Guias de Metodos Numericos

UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDERGUIA DE ESTUDIO No 1

UNIDAD ACADEMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA ANALISIS NUMERICO

UNIDAD TEMATICA INTRODUCCION A MATLAB

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJEAdaptar los distintos algoritmosque permiten resolver ecuacionesno lineales en una variable.

XExplorar el entorno de Matlab mediante la realizacion de calculos basicos conmatrices.XGraficar diferentes tipos funciones mediante el uso de los comandos plot y ezplot.XEscribir programas en Matlab mediante el editor de archivos m.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Realizar las actividades que a continuacion se enuncian teniendo en cuenta los conceptos estudiados en clase.

ACTIVIDAD No 1

1. Prueba los siguientes comandos:

a) fix(clock)

b) k = 25

c) q = sym(25); q+a

d) syms x; p = (1/2)*x2+3;

e) eval(q)

f ) x = rand

g) X = fix(rand * 10)

h) r = 3

i) sup = pi * r 2

j) workspace

2. Escriba en la notacion aritmetica usual y obtenga el valor numerico de las siguientes expresiones:

a) 4*sqrt(5-2(-3))

b) log(4.53*5.46)

c) 25-3(-2))/6

d) (0.0056*5.784)/2

3. Realice las siguientes operaciones con MATLAB y verifique las respuestas:

a) 2(9 3) + 4 Rta: 16

b)5 ( 12 )20,7 + 1

Rta: 2.7941

c) (1 0,25) 12 +(

4

81

) 12Rta: 5.3660

d)

256

( 125 )

2 Rta: 0+3i

4. Sean a = 4, b = 2, c = 23 calcule:

a) ab c b) abc

5. Halle el valor de f(x) para x = 3, x = 4, x = 12 , x = 0,9, siendo f(x) = 12x2 + 2x 15 .

6. Evalue en f(1, 2), si f(x, y) = tan1(cos

(5

e2x3y

ln(x+ y)

)).

7. Un estudio presentado a inicios de enero del ano de 2000, mostro que la poblacion de peces en un lago se obtienede la formula F = 1000(30+17t t2), donde t es el tiempo en anos. Si la maxima cantidad de peces se proyectapara 8 anos y medio despues del estudio, cuantos peces tendra el lago en esta fecha?. cual es la situacion despuesde 18 anos y medio del estudio y que se podra afirmar 3 meses mas tarde de esta fecha.

1


ACTIVIDAD No 2

Use el comando ezplot para obtener la grafica de las siguientes funciones segun el intervalo dado:

1. f(x) = x2 2x 3 en [1, 3].2. g(x) = 1x y h(x) = ln(x 1) en [2, 5].3. i(x) = e0,5tcos(2t) en [0, 18pi].

4. j(x) = e2tsen(9 t2) en [4pi, 4pi].

ACTIVIDAD No 3

1. Los siguientes ejemplos definen diferentes formas de introducir matrices en MATLAB. Pruebe y saque conclusiones:

a) A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]

b) B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

c) D = C

d) E = [3, 0, 5, 6]

e) F = [1 : 9]

f ) G = [0 : 2 : 12]

Responda las siguientes preguntas:

a) Para que se utiliza ,?

b) Para que se utiliza ;?

c) Para que se utiliza :?

d) Para que se utilizan los espacios en blanco?

e) Que ocurre cuando al final de una matriz se escribe ?Que significa?

2. Existen funciones en MATLAB como por ejemplo: rand, magic, eye, etc. que proporcionan una forma sencillapara crear matrices con las que se puede experimentar. Introduzca las siguientes matrices y extraiga conclusiones:

a) rand(4)

b) rand(2,3)

c) magic(3)

d) eye(6)

e) eye(4,2)

f ) ones(6)

g) ones(4,7)

h) zeros(4,5)

i) triu(C)

j) tril(A)

k) A(:)

3. Genere los siguientes vectores sin introducir explcitamente sus elementos.

a) Un vector columna cuyos elementos sean numeros naturales consecutivos entre el 15 y el 28.

b) Un vector fila cuyos elementos sean: 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5.

c) Dadas las siguientes matrices: M =

1 32 13 4

N =3 21 5

7 6

O = (3 31 4

).

Investigue que operaciones son las siguientes:

1) -M

2) M+N

3) M-N

4) O+M

5) M*O

6) M*N

7) M.*N

8) M./N

9) 2*O

10) O2

11) O.2

12) 2/M

13) 2./M

14) M/2

15) M./2

Siempre es posible realizar dichas operaciones?Que ocurre cuando no es posible?

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ACTIVIDAD No 4

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

1.

1

2x+ 3y + 3z = 1

4x z = 15x 1

3y +

2

5z = 1

7

2 3y + 2z = 2

2.

2x 3y = 22x+ y = 1

3x+ 2y = 1

3.

x+ 4y z + 3w = 102x+ 2y 14z = 44

x+ 8y + 4z 8w = 35x+ 17y 5z + 13w = 44

ACTIVIDAD No 5

Ejercicios de programacion en Matlab:

1. Efectuar un programa que lea los valores de 3 resistencias electronicas (en Ohmios) conectadas en paralelo ymuestre en pantalla el valor global de las 3. El valor global es calculado por la siguiente ecuacion: 1R1 +

1R2

+ 1R3 .

2. Efectuar un programa que lea dos numeros enteros y muestre en pantalla todos los numeros comprendidos entredichos numeros, ambos incluidos. El programa no debe suponer que el primero sera menor que el segundo, niviceversa, pero s que debera tenerlo en cuenta para mostrar los numeros en orden creciente o decreciente seguncorresponda.

3. . Hacer una funcion que permita calcular el N-esimo termino de la sucesion de Fibonacci. Por ejemplo si N=6la funcion debe devolver 8, ya que segun la sucesion de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34..., se ve que el sextoelemento es 13.

EVALUACION

1. Supongase que se quieren eliminar las columnas 4 y 6de una matriz A, que tiene dimensiones 88. Conse-guiran dicho objetivo las instrucciones A(:, 4) = [ ];y A(:, 6) = [ ];?

2. Grafique la funcion f(x) = esen(1x ) en el intervalo

[pi, 2pi].3. Elabora un programa que pida un ano y devuelva si

es bisiesto o no. Un ano es bisiesto si es divisible en-

tre 4, excepto los que son divisibles entre 100, perosi lo son los que son divisibles entre 400. ejemplo:los anos 4, 8, 12, 2004 si son bisiestos, los anos 100,200, 300, 2100 no son bisiesto y los anos 400, 800,2000 si lo son.

4. Programar la funcion primo(n) cuya salida sea 1 sin es primo y 0 en caso contrario. El programa debeadvertir al usuario cuando el numero introducido noes natural.

BIBLIOGRAFIA

Basica:XNAKAMURA, Shoichiro. Analisis Numerico Y Visualizacion Grafica Con Matlab. Primera Edicion. Ed PrenticeHall. 2005. Mexico.

Sugerida:XGetting Started with MATLAB. The MathWorks, Inc., Natick, MA,USA. Version online.

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UNIDAD TEMATICA ERRORES Y PUNTO FLOTANTE

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE1. Comprender los procesosaritmeticos que realizan lasmaquinas computacionales.

XCalcula las operaciones basicas entre dos numeros reales con aritmetica de puntoflotante.XDetermina el error absoluto y relativo de las operaciones al trabajar con numerosen punto flotante.



ACTIVIDAD No 1

1. Indique la cantidad de cifras significativas que tiene cada numero:

a) 0,0010025002

b) 1,0000121

c) 5,554 106d) 27,440002

e) 2,440 106f ) 1001,44 1020

2. Como puedo expresar 0,55555. . . en forma fraccionaria?

3. Sume a 0,222222. . . con 5,33333. . . , pero en forma fraccionaria.

4. Realice la suma de (2/3)+(2/9), primero como suma de fraccionario, trate de no usar la calculadora, luego hallela suma por redondeo truncado con 5 cifras significativas, luego hagalo por redondeo simetrico.

5. Si la nota de un estudiante de calculo diferencial, al realizar la sumatoria fue 2, 83, pero el profe le digito en elsistema 2,84. Que tipo de error se cometio?

6. Escriba en una palabra de 32-bits la cantidad 0,001285. Cual es su mantisa?Cual es su caracterstica?7. Segun la informacion del estandar IEEE 754, Que significa o representa la palabra

(FFFFFFFFFFFFFFFF )Hex?

8. Escriba en una palabra hexadecimal de precision simple la cantidad:pi

e+ pi. Cual es la mantisa en binario?

9. Escriba un numero que no pueda representar su calculadora.

10. Se tiene procesador NORM-32 que tiene una longitud de palabra de 32 bits (1bit = 1Binary digital), estos sedistribuyen de la manera siguiente: donde los dos primeros espacios son reservado para los signos, asignandolecero si el signo es positivo y uno si es negativo, los siguientes siete espacios para el exponente y los restantespara la mantisa y dado que un numero real distinto de cero x = q 2m , siempre puede normalizarse de talmanera que

1

2 q < 1, podemos suponer que el primer bit en q es 1, y por lo tanto no requiere almacenamiento.

Representar y almacenar en punto flotante normalizado 117,125.

1

EVALUACION

1. Se desea construir una torre de 10m, pero al termi-narla se mide y su medida es de 998 cm, Calcular:

a) Error absoluto

b) Error relativo

c) Error porcentual

2. Realice un redondeo truncado de 5 cifras para (1/3).

3. Realice la siguiente operacion y determine cuantas

cifras significativas posee: 1,45856955+0,25851525-0,1111+0,474155623856257854.

4. Segun la informacion del estandar IEEE754, Que significa o representa la palabra(FFF0000000000001)Hex?

5. Escriba en una palabra hexadecimal de precision sim-

ple la cantidad:e

e+ pi. Cual es la caracterstica en

binario?

BIBLIOGRAFIA



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UNIDAD TEMATICA SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE2. Adaptar los distintos algorit-mos que permiten resolver ecua-ciones no lineales en una variable.

XComprende los algoritmos que permiten resolver r ecuaciones no lineales en unavariables tales como biseccion, la posicion falsa, punto fijo, Newton, la secante,Races multiples.



ACTIVIDAD No 1

1. Resuelva f(x) = x5100x4+3995x379700x2+794004x3160075 usando x0 = 17. Resuelva usando biseccioncon [17, 22,2]

2. Resuelva la ecuacion ln2x x 1 = 0.3. Resuelva e3(x1) ln(x 1)2 + 1 = 0 con al menos cinco decimales exactos.4. Resuelva e3x ln(x2 + 1) 30 = 0 con al menos cinco decimales exactos.5. Para cada una se las siguientes funciones, use el metodo de Newton para encontrar un cero, en caso que el metodo

falle explique por que lo hace.

a) 5x4 + 11x2 1, x0 = 1b) x4 4x+ 1, x0 = 0c) 5x4 11x2 + 2 x0 = 12 , x0 = 0

6. Sea x2 2 cos(x) + 1 = 0 Aplique el metodo de metodo de Newton para resolver esta ecuacion con x0 = 0,1.

ACTIVIDAD No 2

1. Considere g(x) = 2x.

a) Se podra encontrar una constante positiva k < 1 tal que |g(x)| k x [ 13 , 1]?b) Se puede garantizar que la iteracion de punto fijo, iniciando en cualquier x0 [ 13 , 1], converge al unico

punto fijo de g en el intervalo [ 13 , 1]?.

2. Considere x = 0,5(sen(x) + cos(x)). Determine un intervalo [a, b] donde la iteracion de punto fijo converge sinimportar la eleccion de la aproximacion inicial x0 [a, b]. Justifique su respuesta.

3. Aplique el metodo de falsa posicion a la ecuacion cos(x)cosh(x) 1 = 0 con a = 3pi2

y b = 2pi. Compare con el

resultado que se obtiene al aplicar el metodo de la secante y biseccion.

4. Considere f(x) = x cos(

0,785 x1 + x21 + 2x2

). Esta funcion tiene un cero cerca de x = 1. Use el metodo de la

secante para aproximar este cero con error absoluto estimado menor que 0,5 105.

1

EVALUACION

1. Considere la ecuacion 4(x 1)3 cos(x) = 0.

a) Que multiplicidad tiene la raz x = 1?

b) Aplique Newton con x0 = 0,5

c) Modifique la ecuacion de tal manera que el or-den de convergencia sea cuadratico. Hacer estode dos maneras: Usando la multiplicidad de la

raz y usando la ecuacion u(x) =f(x)

f (x).

2. El principio de arqumedes establece que el empu-je que que esta sometido un cuerpo sumergido enun liquido es igual al peso del fluido desplazado. Alplantear la condicion de equilibrio para una esfera deradio 1 cm y densidad = 0,75gm/cm3, se consiguela ecuacion h3 3h2 + 3 = 0, donde h es la alturade la parte de la esfera que esta sumergida. Se pideaplicar el metodo de Newton-Raphson, modificado ysecante para estimar un valor aproximado h con 1por ciento de error con respecto al valor anterior cal-culado. Nota: presentar la tabla de datos de cada unade las iteraciones realizadas.

3. La velocidad v de cada de un paracaidista esta dadapor

v =gm

c

(1 e

c

mt

)donde g = 9,8. Para el paracaidista con un coeficien-te de rozamiento c = 14kg/s, calcule la masa m deeste de tal forma que la velocidad sea de v = 35m/sen t = 35m/s en t = 7s. Use el metodo de la falsaposicion y la biseccion para determinar m en el nivelde = 0,1 por ciento. Nota: Hacer una tabla quemuestre los datos en cada una de las iteraciones.

4. El algoritmo de punto fijo es sencillo y directo, perocon frecuencia funciona. Suponga que una ecuacionse pueda es escribir en la forma x = g(x). Resolveresta ecuacion es determinar un numero r que no es

alterado por la funcion g. A tal numero lo denomina-mos un punto fijo de g. Haga una primera estimacionx1. luego haga x2 = g(x1), x3 = g(x2) y as sucesi-vamente. Si tenemos suerte, xn convergera a la razr cuando n. Responda lo siguiente.

a) De una interpretacion geometrica del algoritmode punto fijo.

b) Haga un seudocodigo del metodo.

c) Codifique en matlab el algoritmo. Utilice paraaproximar la solucion de f(x) = x 2 cosx.Esto tambien se puede escribir como f(x) =2x (x+ 2 cosx).

5. Hallar el area sombreada en la grafica, donde L1 sedetermina por el metodo de Newton-Raphson (to-mando x0 = 0,5) y L2 por el metodo de la secantemodificada (tomando x0 = 1,5; x = 0,01). Tabulesus resultados e itere hasta que a < 0,001 %.

6. Determine la veracidad de los siguientes enunciadosjustificando su respuesta.

a) El metodo del punto fijo converje siempre ycuando x0 se encuentre antes de la raz, es decirx0 < r.

b) Tomando x0 = 2 y x1 = 1 el metodo de lasecante no converge para la funcion f(x) = ex,para que converja se deben tomar valores x0, x1diferentes.

BIBLIOGRAFIA



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UNIDAD TEMATICA INTERPOLACION Y AJUSTE DE CURVAS

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE3. Determinar algebraicamentepolinomios que se ajusten a unconjunto finito de datos de modoque por medio de el se pueda infe-rir valores futuros que tengan unarelacion directa al conjunto de da-tos inicial.

XConstruye un polinomio que se ajusta a un conjunto de datos mediante la inter-polacion de Lagrange y las diferencias divididas de Newton.XRepresenta graficamente una curva extrayendo los datos de una curva dada enpapel.XDetermina la lnea recta que mas se ajusta a un conjunto de datos dados mediantela regresion de mnimos cuadrados.



ACTIVIDAD No 1

1. Considere los cuatro puntos (0, 1), (1, 2), (3, 0), (4, 4).

a) Calcule el polinomio interpolante P (x), en la forma de Lagrange.

b) Interpolar f(3,5).

2. Considere la funcion de Bessel J0(x) =1

pi

pi0

cos(x sen()) d. Tenemos la siguiente informacion,

x piJ0(x)0 3.590.2 3.110.4 3.08

a) Obtener la forma de Lagrange del polinomio interpolante.

b) Interpolar J0(0,25)

3. Interpolar cos(1.75) usando la tabla

xi cos(1 + 3xi)0 0.5403021/6 0.0707371/3 -0.416147

Ayuda: La estimacion que se obtiene con el polinomio interpolante es -0.17054.

4. Usar la forma de Newton del polinomio interpolante para completar la siguiente tabla de datos para el agua, dondeT es temperatura y es la densidad.

T (C) 50 60 65 68 75 80(kg/m3) 988 985.7 980.5 ? 974.8 971.6

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ACTIVIDAD No 2

1. Considere la siguiente tabla de salarios,

Salarios ($) 0-1000 1000-2000 2000-3000 3000-4000Frecuencia 9 30 35 42

Estimar la cantidad de personas con salario entre $1000 y $1500.

2. Considere la siguiente tabla de vapor para H2O calentada a 200MPa.

v(m3/kg) 0.10377 0.11144 0.1254s(kJ/Kg K) 6.4147 6.5453 6.7664

Use interpolacion para encontrar la entropa s para un volumen especifico v de 0,108m3/kg.

3. Considere la siguiente tabla de datos para el nitrogeno,

T (K) 100 200 300 400 500 600B(cm3/mol) -160 -35 -4.2 9.0 16.9 21.3

donde T es la temperatura y B es el segundo coeficiente virial. Interpolar el segundo coeficiente virial a 450K.

4. En la tabla que sigue aparece las estadsticas de un curso con la cantidad de estudiantes en cada rango de notas.

Rango de Notas 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80No Estudiantes 35 48 70 40 22

a) Estime la cantidad de estudiantes con nota mayor o igual a 65.

b) Estime la cantidad de estudiantes en el rango 55 65

5. Sea y = xex, linealizar este modelo y usarlo para estimar y con base en los siguientes datos:

x 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 1.3 1.5 1.7 1.8y 0.75 1.25 1.45 1.25 0.85 0.55 0.35 0.28 0.18

Elabore una grafica de los datos de la tabla y determine si visualmente es un buen ajuste, si lo es, prediga el valorde y en x = 2.

Sugerencia: Utilice ln y la propiedad ln(u) ln(v) = ln(uv

)para linealizar el modelo.

6. Los datos que se tabulan a continuacion se pueden modelar por la siguiente ecuacion: y =

(a+x

bx

)2Linealizar esta ecuacion y usarla para estimar a y b con base en los siguientes datos.

x 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8y 10.4 5.8 3.3 2.4 2 1.8 1.5 1.6 1.2

Elabore una grafica de los datos y determine si visualmente es un buen ajuste, si lo es, prediga el valor de y enx = 9.

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EVALUACION

1. Un fabricante compra grandes cantidades de refrac-ciones para cierta maquina. El encuentra que estecosto depende del numero de cajas compradas al mis-mo tiempo y que el costo por unidad disminuye con-forme el numero de cajas aumenta. Suponer que elcosto es una funcion cuadratica del volumen y de lasfacturas anteriores. El registro de algunas compras seencuentran en la siguiente tabla:

No de cajas compradas Costo Total(Dolares)10 15030 26050 325100 500175 670

Encuentre su funcion de costo total.

2. Una persona lanza una pelota al aire hacia aba-jo. La altura que alcanza esta dada por s(t) =s0 + v0t+

12gt

2. Se toma las siguientes mediciones:

Tiempo transcurrido (segundos) Altura (pies)1 571.5 672.5 684 9.5

Usando los datos, estime

a) la altura a la dejo caer la pelota.

b) velocidad inicial

c) g (en pies/seg2)

3. Suponga que f C1[a, b], f (x) 6= 0 y que f tieneun cero p en [a, b]. Sean x0, . . . , xn, n + 1 nume-ros distintos en [a, b] con f(xk) = yk para cadak = 0, 1, . . . , n. Se quiere aproximar p, construya elpolinomio interpolante en los nodos y0, . . . , yn, paraf1. Puesto que yk = f(xk) y 0 = f(p), se deduceque f1(yk) = xk y p = f1(0). Se da el nombrede interpolacion iterada inversa al uso de la interpo-lacion iterada para aproximar f1(0).

a) Construya un algoritmo que sirva para obtenerla interpolacion inversa.

b) Utilice la interpolacion inversa para obtener laaproximacion de la solucion x ex = 0 pormedio de los datos:

x 0.3 0.4 0.5 0.6ex 0.7408 0.6705 0.6065 0.5488

4. Determine la veracidad de los siguientes enunciadosjustificando su respuesta.

a) Un algoritmo bien elaborado en MATLAB hallauna regresion lineal para un conjunto de datosy arroja un error acumulado igual a cero. Sepuede concluir entonces que en realidad el al-goritmo esta mal programado pues a > 0 paratodo conjunto de datos.

b) La recta que se halla mediante regresion linealpara un conjunto de datos siempre es la quedeja menor dispersion.

5. La siguiente tabla muestra los pesos normales debebes durante los primeros 12 meses de vida,

Edad en meses 0 2 5 8 10 12Peso en libras 7.5 10.25 15 16 18 21

Determine el peso de los bebes entre los 5 y 5.6 mesesde vida.

6. En la siguiente tabla de diferencias divididas, com-plete los datos que faltan.

xi yi0 21 3 ?? 2 -1 -13 1 ? 0 ?4 3 2 1.5 0.5 ?

BIBLIOGRAFIA



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UNIDAD TEMATICA DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE4. Adaptar y ejecutar en elcomputador algoritmos que permi-tan calcular la derivada y la inte-gral numerica.

XAdapta y ejecuta en el computador los algoritmos que permitan calcular el valornumerico de la derivada de una funcion para un valor de su dominio.XAdapta y ejecuta en el computador algoritmos que permitan calcular la integraldefinida de una funcion.



ACTIVIDAD No 1

1. En un circuito electrico con un voltaje impreso E(t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchhoff nos da lasiguiente relacion

Ldi

dt+Ri = E(t)

donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente. Supongamos que medimos con varios valores de t yobtenemos

t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24

donde t se mide en segundos, i se da amperes, la inductancia L de 0,098 henries y resistencia R es de 0,142 ohms.Aproxime me el voltaje E(t) en los valores t =1.00, 1.01,1.02, 1.03 y 1.04

2. Encontrar una aproximacion al area bajo la curva de la siguiente funcion usando el metodo de trapecios. Tomar6 subintervalos iguales.

f(x) =

arctan2 (x+ pi) ; si pi x pi

x pi + 2; si pi < x 2pi

3. La region limitada por la curvas y = 31 + x3, y = 0, x = 0 y x = 2 se hace girar, en torno del eje x. Emplee la

regla de Simpson, con n = 10, y estime el volumen del solido restante.

4. En un da de trabajo, Jose anoto su velocidad cada 3 minutos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.Que distancia recorrio en cada anotacion?

Tiempo (minutos) 0 3 6 9 12 15 18 2 24velocidad (mi/h) 0 31 54 53 52 35 31 28 0

1

EVALUACION

1. La regla mas integracion mas comun es la de puntomedio. Sean n y h con sus significados usuales, pero

suponga que n es par. Entonces baf(x)dx Mn

donde

Mn = 2h[f(x1) + f(x3) + f(x5) + + f(xn1)]a) Sean Tn y Pn las aproximaciones trapezoidal

y parabolica o Simpson correspondiente. la in-tegracion de Simpson se puede expresar comoPn =

23Mn +

13Tn. Realice un programa en

MATLAB que se vea representado esta nuevaformula de metodo de Simpson.

b) Utilice el item anterior con n = 16 para estimar 31x4dx.

2. La concentracion de salida de un reactor se mide endistintos momentos durante un perodo de tiempo de12 horas:

t 0 2 4 6 8 10 12c 2.1 4 5 5.5 5 3 1.2

El caudal de salida en m3/s se puede calcular con lasiguiente ecuacion ecuacion:

Q(t) = 20 + 10sen[ pi12

(t 10)]

Use la regla de Simpson 1/3 para determinar el pro-medio ponderado (c) de concentracion de salida delreactor durante el perodo de 12 horas, donde:

c =

t0Q(t)c(t) dt t0Q(t) dt

BIBLIOGRAFIA



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UNIDAD TEMATICA ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMIR ORDEN

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE4. Ejecutar en el computador losalgoritmos de Euler y Runge-Kuttapara obtener la solucion de unaecuacion diferencial.

XAdapta y ejecuta en el computador el algoritmo de Euler para obtener la solucionde una ecuacion diferencial ordinaria.XAdapta y ejecuta en el computador el algoritmo de Runge-Kutta para obtener lasolucion de una ecuacion diferencial ordinaria.



ACTIVIDAD No 1

1. Considere el problema de valor inicial y(t) = cos(2t) + sen(3t), t [0, 1], y(0) = 1.

a) Usando el metodo de Euler, aproximar y(0,4) con h = 0,1.

b) Usando el metodo de Runge-Kutta de orden 4, aproximar y(0,4) con h = 0,2.

2. Considere el problema de valor inicial y(t) = te3t 40y, t [1, 2], y(1) = 10.a) Usando el metodo de Euler, aproximar y(0,4) con h = 0,1.

b) Usando el metodo de Runge-Kutta de orden 4, aproximar y(0,4) con h = 0,2

3. Dada la siguiente ecuacion diferencialdy

dx= 4e0,8x 0,5y con la condicion inicial: y(0) = 2 ,

a) Si analticamente se encontro que y = 4013e0,8x ce0,5x es la solucion general del sistema, encuentre una

solucion particular con las condiciones iniciales dadas.

b) Resuelva numericamente para x [0, 4], con tamano de paso 0,5, aplicando los metodos estudiados.c) Aproxime y(2,5).

d) Grafique y compare los resultados numericos con los analticos.

4. Dada la siguiente ecuacion diferencialdy

dt= y sen3t con la condicion inicial: y(0) = 1,

a) Resuelvala analticamente.

b) Resuelva numericamente aplicando los metodos estudiados en el intervalo de t = 0 a 1, con tamano de paso0,1.

c) Aproxime y(1,5).

d) Grafique y compare los resultados numericos con los analticos.

5. Usar el metodo de Euler para resolver la siguiente ecuacion diferencialdy

dt= y sen3(t) en el intervalo [0, 1] con

h = 0,1 y condicion inicial y(0) = 1.

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EVALUACION

1. Si se drena el agua desde un tanque cilndrico ver-tical por medio de una valvula en la base, el lquidofluira rapido cuando el tanque este lleno y despacioconforme se drene. La tasa a la que el nivel del aguadisminuye es:

dy

dt= ky

donde k es una constante que depende de la for-ma del agujero y del area de la seccion transversaldel tanque. La profundidad del agua y se mide enmetros y el tiempo t en minutos. Si k = 0,06,determine cuanto tiempo se requiere para vaciar eltanque si el nivel de fluido se encuentra en un inicioa 3 m. Utilice el metodo RK4 con un incremento de0,5 segs.

BIBLIOGRAFIA



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