8/19/2019 Guia Teoremas Limites

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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa

Departamento de Matemática

Profesor: Ronny VallejosAyudantes: Angelo Gárate

Eric Muñoz

Gúıa de Ejercicios: Teoremas Ĺımites y Estimación

Puntual

1.   El tamaño  X  de los archivos que circulan en una red que utiliza el protocolo ha demostra-

do ajustarse a una distribución de Pareto, tambíen conocida como la ley 80 %-20 %, cuyadensidad está dada por:

f (x) =

0, x < a,

α   aα

xα+1  x ≥ a.

Asuma que  α > 4.

a) Si a  = 1 demuestre que el tamaño esperado  E(X ) es α/(α−1) y calcule la varianza V (X ).

Como no conocemos el parámetro  α   se realizaron mediciones  X 1, X 2, . . . , X  500  con el fin deestimarlo. Asumiendo que las 500 mediciones corresponden a variables aleatorias i.i.d. condistribución Pareto, se ha decidido estimar el valor de  α  utilizando el hecho que  E(X 1) se

puede aproximar por  M   donde

M  =  1

500

500i=1

X i.

b) Utilice la desigualdad de Tchebychev, para dar una cota superior de la siguiente probabi-lidad

P(|M  − E(X 1)| > 0,1).

Para esto utilice el hecho que  V (X 1) ≤ 2/9.

c) Si después de haber realizado las mediciones, ud. encontró que 500i=1 X i  = 600, estime  α.

2.  En un invernadero se instalan 25 lámpars calorı́ficas de tal manera que si una falla, se enciendeotra automáticamente (una a la vez). Las lámparas funcionan en forma independiente y cadauna tiene una vida media de 50 horas y desviaci ón estándar de 4 horas. Si no se practicaninguna inspección en el invernadero durante un periodo de 1300 horas después de encenderel sistema de lámparas, ¿Cuál es la probabilidad de que una de ellas se funda al término delperiodo de 1300 horas?

3.   Los tiempos que un cajero demora en registrar la mercadeŕıa de los clientes constituyenvariables aletorias independientes con una media de 2.5 minutos y una desviación estándarde 2 minutos. ¿Cuál es la probbilidad aproximada de que el registro de la mercanćıa de 100personas consuma más de cuatro horas?

4.  Con respecto al ejercicio 3. Encuentre el número de clientes  n  para que la probabilidad deregistrar la mercancı́a de  n  clientes en menos de 2 horas sea de aproximadamente 0.1

Respuestas

1.   a)  V (X ) =   α(α−1)(α−2) . b)  P(|M  − E(X 1)| > 0,1) ≤ 2/45.  c) 600/500.

2.   0.0062.

MAT-041   1 Mayo 15, 2015

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3.   0.6915.

4.   n ≈ 88.

5.   0.2021.

MAT-041   2 Mayo 15, 2015