. Atau, coe fleksibilitas ‰

koefisien fij juga dapat ditafsirkan sebagai defleksi yang sesuai dengan

berlebihan karena nilai satuan dari j berlebihan i, misalnya, menandakan FCB

defleksi sesuai dengan Cy berlebihan karena unit

nilai berlebihan oleh (Gambar 13.12 (c)), FBC menunjukkan defleksi

sesuai dengan berlebihan Oleh karena nilai satuan berlebihan

Cy, dan sebagainya. Sebuah defleksi atau fleksibilitas koefisien ‰ di lokasi yang

berlebihan dianggap positif jika memiliki arti yang sama dengan

diasumsikan untuk berlebihan.

Hsl 546

Fokus perhatian kita pada titik B dari balok utama, kita melihat bahwadefleksi pada saat ini karena beban eksternal adalah DBO (Gambar

13.12 (b)), defleksi karena Dengan adalah fBBBy (Gambar 13.12 (c)), defleksikarena Cy adalah fBCCy (Gambar 13.12 (d)), dan lendutan akibat Dy adalah fBDDy(Gambar 13.12 (e)). Dengan demikian, defleksi total pada B karena e gabungan ¤ ectdari beban eksternal dan semua redundants adalah DBO þ þ fBBBy fBCCy þfBDDy. Karena defleksi balok tak tentu aktual (Gambar13.12 (a)) di B dukungan adalah nol, kita mengatur jumlah aljabar dari defleksidari berkas primer di B sama dengan nol untuk mendapatkan kompatibilitaspersamaan, DBO þ þ fBBBy fBCCy þ fBDDy ¼ 0. Selanjutnya, kita memfokuskan perhatian kitatitik C dari berkas primer, oleh aljabar menambahkan defleksidi C akibat beban eksternal dan redundants dan dengan menetapkanjumlah sama dengan nol, kita memperoleh persamaan kompatibilitas kedua,DCO þ þ fCBBy fCCCy þ fCDDy ¼ 0. Demikian pula, dengan menetapkan sama dengan noljumlah aljabar dari defleksi dari berkas primer di D karenabeban eksternal dan redundants, kita mendapatkan kompatibilitas ketigapersamaan, DDO þ þ fDBBy fDCCy þ fDDDy ¼ 0. Kompatibilitas Tigapersamaan yang diperoleh adalah

nomordari redundants diketahui, persamaan ini dapat diselesaikan untuk redundants.Sebagai Pers. (13.15) sampai (13.17) menunjukkan, kompatibilitaspersamaan struktur dengan derajat beberapa ketidakpastian, dalamumum, ditambah, dalam arti bahwa setiap persamaan mungkin berisi lebih darisatu diketahui berlebihan. Kopling terjadi karena defleksidi lokasi berlebihan yang dapat disebabkan tidak hanya oleh yang khususberlebihan (dan beban eksternal), tetapi juga oleh beberapa, atau semua, darisisanya redundants. Karena kopling tersebut, kompatibilitaspersamaan harus diselesaikan secara simultan untuk menentukan diketahuiredundants.Sinar utama adalah statis determinate, sehingga defleksi yang disebabkanloading eksternal serta fleksibilitas koefisien ‰ koefisien dapat dievaluasidengan menggunakan metode yang dibahas sebelumnya dalam teks ini. Jumlahdari defleksi (termasuk fleksibilitas ‰ koefisien coe) terlibat dalam sistempersamaan kompatibilitas tergantung pada tingkat ketidakpastian daristruktur. Dari Pers. (13.15) sampai (13.17), kita dapat melihat bahwa untukbalok dalam pertimbangan, yang tak tentu dengan derajat ketiga,persamaan kompatibilitas berisi total 12 defleksi (yaitu, 3 defleksikarena beban eksternal ditambah 9 fleksibilitas koefisien koefisien ‰). Namun,menurut hukum Maxwell defleksi timbal balik (Bagian 7.8),FCB ¼ FBC, FDB ¼ FBD, dan FDC ¼ FCD. Dengan demikian, tiga dari koefisien fleksibilitas ‰koefisien dapat diperoleh dengan penerapan hukum Maxwell, sehingga

Hal 547

mengurangi jumlah defleksi yang akan dihitung sampai 9. Menggunakan sejenis

penalaran, dapat ditunjukkan bahwa jumlah defleksi yang dibutuhkan

untuk analisis struktur dengan tingkat ketidakpastian i

sama DI þ i2Þ, yang ð3i þ i2Þ = 2 defleksi harus dihitung,

sedangkan sisanya dapat diperoleh dengan penerapan Maxwell

hukum timbal balik defleksi.

Setelah redundants telah ditentukan dengan memecahkan kompatibilitas

persamaan, karakteristik respon lain dari struktur dapat

dievaluasi baik oleh ekuilibrium atau superposisi.

Prosedur untuk Analisis

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, kita dapat mengembangkan stepby-berikut

langkah prosedur untuk analisis struktur dengan metode yang konsisten

deformasi:

1. Menentukan tingkat ketidakpastian struktur.

2. Pilih berlebihan kekuatan dan / atau momen. Jumlah total redundants

harus sama dengan tingkat ketidakpastian yang

struktur. Juga, redundants harus dipilih sehingga penghapusan

dari pembatasan yang sesuai dari struktur tak tentu diberikan

Hasil dalam struktur primer yang statis determinate dan

stabil. Indera yang redundants tidak diketahui dan dapat sewenang-wenang

diasumsikan. Sebuah jawaban yang positif untuk berlebihan akan menyiratkan bahwa

arti awalnya diasumsikan untuk berlebihan itu benar.

3. Hapus pembatasan sesuai dengan redundants dari

mengingat struktur ditentukan untuk mendapatkan (determinate) primer

struktur.

4. a. Gambarlah diagram dari struktur primer dengan hanya eksternal

pembebanan diterapkan untuk itu. Sketsa bentuk dibelokkan struktur,

dan menunjukkan defleksi (atau kemiringan) pada titik aplikasi

dan ke arah berlebihan oleh masing-masing yang sesuai

simbol.

b. Selanjutnya, untuk setiap berlebihan, menggambar diagram primer

struktur dengan hanya nilai unit berlebihan yang diterapkan untuk

itu. Kekuatan Unit (atau saat) harus diterapkan dalam positif

arah berlebihan. Sketsa bentuk dibelokkan dari

struktur, dan menunjukkan dengan simbol yang sesuai dengan koefisien fleksibilitas ‰

koefisien pada lokasi dari semua redundants. Untuk menunjukkan bahwa

beban serta respon struktural yang akan dikalikan dengan

yang berlebihan di bawah pertimbangan, menunjukkan berlebihan yang didahului

dengan tanda perkalian (?) di samping diagram

struktur. Defleksi (atau kemiringan) di lokasi manapun berlebihan

karena berlebihan dalam pertimbangan sama dengan

fleksibilitas koefisien ‰ cient di lokasi yang dikalikan dengan tidak diketahui

besarnya berlebihan.

Hal 551

Memecahkan Persamaan. (1a) dan (2a) secara bersamaan untuk By dan Cy, kita memperoleh

Dengan ¼ ¼ Cy 198 kN "Jawaban.

Reaksi Reaksi yang tersisa sekarang dapat ditentukan dengan menggunakan tiga persamaan

kesetimbangan untuk

bebas tubuh balok kontinyu sebagai berikut (Gambar 13.13 (e)):

Diagram Momen geser dan bending Diagram momen lentur dan geser balok yang ditunjukkan dalam

Gambar. 13.13 (f). Jawaban.

Bentuk dari diagram momen geser dan lentur untuk balok terus menerus, secara umum, mirip

dengan yang untuk

balok tiga rentang terus menerus ditunjukkan pada Gambar. 13.13 (f). Seperti ditunjukkan dalam

gambar ini, momen lentur negatif pada umumnya

berkembang pada dukungan interior balok terus menerus, sedangkan diagram momen lentur

biasanya positif atas

tengah bagian dari bentang. Momen lentur pada support berengsel pada akhir balok harus nol, dan

itu adalah

umumnya negatif pada dukungan akhir tetap. Juga, bentuk diagram momen lentur adalah parabola

untuk bentang

dikenai beban merata, dan terdiri dari segmen linier untuk rentang dikenai beban terkonsentrasi.

Nilai-nilai sebenarnya dari momen lentur, tentu saja, tergantung pada besarnya beban serta pada

panjang

dan kekakuan lentur dari bentang balok terus menerus.

Contoh 13.9

Tentukan reaksi dan menggambar diagram momen lentur dan geser untuk balok yang ditunjukkan

pada Gambar. 13.14 (a) oleh

metode deformasi yang konsisten.

Larutan

Tingkat ketidakpastian i ¼ 2.

Beam Primer Cy reaksi vertikal dan Ey di roller mendukung C dan E, masing-masing, yang dipilih

sebagai

para redundants. Ini mendukung kemudian dihapus untuk mendapatkan balok kantilever utama

ditunjukkan pada Gambar. 13.14 (b).

Selanjutnya, berkas primer dikenakan secara terpisah untuk pemuatan eksternal dan nilai-nilai unit

dari Cy redundants dan Ey,

seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13.14 (b), (c), dan (d), masing-masing.

terus-menerus

Hal 554

Besaran dari Redundants Dengan menggantikan defleksi dari balok utama ke dalam persamaan

kompatibilitas,

kita memperoleh

Reaksi Reaksi yang tersisa sekarang dapat ditentukan dengan menggunakan tiga persamaan

kesetimbangan untuk

bebas tubuh balok tak tentu (Gambar 13.14 (e)):

Diagram Momen geser dan bending Lihat Gambar. 13.14 (f).

Contoh 13.10

Tentukan momen pada dukungan dari berkas tetap ditunjukkan pada Gambar. 13.15 (a) dengan

metode deformasi yang konsisten.

Juga, menggambar diagram momen lentur untuk balok.

Larutan

Tingkat ketidakpastian balok ini didukung oleh enam reaksi dukungan, dengan demikian, derajat

ketidakpastian yang

i ¼ 6? 3 ¼ 3. Namun, karena balok dikenakan hanya untuk beban vertikal, horisontal reaksi Ax dan Cx

harus

nol. Oleh karena itu, untuk menganalisis balok ini, kita perlu memilih hanya dua dari empat reaksi

yang tersisa sebagai redundants.

Hal 556

Beam Primer MA momen dan MC di tetap mendukung A dan C, masing-masing, yang dipilih sebagai

redundants.

Pengekangan terhadap rotasi di ujung A dan C dari balok tetap kemudian dihapus untuk

mendapatkan cukup

didukung primer balok ditunjukkan pada Gambar. 13.15 (b). Selanjutnya, berkas primer dikenakan

secara terpisah ke P beban eksternal

dan nilai-nilai unit dari redundants MA dan MC, seperti ditunjukkan pada Gambar. 13.15 (b), (c), dan

(d), masing-masing.

Persamaan Kompatibilitas Memperhatikan bahwa lereng balok tak tentu yang sebenarnya di tetap

mendukung A dan C

adalah nol, kita menulis persamaan kompatibilitas:

Lereng Beam Primer lereng di ujung A dan C dari balok utama karena P beban eksternal dan karena

nilai satuan dari masing-masing redundants diperoleh dengan menggunakan rumus baik defleksi

atau metode konjugat-balok yang

Untuk mengatasi Pers. (1b) dan (2b) untuk MA dan MC, kita kalikan persamaan. 2 (1b) oleh dan

kurangi dari Persamaan. (2b)

Hal 557

Dengan mengganti ekspresi untuk MA ke dalam Pers. (1b) atau Persamaan. (2b) dan memecahkan

untuk MC, kita memperoleh berikut.

Momen Diagram Bending Reaksi vertikal Ay dan Cy sekarang dapat ditentukan oleh superposisi dari

reaksi dari balok utama karena P beban eksternal dan karena masing-masing redundants (Gambar

13.15 (b)

melalui (d)). demikian

Diagram momen lentur balok ditunjukkan pada Gambar. 13.15 (e). Jawaban.

Saat-saat di ujung balok yang ujungnya tetap melawan rotasi biasanya disebut sebagai fixed-end

saat. Saat-saat seperti memainkan peran penting dalam analisis struktur dengan metode

perpindahan, menjadi

dipertimbangkan dalam bab-bab berikutnya. Seperti digambarkan di sini, ungkapan untuk fixed-end

saat karena berbagai

kondisi pemuatan dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan metode deformasi yang

konsisten. Fixed-endmoment

ekspresi untuk beberapa jenis umum dari kondisi pembebanan yang diberikan dalam sampul

belakang buku untuk

nyaman referensi.

contoh 13.11

Tentukan reaksi dan menggambar diagram momen lentur dan geser untuk balok empat rentang

terus menerus ditampilkan dalam

Gambar. 13.16 (a) dengan menggunakan metode deformasi yang konsisten.

larutan

Simetri Sebagai balok dan loading yang simetris terhadap sumbu vertikal lewat melalui rol s

dukungan C (Gambar 13.16 (a)), kami akan menganalisis hanya bagian kanan dari balok dengan

kondisi batas simetris, seperti

ditunjukkan pada Gambar. 13.16 (b). Tanggapan dari kiri setengah dari balok kemudian akan

diperoleh dengan merefleksikan respon

setengah benar ke sisi lain dari sumbu simetri.

Hal 560

Tingkat ketidakpastian Tingkat ketidakpastian dari substruktur (Gambar 13.16 (b)) adalah 2.

Perhatikan bahwa, karena

tingkat ketidakpastian dari berkas lengkap kontinyu (Gambar 13.16 (a)) adalah tiga, pemanfaatan

simetri struktural

akan mengurangi e komputasi ¤ ortir diperlukan dalam analisis.

Beam Primer Dy reaksi vertikal dan Ey di roller mendukung D dan E, masing-masing, dari substruktur

tersebut

terpilih sebagai redundants. Roller mendukung di D dan E kemudian dihapus untuk mendapatkan

balok kantilever utama

ditunjukkan pada Gambar. 13.16 (c).

Persamaan Kompatibilitas Lihat Gambar. 13.16 (b) sampai (e).

Defleksi dari Beam Primer Dengan menggunakan rumus lendutan, kita memperoleh

Dengan menerapkan hukum Maxwell,

Besaran dari Redundants Dengan menggantikan defleksi dari balok utama ke dalam persamaan

kompatibilitas,

kita memperoleh

yang dapat disederhanakan

Memecahkan Persamaan. (1b) dan (2b) secara simultan untuk Dy dan Ey, kita memperoleh

Hal 561

ditunjukkan pada Gambar. 13.16 (f). Reaksi di sebelah kiri sumbu s kemudian diperoleh refleksi,

seperti yang ditunjukkan pada

Gambar. 13.16 (g).

Jawaban.

Geser dan bending moment Diagram Dengan menggunakan reaksi dari sinar terus menerus, momen

lentur dan geser

diagram dibangun. Diagram ini ditunjukkan pada Gambar. 13.16 (h). Jawaban.

contoh 13.12

Tentukan reaksi dan gaya dalam setiap anggota truss ditunjukkan pada Gambar. 13.17 (a) dengan

metode yang konsisten

deformasi.

larutan

Tingkat ketidakpastian i ¼ DM þ RTH? 2j ¼ D14 þ 4th? 2ð8Þ ¼ 2.

Truss Primer Dy vertikal reaksi pada dukungan roller D dan gaya aksial GDP di BG anggota diagonal

dipilih sebagai redundants. Dukungan rol D dan BG anggota kemudian dihapus dari tdk diberikan

truss untuk mendapatkan truss utama ditunjukkan pada Gambar. 13.17 (b). The truss primer

dikenakan secara terpisah untuk pemuatan eksternal

(Gambar 13.17 (b)), nilai unit Dy berlebihan (Gambar 13.17 (c)), dan tarik kekuatan unit di anggota

berlebihan

BG (Gambar 13.17 (d)).

Persamaan kompatibilitas Persamaan kompatibilitas dapat dinyatakan sebagai

hal 563

di mana DDO ¼ defleksi vertikal di D bersama dari truss utama karena beban eksternal, DBGO ¼

perpindahan relatif

antara sendi B dan G karena beban eksternal, FDD ¼ defleksi vertikal di D sendi akibat beban unit di

bersama D, GDP, D ¼ perpindahan relatif antara sendi B dan G karena beban unit di D bersama, GDP,

BG perpindahan ¼ relatif

antara sendi B dan G karena gaya tarik unit di BG anggota, dan FD, BG defleksi ¼ vertikal di D

bersama karena

a tarik Unit berlaku di BG anggota.

Defleksi dari Truss Primer Ekspresi kerja virtual untuk defleksi yang sebelumnya

di mana FO, uD, dan UBG merupakan anggota pasukan karena beban eksternal, beban unit pada

sendi D, dan unit

tarik kekuatan dalam BG anggota, masing-masing. Nilai-nilai numerik dari anggota pasukan, seperti

yang dihitung dengan metode

sendi (Gambar 13.17 (b) sampai (d)), ditabulasikan dalam Tabel 13.4. Perhatikan bahwa sejak

kekakuan aksial EA adalah sama untuk semua

anggota, hanya pembilang dari ekspresi kerja virtual dievaluasi pada Tabel 13.4. Demikian

Besaran dari Redundants Dengan penerapan defleksi dan fleksibilitas koefisien ‰ koefisien ke

kompatibilitas

persamaan (Eqs. (1) dan (2)), kita menulis

Memecahkan Persamaan. (1a) dan (2a) secara simultan untuk Dy dan GDP, kita memperoleh

Reaksi Reaksi yang tersisa dari truss tak tentu sekarang dapat ditentukan oleh superposisi dari reaksi

dari truss utama karena beban eksternal dan karena masing-masing redundants. Reaksi yang

diperoleh adalah

ditunjukkan pada Gambar. 13.17 (e). Jawaban.

Anggota Axial Pasukan Pasukan dalam anggota yang tersisa dari truss tak tentu dapat ditentukan

dengan menggunakan

hubungan superposisi:

Anggota pasukan yang diperoleh ditunjukkan pada Tabel 13.4 dan Gambar. 13.17 (e)

Hal 564

Tentukan reaksi dan menggambar diagram momen lentur dan geser untuk frame yang ditunjukkan

pada Gambar. 13.18 (a) oleh

metode deformasi yang konsisten.

larutan

Tingkat ketidakpastian i ¼ 2.

Bingkai utama Reaksi DX dan DY di berengsel dukungan D dipilih sebagai redundants. The berengsel

dukungan D kemudian dihapus untuk mendapatkan frame utama ditunjukkan pada Gambar. 13.18

(b). Selanjutnya, kerangka primer dikenakan

secara terpisah ke beban eksternal dan nilai-nilai unit dari DX redundants dan DY, seperti

ditunjukkan pada Gambar. 13.18 (b), (c), dan

(d), masing-masing.

Persamaan Kompatibilitas Memperhatikan bahwa defleksi horizontal dan vertikal dari frame tak

tentu yang sebenarnya di

berengsel dukungan D adalah nol, kita menulis persamaan kompatibilitas:

Hal 567

Defleksi Frame Primer Persamaan untuk momen lentur bagi anggota frame karena eksternal

pemuatan dan unit nilai-nilai dari redundants ditabulasikan dalam Tabel 13.5. Dengan menerapkan

metode kerja virtual, kita memperoleh

Besaran dari Redundants Dengan penerapan defleksi dan fleksibilitas koefisien ‰ koefisien ke

kompatibilitas

persamaan, kita menulis

Memecahkan Persamaan. (1a) dan (2a) secara simultan untuk DX dan DY, kita memperoleh

Reaksi Reaksi yang tersisa dan kekuatan akhir anggota dari frame tak tentu sekarang dapat

ditentukan dengan menerapkan persamaan keseimbangan. Reaksi dan anggota dan kekuatan yang

diperoleh ditampilkan

pada Gambar. 13.18 (e). Jawaban.

Diagram Momen geser dan bending Lihat Gambar. 13.18 (f).