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Guide de validation

Advance Structure version 2.1

Guide de validation Advance Structure – version 2.1

09 Janvier 2007 2

SOMMAIRE

1. INTRODUCTION............................................................................................................................................13 1.1. Codification des fiches de description des tests........................................................................13 1.2. Exemple codification fiche de description de test ......................................................................15 1.3. Exemple codification fiche de comparaison des résultats ........................................................15 1.4. Marge d’erreur................................................................................................................................15 1.5. Fiche synthétique de la version 2.1..............................................................................................16

2. DESCRIPTION DETAILLÉE DES TESTS.....................................................................................................21 2.1. Test n° 01-0001SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire en porte-à-faux .........................................21

2.1.1. Fiche de description...........................................................................................................21 2.1.2. Présentation.......................................................................................................................21 2.1.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique .............................................22 2.1.4. Fiche de résultats...............................................................................................................22

2.2. Test n° 01-0002SSLLB_MEF: Système de deux barres à trois rotules......................................23 2.2.1. Fiche de description...........................................................................................................23 2.2.2. Présentation.......................................................................................................................23 2.2.3. Déplacement du modèle en C............................................................................................24 2.2.4. Contraintes dans les barres ...............................................................................................24 2.2.5. Modélisation aux éléments finis .........................................................................................24 2.2.6. Forme du diagramme des contraintes ...............................................................................25 2.2.7. Fiche de résultats...............................................................................................................25

2.3. Test n° 01-0003SSLSB_MEF: Plaque circulaire sous charge uniforme ....................................26 2.3.1. Fiche de description...........................................................................................................26 2.3.2. Présentation.......................................................................................................................26 2.3.3. Déplacement vertical du modèle au centre de la plaque ...................................................27 2.3.4. Fiche de résultats...............................................................................................................28

2.4. Test n° 01-0004SDLLB_MEF: Poutre élancée de section variable (encastrée-libre) ................29 2.4.1. Fiche de description...........................................................................................................29 2.4.2. Présentation.......................................................................................................................29 2.4.3. Fréquences propres...........................................................................................................30 2.4.4. Fiche de résultats...............................................................................................................31

2.5. Test n° 01-0005SSLLB_MEF: Poutre sous-tendue......................................................................32 2.5.1. Fiche de description...........................................................................................................32 2.5.2. Présentation.......................................................................................................................32 2.5.3. Effort de traction dans la barre CE.....................................................................................33 2.5.4. Moment fléchissant au point H...........................................................................................34 2.5.5. Déplacement vertical au point D ........................................................................................35 2.5.6. Fiche de résultats...............................................................................................................36

2.6. Test n° 01-0006SDLLB_MEF: Anneau circulaire mince encastré en deux points ....................37 2.6.1. Fiche de description...........................................................................................................37 2.6.2. Présentation.......................................................................................................................37 2.6.3. Fréquences propres...........................................................................................................38 2.6.4. Fiche de résultats...............................................................................................................39

2.7. Test n° 01-0007SDLSB_MEF: Plaque losange mince encastrée sur un bord (α = 0 °) .............40 2.7.1. Fiche de description...........................................................................................................40 2.7.2. Présentation.......................................................................................................................40 2.7.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α .....................................................................41 2.7.4. Fiche de résultats...............................................................................................................41

2.8. Test n° 01-0008SDLSB_MEF: Plaque losange mince encastrée sur un bord (α = 15 °) ...........42


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2.8.1. Fiche de description...........................................................................................................42 2.8.2. Présentation.......................................................................................................................42 2.8.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α .....................................................................43 2.8.4. Fiche de résultats...............................................................................................................43

2.9. Test n° 01-0009SDLSB_MEF: Plaque losange mince encastrée sur un bord (α = 30 °) ...........44 2.9.1. Fiche de description...........................................................................................................44 2.9.2. Présentation.......................................................................................................................44 2.9.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α .....................................................................45 2.9.4. Fiche de résultats...............................................................................................................45

2.10. Test n° 01-0010SDLSB_MEF: Plaque losange mince encastrée sur un bord (α = 45 °) ...........46 2.10.1. Fiche de description...........................................................................................................46 2.10.2. Présentation.......................................................................................................................46 2.10.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α .....................................................................47 2.10.4. Fiche de résultats...............................................................................................................47

2.11. Test n° 01-0011SDLLB_MEF: Mode de vibration d’un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 1)..................................................................................................................................48 2.11.1. Fiche de description...........................................................................................................48 2.11.2. Présentation.......................................................................................................................48 2.11.3. Fréquences propres...........................................................................................................49 2.11.4. Fiche de résultats...............................................................................................................49



2.14. Test n° 01-0014SDLLB_MEF: Anneau circulaire mince suspendu par une patte élastique .........................................................................................................................................54 2.14.1. Fiche de description...........................................................................................................54 2.14.2. Présentation.......................................................................................................................54 2.14.3. Fréquences propres...........................................................................................................55 2.14.4. Fiche de résultats...............................................................................................................56

2.15. Test n° 01-0015SSLLB_MEF: Poutre bi-encastrée avec ressort en son milieu ........................57 2.15.1. Fiche de description...........................................................................................................57 2.15.2. Présentation.......................................................................................................................57 2.15.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique .............................................58 2.15.4. Fiche de résultats...............................................................................................................59

2.16. Test n° 01-0016SDLLB_MEF: Poutre bi-encastrée......................................................................60 2.16.1. Fiche de description...........................................................................................................60 2.16.2. Présentation.......................................................................................................................60 2.16.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique .............................................61 2.16.4. Fréquences propres du modèle dans le domaine linéaire élastique ..................................61 2.16.5. Fiche de résultats...............................................................................................................63

2.17. Test n° 01-0017SDLLB_MEF: Poutre courte sur appuis simples (sur la fibre neutre) .............64 2.17.1. Fiche de description...........................................................................................................64 2.17.2. Présentation.......................................................................................................................64 2.17.3. Fréquences propres...........................................................................................................65 2.17.4. Fiche de résultats...............................................................................................................66


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2.18. Test n° 01-0018SDLLB_MEF: Poutre courte sur appuis simples (excentrés)...........................67 2.18.1. Fiche de description...........................................................................................................67 2.18.2. Présentation.......................................................................................................................67 2.18.3. Fréquences propres...........................................................................................................68 2.18.4. Fiche de résultats...............................................................................................................70

2.19. Test n° 01-0019SDLSB_MEF: Plaque carrée mince encastrée sur un bord..............................71 2.19.1. Fiche de description...........................................................................................................71 2.19.2. Présentation.......................................................................................................................71 2.19.3. Fréquences propres...........................................................................................................72 2.19.4. Fiche de résultats...............................................................................................................73

2.20. Test n° 01-0020SDLSB_MEF: Plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur les bords .........................................................................................................................................74 2.20.1. Fiche de description...........................................................................................................74 2.20.2. Présentation.......................................................................................................................74 2.20.3. Fréquences propres...........................................................................................................75 2.20.4. Fiche de résultats...............................................................................................................76

2.21. Test n° 01-0021SFLLB_MEF: Poutre console en flambement Eulérien.....................................77 2.21.1. Fiche de description...........................................................................................................77 2.21.2. Présentation.......................................................................................................................77 2.21.3. Charge critique au nœud 5 ................................................................................................78 2.21.4. Fiche de résultats...............................................................................................................78

2.22. Test n° 01-0022SDLSB_MEF: Plaque mince annulaire encastrée sur un moyeu (structure à répétitivité circulaire) ................................................................................................79 2.22.1. Fiche de description...........................................................................................................79 2.22.2. Présentation.......................................................................................................................79 2.22.3. Fréquences propres...........................................................................................................80 2.22.4. Fiche de résultats...............................................................................................................80

2.23. Test n° 01-0023SDLLB_MEF: Flexion d’un portique symétrique...............................................81 2.23.1. Fiche de description...........................................................................................................81 2.23.2. Présentation.......................................................................................................................81 2.23.3. Fréquences propres...........................................................................................................82 2.23.4. Fiche de résultats...............................................................................................................83

2.24. Test n° 01-0024SSLLB_MEF: Poutre élancée sur deux appuis encastrés ................................84 2.24.1. Fiche de description...........................................................................................................84 2.24.2. Présentation.......................................................................................................................84 2.24.3. Effort tranchant en G..........................................................................................................86 2.24.4. Moment fléchissant en G ...................................................................................................87 2.24.5. Déplacement vertical en G.................................................................................................88 2.24.6. Réaction horizontale en A..................................................................................................89 2.24.7. Fiche de résultats...............................................................................................................89

2.25. Test n° 01-0025SSLLB_MEF: Poutre élancée sur trois appuis ..................................................90 2.25.1. Fiche de description...........................................................................................................90 2.25.2. Présentation.......................................................................................................................90 2.25.3. Moment fléchissant en B....................................................................................................91 2.25.4. Réaction en B ....................................................................................................................91 2.25.5. Déplacement vertical en B .................................................................................................92 2.25.6. Fiche de résultats...............................................................................................................92

2.26. Test n° 01-0026SSLLB_MEF: Bilame : poutres encastrées reliées par un élément indéformable ..................................................................................................................................93 2.26.1. Fiche de description...........................................................................................................93 2.26.2. Présentation.......................................................................................................................93 2.26.3. Flèche en B et D ................................................................................................................94 2.26.4. Réaction verticale en A et C...............................................................................................95 2.26.5. Moment fléchissant en A et C ............................................................................................95


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2.26.6. Fiche de résultats...............................................................................................................95 2.27. Test n° 01-0027SSLLB_MEF: Arc mince encastré en flexion plane ..........................................96

2.27.1. Fiche de description...........................................................................................................96 2.27.2. Présentation.......................................................................................................................96 2.27.3. Déplacements en B............................................................................................................97 2.27.4. Fiche de résultats...............................................................................................................98

2.28. Test n° 01-0028SSLLB_MEF: Arc mince encastré en flexion hors plan....................................99 2.28.1. Fiche de description...........................................................................................................99 2.28.2. Présentation.......................................................................................................................99 2.28.3. Déplacements en B..........................................................................................................100 2.28.4. Moments en θ = 15°.........................................................................................................100 2.28.5. Fiche de résultats.............................................................................................................100

2.29. Test n° 01-0029SSLLB_MEF: Arc mince bi-articulé en flexion plane ......................................101 2.29.1. Fiche de description.........................................................................................................101 2.29.2. Présentation.....................................................................................................................101 2.29.3. Déplacements en A, B et C..............................................................................................102 2.29.4. Fiche de résultats.............................................................................................................103

2.30. Test n° 01-0030SSLLB_MEF: Portiques à liaisons latérales ....................................................104 2.30.1. Fiche de description.........................................................................................................104 2.30.2. Présentation.....................................................................................................................104 2.30.3. Déplacements en A..........................................................................................................105 2.30.4. Moments en A..................................................................................................................106 2.30.5. Fiche de résultats.............................................................................................................106

2.31. Test n° 01-0031SSLLB_MEF: Treillis de barres articulées sous une charge ponctuelle .....................................................................................................................................107 2.31.1. Fiche de description.........................................................................................................107 2.31.2. Présentation.....................................................................................................................107 2.31.3. Déplacements en C et D..................................................................................................108 2.31.4. Fiche de résultats.............................................................................................................108

2.32. Test n° 01-0032SSLLB_MEF: Poutre sur sol élastique, extrémités libres...............................109 2.32.1. Fiche de description.........................................................................................................109 2.32.2. Présentation.....................................................................................................................109 2.32.3. Moment fléchissant et déplacement en C ........................................................................110 2.32.4. Déplacements en A..........................................................................................................111 2.32.5. Fiche de résultats.............................................................................................................111

2.33. Test n° 01-0033SFLLA_MEF: Pylône EDF..................................................................................112 2.33.1. Fiche de description.........................................................................................................112 2.33.2. Présentation.....................................................................................................................112 2.33.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ...........................................114 2.33.4. Fiche de résultats.............................................................................................................116

2.34. Test n° 01-0034SSLLB_MEF: Poutre sur sol élastique, extrémités articulées .......................117 2.34.1. Fiche de description.........................................................................................................117 2.34.2. Présentation.....................................................................................................................117 2.34.3. Déplacement et réaction d’appui en A .............................................................................118 2.34.4. Déplacement et moment de flexion en D .........................................................................119 2.34.5. Fiche de résultats.............................................................................................................120

2.35. Test n° 01-0035SSLPB_MEF: Plaque en flexion et cisaillement dans son plan .....................121 2.35.1. Fiche de description.........................................................................................................121 2.35.2. Présentation.....................................................................................................................121 2.35.3. Contraintes planes en (x,y) ..............................................................................................121 2.35.4. Fiche de résultats.............................................................................................................122

2.36. Test n° 01-0036SSLSB_MEF: Plaque carrée simplement supportée.......................................123 2.36.1. Fiche de description.........................................................................................................123


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2.36.2. Présentation.....................................................................................................................123 2.36.3. Déplacement vertical en O..............................................................................................124 2.36.4. Fiche de résultats.............................................................................................................124

2.37. Test n° 01-0037SSLSB_MEF: Poutre caisson en torsion .........................................................125 2.37.1. Fiche de description.........................................................................................................125 2.37.2. Présentation.....................................................................................................................125 2.37.3. Déplacement et contrainte en deux points .......................................................................126 2.37.4. Fiche de résultats.............................................................................................................127

2.38. Test n° 01-0038SSLSB_MEF: Cylindre mince sous pression radiale uniforme......................128 2.38.1. Fiche de description.........................................................................................................128 2.38.2. Présentation.....................................................................................................................128 2.38.3. Contraintes en tous points ...............................................................................................129 2.38.4. Déformations du cylindre en tous points ..........................................................................129 2.38.5. Fiche de résultats.............................................................................................................129

2.39. Test n° 01-0039SSLSB_MEF: Plaque carrée en contraintes planes ........................................130 2.39.1. Fiche de description.........................................................................................................130 2.39.2. Présentation.....................................................................................................................130 2.39.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ...........................................131 2.39.4. Fiche de résultats.............................................................................................................132

2.40. Test n° 01-0040SSLSB_MEF: Membrane raidie.........................................................................133 2.40.1. Fiche de description.........................................................................................................133 2.40.2. Présentation.....................................................................................................................133 2.40.3. Résultats du modèle dans le domaine linéaire élastique .................................................134 2.40.4. Fiche de résultats.............................................................................................................135

2.41. Test n° 01-0041SSLLB_MEF: Poutre sur deux appuis avec prise en compte du cisaillement ..................................................................................................................................136 2.41.1. Fiche de description.........................................................................................................136 2.41.2. Présentation.....................................................................................................................136 2.41.3. Déplacement vertical du modèle dans le domaine linéaire élastique...............................137 2.41.4. Fiche de résultats.............................................................................................................137

2.42. Test n° 01-0042SSLSB_MEF: Cylindre mince sous charge axiale uniforme ..........................138 2.42.1. Fiche de description.........................................................................................................138 2.42.2. Présentation.....................................................................................................................138 2.42.3. Contrainte en tous points .................................................................................................139 2.42.4. Déformation du cylindre à l’extrémité libre .......................................................................139 2.42.5. Fiche de résultats.............................................................................................................140

2.43. Test n° 01-0043SSLSB_MEF: Cylindre mince sous pression hydrostatique..........................141 2.43.1. Fiche de description.........................................................................................................141 2.43.2. Présentation.....................................................................................................................141 2.43.3. Contraintes.......................................................................................................................142 2.43.4. Déformation du cylindre ...................................................................................................142 2.43.5. Fiche de résultats.............................................................................................................143

2.44. Test n° 01-0044SSLSB_MEF: Cylindre mince sous son poids propre ....................................144 2.44.1. Fiche de description.........................................................................................................144 2.44.2. Présentation.....................................................................................................................144 2.44.3. Contraintes.......................................................................................................................145 2.44.4. Déformation du cylindre ...................................................................................................145 2.44.5. Fiche de résultats.............................................................................................................145

2.45. Test n° 01-0045SSLSB_MEF: Tore sous pression interne uniforme .......................................146 2.45.1. Fiche de description.........................................................................................................146 2.45.2. Présentation.....................................................................................................................146 2.45.3. Contraintes.......................................................................................................................147 2.45.4. Déformation du cylindre ...................................................................................................147 2.45.5. Fiche de résultats.............................................................................................................147


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2.46. Test n° 01-0046SSLSB_MEF: Calotte sphérique sous pression interne .................................148 2.46.1. Fiche de description.........................................................................................................148 2.46.2. Présentation.....................................................................................................................148 2.46.3. Contraintes.......................................................................................................................149 2.46.4. Déformation du cylindre ...................................................................................................149 2.46.5. Fiche de résultats.............................................................................................................150

2.47. Test n° 01-0047SSLSB_MEF: Calotte sphérique sous son poids propre................................151 2.47.1. Fiche de description.........................................................................................................151 2.47.2. Présentation.....................................................................................................................151 2.47.3. Contraintes.......................................................................................................................152 2.47.4. Déformation radiale du cylindre .......................................................................................152 2.47.5. Fiche de résultats.............................................................................................................153

2.48. Test n° 01-0048SSLSB_MEF: Coque cylindrique pincée..........................................................154 2.48.1. Fiche de description.........................................................................................................154 2.48.2. Présentation.....................................................................................................................154 2.48.3. Déplacement vertical au point A ......................................................................................155 2.48.4. Fiche de résultats.............................................................................................................155

2.49. Test n° 01-0049SSLSB_MEF: Coque sphérique trouée ............................................................156 2.49.1. Fiche de description.........................................................................................................156 2.49.2. Présentation.....................................................................................................................156 2.49.3. Déplacement horizontal au point A ..................................................................................157 2.49.4. Fiche de résultats.............................................................................................................157

2.50. Test n° 01-0050SSLSB_MEF: Dôme sphérique sous pression extérieure uniforme..............158 2.50.1. Fiche de description.........................................................................................................158 2.50.2. Présentation.....................................................................................................................158 2.50.3. Déplacement horizontal et contrainte méridienne extérieure ..........................................159 2.50.4. Fiche de résultats.............................................................................................................160

2.51. Test n° 01-0051SSLSB_MEF: Plaque carrée sur appuis simples avec chargement uniforme........................................................................................................................................161 2.51.1. Fiche de description.........................................................................................................161 2.51.2. Présentation.....................................................................................................................161 2.51.3. Déplacement vertical et moments de flexion au centre de la plaque ...............................162 2.51.4. Fiche de résultats.............................................................................................................162

2.52. Test n° 01-0052SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme ..................................................................................................................163 2.52.1. Fiche de description.........................................................................................................163 2.52.2. Présentation.....................................................................................................................163 2.52.3. Déplacement vertical et moments de flexion au centre de la plaque ...............................164 2.52.4. Fiche de résultats.............................................................................................................164

2.53. Test n° 01-0053SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme ..................................................................................................................165 2.53.1. Fiche de description.........................................................................................................165 2.53.2. Présentation.....................................................................................................................165 2.53.3. Déplacement vertical et moments de flexion au centre de la plaque ...............................166 2.53.4. Fiche de résultats.............................................................................................................166

2.54. Test n° 01-0054SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec effort et moments ponctuels .....................................................................................................................167 2.54.1. Fiche de description.........................................................................................................167 2.54.2. Présentation.....................................................................................................................167 2.54.3. Déplacement vertical en C...............................................................................................168 2.54.4. Fiche de résultats.............................................................................................................168

2.55. Test n° 01-0055SSLSB_MEF: Plaque en cisaillement perpendiculaire à la surface moyenne .......................................................................................................................................169 2.55.1. Fiche de description.........................................................................................................169


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2.55.2. Présentation.....................................................................................................................169 2.55.3. Déplacement vertical en C...............................................................................................170 2.55.4. Fiche de résultats.............................................................................................................170

2.56. Test n° 01-0056SSLLB_MEF: Système triangulé de barres articulées....................................171 2.56.1. Fiche de description.........................................................................................................171 2.56.2. Présentation.....................................................................................................................171 2.56.3. Effort de traction dans la barre BD...................................................................................172 2.56.4. Déplacement vertical en D...............................................................................................172 2.56.5. Fiche de résultats.............................................................................................................172

2.57. Test n° 01-0057SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme..........................................................................................173 2.57.1. Fiche de description.........................................................................................................173 2.57.2. Présentation.....................................................................................................................173 2.57.3. Déplacement vertical en C...............................................................................................174 2.57.4. Fiche de résultats.............................................................................................................174

2.58. Test n° 01-0058SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01333 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme..........................................................................175 2.58.1. Fiche de description.........................................................................................................175 2.58.2. Présentation.....................................................................................................................175 2.58.3. Déplacement vertical en C...............................................................................................176 2.58.4. Fiche de résultats.............................................................................................................176




2.62. Test n° 01-0062SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle .............................................................................................183 2.62.1. Fiche de description.........................................................................................................183 2.62.2. Présentation.....................................................................................................................183 2.62.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque) ....................................................184 2.62.4. Fiche de résultats.............................................................................................................184

2.63. Test n° 01-0063SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01333 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle .............................................................................185 2.63.1. Fiche de description.........................................................................................................185 2.63.2. Présentation.....................................................................................................................185 2.63.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque) ....................................................186 2.63.4. Fiche de résultats.............................................................................................................186

2.64. Test n° 01-0064SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.02 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle .............................................................................................187 2.64.1. Fiche de description.........................................................................................................187 2.64.2. Présentation.....................................................................................................................187


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2.64.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque) ....................................................188 2.64.4. Fiche de résultats.............................................................................................................188



2.67. Test n° 01-0067SDLLB_MEF: Mode de vibration d’un coude de tuyauterie mince dans l’espace (cas 1) ...................................................................................................................193 2.67.1. Fiche de description.........................................................................................................193 2.67.2. Présentation.....................................................................................................................193 2.67.3. Fréquences propres.........................................................................................................194 2.67.4. Fiche de résultats.............................................................................................................194



2.70. Test n° 01-0077SSLPB_MEF: Actions aux appuis et moments sur un portique 2D..............199 2.70.1. Fiche de description.........................................................................................................199 2.70.2. Présentation.....................................................................................................................199 2.70.3. Calcul R.D.M des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D......................200 2.70.4. Fiche de résultats.............................................................................................................200

2.71. Test n° 01-0078SSLPB_MEF: Actions aux appuis et moments sur un portique 2D...............201 2.71.1. Fiche de description.........................................................................................................201 2.71.2. Présentation.....................................................................................................................201 2.71.3. Calcul R.D.M des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D......................202 2.71.4. Fiche de résultats.............................................................................................................202

2.72. Test n° 01-0084SSLLB_MEF: Poutre courte sur deux appuis articules ..................................203 2.72.1. Fiche de description.........................................................................................................203 2.72.2. Présentation.....................................................................................................................203 2.72.3. Résultats de référence.....................................................................................................203 2.72.4. Fiche de résultats.............................................................................................................203

2.73. Test n° 01-0085SDLLB_MEF: Poutre élancée de section rectangulaire variable encastrée-libre (β=5)....................................................................................................................204 2.73.1. Fiche de description.........................................................................................................204 2.73.2. Présentation.....................................................................................................................204 2.73.3. Résultats de référence.....................................................................................................205 2.73.4. Fiche de résultats.............................................................................................................208


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2.74. Test n° 01-0086SDLLB_MEF: Poutre élancée de section rectangulaire variable encastrée-encastrée ....................................................................................................................209 2.74.1. Fiche de description.........................................................................................................209 2.74.2. Présentation.....................................................................................................................209 2.74.3. Résultats de référence.....................................................................................................209 2.74.4. Fiche de résultats.............................................................................................................210

2.75. Test n° 01-0089SSLLB_MEF: Portique plan articule en pied ...................................................211 2.75.1. Fiche de description.........................................................................................................211 2.75.2. Présentation.....................................................................................................................211 2.75.3. Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence......................................212 2.75.4. Valeurs de référence........................................................................................................212 2.75.5. Fiche de résultats.............................................................................................................212

2.76. Test n° 01-0090HFLSB_MEF: Poutre sur appuis simples en flambement Eulérien avec charge thermique................................................................................................................213 2.76.1. Fiche de description.........................................................................................................213 2.76.2. Présentation.....................................................................................................................213 2.76.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ...........................................214 2.76.4. Fiche de résultats.............................................................................................................215

2.77. Test n° 01-0091HFLLB_MEF: Poutre bi-encastrée en flambement Eulérien avec charge thermique.........................................................................................................................216 2.77.1. Fiche de description.........................................................................................................216 2.77.2. Présentation.....................................................................................................................216 2.77.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ...........................................217 2.77.4. Fiche de résultats.............................................................................................................217

2.78. Test n° 01-0092HFLLB_MEF: Poutre console en flambement Eulérien avec charge thermique......................................................................................................................................218 2.78.1. Fiche de description.........................................................................................................218 2.78.2. Présentation.....................................................................................................................218 2.78.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ...........................................218 2.78.4. Fiche de résultats.............................................................................................................219

2.79. Test n° 01-0094SSLLB_MEF: Structure spatiale à barres avec appui élastique ....................220 2.79.1. Fiche de description.........................................................................................................220 2.79.2. Présentation.....................................................................................................................220 2.79.3. Résultats ..........................................................................................................................221 2.79.4. Fiche de résultats.............................................................................................................225

2.80. Test n° 01-0095SDLLB_MEF: Poutre élancée encastrée – libre avec masse centrée............226 2.80.1. Fiche de description.........................................................................................................226 2.80.2. Données du test...............................................................................................................226 2.80.3. Résultats de référence.....................................................................................................227 2.80.4. Fiche de résultats.............................................................................................................230

2.81. Test n° 01-0096SDLLB_MEF: Poutre élancée encastrée – libre avec masse ou inertie excentrée ......................................................................................................................................231 2.81.1. Fiche de description.........................................................................................................231 2.81.2. Données du problème......................................................................................................231 2.81.3. Fréquences de référence.................................................................................................232 2.81.4. Fiche de résultats.............................................................................................................233

2.82. Test n° 01-0097SDLLB_MEF: Double croix a extrémités articulées ........................................234 2.82.1. Fiche de description.........................................................................................................234 2.82.2. Données du problème......................................................................................................234 2.82.3. Fréquences de référence.................................................................................................235 2.82.4. Fiche de résultats.............................................................................................................236

2.83. Test n° 01-0098SDLLB_MEF: Poutre sur appuis simples en vibration libre...........................237 2.83.1. Fiche de description.........................................................................................................237 2.83.2. Données du problème......................................................................................................237


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2.83.3. Fréquences de référence.................................................................................................238 2.83.4. Fiche de résultats.............................................................................................................239

2.84. Test n° 01-0099HSLSB_MEF: Membrane avec point chaud.....................................................240 2.84.1. Fiche de description.........................................................................................................240 2.84.2. Données du problème......................................................................................................240 2.84.3. Contrainte σyy au point A : ...............................................................................................242 2.84.4. Fiche de résultats.............................................................................................................242

2.85. Test n° 01-0100SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k = 0).....................................243 2.85.1. Fiche de description.........................................................................................................243 2.85.2. Solutions de références ...................................................................................................244 2.85.3. Fiche de résultats.............................................................................................................245

2.86. Test n° 01-0101SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k → ∞)...................................246 2.86.1. Fiche de description.........................................................................................................246 2.86.2. Présentation.....................................................................................................................246 2.86.3. Solutions de références ...................................................................................................247 2.86.4. Fiche de résultats.............................................................................................................248

2.87. Test n° 01-0102SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k = -10000 N/m) ....................249 2.87.1. Fiche de description.........................................................................................................249 2.87.2. Présentation.....................................................................................................................249 2.87.3. Solutions de références ...................................................................................................250 2.87.4. Fiche de résultats.............................................................................................................251

2.88. Test n° 01-0103SSLLB_MEF: Système de barres réticulées (linéaire) ....................................252 2.88.1. Fiche de description.........................................................................................................252 2.88.2. Présentation.....................................................................................................................252 2.88.3. Solutions de références ...................................................................................................253 2.88.4. Fiche de résultats.............................................................................................................254

2.89. Test n° 01-0104SSNLB_MEF: Système de barres réticulées (non linéaire) ............................255 2.89.1. Fiche de description.........................................................................................................255 2.89.2. Présentation.....................................................................................................................255 2.89.3. Solutions de références ...................................................................................................256 2.89.4. Fiche de résultats.............................................................................................................257

2.90. Test n° 02-0112SMLLB_P92: Étude d’un mât soumis à un séisme .........................................258 2.90.1. Fiche de description.........................................................................................................258 2.90.2. Présentation du modèle ...................................................................................................258 2.90.3. Modèle RDM....................................................................................................................258 2.90.4. Hypothèses sismiques suivant le règlement PS92 ..........................................................259 2.90.5. Analyse Modale ...............................................................................................................259 2.90.6. Etude spectrale ................................................................................................................260 2.90.7. Fiche de résultats.............................................................................................................262

2.91. Test n° 02-0158SSLLB_B91: Filaire en flexion composée avec traction- sans aciers comprimés - Section partiellement tendue................................................................................263 2.91.1. Fiche de description.........................................................................................................263 2.91.2. Présentation.....................................................................................................................263 2.91.3. Calcul des armatures .......................................................................................................264 2.91.4. Fiche de résultats.............................................................................................................266

2.92. Test n° 02-0162SSLLB_B91: Filaire en flexion simple- sans aciers comprimés ....................267 2.92.1. Fiche de description.........................................................................................................267 2.92.2. Calcul des armatures .......................................................................................................268 2.92.3. Fiche de résultats.............................................................................................................269

2.93. Test n° 02-0162SSLLB_B91: Filaire en flexion simple- sans aciers comprimés ....................270 2.93.1. Fiche de description.........................................................................................................270 2.93.2. Calcul des armatures .......................................................................................................271 2.93.3. Fiche de résultats.............................................................................................................272


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2.94. Test n° 03-0206SSLLG_CM66: Optimisation d'une charpente métallique selon les CM66. ............................................................................................................................................273 2.94.1. Données...........................................................................................................................273 2.94.2. Résultats Effel Structure ..................................................................................................275 2.94.3. Résultats Effel Expertise CM66 .......................................................................................276 2.94.4. Comparaison Effel Structure \ Advance Struscture..........................................................281

2.95. Test n° 03-0207SSLLG_CM66: Dimensionnement d'un portique 2D .......................................283 2.95.1. Données...........................................................................................................................283 2.95.2. Résultats Effel Structure ..................................................................................................284 2.95.3. Résultats Effel Expert CM................................................................................................285 2.95.4. Comparaison Effel Structure \ Advance Structure............................................................288

2.96. Test n° 03-0208SSLLG_BAEL91: Calcul d'un plancher BA avec une trémie ..........................290 2.96.1. Données...........................................................................................................................290 2.96.2. Résultats Effel Structure ..................................................................................................293 2.96.3. Résultats Effel Expert BA.................................................................................................295 2.96.4. Comparaison Effel Structure \ Advance Structure............................................................297


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1. INTRODUCTION

Avant sa sortie officielle, chaque version des logiciels de GRAITEC, et notamment Advance Structure, subit une série de tests de validation, issues de la base de "tests standard".

Cette validation a lieu en parallèle et en complément de la période de Bêta-Test en vue de l'attribution du statut "version opérationnelle".

A l'heure de rédaction de ce document, cette base de test automatique comporte 96 tests qui sont codifiés et archivés de façon précise.

Chaque test fait l'objet de plusieurs documents de référence :

■ Une fiche de description du test.

■ Une fiche de résultats

■ Le fichier informatique correspondant au modèle testé.

La codification des fiches de description des tests est détaillée ci-après.

1.1. Codification des fiches de description des tests

La codification des fiches de tests est résumé dans le tableau suivant:

Année Numéro Domaine Type Type de Type de Comparaison Normes

du test d'application d'analyse comportement modèle des résultats

O1 OOO1 Mécanique Statique Linéaire Linéique A une référence Eléments

O2 OOO2 des structures S L L théorique finis

. OOO3 S Dynamique B MEF

. . D Non linéaire Surfacique A un maillage Eurocode X

. . Flambement N S normalisé ECX

. . Thermomécanique eulérien N BAEL

H F Plan (2D) A un autre B91

Spectrale P logiciel CM66

M A C66

Transitoire Discret En aveugle CB71

Thermique T D G C71

T Stationnaire . P .

■ La première colonne du tableau correspond aux deux derniers chiffres de l’année de création

du test.

■ La deuxième colonne du tableau indique le numéro du test sur 4 digits. Le premier test porte le numéro 0001. (9999 tests peuvent donc être créés chaque année.)

■ Les colonnes 3 à 6 du tableau sont issues du Guide de Validation des Progiciels de Calcul de Structure de l’AFNOR. Elles concernent l’ensemble des progiciels GRAITEC en fonction de leurs domaines d’application respectifs.

■ Concernant le choix du type d’analyse, si pour un même test deux types d’analyse sont utilisés, on retient pour la codification celle de degré le plus élevé, c’est à dire celle de niveau le plus bas dans la colonne correspondante; par exemple : un test calculé en statique puis en dynamique a la dénomination Dynamique (D) comme type d’analyse.

■ Concernant le choix du type de modèle, la dénomination surfacique comprend les modèles constitués uniquement d’éléments surfaciques ainsi que les modèles constitués d’éléments surfaciques et linéiques.


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■ La colonne comparaison des résultats permet de connaître la référence prise en compte pour valider le résultat obtenu avec les logiciels GRAITEC.

■ La dernière colonne permet d’identifier la norme utilisée pour le test :

Métier Normes Code utilisé

Climatique NV65-84 N65

DIN-1055 D55 NBE-EA-95-EHE NBE NBN-B03 NBN RSA-98 R98 STAS 10101/21-92/20-90 S01

Sismique NCSE94 N94

P100-92 P00 PS69 P69 PS92 P92 RPA88 R88 RPA99 R99 RSA-98 S98 SI413 S13

Béton armé ACI ACI

BAEL B91 DIN DIN EC2 EC2 EHE EHE STAS 10107/0-90 S07

Construction métallique CM66 C66

EA-95 E95 EC3 EC3

Construction bois CB71 C71

Eléments finis MEF MEF

■ La codification des fiches de description de tests est composée de ces 8 colonnes. Pour les

fiches de comparaison de résultats, le numéro de la version utilisée est ajouté à la suite (sans point).


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1.2. Exemple codification fiche de description de test

1.3. Exemple codification fiche de comparaison des résultats

1.4. Marge d’erreur

La marge d’erreur acceptable pour la validation d’un test est :

Statique 2%

Dynamique 5% Flambement eulérien 5%

Spectrale 5% Stationnaire 5% Transitoire 5% Climatique 5% Sismique 5%

Béton armé 10% Construction métallique 10%

Construction bois 10%

01-0001SSLLA_MEF-092N

92N : Version utilisée pour le calcul du test

01-0001SSLLA_MEF 01 : Date

SSLL : Analyse

A : Comparaison des résultats

MEF : Norme utilisée

0001 : Numéro du test

01-0001SSLLA_MEF-101M

101M: Version utilisée pour le calcul du test

Guide de validation AD – version 2.1 beta

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1.5. Fiche synthétique de la version 2.1

Logiciel Solveur Code Titre Valeur référence

Valeur calculée ECART

Advance Structure 2.1 CM2 01-0001SSLSB_MEF Plaque rectangulaire en porte-à-faux -9.71 -9.59 -1.24%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0002SSLLB_MEF Système de deux barres à trois rotules -0.30 -0.30 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0003SSLSB_MEF Plaque circulaire sous charge uniforme -6.50 -6.48 -0.31%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0004SDLLB_MEF Poutre élancée de section variable (encastrée-libre) 1112.28 1075.70 -3.29%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0005SSLLB_MEF Poutre sous-tendue 584584 584584 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0006SDLLB_MEF Anneau circulaire mince encastré en deux points 2801.5 2777.43 -0.86%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0007SDLSB_MEF Plaque losange mince encastrée sur un bord (a = 0°) 8.7266 8.67 -0.65%



Advance Structure 2.1 CM2 01-0010SDLSB_MEF Plaque losange mince encastrée sur un bord (a = 45°) 26.3897 28.04 6.25%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0011SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 1) 119 120.09 0.92%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0012SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 2) 180 184.679 2.60%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0013SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 3) 25.300 24.961 -1.34%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0014SDLLB_MEF Anneau circulaire mince suspendu par une patte élastique 682.00 683.9 0.28%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0015SSLLB_MEF Poutre bi-encastrée avec ressort en son milieu -0.11905 -0.119 -0.04%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0016SDLLB_MEF Poutre bi-encastrée 26.228 25.76 -1.78%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0017SDLLB_MEF Poutre courte sur appuis simples (sur la fibre neutre) 1498.295 1537.156 2.59%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0018SDLLB_MEF Poutre courte sur appuis simples (excentrés) 902.2 943.17 4.54%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0019SDLSB_MEF Plaque carrée mince encastrée sur un bord 136.0471 134.611 -1.06%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0020SDLSB_MEF Plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur les bords 197.32 195.486 -0.93%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0021SFLLB_MEF Poutre console en flambement eulérien -98696 -98699.278 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0022SDLSB_MEF Plaque mince annulaire encastrée sur un moyeu 609.7 593.83 -2.60%

Guide de validation AS – version 2.1 beta

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Advance Structure 2.1 CM2 01-0023SDLLB_MEF Flexion d'un portique symétrique 8.8 8.78 -0.23%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0024SSLLB_MEF Poutre élancée sur deux appuis encastrés -540 -540 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0025SSLLB_MEF Poutre élancée sur trois appuis 63000 63000 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0026SSLLB_MEF Bilame: poutres encastrées reliées par un élément indéformable -0.125 -0.125 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0027SSLLB_MEF Arc mince encastré en flexion plane 0.3791 0.37891 -0.05%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0028SSLLB_MEF Arc mince encastré en flexion hors plan -96.5925 -98.3377 1.81%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0029SSLLB_MEF Arc mince bi-articulé en flexion plane 5.3912 5.386 -0.10%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0030SSLLB_MEF Portique à liaisons latérales 113.559 113.7044 0.13%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0031SSLLB_MEF Treillis de barres articulées sous une charge ponctuelle 0.08839 0.08817 -0.25%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0032SSLLB_MEF Poutre sur sol élastique, extrémités libres 5759 5772.05 0.23%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0033SFLLA_MEF Pylône EDF 2.77 2.830 2.17%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0034SSLLB_MEF Poutre sur sol élastique, extrémités articulées 11674 11644.36 -0.25%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0035SSLPB_MEF Plaque en flexion et cisaillement dans son plan -80 -79.46 -0.68%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0036SSLSB_MEF Plaque carrée simplement supportée -0.158 -0.16497 4.41%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0037SSLSB_MEF Poutre caisson en torsion -0.11 -0.10 -9.09%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0038SSLSB_MEF Cylindre mince sous pression radiale uniforme -2.38 x 10-6 -2.39 x 10-6 -0.42%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0039SSLSB_MEF Plaque carrée en contraintes planes -14.66 -14.61 -0.34%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0040SSLSB_MEF Membrane raidie 11.55 11.57 0.17%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0041SSLLB_MEF Poutre sur deux appuis avec prise en compte du cisaillement -1.017 -1.017 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0042SSLSB_MEF Cylindre mince sous charge axiale uniforme -7.14 x 10-7 -7.109 x 10-7 -0.43%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0043SSLSB_MEF Cylindre mince sous pression hydrostatique -2.86 x 10-6 -2.854 x 10-6 -0.21%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0044SSLSB_MEF Cylindre mince sous son poids propre 3.14 x 105 3.11 x 105 -0.95%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0045SSLSB_MEF Tore sous pression interne uniforme 7.5 x 105 7.43 x 105 -0.94%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0046SSLSB_MEF Calotte sphérique sous pression interne 8.33 x 10-7 8.34 x 10-7 0.12%


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Advance Structure 2.1 CM2 01-0047SSLSB_MEF Calotte sphérique sous son poids propre 7.85 x 104 7.83 x 104 -0.25%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0048SSLSB_MEF Coque cylindrique pincée -113.9 x 10-3 -113.36 x 10-3 -0.47%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0049SSLSB_MEF Coque sphérique trouée 94.0 95.149 1.22%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0050SSLSB_MEF Dôme sphérique sous pression extérieure uniforme -74 -72.25 -2.36%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0051SSLSB_MEF Plaque carrée sur appuis simples avec chargement uniforme 0.0479 0.0471 -1.67%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0052SSLSB_MEF Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme 1.106 x 10-2 1.102 x 10-2 -0.36%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0053SSLSB_MEF Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme 1.416 x 10-2 1.401 x 10-2 -1.06%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0054SSLSB_MEF Plaque rectangulaire sur appuis simples avec efforts et moments ponctuels -12.480 -12.667 1.50%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0055SSLSB_MEF Plaque en cisaillement perpendiculaire à la surface moyenne 35.37 x 10-3 35.67 x 10-3 0.85%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0056SSLLB_MEF Système triangulé de barres articulées 43633 43688 0.13%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0057SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme 0.66390 x 10-2 0.65879 x 10-2 -0.77%





Advance Structure 2.1 CM2 01-0062SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle 0.29579 0.29215 -1.23%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0063SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.01333 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle 0.11837 0.12458 5.25%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0064SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.02 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle 0.037454 0.036980 -1.27%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0065SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.05 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle 0.25946 x 10-2 0.25723 x 10-2 -0.86%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0066SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.1 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle 0.42995 x 10-2 0.41209 x 10-2 -4.15%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0067SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans l'espace (cas 1) 125 120.09 -3.93%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0068SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans l'espace (cas 2) 100 94.62 -5.38%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0069SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans l'espace (cas 3) 24.800 24.43 -1.49%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0077SSLPB_MEF Actions aux appuis et moments sur un portique 2D (Arbalétriers) 1671 1673.35 0.14%


09 Janvier 2007 19

Advance Structure 2.1 CM2 01-0078SSLPB_MEF Actions aux appuis et moments sur un portique 2D (Poteaux) -302.7 -302.06 -0.21%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0084SSLLB_MEF Poutre Courte sur Deux Appuis Articulés -1.25926 -1.25926 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0085SDLLB_MEF Poutre Elancée Section Rectangulaire Variable Encastrée-libre (beta = 5) 56.55 58.49 3.43%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0086SDLLB_MEF Poutre Elancée Section Rectangulaire Variable Encastrée-encastrée 143.303 145.88 1.80%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0089SSLLB_MEF Portique Plan Articulé en pied -0.03072 -0.03072 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0090HFLSB-MEF Poutre sur appuis simples en flambement Eulérien avec charge thermique -40774 -41051.40 0.68%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0091HFLLB_MEF Poutre bi-encastrée en flambement Eulérien avec charge thermique -117.724 -118.08 0.30%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0092HFLLB _MEF Poutre console en flambement Eulérien avec charge thermique -0.5 -0.5 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0094SSLLB_MEF Structure spatiale à barres avec appui élastique -1436 -1436,55 -3.83%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0095SDLLB_MEF Poutre Elancée Encastrée – Libre avec Masse Centrée 16.07 16.06 -0.06%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0096SDLLB_MEF Poutre Elancée Encastrée – Libre avec Masse ou Inertie Excentrée 1.642 1.65 0.49%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0097SDLLB_MEF Double Croix à Extrémités Articulées 57.39 56.06 -2.32%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0098SDLLB_MEF Poutre sur appuis simples en vibration libre 42.649 43.11 1.08%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0099HSLSB_MEF Membrane avec point chaud 50 50.87 1.74%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0100SSNLB_MEF Poutre sur 3 appuis avec butée (k = 0) -0.000153 -0.000153 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0101SSNLB_MEF Poutre sur 3 appuis avec butée (k tend vers l'infini) -93.75 -93.649 -0.11%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0102SSNLB_MEF Poutre sur 3 appuis avec butée (k = -10000 N/m) -58.15 -58.117 -0.06%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0103SSLLB_MEF Système de barres réticulées (linéaire) 0.000649 0.000649 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 01-0104SSNLB_MEF Système de barres réticulées (non linéaire) 0.001195 0.001190 -0.42%

Advance Structure 2.1 CM2 02-0112SMLLB_P92 Etude d'un mât soumis à un séisme 2.085 2.08 -0.24%

Advance Structure 2.1 CM2 03-0206SSLLG_CM66 Optimisation d'une charpente métallique selon les CM66 339.74 346.14 1.88%

Advance Structure 2.1 CM2 03-0207SSLLG_CM66 Dimensionnement d'un portique 2D 230.34 230.34 0.00%

Advance Structure 2.1 CM2 03-0208SSLLG_BAEL91 Calcul d'un plancher BA avec une trémie 2.25 2.25 0.00%


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Test 01-0001SSLSB_MEF Archive : 01-0001SSLSB_MEF.do4

09 Janvier 2007 21

2. DESCRIPTION DETAILLÉE DES TESTS

2.1. Test n° 01-0001SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire en porte-à-faux

2.1.1. Fiche de description

■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLS 01/89.

■ Type d’analyse : statique linéaire. ■ Type d’élément : surfacique.

2.1.2. Présentation

La plaque d’une longueur de 1 m est encastrée à l’une de ses extrémités et supporte une charge surfacique p.

Unité

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : e = 0.005 m, ■ Longueur : l = 1 m, ■ Largeur : b = 0.1 m.

Propriétés des matériaux

■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


09 Janvier 2007 22

Conditions aux limites

■ Externes : Encastrement à l’extrémité x = 0, ■ Internes : Aucune. Chargements

■ Externe : Charge uniforme p = -1700 Pa sur la face supérieure, ■ Interne : Aucun.

2.1.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique

Solution de référence

Le déplacement de référence est calculé pour l’extrémité libre située en x = 1m.

u = bl4p8EIz =

0.1 x 14 x 1700

8 x 2.1 x 1011 x 0.1 x 0.0053

12 = -9.71 cm

Modélisation aux éléments finis

■ Elément surfacique : plaque, maillage imposé, ■ 1100 nœuds, ■ 990 quadrangles surfaciques.

Forme de la déformée

2.1.4. Fiche de résultats

Comparaison des résultats : déplacement vertical

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 Extrémité libre cm -9.71 -9.59 -1.24%

Test 01-0002SSLLB_MEF Archive : 01-0002SSLLB_MEF.do4

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2.2. Test n° 01-0002SSLLB_MEF: Système de deux barres à trois rotules


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLL 09/89 ;

■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : filaire.


Une charge ponctuelle F est suspendue à 2 barres rotulées entre elles et articulées à leur extrémité.

Effel2001 - Structure - 10.1 Système de deux barres à trois rotules Ech=1/33

01-0002SSLLB_MEF

4.500 m

30° 30°

4.500 m

AA BB

CC

FF

X

Y

Z X

Y

Z

Unités

S.I.

Géométrie

■ Angle des barres par rapport à l’horizontale : θ = 30°, ■ Longueur des barres : l = 4.5 m, ■ Section des barres : A = 3 x 10-4 m2.


Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa.


■ Externes : Articulation en A et B, ■ Internes : Rotule en C.


09 Janvier 2007 24

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle en C : F = -21 x 103 N. ■ Interne : Aucun.

2.2.3. Déplacement du modèle en C


uc = -3 x 10-3 m


■ Elément filaire : poutre, maillage imposé, ■ 21 nœuds, ■ 20 filaires.

Forme du déplacement

2.2.4. Contraintes dans les barres Solutions de référence

σbarre AC = 70 Mpa σbarre BC = 70 Mpa

2.2.5. Modélisation aux éléments finis

■ Elément filaire : poutre, maillage imposé, ■ 21 nœuds, ■ 20 filaires.


09 Janvier 2007 25

2.2.6. Forme du diagramme des contraintes




CM2 En C cm -0.30 -0.30 0.00%

Comparaison des résultats : contrainte de traction


CM2 barre AC Mpa 70 70 0.00% CM2 Barre BC Mpa 70 70 0.00%


09 Janvier 2007 26

2.3. Test n° 01-0003SSLSB_MEF: Plaque circulaire sous charge uniforme


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLS 03/89 ;

■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.


Une plaque circulaire d’épaisseur 5 mm et de 2 m de diamètre est soumise à un chargement uniforme perpendiculaire au plan de la plaque.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de la plaque circulaire : r = 1m, ■ Epaisseur de la plaque circulaire : h = 0.005 m.




09 Janvier 2007 27


■ Externes : Plaque encastrée au bord (en tout point de son périmètre), Pour la modélisation, on ne considère que le quart de la plaque et on impose des conditions de symétrie à certains nœuds (voir modèle page suivante ; condition de symétrie plan yz : nœuds bloqué en translation suivant x et en rotation suivant y et z ; condition de symétrie xz : nœuds bloqué en translation suivant y et en rotation suivant x et z),

■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge uniforme perpendiculaire à la plaque : pZ = -1000 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.3.3. Déplacement vertical du modèle au centre de la plaque


Formulaire des plaques circulaires :

u = pr4

64D = -1000 x 14

64 x 2404 = - 6.50 x 10-3 m

avec D le coefficient de raideur de la plaque : D = Eh3

12(1-ν2) = 2.1 x 1011 x 0.0053

12(1-0.32)

D = 2404


■ Elément surfacique : plaque, maillage imposé, ■ 70 nœuds, ■ 58 surfaciques.


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Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Centre de la plaque mm -6.50 -6.48 -0.31%

Test 01-0004SDLLB_MEF Archive : 01-0004SDLLB_MEF.do4

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2.4. Test n° 01-0004SDLLB_MEF: Poutre élancée de section variable (encastrée-libre)


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLL 09/89 ;

■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : filaire.


Recherche des premières fréquences propres pour une poutre de section variable soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur de la poutre : l = 1 m,

■ Section droite initiale (en A) : □ Hauteur : h1 = 0.04 m, □ Largeur : b1 = 0.04 m, □ Section : A1 = 1.6 x 10-3 m2, □ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz1 = 2.1333 x 10-7 m4,


09 Janvier 2007 30

■ Section droite finale (en B) : □ Hauteur : h2 = 0.01 m, □ Largeur : b2 = 0.01 m, □ Section : A2 = 10-4 m2, □ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz2 = 8.3333 x 10-10 m4.


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa, ■ Masse volumique : 7800 Kg/m3.


■ Externe : Encastrement en A, ■ Interne : Aucune.

Chargement

■ Externes : Aucun, ■ Internes : Aucun.

2.4.3. Fréquences propres

Solutions de référence

Calcul exact par intégration numérique de l’équation différentielle de la flexion des poutres (théories d’Euler-Bernouilli) :

∂2

∂x2 (EIz ∂2v∂x2 ) = -ρA

∂2v∂t2 où Iz et A varient avec l’abscisse.

On obtient : fi = 12π λi

h2l2

E12ρ

λ1 λ2 λ3 λ4 λ5

23.289 73.9 165.23 299.7 478.1


■ Elément filaire : poutre variable, maillage imposé, ■ 31 nœuds, ■ 30 filaires.


09 Janvier 2007 31

Forme des modes propres


Comparaison des résultats : fréquences propres

Solveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Mode 1 Hz 54.18 54.01 -0.31% CM2 Mode 2 Hz 171.94 170.58 -0.79% CM2 Mode 3 Hz 384.4 378.87 -1.44% CM2 Mode 4 Hz 697.24 681.31 -2.28% CM2 Mode 5 Hz 1112.28 1075.70 -3.29%


09 Janvier 2007 32

2.5. Test n° 01-0005SSLLB_MEF: Poutre sous-tendue


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLL 13/89;

■ Type d’analyse : statique, thermoélastique (problème plan); ■ Type d’élément : filaire.


La poutre renforcée par un système de barres articulées est soumise à une charge linéaire uniforme p.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : □ AD = FB = a = 2 m, □ DF = CE = b = 4 m, □ CD = EF = c = 0.6 m, □ AC = EB = d = 2.088 m, □ Longueur totale : L = 8 m,

■ Poutres AD, DF, FB :

□ Section : A = 0.01516 m2, □ Section réduite : Ar = A / 2.5, □ Moment d’inertie : I = 2.174 x 10-4 m4,


09 Janvier 2007 33

■ Barre CE : □ Section : A1 = 4.5 x 10-3 m2,

■ Barres AC, EB : □ Section : A2 = 4.5 x 10-3 m2,

■ Barres CD, EF: □ Section : A3 = 3.48 x 10-3 m2.


■ Matériau élastique linéaire isotrope, ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Module de cisaillement : G = 0.4x E.


■ Externes : Articulation en A, Appui à rouleau en B (translation verticale bloquée), ■ Internes : Rotules aux extrémité des barres : AC, CD, EF, EB.

Chargement

■ Externe : Charge linéaire uniforme p = -50000 N/ml , ■ Interne : Raccourcissement du tirant CE de δ = 6.52 x 10-3 m (coefficient de

dilatation : αCE = 1 x 10-5 /°C et variation de température ΔT = -163°C).

2.5.3. Effort de traction dans la barre CE


La solution est établie en prenant en considération les effets des déformations d’effort tranchant et d’effort normal :

μ = 1 - 43 x

aL

k = AAr

= 2.5

t = IA

γ = (L/c)2 x (1+ (A/A1) x (b/L) + 2 x (A/A2) x (d/a)2 x (d/L) + 2 x (A/A3) (c/a)2 x (c/L)

τ = k x [(2Et2) / (GaL)]

ρ = μ + γ + τ

μ0 = 1 – (a/L)2 x (2 – a/L)

τ0 = 6k x (E/G) x (t/L)2 x (1 + b/L)

ρ0 = μ0 + τ0

NCE = - (1/12) x (pL2/c) x (ρ0 /ρ) + (EI/(Lc2)) x (δ/ρ) = 584584 N


Elément filaire : sans maillage, ■ AD, DF, FB : poutre C (prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant), ■ AC, CD, EF, EB : barre, ■ CE : poutre, 6 nœuds.


09 Janvier 2007 34

Diagramme des efforts

2.5.4. Moment fléchissant au point H


MH = - (1/8) x pL2 x [1- (2/3) x (ρ0/ρ)] – (EI/(Lc)) x (δ/p) = 49249.5 N


Elément filaire : sans maillage, ■ AD, DF, FB : poutre C (prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant), ■ AC, CD, EF, EB : barre, ■ CE : poutre, 6 nœuds.


09 Janvier 2007 35

Forme du moment

2.5.5. Déplacement vertical au point D


Le déplacement vD de référence fourni par l’AFNOR est déterminé par moyenne des résultats de plusieurs progiciels mettant en œuvre la méthode des éléments finis. vD = -0.5428 x 10-3 m


■ Elément filaire : sans maillage, □ AD, DF, FB : poutre C (prise en compte des déformations dues à l’effort

tranchant), □ AC, CD, EF, EB : barre, □ CE : poutre,

■ 6 nœuds.


09 Janvier 2007 36



Comparaison des résultats : Effort de traction


CM2 Barre CE N 584584 584584.12 0.00%


09 Janvier 2007 37

2.6. Test n° 01-0006SDLLB_MEF: Anneau circulaire mince encastré en deux points



■ Type d’analyse : analyse modale, problème plan ; ■ Type d’élément : filaire.


Recherche des premières fréquences propres d’un anneau circulaire encastré en deux points soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = OB = R = 0.1 m, ■ Ecartement angulaire des points A et B : 120° ; ■ Section droite rectangulaire :

□ Epaisseur : h = 0.005 m, □ Largeur : b = 0.010 m, □ Section : A = 5 x 10-5 m2, □ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe vertical : I = 1.042 x 10-10 m4,

■ Coordonnées des points : □ O (0 ;0),

□ A (-0.05 3 ; -0.05),

□ B (0.05 3 ; -0.05).


09 Janvier 2007 38


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 7.2 x 1010 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique : ρ = 2700 Kg/m3.


■ Externe : Encastrement en A et en B, ■ Interne : Aucune.

Chargement




La déformée de l’anneau encastré est calculée à partir des déformées propres de l’anneau mince libre-libre : ■ Mode symétrique :

u’i = i cos(iθ) v’i = sin (iθ)

θ’i = 1-i2R sin (iθ)

■ Mode antisymétrique :

u’i = i sin(iθ) v’i = -cos (iθ)

θ’i = 1-i2R cos (iθ)

La méthode de résolvante de Green permet d’obtenir :

fj = π21

λj ⋅2R

h 12E

ρ avec un angle d’appui de 120°.

i 1 2 3 4 Mode symétrique 4.8497 14.7614 23.6157

Mode antisymétrique 1.9832 9.3204 11.8490 21.5545


■ Elément filaire : poutre, sans maillage, ■ 32 nœuds, ■ 32 filaires.



09 Janvier 2007 39



Solveur

Nature du mode propre Ordre du mode propre j i

Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 Mode 1 1 anti 1 Hz 235.3 236.32 0.43% CM2 Mode 2 2 sym 1 Hz 575.3 578.52 0.56% CM2 Mode 3 3 anti 2 Hz 1105.7 1112.54 0.62% CM2 Mode 4 4 anti 3 Hz 1405.6 1414.22 0.61% CM2 Mode 5 5 sym 2 Hz 1751.1 1760 0.51% CM2 Mode 6 6 anti 4 Hz 2557 2569.97 0.51% CM2 Mode 7 7 sym 3 Hz 2801.5 2777.43 -0.86%

Test 01-0007SDLSB_MEF Archive : 01-0007SDLSB_MEF.do4

09 Janvier 2007 40

2.7. Test n° 01-0007SDLSB_MEF: Plaque losange mince encastrée sur un bord (α = 0 °)

2.7.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLS

02/89; ■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : surfacique.

2.7.2. Présentation La plaque losange d’épaisseur 1 cm est encastrée sur un côté et est soumise uniquement à son poids propre.

Unités S.I.

Géométrie ■ Epaisseur : t = 0.01 m, ■ Côté : a = 1 m, ■ α = 0° ■ Coordonnées des points :

□ A ( 0 ; 0 ; 0 ) □ B ( a ; 0 ; 0 ) □ C ( 0 ; a ; 0 ) □ D ( a ; a ; 0 )

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique : ρ = 7800 Kg/m3.


09 Janvier 2007 41


■ Externes : Côté AB encastré, ■ Internes : Aucune.

Chargement ■ Externe : Aucun, ■ Interne : Aucun.

2.7.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α


La formulation de M.V. Barton pour un losange de côté a, conduit aux fréquences :

fj = ⋅⋅π 2a21

λi2

)1(12Et

2

2

ν−ρ avec un i = 1,2, où λi

2 = g(α).

α = 0

λ12 3.492

λ22 8.525

M.V. Barton mentionne la sensibilité du résultat à l’ordre du mode et à l’angle α. Il reconnaît que les valeurs λi ont été déterminées avec un développement limité d’ordre insuffisant, ce qui a conduit à prendre pour valeur de référence un résultat expérimental, vérifié par une moyenne de sept progiciels de calcul par la méthode des éléments finis.






Solveur Nature du mode propore Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Mode 1 Hz 8.7266 8.67 -0.65% CM2 Mode 2 Hz 21.3042 21.21 -0.44%


09 Janvier 2007 42



■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLS 02/89;

■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : surfacique.


La plaque losange d’épaisseur 1 cm est encastrée sur un côté et est soumise uniquement à son poids propre.

Unités S.I.


□ A ( 0 ; 0 ; 0 ) □ B ( a ; 0 ; 0 ) □ C ( 0.259a ; 0.966a ; 0 ) □ D ( 1.259a ; 0.966a ; 0 )



09 Janvier 2007 43

Conditions aux limites ■ Externes : Côté AB encastré, ■ Internes : Aucune.





fj = ⋅⋅π 2a21

λi2

)1(12Et

2

2


2 = g(α).

α = 15°

λ12 3.601

λ22 8.872







Serveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Mode 1 Hz 8.999 8.95 -0.54% CM2 Mode 2 Hz 22.1714 21.69 -2.17%


09 Janvier 2007 44


2.9.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLS

02/89 ; ■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : surfacique.

2.9.2. Présentation La plaque losange d’épaisseur 1 cm est encastrée sur un côté et est soumise uniquement à son poids propre.

Unités S.I.


□ A ( 0 ; 0 ; 0 ) □ B ( a ; 0 ; 0 )

□ C ( 0.5a ; 3 2 a ; 0 )

□ D ( 1.5a ; 3 2 a ; 0 )



09 Janvier 2007 45


■ Externes : Côté AB encastré, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Aucun, ■ Interne : Aucun.




fj = ⋅⋅π 2a21

λi2

)1(12Et

2

2


2 = g(α).

α = 30°

λ12 3.961

λ22 10.19







Serveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Mode 1 Hz 9.8987 9.82 -0.80% CM2 Mode 2 Hz 25.4651 23.44 -7.95%


09 Janvier 2007 46



■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLS 02/89 ;

■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : surfacique.


La plaque losange d’épaisseur 1 cm est encastrée sur un côté et est soumise uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : t = 0.01 m, ■ Côté : a = 1 m, ■ α = 45° ■ Coordonnées des points :

□ A ( 0 ; 0 ; 0 ) □ B ( a ; 0 ; 0 )

□ C ( 22

a ; 22

a ; 0 )

□ D (2

22 +a ;

22

a ; 0 )


09 Janvier 2007 47


Conditions aux limites ■ Externes : Côté AB encastré, ■ Internes : Aucune.





fj = ⋅⋅π 2a21

λi2

)1(12Et

2

2


2 = g(α).

α = 45° λ1

2 4.4502 λ2

2 10.56







Serveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Mode 1 Hz 11.1212 11.28 1.43% CM2 Mode 2 Hz 26.3897 28.04 6.25%


09 Janvier 2007 48

2.11. Test n° 01-0011SDLLB_MEF: Mode de vibration d’un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 1)



■ Type d’analyse : analyse modale (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.


Un coude de rayon de courbure 1 m et encastré à ses extrémités est soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 )


09 Janvier 2007 49




■ Externes : Encastrement aux points A et B, ■ Internes : Aucune.

Chargement




La méthode de Rayleigh appliquée à un élément de poutre courbe mince permet de déterminer des paramètres tels que : ■ flexion dans le plan :

fj = 2

2i

R2 ⋅π

λ

AEIz

ρ avec un i = 1,2,


■ Elément filaire : poutre, ■ 11 nœuds, ■ 10 filaires.




Serveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Dans le plan 1 Hz 119 120.09 0.92% CM2 Dans le plan 2 Hz 227 227.10 0.04%


09 Janvier 2007 50


2.12.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLL

14/89; ■ Type d’analyse : analyse modale (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.

2.12.2. Présentation Un coude de rayon de courbure 1 m prolongé par deux éléments droits de longueur L est soumis uniquement à son poids propre.

Unités S.I.

Géométrie ■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ L = 0.6 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 ) □ C ( -L ; R ; 0 ) □ D ( R ; -L ; 0 )


09 Janvier 2007 51




■ Externes : □ Encastrement aux points C et D, □ En A : translation bloquée suivant y et z, □ En B : translation bloquée suivant x et z,


Chargement





fj = 2

2i

R2 ⋅π

λ

AEIz

ρ avec un i = 1,2,






Serveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 Dans le plan 1 Hz 94 94.623 0.66% CM2 Dans le plan 2 Hz 180 184.68 2.60%


09 Janvier 2007 52




■ Type d’analyse : analyse modale (problème plan); ■ Type d’élément : filaire.


Un coude de rayon de courbure 1 m prolongé par deux éléments droits de longueur L est soumis uniquement à son poids propre.

Unités S.I.

Géométrie ■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ L = 2 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 ) □ C ( -L ; R ; 0 ) □ D ( R ; -L ; 0 )


09 Janvier 2007 53






Chargement





fj = 2

2i

R2 ⋅π

λ

AEIz

ρ avec un i = 1,2,






Serveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Dans le plan 1 Hz 25.300 24.961 -1.34% CM2 Dans le plan 2 Hz 27.000 26.710 -1.07%


09 Janvier 2007 54

2.14. Test n° 01-0014SDLLB_MEF: Anneau circulaire mince suspendu par une patte élastique



■ Type d’analyse : analyse modale, problème plan ; ■ Type d’élément : filaire.


Recherche des premières fréquences propres d’un anneau circulaire suspendu par une patte élastique et soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OB = R = 0.1 m, ■ Longueur de la patte : AB = 0.0275 m ;


09 Janvier 2007 55

■ Section droite rectangulaire : □ Anneau

Epaisseur : h = 0.005 m, Largeur : b = 0.010 m, Section : A = 5 x 10-5 m2, Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe vertical : I = 1.042 x 10-10 m4,

□ Patte

Epaisseur : h = 0.003 m, Largeur : b = 0.010 m, Section : A = 3 x 10-5 m2, Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe vertical : I = 2.25 x 10-11 m4,

■ Coordonnées des points :

□ O ( 0 ; 0 ), □ A ( 0 ; -0.0725 ), □ B ( 0 ; -0.1 ).




■ Externe : Encastrement en A, ■ Interne : Aucune.

Chargement




La solution de référence a été établie à partir des résultats expérimentaux d’un anneau en aluminium usiné dans la masse.




09 Janvier 2007 56




Solveur Nature du mode propre Ordre du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Mode 1 antisymétrique Hz 28.80 28.81 0.03% CM2 Mode 2 Symétrique Hz 189.30 189.69 0.21% CM2 Mode 3 antisymétrique Hz 268.80 269.38 0.22% CM2 Mode 4 antisymétrique Hz 641.00 642.15 0.18% CM2 Mode 5 Symétrique Hz 682.00 683.9 0.28% CM2 Mode 6 antisymétrique Hz 1063.00 1065.73 0.26%


09 Janvier 2007 57

2.15. Test n° 01-0015SSLLB_MEF: Poutre bi-encastrée avec ressort en son milieu


■ Référence :test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique linéaire; ■ Type d’élément : filaire.


On considère la poutre bi-encastrée décrite ci-dessous. Cette poutre comporte quatre éléments de même longueur et de caractéristiques identiques.

Unités

S.I.

Géométrie

■ l = 1 m ■ S=0.01 m2 ■ I = 0.0001 m4




■ Externes : □ Encastrement aux 2 extrémités x = 0 et x = 4 m, □ Appui élastique de rigidité k = EI/l


Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -10000 N en x = 2m, ■ Interne :Aucun.


09 Janvier 2007 58



Le déplacement vertical v3 de référence est calculé au milieu de la poutre en x = 2 m. Matrice de rigidité d’un élément poutre plane:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

=

llll

llll

ll

lll

llll

ll

EIEIEIEI

EIEIEIEI

EIEIEIEI

EIEIEIEI

460260

61206120

00l

ES00ES

260460

61206120

00ES-00ES

K

22

2323

22

2323

e

Compte tenu de la symétrie /X et du chargement de la structure, il est inutile de considérer les degrés de liberté associés aux efforts normaux (u2, u3, u4). Cette même symétrie permet également de déduire que : ■ v2 = v4 ■ β2 = -β4 ■ β3 = 0

( )( )( )( )( )( )654321

000

00

4626

612612

268026

612024612

268026

6120124612

268026

612024612

2646

612612

5

5

1

1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−−−

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

−

−−−

−

−

MR

P

MR

v

v

v

v

v

EI

β

β

β

β

β

llll

llll

lllll

lllll

lllll

llllll

lllll

lllll

llll

llll

33

333

333

333

33


09 Janvier 2007 59

En effet, la matrice de rigidité élémentaire du ressort dans son repère local,

[ ])()(

1111

6

35 U

UEIk ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

l, doit être exprimée dans le repère global par le biais des matrices de

rotation (rotation de 90°), soit :

[ ]

( )( )( )( )( )( )6

6

6

3

3

3

5

000000010010000000000000010010000000

β

β

vu

vu

EIK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=l

→ 344332 43 0826 vvllll

−=⇒=++ βββ

→ 344332332 024612 vvvv =⇒=+−−

lllβ

→ t)normalemen (inutile 026826244423222

vvvv =⇒=+−++ βββlllll

(3) → ( ) m 10 11905.03

612124612 032

3

34243332223−−=

+−=⇒−=−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++−−EIl

PvEIPvvv

llllllββ


■ Elément filaire : poutre, maillage imposé, ■ 6 nœuds, ■ 4 éléments filaires + 1 ressort.


Remarque : le déplacement est exprimé ici en μm



Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Milieu de la poutre Mm -0.11905 -0.119 -0.04%


09 Janvier 2007 60

2.16. Test n° 01-0016SDLLB_MEF: Poutre bi-encastrée


■ Référence : test interne GRAITEC (théorie des poutres) ; ■ Type d’analyse : statique linéaire, analyse modale ; ■ Type d’élément : linéique.


On considère la poutre bi-encastrée décrite ci-dessous. Cette poutre comporte huit éléments de même longueur et de caractéristiques identiques.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : l = 16 m, ■ Section axiale : S=0.06 m2 ■ Inertie I = 0.0001 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique ρ = 7850 kg/m3


■ Externes : Encastrement aux 2 extrémités x = 0 et x = 8 m, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -50000 N en x = 4m, ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 61



Le déplacement vertical v5 de référence est calculé au milieu de la poutre en x = 2 m.

m 05079.00001.0111.2192

1650000192

33

5 =××

×==

EEIPlv


■ Elément linéique : poutre, maillage imposé, ■ 9 nœuds, ■ 8 éléments.


2.16.4. Fréquences propres du modèle dans le domaine linéaire élastique


Sachant que les quatre premières fréquences propres d'une poutre bi-encastrée sont données par la relation suivante :

SIE

Lf nn .

...2 2

2

ρπχ

= d’où pour les 4 premières fréquences propres

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

→=

→=

→=

→=

Hz 26.228=f 8.199

Hz 15.871=f 9.120

Hz 8.095=f 67.61

Hz 2.937=f 37.22

424

323

222

121

χ

χ

χ

χ




09 Janvier 2007 62

Déformées modales


09 Janvier 2007 63


1 Comparaison des résultats : déplacement vertical


CM2 Au milieu de la poutre m -0.05079 -0.05079 0.00%

2 Comparaison des résultats : fréquences propres

Solveur Mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 1 Hz 2.937 2.94 0.10%

CM2 2 Hz 8.095 8.09 -0.06%

CM2 3 Hz 15.870 15.79 -0.50%

CM2 4 Hz 26.228 25.76 -1.78%


09 Janvier 2007 64

2.17. Test n° 01-0017SDLLB_MEF: Poutre courte sur appuis simples (sur la fibre neutre)





Recherche des premières fréquences propres d’une poutre sur appuis simples (les appuis se trouvant au niveau de la fibre neutre).

Unités

S.I.

Géométrie

■ Hauteur : h = 0.2 m, ■ Longueur : l = 1 m, ■ Largeur : b = 0.1 m, ■ Section : A = 2 x 10-2 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 6.667 x 10-5 m4.


09 Janvier 2007 65




■ Externes : □ Articulation en A ( déplacements horizontal et vertical nuls), □ Appui simple en B.


Chargement

■ Externe : Aucun. ■ Interne : Aucun.



L’équation de flexion des poutres donne en se superposant les effets de la flexion simple, des déformations d’effort tranchant et l’inertie de rotation , la formulation de Timoshenko. Les fréquences propres de référence sont déterminées par une simulation numérique de cette équation, indépendante de tout progiciel. Les fréquences propres en traction-compression sont données par :

fi = ⋅π

λl2

i ρE

avec λi = 2

)1i2( −


■ Elément filaire : poutre C, maillage imposé, ■ 10 nœuds, ■ 9 filaires.



09 Janvier 2007 66



Solveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 Mode 1 Hz 431.555 437.118 1.29% CM2 Mode 2 Hz 1265.924 1264.319 -0.13% CM2 Mode 3 Hz 1498.295 1537.156 2.59% CM2 Mode 4 Hz 2870.661 2911.456 1.42% CM2 Mode 5 Hz 3797.773 3754.542 -1.14% CM2 Mode 6 Hz 4377.837 4281.235 -2.21%

Test 01-0018SDLLB_MEF Archive 01-0018SDLLB_MEF.do4

09 Janvier 2007 67

2.18. Test n° 01-0018SDLLB_MEF: Poutre courte sur appuis simples (excentrés)





Recherche des premières fréquences propres d’une poutre sur appuis simples (les appuis sont excentrés par rapport à la fibre neutre).

Unités

S.I.

Géométrie

■ Hauteur : h = 0.2 m, ■ Longueur : l = 1 m, ■ Largeur : b = 0.1 m, ■ Section : A = 2 x 10-2 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 6.667 x 10-5 m4.


09 Janvier 2007 68




■ Externes : □ Articulation en A ( déplacements horizontal et vertical nuls), □ Appui simple en B.


Chargement




Le problème n’ayant pas de solution analytique, la solution est établie par moyenne de plusieurs progiciels : modèle de Timoshenko avec effets des déformations d’effort tranchant et de l’inertie de rotation. Les modes de flexion et de traction-compression sont couplés.


■ Elément filaire : poutre C, maillage imposé, ■ 10 nœuds, ■ 9 filaires.



09 Janvier 2007 69


09 Janvier 2007 70



Solveur Nature du mode

propre Unité Référence Marge de la

référence AS 2.1 Ecart

CM2 Mode 1 Hz 392.8 ± 2.5% 393.18 0.10% CM2 Mode 2 Hz 902.2 ± 5% 943.17 4.54% CM2 Mode 3 Hz 1591.9 ± 3% 1585.87 -0.38% CM2 Mode 4 Hz 2629.2 ± 5% 2512.47 -4.44% CM2 Mode 5 Hz 3126.2 ± 4% 3095.76 -0.97%

Test 01-0019SDLSB_MEF Archive 01-0019SDLSB_MEF.do4

09 Janvier 2007 71

2.19. Test n° 01-0019SDLSB_MEF: Plaque carrée mince encastrée sur un bord



■ Type d’analyse : analyse modale; ■ Type d’élément : surfacique.


Recherche des premières fréquences propres d’une plaque carrée mince encastrée sur un bord.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = 1 m, ■ Epaisseur : t = 1 m, ■ Coordonnées des points en mètre :

□ A (0 ;0 ;0) □ B (1 ;0 ;0) □ C (1 ;1 ;0) □ D (0 ;1 ;0)




09 Janvier 2007 72


■ Externes : Côté AD encastré. ■ Internes : Aucune.

Chargement




La formulation de M.V. Barton pour une plaque carrée de côté a, conduit à :

fj = 2a2

1⋅π

λi2

)1(12Et

2

2

ν−ρ avec un i = 1,2, . . .

i 1 2 3 4 5 6 λi 3.492 8.525 21.43 27.33 31.11 54.44


■ Elément surfacique : coque, ■ 959 nœuds, ■ 900 surfaciques.



09 Janvier 2007 73




CM2 Mode 1 Hz 8.7266 8.671 -0.64% CM2 Mode 2 Hz 21.3042 21.214 -0.42% CM2 Mode 3 Hz 53.5542 53.125 -0.80% CM2 Mode 4 Hz 68.2984 67.728 -0.84% CM2 Mode 5 Hz 77.7448 77.129 -0.79% CM2 Mode 6 Hz 136.0471 134.611 -1.06%


09 Janvier 2007 74

2.20. Test n° 01-0020SDLSB_MEF: Plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur les bords





Recherche des premières fréquences propres d’une plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur son pourtour.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : a = 1.5 m, ■ Largeur : b = 1 m, ■ Epaisseur : t = 0.01 m,


09 Janvier 2007 75

■ Coordonnées des points en mètre : □ A (0 ;0 ;0) □ B (0 ;1.5 ;0) □ C (1 ;1.5 ;0) □ D (1 ;0 ;0)




■ Externes : □ Appui simple sur tous les côtés, □ Pour la modélisation : articulation en A, B et D.


Chargement




La formulation de M.V. Barton pour une plaque rectangulaire posée sur les quatre côtés conduit à :

fij = 2π

[ ( ai

)2 + ( bj

)2] )1(12

Et2

2

ν−ρ

avec : i = nombre de demi-longueurs d’onde selon y (dimension a) j = nombre de demi-longueurs d’onde selon x (dimension b)




09 Janvier 2007 76




Solveur Nature du mode propre i j


CM2 1 1 Hz 35.63 35.575 -0.15% CM2 2 1 Hz 68.51 68.281 -0.33% CM2 1 2 Hz 109.62 109.966 0.32% CM2 3 1 Hz 123.32 122.997 -0.26% CM2 2 2 Hz 142.51 141.943 -0.40% CM2 3 2 Hz 197.32 195.486 -0.93%

Test 01-0021SFLLB_MEF Archive 01-0021SFLLB_MEF.do4

09 Janvier 2007 77

2.21. Test n° 01-0021SFLLB_MEF: Poutre console en flambement Eulérien


■ Référence : test interne GRAITEC (théorie d’Euler) ; ■ Type d’analyse : Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : linéique.


Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 10 m ■ S=0.01 m2 ■ I = 0.0002 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.0 x 1010 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.1.


■ Externes : Encastrement à l’extrémité x = 0, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -100000 N en x = L, ■ Interne : Aucun.

Test 01-0021SFLLB_MEF Archive 01-0021SFLLB_MEF.do4

09 Janvier 2007 78

2.21.3. Charge critique au nœud 5


La charge critique de référence établie par Euler est :

98696.010000098696N 98696

L4EIP 2

2

critique ==λ⇒=π

=


■ Elément surfacique : poutre, maillage imposé, ■ 5 nœuds, ■ 4 éléments.



Comparaison des résultats : charge critique


CM2 Au nœud 5 N -98696 -98699.278 0.00%


09 Janvier 2007 79

2.22. Test n° 01-0022SDLSB_MEF: Plaque mince annulaire encastrée sur un moyeu (structure à répétitivité circulaire)





Recherche des fréquences propres d’une plaque mince annulaire encastrée sur un moyeu.

Unités S.I.

Géométrie ■ Rayon intérieur : Ri = 0.1 m, ■ Rayon extérieur : Re = 0.2 m, ■ Epaisseur : t = 0.001 m.



09 Janvier 2007 80


■ Externes : Encastrement sur un moyeu pour tout point r = Ri. ■ Internes : Aucune.

Chargement




La solution du déterminant des fréquences établie à partir des fonctions de Bessel conduit à la formule :

fij = 1

2πRe2 λij

2 Et2

12ρ(1-ν2)

avec : i = nombre de diamètres nodaux j = nombre de cercles nodaux et λij

2 tels que : j \ i 0 1 2 3

0 13.0 13.3 14.7 18.5 1 85.1 86.7 91.7 100


■ Elément surfacique : plaque, ■ 360 nœuds, ■ 288 surfaciques.



Solveur Nature du mode propre i j

Mode propre correspondant sous AS 2.1


CM2 0 0 1 Hz 79.26 79.05 -0.26% CM2 0 1 18 Hz 518.85 521.84 0.58% CM2 1 0 2 Hz 81.09 80.52 -0.70% CM2 1 1 20 Hz 528.61 529.49 0.17% CM2 2 0 4 Hz 89.63 89.43 -0.22% CM2 2 1 22 Hz 559.09 552.43 -1.19% CM2 3 0 7 Hz 112.79 110.27 -2.23% CM2 3 1 25 Hz 609.70 593.83 -2.60%


09 Janvier 2007 81

2.23. Test n° 01-0023SDLLB_MEF: Flexion d’un portique symétrique



■ Type d’analyse : analyse modale; ■ Type d’élément : filaire.


Recherche des premières fréquences propres d’un portique symétrique encastré en pied.


09 Janvier 2007 82

Unités

S.I.

Géométrie

■ Sections droites rectangulaires des traverses et des poteaux : ■ Epaisseur : h = 0.0048 m, ■ Largeur : b = 0.029 m, ■ Section : A = 1.392 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 2.673 x 10-10 m4, ■ Coordonnées des points en mètre :

A B C D E F x -0.30 0.30 -0.30 0.30 -0.30 0.30 y 0 0 0.36 0.36 0.81 0.81




■ Externes : Encastrement en A et B. ■ Internes : Aucune.

Chargement




Méthode de la raideur dynamique (théorie des poutres élancées).




09 Janvier 2007 83

Formes de la déformée




CM2 1 anti Hz 8.8 8.78 -0.23% CM2 2 anti Hz 29.4 29.428 0.10% CM2 3 sym Hz 43.8 43.846 0.11% CM2 4 sym Hz 56.3 56.298 0.00% CM2 5 anti Hz 96.2 96.053 -0.15% CM2 6 sym Hz 102.6 102.7 0.10% CM2 7 anti Hz 147.1 147.078 -0.01% CM2 8 sym Hz 174.8 174.956 0.09% CM2 9 anti Hz 178.8 178.919 0.07% CM2 10 anti Hz 206 206.226 0.11% CM2 11 sym Hz 266.4 266.617 0.08% CM2 12 anti Hz 320 319.954 -0.01% CM2 13 sym Hz 335 334.96 -0.01%

Test 01-0024SSLLB_MEF Archive 01-0024SSLLB_MEF.do4

09 Janvier 2007 84

2.24. Test n° 01-0024SSLLB_MEF: Poutre élancée sur deux appuis encastrés





Une poutre droite élancée encastrée à ses extrémités est soumise à un chargement uniforme ainsi qu’à plusieurs forces ponctuelles et un couple.


09 Janvier 2007 85

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 1 m, ■ Inertie de la poutre : I = 1.7 x 10-8 m4.


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa.


■ Externes : Encastrement en A et B, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : □ Charge uniformément répartie de A à B : py = p = -24000 N/m, □ Charge ponctuelle en D : Fx = F1 = 30000 N, □ Couple en D : Cz = C = -3000 Nm, □ Charge ponctuelle en E : Fx = F2 = 10000 N, □ Charge ponctuelle en E : Fy = F = -20000 N.

■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 86

2.24.3. Effort tranchant en G


Solution analytique : ■ Effort tranchant en G : VG

VG = 0.216F – 1.26 LC



Forme des résultats


09 Janvier 2007 87

2.24.4. Moment fléchissant en G


Solution analytique : ■ Moment fléchissant en G : MG

MG = pL2

24 - 0.045LF – 0.3C





09 Janvier 2007 88

2.24.5. Déplacement vertical en G


Solution analytique : ■ Déplacement vertical en G : vG

vG = pl4

384EI + 0.003375FL3

EI + 0.015CL2

EI





09 Janvier 2007 89

2.24.6. Réaction horizontale en A


Solution analytique : ■ Réaction horizontale en A : HA

HA = -0.7F1 –0.3F2




1 Comparaison des résultats : effort tranchant


CM2 En G N -540 -540 0.00%

2 Comparaison des résultats : moment fléchissant


CM2 En G Nm 2800 2800 0.00%



CM2 En G cm -4.90 -4.90 0.00%

4 Comparaison des résultats : réaction horizontale


CM2 En A N -24000 -24000 0.00%


09 Janvier 2007 90

2.25. Test n° 01-0025SSLLB_MEF: Poutre élancée sur trois appuis



■ Type d’analyse : statique (problème plan); ■ Type d’élément : filaire.


Une poutre droite élancée sur trois appuis est soumise à deux forces ponctuelles.

Unités S.I.

Géométrie ■ Longueur : L = 3 m, ■ Inertie de la poutre : I = 6.3 x 10-4 m4.

Propriétés des matériaux Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa.

Conditions aux limites ■ Externes :

□ Articulation en A, □ Appui élastique en B (Ky = 2.1 x 106 N/m), □ Appui simple en C.



09 Janvier 2007 91

Chargement

■ Externe : 2 charge ponctuelles F = Fy = -42000N. ■ Interne : Aucun.

2.25.3. Moment fléchissant en B


La résolution du système hyperstatique conduit pour une poutre élancée à :

k = Ky3LEI6

■ Moment fléchissant en B : MB

MB = ± 2L

)k8(F)k26(

++−




2.25.4. Réaction en B


■ Effort de compression dans le ressort : VB

VB = -11F8 + k




09 Janvier 2007 92

2.25.5. Déplacement vertical en B


■ Flèche au droit du ressort : vB

vB = 11F

Ky(8 + k)






Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En B Nm 63000 63000 0.00%


Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En B cm - 1.00 -1.00 0.00%

3 Comparaison des résultats : réaction

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En B N 21000 21000 0.00%


09 Janvier 2007 93

2.26. Test n° 01-0026SSLLB_MEF: Bilame : poutres encastrées reliées par un élément indéformable





Deux poutres encastrées à l’une de leurs extrémités reliées rigidement à une poutre indéformable sont soumises à une charge ponctuelle.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueurs : □ L = 2 m, □ l = 0.2 m,

■ Moment d’inertie des poutres : I = (4/3) x 10-8 m4, ■ Les sections des poutres sont carrées de côté : 2 x 10-2 m.


09 Janvier 2007 94


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa.


■ Externes : Encastrement en A et C, ■ Internes : Les tangentes à la déformée des poutres AB et CD en B et D restent

horizontales ; concrètement, on bloque les translations suivant x et z aux nœuds B et D.

Chargement

■ Externe : En D : charge ponctuelle F = Fy = - 1000N. ■ Interne : Aucun.

2.26.3. Flèche en B et D


La théorie de la flexion des poutres élancées (formulation d’Euler-Bernouilli) conduit à une flèche en B et D : La résolution du système hyperstatique conduit pour une poutre élancée à :

vB = vD = FL3

24EI





09 Janvier 2007 95

2.26.4. Réaction verticale en A et C


Solution anlytique.



2.26.5. Moment fléchissant en A et C


Solution anlytique.


■ Elément filaire : poutre, ■ 4 nœuds, ■ 3 filaires


1 Comparaison des résultats : flèche


CM2 En B m -0.125 -0.125 0.00% CM2 En D m -0.125 -0.125 0.00%

2 Comparaison des résultats : réaction verticale


CM2 En A N 500 500 0.00% CM2 En C N 500 500 0.00%

3 Comparaison des résultats : Moment fléchissant


CM2 En A Nm 500 500.01 0.00% CM2 En C Nm 500 500.01 0.00%


09 Janvier 2007 96

2.27. Test n° 01-0027SSLLB_MEF: Arc mince encastré en flexion plane



■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.


Un arc de cercle encastré à l’une de ses extrémités est soumis à deux forces ponctuelles et à un couple à son extrémité libre.


09 Janvier 2007 97

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon moyen : R = 3 m , ■ Section circulaire creuse :

□ de = 0.02 m, □ di = 0.016 m, □ A = 1.131 x 10-4 m2, □ Ix = 4.637 x 10-9 m4.


Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa.


■ Externes : Encastrement en A. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : En B : □ charge ponctuelle F1 = Fx = 10 N, □ charge ponctuelle F2 = Fy = 5 N, □ moment de flexion autour de Oz, Mz = 8 Nm.


2.27.3. Déplacements en B


Au point B :

■ déplacement parallèle à Ox : u = R2

4EI [F1πR + 2F2R + 4Mz]

■ déplacement parallèle à Oy : v = R2

4EI [2F1πR + (3π - 8)F2R + 2(π - 2)Mz]

■ rotation autour de Oz : θ = R

4EI [4F1R + 2(π - 2)F2R + 2πMz]




09 Janvier 2007 98



1 Comparaison des résultats : déplacement horizontal


CM2 En B m 0.3791 0.37891 -0.05%



CM2 En B m 0.2417 0.2417 0.00%

3 Comparaison des résultats : rotation autour de l’axe z


CM2 En B rad 0.1654 0.1654 0.00%


09 Janvier 2007 99

2.28. Test n° 01-0028SSLLB_MEF: Arc mince encastré en flexion hors plan





Un arc de cercle encastré à l’une de ses extrémités est soumis à une force ponctuelle perpendiculaire au plan en son extrémité libre.

Unités

S.I.

Géométrie


□ de = 0.02 m, □ di = 0.016 m, □ A = 1.131 x 10-4 m2, □ Ix = 4.637 x 10-9 m4.


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


09 Janvier 2007 100


■ Externes : Encastrement en A. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Force ponctuelle en B perpendiculaire au plan : Fz = F = 100 N. ■ Interne : Aucun.

2.28.3. Déplacements en B


Déplacement hors plan du point B :

uB = FR3

EIx [ π4 +

EIx KT

(3π4 - 2)]

avec KT rigidité de torsion pour une section circulaire (de constante de torsion égale à 2Ix).

KT = 2GIx = EIx

1 + ν ⇒ uB = FR3

EIx [ π4 + (1 + ν) (

3π4 - 2)]



2.28.4. Moments en θ = 15°


■ Moment de torsion : Mx’ = Mt = FR(1 - sinθ) ■ Moment fléchissant : Mz’ = Mf = -FRcosθ




1 Comparaison des résultats : déplacement hors plan

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En B m 0.13462 0.13516 0.40%

2 Comparaison des résultats : moment de torsion

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En θ = 15° Nm 74.1180 74.10 -0.02%


Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En θ = 15° Nm -96.5925 -98.3377 1.81%


09 Janvier 2007 101

2.29. Test n° 01-0029SSLLB_MEF: Arc mince bi-articulé en flexion plane






09 Janvier 2007 102

Unités

S.I.

Géométrie


□ de = 0.02 m, □ di = 0.016 m, □ A = 1.131 x 10-4 m2, □ Ix = 4.637 x 10-9 m4.




■ Externes : □ Articulation en A, □ En B : rotation permise suivant z, déplacement vertical bloqué suivant y.


Chargement

■ Externe : Force ponctuelle en C : Fy = F = - 100 N. ■ Interne : Aucun.

2.29.3. Déplacements en A, B et C


■ Rotation autour de l’axe z :

θA = - θB = ( π2 - 1)

FR2

2EI

■ Déplacement ;

Vertical en C : vC = π8

FREA + (

3π4 - 2)

FR3

2EI

Horizontal en B: uB = FR

2EA - FR3

2EI




09 Janvier 2007 103

Forme des déplacements



Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En A rad -0.030774 -0.030778 0.01% CM2 En B rad 0.030774 0.030778 0.01%


Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En C cm -1.9206 -1.9201 -0.03%


Solveur Modèle Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En B cm 5.3912 5.386 -0.10%


09 Janvier 2007 104

2.30. Test n° 01-0030SSLLB_MEF: Portiques à liaisons latérales





Unités

S.I.

Géométrie

Poutre Longueur Moment d’inertie AB lAB = 4 m IAB =

643 x 10-8 m4

AC lAC = 1 m IAC = 112 x 10-8 m4

AD lAD = 1 m IAD = 112 x 10-8 m4

AE lAE = 2 m IAE = 43 x 10-8 m4


09 Janvier 2007 105

■ G est au milieu de DA. ■ Les poutres sont de section carrée :

□ AAB = 16 x 10-4 m □ AAD = 1 x 10-4 m □ AAC = 1 x 10-4 m □ AAE = 4 x 10-4 m


Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa,


■ Externes : □ Encastrement en B, D et E, □ Articulation en C,


Chargement

■ Externe : □ Force ponctuelle en G : Fy = F = - 105 N, □ Force répartie sur la poutre AD : p = - 103 N/m.


2.30.3. Déplacements en A


Rotation en A autour de l’axe z :

On pose : kAn = EIAnlAn

avec n = B, C, D ou E

K = kAB + kAD + kAE + 34 kAC

rAn = kAnK

C1 = FlAD

8 - plAB

2

12

θ = C14K




09 Janvier 2007 106


2.30.4. Moments en A


■ MAB = plAB

2

12 + rAB x C1

■ MAD = - FlAD

8 + rAD x C1

■ MAE = rAE x C1

■ MAC = rAC x C1




Comparaison des résultats de déplacement : rotation θ autour de l’axe z

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En A rad 0.227118 0.227401 0.12%

Comparaison des résultats des moments : moment fléchissant

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En A (MAB) Nm 11023.72 11020.998 -0.02% CM2 En A (MAC) Nm 113.559 113.7044 0.13% CM2 En A (MAD) Nm -12348.588 -12347.476 -0.01% CM2 En A (MAE) Nm 1211.2994 1212.7730 0.12%


09 Janvier 2007 107

2.31. Test n° 01-0031SSLLB_MEF: Treillis de barres articulées sous une charge ponctuelle





Unités

S.I.

Géométrie

Eléments Longueur (m) Aire (m2) AC 0.5 2 2 x 10-4 CB 0.5 2 2 x 10-4 CD 2.5 1 x 10-4 BD 2 1 x 10-4




■ Externes : Articulation en A et B, ■ Internes : Aucune.


09 Janvier 2007 108

Chargement ■ Externe : Force ponctuelle en D: Fy = F = - 9.81 x 103 N. ■ Interne : Aucun.

2.31.3. Déplacements en C et D

Solution de référence Méthode des déplacements.

Modélisation aux éléments finis ■ Elément filaire : poutre, ■ 4 nœuds, ■ 4 filaires.


2.31.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats : déplacement horizontal

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En C mm 0.26517 0.26469 -0.18% CM2 En D mm 3.47902 3.47531 -0.11%


Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En C mm 0.08839 0.08817 -0.25% CM2 En D mm -5.60084 -5.5950 -0.10%


09 Janvier 2007 109

2.32. Test n° 01-0032SSLLB_MEF: Poutre sur sol élastique, extrémités libres

2.32.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLL

15/89; ■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.

2.32.2. Présentation Un poutre soumise à trois forces ponctuelles repose sur un sol de raideur linéique constante.

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = (π 10 )/2, ■ I = 10-4 m4.




■ Externes : □ Extrémités A et B libres, □ Sol de raideur linéique constante ky = K = 840000 N/m2.



09 Janvier 2007 110

Chargement

■ Externe : Forces ponctuelles en A, C et B: Fy = F = - 10000 N. ■ Interne : Aucun.

2.32.3. Moment fléchissant et déplacement en C


β = 4

K/(4EI) ϕ = βL/2 λ = sh (2ϕ) + sin (2ϕ) ■ Moment fléchissant :

MC = (F/(4β))(ch(2ϕ) - cos (2ϕ) – 8sh(ϕ)sin(ϕ))/λ

■ Déplacement vertical : vC = - (Fβ/(2K))( ch(2ϕ) + cos (2ϕ) + 8ch(ϕ)cos(ϕ) + 2)/λ



Digramme du moment fléchissant


09 Janvier 2007 111

2.32.4. Déplacements en A


■ Déplacement vertical : vA = (2Fβ/K)( ch(ϕ)cos(ϕ) + ch(2ϕ) + cos(2ϕ))/λ


θA = (-2Fβ2/K)( sh(ϕ)cos(ϕ) - sin(ϕ)ch(ϕ) + sh(2ϕ) - sin(2ϕ))/λ






CM2 En C Nm 5759 5772.05 0.23%



CM2 En C m -0.006844 -0.006844 0.00%



CM2 En A m -0.007854 -0.00786073 0.09%

4 Comparaison des résultats : rotation θ autour de l’axe z


CM2 En A rad 0.000706 0.000707 0.14%

Test 01-0033SFLLA_MEF Archive 01-0033SFLLA_MEF.do4

09 Janvier 2007 112

2.33. Test n° 01-0033SFLLA_MEF: Pylône EDF

2.33.1. Fiche de description ■ Référence : Test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique linéaire, Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : linéique.


Unités

S.I.

Géométrie


09 Janvier 2007 113




■ Externes : □ Articulation aux quatre pieds du pylône, □ Pour la modélisation, un encastrement et 4 poutres ont été rajoutées au

niveau des pieds du pylône. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charges ponctuelles correspondant à un chargement de type vent : □ FX = 165550 N, FY = - 1240 N, FZ = - 58720 N sur les bras principaux, □ FX = 50250 N, FY = - 1080 N, FZ = - 12780 N sur le bras supérieur, □ FX =11760 N, FY = 0, FZ = 0 sur les 2 cadres inférieurs,



09 Janvier 2007 114



Logiciel ANSYS 5.3 NE/NASTRAN 7.0 Flèche maxi (m) 0.714 0.714

λcritique mode prépondérant 2.77 2.77




09 Janvier 2007 115


Déformée modale de flambement (mode prépondérant)


09 Janvier 2007 116


1 Comparaison des résultats : déplacement


CM2 En tête de pylône m 0.714 0.71254 -0.20%

2 Comparaison des résultats : mode de flambement prépondérant

Solveur Mode Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 λcritique - 2.77 2.830 2.17%


09 Janvier 2007 117

2.34. Test n° 01-0034SSLLB_MEF: Poutre sur sol élastique, extrémités articulées


16/89; ■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.

2.34.2. Présentation Un poutre soumise à une force ponctuelle, une force uniformément répartie et deux couples repose sur un sol de raideur linéique constante.

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = (π 10 )/2, ■ I = 10-4 m4.




■ Externes : □ Extrémités A et B libres, □ Sol de raideur linéique constante ky = K = 840000 N/m2.



09 Janvier 2007 118

Chargement

■ Externe : □ Force ponctuelle en D: Fy = F = - 10000 N, □ Force uniformément répartie de A à B : fy = p = - 5000 N/m, □ Couple en A : Cz = -C = -15000 Nm, □ Couple en B : Cz = C = 15000 Nm.


2.34.3. Déplacement et réaction d’appui en A


β = 4

K/(4EI) ϕ = βL/2 λ = ch(2ϕ) + cos(2ϕ)

■ Réaction d’appui verticale :

VA = -p(sh(2ϕ) + sin(2ϕ)) - 2βFch(ϕ)cos(ϕ) + 2β2C(sh(2ϕ) - sin(2ϕ)) x 1

2βλ


θA = p(sh(2ϕ) – sin(2ϕ)) + 2βFsh(ϕ)sin(ϕ) - 2β2C(sh(2ϕ) + sin(2ϕ)) x 1

(K/β)λ





09 Janvier 2007 119

2.34.4. Déplacement et moment de flexion en D


■ Déplacement vertical :

vD = 2p(λ - 2ch(ϕ)cos(ϕ)) + βF(sh(2ϕ) – sin(2ϕ)) - 8β2Csh(ϕ)sin(ϕ) x 1

2Kλ

■ Moment fléchissant :

MD = 4psh(ϕ)sin(ϕ) + βF(sh(2ϕ) + sin(2ϕ)) - 8β2Cch(ϕ)cos(ϕ) x 1

4β2λ



Digramme du moment de flexion


09 Janvier 2007 120


1 Comparaison des résultats : rotation autour de z


CM2 En A rad -0.003045 -0.003043 -0.07%

2 Comparaison des résultats : réaction verticale


CM2 En A N 11674 11644.36 -0.25%



CM2 En D cm -0.423326 -0.42330 -0.01%


Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En D Nm -33840 -33835.87 -0.01%

Test 01-0035SSLPB_MEF Archive 01-0035SSLPB_MEF.do4

09 Janvier 2007 121

2.35. Test n° 01-0035SSLPB_MEF: Plaque en flexion et cisaillement dans son plan

2.35.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLP

01/89; ■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : surfacique. ■ Tolerance CAO 0.1 mm


Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : h = 1 mm, ■ Longueur : L = 48 mm, ■ Hauteur : H = 12 mm.




■ Externes : Encastrement en tout point du bord x = 0. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Force uniformément répartie en tout point x = 48 mm : fy = p = - 3333.33 N/m.


2.35.3. Contraintes planes en (x,y)


Méthode analytique par fonction d’Airy :

■ σxx = 12Py(x - L)

H3

■ σyy = 0

■ σxy = 6P(

H2

4 - y2)

H3


09 Janvier 2007 122




1 Comparaison des résultats : contrainte plane σxx


CM2 En (0, H/2) MPa -80 -79.46 -0.68%

2 Comparaison des résultats : contrainte plane σxx


CM2 En (0, -H/2) MPa -80 -79.46 -0.68%

3 Comparaison des résultats : contrainte plane σxy


CM2 En tout point y = 0 MPa -5 -4.97 -0.60%

Test 01-0036SSLSB_MEF Archive 01-0036SSLSB_MEF.do4

09 Janvier 2007 123

2.36. Test n° 01-0036SSLSB_MEF: Plaque carrée simplement supportée

2.36.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLS

02/89; ■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.


Une plaque simplement appuyée sur son contour est soumise uniquement à son poids propre.

Unités S.I.

Géométrie ■ Côté = 1 m, ■ Epaisseur h = 0.01m.



□ Appui simple sur le contour de la plaque, □ Pour la modélisation, on place un encastrement en B.



09 Janvier 2007 124

Chargement

■ Externe : Poids propre (pesanteur = 9.81 m/s2). ■ Interne : Aucun.

2.36.3. Déplacement vertical en O


D’après l’hypothèse de Love-Kirchhoff, le déplacement w en un point (x,y) : w(x,y) = Σ wmnsinmπxsinnπy

avec wmn = 192ρg(1 - ν2)

mn(m2 + n2)π6Eh2







CM2 En O μm -0.158 -0.16497 4.41%


09 Janvier 2007 125

2.37. Test n° 01-0037SSLSB_MEF: Poutre caisson en torsion




Une poutre caisson encastrée à l’une de ses extrémités est soumise à de la torsion.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur ; L = 1m, ■ Section carrée de côté : b = 0.1 m, ■ Epaisseur h = 0.005 m.




■ Externes : Poutre encastrée à l’extrémité x = 0 ; ■ Internes : Aucune.


09 Janvier 2007 126

Chargement

■ Externe : Moment de torsion M = 10N.m appliqué à l’extrémité libre (soit pour la modélisation, 4 forces de 50 N).


2.37.3. Déplacement et contrainte en deux points


La solution de référence a été établie par moyenne de résultats de plusieurs progiciels de calcul mettant en œuvre la méthode des éléments finis.

Coordonnées des points : ■ A (0,0.05,0.5) ■ B (-0.05,0,0.8)

Nota : le point O est l’origine du repère (x,y,z).





09 Janvier 2007 127


1 Comparaison des résultats : déplacement


CM2 En A m -0.617 x 10-6 -0.6159 x 10-6 0.03% CM2 En B m -0.987 x 10-6 -0.9868 x 10-6 0.01%



CM2 En A rad 0.123 x 10-4 0.123 x 10-4 0.00% CM2 En B rad 0.197 x 10-4 0.197 x 10-4 0.00%

3 Comparaison des résultats : contrainte σxy


CM2 En A Mpa -0.11 -0.10 -9.09% CM2 En B Mpa -0.11 -0.10 -9.09%


09 Janvier 2007 128

2.38. Test n° 01-0038SSLSB_MEF: Cylindre mince sous pression radiale uniforme


06/89; ■ Type d’analyse : élastique statique ; ■ Type d’élément : surfacique.

2.38.2. Présentation Un cylindre de longueur L et de rayon R est soumis à une pression interne uniforme.

Unités S.I.

Géométrie ■ Longueur : L = 4 m, ■ Rayon : R = 1 m, ■ Epaisseur : h = 0.02 m.

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


□ Conditions libres, □ Pour la modélisation, on considère seulement ¼ de cylindre et on applique

des conditions de symétrie. D’autre part, on bloque des déplacements pour certains nœuds afin de rendre le modèle stable.



09 Janvier 2007 129

Chargement ■ Externe : Pression interne uniforme : p = 10000 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.38.3. Contraintes en tous points

Solution de référence Contraintes dans le repère des éléments surfaciques (l’axe x est parallèle à la longueur du cylindre) : ■ σxx = 0

■ σyy = pRh

Modélisation aux éléments finis ■ Elément surfacique : coque, ■ 209 nœuds, ■ 180 surfaciques.

2.38.4. Déformations du cylindre en tous points

■ Déformation radiale :

δR = pR2

Eh

■ Déformation longitudinale :

δL = -pRνL

Eh


1 Comparaison des résultats : contrainteσxx


CM2 en tous points Pa 0 0 -

2 Comparaison des résultats : contrainteσyy


CM2 en tous points Pa 5 x 105 5 x 105 0.00%

3 Comparaison des résultats : déformation radiale du cylindre δR


CM2 en tous points m 2.38 x 10-6 2.39 x 10-6 0.42%

4 Comparaison des résultats : déformation longitudinale du cylindre δL


CM2 en tous points m -2.86 x 10-6 -2.85 x 10-6 0.34%


09 Janvier 2007 130

2.39. Test n° 01-0039SSLSB_MEF: Plaque carrée en contraintes planes

2.39.1. Fiche de description ■ Référence : Test interne GRAITEC ; ■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique (membrane).

2.39.2. Présentation La plaque carré de 2 x 2 m est encastrée sur 3 côtés et supporte une charge surfacique p sur sa face supérieure.

[ ]1;1, −∈ηξ

Unités S.I.

Géométrie ■ Epaisseur : e = 1 m, ■ 4 éléments carrés de coté h = 1 m.


Conditions aux limites ■ Externes : Encastrement sur 3 cotés, ■ Internes : Aucune.

Chargement ■ Externe : Charge uniforme p = -1. 108 N/ml sur la face supérieure, ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 131



Les déplacements de référence sont calculés aux nœuds 7 et 9.

v9 = -6ph(3 + ν)(1 - ν2)

E(8(3 - ν)2 - (3 + ν)2) = -0.1809 x 10-3 m,

v7 = 4(3 - ν)3 + ν v9 = -0.592 x 10-3 m,

Pour l’élément 1.4 : (Pour les contraintes calculées ci-dessous, le point d’abscisse (x = 0;y = 0) correspond au nœud 8.)

σyy = E

1 - ν2 (v9 - v7)

2h (1 + ξ) soit pour

σxx = νσyy soit pour

σxy = E

1 + ν (v9 + v7) + η(v9 - v7)

4h (1 + ξ) soit pour


■ Elément surfacique : membrane, maillage imposé, ■ 9 nœuds, ■ 4 quadrangles surfaciques.


ξ = -1 ; σyy = 0 ξ = 0 ; σyy = -47.44 Mpa ξ = 1 ; σyy = -94.88 Mpa

ξ = -1 ; σxx = 0 ξ = 0 ; σxx = -14.23 Mpa ξ = 1 ; σxx = -28.46 Mpa

η = -1 ; ξ = 0 ; σxy = -47.82 Mpa η = 0 ; ξ = 0 ; σxy = -31.21 Mpa η= 1 ; ξ = 0 ; σxy = -14.61 Mpa


09 Janvier 2007 132




CM2 Élément 1.4 nœud 7 mm -0.592 -0.592 0.00% CM2 Élément 1.4 nœud 9 mm -0.1809 -0.1809 0.00%

2 Comparaison des résultats : contraintes σxx


CM2 Élément 1.4 en x = 0 m MPa 0 0 - CM2 Élément 1.4 en x = 0.5 m MPa -14.23 -14.23 0.00% CM2 Élément 1.4 en x = 1 m MPa -28.46 -28.46 0.00%

3 Comparaison des résultats : contraintes σyy


CM2 Élément 1.4 en x = 0 m MPa 0 0 - CM2 Élément 1.4 en x = 0.5 m MPa -47.44 -47.44 0.00% CM2 Élément 1.4 en x = 1 m MPa -94.88 -94.88 0.00%

4 Comparaison des résultats : contraintes σxy


CM2 Elément 1.4 en x = 0 m Mpa -14.66 -14.61 -0.34% CM2 Elément 1.4 en x = 0.5 m Mpa -31.21 -31.21 0.00% CM2 Elément 1.4 en x = 1 m MPa -47.82 -47.82 0.00%


09 Janvier 2007 133

2.40. Test n° 01-0040SSLSB_MEF: Membrane raidie

2.40.1. Fiche de description ■ Référence : Klaus-Jürgen Bathe - Finite Element Procedures in Engineering

Analysis, Example 5.13; ■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique (membrane).


La plaque 8 x 12 cm en son milieu est encastrée sur 3 cotés et supporte une charge ponctuelle P sur son unique nœud libre A.

[ ]1;1, −∈ηξ

Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : e = 0.1 cm, ■ Longueur : l = 8 cm, ■ Largeur : B = 12 cm.


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 30 x 106 N/cm2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


■ Externes : Encastrement sur 3 cotés, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge uniforme Fx = F = 6000 N en A, ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 134

2.40.3. Résultats du modèle dans le domaine linéaire élastique


L’origine du repère utilisée pour les positions des résultats est le point B.

( ) ( )

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=σ=ξ−=−=σ=ξ

=σ−=ξξ+

ν+−=σ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==σ−=η==σ=η

=σ=ηνσ=σ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==σ−=η==σ=η

=σ=ηη−

ν−=σ

=+

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ν++

ν−

== −

MPa 96.17N/cm 1796 ;1MPa 98.8N/cm 898 ;0

0 ;1 pour soit 1

b8u

1E

MPa 55.11N/cm 1155 ;1MPa 77.5N/cm 577 ;0

0 ;1 pour soit

MPa 49.38N/cm 3849 ;1MPa 24.19N/cm 1924 ;0

0 ;1 pour soit 1

a2u

1E

cm3410.97510.367410.2

6000

a2ES

1b1

1a2

3eabE

FKFu

2xy1

2xy1

xy1A

1xy

2yy1

2yy1

yy1

1xx1yy

2xx1

2xx1

xx1A

21xx

466

222

A


■ Elément surfacique : membrane, maillage imposé, ■ 6 nœuds, ■ 2 quadrangles surfaciques et 1 élément barre.



09 Janvier 2007 135




CM2 Elément 1 en A cm -9.34 10-4 -9.34 x 10-4 0.00%

2 Comparaison des résultats : contrainte σxx


CM2 Elément 1 en y = 0 cm MPa 38.49 38.49 0.00% CM2 Elément 1 en y = 3 cm MPa 19.24 19.24 0.00% CM2 Elément 1 en y = 6 cm MPa 0 0 -

3 Comparaison des résultats : contrainte σyy


CM2 Elément 1 en y = 0 cm MPa 11.55 11.57 0.17% CM2 Elément 1 en y = 3 cm MPa 5.77 5.77 0.00% CM2 Elément 1 en y = 6 cm MPa 0 0 -

4 Comparaison des résultats : contrainte σxy


CM2 Elément 1 en x = 0 cm MPa 0 0 - CM2 Elément 1 en x = 4 cm MPa -8.98 -8.98 0.00% CM2 Elément 1 en x = 8 cm MPa -17.96 -17.96 0.00%


09 Janvier 2007 136

2.41. Test n° 01-0041SSLLB_MEF: Poutre sur deux appuis avec prise en compte du cisaillement

2.41.1. Fiche de description ■ Référence : Test interne GRAITEC ; ■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : linéique.


La poutre d'une longueur totale de 300 cm reconstitue un profilé en I d’une hauteur totale de 20.04 cm ayant une âme d’épaisseur de 0.96 cm et des semelles de largeur 20.04 cm d’épaisseur égale à 1.46 cm.

Unités S.I.

Géométrie

l = 300 cm h = 20.04 cm b= 20.04 cm tw = 1.46 cm tf = 0.96 cm Sx= 74.95 cm2 Iz = 5462 cm4 Sy = 16.43 cm2

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2285938 daN/cm2, ■ Module d’élasticité transversal G = 879207 daN/cm2 ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


□ Appui simple au nœud 11, □ Pour la modélisation, articulation au nœud 1 ( au lieu d’être un appui simple).



09 Janvier 2007 137

Chargement ■ Externe : Charge ponctuelle verticale P = -20246 daN au nœud 6, ■ Interne : Aucun.

2.41.3. Déplacement vertical du modèle dans le domaine linéaire élastique


Le déplacement de référence est calculé au milieu de la poutre au nœud 6.

( )cm 017.1105.0912.0

43.16x3.012

2285938x4

300x202465462x2285938x48

300x20246GS4Pl

EI48Plv

3tranchant

y

flexion

z

3

6 −=−−=

+

−+

−=+=

876876


■ Elément surfacique : Poutre C, maillage imposé, ■ 11 nœuds, ■ 10 éléments filaires.




Solveur Modèle Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 Au nœud 6 cm -1.017 -1.017 0.00%


09 Janvier 2007 138

2.42. Test n° 01-0042SSLSB_MEF: Cylindre mince sous charge axiale uniforme


07/89 ; ■ Type d’analyse : Elastique statique ; ■ Type d’élément : surfacique .


Un cylindre de rayon R et de longueur L est soumis à une charge axiale uniforme.

Unités S.I.

Géométrie ■ Epaisseur : h = 0.02 m, ■ Longueur : L = 4 m, ■ Rayon : R = 1 m.



□ Déplacement axial nul à l’extrémité gauche : vz = 0, □ Pour la modélisation, on ne considère qu’un quart du cylindre.


Chargement ■ Externe : Chargement axial uniforme q = 10000 N/m, ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 139

2.42.3. Contrainte en tous points


L’axe x du repère local des éléments surfaciques est parallèle à l’axe du cylindre.

σxx = qh

σyy = 0


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 697 nœuds, ■ 640 quadrangles surfaciques .

2.42.4. Déformation du cylindre à l’extrémité libre


■ Déformation longitudinale du cylindre δL :

δL = qLEh

■ Déformation radiale du cylindre δR :

δR = -qνREh


■ Élément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 697 nœuds, ■ 640 quadrangles surfaciques.

Forme de la déformation


09 Janvier 2007 140




CM2 En tous points Pa 5 x 105 5 x 105 0.00%



CM2 En tous points Pa 0 0 -

3 Comparaison des résultats : déformation longitudinale δL


CM2 A l’extrémité libre m 9.52 x 10-6 9.52 x 10-6 0.00%

4 Comparaison des résultats : déformation radiale δR


CM2 A l’extrémité libre m -7.14 x 10-7 -7.109 x 10-7 -0.43%


09 Janvier 2007 141

2.43. Test n° 01-0043SSLSB_MEF: Cylindre mince sous pression hydrostatique


08/89 ; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique .


Un cylindre de rayon R et de longueur L est soumis à une pression hydrostatique.

Unités S.I.



Conditions aux limites ■ Externes : Pour la modélisation, on ne considère qu’un quart du cylindre, donc on

impose des conditions de symétrie aux nœuds parallèles à l’axe du cylindre. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Pression interne radiale variant linéairement avec la hauteur p = p0 zL ,



09 Janvier 2007 142

2.43.3. Contraintes


L’axe x du repère local des éléments surfaciques est parallèle à l’axe du cylindre. σxx = 0

σyy = p0RzLh


■ Élément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 209 nœuds, ■ 180 quadrangles surfaciques.

2.43.4. Déformation du cylindre



δL = -p0Rνz2

2ELh


δR = p0R2zELh



Forme de la déformation


09 Janvier 2007 143




CM2 En tous points Pa 0 0 -



CM2 En z = L/2 Pa 5 x 105 5 x 105 0.00%

3 Comparaison des résultats : déformation longitudinale du cylindre δL


CM2 Extrémité inférieure m -2.86 x 10-6 -2.854 x 10-6 -0.21%

4 Comparaison des résultats : déformation radiale du cylindre δR


CM2 En z = L/2 m 2.38 x 10-6 2.38 x 10-6 0.00%


09 Janvier 2007 144

2.44. Test n° 01-0044SSLSB_MEF: Cylindre mince sous son poids propre



2.44.2. Présentation Un cylindre de rayon R et de longueur L est soumis à son poids propre.

Unités S.I.


Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique : γ = 7.85 x 104 N/m3.


□ Déplacement axial nul en z = 0, □ Pour la modélisation, on ne considère qu’un quart du cylindre, donc on

impose des conditions de symétrie aux nœuds parallèles à l’axe du cylindre. ■ Internes : Aucune.


09 Janvier 2007 145

Chargement ■ Externe : Poids propre du cylindre, ■ Interne : Aucun.

2.44.3. Contraintes

Solution de référence L’axe x du repère local des éléments surfaciques est parallèle à l’axe du cylindre. σxx = γz σyy = 0

Modélisation aux éléments finis ■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 697 nœuds, ■ 640 quadrangles surfaciques.




δL = γz2

2E


δR = -γνRz

E



Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 En tous points Pa 0 0 -

Note : Pour obtenir cet résultat, vouz dévez génerer une note de calcul « Contraintes dans les surfaciques par cas de charges en fibre moyenne » avec « Lieux de resultat « aux Centre


Solveur Modèle Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 pour z = L Pa 3.14 x 105 3.11 x 105 -0.95%

3 Comparaison des résultats : déformation longitudinale δL

Solveur Modèle Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 pour z = L m x 10-6 2.99 2.99 0.00%


Solveur Modèle Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 pour z = L m x 10-6 -0.44 -0.44 0.00%


09 Janvier 2007 146

2.45. Test n° 01-0045SSLSB_MEF: Tore sous pression interne uniforme


10/89 ; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.

2.45.2. Présentation Un tore de rayon a et dont la section transversale a pour rayon b, est soumis à une pression interne uniforme.

Unités S.I.

Géométrie ■ Epaisseur : h = 0.02 m, ■ Rayon de la section transversale : b = 1 m, ■ Rayon de courbure moyen : a = 2 m.


Conditions aux limites ■ Externes : Pour la modélisation, on ne considère qu’un huitième du cylindre, donc

on impose des conditions de symétrie aux nœuds d’extrémités. ■ Internes : Aucune.


09 Janvier 2007 147

Chargement ■ Externe : Pression interne uniforme p = 10000 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.45.3. Contraintes


(Voir description des contraintes sur le premier schéma de présentation) Si a – b ≤ r ≤ a + b

σ11 = pb2h

r + ar

σ22 = pb2h

Modélisation aux éléments finis ■ Élément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 361 nœuds, ■ 324 quadrangles surfaciques.


Solution de référence ■ Déformation radiale du tore δR :

δR = pb

2Eh (r - ν(r + a))

Modélisation aux éléments finis ■ Élément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 361 nœuds, ■ 324 quadrangles surfaciques .


1 Comparaison des résultats : contraintes σ11

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 pour r = a - b Pa 7.5 x 105 7.43 x 105 -0.94% CM2 pour r = a + b Pa 4.17 x 105 4.15 x 105 -0.48%

2 Comparaison des résultats : contrainte σ22

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 pour tout r Pa 2.50 x 105 2.49 x 105 -0.4%

3 Comparaison des résultats : déformations radiales du tore δR

Solveur Modèle Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 pour r = a - b m 1.19 x 10-7 1.2 x 10-7 0.84% CM2 pour r = a + b m 1.79 x 10-6 1.79 x 10-6 0.00%


09 Janvier 2007 148

2.46. Test n° 01-0046SSLSB_MEF: Calotte sphérique sous pression interne




Une calotte sphérique de rayon R2 est soumise à une pression interne.


09 Janvier 2007 149

Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : h = 0.02 m, ■ Rayon : R2 = 1 m, ■ θ = 90° (hémisphère).




■ Externes : Appui simple (déplacement vertical selon y nul) sur le périmètre de la calotte. Pour la modélisation, on ne considère que la moitié de l’hémisphère, donc on impose des conditions de symétrie (blocage des nœuds situés dans le plan vertical xy en translation suivant z et en rotation suivant x et y) ; de plus, le nœud situé au sommet de la calotte est bloqué en translation suivant x pour assurer la stabilité de la structure lors du calcul),


Chargement

■ Externe : Pression interne uniforme p = 10000 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.46.3. Contraintes


(Voir description des contraintes sur le premier schéma de présentation) Si 0° ≤ θ ≤ 90°

σ11 = σ22 = pR2

2

2h


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 343 nœuds, ■ 324 surfaciques .



■ Déformation radiale de la calotte δR :

δR = pR2

2 (1 - ν) sin θ 2Eh


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 343 nœuds, ■ 324 surfaciques.


09 Janvier 2007 150





CM2 pour tout θ Pa 2.50 x 105 2.50 x 105 0.00%



CM2 pour tout θ Pa 2.50 x 105 2.50 x 105 0.00%

2 Comparaison des résultats : déformations radiales δR

Solveur Modèle Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 pour θ = 90° m 8.33 x 10-7 8.34 x 10-7 0.12%


09 Janvier 2007 151

2.47. Test n° 01-0047SSLSB_MEF: Calotte sphérique sous son poids propre


17/89 ; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique . ■ Tolerance CAO 0.5 mm


Un calotte sphérique de rayon R2 est soumise à son poids propre.


09 Janvier 2007 152

sUnités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : h = 0.02 m, ■ Rayon : R2 = 1 m, ■ θ = 90° (hémisphère).


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique : γ = 7.85 x 104 N/m3.


■ Externes :

Appui simple (déplacement vertical selon y nul) sur le périmètre de la calotte. Pour la modélisation, on ne considère que le quart de l’hémisphère, donc on impose des conditions de symétrie (blocage des nœuds situés dans le plan vertical yz en translation suivant x et en rotation suivant y et z + blocage des nœuds situés dans le plan vertical xy en translation suivant z et en rotation suivant x et y),


Chargement

■ Externe : Poids propre, l’axe vertical est l’axe y, ■ Interne : Aucun.

2.47.3. Contraintes


(Voir description des contraintes sur le premier schéma de présentation)

σ11 = γR2

1 + cosθ

σ22 = -γR2 ( 1

1 + cosθ - cosθ)


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 2071 nœuds, ■ 2025 surfaciques . ■ Tolérance CAO = 0.0005 m

2.47.4. Déformation radiale du cylindre


δR = -γR2

2 sinθ E (

1 + ν1 + cosθ - cosθ)


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 2071 nœuds, ■ 2025 surfaciques .


09 Janvier 2007 153




CM2 pour tout θ = 90° Pa 7.85 x 104 7.83 x 104 -0.25%



CM2 pour tout θ = 90° Pa -7.85 x 104 -7.83 x 104 -0.25%



CM2 pour tout θ = 90° m 4.86 x 10-7 4.848 x 10-7 -0.25%


09 Janvier 2007 154

2.48. Test n° 01-0048SSLSB_MEF: Coque cylindrique pincée




Un cylindre de longueur L est pincé par 2 forces F diamétralement opposées.


09 Janvier 2007 155

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 10.35 m (longueur totale), ■ Rayon : R = 4.953 m, ■ Epaisseur : h = 0.094 m.




■ Externes : Pour la modélisation, on ne considère que la moitié du cylindre, donc on impose des conditions de symétrie (blocage des nœuds situés dans le plan horizontal xz en translation suivant y et en rotation suivant x et z ),


Chargement

■ Externe : 2 forces ponctuelles F = 100 N, ■ Interne : Aucun.

2.48.3. Déplacement vertical au point A


La solution de référence a été établie par moyenne de résultats de plusieurs progiciels de calcul mettant en œuvre la méthode des éléments finis. Incertitude de 2% sur la solution de référence.





Solveur Positionnement Unité Référence Marge de la référence AS 2.1 Ecart

CM2 Au point A m -113.9 x 10-3 ± 2% -113.36 x 10-3 -0.47%


09 Janvier 2007 156

2.49. Test n° 01-0049SSLSB_MEF: Coque sphérique trouée




Une coque sphérique trouée est soumise à 4 forces diamétralement opposées deux à deux.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon : R = 10 m, ■ Epaisseur : h = 0.04 m, ■ Angle d’ouverture du trou : ϕ0 = 18°.




09 Janvier 2007 157

Conditions aux limites ■ Externes : Pour la modélisation, on ne considère que le quart de la coque, donc on

impose des conditions de symétrie (blocage des nœuds situés dans le plan vertical yz en translation suivant x et en rotation suivant y et z + blocage des nœuds situés dans le plan vertical xy en translation suivant z et en rotation suivant x et y),


Chargement ■ Externe : Forces ponctuelles F = 1 N suivant le schéma, ■ Interne : Aucun.

2.49.3. Déplacement horizontal au point A

Solution de référence La solution de référence a été établie par moyenne de résultats de plusieurs progiciels de calcul mettant en œuvre la méthode des éléments finis. Incertitude de 2% sur la solution de référence.

Modélisation aux éléments finis ■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 99 nœuds, ■ 80 quadrangles surfaciques.



Comparaison des résultats : déplacement horizontal

Solveur Positionnement Unité Référence Marge de la référence AS 2.1 Ecart CM2 Au point A(R,0,0) mm 94.0 ± 2% 95.149 1.22%


09 Janvier 2007 158

2.50. Test n° 01-0050SSLSB_MEF: Dôme sphérique sous pression extérieure uniforme


22/89 ; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.


Un dôme sphérique de rayon a est soumis à une pression extérieure uniforme.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon : a = 2.54 m, ■ Epaisseur : h = 0.0127 m, ■ Angle : θ = 75°.


09 Janvier 2007 159




■ Externes : Encastrement sur le périmètre du dôme, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Pression uniforme p = 0.6897 x 106 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.50.3. Déplacement horizontal et contrainte méridienne extérieure


La solution de référence a été établie par moyenne de résultats de plusieurs progiciels de calcul mettant en œuvre la méthode des éléments finis. Incertitude de 2% sur la solution de référence.


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 401 nœuds, ■ 400 surfaciques.



09 Janvier 2007 160


1 Comparaison des résultats : déplacements horizontaux


CM2 en ψ = 15° m -1.73 x 10-3 ± 2% -2.14 x 10-3 -7.78% CM2 en ψ = 45° m -1.02 x 10-3 ± 2% -1.01 x 10-3 0.17%

2 Comparaison des résultats : contraintes méridiennes extérieures σXX

Solveur Modèle Unité Référence Marge de la référence AS 2.1 Ecart

CM2 en ψ = 15° MPa -74 ± 2% -81.1 2.36% CM2 en ψ = 45° MPa -68 ± 2% -68.99 1.45%

(7.5° entre 2 nœuds)


09 Janvier 2007 161

2.51. Test n° 01-0051SSLSB_MEF: Plaque carrée sur appuis simples avec chargement uniforme


24/89; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.


Une plaque carrée simplement appuyée est soumise à un chargement uniforme.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = b = 1 m, ■ Epaisseur : h = 0.01 m,




■ Externes : Appui simple sur le périmètre de la plaque (déplacement nul suivant l’axe z),



09 Janvier 2007 162

Chargement

■ Externe : Pression normale à la plaque p = pZ = -1.0 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.51.3. Déplacement vertical et moments de flexion au centre de la plaque


Théorie des plaques minces de Love-Kirchhoff.


■ Elément surfacique : plaque, maillage imposé, ■ 361 nœuds, ■ 324 surfaciques.




CM2 Au centre de la plaque m 4.43 x 10-3 4.358 x 10-3 -1.62%

2 Comparaison des résultats : moments de flexion MX


CM2 Au centre de la plaque Nm 0.0479 0.0471 -1.67%

3 Comparaison des résultats : moment de flexion MY




09 Janvier 2007 163

2.52. Test n° 01-0052SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme




Une plaque rectangulaire simplement appuyée est soumise à un chargement uniforme.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Largeur : a = 1 m, ■ Longueur : b = 2 m, ■ Epaisseur : h = 0.01 m,







09 Janvier 2007 164

Chargement










CM2 Au centre de la plaque m 1.106 x 10-2 1.102 x 10-2 -0.36



CM2 Au centre de la plaque Nm 0.1017 0.1017 0.00%





09 Janvier 2007 165

2.53. Test n° 01-0053SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme




Une plaque rectangulaire simplement appuyée est soumise à un chargement uniforme.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Largeur : a = 1 m, ■ Longueur : b = 5 m, ■ Epaisseur : h = 0.01 m,







09 Janvier 2007 166

Chargement










CM2 Au centre de la plaque m 1.416 x 10-2 1.401 x 10-2 -1.06%








09 Janvier 2007 167

2.54. Test n° 01-0054SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec effort et moments ponctuels



2.54.2. Présentation Une plaque rectangulaire simplement appuyée est soumise à un effort et à des moments ponctuels.

Unités S.I.

Géométrie ■ Largeur : DA = CB = 20 m, ■ Longueur : AB = DC = 5 m, ■ Epaisseur : h = 1 m,

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E =1000 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.

Conditions aux limites ■ Externes : Appui ponctuel en A, B et D (déplacement nul suivant l’axe z), ■ Internes : Aucune.

Chargement ■ Externe :

□ En A : MX = 20 Nm, MY = -10 Nm, □ En B : MX = 20 Nm, MY = 10 Nm, □ En C : FZ = -2 N, MX = -20 Nm, MY = 10 Nm, □ En D : MX = -20 Nm, MY = -10 Nm,



09 Janvier 2007 168

2.54.3. Déplacement vertical en C









CM2 Au point C m -12.480 -12.667 1.50%


09 Janvier 2007 169

2.55. Test n° 01-0055SSLSB_MEF: Plaque en cisaillement perpendiculaire à la surface moyenne


27/89; ■ Type d’analyse : statique ; ■ Type d’élément : surfacique.


Une plaque rectangulaire encastrée sur un de ses bords est soumise à 2 forces.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 12 m, ■ Largeur : l = 1 m, ■ Epaisseur : h = 0.05 m,


■ Module d’élasticité longitudinal : E =1.0 x 107 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.25.


■ Externes : Bord AD encastré, ■ Internes : Aucune.


09 Janvier 2007 170

Chargement

■ Externe : □ En B : Fz = -1.0 N, □ En C : FZ = 1.0 N,




Solution analytique.







CM2 Au point C m 35.37 x 10-3 ± 3% 35.67 x 10-3 0.85%


09 Janvier 2007 171

2.56. Test n° 01-0056SSLLB_MEF: Système triangulé de barres articulées


12/89; ■ Type d’analyse : statique (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire .

2.56.2. Présentation Un treillis de barres articulées sur 3 appuis ponctuels (soumis à des déplacements imposés) est soumis à 2 forces ponctuelles et à un chargement thermique sur toutes les barres.

Unités S.I.

Géométrie ■ θ = 30°, ■ Section A1 = 1.41 x 10-3 m2, ■ Section A2 = 2.82 x 10-3 m2.

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E =2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de dilatation linéique : α = 10-5 °C-1.


□ Articulation en A (uA = vA = 0), □ Appuis à rouleaux en B et C ( uB = v’C = 0),



□ Déplacement d’appuis : vA = -0.02 m ; vB = -0.03 m ; v’C = -0.015 m , □ Forces ponctuelles : FE = -150 KN ; FF = -100 KN, □ Effet de dilatation de toutes les barres pour un écart de 150° par rapport à la

température de montage (géométrie de référence), ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 172

2.56.3. Effort de traction dans la barre BD

Solution de référence Détermination de l’inconnue hyperstatique par la méthode des coupures.

Modélisation aux éléments finis ■ Elément filaire : poutre C, maillage automatique, ■ 11 nœuds, ■ 17 poutre C + 1 Poutre C rigide pour la modélisation de l’appui simple en C.

2.56.4. Déplacement vertical en D

Solution de référence Le déplacement vD a été déterminé par moyenne de plusieurs progiciels mettant en œuvre la méthode des éléments finis.

Modélisation aux éléments finis ■ Elément filaire : poutre C, maillage automatique, ■ 11 nœuds, ■ 17 poutre C + 1 Poutre C rigide pour la modélisation de l’appui simple en C.



1 Comparaison des résultats : effort de traction FX

Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Barre BD N 43633 43688 0.13%


Solveur Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Au point D m -0.01618 -0.01616 -0.12%


09 Janvier 2007 173

2.57. Test n° 01-0057SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme

2.57.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLV

09/89; ■ Type d’analyse : statique ; ■ Type d’élément : surfacique .


Plaque carrée de côté a, pour la modélisation, on ne considère que le quart de la plaque.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = 1 m, ■ Epaisseur : h = 0.01 m,

■ Elancement : λ = ah = 100.


■ Acier, ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


■ Externes : Bords AB et BD encastrés, Pour la modélisation, on impose des conditions de symétrie aux bords CB (déplacement bloqué suivant x et rotations bloquées autour de y et z) et CD (déplacement bloqué suivant y et rotations bloquées autour de x et z),


Chargement

■ Externe : Pression uniforme de 1MPa, ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 174



Ce problème n’a de solution analytique exacte que pour les plaques minces. On propose donc les solutions obtenues avec des éléments Serendip à 20 nœuds ou des éléments de plaque dite épaisse à 4 nœuds. Le résultat attendu doit donc être compris entre ces valeurs à ± 5%.






CM2 Au point C m 0.63389 à 0.66390 x 10-2 0.65879 x 10-2


09 Janvier 2007 175


2.58.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLV

09/89; ■ Type d’analyse : statique ; ■ Type d’élément : surfacique.



Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = 1 m, ■ Épaisseur : h = 0.01333 m,

■ Élancement : λ = ah = 75.






Chargement



09 Janvier 2007 176





■ Élément surfacique : plaque, maillage imposé, ■ 289 nœuds, ■ 256 quadrangles surfaciques.




CM2 Au point C m 0.26861 à 0.28053 x 10-2 0.28045 x 10-2


09 Janvier 2007 177



■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLV 09/89;

■ Type d’analyse : statique ; ■ Type d’élément : surfacique.



Unités

S.I.

Géométrie








Chargement



09 Janvier 2007 178









CM2 Au point C m 0.80286 à 0.83480 x 10-2 0.82839 x 10-2


09 Janvier 2007 179







Unités

S.I.

Géométrie








Chargement



09 Janvier 2007 180









CM2 Au point C m 0.52416 à 0.55474 x 10-3 0.55170


09 Janvier 2007 181







Unités

S.I.

Géométrie








Chargement



09 Janvier 2007 182









CM2 Au point C m 0.65520 à 0.78661 x 10-4 0.7818


09 Janvier 2007 183

2.62. Test n° 01-0062SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle





Plaque carrée de côté a.

Unités

S.I.

Géométrie






■ Externes : Bords encastrés, ■ Internes : Aucune.


09 Janvier 2007 184

Chargement

■ Externe : Force ponctuelle appliquée au centre de la plaque: FZ = -106 N, ■ Interne : Aucun.

2.62.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque)








CM2 Au point C m 0.27794 à 0.29579 0.292146


09 Janvier 2007 185




■ Type d’analyse : statique ; ■ Type d’élément : surfacique .



Unités

S.I.

Géométrie








09 Janvier 2007 186

Chargement










CM2 Au point C m 0.11837 à 0.12525 0.12458


09 Janvier 2007 187







Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = 1 m, ■ Épaisseur : h = 0.02 m, ■ Élancement : λ = 50.






09 Janvier 2007 188

Chargement










CM2 Au point C m 0.035738 à 0.037454 0.03698


09 Janvier 2007 189







Unités

S.I.

Géométrie





09 Janvier 2007 190



Chargement










CM2 Au point C m 0.23317 x 10-2 à 0.25946 x 10-2 0.25723 x 10-2


09 Janvier 2007 191







Unités

S.I.

Géométrie





09 Janvier 2007 192



Chargement










CM2 Au point C m 0.29146 à 0.42995 x 10-2 0.41209 x 10-2


09 Janvier 2007 193

2.67. Test n° 01-0067SDLLB_MEF: Mode de vibration d’un coude de tuyauterie mince dans l’espace (cas 1)



■ Type d’analyse : analyse modale (problème spatial) ; ■ Type d’élément : filaire.


Un coude de rayon de courbure 1 m et encastré à ses extrémités est soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 )


09 Janvier 2007 194




■ Externes : Encastrement aux points A et B, ■ Internes : Aucune.

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La méthode de Rayleigh appliquée à un élément de poutre courbe mince permet de déterminer des paramètres tels que : ■ flexion transverse :

fj = μi

2

2π R2 GIpρA avec un i = 1,2.







CM2 Transverse 1 Hz 44.23 44.12 -0.25% CM2 Transverse2 Hz 125 120.09 -3.93%


09 Janvier 2007 195



■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLL 14/89;

■ Type d’analyse : analyse modale (dans l’espace); ■ Type d’élément : filaire.



Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ L = 0.6 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 ) □ C ( -L ; R ; 0 ) □ D ( R ; -L ; 0 )


09 Janvier 2007 196






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fj = μi

2







Serveur Nature du mode propre Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 Transverse 1 Hz 33.4 33.19 -0.63% CM2 Transverse2 Hz 100 94.62 -5.38%


09 Janvier 2007 197




■ Type d’analyse : analyse modale (problème spatial) ; ■ Type d’élément : filaire.



Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ L = 2 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 ) □ C ( -L ; R ; 0 ) □ D ( R ; -L ; 0 )


09 Janvier 2007 198






Chargement





fj = μi

2



■ Élément filaire : poutre, ■ 41 nœuds, ■ 40 filaires.





CM2 Transverse 1 Hz 17.900 17.65 -1.40% CM2 Transverse2 Hz 24.800 24.43 -1.49%


09 Janvier 2007 199

2.70. Test n° 01-0077SSLPB_MEF: Actions aux appuis et moments sur un portique 2D


■ Référence : Conception et calcul des structures métalliques. ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Filaire


Calcul des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D. Le but de ce test est de vérifier les résultats issus d'Advance Structure pour l’étude R.D.M d’un portique 2D.

Géométrie du portique

Soit un portique symétrique d’une portée de 20 mètres, dont les poteaux (de même inertie que les arbalétriers), sont articulés en pieds et hauts de 7.5 mètres, et le faîtage est à 10 mètres d’altitude. Les profilés sont choisis identique pour le poteau et les arbalétriers.

Sollicitations du portique

Le portique est soumis successivement à : Une charge linéique q=100 daN/ml sur les arbalétriers, perpendiculaire à ceux-ci.


09 Janvier 2007 200

2.70.3. Calcul R.D.M des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D

Les résultats RDM, pour la charge linéique perpendiculaire aux arbalétriers, sont :

2qLVV EA == ( ) ( ) H

fh3f3k²hf5h8

32²qLHH EA =

++++

==

HhMM DB −== ( )fhH8

²qLMC +−=


Comparaison entre les résultats théoriques et les résultats obtenus par le solveur d’Advance Structure pour la charge linéique perpendiculaire aux arbalétriers

Solveur Efforts Unités Référence AS 2.1 Ecart

CM2 Réaction verticale VA = VE DaN 1000 1000 0.00% Réaction horizontale HA = HE DaN 332.9 332.67 -0.07% MB = MD DaN.m -2496.8 -2494.99 -0.07% MC DaN.m 1671 1673.35 0.14%


09 Janvier 2007 201

2.71. Test n° 01-0078SSLPB_MEF: Actions aux appuis et moments sur un portique 2D


■ Référence : Conception et calcul des structures métalliques. ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Filaire


Calcul des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D. Le but de ce test est de vérifier les résultats issus d'Advance Structure pour l’étude R.D.M d’un portique 2D.

Géométrie du portique

Soit un portique symétrique d’une portée de 20 mètres, dont les poteaux (de même inertie que les arbalétriers), sont articulés en pieds et hauts de 7.5 mètres, et le faîtage est à 10 mètres d’altitude. Les profilés sont choisis identique pour le poteau et les arbalétriers.

Sollicitations du portique

Le portique est soumis successivement à : Une charge linéique q=100 daN/ml sur le poteau, perpendiculaire à ceux-ci.


09 Janvier 2007 202

2.71.3. Calcul R.D.M des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D

Les résultats RDM, pour la charge linéique perpendiculaire au poteau, sont les suivants:

L2²qhVV EA −=−=

( )( ) ( )fh3f3k²h

fh26kh516

²qhHE +++++

= qhHH EA −=

hHqhM EB −=2

² ( )fhH

4²qhM EC +−= hHM ED −=


Comparaison entre les résultats théoriques et les résultats obtenus par le solveur d’Advance Structure pour la charge linéique perpendiculaire au poteau

Solveur Efforts Unités Référence AS 2.1 Ecart

CM2 Réaction verticale VA = -VE DaN -140.6 -140.63 0.02% Réaction horizontale HA DaN 579.1 579.17 0.01% Réaction horizontale HE DaN 170.9 170.83 -0.04% MB DaN.m 1530.8 1531.26 0.03% MC DaN.m -302.7 -302.06 -0.21% MD DaN.m -1281.7 -1281.23 -0.04%


09 Janvier 2007 203

2.72. Test n° 01-0084SSLLB_MEF: Poutre courte sur deux appuis articules


■ Référence : Guide de validation des progiciels de calcul structures, test SSLL 02/89 ■ Type d’analyse : Statique linéaire (problème plan) ■ Type d’élément : Linéique

2.72.2. Présentation Poutre courte sur deux appuis articules

Unités S.I.

Géométrie ■ Longueur : L = 1.44 m, ■ Aire : A = 31 x 10-4 m² ■ Inertie :I = 2810 x 10-8 m4 ■ Coefficient de cisaillement : az = 2.42 = A/Ar

Propriétés des matériaux ■ E = 2 x 1011 Pa ■ ν = 0.3 Conditions aux limites

■ Articulation à l’extrémité x = 0, ■ Articulation à l’extrémité x = 1.44 m

Chargement Force répartie uniformément sur la poutre AB d’intensité p = -1. X 105 N/m.

2.72.3. Résultats de référence Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence La flèche au milieu d’une poutre non élancée avec prise en considération des déformations d’effort tranchant est donnée par la fonction de Timoshenko :

GA8pl

EIpl

3845v

r

24

+=

avec ( )υ+=

12EG et

zr a

AA =

où Ar est l’aire réduite et az le coefficient de cisaillement calculé sur la section transversale. Incertitude sur la solution de référence : Solution analytique.

Valeurs de référence

Point Grandeur et unité Valeur C V, flèche (m) -1.25926 x 10-3


Comparaison des résultats

Solveur Point Grandeur et unité Valeur de référence AS 2.1 Ecart CM2 C V, flèche (m) -1.25926 -1.25926 0.00%


09 Janvier 2007 204

2.73. Test n° 01-0085SDLLB_MEF: Poutre élancée de section rectangulaire variable encastrée-libre (β=5)



■ Type d’analyse : Analyse modale (problème plan) ■ Type d’élément : linéique


Poutre élancée de section rectangulaire variable (encastre-libre)

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 1 m, ■ Section droite initiale :

□ h0 = 0.04 m □ b0 = 0.05 m □ A0 = 2 x 10-3 m²

■ Section droite finale : □ h1 = 0.01 m □ b1 = 0.01 m □ A1 = 10-4 m²


■ E = 2 x 1011 Pa ■ ρ = 7800 kg/m3


■ Externes : □ Encastrement à l’extrémité x = 0, □ Libre à l’extrémité x = 1


Chargement



09 Janvier 2007 205

2.73.3. Résultats de référence

Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence Calcul exact par intégration numérique de l’équitation différentielle de la flexion des poutres (théorie d’Euler-Bernouilli)

²t²A

²x²EIz

x2

2

δνδ

ρ−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛δ

νδδδ

où Iz et A varient avec l’abscisse.

On obtient :

( ) ρβαλπ

= 12E

²l1h,i

21fi avec

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ο

=β

=ο

=α

51b

b

41h

h

λ1 λ2 λ3 λ4 λ5

β = 5 24.308 75.56 167.21 301.9 480.4

Incertitude sur la solution de référence : Solution analytique.


Nature du mode propre Fréquence(Hz) 1 56.55 2 175.79 3 389.01 4 702.36

Flexion

5 1117.63


09 Janvier 2007 206


09 Janvier 2007 207


09 Janvier 2007 208



Nature du mode propre Fréquence Théorique (Hz)

AS 2.1 (Hz)

Ecart

1 56.55 58.49 3.43% 2 175.79 177.67 1.07% 3 389.01 388.85 -0.04% 4 702.36 697.38 -0.71%

Flexion

5 1117.63 1106.31 -1.01%


09 Janvier 2007 209

2.74. Test n° 01-0086SDLLB_MEF: Poutre élancée de section rectangulaire variable encastrée-encastrée

2.74.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de validation des progiciels de calcul structures, test SDLL 10/89 ■ Type d’analyse : Analyse modale (problème plan) ■ Type d’élément : linéique


Poutre élancée de section rectangulaire variable (encastre-encastre)

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 0.6 m, ■ Epaisseur constante : h = 0.01 m ■ Section initiale :

□ b0 = 0.03 m □ A0 = 3 x 10-4 m²

■ Variation de la section : □ avec (α = 1) □ b = b0e-2αx □ A = A0e-2αx


■ E = 2 x 1011 Pa ■ ν = 0.3 ■ ρ = 7800 kg/m3


■ Externes : □ Encastrement à l’extrémité x = 0, □ Encastrement à l’extrémité x = 0.6 m.


Chargement

■ Externe : Aucun, ■ Interne :Aucun.


Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence

La pulsation ωi est donnée par les racines de l’équation :

( ) ( ) ( ) ( ) 0rlsinslshrs2

²r²sslchrlcos1 =−

+−

avec


09 Janvier 2007 210

( ) 0²²s;²r;EIA 2

isi2

i2i

zo

2i04

i >α−λ⎯→⎯α−λ=λ+α=ωρ

=λ

Les composantes de translation ν du mode φi(x) sont alors :

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

+−=Φ α ))sx(rsh)rxsin(s()rlsin(s)sl(rsh

)sl(ch)rlcos(sxchrxcosex xi

Incertitude sur la solution de référence : Solution analytique.


Mode propre φi(x)* Ordre du mode propre

Fréquence (Hz) x = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 143.303 0 0.237 0.703 1 0.859 0.354 0 2 396.821 0 -0.504 -0.818 0 0.943 0.752 0 3 779.425 0 0.670 0.210 -0.831 0.257 1 0 4 1289.577 0 -0.670 0.486 0 -0.594 1 0

* Modes propres φi(x)* normés à 1 au point d’amplitude maximale

Modes propres

2.74.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats : fréquences propres

Serveur Nature du mode propre : Flexion Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 1 Hz 143.303 145.88 1.80% CM2 2 Hz 396.821 400.26 0.87% CM2 3 Hz 779.425 783.15 0.48% CM2 4 Hz 1289.577 1293.42 0.30%


09 Janvier 2007 211

2.75. Test n° 01-0089SSLLB_MEF: Portique plan articule en pied

2.75.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, test SSLL 14/89. ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Linéique


Calcul des actions aux appuis sur un portique 2d.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 20 m, ■ I1 = 5.0 x 10-4 m4 ■ a = 4 m ■ h = 8 m ■ b = 10.77 m ■ I2 = 2.5 x 10-4 m4


■ Matériau élastique linéaire isotrope. ■ E = 2.1 x 1011 Pa


Pieds de poteaux A et B articulés (uA = vA = 0 ; uB = vB = 0).


09 Janvier 2007 212

Chargement

■ p = -3 000 N/m ■ F1 = -20 000 N ■ F2 = -10 000 N ■ M = -100 000 Nm

2.75.3. Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence

■ K = (I2/b)(h/I1) ■ p = a/h ■ m = 1 + p ■ B = 2(K + 1) + m ■ C = 1 + 2m ■ N = B + mC ■ VA = 3pl/8 + F1/2 – M/l + F2h/l ■ HA = pl²(3 + 5m)/(32Nh) + (F1l/(4h))(C/N) + F2(1-(B + C)/(2N)) + (3M/h)((1 +

m)/(2N))

2.75.4. Valeurs de référence

Point Grandeur et unité Valeur A V, réactionverticale (N) 31 500.0 A H, réaction horizontale (N) 20 239.4 C vc (m) -0.03072

2.75.5. Fiche de résultats Comparaison des résultats : effort

Solveur Point Grandeur Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 A Réaction verticale V N 31500 31500 0.00%

A Réaction horizontale H N 20239.4 20239.4 0.00%

Comparaison des résultats : déplacement

Solveur Point Grandeur Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 C Déplacement vc m -0.03072 -0.03072 0.00%

Test 01-0090HFLSB_MEF Archive 01-0090HFLSB_MEF.do4

09 Janvier 2007 213

2.76. Test n° 01-0090HFLSB_MEF: Poutre sur appuis simples en flambement Eulérien avec charge thermique

2.76.1. Fiche de description ■ Référence : Théorie d’Euler ; ■ Type d’analyse : Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : Surfacique.


La poutre d'une longueur totale de 300 cm reconstitue un profile en I d’une hauteur totale de 20.04 cm ayant une âme d’épaisseur de 0.96 cm et des semelles de largeur 20.04 cm d’épaisseur égale à 1.46 cm.

Unités

S.I.

Géométrie

L = 300 cm h = 20.04 cm b= 20.04 cm tw = 0.96 cm tf = 1.46 cm

Section Sx cm² Sy cm² Sz cm² Ix cm4 Iy cm4 Iz cm4

PRS 74.952 (20.04-0.46) x 0.96=18.58

2x20.04x1.46=58.52

46.54 1959.63 5462.06


09 Janvier 2007 214

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2285938 daN/cm2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Module d’élasticité transversal : G = 879207 daN/cm2, ■ Coefficient de dilatation thermique : α = 0.00001.

Conditions aux limites ■ Externes : Ames simplement appuyées en Z = 0 et Z = 300 cm, ■ Internes : Aucune

Chargement ■ Externe : Aucune, ■ Interne : Charge thermique ΔT = 100°C dans l’âme correspondant à un effort

normal de compression de : ( ) daN 4077410000001.096.046.104.202285938TESN =×××−×=Δα=

2.76.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique Solution de référence


daN 491243300

632.19592285938L

EIN 2

2

2

2

k =××π

=π

=

Pour prendre en compte l’effet de l’effort tranchant, on corrige cette charge en posant :

93.1140774

486597daN 486597N9905.0

GSN

1

NN k

z

k

kk ==λ⇒=×=

+=′

Modélisation aux éléments finis ■ Elément surfacique : Coque E, maillage imposé, ■ 2025 nœuds, ■ 1920 éléments.

Efforts thermiques


09 Janvier 2007 215

Forme de la déformée du mode 1

2.76.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats

Solveur CAS Grandeur Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 101 Effort Normal total* daN -40774 -41051.40 0.68% 102 Coefficient critique - 11.93 11.873 -0.48%

* Pour obtenir cet effort, sélectionner les appuis à une des extrémités de la poutre et afficher les actions aux

appuis sur cette sélection. Cette valeur est affiche dans le document avec les valeurs sur l’appui sélectionne. La valeur est représentée par la somme Fz des actions aux appuis linéaires par cas de charges - repère global (si l’axe z du repère global corresponde avec l’axe x dans le repère local de la barre).

Test 01-0091HFLLB_MEF Archive 01-0091HFLLB_MEF.do4

09 Janvier 2007 216

2.77. Test n° 01-0091HFLLB_MEF: Poutre bi-encastrée en flambement Eulérien avec charge thermique

2.77.1. Fiche de description ■ Référence : Théorie d’Euler ; ■ Type d’analyse : Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : linéique.


Unités

S.I.

Géométrie

L = 10 m Section Sx m² Sy m² Sz m² Ix m4 Iy m4 Iz m4

Vx m3 V1y m3 V1z m3 V2y m3 V2z m3 IPE200 0.002850 0.001400 0.001799 0.0000000646 0.0000014200 0.0000194300

0.00000000 0.00002850 0.00019400 0.00002850 0.00019400


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3. ■ Coefficient de dilatation thermique : α = 0.00001


■ Externes : Encastrement à l’extrémité x = 0, ■ Internes : Aucune


09 Janvier 2007 217

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle FZ = 1 N en x = L/2 (charge permettant d’initialiser la déformée),

■ Interne : ΔT = 5°C correspondant à un effort normal de compression de : kN 925.29500001.000285.011E1.2TESN =×××=Δα=




93.3724.117925.29k 724.117

2

P 2

2

critique ==⇒=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= λπ NLEI

Remarque : dans ce cas, la charge thermique n’a aucun effet sur le coefficient critique



Forme de la déformée du mode 1

2.77.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats : effort normal

Solveur CAS Nœud Grandeur Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 101 6 Effort Normal kN -29.925 -29.90 -0.08% CM2 102 6 Effort Normal kN -117.724 -118.08 0.30%


09 Janvier 2007 218

2.78. Test n° 01-0092HFLLB_MEF: Poutre console en flambement Eulérien avec charge thermique

2.78.1. Fiche de description ■ Référence : Théorie d’Euler ; ■ Type d’analyse : Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : linéique.


Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 10 m ■ S=0.01 m2 ■ I = 0.0002 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.0 x 1010 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.1. ■ Coefficient de dilatation thermique : α = 0.00001


■ Externes : Encastrement à l’extrémité x = 0, ■ Internes : Aucune

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -100000 N en x = L, ■ Interne : ΔT = -50°C (Contraction équivalente à l ‘effort de compression)

( 5000001.0T0005.001.010.2

100000ESN

100 −×=Δα==×

−==ε )




98696.010000098696N 98696

L4EIP 2

2

critique ==λ⇒=π

=

Remarque : dans ce cas, la charge thermique n’a aucun effet sur le coefficient critique


09 Janvier 2007 219





Comparaison des résultats : effort normal

Solveur CAS Nœud Grandeur Unité Référence AS 2.1 Ecart CM2 101 5 Déplacement vertical v5 cm -1.0 -1.0 0.00%

101 A Effort Normal N -100000 -100000 0.00% 102 A Effort Normal N -98696 -98696 0.00%


09 Janvier 2007 220

2.79. Test n° 01-0094SSLLB_MEF: Structure spatiale à barres avec appui élastique

2.79.1. Fiche de description ■ Référence : GRAITEC Interne ; ■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : linéique.


Soit le système de barres suivant :

Unités

S.I.

Géométrie

Pour toutes les barres : ■ H = 3 m ■ B = 3 m ■ S = 0.02 m2

Elément Nœud i Nœud j 1 (barre) 1 5 2 (barre) 2 5 3 (barre) 3 5 4 (barre) 4 5

5 (ressort) 5 6


■ Matériaux élastique linéaire isotrope ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 E8 N/m2,


■ Externes : Au nœud 5 : K = 50000 kN/m ; ■ Internes : Aucune.


09 Janvier 2007 221

Chargement

■ Externe : Charge verticale au nœud : P = -100 kN, ■ Interne : Aucun.

2.79.3. Résultats

Résolution du système

Et 2

22 BHL += . Par ailleurs, U1 = V1 = U5 = U6 = V6 = 0

■ Matrice de rigidité de l’élément barre 1

( ) ( )

1L2x=avec

u.121u.1

21)(uu.

Lxu).

Lx1()x(u jiji

−ξ

ξ++ξ−=ξ⇔+−=

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

)v()u()v()u(

0000010100000101

LES

)u()u(

1111

LESd

41

41

41

41

LES2=

dL2

21

21

2121

ESdxBBESdVBHBk : local repère en

j

j

i

i

j

i1

1

1

1

L

0

Te

T

v1

e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=ξ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

ξ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−===

∫

∫∫∫

−

−

d’où [ ]

)v()u()v()u(

0000010100000101

LESk

5

5

1

1

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=


09 Janvier 2007 222

La matrice élémentaire [ ]ek exprimée dans le repère global XY s'écrit (θ angle permettant de passer de la base globale à la base locale) :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθθ−θθ−θθθθθ−θ−

θ−θθ−θθθθθ−θ−θθθ

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθ−θθ

θθ−θθ

==−

22

22

22

22

e

eeeT

ee

sinsincossinsincossincoscossincoscos

sinsincossinsincossincoscossincoscos

LESK

cossin00sincos00

00cossin00sincos

Ravec RkRK

Sachant que LHsin et

2LBcos =θ=θ alors :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=θθ

=θ

=θ

2

2

22

2

22

L2HBcossin

LHsin

L2Bcos

[ ]

)V()U()V()U(

H2

HBH2

HB2

HB2

B2

HB2

B

H2

HBH2

HB2

HB2

B2

HB2

B

LESK:)

DH( arctan=5,1 noeuds 1 élémentl' pour oùd'

5

5

1

1

22

22

22

22

31

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=θ→

■ Matrice de rigidité de l’élément ressort 5

[ ])v()u()v()u(

0000010100000101

K)u()u(

1111

Kk : local repère en

4KK posant En

j

j

i

i

j

i5

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

′=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−′=

=′

[ ]

)V()U()V()U(

101000001010

0000

'KK:90=6,5 noeuds 5 élémentl' pour oùd'

6

6

5

5

5

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=°θ→


09 Janvier 2007 223

■ Système [ ]{ } { }FQK =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′−

′−′+−−

−−

−−

−−

6Y

6X

5X

1Y

1X

6

6

5

5

1

1

233

233

3

2

33

2

3

233

233

3

2

33

2

3

RR

PRRR

VUVUVU

K0K000000000

K0KHLES

2HB

LESH

LES

2HB

LES

002

HBLES

2B

LES

2HB

LES

2B

LES

00HLES

2HB

LESH

LES

2HB

LES

002

HBLES

2B

LES

2HB

LES

2B

LES

Comme U1 = V1 = U5 = U6 = V6 = 0 alors :

m 001885.0

4KH

LES

4P

KHLES

4P

V2

32

3

5 −=+

−=

′+

−=

Et N 23563V

4KRN 1436VH

LESR

0RN 1015V2

HBLESRN 1015V

2HB

LESR

56Y52

31Y

6X535X531X

=−==−=

=−===−=

Remarques : ■ Les valeurs indiquées aux appuis par AS 2.1 correspondent à des actions, ■ La valeur de RY6 calculée est à multiplier par 4 en raison de la double symétrie, ■ La valeur de Rx1 est comparable à celle trouvée par AS 2.1 en divisant celle ci par

2

Effort dans la barre 1 :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

17591759

NN

uu

1111

LES et

VUVU

2LB

LH00

LH

2LB00

002L

BLH

00LH

2LB

vuvu

5

1

5

1

5

5

1

1

5

5

1

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθ−θθ

θθ−θθ

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

5

1

5

1

5

5

1

1

5

5

1

1

NN

uu

1111

LES et

VUVU

cossin00sincos00

00cossin00sincos

vuvu


09 Janvier 2007 224


Point Grandeur Unité Valeur 5 V2 m -1.885 10-3

Toutes barres Effort normal N -1759 Appuis 1,3,4 et 5 Action Fz N -1436 Appuis 1,3,4 et 5 Action Fx=Fy N 7182/1015 ±=

Appuis 6 Action Fz N 23563 x 4=94253


■ Elément linéique : poutre, maillage auto, ■ 5 nœuds, ■ 4 filaires.


09 Janvier 2007 225


Diagramme des efforts normaux

2.79.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats

Solveur Nœud Grandeur Unité Référence AS 2.1 Ecart 5 V2 m -1.885 10-3 -1.885 10-3 0.00%

Toutes barres Effort normal N -1759 -1759 0.00% Appuis 1,3,4 et 5 Action Fz N -1436 -1436,55 -3.83% Appuis 1,3,4 et 5 Action Fx=Fy N 7182/1015 ±= 718.27 0.04%

CM2

Appuis 6 Action Fz N 23563 x 4=94253 94253.81 0.001%


09 Janvier 2007 226

2.80. Test n° 01-0095SDLLB_MEF: Poutre élancée encastrée – libre avec masse centrée


15/89 ; ■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : linéique. ■ Fonctions testées : Fréquences propres, Poutre droite élancée, Couplage flexion-

torsion, Flexion dans le plan, Flexion transversale, Masse ponctuelle

2.80.2. Données du test

Unités

S.I.

Géométrie

■ Diamètre extérieur : de = 0.35 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.32 m, ■ Longueur de la poutre : l = 10 m, ■ Aire : A = 1.57865 x 10-2 m2

■ Inertie polaire: IP = 4.43798 x 10-4m4 ■ Inertie : Iy = Iz = 2.21899 x 10-4m4 ■ Masse ponctuelle : mc = 1000 kg ■ Masse propre de la poutre : M


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Masse volumique : ρ = 7800 kg/m3

■ Coefficient de Poisson : ν=0.3 (ce coefficient n’étant pas précisé dans le test AFNOR, la valeur de 0.3 semble la plus adaptée pour obtenir la bonne valeur de fréquence de mode n°8 avec NE/NASTRAN)


09 Janvier 2007 227


■ Externes :Encastrement au point A, x = 0, ■ Interne : aucune

Chargement

Aucun pour l’analyse modale


Fréquence de référence

Pour le premier mode, la méthode de Rayleigh donne la formule approchée

)M24.0m(IEI3

x2/1fc

3z

1 +Π=

Mode Forme Unité Référence

1 Flexion Hz 1.65 2 Flexion Hz 1.65 3 Flexion Hz 16.07 4 Flexion Hz 16.07 5 Flexion Hz 50.02 6 Flexion Hz 50.02 7 Traction Hz 76.47 8 Torsion Hz 80.47 9 Flexion Hz 103.2

10 Flexion Hz 103.2

Commentaire : La sous matrice masse consistente associée à la torsion d’un élément poutre à 2 nœuds s’exprimant sous la forme :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

××ρ12/12/11

3Il P

Et dans la mesure où AS 2.1 utilise une matrice de masse condensée la valeur de

l’inertie massique en torsion introduite dans le modèle est fixée à : 3

Il p××ρ

Incertitude sur les fréquences de référence

■ Mode 1 solution analytique ■ Autres modes : ± 1%


■ Type de l’élément filaire AB: Poutre ■ Maillage de la poutre : 20 éléments.


09 Janvier 2007 228

Déformées modales


09 Janvier 2007 229

Remarque : la forme de la déformée du mode n°8 qui ne correspond pas vraiment à une déformée de torsion est en fait le résultat de la visualisation des translations et non des rotations. Ceci est confirmé par les valeurs de rotations du mode correspondant.

Vecteur Propre Mode 8

Noeud DX DY DZ RX RY RZ 1 -3.336e-033 6.479e-031 -6.316e-031 1.055e-022 5.770e-028 5.980e-028 2 -5.030e-013 1.575e-008 -1.520e-008 1.472e-002 6.022e-008 6.243e-008 3 -1.005e-012 6.185e-008 -5.966e-008 2.944e-002 1.171e-007 1.214e-007 4 -1.505e-012 1.365e-007 -1.317e-007 4.416e-002 1.705e-007 1.769e-007 5 -2.002e-012 2.381e-007 -2.296e-007 5.887e-002 2.206e-007 2.289e-007 6 -2.495e-012 3.648e-007 -3.517e-007 7.359e-002 2.673e-007 2.774e-007 7 -2.983e-012 5.149e-007 -4.963e-007 8.831e-002 3.106e-007 3.225e-007 8 -3.464e-012 6.867e-007 -6.618e-007 1.030e-001 3.506e-007 3.641e-007 9 -3.939e-012 8.785e-007 -8.464e-007 1.177e-001 3.873e-007 4.023e-007 10 -4.406e-012 1.088e-006 -1.049e-006 1.325e-001 4.207e-007 4.371e-007 11 -4.863e-012 1.315e-006 -1.267e-006 1.472e-001 4.508e-007 4.684e-007 12 -5.310e-012 1.556e-006 -1.499e-006 1.619e-001 4.777e-007 4.964e-007 13 -5.746e-012 1.811e-006 -1.744e-006 1.766e-001 5.015e-007 5.210e-007 14 -6.169e-012 2.077e-006 -2.000e-006 1.913e-001 5.221e-007 5.423e-007 15 -6.580e-012 2.353e-006 -2.265e-006 2.061e-001 5.396e-007 5.605e-007 16 -6.976e-012 2.637e-006 -2.539e-006 2.208e-001 5.541e-007 5.755e-007 17 -7.357e-012 2.928e-006 -2.819e-006 2.355e-001 5.658e-007 5.874e-007 18 -7.723e-012 3.224e-006 -3.104e-006 2.502e-001 5.746e-007 5.965e-007 19 -8.072e-012 3.524e-006 -3.393e-006 2.649e-001 5.808e-007 6.028e-007 20 -8.403e-012 3.826e-006 -3.685e-006 2.797e-001 5.844e-007 6.065e-007 21 -8.717e-012 4.130e-006 -3.977e-006 2.944e-001 5.856e-007 6.077e-007

Avec NE/NASTRAN, les résultats associés au mode n°8 sont :


09 Janvier 2007 230



Solveur Mode Forme Unité Référence AS 2.1 Ecart (%)

1 Flexion Hz 1.65 1.65 0.00% 2 Flexion Hz 1.65 1.65 0.00% 3 Flexion Hz 16.07 16.06 -0.06% 4 Flexion Hz 16.07 16.06 -0.06%

CM2 5 Flexion Hz 50.02 50.00 -0.04% 6 Flexion Hz 50.02 50.00 -0.04% 7 Traction Hz 76.47 76.46 -0.01% 8 Torsion Hz 80.47 88.70 10.23% 9 Flexion Hz 103.20 103.14 -0.06% 10 Flexion Hz 103.20 103.14 -0.06%

Commentaire : L’écart entre la fréquence de référence en torsion (mode n° 8) et celle trouvée par AS 2.1 peut s’expliquer par le fait que AS 2.1 utilise une matrice de masse condensée (cf. fiche de description correspondante).


09 Janvier 2007 231

2.81. Test n° 01-0096SDLLB_MEF: Poutre élancée encastrée – libre avec masse ou inertie excentrée


15/89 ; ■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : linéique. ■ Fonctions testées : Fréquences propres, Poutre droite élancée, Couplage flexion-

torsion , Flexion dans le plan, Flexion transversale, Masse ponctuelle

2.81.2. Données du problème

Unités

S.I.

Géométrie

■ Diamètre extérieur : de = 0.35 m, ■ Diamètre extérieur : di = 0.32 m, ■ Longueur de la poutre : l = 10 m, ■ Distance BC : lBC = 1 m ■ Aire : A =1.57865 x 10-2 m2

■ Inertie : Iy = Iz = 2.21899 x 10-4m4 ■ Inertie polaire : Ip = 4.43798 x 10-4m4 ■ Masse ponctuelle : mc = 1000 kg


■ Module d’élasticité longitudinal de l’élément AB : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Masse volumique de l’élément AB : ρ = 7800 kg/m3 ■ Coefficient de Poisson : ν=0.3 (ce coefficient n’étant pas précisé dans le test

AFNOR, la valeur de 0.3 semble la plus adaptée pour obtenir la bonne valeur de fréquence des modes n°4 et 5 avec NE/NASTRAN)

■ Module d’élasticité de l’élément BC : E = 1021 Pa ■ Masse volumique de l’élément BC : ρ = 0 kg/m3


09 Janvier 2007 232


Encastrement au point A, x = 0,

Chargement

Aucun pour l’analyse modale

2.81.3. Fréquences de référence


Les différentes fréquences propres sont déterminées avec un modèle par éléments finis de poutre d’Euler (poutre élancées).

fz + t0 = flexion x,z + torsion fy + tr = flexion x,y + traction

Mode Unité Référence

1 (fz + t0) Hz 1.636 2 (fy + tr) Hz 1.642 3 (fy + tr) Hz 13.460 4 (fz + t0) Hz 13.590 5 (fz + t0) Hz 28.900 6 (fy + tr) Hz 31.960 7 (fz + t0) Hz 61.610 1 (fz + t0) Hz 63.930

Incertitude sur les solutions de référence

L’incertitude sur les solutions de référence : ± 1%


■ Type de L’élément filaire AB : Poutre ■ Maillage imposé : 50 éléments. ■ Type de L’élément filaire BC : Poutre ■ Maillage : Sans

Déformées modales


09 Janvier 2007 233



Solveur Mode Unité Référence AS 2.1 Ecart (%)

1 (fz + t0) Hz 1.636 1.64 0.24% 2 (fy + tr) Hz 1.642 1.65 0.49% 3 (fy + tr) Hz 13.46 13.45 -0.07% 4 (fz + t0) Hz 13.59 13.65 0.44%

CM2 5 (fz + t0) Hz 28.90 29.72 2.84% 6 (fy + tr) Hz 31.96 31.96 0.00% 7 (fz + t0) Hz 61.61 63.09 2.40% 8 (fy + tr) Hz 63.93 63.93 0.00%

Note : fz + t0 = flexion x,z + torsion fy + tr = flexion x,y + traction

Remarque : le fait que la matrice de masse d’AS 2.1 soit condensée et non consistente

fait que les modes de torsion ainsi obtenus ne prennent pas en compte l’inertie de masse en rotation propre de la poutre.


09 Janvier 2007 234

2.82. Test n° 01-0097SDLLB_MEF: Double croix a extrémités articulées

2.82.1. Fiche de description ■ Référence : NAFEMS, test FV2 ■ Type d’analyse : Analyse modale. ■ Fonctions testées : Fréquences propres, Poutres croisées, Flexion dans le plan.


Unités S.I.

Géométrie

Section carrée pleine : ■ Longueur bras : L = 5 m ■ Dimensions : a x b = 0.125 x 0.125 ■ Aire : A = 1.563 10-2 m2 ■ Inertie : IP = 3.433 x 10-5m4

Iy = Iz = 2.035 x 10-5m4

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa, ■ Masse volumique : ρ = 8000kg/m3

Conditions aux limites ■ Externes : Points A, B, C, D, E, F, G, H bloqués suivant x et y ; ■ Internes : Aucune.

Chargement Aucun pour l’analyse modale


09 Janvier 2007 235


Fréquences de référence

Mode Unité Référence 1 Hz 11.336

2,3 Hz 17.709 4 à 8 Hz 17.709

9 Hz 45.345 10,11 Hz 57.390

12 à 16 Hz 57.390


■ Type des éléments filaires : Poutre ■ Maillage imposé : 4Eléments/Bras

Déformées modales


09 Janvier 2007 236



Solveur Mode Unité Référence AS 2.1 Ecart (%)

1 Hz 11.336 11.33 -0.05% 2, 3 Hz 17.709 17.66 -0.28%

CM2 4 à 8 Hz 17.709 17.66 -0.28% 9 Hz 45.345 45.02 -0.72% 10, 11 Hz 57.390 56.06 -2.32% 12 à 16 Hz 57.390 56.06 -2.32%


09 Janvier 2007 237

2.83. Test n° 01-0098SDLLB_MEF: Poutre sur appuis simples en vibration libre


■ Référence : NAFEMS, FV5 ■ Type d’analyse : Analyse modale. ■ Fonctions testées : Effort tranchant, fréquences propres.


Unités

S.I.

Géométrie

Section carrée pleine : ■ Dimensions : a x b = 2m x 2 m ■ Aire : A = 4 m2 ■ Inertie : IP = 2.25 m4

Iy = Iz = 1.333 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3. ■ Masse volumique : ρ = 8000kg/m3


□ x = y = z = Rx = 0 en A ; □ y = z =0 en B ;



09 Janvier 2007 238

Chargement Aucun pour l’analyse modale


Fréquences de référence

Mode Forme Unité Référence 1 Flexion Hz 42.649 2 Flexion Hz 42.649 3 Torsion Hz 77.542 4 Traction Hz 125.00 5 Flexion Hz 148.31 6 Flexion Hz 148.31 7 Torsion Hz 233.10 8 Flexion Hz 284.55 9 Flexion Hz 284.55

Commentaire : Du fait de la nature condensée et non consistente de la matrice de

masse d’AS 2.1, les valeurs de fréquences des modes 3 et 7 ne peuvent être trouvées par ce logiciel. La même modélisation faite avec NE/NASTRAN donnerait respectivement pour les modes 3 et 7 : 77.2 et 224.1 Hz.


■ Eléments droits : élément filaire ■ Maillage imposé : 5 mailles

Déformées modales


09 Janvier 2007 239



Solveur Mode Forme Unité Référence AS 2.1 Ecart (%) 1 Flexion Hz 42.649 43.11 1.08% 2 Flexion Hz 42.649 43.11 1.08% 3 Torsion Hz 77.542 4 Traction Hz 125.00 124.49 -0.41%

CM2 5 Flexion Hz 148.31 149.39 0.73% 6 Flexion Hz 148.31 149.39 0.73% 7 Torsion Hz 233.10 8 Flexion Hz 284.55 269.55 -5.27% 9 Flexion Hz 284.55 269.55 -5.27%

Commentaire: Les modes de torsion no 3 et no 7 qui sont calcule avec NASTRAN ne peuvent pas etre

calcule avec le solveur CM2 du AS 2.1 et donc le mode no 3 dans l’analyse avec AS 2.1 est correspondant avec le mode no 4 dans la reference. La même probleme est avec le mode no 7 – AS 2.1 qui est coresspondant avec le mode no 8 dans la reference.

Test 01-0099HSLSB_MEF Archive 01-0099HSLSB_MEF.do4

09 Janvier 2007 240

2.84. Test n° 01-0099HSLSB_MEF: Membrane avec point chaud


■ Référence : NAFEMS, Test T1 ■ Type d’analyse : Statique, thermo-élasticité. ■ Fonctions testées : Contraintes.


Remarque : le système d’unités du test initial NAFEMS initialement défini en mm a été transposé en m pour des raisons de facilité de saisie. Ceci a néanmoins aucune incidence sur les valeurs de résultats.

Unités

S.I.


09 Janvier 2007 241

Géométrie / maillage

Un quart de la structure est modélisé en intégrant les conditions de symétries.

Épaisseur : 1 m


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Coefficient d’allongement α = 0.00001.


■ Externes : □ Pour tous les nœuds en y = 0, uy =0; □ Pour tous les nœuds en x = 0, ux =0;


Chargement

■ Externe : aucun ■ Internes : Au point chaud, charge thermique ΔT = 100°C ;


09 Janvier 2007 242

2.84.3. Contrainte σyy au point A :

Solution de référence :

Valeur de référence : σyy = 50 Mpa en A

Modélisation aux éléments finis :

■ Eléments surfaciques : membranes, ■ 28 surfaciques, ■ 39 nœuds.



Solveur Quantité Unité Référence AS 2.1 Ecart (%)

CM2 σyy en A Mpa 50 50.87 1.74%

Remarques : Cette valeur (50.87) est obtenue à l'aide d'une coupe verticale traversant le point A. La valeur représente le σyy dans l'extrémité gauche du diagramme.

Il est indispensable avec CM2 d’afficher les résultats avec l’option « Lissage des régions Iso » désactivée.

A – la limite de point chaud

Test 01-0100SSNLB_MEF Archive 01-0100SSNLB_MEF.do4

09 Janvier 2007 243

2.85. Test n° 01-0100SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k = 0)

2.85.1. Fiche de description ■ Référence : test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique non linéaire; ■ Type d’élément : filaire, butée.

Présentation

On considère la poutre sur 3 appuis décrite ci-dessous. Cette poutre comporte 2 éléments de même longueur et de caractéristiques identiques.

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 10 m ■ Section : IPE 200, Iz = 0.00001943 m4




■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y (x = 0), □ Appui au nœud 2 bloqué suivant y (x = 10 m), □ Butée de rigidité ky = 0,


Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle verticale P = -100 N en x = 5 m, ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 244

2.85.2. Solutions de références

ky étant nulle, le modèle non linéaire se comporte de la même façon que la structure sans appui 3.

Déplacements

( )( )

( )( )

( )( )

( ) rad 000153.0Lk2EI3EI32

LkEI6PL

m 00153.0Lk2EI316

PL3v

rad 000153.0Lk2EI3EI16

LkEI3PL


LkEI2PL3

3yzz

3yz

2

3

3yz

3

3

3yzz

3yz

2

2

3yzz

3yz

2

1

=+

+−=β

=+

−=

=+

+−=β

−=+

+=β

Moments Mz

( )( )

N.m 2502

MM4

PL)m5x(M

0Lk2EI316

PLk3M

0M

1z2zz

3yz

4y

2z

1z

−=−

+==

=+

=

=


■ Elément filaire : poutre C, maillage auto, ■ 3 nœuds, ■ 2 éléments filaires + 1 butée.



09 Janvier 2007 245

Diagramme des moments



Solveur Nature Positionnement Unité Référence AS 2.1 Ecart

Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000153 -0.000153 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000153 0.000153 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0.00153 0.00153 0.00%

CM2 Rotation β3 Nœud 3 rad 0.000153 0.000153 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 - Moment Mz2 Nœud 2 N.m 0 0 - Moment Mz milieu travée 1 N.m -250 -250 0.00%


09 Janvier 2007 246

2.86. Test n° 01-0101SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k → ∞)




Unités

S.I.

Géométrie





■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y (x = 0), □ Appui au nœud 2 bloqué suivant y (x = 10 m), □ Butée de rigidité ky → ∞ (1.1030N/m),


Chargement



09 Janvier 2007 247


ky étant infini, le modèle non linéaire se comporte de la même façon qu’une poutre sur 3 appuis.

Déplacements

( )( )

( )( )

( )( )

( ) rad 000038.0Lk2EI3EI32

LkEI6PL

0Lk2EI316

PL3v


LkEI3PL


LkEI2PL3

3yzz

3yz

2

3

3yz

3

3

3yzz

3yz

2

2

3yzz

3yz

2

1

−=+

+−=β

=+

−=

=+

+−=β

−=+

+=β

Moments Mz

( )( )

N.m 13.2032

MM4

PL)m5x(M

N.m 75.93Lk2EI316

PLk3M

0M

1z2zz

3yz

4y

2z

1z

−=−

+==

−=+

=

=





09 Janvier 2007 248





Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000115 -0.000115 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000077 0.000077 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0 0 -

CM2 Rotation β3 Nœud 3 rad -0.000038 -0.000038 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 - Moment Mz2 Nœud 2 N.m -93.75 -93.649 -0.11% Moment Mz milieu travée 1 N.m -203.13 -203.176 0.02%


09 Janvier 2007 249

2.87. Test n° 01-0102SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k = -10000 N/m)




Unités

S.I.

Géométrie





■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y (x = 0), □ Appui au nœud 2 bloqué suivant y (x = 10 m), □ Butée de rigidité ky = -10000 N/m (le signe – correspond au blocage vers le

haut) , ■ Internes : Aucune.

Chargement



09 Janvier 2007 250


Déplacements

( )( )

( )( )

( )( )

( ) rad 000034.0Lk2EI3EI32

LkEI6PL

m 00058.0Lk2EI316

PL3v


LkEI3PL


LkEI2PL3

3yzz

3yz

2

3

3yz

3

3

3yzz

3yz

2

2

3yzz

3yz

2

1

=+

+−=β

=+

−=

=+

+−=β

−=+

+=β

Moments Mz

( )( )

N.m 9.2202

MM4

PL)m5x(M

N.m 15.58Lk2EI316

PLk3M

0M

1z2zz

3yz

4y

2z

1z

−=−

+==

−=+

=

=





09 Janvier 2007 251





Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000129 -0.000129 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000106 0.000106 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0.00058 0.00058 0.00%

CM2 Rotation β3 Nœud 3 rad 0.000034 0.000034 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 - Moment Mz2 Nœud 2 N.m -58.15 -58.117 -0.06% Moment Mz milieu travée 1 N.m -220.9 -220.9 0.00%


09 Janvier 2007 252

2.88. Test n° 01-0103SSLLB_MEF: Système de barres réticulées (linéaire)

2.88.1. Fiche de description ■ Référence : test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique linéaire; ■ Type d’élément : filaire, barre.


On considère le système de barres décrit ci-dessous. Ce système comporte 4 éléments de même longueur et de section S (barres 1 à 4) ainsi que 2 diagonales de longueur

2L et de section 2

S(barres 5 et 6).

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 5 m ■ Section S = 0.005 m2


Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2.


■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y, □ Appui au nœud 2 bloqué suivant x et y,


Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle horizontale P = 50000 N au nœud 3, ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 253


Déplacements

m 000108.0ES11PL5v

m 000541.0ES11PL25u

m 000129.0ES11PL6v

m 000649.0ES11PL30u

4

4

3

3

==

==

−=−

=

==

Efforts normaux N

N 32141P11

25N N 22727P115N

N 38569P11

26N N 27272P116N

N 22727P115N 0N

4243

1323

1412

−=−===

==−=−=

===


■ Elément filaire : barre , maillage sans, ■ 4 nœuds, ■ 6 éléments filaires.



09 Janvier 2007 254

Efforts normaux




Déplacement u3 Nœud 3 m 0.000649 0.000649 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m -0.000129 -0.000129 0.00% Déplacement u4 Nœud 4 m 0.000541 0.000541 0.00% Déplacement v4 Nœud 4 m 0.000108 0.000108 0.00%

CM2 Effort normal N12 Elément 1 N 0 0 - Effort normal N23 Elément 2 N -27272 -27272 0.00% Effort normal N43 Elément 3 N 22727 22727 0.00% Effort normal N14 Elément 4 N 22727 22727 0.00% Effort normal N1 3 Elément 5 N 38569 38569 0.00% Effort normal N42 Elément 6 N -32141 -32141 0.00%


09 Janvier 2007 255

2.89. Test n° 01-0104SSNLB_MEF: Système de barres réticulées (non linéaire)

2.89.1. Fiche de description ■ Référence : test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique non linéaire; ■ Type d’élément : filaire, barre, tirant.


On considère le système de barres décrit ci-dessous. Ce système comporte 4 éléments de même longueur et de section S (barres 1 à 4) ainsi que 2 diagonales de longueur

2L et de section 2

S(tirants 5 et 6).

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 5 m ■ Section S = 0.005 m2


Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2.


■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y, □ Appui au nœud 2 bloqué suivant x et y,


Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle horizontale P = 50000 N au nœud 3, ■ Interne : Aucun.


09 Janvier 2007 256


En non linéaire sans grand déplacement, l’introduction de tirants pour les diagonales revient à supprimer la barre 5 (le test test n°0103SSLLB_MEF permet de trouver un effort de compression dans cette barre en calcul linéaire).

Déplacements

0v

m 000238.0ESPLv

m 001195.0ES11PL5uu

4

3

43

=

−=−=

===

Efforts normaux N

0N 0NN 70711P2N N 50000PN

0N 0N

4243

1323

1412

==

==−=−=

==


■ Elément filaire : barre , maillage sans, ■ 4 nœuds, ■ 6 éléments filaires.



09 Janvier 2007 257

Efforts normaux




Déplacement u3 Nœud 3 m 0.001195 0.001190 -0.42% Déplacement v3 Nœud 3 m -0.000238 -0.000238 0.00% Déplacement u4 Nœud 4 m 0.001195 0.001190 -0.42% Déplacement v4 Nœud 4 m 0 0 -

CM2 Effort normal N12 Elément 1 N 0 0 - Effort normal N23 Elément 2 N -50000 -50000 0.00% Effort normal N43 Elément 3 N 0 0 - Effort normal N14 Elément 4 N 0 0 - Effort normal N1 3 Elément 5 N 70711 70711 0.00% Effort normal N42 Elément 6 N 0 0 -

Test 02-0112SMLLB_P92 Archive 02-0112SMLLB_P92.do4

09 Janvier 2007 258

2.90. Test n° 02-0112SMLLB_P92: Étude d’un mât soumis à un séisme


■ Référence : test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : analyses modale et spectrale ; ■ Type d’élément : linéique, masse.

2.90.2. Présentation du modèle

La structure ci-dessous formée de 2 éléments poutres et 2 éléments masses ponctuelles, est soumise à un séisme latérale suivant X.

2.90.3. Modèle RDM

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 35 m, ■ Rayon extérieur : Rext = 3.00 m ■ Rayon intérieur : Rint = 2.80 m

■ Section axiale : S= 6.644 m2 ■ Inertie polaire : Ip = 30.68 m4 ■ Inerties de flexion : Ix =15.34 m4

Iy = 15.34 m4

Masses

■ M1 =203873.6 Kg ■ M2 =101936.8 Kg


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 1.962 x 1010 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.1, ■ Masse volumique ρ = 25 kN/m3


09 Janvier 2007 259


■ Externes : Encastrement en X = 0, Y = 0 m,

Chargement

■ Externe : Excitation sismique de direction X


Élément linéique : poutre, maillage auto,

2.90.4. Hypothèses sismiques suivant le règlement PS92

■ Zone : Nice Sophia Antipolis ( Zone II ). ■ Site : S1 ( Sol moyen, 10m d’épaisseur ). ■ Classe de l’ouvrage : B ■ Coefficient de comportement : 3 ■ Amortissement du matériau : 4% ( Béton armé ).

2.90.5. Analyse Modale

Solution de référence périodes propres

On déduit la valeur des périodes propres horizontales de la structure par résolution de l’équation suivante :

( ) 0MKdet 2 =ω−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−≡

2

1

3

M00M

M

25516

L7EI48K

Mode propre Unité Référence

1 Hz 2.085 2 Hz 10.742

Vecteurs modaux

Pour ω1 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛χ⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−055.31

UU

0UU

M00M

25516

L7EI48

2

11

2

1

12

2

211

3

Pour ω2 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛χ

655.01

UU

2

12

Normalisation par rapport à la masse

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××

χ−

−

3

4

1 10842.210305.9

; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×−×

χ−

−

3

3

2 10316.11001.2


09 Janvier 2007 260

Forme des déformées modales

2.90.6. Etude spectrale

Spectre de dimensionnement

Les accélérations nominales : 2

n1 sm5411.5a 2.085Hzf =⇒=

2n2 sm25.6aHz742.01f =⇒=

Remarque : l'écart entre les pulsations est supérieur à 10%, donc les réponses modales peuvent être considérées comme indépendantes.


09 Janvier 2007 261

Facteurs de participation de référence Δχ=γ Mii

séismedudirectionladedirecteurVecteur: ⋅⋅⋅⋅⋅⋅Δ

Mode propre Référence 1 479.427 2 275.609

Pseudo-accélération

iiii a χ×γ×ξ×=Γ en (m/s2)

4.0%5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η

=ξ : Coefficient correctif de l’amortissement.

η : Amortissement de la structure.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Γ

8.25562.7026

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Γ

2.4783-3.7852

1

Déplacements modaux de référence

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=ψ024.814E021.576E

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=ψ

045.446E-048.318E

2

Forces statiques équivalentes

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=058.415E055.510E

F1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

052.526E-057.717E

F2

Déplacement en tête de mât

( ) ( )( )221 04E446.502E81.4U −−+−=

Unité Référence

m 4.814 E-02

Effort tranchant en tête de mât

( ) ( )( )3

05E526.205E415.8T

22

1+−++

=

3 : Etant le coefficient de comportement sur les efforts

Unité Référence N 2.929 E+05

Moment d’encastrement en pied

( ) ( )( ) ( ) ( )( )3

05E717.705E510.55.1705E526.205E415.835M

2222 +++×++++×=

Unité Référence N.m 1.578 E+07


09 Janvier 2007 262


Comparaison des résultats : fréquences

Solveur Modes Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 1 Hz 2.085 2.085 0.00% CM2 2 Hz 10.742 10.742 0.00%

Comparaison des résultats : Vecteurs propres

Solveur Modes Nœud Référence AS 2.1 Ecart

CM2 1 9.305 E-04 9.305 E-04 0.00% CM2 1 2 2.842 E-03 2.842 E-03 0.00% CM2 1 2.010 E-03 2.010 E-03 0.00% CM2 2 2 -1.316 E-03 -1.316 E-03 0.00%

Comparaison des résultats : Facteurs de participation

Solveur Modes Référence AS 2.1 Ecart

CM2 1 479.43 479.43 0.00% CM2 2 275.61 275.61 0.00%

Comparaison des résultats : Déplacement en tête de mât

Solveur Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 cm 4.814 4.400 -8.60%

Comparaison des résultats : Effort en tête de mât

Solveur Unité Référence AS 2.1 Ecart

CM2 N 2.929E+05 2.678E+5 -8.56%

Test 02-0158SSLLB_B91 Archive 02-0158SSLLB_B91.do4 02-0158SSLLB_B91.ba

09 Janvier 2007 263

2.91. Test n° 02-0158SSLLB_B91: Filaire en flexion composée avec traction- sans aciers comprimés - Section partiellement tendue


■ Référence : Cours de Béton Armé de J. Perchat (CHEC) ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Plan


Poutre à 8 travées isostatiques soumises à des charges uniformes et des efforts normaux de traction.

Unités ■ Forces : kN ■ Moment :kN.m ■ Contraintes : Mpa ■ Densité d’aciers : cm²

Géométrie ■ Dimensions de la poutre : 0.2 x 0.5 ht ■ Longueur : l = 48 m en 8 travées de 6m,

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 20000 MPa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.


□ Articulation à l’extrémité x = 0, □ Appui vertical au niveau de tous les autres appuis

■ Internes : Rotule z à chaque extrémité de poutres (isostatique)


□ Cas 1 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (sur toutes les travées sauf 8) Fx = 10 kN en x = 42m : Ng = -10 kN pour travées 6 à 7 Fx = 140 kN en x = 32m : Ng = -150 kN pour travée 5 Fx = -50 kN en x = 24m : Ng = -100 kN pour travée 4 Fx = 50 kN en x = 18m : Ng = -50 kN pour travée 3 Fx = 50 kN en x = 12m : Ng = -100 kN pour travée 2 Fx = -70 kN en x = 6m : Ng = -30 kN pour travée 1

□ Cas 10 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (travée 8) Fx = 10 kN en x = 48m : Ng = -10 kN Fx = -10 kN en x = 42m

□ Cas 2 à 8(EXP): charge linéaire uniforme q = -9 kN/m (sur les travées 1, 3 à 7) charge linéaire uniforme q = -15 kN/m (sur la travée 2) Fx = 30 kN en x = 6m (cas 2 travée 1) Fx = -50 kN en x = 6m (cas 3 travée 2) Fx = 50 kN en x = 12m (cas 3 travée 2) Fx = -40 kN en x = 12m (cas 4 travée 3) Fx = 40 kN en x = 18m (cas 4 travée 3) Fx = -100 kN en x = 18m (cas 5 travée 4) Fx = 100 kN en x = 24m (cas 5 travée 4) Fx = -150 kN en x = 24m (cas 6 travée 5) Fx = 150 kN en x = 30m (cas 6 travée 5) Fx = -8 kN en x = 30m (cas 7 travée 6) Fx = 8 kN en x = 36m (cas 7 travée 6) Fx = -8 kN en x = 36m (cas 8 travée 7) Fx = 8 kN en x = 42m (cas 8 travée 7)


09 Janvier 2007 264

□ Cas 9 (ACC) : charge linéaire uniforme a = -25 kN/m (sur la 8ème travée) Fx = 8 kN en x = 36m (cas 9 travée 8) Fx = -8 kN en x = 42m (cas 9 travée 8) Comb BAELUS: 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application supérieure à 24h (comb 101, 104 à 107) Comb BAEULI : 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application comprise entre 1h et 24h (comb 102) Comb BAELUC : 1.35xCP + 1.5xEXP avec durée d’application inférieure à 1h (comb 103) Comb BAELS : 1xCP + 1*EXP (comb 108 à 114) Comb BAELA : 1xCP + 1xACC (comb 115)


Hypothèses de calcul Béton armé :

Tous les enrobages sont fixés à 5 cm Calcul BAEL 91 selon additif 99

Travée Béton Aciers Application Repris Bet Fiss 1 B20 HA fe500 D>24h Non Non préju 2 B35 Adx fe235 1h<D<24h Non Non préju 3 B50 HA fe 400 D<1h Oui Non préju 4 B25 HA fe500 D>24h Oui Préju 5 B25 HA fe500 D>24h Non Très préju 6 B30 Adx fe235 D>24h Oui Préju 7 B40 HA fe500 D>24h Oui 160 MPa 8 B45 HA fe500 D<1h Oui Non préju

2.91.3. Calcul des armatures


Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 fc28 20 35 50 25 25 30 40 45 ft28 1.8 2.7 3.6 2.1 2.1 2.4 3 3.3 fe 500 235 400 500 500 235 500 500 teta 1 0.9 0.85 1 1 1 1 0.85 gamb 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.15 gams 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1 h 1.6 1 1.6 1.6 1.6 1 1.6 1.6 fbu 11.33 22.04 33.33 14.17 14.17 17.00 22.67 39.13 fed 434.78 204.35 347.83 434.78 434.78 204.35 434.78 500.00 sigpreju 250.00 156.67 264.00 250.00 250.00 156.67 160.00 252.76 sigtpreju 200.00 125.33 211.20 200.00 200.00 125.33 160.00 202.21 g 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 q 9.00 15.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 25.00 pu 20.25 29.25 20.25 20.25 20.25 20.25 20.25 30.00 pser 14.00 20.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 G -30.00 -100.00 -50.00 -100.00 -150.00 -10.00 -10.00 -10.00 Q -30.00 -50.00 -40.00 -100.00 -100.00 -8.00 -8.00 -8.00 l 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 Mu 91.13 131.63 91.13 91.13 91.13 91.13 91.13 135.00 Nu -85.50 -210.00 -127.50 -285.00 -352.50 -25.50 -25.50 -18.00 Mser 63.00 90.00 63.00 63.00 63.00 63.00 63.00 Nser -60.00 -150.00 -90.00 -200.00 -250.00 -18.00 -18.00 Vu 60.75 87.75 60.75 60.75 60.75 60.75 60.75 90.00 calcul des aciers long aux ELU


09 Janvier 2007 265

Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 Mu/A 74.03 89.63 65.63 34.13 20.63 86.03 86.03 131.40 ubu 0.161 0.100 0.049 0.059 0.036 0.125 0.094 0.083 a 0.221 0.133 0.062 0.077 0.046 0.167 0.123 0.108 z 0.410 0.426 0.439 0.436 0.442 0.420 0.428 0.430 Au 6.12 20.57 7.97 8.35 9.18 11.27 5.21 6.46

calcul des aciers long en fissuration préjudiciable aux ELS Mser/A 51.000 60.000 45.000 23.000 13.000 59.400 59.400 0.000 a 0.4186 0.6678 0.6303 0.4737 0.4737 0.6328 0.6923 0.6157 Mrb 87.53 220.78 302.44 121.16 121.16 182.01 258.82 267.55 A 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 B -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 C -0.4533 -0.8511 -0.3788 -0.2044 -0.1156 -0.8426 -0.8250 0.0000 D 0.4533 0.8511 0.3788 0.2044 0.1156 0.8426 0.8250 0.0000 alpha1 0.238 0.432 0.428 z 0.414 0.385 0.386 Aserp 10.22 10.99 10.75

calcul des aciers long en fissuration très préjudiciable aux ELS Mser/A 51.00 60.00 45.00 23.00 13.00 59.40 59.40 0.00 a 0.47 0.72 0.68 0.53 0.53 0.68 0.69 0.67 Mrb 96.93 231.67 319.66 132.43 132.43 192.27 258.82 283.60 A 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 B -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 C -0.5667 -1.0638 -0.4735 -0.2556 -0.1444 -1.0532 -0.8250 0.0000 D 0.5667 1.0638 0.4735 0.2556 0.1444 1.0532 0.8250 0.0000 alpha1 0.203 z 0.420 Asertp 14.049

calcul des aciers transversaux tu 0.68 0.98 0.68 0.68 0.68 0.68 0.68 1.00 k 0.57 0.40 0.00 -0.14 -0.41 0.92 0.00 0.00 At/st 1.87 7.08 4.31 3.90 4.77 0.18 3.45 4.44

Récapitulation Aflex 6.12 20.57 7.97 10.22 14.05 11.27 10.75 6.46 e0 -0.95 -1.67 -1.43 -3.17 -3.97 -0.29 -0.29 -0.13 Aminfsimp 0.75 2.38 1.86 0.87 0.87 2.11 1.24 1.37 Aminfcomp 0.83 2.54 2.01 0.90 0.90 2.80 1.65 0.30 At 1.87 7.08 4.31 3.90 4.77 0.18 3.45 4.44 Atmin 1.60 3.40 2.00 1.60 1.60 3.40 1.60 1.60


■ Eléments filaires : poutres à maillage imposé ■ 29 nœuds, ■ 28 filaires.


09 Janvier 2007 266



Solveur Modèle Unité Référence Expert BA Ecart

Fer long inf T1 cm2 6.12 6.12 0.00% Fer long sup T1 cm2 0 0 Fer long min T1 cm2 0.75 0.75 0.00% Fer trans T1 cm2 1.87 1.87 0.00% Fer long inf T2 cm2 20.57 20.57 0.00% Fer long sup T2 cm2 0 5.14 Fer long min T2 cm2 2.38 2.38 0.00% Fer trans T2 cm2 7.08 7.08 0.00% Fer long inf T3 cm2 7.97 7.97 0.00% Fer long sup T3 cm2 0 1.83 Fer long min T3 cm2 1.86 1.86 0.00% Fer trans T3 cm2 4.31 4.31 0.00% Fer long inf T4 cm2 10.22 10.23 0.10% Fer long sup T4 cm2 0 4 Fer long min T4 cm2 0.87 0.87 0.00% Fer trans T4 cm2 3.90 3.90 0.00% Fer long inf T5 cm2 14.05 14.05 0.00% Fer long sup T5 cm2 0 6.25 Fer long min T5 cm2 0.87 0.87 0.00% Fer trans T5 cm2 4.77 4.77 0.00% Fer long inf T6 cm2 11.27 11.27 0.00% Fer long sup T6 cm2 0 0.62 Fer long min T6 cm2 2.11 2.11 0.00% Fer trans T6 cm2 0.18 7.34 Fer long inf T7 cm2 10.75 10.76 0.09% Fer long sup T7 cm2 0 0.56 Fer long min T7 cm2 1.24 1.24 0.00% Fer trans T7 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T8 cm2 6.46 6.46 0.00% Fer long sup T8 cm2 0 0.18 Fer long min T8 cm2 1.37 1.37 0.00% Fer trans T8 cm2 4.44 4.44 0.00%

Il faut appliquer la méthode "Mu limite" si l'on veut obtenir les mêmes résultats.


09 Janvier 2007 267

2.92. Test n° 02-0162SSLLB_B91: Filaire en flexion simple- sans aciers comprimés

2.92.1. Fiche de description ■ Référence : Cours de Béton Armé de J. Perchat (CHEC) ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Plan

Présentation

Poutre à 8 travées isostatiques soumises à des charges uniformes.

Unités

■ Forces : kN ■ Moment :kN.m ■ Contraintes : Mpa ■ Densité d’aciers : cm²

Géométrie

■ Dimensions de la poutre : 0.2 x 0.5 ht ■ Longueur : l = 42 m en 7 travées de 6m,


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 20000 MPa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.


■ Externes : □ Articulation à l’extrémité x = 0, □ Appui vertical au niveau de tous les autres appuis


Chargement

■ Externe : □ Cas 1 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (sur toutes les travées

sauf la 8) Cas 2 à 8(EXP) : charge linéaire uniforme q = -9 kN/m (sur les travées 1, 3 à 7) charge linéaire uniforme q = -15 kN/m (sur la travée 2)

□ Cas 9 (ACC) : charge linéaire uniforme a = -25 kN/m (sur la 8ème travée) □ Cas 10 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (sur la 8ème travée)

Comb BAELUS: 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application supérieure à 24h (comb 101, 104 à 107) Comb BAEULI : 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application comprise entre 1h et 24h (comb 102) Comb BAELUC : 1.35xCP + 1.5xEXP avec durée d’application inférieure à 1h (comb 103) Comb BAELS : 1xCP + 1*EXP (comb 108 à 114) Comb BAELUA : 1xCP + 1xACC (comb 115)


Test 03-0206SSLLG_CM66 Archive 03-0206SSLLG_CM66.do4

09 Janvier 2007 268


■ Tous les enrobages sont fixés à 5 cm ■ Calcul BAEL 91 selon additif 99




Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 fc28 20 35 50 25 60 30 40 45 ft28 1.8 2.7 3.6 2.1 4.2 2.4 3 3.3 fe 500 235 400 500 500 235 500 500

teta 1 0.9 0.85 1 1 1 1 0.85 gamb 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.15 gams 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1

h 1.6 1 1.6 1.6 1.6 1 1.6 1.6

fbu 11.33 22.04 33.33 14.17 34.00 17.00 22.67 39.13 fed 434.78 204.35 347.83 434.78 434.78 204.35 434.78 500.00

sigpreju 250.00 156.67 264.00 250.00 285.15 156.67 160.00 252.76 sigtpreju 200.00 125.33 211.20 200.00 228.12 125.33 160.00 202.21

g 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 q 9.00 15.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 25.00

pu 20.25 29.25 20.25 20.25 20.25 20.25 20.25 30.00 pser 14.00 20.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00

l 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 Mu 91.13 131.63 91.13 91.13 91.13 91.13 91.13 135.00

Mser 63.00 90.00 63.00 63.00 63.00 63.00 63.00 Vu 60.75 87.75 60.75 60.75 60.75 60.75 60.75 90.00

calcul des aciers long aux ELU ubu 0.199 0.147 0.068 0.159 0.066 0.132 0.099 0.085 a 0.279 0.200 0.087 0.217 0.086 0.178 0.131 0.111 z 0.400 0.414 0.434 0.411 0.435 0.418 0.426 0.430

Au 5.24 15.56 6.03 5.10 4.82 10.67 4.91 6.28 calcul des aciers long en fissuration préjudiciable aux ELS

A 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 B -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 C -0.56000 -0.89362 -0.87500 D 0.56000 0.89362 0.87500

alpha1 0.367 0.442 0.438 z 0.395 0.384 0.384

Aserp 6.38 10.48 10.25 calcul des aciers long en fissuration très préjudiciable aux ELS

A 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 B -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 C -0.70 -1.60 -0.66 -0.70 -0.61371 -1.12 -0.88 0.00


09 Janvier 2007 269

Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 D 0.70 1.60 0.66 0.70 0.61371 1.12 0.88 0.00

alpha1 0.381 z 0.393

Asertp 7.030 calcul des aciers transversaux

tu 0.68 0.98 0.68 0.68 0.68 0.68 0.68 1.00 k 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

At/st 0.69 1.79 4.31 3.45 3.45 7.34 3.45 4.44 Récapitulation

Aflex 5.24 15.56 6.03 6.38 7.03 10.67 10.25 6.28 Aminflex 0.75 2.38 1.86 0.87 1.74 2.11 1.24 1.37

At 0.69 1.79 4.31 3.45 3.45 7.34 3.45 4.44 Atmin 1.60 3.40 2.00 1.60 1.60 3.40 1.60 1.60





Modèle Unité Référence AS 2.1 Expert BA Ecart

Fer long inf T1 cm2 5.24 5.24 0.00% Fer long sup T1 cm2 0 1.04 Fer long min T1 cm2 0.75 0.75 0.00% Fer trans T1 cm2 0.69 0.69 0.00% Fer long inf T2 cm2 15.56 15.56 0.00% Fer long sup T2 cm2 0 0 --- Fer long min T2 cm2 2.38 2.38 0.00% Fer trans T2 cm2 1.79 1.79 0.00% Fer long inf T3 cm2 6.03 6.03 0.00% Fer long sup T3 cm2 0 0 --- Fer long min T3 cm2 1.86 1.86 0.00% Fer trans T3 cm2 4.31 4.31 0.00% Fer long inf T4 cm2 6.38 6.38 0.00% Fer long sup T4 cm2 0 0 --- Fer long min T4 cm2 0.87 0.87 0.00% Fer trans T4 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T5 cm2 7.03 7.04 0.14% Fer long sup T5 cm2 0 0 --- Fer long min T5 cm2 1.74 1.74 0.00% Fer trans T5 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T6 cm2 10.67 10.67 0.00% Fer long sup T6 cm2 0 0 --- Fer long min T6 cm2 2.11 2.11 0.00% Fer trans T6 cm2 7.34 7.34 0.00% Fer long inf T7 cm2 10.25 10.27 0.20% Fer long sup T7 cm2 0 0 --- Fer long min T7 cm2 1.24 1.24 0.00% Fer trans T7 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T8 cm2 6.28 6.28 0.00% Fer long sup T8 cm2 0 0 --- Fer long min T8 cm2 1.37 1.37 0.00% Fer trans T8 cm2 4.44 4.44 0.00%



09 Janvier 2007 270

2.93. Test n° 02-0162SSLLB_B91: Filaire en flexion simple- sans aciers comprimés

2.93.1. Fiche de description ■ Référence : Cours de Béton Armé de J. Perchat (CHEC) ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Plan

Présentation

Poutre à 8 travées isostatiques soumises à des charges uniformes.

Unités

■ Forces : kN ■ Moment :kN.m ■ Contraintes : Mpa ■ Densité d’aciers : cm²

Géométrie

■ Dimensions de la poutre : 0.2 x 0.5 ht ■ Longueur : l = 42 m en 7 travées de 6m,


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 20000 MPa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.


■ Externes : □ Articulation à l’extrémité x = 0, □ Appui vertical au niveau de tous les autres appuis


Chargement

■ Externe : □ Cas 1 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (sur toutes les travées

sauf la 8) Cas 2 à 8(EXP) : charge linéaire uniforme q = -9 kN/m (sur les travées 1, 3 à 7) charge linéaire uniforme q = -15 kN/m (sur la travée 2)

□ Cas 9 (ACC) : charge linéaire uniforme a = -25 kN/m (sur la 8ème travée) □ Cas 10 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (sur la 8ème travée)

Comb BAELUS: 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application supérieure à 24h (comb 101, 104 à 107) Comb BAEULI : 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application comprise entre 1h et 24h (comb 102) Comb BAELUC : 1.35xCP + 1.5xEXP avec durée d’application inférieure à 1h (comb 103) Comb BAELS : 1xCP + 1*EXP (comb 108 à 114) Comb BAELUA : 1xCP + 1xACC (comb 115)



09 Janvier 2007 271


■ Tous les enrobages sont fixés à 5 cm ■ Calcul BAEL 91 selon additif 99




Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 fc28 20 35 50 25 60 30 40 45 ft28 1.8 2.7 3.6 2.1 4.2 2.4 3 3.3 fe 500 235 400 500 500 235 500 500

teta 1 0.9 0.85 1 1 1 1 0.85 gamb 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.15 gams 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1

h 1.6 1 1.6 1.6 1.6 1 1.6 1.6

fbu 11.33 22.04 33.33 14.17 34.00 17.00 22.67 39.13 fed 434.78 204.35 347.83 434.78 434.78 204.35 434.78 500.00

sigpreju 250.00 156.67 264.00 250.00 285.15 156.67 160.00 252.76 sigtpreju 200.00 125.33 211.20 200.00 228.12 125.33 160.00 202.21

g 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 q 9.00 15.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 25.00

pu 20.25 29.25 20.25 20.25 20.25 20.25 20.25 30.00 pser 14.00 20.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00

l 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 Mu 91.13 131.63 91.13 91.13 91.13 91.13 91.13 135.00

Mser 63.00 90.00 63.00 63.00 63.00 63.00 63.00 Vu 60.75 87.75 60.75 60.75 60.75 60.75 60.75 90.00

calcul des aciers long aux ELU ubu 0.199 0.147 0.068 0.159 0.066 0.132 0.099 0.085 a 0.279 0.200 0.087 0.217 0.086 0.178 0.131 0.111 z 0.400 0.414 0.434 0.411 0.435 0.418 0.426 0.430

Au 5.24 15.56 6.03 5.10 4.82 10.67 4.91 6.28 calcul des aciers long en fissuration préjudiciable aux ELS

A 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 B -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 C -0.56000 -0.89362 -0.87500 D 0.56000 0.89362 0.87500

alpha1 0.367 0.442 0.438 z 0.395 0.384 0.384

Aserp 6.38 10.48 10.25 calcul des aciers long en fissuration très préjudiciable aux ELS

A 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 B -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 C -0.70 -1.60 -0.66 -0.70 -0.61371 -1.12 -0.88 0.00


09 Janvier 2007 272

Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 D 0.70 1.60 0.66 0.70 0.61371 1.12 0.88 0.00

alpha1 0.381 z 0.393

Asertp 7.030 calcul des aciers transversaux

tu 0.68 0.98 0.68 0.68 0.68 0.68 0.68 1.00 k 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

At/st 0.69 1.79 4.31 3.45 3.45 7.34 3.45 4.44 Récapitulation

Aflex 5.24 15.56 6.03 6.38 7.03 10.67 10.25 6.28 Aminflex 0.75 2.38 1.86 0.87 1.74 2.11 1.24 1.37

At 0.69 1.79 4.31 3.45 3.45 7.34 3.45 4.44 Atmin 1.60 3.40 2.00 1.60 1.60 3.40 1.60 1.60





Modèle Unité Référence AS 2.1 Expert BA Ecart

Fer long inf T1 cm2 5.24 5.24 0.00% Fer long sup T1 cm2 0 1.04 Fer long min T1 cm2 0.75 0.75 0.00% Fer trans T1 cm2 0.69 0.69 0.00% Fer long inf T2 cm2 15.56 15.56 0.00% Fer long sup T2 cm2 0 0 0.00% Fer long min T2 cm2 2.38 2.38 0.00% Fer trans T2 cm2 1.79 1.79 0.00% Fer long inf T3 cm2 6.03 6.03 0.00% Fer long sup T3 cm2 0 0 0.00% Fer long min T3 cm2 1.86 1.86 0.00% Fer trans T3 cm2 4.31 4.31 0.00% Fer long inf T4 cm2 6.38 6.38 0.00% Fer long sup T4 cm2 0 0 0.00% Fer long min T4 cm2 0.87 0.87 0.00% Fer trans T4 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T5 cm2 7.03 7.04 0.14% Fer long sup T5 cm2 0 0 0.00% Fer long min T5 cm2 1.74 1.74 0.00% Fer trans T5 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T6 cm2 10.67 10.67 0.00% Fer long sup T6 cm2 0 0 0.00% Fer long min T6 cm2 2.11 2.11 0.00% Fer trans T6 cm2 7.34 7.34 0.00% Fer long inf T7 cm2 10.25 10.27 0.2% Fer long sup T7 cm2 0 0 0.00% Fer long min T7 cm2 1.24 1.24 0.00% Fer trans T7 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T8 cm2 6.28 6.28 0.00% Fer long sup T8 cm2 0 0 0.00% Fer long min T8 cm2 1.37 1.37 0.00% Fer trans T8 cm2 4.44 4.44 0.00%



09 Janvier 2007 273

2.94. Test n° 03-0206SSLLG_CM66: Optimisation d'une charpente métallique selon les CM66.

2.94.1. Données Modèle de calcul : Charpente métallique simple avec un plancher BA. Cas de charge :

o Charges permanentes: 150 kg/m² sur le plancher et 25kg/m² pour la toiture.

o Surcharges d'exploitation: 250 kg/m² sur le plancher. o Charges de vent selon la région II en site normal o Charges de neige selon la région 2B à une altitude de 750m.

Combinaisons selon les CM66

Aperçu du modèle


09 Janvier 2007 274

Cas de charge de la structure

Code Num Type Titre CMP 1 Statique pp + Charges permanentes CMS 2 Statique Surcharges d'exploitation CMV 3 Statique Surcharges de vent suivant +X en surpression CMV 4 Statique Surcharges de vent suivant +X en dépression CMV 5 Statique Surcharges de vent suivant -X en surpression CMV 6 Statique Surcharges de vent suivant -X en dépression CMV 7 Statique Surcharges de vent suivant +Z en surpression CMV 8 Statique Surcharges de vent suivant +Z en dépression CMV 9 Statique Surcharges de vent suivant -Z en surpression CMV 10 Statique Surcharges de vent suivant -Z en dépression CMN 11 Statique Surcharges de neige normale


09 Janvier 2007 275

2.94.2. Résultats Effel Structure

Enveloppe des déplacements (pour les combinaisons "CMCD")

Enveloppe des déplacements filaires D DX DY DZ Env. Cas N° Lieu Max (cm) (cm) (cm) (cm)

Max(D) 213 148 CENTRE 12.115 0.037 12.035 -1.393 Min(D) 188 1.1 DEBUT 0.000 0.000 0.000 0.000

Max(DX) 204 72.1 DEBUT 3.138 3.099 0.434 0.244 Min(DX) 204 313 FIN 2.872 -1.872 -0.129 -2.174 Max(DY) 213 148 CENTRE 12.115 0.037 12.035 -1.393 Min(DY) 213 61.5 FIN 9.986 -0.118 -9.985 0.046 Max(DZ) 201 371 CENTRE 4.149 -0.006 -0.188 4.145 Min(DZ) 203 370 CENTRE 4.124 -0.006 -0.240 -4.118

Enveloppe des Efforts dans les filaires (pour les combinaisons "CMCFN")

Enveloppe des efforts des filaires Fx Fy Fz Mx My Mz Env. Cas N° LieuMax (T) (T) (T) (T*m) (T*m) (T*m)

Max(Fx) 120 4.1 DEBUT 19.423 -4.108 -1.384 -0.003 1.505 7.551 Min(Fx) 138 98 DEBUT -41.618 -0.962 -0.192 0.000 0.000 0.000 Max(Fy) 120 57 FIN -13.473 16.349 -0.016 -0.003 0.002 55.744 Min(Fy) 120 60 DEBUT -15.994 -16.112 -0.006 -3E-004 6E-006 53.096 Max(Fz) 177 371 DEBUT -3.486 -0.118 2.655 0.000 0.000 0.000 Min(Fz) 187 370 DEBUT -3.666 -0.147 -2.658 0.000 0.000 0.000 Max(Mx) 120 111 FIN 3.933 4.840 0.278 0.028 -4E-005 11.531 Min(Mx) 120 21 FIN -22.324 13.785 -0.191 -0.028 -0.004 42.562 Max(My) 177 371 CENTRE -3.099 -0.118 -0.323 0.000 4.403 -0.500 Min(My) 179 370 CENTRE -3.283 -0.155 0.321 0.000 -4.373 -0.660 Max(Mz) 120 57 FIN -13.473 16.349 -0.016 -0.003 0.002 55.744 Min(Mz) 120 59.2 FIN -19.455 -8.969 -0.702 -0.003 -0.001 -57.105

Enveloppe des contraintes dans les filaires (pour les combinaisons "CMCFN")

Enveloppe des contraintes des filaires sxxMax sxyMax sxzMax sFxx sMxxMax Env. Cas N° LieuMax (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa)

Max(sxxMax) 120 59.2 FIN 273.860 -14.696 -1.024 -16.453 290.312 Min(sxxMax) 120 292 DEBUT -150.743 0.000 0.000 -150.743 0.000 Max(sxyMax) 120 57 DEBUT 262.954 37.139 -0.030 -15.609 278.562 Min(sxyMax) 120 60 FIN 241.643 -36.595 -0.011 -18.536 260.179 Max(sxzMax) 185 371 DEBUT -2.949 -0.183 3.876 -2.949 0.000 Min(sxzMax) 179 370 DEBUT -3.104 -0.255 -3.882 -3.104 0.000 Max(sFxx) 120 293 FIN 161.095 9E-005 -0.002 161.095 0.000 Min(sFxx) 120 292 DEBUT -150.743 0.000 0.000 -150.743 0.000 Max(sMxxMax) 120 59.2 FIN 273.860 -14.696 -1.024 -16.453 290.312 Min(sMxxMax) 1 1.1 DEBUT -4.511 3.155 -0.646 -4.511 0.000


09 Janvier 2007 276

2.94.3. Résultats Effel Expertise CM66

Hypothèses

Pour les poteaux ■ Flèches 1/150

Calcul avec les flèches enveloppes. ■ Flambement plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds déplaçables

plan XZ : Calcul Auto Structure à nœuds fixes ■ Déversement calcul auto Ldi : maintien articulé

calcul auto Lds : maintien articulé

Pour les arbalétriers ■ Flèches 1/200


plan XZ : Calcul Auto Structure à nœuds fixes ■ Déversement calcul auto Ldi : Pas de maintien

calcul auto Lds : maintien articulé

Pour les potelets ■ Flèches 1/150


plan XZ : Calcul Auto Structure à nœuds déplaçables ■ Déversement calcul auto Ldi : maintien articulé

calcul auto Lds : maintien articulé Paramètres d'optimisation ■ Optimisation pour un taux de travail entre 90 et 100% ■ Toutes les sections du catalogue sont autorisées. ■ Optimisation par labels.

Les résultats de l'optimisation donnés ci-après correspondent à une itération sur le calcul éléments finis.


09 Janvier 2007 277

Vérification des flèches Ratios

Valeurs max par élément

Poteaux : L / 168 Arbalétrier : L / 96 Potelet : L / 924


09 Janvier 2007 278

Diagrammes des contraintes CM Taux de travail

Contraintes

Valeurs max par élément

Poteaux :375.16 Mpa Arbalétrier : 339.79 Mpa Potelet : 180.98 Mpa

Longueurs de flambement


09 Janvier 2007 279

Lfy

Lfz

Longueurs de déversement


09 Janvier 2007 280

Ldi

Lds

Optimisation


09 Janvier 2007 281

2.94.4. Comparaison Effel Structure \ Advance Structure

Déplacement maximum

Valeur Effel (cm)

Valeur Advance Structure 2.1 (cm)

Ecart (%)

12.115 11.96 1.29%

Effort normal enveloppe Valeurs Valeur Effel

(T) Valeur AS 2.1

(T) Ecart (%)

Min (Fx) -41.618 -41.613 0.01% Max (Fx) 19.423 19.430 0.03%

Moment de flexion enveloppe

Elément Valeur Effel (T.m)

Valeur AS 2.1 (T.m)

Ecart (%)

Min (Mz) -57.105 -57.140 0.06% Max (Mz) 55.744 54.933 1.47%

Attention, le moment Mz de Effel Structure correspond au moment My de Advance Structure.


09 Janvier 2007 282

Flèches CM Elément Valeur Effel

(Ratio) Valeur AS 2.1

(Ratio) Ecart (%)

Poteaux L / 168 (89%) L/165.16 (91%) 2.25% Arbalétriers L / 96 (208%) L/97.85 (204%) -1.92%

Potelets L / 924 (16%) L/908.86 (16.5%) 3.13%

Contraintes CM Elément Valeur Effel

(Mpa) Valeur AS 2.1

(Mpa) Ecart (%)

Poteaux 374.67 374.91 0.06% Arbalétriers 339.74 346.14 1.88%

Potelets 171.16 181.19 5.86%

Longueurs de flambement Elément Valeur Effel

(m) AS 2.1

(m) Ecart (%)

Poteaux Lfy 24.07 24.07 0.00% Lfz 8.02 8.00 -0.25%

Arbalétriers Lfy 20.25 20.25 0.00% Lfz 1.72 1.72 0.00%

Potelets Lfy 5.67 5.670 0.00% Lfz 4.20 4.196 0.09%

Attention, les axes locaux entre Effel Structure et Advance Structure sont inversés.

Longueurs de déversement Elément Valeur Effel

(m) AS 2.1

(m) Ecart (%)

Poteaux Ldi 8.5 8.5 0.00% Lds 8.5 8.5 0.00%

Arbalétriers Ldi 8.61 8.61 0.00% Lds 1.72 1.72 0.00%

Potelets Ldi 2 2 0.00% Lds 2 2 0.00%

Optimisation Elément Optimisation Effel Optimisation AS 2.1

Section initiale

Taux (%)

Section finale

Taux (%)

Section initiale

Taux (%)

Section finale

Taux (%)

Poteaux IPE500 159 IPE600 92 IPE500 159.5 IPE600 92.2% Arbalétriers IPE400 145 IPE500 88 IPE400 147.3 IPE500 87.6%

Potelets IPE400 73 IPE360 88 IPE400 77.1 IPE360 92.7%


09 Janvier 2007 283

2.95. Test n° 03-0207SSLLG_CM66: Dimensionnement d'un portique 2D

2.95.1. Données Modèle de calcul : Portique métallique 2D.

o Section des poteaux: IPE500 o Section des arbalétriers: IPE400 o Pieds de poteaux: articulation. o Largeur du portique: 20m o Hauteur des poteaux: 6m o Hauteur du portique au faîtage: 7.5m

Cas de charge : o Charges permanentes: 150kg/m sur la toiture + poids propre des éléments. o Surcharges d'exploitation: 800 kg/ml sur la toiture

Densité de maillage: 1m

Aperçu du modèle

Combinaisons

Code Numéros Type Titre CMP 1 Statique Charge permanente + poids propre CMS 2 Statique Surcharges d'exploitation

CMCFN 101 Comb_Lin 1.333P CMCFN 102 Comb_Lin 1.333P+1.5S CMCFN 103 Comb_Lin P+1.5S CMCD 104 Comb_Lin P+S

Test 03-0208SSLLG_BAEL91 Archive 03-0208SSLLG_BAEL91.do4

09 Janvier 2007 284


Déplacements au faîtage (combinaison 104)

Diagrammes enveloppes de l'effort normal


09 Janvier 2007 285

Diagrammes enveloppes du moment de flexion

2.95.3. Résultats Effel Expert CM

Hypothèses principales Pour les poteaux

■ Flèches 1/150 Calcul avec les flèches enveloppes.

■ Flambement plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds fixes plan XZ : Calcul Auto Structure à nœuds fixes Méthode Ka-Kb

■ Déversement calcul auto Ldi : pas de maintiens Valeur imposée Lds : 2 m

Pour les arbalétriers

■ Flèches 1/200 Calcul avec les flèches enveloppes.

■ Flambement plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds fixes plan XZ : Calcul Auto Structure à nœuds fixes

Méthode Ka-Kb ■ Déversement calcul auto Ldi : Pas de maintien

valeur imposée Lds: 1.5m Critères d'optimisation

■ Optimisation entre 90 et 100% du taux de travail ■ Optimisation selon les labels (selon les rôles dans Advance Structure)


09 Janvier 2007 286

Vérification des flèches Ratios

Diagrammes des contraintes CM Taux de travail

Contraintes


09 Janvier 2007 287

Longueurs de flambement Lfy

Lfz

Longueurs de déversement Ldi


09 Janvier 2007 288

Lds

Optimisation


Déplacement au faîtage (combinaison 104)

Valeur Effel (cm)


Ecart (%)

9.36 9.36 0.00%

Effort normal enveloppe Elément Valeur Effel

(T) Valeur AS 2.1

(T) Ecart (%)

Poteaux (min) -1.02 -1.35 0.00% Arbalétriers (max) -15.77 -15.77 0.00%

Moment de flexion enveloppe

Elément Valeur Effel (T.m)

Valeur AS 2.1 (T.m)

Ecart (%)

Poteaux (min) -42.41 -42.41 0.00% Arbalétriers (max) 42.41 42.41 0.00%


09 Janvier 2007 289

Flèches CM

Elément Valeur Effel (Ratio)

Valeur AS 2.1 (Ratio)

Ecart (%)

Poteaux L / 438 (34%) L / 438 (34%) 0.00% Arbalétriers L / 111 (180%) L / 111 (180%) 0.00%

Contraintes CM

Elément Valeur Effel (Mpa)

Valeur AS 2.1 (Mpa)

Ecart (%)

Poteaux 230.34 230.34 0.00% Arbalétriers 458.38 458.38 0.00%

Longueurs de flambement

Elément Valeur Effel (m)

AS 2.1 (m)

Ecart (%)

Poteaux Lfy 5.84 5.84 0.00% Lfz 6 6 0.00%

Arbalétriers Lfy 7.08 7.08 0.00% Lfz 10.11 10.11 0.00%

Attention, les axes locaux entre Effel Structure et Advance Structure sont inversés.

Longueurs de déversement Elément Valeur Effel

(m) AS 2.1

(m) Ecart (%)

Poteaux Ldi 6 6 0.00% Lds 2 2 0.00%

Arbalétriers Ldi 10.11 10.11 0.00% Lds 1.5 1.5 0.00%

Optimisation

Elément Optimisation Effel Optimisation AS 2.1 Section

initiale Taux (%)

Section finale

Taux (%)

Section initiale

Taux (%)

Section finale

Taux (%)

Poteaux IPE500 98 - 98 IPE500 98 - 98 Arbalétriers IPE400 195 IPE550 77 IPE400 195.1 IPE550 76.8


09 Janvier 2007 290

2.96. Test n° 03-0208SSLLG_BAEL91: Calcul d'un plancher BA avec une trémie

2.96.1. Données Modèle de calcul : Plancher Béton 2D.

o Epaisseur de la dalle: 20cm o Longueur de la dalle: 20m o Largeur de la dalle: 10m o Les appuis (ponctuels et linéaires) sont considérés articulés. o Positionnement des appuis (voir schéma ci-dessous) o Trémie de 1,50m*2,50m => voir positionnement sur schéma ci-dessous

Matériaux: o Béton B25 o Module d'Young:E= 36000 Mpa

Cas de charge : o Charges permanentes: 100kg/m2 o Charges permanentes: 200kg/ml autour de la trémie o Charges ponctuelles de 2T en charges permanentes (voir définition ci-

après) o Surcharges d'exploitation: 250 kg/m2

Densité de maillage: 0.5 m

Géométrie de la dalle


09 Janvier 2007 291

Positionnement des appuis

Positionnement des charges ponctuelles


09 Janvier 2007 292

Aperçu du chargement global

Combinaisons

Code Numéros Type Titre BAGMAX 1 Statique Charges permanentes + poids propre

BAQ 2 Statique Surcharges d'exploitation BAELS 101 Comb_Lin Gmax+Q BAELU 102 Comb_Lin 1.35Gmax+1.5Q


09 Janvier 2007 293


Déplacement max à l'ELS (combinaison 101)

Moment Mx sous combinaison ELU


09 Janvier 2007 294

Moment My sous combinaison ELU

Moment Mxy sous combinaison ELU


09 Janvier 2007 295

2.96.3. Résultats Effel Expert BA

Hypothèses principales

■ Enrobages hauts et bas: 3cm ■ Fissuration peu nuisible ■ Béton B25 => Fc28= 25 Mpa ■ Calcul des armatures selon la méthode de Wood. ■ Calcul à partir des efforts non moyennés.

Armatures Axi

Armatures Ayi


09 Janvier 2007 296

Armatures Axs

Armatures Ays


09 Janvier 2007 297


Déplacement maximum à l'ELS (combinaison 101)

Valeur Effel (cm)


Ecart (%)

0.18 0.18 0.00%

Moments de flexion Mx et My à l'ELU (combinaison 102) Grandeur Valeur Effel

(kN.m) Valeur AS 2.1

(kN.m) Ecart (%)

Max (Mx) 25.20 25.20 0.00% Min (Mx) -15.71 -15.71 0.00%

Max (My) 31.17 31.17 0.00% Min (My) -18.79 -18.79 0.00%

Max (Mxy) 10.26 10.26 0.00% Min (Mxy) -10.14 -10.14 0.00%

Armatures théoriques maximales

Grandeur Valeur Effel (cm²)

Valeur AS 2.1 (cm²)

Ecart (%)

Axi 2.25 2.25 0.00% Axs 2.23 2.23 0.00% Ayi 3.05 3.05 0.00% Ays 2.65 2.65 0.00%

Ces valeurs sont obtenues à partir des valeurs moyennes dans les mailles

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