H ΕΥΘΕΙΑ

Η Ευθεία Στο Επίπεδο

Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Συνθήκες Καθετότητας και Παραλληλίας

Ευθειών Εξίσωση Ευθείας Η εξίσωση Αx+Βy+Γ=0, Α0 ή Β0 Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν τριγώνου

Θέματα Εξετάσεων Προηγουμένων Ετών

Ερωτήσεις Κατανόησης

Επιμέλεια:

Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Η ευθεία στο Επίπεδο

Μεθοδολογία-Ασκήσεις Κώστας Κουτσοβασίλης - 1 -

Ονομασία Διατύπωση Σχόλια Σχήμα

Εξίσωση Γραμμής

Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση f(x,y)=0 είναι εξίσωση μιας γραμμής (c) θα δείχνουμε ότι:

Κάθε σημείο Μ(x,y) της γραμμής την επαληθεύει

Κάθε σημείο Μ(x0,y0) που την επαληθεύει ανήκει στη (c)

Ένα σημείο ανήκει σε μια γραμμή αν οι συντεταγμ. του, την επαληθεύουν

Συμμετρία Σημείου

Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (x,y) τότε:

Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα xx έχει συντεταγμένες (x,-y)

Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα yy έχει συντεταγμένες (-x,y)

Το συμμετρικό του ως προς την αρχή Ο έχει συντεταγμένες (-x,-y)

Το συμμετρικό του ως προς την διχοτόμο 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων έχει συντεταγμένες (y,x)

Συμμετρία Γραμμής

Αν f(x,y)=f(x,-y) για κάθε (x,y) η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα xx

Αν f(x,y)=f(-x,y) για κάθε (x,y) η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy

Αν f(x,y)=f(-x,-y) για κάθε (x,y) η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς την αρχή Ο

Αν f(x,y)=f(y,x) για κάθε (x,y) η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τη διχοτόμο 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

Τομή Δύο Γραμμών

Για να βρούμε τα κοινά σημεία δυο γραμμών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των δυο γραμμών

Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α



Αν το σύστημα έχει μια μόνο λύση οι δυο γραμμές έχουν ένα κοινό σημείο

Αν το σύστημα έχει δυο λύσεις διαφορετικές οι γραμμές , έχουν δυο κοινά σημεία

Αν το σύστημα έχει μια διπλή ρίζα οι γραμμές εφάπτονται

Αν το σύστημα είναι αδύνατο οι γραμμές δεν έχουν κοινά σημεία.

Συντελεστής Διεύθυνσης

Ευθείας

Για να προσδιορίσουμε τον συντελεστή διεύθυνσης ευθείας χρειαζόμαστε: α. Τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα xx ή β. δύο σημεία της ευθείας ή γ. παραλληλία ή καθετότητα της ευθείας με μια άλλη ευθεία ή δ. παραλληλία ή καθετότητα της ευθείας με γνωστό διάνυσμα Σχόλια: Αν 0xx// Αν yy// λ δεν ορίζεται

Αν 0900

Αν 0900

Αν 21 και λ1=0 τότε δεν ορίζεται ο λ2 Σε κάθε περίπτωση για την γωνία ω ισχύει:

0

Όταν μια ευθεία (ε) και ένα διάνυσμα είναι

παράλληλα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Αν οι ευθείες ε1 ,ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης

λ1 ,λ2 αντίστοιχα τότε: 2121 // και 12121

Αν γνωρίζουμε την εξίσωση μιας ευθείας τότε συντελεστής διεύθυνσης είναι ο συντελεστής του x όταν η εξίσωση είναι λυμένη ως προς y. Όταν γνωρίζουμε τις κορυφές τριγώνου μπορούμε να βρούμε τους συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών, των υψών, των διαμέσων, των διχοτόμων κ.λ.π

Συνευθειακά Σημεία

Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι

//

Δ>0

Δ=0

Δ<0



Εξίσωση Ευθείας

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας (ε) χρειαζόμαστε: α. Τις συντεταγμένες ενός σημείου της και το συντελεστή διεύθυνσης της ή β. Τις συντεταγμένες δύο σημείων της Σχόλια: Ευθεία που περνάει από γνωστό σημείο και έχει

γνωστό συντελεστή λ y-y0=λ(x-x0)

Ευθεία που περνάει από δύο γνωστά σημεία

)xx(xxyyyy 1

12

121

με 21 xx ή

x=x1 με x1=x2 Ευθεία που τέμνει τους άξονες στα σημεία (α,0)

και (0,β) : 1yx

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από γνωστό σημείο P(x0,y0) και έχει μια επιπλέον ιδιότητα , γράφουμε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το P(x0,y0) : δ: x=x0 και η: y-y0=λ(x-x0), λ IR i. Εξετάζουμε αν η γνωστή ευθεία δ: x=x0 έχει ή όχι την ιδιότητα που αναφέρεται ii. Απαιτούμε οι ευθείες (η) να έχουν την ιδιότητα και έτσι προσδιορίζουμε το λ IR

Ευθεία παράλληλη στον yy x=x0 Ευθεία παράλληλη στον xx y=y0 Ευθεία που τέμνει τον yy στο σημείο (0,β) και έχει γνωστό λ y=λx+β

Γενική Μορφή

Εξίσωσης Ευθείας

Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής Ax+Βy+Γ=0 , όπου τα Α, Β, Γ δίνονται συναρτήσει μιας παραμέτρου , παριστάνει ευθεία , πρέπει να δείξουμε ότι τα Α και Β δε μηδενίζονται ταυτόχρονα, για την ίδια τιμή της παραμέτρου.

Κάθε ευθεία παράλληλη στη Ax+Βy+Γ=0 έχει μορφή Αx+Βy+k=0

Κάθε ευθεία κάθετη στη Ax+Βy+Γ=0 έχει μορφή Βx-Αy+k=0

Η Ax+Βy+Γ=0 για να είναι ευθεία πρέπει και αρκεί Α 0 ή Β 0

A

Αν Γ=0 περνά από την αρχή



Σύνολο ευθειών που διέρχονται από το ίδιο

σημείο

Για να δείξουμε ότι ένα σύνολο ευθειών της μορφής : ε1+λε2=0, (1) λ IR διέρχονται από το ίδιο σημείο: 1ος Τρόπος: Δίνουμε αυθαίρετα δυο τιμές στην παράμετρο λ και προκύπτουν έτσι οι εξισώσεις δύο ευθειών. Βρίσκουμε το σημείο τομής αυτών των ευθειών , λύνοντας το σύστημα και εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του , επαληθεύουν την αρχική εξίσωση (1).Αν την επαληθεύουν , τότε όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση (1) θα διέρχονται από το ίδιο σημείο. 2ος Τρόπος: Μετασχηματίζουμε την εξίσωση που δίνεται σε πολυωνυμική εξίσωση ως προς λ ( αν δεν δίνεται έτσι).Για να είναι το πολυώνυμο ως προς λ , του 1ου μέλους , της εξίσωσης ίσο με το μηδέν για κάθε τιμή της παραμέτρου λ , πρέπει οι συντελεστές του να είναι ίσοι με το μηδέν. Αν το σύνολο των ευθειών (1) μας δοθεί ή το βρούμε με δυο παραμέτρους , απαλείφουμε τη μια από τις δυο με κάποια σχέση που δίνεται ή προκύπτει από τα δεδομένα.

Οξεία γωνία ευθειών

Έστω ότι οι ευθείες ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα.

Θεωρούμε τα διανύσματα 21, τέτοια ώστε:

11//

και 22//

Υπολογίζουμε τη γωνία των διανυσμάτων 21, από

τον τύπο: |||| 21

21

Τότε η οξεία γωνία θ των ευθειών θα είναι ίση ή παραπληρωματική της γωνίας φ των διανυσμάτων.

),( 21

),( 12

Γωνία

δυο ευθειών

21

12

21

1

),(

π-ω

ω

ε 2 ε 1



Εξίσωση να παριστάνει δυο ευθείες

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής Αx2

+Bxy +Γy2 +Δx +Ey+Z=0 παριστάνει δυο ευθείες , παραγοντοποιούμε το πρώτο μέλος. Αυτό γίνεται εύκολα αν θεωρήσουμε το πρώτο μέλος τριώνυμο 2ου βαθμού ως προς x ή ως προς y (Πρέπει η διακρίνουσα να είναι θετική )

Σχετική θέση δυο ευθειών

Για να βρούμε τη σχετική θέση δυο ευθειών επιλύουμε το σύστημα των εξισώσεων τους. Αν οι εξισώσεις έχουν κάποια παράμετρο , κάνουμε διερεύνηση του συστήματος, συνήθως με ορίζουσες.

Εύρεση Γεωμετρικού

Τόπου

Όταν ζητείται ο Γεωμετρικός Τόπος σημείου Μ(x,y) του οποίου οι συντεταγμένες είναι εκφρασμένες συναρτήσει μιας παραμέτρου κάνουμε απαλοιφή της παραμέτρου και βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων x και y του σημείου Μ Όταν ζητείται ο γεωμετρικός τόπος σημείου Μ και δεν δίνονται οι συντεταγμένες του , προσπαθούμε από τα δεδομένα της άσκησης να τις εκφράσουμε συναρτήσει μιας παραμέτρου και στη συνέχεια να κάνουμε απαλοιφή της παραμέτρου. Όταν μας ζητούν ή προκύπτει από την άσκηση , γεωμετρικός τόπος σημείου με δυο παραμέτρους , απαλείφουμε διαδοχικά τις δυο παραμέτρους. Όταν ζητείται να βρεθεί το σύνολο των σημείων Μ που ικανοποιούν κάποια ιδιότητα ή να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ , τότε: Θεωρούμε Μ(x,y) το τυχαίο σημείο του τόπου και από τα δεδομένα της άσκησης προσπαθούμε να βρούμε μια εξίσωση μεταξύ των συντεταγμένων x και y . Αν δεν είναι προφανής η ιδιότητα που ικανοποιούν τα σημεία Μ των οποίων ζητείται να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος θέτουμε παραμέτρους στα μεταβλητά σημεία του σχήματος. Αν χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε περισσότερες από μια παραμέτρους , τότε για να μπορέσουμε να κάνουμε απαλοιφή αυτών πρέπει να βρίσκουμε μια εξίσωση επιπλέον από τις παραμέτρους που χρησιμοποιήσαμε.



Εύρεση Διχοτόμων

Η εύρεση των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν δυο ευθείες , ανάγεται στην εύρεση του γεωμετρικού τόπου των σημείων , που ισαπέχουν από τις δυο ευθείες , αφού η διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Μεσοπαράλληλος

ευθειών

Για να βρούμε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης δυο ευθειών ε1,ε2 . Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ (x,y) της μεσοπαράλληλης. Τότε είναι : d(M,ε1)=d(Μ,ε2)

Από την σχέση αυτή βρίσκουμε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης. Βρίσκουμε τα σημεία Α και Β που οι ευθείες ε1 και

ε2 αντίστοιχα τέμνουν τον άξονα yy .Στη συνέχεια βρίσκουμε το μέσο Μ του ΑΒ. Οπότε γνωρίζοντας ένα σημείο (το Μ) και το συντελεστή διεύθυνσης ( )

21 βρίσκουμε την εξίσωση της

μεσοπαράλληλης.

Απόσταση Ευθειών

Για να βρούμε την απόσταση δυο ευθειών ε1 και ε2 Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ στη μια από τις δυο

ευθείες , και βρίσκουμε την απόσταση του σημείου αυτού από την άλλη ευθεία.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο 2

2121

1),(d

όπου ε1: y=λx+β1 και ε2: y=λx+β2.

Για να βρούμε την απόσταση

σημείου από ευθεία

πρέπει να γνωρίζουμε το σημείο

και την εξίσωση της

ευθείας.



1.1. α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(1,3) , Β(2,6), Γ(-5,-15) είναι συνευθειακά β. Το ίδιο για τα σημεία Α(5,-4), Β(-2,3), Γ(t,1-t), IRt γ. Το ίδιο για τα σημεία Α(1,3), Β(1,-2), Γ(1,1). 1.2. Δίνονται οι ευθείες ε και η με εξισώσεις y=(2α2 +α+1)x+α+4 και y=(α2-α+4)x+α-5 αντίστοιχα. i. Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ε και η ii. Να βρείτε τις τιμές του α , ώστε η ευθεία η να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. iii. Να προσδιορίσετε τις τιμές του α ώστε ε//η 1.3. Θεωρούμε δυο σημεία , τα Β(-3,7) και Γ(3,1) και τις ευθείες ε1: 3x-y+2=0 και ε2: 2x+y-7=0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Α. Να βρείτε: i. Τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ , τη γωνία που σχηματίζει η ΒΓ με τον άξονα xx και την εξίσωση της ΒΓ. ii. Τις συντεταγμένες του σημείου Α iii. Την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ και τη γωνία των ευθειών ΑΜ και ΒΓ. iv. Την εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ. 1.4. Δίνεται το σημείο Α(-3,1) και η ευθεία ε: 4x+y-6=0 i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στη ε ii. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Σ ως προς την ευθεία ε. 1.5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2). Αν η εξίσωση της μια πλευράς του είναι : x+2y-4=0 και η διάμεσος ΒΔ έχει εξίσωση : x-y+1=0 να βρείτε τις κορυφές του Β και Γ 1.6. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που περνούν από το σημείο Μ(2,3) και

σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 21 .

Π ρ ο τ ε ι ν ό μ ε ν ε ς Α σ κ ή σ ε ι ς

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Β Λυκείου

Διδακτική Ενότητα: Η Ευθεία στο Επίπεδο

1



2.1. Να βρείτε τις τιμές του α IR για τις οποίες η ευθεία ε: y=(α2-10)x+2010 σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 1350. 2.2. Έστω ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) έχει εξίσωση y=λx+β. Να αποδείξετε ότι: 2

21 1|xx|)( 2.3. Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο (1,2) ενώ οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δυο διάμεσοι του είναι οι ε1: x-3y+1=0 και ε2: y=1.Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 2.4. Η κορυφή Α ενός τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (1,2) . Μια πλευρά και μια διάμεσός του βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y=x-5 και x=2 αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. 2.5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(1,3) και

τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία Α και Β αντίστοιχα ώστε: 2

2.6. Έστω Α και Β δυο σημεία της ευθείας ε: y=3x+10 τέτοια ώστε , η τετμημένη του Β να είναι μεγαλύτερη από την τετμημένη του Α κατά 2. Να βρείτε πόσο μεγαλύτερη είναι η τεταγμένη του Β από την τεταγμένη του Α 2.7. Δίνεται η ευθεία ε: x+y-4=0 και το σημείο Α(-1,1) Να βρεθούν α. Οι συντεταγμένες του ίχνους Κ του Α πάνω στην ευθεία ε β. Οι συντεταγμένες του συμμετρικού Γ του σημείου Α ως προς την ε γ. Οι συντεταγμένες των σημείων Β και Δ της ε έτσι ώστε το ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο. δ. Το εμβαδόν του τετραγώνου με διαγώνιο την ΑΓ.

2.8. Έστω τα διανύσματα )3,2(

και j4

. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α(-1,3) και είναι κάθετη στο διάνυσμα

213v και μετά το πλησιέστερο σημείο της ε από την αρχή Ο.

2.9. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που τέμνει τον άξονα yy στο Β(0,3) και

είναι κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας

xOy .


Β Λυκείου

Διδακτική Ενότητα: Η Ευθεία στο Επίπεδο

2



3.1. Δίνεται η εξίσωση (μ2-1)x+(μ+1)y+(μ2-3μ+2)=0 ,μ IR (1) α. Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες η (1) παριστάνει ευθεία. β. Για ποιες τιμές του μ είναι παράλληλη στον άξονα xx και για ποιες τιμές στον παράλληλη στον yy ; γ. Για ποιες τιμές του μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 3.2. Δίνεται η εξίσωση (α2+β2)x-(α+2β)y+5=0 α. Να βρείτε τις τιμές των α και β για τις οποίες η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία. β. Να προσδιορίσετε τις τιμές των α και β ,ώστε η ευθεία να διέρχεται από το σημείο Α(1,2). 3.3. Δίνεται η εξίσωση (3λ-1)x+(λ-1)y +4-8λ=0. Να αποδείξετε ότι: α. Η εξίσωση παριστάνει ευθεία ε για κάθε λ IR β. Η ευθεία ε διέρχεται από σταθερό σημείο καθώς το λ μεταβάλλεται στο IR.

3.4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( (x)1

01y)1

παριστάνει ευθεία

για κάθε διάνυσμα , η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο.

3.5. Δίνονται οι εξισώσεις λx-y+1=0 και (λ+1)x-(1-λ)y+4=0 α. Να αποδείξετε ότι καθεμία από τις εξισώσεις αυτές παριστάνει ευθεία για κάθε λ IR β. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε1 που παριστάνει η πρώτη εξίσωση να είναι παράλληλη στην ευθεία ζ1: 4x-2y+3=0 γ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε2 που παριστάνει η δεύτερη εξίσωση να είναι κάθετη στην ευθεία ζ2: x-3y+4=0 δ. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1 και ε2 τέμνονται για κάθε λ IR ε. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε2 στ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε2 διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ IR

3.6. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα και

ενός

επιπέδου η ευθεία 2 04y||x|| 22

διέρχεται από σταθερό σημείο.


Β Λυκείου

Διδακτική Ενότητα: Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 3



4.1. Δίνεται η εξίσωση –x-2+λ(2x+3y-1)y=0 , λ IR (1) α. Να αποδείξετε ότι : i. Για κάθε λ IR η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία ii. Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

β. Ποια από τις παραπάνω ευθείες είναι κάθετη στην ευθεία η: y= 3x21

;

4.2. Να αποδείξετε ότι : α. Η εξίσωση 6x2-xy-y2=0 παριστάνει δυο ευθείες β. Η οξεία γωνία που σχηματίζουν είναι 450 4.3. Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών ε1: μx-y=μ+1 και ε2: x-y=2 , μ IR 4.4. α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(3λ+1, 2λ), λ IR β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(2α+β, 3α+5β), α,β IR και α+β=1 γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των ευθειών λx+(λ-1)y=2λ και (λ+1)x+λy=2λ+1, για όλες τις τιμές του λ IR . 4.5. Να βρεθούν οι γραμμές που παριστάνουν οι εξισώσεις : α. (x+y+2)2-4=0 β. |x|-|y|=0 γ. x2-2xy+y2-5x+5y+6=0 4.6. Για τις ευθείες ε1 : Α1x+Β1y+Γ1=0 και ε2 : Α2 x+Β2y+Γ2=0 να αποδείξετε ότι:

α. 0//22

1121

β. 0212121 4.7. Θεωρούμε δυο ευθείες ε1 και ε2 με εξισώσεις ε1 : Αx+Βy+Γ1=0 και ε2 : Αx+Βy+Γ2=0 α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες β. Να βρείτε την απόστασή τους γ. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας ε 4.8. Το σημείο Α κινείται επάνω στην ευθεία y=x. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του ως προς την ευθεία ε: x+2y+1=0 κινείται πάνω στην ευθεία με εξίσωση y=7x+2


Β Λυκείου

Διδακτική Ενότητα: Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 4



5.1. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε1: 3x+ 4y -7 = 0 και ε2: 3x + 4y -16=0. α. Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε1 και ε2. β. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε1 και ε2. 5.2. Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφές Α(3λ-1, 2λ+3) Β(2λ, -λ) Γ(λ,4) α. Να βρεθεί ο Γ.Τ της κορυφής Α (λ= πραγματικός) β. Για ποια τιμή του λ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α; 5.3. Α. Δίνεται το σημείο Α(2,4) και η ευθεία ε: y=3x+2. α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α δεν ανήκει στην ευθεία ε β. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε. γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Μ της ε ισχύει: 5(ΜΑ)2 8 Β. Οι δυο πλευρές ενός τετραγώνου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις: αx+βy+γ1=0 και αx+βy+γ2=0 Nα αποδείξετε ότι για το εμβαδόν Ε του τετραγώνου αυτού ισχύει:

22

221 )(E

5.4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι )6,4(

και )8,2(

α. Να βρείτε το διάνυσμα όπου ΑΜ η διάμεσος του τριγώνου

β. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

γ. Να αποδείξετε ότι η γωνία A είναι οξεία

δ. Αν Α(3,1) να βρείτε τις άλλες κορυφές του τριγώνου και την εξίσωση της πλευράς ΒΓ 5.5. Δίνονται τα σημεία Α(-2,-1) και Β(2,2) α. Αν Γ(2,6) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει (ΜΑΒ)=(ΓΑΒ) .


Β Λυκείου

Διδακτική Ενότητα: Απόσταση Σημείου από Ευθεία –Εμβαδόν τριγώνου

5



6.1. Δίνεται η εξίσωση x2+y2+2xy-2x-2y-3=0 α. Να αποδείξετε ότι παριστάνει δυο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 β. Να βρείτε την απόσταση των ε1 και ε2 γ. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε1 και ε2 6.2. Δίνονται οι ευθείες ε: 2x-y+3=0 και η: x+2y-1=0 και το σημείο Κ(2,-1). Μια ευθεία ζ διέρχεται από το Κ και τέμνει τις ευθείες ε και η στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα.

α. Να βρείτε ένα διάνυσμα

, ένα διάνυσμα

και να αποδείξετε ότι . β. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε και η. γ. Να βρείτε το σημείο τομής Α των ευθειών ε και η δ. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές να βρείτε την εξίσωση της ΒΓ. 6.3. Δίνονται τα μεταβλητά σημεία Α(α,0) και Β(0,β) με αβ 0 ώστε να είναι

4111

α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από ένα σταθερό σημείο Σ γ. Να βρείτε τις τιμές των α , β ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να έχει εμβαδόν ίσο με 4 τ.μ. όπου Ο η αρχή των αξόνων δ. Να βρείτε τις τιμές των α ,β ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι ισοσκελές

ε. Για ποιες τιμές των α και β η ευθεία ΑΒ απέχει 54 από την αρχή Ο.

6.4. Δίνονται τα σημεία Α(-2,1) , Β(3,5) και Γ(2,4) α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο β. Ένα μεταβλητό σημείο Μ έχει την ιδιότητα (ΜΒΓ)=3(ΑΒΓ). Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε δυο παράλληλες ευθείες ε και η οι οποίες είναι μάλιστα παράλληλες με την ΒΓ γ. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης μ των ε και η 6.5. Δίνονται οι ευθείες ε: αx-y-1=0 και η: x+αy-α=0 , α>0 α. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε ,η και ο άξονας yy σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο για κάθε α>0 β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του Ε(α) του τριγώνου γ. Να αποδείξετε ότι ισχύει: Ε(α)Ε(1)


Β Λυκείου

Διδακτική Ενότητα: Απόσταση Σημείου από Ευθεία –Εμβαδόν τριγώνου

6



7.1. Δίνονται τα σημεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου Oxy. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ. β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ. γ. Έστω Μ τυχαίο σημείο της παραπάνω ευθείας (ε). Να δείξετε ότι ισχύει η

σχέση: 222

ΟΜ2ΜΒΜΑ Ιούνιος 1999. 7.2. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, η εξίσωση ευθείας (λ - 1)x + (λ + 1)y - λ - 3 = 0, όπου λ πραγματικός αριθμός, περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος Φ. α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ. β. Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(2, 2), Λ(-1, 5) και Μ(1, 3). Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ και Μ. γ. Να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. Ιούνιος 2000 7.3. Δίνεται το σημείο Α(2,1) του καρτεσιανού επιπέδου Οxy α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΟΑ β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ γ. Η ευθεία ε τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Β. Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου ΟΑΒ που διέρχεται από την κορυφή Α δ. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Σεπτέμβριος 2000 7.4. Δίνεται η εξίσωση x2-y2+6x+9=0. α. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει 2 ευθείες ε1 και ε2. β. Να δείξετε οι 2 ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες. γ. Να βρείτε ένα σημείο Μ(κ, λ) με κ>0 και λ>0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα ),3(

να είναι παράλληλο σε μία από τις δύο ευθείες ε1 και ε2 και το διάνυσμα )4,16(

να είναι παράλληλο στην άλλη ευθεία.

Ιούνιος 2001 7.5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(2λ-1,3λ+2), Β(1,2) και Γ(2,3) 2,IR α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία , όταν το λ μεταβάλλεται στο IR β. Αν λ=1 να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Ιούνιος 2003


Β Λυκείου

Διδακτική Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Προηγουμένων Ετών

7



1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας

που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x´x.

2. Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α

(x1, y1) και Β (x2, y2) ορίζεται πάντα ως λ = 12

12 x- xy - y .

3. Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α (x1, y1) και Β (x1, y2) έχει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν.

4. Υπάρχουν δύο ευθείες ε1, ε2 με συντελεστές διεύθυν-σης λ1, λ2 αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει συγχρόνως λ1 = λ2 και λ1 . λ2 = - 1.

5. Οι ευθείες με εξισώσεις y = λ1 x και y = - λx είναι κάθετες για κάθε λ 0.

6. Οι ευθείες 2x + y = 1 και x - 2y = 1 τέμνονται.

7. Οι ευθείες y = 3x + 1 και 3x - y = 4 τέμνονται.

8. Οι ευθείες y = - 3κ x + 1 και y = - λx + 2 είναι παράλληλες. Ισχύει κ = 3λ.

9. Οι ευθείες y = 2x + 1 και 4x - 2y + 5 = 0 είναι παράλληλες.

10.Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων x´x, y΄y έχουν εξισώσεις y = x και y= - x και τέμνονται κάθετα.

11.Οι ευθείες y = 2 και y = 2x είναι παράλληλες. 12. Οι ευθείες 5x + y = 1 και x - 5y - 1 = 0 είναι κάθετες.

13. Τα σημεία Α (- 2, - 1), Β (1, 4) και Γ (- 4, 2) είναι συνευθειακά.

14.Τα σημεία Α (κ, α), Β (λ, α), Γ (μ, α) είναι συνευθειακά. 15.Τα σημεία Α (α + β, γ), Β (β + γ, α), Γ (γ + α, β) είναι συνευθειακά με α β γ α.

16. Η ευθεία που περνά από τα σημεία Α (x1, y1) και Β (x2, y2) έχει

εξίσωση: y - y2 = 21

21

x- xy - y (x - x2) με (x1 x2).

17. Από το σημείο Α (x0, y0) περνά μία μόνο ευθεία με δεδομένο συντελεστή διεύθυνσης λ.


Β Λυκείου Διδακτική Ενότητα:

Ερωτήσεις Κατανόησης 8



18. Η ευθεία που περνά από το σημείο (1, 2) και είναι παράλληλη προς την ευθεία y = - 3x + 4, έχει εξίσωση y - 2 = - 3 (x - 1).

19. Η ευθεία ΑΒ με Α (1, - 4) και Β (- 1, - 5) είναι παράλληλη προς την ευθεία

y = 21 x + 3

20.Δίνονται τα σημεία Α (- 3, - 1), Β (2, 2), Γ (- 3, 4) και Δ (3, - 6). Η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη προς την ευθεία ΓΔ.

21. Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο (1, 1) και σχηματίζει με τον άξονα x´x γωνία ίση με 135 είναι x + y = 0.

22. Η ευθεία βx +

αy = 1 με α, β 0 τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (α, 0)

και Β (0, β).

23. Η ευθεία 2y - 3x + 4 = 0 τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο (34 , 0).

24. Όταν ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας δεν ορίζεται, τότε η εξίσωσή της είναι της μορφής x = x0.

25.Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία x + y = 0 με τον άξονα x´x είναι 45.

26. Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία 3x + 3 y + 1 = 0 με τον άξονα x´x είναι 120.

27. Η εξίσωση Αx + By + Γ = 0 με Α 0 είναι πάντα εξίσωση ευθείας.

28. Αν Α Β, τότε η εξίσωση Αx + By + Γ = 0 παριστάνει πάντοτε ευθεία.

29. Στην ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. Ισχύει Β = 0.

30. Κάθε εξίσωση ευθείας μπορεί να γραφεί στη μορφή Αx + By = 0.

31. Το διάνυσμα n =(- 2, 1) είναι κάθετο στην ευθεία x + y + 2 = 0.

32. Η ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (Β, - Α).

33.Η ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 είναι κάθετη στο n =(Α,- Β).

34.Δύο ευθείες παράλληλες προς τα διανύσματα δ 1 = (Α, Β) και δ 2 = (- Β, Α) αντίστοιχα είναι μεταξύ τους κάθετες.

35. Μια ευθεία κάθετη στο διάνυσμα δ = (Α, Β) με Β 0 έχει εξίσωση της



μορφής: Αx + By + Γ = 0.

36.Η απόσταση d (Μ0, ε) του σημείου Μ0 (x0, y0) από την ευθεία (ε): Ax + By

+ Γ = 0 επαληθεύει την ισότητα Γ By Ax 0 0 = d (Μ0, ε) 22 Β Α .

37.Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με την ορίζουσα det ( , ).

38. Όλα τα διανύσματα με κοινό φορέα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

39. Η ευθεία y = κ2x + 1 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x´x για κάθε κ 0.

40.Η ευθεία x + λ (x - y) - λ = 0 τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας xOy για κάθε τιμή του αριθμού λ.

41. Οι ευθείες ε1: y = 2x + 1, ε2: y = 2x - 1, ε3: x + 2y + 1 = 0 και ε4: x + 2y + 2 = 0 τεμνόμενες ορίζουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

42. Η απόσταση των ευθειών ε1: y = λx + β1 και ε2: y = λx + β2 δίνεται

από τον τύπο: d (ε1, ε2) = 2

21

λ 1

ββ

.

43. Η εξίσωση της ευθείας ε που είναι κάθετη στην ευθεία ε ́: x + 3 = 0 και περνά από το σημείο (3, 2), είναι y = 3.

44.Οι ευθείες 2x - 3y = 11 και 4y + 3x + 9 = 0 έχουν κοινό σημείο το (- 1, 3).

45. Η ευθεία y = λx + 3 έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα x΄x για κάθε λ R.

46.Αν οι ευθείες (μ + 1) x - y = 0 και 3x + y - 7 = 0 είναι παράλληλες, τότε μ=2

47. Οι ευθείες ε1: 7x + 3y + 2 = 0 και ε2: 2x + 5y - 3 = 0 είναι κάθετες.

48. Η εξίσωση xy = x παριστάνει μια μόνο ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου.

49.Η ευθεία –3x+5ψ+2=0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα )3,5(

50. Η ευθεία 2x+3ψ-1=0 είναι κάθετη στο διάνυσμα )3,2(

H ΕΥΘΕΙΑ

Documents

Transcript of H ΕΥΘΕΙΑ