Guias 3er Año

CLASIFICACIN DE LOS ELEMENTOS QUMICOS

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao

TEMA: REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE

La conservacin de una razn trigonomtrica (r.t) de un ngulo cualquiera en otra razn equivalente de un ngulo del primer cuadrante se llama: reduccin al primer cuadranteTambin reducir al primer cuadrante un ngulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier ngulo en forma directa mediante reglas practicas las cuales mencionaremos a continuacin recordando antes que:-Para el Seno: Su Co-Razn es el Coseno.

-Para la Tangente: Su Co-Razn es la Cotangente.-Para la secante: Su Co-Razn es la Cosecante.

I Regla: Para ngulos positivos menores a una vuelta.

Importante!

-El signo + del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el ngulo a reducir.

-( se considera un ngulo agudo.

Ejemplos de Aplicacin:

1.Reducir al primer cuadrante:

a) Cos 150b) Tg 200

c) Sen 320d) Sec 115

e) Csc 240f) Ctg 345

Resolucin:1a.Cos 150 = Cos (180 - 30) =

-Cos 30El signo (-) se debe a que el ngulo a reducir (150) pertenece al II C, en el cual el coseno es negativo

1b.

Tg 200 = Tg (180 + 120) =

+ Tg 20.

El signo (+) se debe a que el ngulo a reducir (200) pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva.

1c.

Sen 320 = Sen (270 + 50) =

-Cos 50

El signo (-) se debe a que el ngulo a reducir (320) pertenece al IV C, en donde e seno es negativo y se cambia a coseno (Co-razn del seno porque se trabajo con 270.

1d.

Sec 115 = Sec (90 + 25) =

- Csc (25)

Ojo: Tambin se pudo haber resuelto de la siguiente manera:

Sec 115 = Sec(180 - 65) =

- Sec (25)

Ambas respuestas son correctas, por ser stas equivalentes

- Csc 25 = - Sec 65

Csc 25 = Sec 65

Ya que:

Donde:

( y ( suman 90

Nota: A ste par de ngulos se les denomina ngulo Complementarios.e)Csc 240 = Csc (180 + 60) =

- Csc (60)

Csc 240 = Csc (270 - 30) =

- Sec (30)

f)Ctg 345 = Ctg (270 + 75) =

- Tg (75)

Ct 345 = Ctg (360 - 15) =

- Ctg 15

II Regla: Para ngulos positivos mayores de una vuelta.

Nota: Se eliminan los mltiplos de 360.Ejemplos de Aplicacin

2.Reducir al primer cuadrante:

a) Sen (548)b) Cos (987)

c) Tg (1240

Resolucin2a)Sen548 = sen(1 360 +

188) = sen188

Luego:

Sen548 = sen188 =

sen(180 + 8) = -sen8

sen548 = sen188 =

sen(270 - 72) = -cos72

2b)Cos987 = cos(2 360 +

267) = cos267

Luego:

Cos987 = cos267 =

cos(180 + 87) = -cos87

cos987 = cos267 =

cos(270 - 3) = -sen3

2c)Tg1240 =Tg(3 360 +

160) = Tg160

Luego:

Tg1240 = Tg160.Tg(90

+ 70) = -ctg70

Tg1240 = Tg160 =

Tg(180 - 20) = -Tg20

IIIRegla: para ngulos negativos:

Para todo ngulo (, se cumple:

Nota:Observamos que para el coseno y secante el signo desaparece es decir, solo trabajamos con el valor positivo. Veamos ejemplos:

Ejemplo de Aplicacin

3. Reducir al primer cuadrante:A) cos(-130) B) sec(-274) C) Ctg(-1120) D( Csc(-2140)

Resolucin:

3a)cos(-30) = cos(30)

3b)Sec(-274) = sec(274) =

Sec(270 + 4) = Csc4

Sec(274) = sec(360-86) =

sec86

3c)Ctg(-1120) = -Ctg(1120) =

-Ctg(3360 + 40)

Ctg(-1120) = -Ctg(40)

3d)Csc(-2140) = -Csc(2140) =-Csc(5306 + 340)

Csc(-2140) = -Csc(340) =

-Csc(270 + 70) = -[-Sec 70]

= Sec 70

- Csc(340) = - Csc (360 -

20) = -[-Csc(20)]

= Csc 20

Nota Importante: Todo el captulo Reduccin al 1er Cuadrante se desarroll trabajando netamente en el sistema sexagesimal la cual tambin se pudo haber trabajando en el Sistema Radian incluyendo todos los casos reglas y aplicaciones propuestas.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01.Hallar la siguiente expresin:

Rpta.:02.Hallar el valor de P:

Rpta.:

03.Al simplificar la expresin se obtiene

Rpta.:04.Simplificar

Rpta.:

05.Hallar el valor de Q:

Rpta.:

06.Hallar X en la siguiente expresin:

Rpta.:07.Marcar V o F en cada proposicin:

I : sen110 = sen70

II : cos200 = cos20

III: Tg300 = -ctg30

IV: sen618 = sen 78

V : sec(-310) = -Csc40

Rpta.:

08.Reducir la expresin

Rpta.:09.Hallar E:

Rpta.:

10.Simplificar

Rpta.:

11.Hallar el valor de M

Rpta.:

12.Relacionar segn corresponda.

I.

a. Sen x

II.

b. Tg x

III. c. Sen (-x)

A) I-a; II-b; III-c

B) I-b; II-a; III-c

C) I-c; II-a; III-b

D) I-c; II-b; III-a

E) I-a; II-c; III-b13.Calcular Sen(5x). Si:

Rpta.:14.Calcular A:

Rpta.:

15.Calcular P

P = sen140 + cos20 + sen220

+ Cos160 + sen150

Rpta.:16.Reducir

Rpta.:17.Si x + y = 180. Calcular

Rpta.:

18.Calcular

C = 5Tg1485 + 4Cos2100

Cos120

Rpta.:

19.Dado un tringulo ABC, calcular:

A= Sen (A+B) - Tg(B+C)

Sen C TgA

Rpta.:20.Calcular

Si x + y = 2(

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA01.Reducir y calcular E.

E = Sen150.Cos120

+ Sec150.Csc120

a) 19/12b) -19/12

c) 4/3d) -3/4

e) 3/2

02.Hallar el valor de:

a) 1b) 1c) 2

d) -2e) 0

03.Calcular:

a) -2b) 1c) 0

d) -1e) 2

04.Simplificar:

a) -3b) -1c) 0

d) 1e) 3

05.Cuntas de las siguientes preposiciones son verdaderas.

a) Ningunab) 1c) 2

d) 3e) Todas

06.Sabiendo que:

Determine:

Tgx + Ctgx

a)

b)

c)

d)

e)

07.Reducir la expresin:

a) 1

b) -1

c) -2

d) 2

e) 0

08.Hallar 2senx Si:

a) 1

b)

c) -2

d) -1

e)

09.Calcular el valor de:

a) -1b) 1c) 2d) 3e) 410.Calcular del valor de

a) -2b) -1c) 0d) 1e) 2

11.Afirmar si es (V) o (F)

I. senx + sen(-x) = 0

II. cosx + cos(-x) = 0

III. Tgx + tg(-x) = 0

a) VVVb) VFVc) VFF

d) FFVe) FFF

12.Dado un tringulo ABC

Simplificar:

a) -1b) 2c) 1

d) -2e) 5

13.Resolver

a) 1b) -1c) a

d) be) a/b

14.Simplificar

a) 2senx b) 2cosx

c) -2senx d) -2cosx e) 0

15.Calcular

a) 13 b) 12 c) 9

d) 11 e) 10

Rpta.:

18.Si II < ( < ( < II

Seale las proposiciones verdaderas.

I. Tg( < Tg(

II. Tg( . Ctg( < 0

III. Ctg( < Ctg(

Rpta.:

19.En la C.T. mostrada. Hallar el rea de la regin sombreada.

Rpta.:

20.Indicar los signos de cada expresin:

A : Tg1.Tg2

B: Ctg2.Ctg3

C: Ctg1:Tg3

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA01.Indicar verdadero (V) o Falso (F) lo incorrecto.

I. Sen50 - Cos70 > 0

II. Tg50 - Tg200 > 0

III. Ctg89 + Ctg350 > 0

02.Si . Indicar si es (V) o (F) si es falso.

a) VFVb) VFFc) VVF

d) FVFe) VVV

03.Hallar las coordenadas de P

a) (1; Tg() b) (1; -Tg()

c) (-1; Tg()d) (1; Ctg()

e) (1; -Ctg()04.En la C.T. hallar:

a) csc(.ctg(b) cos.tg(

c) sen(.ctg(d) cos(.csc(

e) sec(.tg(05.Calcular el rea de la regin sombreada.

a) Sen(b) cos(c) 2sen(

d) 2cos(e) sen(06.De la C.T. que se muestra calcular :

a)

b)

c)

d)

e)

07.Calcular el rea de la regin triangular ABC

a)

b)

c)

d)

e)

08.En la circunferencia trigonomtrica halle Tg( + Ctg(. Si CP = 2x + 1 y = 4x + 1

a) 4/3b) 13/12c)25/2

d)12/13e) 25/3

09.Halla el rea de la regin sombreada.

a) 3Cos( b) Cos(c)

d) 2cos(e)

10.En la figura se muestra la cuarta parte de la C.T. a que es igual

a) Sen( - Cos(b) Cos(-Sen(

c) Tg(d) Cos(

e) Sen(11.Hallar el rea de la regin sombreada de la C.T. mostrada.

a) Cos( b)

c) d) sen

e)

12.I. Si: ( < ( ( Tg( < Tg(

II. Si: ( > ( ( Tg( > Tg(

III. Si: ( < ( ( Ctg( < Tg(

Indique V o F

a) VFFb) VVVc) VFV

d) FFVe) FFF

13.Calcular el rea de la regin sombreada.

a) sec(b) Tg(c) Tg2(

d) Csc2(e) Sen2(14.Sabiendo que: 90 < X 135, indicar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

I. Senx > Tg x

II. Cosx < Tg x

III. Senx + Cosx > Tgx

a) VVVb) VFVc) VFF

d) VVFe) FVV

15.En la C.T. mostrada

90 < ( < 135. Si a, b y c son lneas geomtricas indicar respectivamente los signos de a + b, a + c, b + c.

a) (-) (-) (+)b) (-) (+) (-)

c) (-) (-) (-)d) (+) (+) (+)

e) (+) (+) (-)

TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMTRICASEste capitulo es muy extenso y muy importante a su vez por que va a servir como base para captulos posteriores, esta considerado como clave dentro de la trigonometra, y definitivamente tendremos que demostrar las razones por las cuales se les considera de gran importancia en el desarrollo de la asignatura.

Obs:

-La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0; Es cierto si solamente si; cuando x = 2 x = -2

A este tipo de igualdad se le denomina Ecuacin Condi-cional

-En cambio la igualdad (x 2) (x + 2) ( x -9, cumple para todo valor de x

A este tipo de igualdad se le denomina Identidad

-Recordar que no existe la divisin entre cero

-Para indicar una identidad, se utiliza el smbolo ( que se lee: Idntico a

Definicin:Una Identidad Trigonomtrica es una igualdad que contienen expresiones trigonomtricas que se cumplen para todo valor admisible del ngulo:

Por Ejemplo: La Identidad sen( + cos( = 1", Comprobemos la valides de la Identidad: Para( = 37 ( Sen37+ cos37 = 1

Identidades Fundamentales:

Las identidades trigonomtricas fundamentales, sirven de base par la demostracin de otras identidades mas complejas

se clasifican en:

1.- Por cociente

2.- Reciprocas3.- PiTgricas

Para obtener dichas identidades, hacemos uso de la circunferencia trigonomtrica.

1. Identidades por Cociente:

Sabemos que PT = | Sen(|

OT = |Cos(| , (en el ejemplo ambos (+) ya que ( ( I C. y en el tringulo Rec. POT: Tg( =

Tg ( =

( Tg( = Demostrado

De la misma manera se demuestra: Cot( =

En Resumen: Las identidades por cociente son:

Se observa que:

Tg( =

A continuacin veremos las identidades recprocas

2. Identidades Recprocas:

Sabemos que PT = | Sen(| y tambin OT = |Cos(|

Luego: En el triangulo POT, se observa:

Csc( =

ySec( =

(sen( y cos( (+) ya que ( ( Ic)

Por lo tanto:

y

En resumen:

Las identidades recprocas son:

3. Identidades Pitagricas:

Recordemos que: P = P (cos(; sen() es decir: PT = |Cos(| y tambin: OT = |sen(| y en el tringulo rec. POT: por el teorema de Pitgoras.(OP)2 = (OT)2 + (PT)212 = (|Sen(|)2 + (|Cos(|)2 1 = Sen2( + Cos2( (I)DemostradoADVANCE \u 4Con la identidad (I), demostramos tambin: 1 + Tg2( = Sec2( y 1 + Cot2(

= Csc2(De la siguiente maneraADVANCE \u 5Sen2( + Cos2( =1Dividimos ambos miembros entre (Sen2():

Finalmente:

De las identidades por divisin:

Y de la identidad por cociente:

Reemplazamos:

(1)2 + (Ctg()2 = (Csc()2 1 + Ctg(2 = Csc(2De similar manera se demuestra: 1 + Tg2( = Sec2(

De similar manera se demuestra:

1 + Tg2( = Sec2(En resumen las identidades pitagricas son:

- Sen2( + Cos2( = 1

- 1 + Tg2( = Sec2(- 1 + Ctg2( = Csc2(Algunas Identidades Auxiliares Sen4( + Cos4( = 1 2Sen2( Cos2( Tg( + Ctg( = Sec(.Csc( Sen6( + Cos6( = 1

3Sen2(.Cos2( Sec2 + Csc2( = Sec2 . Csc2(Los ejercicios sobre identidades son de 4 tipos:a) Demostraciones:

Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro o viceversa que cada miembro por separado se pueda reducir a una misma forma.

Ejm:

- Demostrar que : Csc( - Ctg( . Cos( = Sen(Resolucin:

Csc( - Ctg( . cos( = sen(

Sen( = Sen(. Demostrado

b)Demostrar que:

ResolucinUtilizamos artificios:

Luego se tendra

. (Demostrado)c)Simplificaciones:

Lo que se busca es una expresin reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares. Utilizar transforma-ciones algebraicas.

Ejms.

1)Simplificar:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2(Cos2(Resolucin:

(2Cos2(-1)2 + 4Sen2( Cos2(((2cos( - 2(2cos()(1) + 1 + 4sen( Cos(( 4cos(cos( - 4cos( + 1 + 4sen(cos(( 4cos( [cos( - 1 + sen(] + 1

( 4cos( [(cos( + sen() - 1] + 1

( 4cos( [1 - 1] + 1

4cos((0) + 1 = 1

2)Simplificar:

(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)Resolucin:

(1-Cosx)

((1-Cosx)

(

d)Condicionales:

Si la condicin es complicada debemos simplificarla y as llegar a una expresin que pueda ser la pedida o que nos permita hallar lo que nos piden. Si la condicin es sencilla se procede a encontrar la expresin pedida.

Ejms.

a)Si Sen( + Csc( = a.

Calcular el valor de

E = Sen2( + Csc2(ResolucinSi: sen( + Csc( = a (Elevemos al cuadrado)

(Sen( + Csc( = a

Sen( + 2(Sen()(Csc( + Csc(= a

Sen( + 2 + Csc( = a

Sen( + Csc( = a - 2

E = a - 2b)Si: senx - cosx = m .

Hallar el valor de:

D = 1 -2senxcosx

Resolucin

senx - cosx = m (elevemos al cuadrado)

(Senx cosx) = m

senx - 2senx Cosx + Cosx = m

Senx + Cosx - 2senxcosx = m

1 - 2senxcosx = m

D = m

e) Eliminacin del ngulo:

Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonomtricas debemos hallar relaciones algebraicas en la cual no aparezca el ngulo. Nos ayudaremos de identidades como por Ejem.Tgx.Ctgx = 1

Senx.Cscx = 1

Cosx.secx = 1

Senx + cosx = 1

Secx - Tgx = 1

Cscx - Ctgx = 1

Ejm.:1. Eliminar ( de: Csc( = m + n (1)

Ctg( = m n (2)

Resolucin:

Csc( = n + n

Ctg( = m n

Csc2( = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)

Csc2( = (m+n)2 = m2 -2mn+n2

1 = 4mn

2. Eliminar ( de:

Resolucin:De la expresin 1

(

(xSen()

aSen(Cos( - bSen2( = 1 (3)De la expresin 2

(

(XCos()

aSen(Cos( - bCos2( = K (4)

Restamos (4) menos (3)

b = x - 1

( K = b + 1

Recomendacin:Cuando en un problema de identidades trigonomtricas ests frente a esta expresin: E = (senx cosx) y se te pide senx.cosx, se recomienda que eleves al cuadrado ambos miembros para obtener:E =(senx cosx) = sen 2senxcosx - cosx

E =Senx + Cosx 2Senx.Cosx

E = 1 2 SenxCosx

Lo que se pide

Identidad Importante:

(1 sen( cos() = 2 (1 sen()(1 cos()

Demostracin: Recordemos

(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac)(1 sen( cos() = 1 + (sen() + (cos() + 2[1(sen() + 1(cos()+

(sen()(cos()]

=1 + sen( + cos( + 2[1(sen() + 1(cos() + (sen()(cos()

Agrupamos nuevamente

2 + 2[1(sen()+ 1 (cos() + (sen()(cos()]

=2[1 + (sen() + (cos() + (sen()(cos()]

= 2[(1 (sen() + (cos((1 + (sen())]

=2[(1 (sen()[1 + ( cos()]

( (1 sen( cos() = 2(1 sen()

(1 cos() ...(Demostrado)

PROBLEMAS PARA LA CLASE01.Demostrar las siguientes identidades:

a)(Csc( + Ctg() =

b)

c)

02.Simplificar las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

03.Eliminar el ngulo en las siguientes expresiones:

a)x = 3sen( ....(1)

y = 2cos(.......(2)

b) x = cos(...................(1)

y = cos( - sen(......(2)

c)1 + Ctg = n.............(1)

sen = ........(2)

04. Si: Secx - Tgx = 0,75

Entonces el valor de:

Secx + Tgx , es:

Rpta.:

05. Si cos( + sec( = 3

Calcular el valor de:

sec( - sen(

Rpta.:

06.Si Sen( - Cos( = Tg30

Calcular el valor de:

Sen4( + Cos4(

Rpta.:

07.Si 1 + Tgx = asecx y

1 - Tgx = bsecx

calculara + b

Rpta.:08. Simplificar:

Tal que (0 < x < (/2)

Rpta.:09. Reducir:

10. Simplificar la expresin:

Rpta.

11. Dado:

Hallar:

Rpta.:

12.Simplificar la expresin

Rpta.:

13.Simplificar la siguiente expresin:

Rpta.:

14.Si a = senx; b = tg, encontrar el valor de:

R =(1 - a)(1 + b)

Rpta.:15. Eliminar ( a partir de:

Sen( + cos( = .... (I)

Tg( + Ctg( =..............(II)

Rpta.:16.Seale cuales son identidades:

I.

II.

III.

Rpta.:17. Simplificar la expresin:

Rpta.:

18. Reducir la expresin:

Rpta.:19.Calcular cosx, si se tienen la siguiente expresin

Secx + Tgx = a

Rpta.:20.Hallar mpara que la siguiente igualdad sea una identidad:

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA01.Demostrar ;las siguientes identidades:

a) (Ctg( + Csc()2 (

b) (cosx - Ctgx) + (senx - 1)

( (1- Cscx)

c) (1 - Cos() (1+ Tg2()

( Tg(02.Simplificar las siguientes expresiones:

a)Tgx(1-Ctgx) + Ctgx(1 - Tgx)

b)

c)

A) 1, 0, Tg4x

B) 0, 1, Tg6x

C) -1, 0, Tg6x

D) 0, -1, Tg6x

E) 0, -1, Tg6x

03. Eliminar el ngulo en las siguientes expresiones:

a)asenx - cosx = 1........(I)

bsenx + cosx = 1........(II)

b) m = sen( + cos(..........(I)

n = sen( - cos( ..........(II)

c)Psecx + Tgx = 1

Cscx + qCtgx = q

A)ab = 1; m + n = 1;

pq = 0

B) ab = -1; m + n = 4; pq = 1

C) ab = 0; m + n = 1; pq = 1

D) ab = 1; m + n = 1; pq = -1

E) ab = -1; m + n = 0; pq = 1

04. Simplificar:

a) 2 b) Tg( c) sec(

d) Csc( e) Ctg(05. Si X ( I C, simplificar:

A) 2senx + cosx

B) 2senx cosx

c) 2cosx + senx

D) 2cosx - senx

E) cosx

06.Simplifique la siguiente expresin:

A) 0 B) 1 C) -1

D) 2 E) -2

07.Si Tgx + Ctgx = ADVANCE \u 2.

Calcule el valor de:

a) 6 b) 9 c) 12

d) 18 e) 36


a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3

d) 2/5 e) 1/509. Si se cumple la siguiente identidad:

calcular el valor de:

A) Tg120 B) Tg240

C) Tg360 D) Tg60

E) Tg30

10.Encontrar el valor de nde tal manera que se cumpla:

(Senx + cosx)(Tgx + Ctgx)

= n + Cscx

a) Secx b) Ssenx c) Cosx

d) Cscx e) Tgx11. Simplificar:

a) 4 b) 2 c) 1

d) 1/4 e) 1/212.Si: asenx = bcosx

Halle el valor de:

a) a b) b c) ab

d) a/b e) b/a13. Si senx + cosx = ADVANCE \d 8ADVANCE \u 8, calcular el valor de la siguiente expresin:

P = secx + Cscx

a) 1/4 b) -1/4 c) 3/4d) -3/4 e) 5/4

14. En la siguiente identidad

Halle el valor de n

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -215.Reducir la siguiente expresin:

tal que X ( I C

a) ADVANCE \u 2 Senx b) ADVANCE \d 2 Cosx

c) ADVANCE \d 2ADVANCE \u 2 Tgxd) Senx

e) Cosx

TEMA: SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOSEn el presente captulo realizaremos el estudio de las razones trigonomtricas de aquellos ngulos que a su vez estn constituidas por la suma o resta de otros 2 ngulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo con la demostracin de las principales Identidades para ngulos compuestos que son:

* Sen(( + () = Sen(Cos( + Cos(Sen(*Cos(( + () = Cos(Cos(-Sen(Sen(Demostracin:

A partir del grafico:

Se observa:Sen (( + () = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)

En el OQR ( QR = ORSen( = Sen(.Cos(; (OR = Cos(); (OR = Cos()En el MSR ( SM = RMCos( = Cos(.Sen(; (RM = Sen()

( Reemplazando

Sen ((+() = Sen( Cos(

+ Cos(.Sen( .. Demostrado

Tambin observamos:

Cos((+() = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)

En el SHAPE \* MERGEFORMAT

OQR ( OQ = ORCos( = Cos(.Cos(; (OR = Cos()

En el SHAPE \* MERGEFORMAT

MSR ( SR = MRSen( = Sen(.Sen(; (MR = Sen()

Reemplazamos:

(Cos((+() = CosOC.Cos( - Sen(.Sen( .......(Demostrado)

Procedemos ahora a obtener la Tg((+() de la siguiente manera:

Sabemos que:Tg((+() =

Dividimos a la expresin por (Cos(.Cos()

Tg((+() =

Simplificando obtendremos:

Tg((+() =

( Tg((+() =

(Demostrado)

Tomaremos en cuenta para las dems razones trigonomtricas que:

Identidades Trigonomtricas para la Diferencia de ngulos:

Usando las Identidades para la suma de ngulos (ya demostrados), deducimos las identidades para la diferencia de ngulos, utilizando el siguiente artificio.

* Sen((+() = sen((+(-())

( Sen((+(-()) =

Demostrado* Cos((-() = Cos((+(())

(Cos((+(-()) = Cos( . Cos(-()

Cos(

- Sen(Sen(-()

- Sen(

(Demostrado)* Tg((-() =Tg((+(-())

( Tg( +(-)) =

Tg((-() =

(Demostrado)

De igual manera tomar en cuenta que:

Algunas Propiedades de Importancia

*Sen((-().Sen((-() = Sen( - Sen(*Tg( + Tg( + Tg((+().Tg(.Tg( = Tg((+()*Si: ( + ( + ( = 180 Tg( + Tg( + Tg( = Tg( . Tg( . Tg(*Si: ( + ( + ( = 90 Tg( . Tg( + Tg( . Tg( + Tg(. Tg( = 1

Demostremos las propiedades

a)sen((+(). sen((-() = Sen( - sen(Sabemos que:

Sen((+() = Sen(cos + cos(sen( ..(I)

Sen((-() = sen(cos( - cos(sen( ..(II)

Multiplicamos Miembro a miembro:

sen( + ).sen( - ) = sen - cos - cos - sen

Reemplazamos: Cos( = 1 - sen(Cos( = 1 - sen(sen(( + () sen((-() = sen(1 - sen() - (1 - sen()sen(= sen( - sen(.sen( - [sen( - sen(.sen(]

= sen( - sen(.sen( - sen( + sen(.sen(sen((+().sen((-() = sen( - sen(......................(Demostrado)

b) Tg( + Tg( + Tg((+(). TgTg = Tg((+()

Sabemos que:

Tg((+() =

Multiplicamos (1-Tg(.Tg() a ambos miembros:

(1 - Tg(.Tg()Tg((+() =ADVANCE \d 10ADVANCE \u 10 (1 - Tg(.Tg()Tg((+() -Tg(Tg(.Tg((+() = Tg( + Tg(Ordenamos convenientemente:

Tg( + Tg( + Tg(( + ().Tg(Tg( = Tg(( + () Demostradoc) Si: ( + ( + ( = 180( Tg( + Tg( + Tg( = Tg( Tg( Tg(

Sabemos que:

(+ ( + ( = 180 ( (+ ( = 180 - (Tomamos tangente a ambos miembros:

Tg(( + () = Tg(180 - ()

= -Tg(( Tg( + Tg( = -Tg( (1 - Tg(Tg()

(Tg( + Tg( = -Tg( + Tg(.Tg(.Tg(Ordenamos convenientemente:

Tg( + Tg( + Tg( = Tg( Tg( Tg( (Demostrado)

d) Si: ( + ( + ( = 90( Tg(. Tg( + Tg(. Tg( + Tg(. Tg( = 1"

Sabemos que:

( + ( + ( = 90 ( ( + ( = 90 - (Tomamos tangente a ambos miembros:

Tg(( + () = Tg(90 - ()(

( Tg( (Tg( + Tg() = 1 - Tg(.Tg(

Tg( .Tg( + Tg(.Tg( = 1 - Tg(.Tg(Ordenamos convenientemente:

Tg(.Tg(+Tg(.Tg(+Tg(.Tg( =1 (Demostrado)

PROBLEMAS PARA LA CLASE1.Simplificar la siguiente expresin

Rpta.:2.Si Sen(x+y) = 0,8 Cosy + 0,6Seny

Calcular Tgx:

Rpta.:

3.Calcular el valor de:

Rpta.:4.Reducir la siguiente expresin:

Rpta.:5.Calcular Tg( ABCD: (Cuadrado)

Rpta.:

6.Calcular el valor ( si se cumple que:

Adems ((( IC)

Rpta.:7.En la figura adjunta determinar el valor de x.

Rpta.:

8.

En un tringulo ABC las tangentes de los ngulos A y B valen 2 y 3, Calcular el ngulo C:

Rpta.:9.

Determinar el valor de la siguiente expresin trgono-mtrica.

R = Ctg (( - ( + (). Si

Rpta.:10.Calcular el valor de la siguiente expresin:

Rpta.:

11.Si las races de la ecuacin X2 + Px + 9 = 0 son Tg( y Tg(. Calcular el valor de:

Rpta.:

12.Calcular Tg( (ABCD: Cuadrado).

Rpta.:

13.Si sabemos que:

Tg(3a - 3b) = 3 ( Tg (3a + 3b) = 5

Determinar el valor de: Tg6(.

Rpta.:

14.Si sabemos que:

K(Sen100+Sen10) = (Sen65+Sen25)

Determinar el valor de K.

Rpta.:

15.De la figura determinar el valor de Sen(

Rpta.:

16.Calcular el valor de la expresin siguiente:

M = Cos345 + Cos15 - Tg165

Rpta.:

17.Si Ctg(Ctg( = 1 y adems = Csc(Cs(, calcular el valor de [Sec((-().

Rpta.:

18.En la figura adjunta, PM es mediana y (+ ( = (/6. Calcular Tg(:

Rpta.:


Rpta.:

20.En la figura que se muestra, los tringulos ABC y AOB son rectos en B y D respectivamente. Si AB = 4 y BD = DC. Encontrar el valor de la Tg(.

Rpta.:PROBLEMAS PARA LA CASA1.

Determinare el valor de la siguiente expresin:

a) 1b) 2

c) 3

d)

e)

2.

Simplificar la siguiente expresin

a) 2b)

c) 1

d)

e)

3.

En el grfico adjunto determinar Ctg(:

a)

b)

c)

d)

e)

4.

Determinar el valor de:F = Tg66.Ctg57-Ctg24Ctg33

a) 2b)

c) 1

d) -1

e) -2

5.

Si sabemos que:

Tg2( Tg2( + 2Tg2( Tg2( = 2 y adems Tg(( -( ) = 3.

Determinar el valor de Tg ((+().

a) 6b)

c)

d)

e)

6.

En la figura PQRS es un trapecio issceles, QRTV es un cuadrado y adems PR = PS

Hallar Tg (.

a)

b)

c)

d)

e)

7.

Calcular el valor de M:

a) 3b)

c) 2|d)

e) 1

9.

Reducir la siguiente expresin:

a) 1b) 2

c) Senxd) Cosx

e) Tgx

10.Reducir la siguiente expresin trigonomtrica:

a) Sen70b) Cos70

c) 2Sen70d) 2Cos70

e) 2Sen50

11.Determinar el valor de:

J = Tg35+Cot80+Cto55.Tg10

a) 3b) 2

c) 1

d) 0

e) 1

12.Hallar el valor de la siguiente expresin:

a) 1b)

c) d) 1/8

e) 1/16

13.Si Tg((+() = 33. Calcular el valor de Tg2(. Si Tg( = 3.

a) 62/91b) 60/91

c) 61/91d) 63/91

d) 64/91

14.Si a b = calcular el valor de:

a) 3b) 1

c)

d)

e) -3

15.Calcular el valor de la Tg( en el grfico siguiente:

a) 1b)

c) 2

d) 1/3

e) 3

EMBED Equation.COEE2




(

P

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(Elevamos ambas expresiones al cuadrado)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Trigonometra10

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Guias 3er Año

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