Министерство науки и образования Краснодарского края

ГБОУ СПО « Краснодарский монтажный техникум»

Учебно-методическое пособие по теме « Производная»

Автор: Хашханокова З.З.

преподаватель математики

ГБОУ СПО «КМТ» КК

2014 г.

1

Содержание

страница

Введение

Пояснительная записка

Правила дифференцирования .

Таблица производных.

2

3

4

Геометрический смысл производной.

5

Алгоритм составления уравнения касательной.

5

Механический смысл производной.

5

Решение типовых задач.

6

Контрольная работа №1.

14

Контрольная работа №2.

15

Контрольная работа №3.

16

Контрольная работа №4

17

Контрольная работа №5.

18

Контрольная работа №6.

19

Список использованной литературы и интернет

источников.

21

2

Введение

Современная система образования- это не только вооружение

обучающегося знаниями, но и формирование у него навыков самостоятельного

овладения знаниями. С введением Федеральных государственных

образовательных стандартов профессионального образования нового поколения

меняется подход к преподаванию дисциплин общеобразовательного цикла,

который предусматривает формирование новых ключевых компетенций,

необходимых для современного специалиста.

Модульная технология преобразует образовательный процесс так, что

учащийся самостоятельно (полностью или частично) обучается по целевой

индивидуализированной программе.

Дифференциальное исчисление является одним из основных разделов

алгебры и начала анализа. Понятие производной широко используется при

исследовании функций и построении графиков, характеризует скорость

изменения функции в указанной точке. Кроме того, производная широко

используется при решении целого ряда задач по математике, физике и другим

наукам.

Пособие соответствует определённой теме (модулю)учебной программы..

Учащиеся могут самостоятельно изучить данную тему, выполнить типовые

разноуровневые контрольные работы и тем самым подготовиться к выполнению

аудиторных контрольных работ.

3

Пояснительная записка.

Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса ГБОУ СПО «

КМТ» КК, изучающих математику.

В учебном пособие рассматривается тема «Производная». Учебное

пособие содержит достаточный практический материал для освоения основных

предусмотренных программой умений и накопления опыта в использовании

приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной

жизни по данной теме. За основу взяты дидактические единицы из Примерной

программы учебной дисциплины ОДП 02.01 Математика для профессий

начального профессионального образования специальностей среднего

профессионального образования автора Башмакова М.И.

В данном пособии представлен необходимый теоретический материал, даны

методические рекомендации к решению типовых задач и приведены варианты

разноуровневых контрольных работ по теме « Производная».

Целью данного пособия является

развитие у обучающихся способности к саморазвитию и

самосовершенствованию;

повышение эффективности усвоения обучающимися знаний и учебных

действий, формирование учебно-исследовательской деятельности;

Ожидаемый результат:

Внедрение учебного пособия «Производная» в учебный процесс на практике

позволит:

- сформировать общеучебные компетенции у обучающихся;

- повысить качество знаний по данной теме;

- использовать пособие во внеаудиторное время (электронный вариант);

- повысить самооценку обучающегося.

4

Правила дифференцирования и Таблица производных

Пусть u, v – дифференцируемые функции, c– действительное число.

I. ucuc

II. vuvu )(

III. vuvuvu )(

IV.

V. uuvuv

Производные основных функций Производные сложных функций

1 0

c

2 1

x

3 1 nn xnx 16 uunu nn

1

4 aaa xx ln

17 uaaa uu

ln

5 xx ee

18 uee uu

6 ax

xaln

1log

19 uau

ua

ln

1log

7 x

x1

ln

20 uu

u 1

ln

8 xx sincos

21 uuu

sincos

9 xx cossin

22 uuu

cossin

10 x

tgx2cos

1

23 uu

tgu

2cos

1

11 x

ctgx2sin

1

24 u

uctgx

2sin

1

12 21

1)(arcsin

xx

25

21)(arcsin

u

uu

13 21

1)(arccos

xx

26

21)(arccos

u

uu

14 21

1)(

xxarctg

27

21)(

u

uuarctg

15 21

1)(

xxarcctg

28

21)(

u

uuarcctg

2

''

v

vuvu

v

u

5

Геометрический смысл производной

Производная функции y=f(x), вычисленная при заданном значенииx0, равна

тангенсу угла, образованного положительным направлением

оси Oxи касательной, проведенной к графику этой функции

в точке с абсциссой x0: ( )

Замечание

Геометрически производная представляет собой

угловой коэффициент касательной (k) к графику функции

y=f(x) в точке x0.

Любая касательная является функцией линейной и

имеет вид y=kx+b, гдеk-угловой коэффициент касательной.

Значит, справедлива формула

( )

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 имеет вид

))(()( 000 xxxfxfу .

Алгоритм составления уравнения касательной

))(()( 000 xxxfxfу

Обозначить абсциссу точки касания буквой х0.

1. Вычислить )( 0xf .

2. Найти )(xf и вычислить )( 0xf .

3. Подставить найденные числа х0, )( 0xf и )( 0xf в уравнение

касательной.

Механический смысл производной.

Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной

материальной точки в момент времени t есть производная пути времени t:

v(t)=s′(t)

Ускорение материального тела равно первой производной скорости, то есть:

a(t)=v′(t)

6

Решение типовых задач

Задание 1. Найти производную функции

а) +3√ -

б) )

Решение.

а)Для нахождения производной данной функции используем

правила дифференцирования и таблицу производных. Так как

производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то

( +3√ –

)'=( ) (3√

) (

) ( ) (

)

( )

( )

√

√

б)По правилу дифференцирования произведения получаем:

( ) ( ) ( ) ( ).

в)Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

(

)

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Задание2. а)Найти производную сложной функции √

б)

Решение. а)Используем правила дифференцирования и таблицу производных

сложных функций:

(√ )

√ ( )

√ [( ) ( ) ( ) ]

√ [( ) ( ) ( ) ]

√ ( )

√

Ответ.

√

7

б) По свойству дифференцирования сложной функции производная от данной

функции сначала берется от степенной, а затем от тригонометрической функции:

( )

Задание 3. Вычислите значение производной функции xxxf 5)( 2 в точках х=4

и х = 0,01.

Решение

.2

52)(5)()5()( 22

xxxxxxxf

.4

36

4

58

42

542)4( f

.98,242502,02,0

502,0

1,02

502,0

01,02

501,02)01,0(

f

Пояснения

Находим производную данной

функции по формуле

vuvu )(

В полученное выражение

подставляем заданные значения

аргумента.

При вычислении производной

следует учесть, что заданную

разность можно рассматривать, как

алгебраическую сумму выражений

х2 и )5( x , а при нахождении

производной )5( x вынести

постоянный множитель (- 5)за

скобку.

Задание 4. Найдите значения х, при которых производная функции

xxxf 32)( 4 равна 0.

Решение

.324)32()()32()( 344 xxxxxxf .0)( xf Тогда .2,8,0324 33 xxx

Ответ: х = 2.

Пояснения

1.Находим производную данной

функции

2.Приравниваем еѐ к нулю и

решаем полученное уравнение.

8

Задание 5Напишите уравнение касательной к графику функции

в точке с

абсциссой -2.

Решение Пояснения

1) f(x0)= ( )

=

1)Находим f(x0), подставив вместо х

число 2 в функцию

2) f′(x)= (х ) ( х )

(х ) =

х х

(х ) =

(х )

2) Находим f′(x)

3) f′(x0)= f′(-2)=

( )

3) Находим f′(x0), подставив х=-2 в

производную

4)

(

) ( ) 4) Подставляем полученные

результаты в уравнение

касательной

))(()( 000 xxxfxfу

Задание 6. Найти угол, который образует с положительным лучом оси абсцисс

касательная к графику функции

в точке х0=-1.

Решение Пояснения

) (

)

) ( ) ( ) ( )

) , α=45 ْ

1) Находим производную функции.

2)В полученное выражение

подставляем заданное значение х0=-1

3) Т.к. = ( ), то находим

искомый угол.

Задание 7.Прямолинейное движение точки описывается законом S(t)=t

4-2t

2 (м).

Найдите еѐ скорость в момент времени t=3с.

Решение. Пояснения.

1) s′(t)=4t3-4t=v(t) По формуле v(t)=s′(t)

1) Находим производную

функции s′(t)

2) v(3)=4•32-4•3=36-12=24 м\с 2) Вычислим v(3)=s′(3)

9

Задание 8.Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

Решение. Пояснения.

( )

Используем формулу

( )

Находим производную функции

( ) ( )

Находим значение производной

функции в точке

Задание 9.Найдите сумму угловых коэффициентов касательных к параболе

162 xy в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

Решение. Пояснения.

Находим абсциссы точек

пересечения параболы с осью абсцисс

( )

Используем формулу

( )

Находим производную функции

( ) ( )

Находим угловые коэффициенты в

точках х1 и х2

Находим сумму угловых

коэффициентов касательных

Задание 10.В какой точке касательная к графику функции

параллельна оси абсцисс

Решение Пояснения

( )

х=2

Касательная будет параллельна оси

абсцисс в тех точках, в которых

производная равна 0. Значит, находим

производную функции и

приравниваем еѐ к нулю.

Решив полученное уравнение, найдем

абсциссу точки касания.

( ) Находим ординату точки касания.

Ответ: (2;-9)

10

Задание 11.Точка движется по прямолинейному закону ( ) В

какой момент времени скорость тела будет равна 13?

Решение Пояснения

( ) ( ) =6t+1 Скорость данной материальной

точки в момент времени t есть

производная пути времени

t:v(t)=x′(t)

Находим производную данной

функции.

6t+1=13

Т.к. скорость равна 6 по условию

задачи, то составляем уравнение

v(t)=13

Ответ: при t=2 скорость тела будет

равна 13.

Задание 12.На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на

интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная

функции положительна.

Решение.

Производная положительна на

промежутках возрастания функции, а целых

точек ровно 4.

11

Задание 13.На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на

интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику

функции параллельна прямой y=3 или

совпадает с ней.

Решение.

Ответ. 4

Задание14.

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной

на интервале (-7; 4). Найдите промежутки

возрастания функции f(x). В ответе укажите

сумму целых точек, входящих в эти

промежутки.

Решение:

-4+(-3)+(-2)+(-1)+2+3=-5

12

Задание 15.На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x),

определенной на интервале (-2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x).

В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение. На рисунке выделены промежутки убывания. Длина наибольшего

равна 3.

Задание 16.На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему

в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0

13

Решение

Так как касательная в точке х 0 наклонена к

положительному направлению оси абсцисс под

тупым углом, то производная в точке х0 будет

отрицательной. Построим треугольник АВС.

Заменим искомый угол углом САВ

треугольника АВС и найдем тангенс угла САВ..

( )

Значит ( )

Ответ: .-

14

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.

Контрольная работа №1 по теме: « Производная»

Заполнить таблицу.

1о. c 8

о. )(tgx

2о. )( x

9о. )(ctgx

10о. )(arcsinx

11о. )(arccosx

12о. )(arctgx

13о. )(arcctgx

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

14о. )( vu

3о. )( bkx 15

о. )( vu

4о. )( xa

В частности,

)( xe

16о. )(uv

17о. )(cu

5о. )(logxa

В частности,

)(lnx

)(lgx

18о.

v

u

6о. )(sinx

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ

ФУНКЦИИ

7о. )(cosx 19

о. ))(( xf

15

Контрольная работа №2по теме: «Производная»

1.Сопоставьте функции еѐ производную.

Функция

Производная

x

1 2х -2 cos sinx cos(x+2)

x2 + 1

sin( x + 2)

lnx

cos2x

2. Вычислите производную функции:

1) у = 7

7x ; а) х6 ; б)

7

6x; в) 7х

7 .

2) у = х3 + 5 x ; а) 4х

2 +5 x ; б) 3x

2 +

x2

5; в) 3х

2 +

x

5.

3) у = 4

1

x; а) х

- 4 б)

5

4

x ; в)

3

1

x.

4) у = x

x

25

32

; а )2)25(

4

x; б) -

2)25(

4

x; в)

2)25(

14

x.

3. Вычислите значение производной функции у = 49lnln2 xxx при х = 7.

а б в г

0 7

13 2

7

15

4.Вычислите производную сложной функции f(x) = xx 2logsin .

16

Контрольная работа № 3по теме «Производная»

1. Найти значение производной в точке х0

а) f(x) = 4x2 +6x+3, x0 = 1;

б) 02

( ) , 01

xf x x

x

;

в) f(x) = (3x2+1) (3x

2-1), х0 =1;

г) f(x)=2x·cosx, 0 .

4x

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 53x-4

;

б) f(x) = sin (4x-7);

в) f(x) = 3 2х ;

г) f(x) = ln (x3+5x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 4 –x2

в

точке х0 = -3.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции 3

( ) 1f xx

в точке с

абсциссой х0= -1.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 2x в точке с

абсциссой х0=-2.

6. Уравнение движения тела имеет вид s(t) = 2,5t2 + 1,5t. Найдите скорость тела

через 4 с после начала движения.

17

Контрольная работа №4 по теме « Производная»

Обязательная часть

Найти производную функции ( 1 – 3 ):

1. 5

32

5

2

9

7 359 ххху

2. 3

13 tgxу

3. xeу x sin4

4. Тело движется по прямой по закону 10542 23 ttttS Какую

скорость приобретает тело в момент, когда его ускорение станет

равным 10 м/с2.

5. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику

функции 2 хху в точке 40x .

6. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

1332 34 ххху в точке 10

х .

7. Найдите сумму угловых коэффициентов касательных к параболе

42 xy в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

8. Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону

13188 2 ttth (t – время, h – расстояние от поверхности Земли до

тела). Определите скорость в момент времени 1t .

Дополнительная часть

Найдите производные функций ( 9 – 11):

9. 547 xxf

10. xey x sin23 3

11. xxtgxy 23

12. Найдите значение производной функции xxxf 2sin в точке 2

0

x .

18

Контрольная работа № 5 по теме: «Производная»

Обязательная часть.

1. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с

абсциссой равен:

а) –1; б) ; в) 1; г) .

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции в

точке с абсциссой равен:

а) 8; б) 2; в) –2; г) 0.

3. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y = x2 - 1 в точке с

абсциссой х0 = 3.

4. Дана функция 2345)( хххf . Найдите координаты точки еѐ графика, в

которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5.

5. К функции xxу cos3sin2 проведены касательные в точках с абсциссами

21

x и

2

32

x . Являются ли эти касательные параллельными прямыми?

Дополнительная часть.

6. Найдите угол между касательной к графику функции 2

2 5f x x x в

точке с абсциссой 0

1

2x и осью абсцисс.

7. Касательная к графику функции 823122)( 23 ххххf образует с

положительным направлением оси абсцисс угол 450. Найдите координаты

8. Касательная к графику функции xxy 2)1( параллельна оси Ох, но не

совпадает с ней. Найдите координаты точки касания.

а б в г

27

4;

3

1

27

4;

3

1

27

2;

3

1

27

2;

3

1

xxxf 23

1 3

1x

3

22

3

1

xsinxcosxf 422

4

x

19

Контрольная работа №6 по теме « Производная»

Обязательная часть.

1.На рисунке изображѐн график функции y = f(x). Какая

из прямых является касательной к графику этой

функции в точке А

2.На рисунке изображен график функции у=х2..

Нарисуйте касательную к этому графику в точке х0=3

3. Функция y f x определена на промежутке

3; 9 . Используя изображенный на рисунке график

производной функции y f x , определите количество

касательных к графику функции, которые составляют

угол 120o

с положительным направлением оси Ox.

Дополнительная часть.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале

(– 3; 8).

4. Найдите количество точек, в которых касательная к

графику функции параллельна прямой у = 1.

5. Найдите количество точек экстремума на отрезке [– 3; 4].

6. Определите количество целых точек, в которых

производная функции положительна.

7. На рисунке изображен график функции у = f(x) и

касательная к нему в точке с абсциссой 0x .Найдите

значение производной функции f(x) в точке 0x .

x

1

0

y

1

y f x

20

На рисунке изображен график производной функции )(xfу , определенной на

интервале (– 6; 8).

8. Найдите количество точек, в которых касательная

к графику функции у = f(x) параллельна прямой

у=3или совпадает с ней.

9. Найдите количество точек экстремума функции.

10. Найдите промежутки возрастания функции .

В ответе укажите длину наибольшего из них.

11. На рисунке изображен график производной функции

)(xfу , определенной на интервале (– 10; 3).В какой

точке отрезка [–5; 1] функция f(x) принимает

наименьшее значение?

21

Список использованной литературы и интернет ресурсов.

1 Башмаков М.И. «Математика» учебник для учреждений начального и

среднего проф. образования. – Издательский центр «Академия», 2011

2 А.Серебрякян. «Производная. Система заданий». Газета «Математика.

Приложение к 1 сентября.» №№ 4-5, 2000

3 Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для образоват.

учреждений нач. и сред. проф. образования.- М.: Издательский центр

«Академия», 2012.

4 Иванова Л.Н. преподаватель математики БОУ НПО ПУ 36 посѐлка Игра

Игринского района Удмуртии Практические работы

5 http://mathege.ru « Открытый банк заданий ЕГЭ по математике».