GUIA15. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES.pdf
14
Esp. DANIEL SAENZ C. Página 1 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES En esta sección se estudiaran los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, así como los de orden superior, con dos o más funciones desconocidas, en casos homogéneos y no homogéneos. Todos los sistemas lineales que se tratan en este tema corresponden a ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Dicha restricción nos permite utilizar el método de los operadores diferenciales para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. El método se basa en la aplicación del método de eliminación que se utiliza para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas en el algebra lineal. En el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, el método de eliminación reduce el sistema a una sola ecuación diferencial de orden n con coeficientes constantes en términos de una de las variables. Para aplicar el método es necesario expresar el sistema en términos del operador diferencial D. OPERADOR DIFERENCIAL Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferente llamada la función derivada. Podemos definir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada de esta, esto es: si x es una función que depende del parámetro t, entonces . Bajo el operador diferencial podemos escribir ( ) ( ) Ahora, si tenemos la expresión ( ) nos indica que debemos encontrar la segunda derivada de y la primera derivada de . Esto es ( ) ( ) ( )
-
Upload
daniel-c-cuevas -
Category
Documents
-
view
17 -
download
1
Transcript of GUIA15. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES.pdf
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 1
SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
En esta seccin se estudiaran los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden, as como los de orden superior, con dos o ms funciones
desconocidas, en casos homogneos y no homogneos. Todos los sistemas
lineales que se tratan en este tema corresponden a ecuaciones diferenciales
con coeficientes constantes. Dicha restriccin nos permite utilizar el mtodo de
los operadores diferenciales para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes. El mtodo se basa en la aplicacin del
mtodo de eliminacin que se utiliza para la resolucin de sistemas de
ecuaciones algebraicas en el algebra lineal. En el caso de sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales, el mtodo de eliminacin reduce el sistema a
una sola ecuacin diferencial de orden n con coeficientes constantes en
trminos de una de las variables. Para aplicar el mtodo es necesario expresar
el sistema en trminos del operador diferencial D.
OPERADOR DIFERENCIAL
Un operador es un objeto matemtico que convierte una funcin en otra, por
ejemplo, el operador derivada convierte una funcin en una funcin diferente
llamada la funcin derivada. Podemos definir el operador derivada D que al
actuar sobre una funcin diferenciable produce la derivada de esta, esto es: si
x es una funcin que depende del parmetro t, entonces
.
Bajo el operador diferencial podemos escribir
( )
( )
Ahora, si tenemos la expresin ( ) nos indica que debemos
encontrar la segunda derivada de y la primera derivada de . Esto es
( ) ( ) ( )
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 2
SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Un sistema lineal 2x2 de ecuaciones diferenciales es un conjunto de
ecuaciones diferenciales de la forma.
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
Si los coeficientes son constantes, podemos expresar el sistema en la forma
( )
( )
Ejemplos de sistemas homogneos son
Ejemplos de sistemas homogneos, donde las ecuaciones tienen el diferencial
de una variable son
Ejemplos de sistemas NO homogneos son
Ejemplos de sistemas NO homogneos, donde las ecuaciones tienen el
diferencial de una variable son
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 3
Iniciemos la solucin de estos sistemas donde las ecuaciones tienen un solo
diferencial. Es decir sistemas de la forma
( )
( )
El sistema se puede resolver aplicando el mtodo de sustitucin empleado en
sistemas lineales 2x2, pare ello se despeja en una de las ecuaciones la funcin
diferente a la que aparece en el diferencial y se sustituye en la otra ecuacin,
as se despeja y en la primera ecuacin
( ( )
)
Se reemplaza en la segunda ecuacin
(
( ( )
))
( ( )
) ( )
Calculando la derivada se obtiene
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
( ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( )
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 4
Siendo esta ultima ecuacin, una ecuacin diferencial de segundo orden en la
variable dependiente x. se resuelve la ecuacin diferencial y se reemplaza
dicha solucin en
( ( )
)
Con el sin de obtener la otra solucin.
Veamos un ejemplo. Resolver el sistema
Despejamos y en la primera ecuacin.
Reemplazamos y en la segunda ecuacin
(
) (
)
Calculando la derivada
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 5
Resolviendo la ecuacin diferencial se tiene
Cuyas races son reales distintas, luego la solucin es
( )
( )
Reemplazando en y, se tiene
(
( ) ( ) )
(
( ) ( ) )
( )
( )
( )
( )
(
( ) ( ) )
(
) ( ) (
) ( )
RESOLVER.
{
Despejando y de la primera ecuacin.
Reemplazndola en la segunda ecuacin
(
)
( )
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 6
La solucin para x es de la forma
Polinomio caracterstico
Luego
La solucin particular
( )
Luego la solucin para x es:
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 7
La solucin para y es:
(
)
(
)
(
)
ACTIVIDAD. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales
1) {
2) {
3) {
4) {
5) {
Veamos ahora, como se resuelve un sistema lineal de la forma
( )
( )
Como primero escribimos los diferenciales mediante los operadores
diferenciales
( )
( )
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 8
A continuacin agrupamos trminos
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Seguidamente se resuelve el sistema lineal aplicando el mtodo de eliminacin,
para ello multiplicamos la primera ecuacin por ( ) y la segunda por
menos ( ), con el fin de eliminar x.
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
Eliminando x se llega a
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[( )( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) ( )
Efectuando operaciones
[ ( )
( ) ]
( ) ( ) ( ) ( )
Agrupando trminos
[( ) ( ) ]
( ) ( ) ( ) ( )
La cual corresponde a una ecuacin de segundo orden NO homognea en la
variable y, la cual se debe resolver.
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 9
Una vez encontrada la funcin y, se retoma el sistema
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Seguidamente se resuelve el sistema lineal aplicando el mtodo de eliminacin,
para ello multiplicamos la primera ecuacin por ( ) y la segunda por
menos ( ), con el fin de eliminar y, obtenindose la ecuacin diferencial
en la variable x la cual se debe resolver
[( ) ( ) ]
( ) ( ) ( ) ( )
Veamos un ejemplo. Solucionar el sistema
( )
( )
Escribimos el sistema en trminos del operador diferencial
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
RESOLVER EL SIGUIENTE SISTEMA .
Escribimos el sistema usando el operador diferencial
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 10
Agrupando
( ) ( )
( )
Eliminamos x , multiplicamos la primera ecuacin por D y la segunda por
menos ( D -2)
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
Eliminando x , se tiene
( ) ( )( ) ( )
[ ( ) ( )( )] ( )
[ ]
[ ]
Solucin de la ecuacin homognea
Solucin particular
Solucin para y
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 11
Reemplazando y en la segunda ecuacin
(
) (
)
(
)
( )
( )
RESOLVER EL SIGUIENTE SISTEMA LINEAL DE3 ECUACIONES DIFERENCIALES.
{
Escribimos el sistema mediante operadores diferenciales
{
Agrupamos trminos
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 12
{( ) ( ) ( ) ( )
Eliminamos a x, multiplicamos la primera ecuacin por ( ) y la
segunda por menos ( )
{( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
Eliminando la x, se tiene
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
[( )( ) ( )( )] ( ) ( )
[ ]
[ ]
La solucin de la ecuacin homognea es:
La solucin particular es,
Con lo que
( )
La solucin para y es:
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 13
Reemplazamos la solucin en la primera ecuacin
(
)
( )
( )
( )
( )
La solucin de la homognea es
La solucin particular es de la forma
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
-
Esp. DANIEL SAENZ C. Pgina 14
( )
( )
Siendo la solucin para x
( )
( )
ACTIVIDAD. RESOLVER
1) {
2) {
3) {
4) {
5) {
