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GUMBEL PARA RIOSEngenheiro Plinio Tomaz

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Gumbel

Dois casos básicos para achar vazão máxima:

A) Quando temos medições: Gumbel, Log-Pearson Tipo III

B) Quando não temos medições: SCS, Clark, etc

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Gumbel

Método de Gumbel para rios quando temos medições

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Média e Desvio padrãoMédia X

É a soma dos dados dividido pelo número deles.

Em Excel: X= MEDIA (A1:A50)Desvio padrão S

É a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças da media dividido por n-1.

Em Excel: S= DESVPAD (A1:A50)

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Distribuição de Gumbel conforme Subramanya

y Vamos fazer uma aplicação prática de Gumbel.   XT= Xm + K . σ Sendo: XT= valor extremo para um determinado período de retorno Xm= valor médio da amostra σ = desvio padrão da amostra K= fator de frequência determinado por: K= (yT – yn) / Sn Sendo: K= fator de frequência yT= - ( Ln (Ln (T/ (T-1)))) T= período de retorno (anos) yn= média reduzida fornecida pela Tabela (151.3) em função do tamanho

da amostra N Nota 1: quando n —> ∞ yn= 0,577 N= tamanho da amostra. Sn= desvio padrão reduzido fornecido pela Tabela (151.4) em função do

tamanho da amostra. Nota 2: quando n —> ∞ Sn= 1,2825  

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Valores da média reduzida yn para o método de Gumbel em função do tamanho da amostra NTabela 151.3

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Valores do desvio padrão reduzido Sn para o método de Gumbel em função do tamanho da amostra N.

Tabela 151.4

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Exemplo: 27 anos de medições. As vazões máximas anuais. Temos a média e desvio padrão.

Calcular vazão máxima para Tr= 100 anos ? 

AnoVazão

observada(m3/s)

1 78262 69003 67714 65995 50606 50507 49038 47989 4652

10 459311 436612 429013 417514 412415 387316 375717 370018 352119 349620 338021 332022 298823 294724 294725 270926 239927 1971

N= 27Media= 4263,52Desvio padrão=

1433,25

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Gumbel N= 27 anos Tabela 151.3 achamos yn=0,5332 Tabela 151.4 achamos Sn= 1,1004 yT= - ( Ln (Ln (T/ (T-1)))) yT= - ( Ln (Ln (100/ (100-1)))) = 4,60 K= (yT – yn) / Sn K= (4,6 – 0,5332) / 1,1004 =3,70

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Gumbel XT= Xm + K . σ XT= 4263,52 + 3,70 x 1433= 9561 Portanto, para Tr=100 anos a vazão

máxima será 9561 m3/s.

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Gumbel Intervalo de confiança para 95% de

probabilidade. Então f (c)= 1,96 O limite de confiança da amostra xT será: x1= xT + f(c) . Se x2= xT – f(c) . Se b= ( 1+1,3K + 1,1K2) 0,5

b= ( 1+1,3x3,7 + 1,1x3,72) 0,5 =4,56 Se = b. σ / N 0,5

Se = 4,56x1433,24 / 270,5 = 1258,89

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Gumbel x1= xT + f(c) . Se x1= 9561 + 1,96 . 1258,89= 13.288

m3/s

x2= xT – f(c) . Se X 2= 9561 – 1,96 . 1258,89 =7.093

m3/s

Portanto, com 95% de probabilidade a vazão de pico estará entre 7093 m3/s a 13.288 m3/s