GUIA EC DIF

PROBLEMARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

1. Proporcione ejemplos de ecuaciones diferenciales.

Solución.

2. Dé tres ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Solución

3. proporciones tres ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Solución

4. Determine el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales.

Solución

5. Dé tres ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias en su representación en derivadas.

Solución

6. Proporcione tres ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias en su forma diferencial.

Solución

7. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias en lineales y no lineales.

Solución

8. Compruebe que es solución de la ecuación diferencial

Solución

9. ¿Es y = 5 sen x solución de + y = 0?

Solución

10. Verificar que es solución de la ecuación diferencial .

Solución

Por tanto si es solución.

11. Probar que x2 + y2 = c2 es solución de .

Solución

12. Determinar si x2 + 4xy + y2 = C es solución de la ecuación diferencial (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0.

Solución

13. ¿Es x2 + 2y2 = C, solución de la ecuación diferencial ?

Solución

Si es solución.

14. Determinar si x3 + y3 = k, es solución de la ecuación diferencial .

Solución

8. Verificar que x2 + xy2 + y = Cx2 es solución de la ecuación diferencial (x + 2x2y)dy – (xy2 + 2y)dx = 0.

NOTA: En una ecuación diferencial no deben existir constantes arbitrarias.

9. Probar que x + y = Cxy es solución de .

10. Probar que x2 + y2 = C[xy]2 es solución de .

Solución

11. Hallar la solución de aplicando el método de las variables separables.

Solución

La solución general de una ecuación diferencial de primer orden siempre representa una familia de curvas.Analicemos la solución de la ecuación diferencial

y

x

12. Aplique el método de separación de variables para resolver .

Solución

y

x

13. Determinar la solución de .

Solución

14. Determinar la solución de .

Solución

15. Determinar si las siguientes funciones son homogéneas.

Solución

a) f(x, y) = x2 + 3xy – y2

f(tx, ty) = (tx)2 + 3(tx)(ty) – (ty)2

= t2x2 + 3t2xy – t2y2

= t2 (x2 + 3xy – y2) = t2 f(x, y)

f(x, y) es homogénea de grado 2

c) g(u, v) = 3u3 + 4u2v + v2

g (tu, tv) = 3(tu)3 + 4(tu)2 (tv) + (tv)2

= 3t3u3 + t3u2v + t2v2

= t3 (3u3 + 4u2v) +t2v2

t3 g(u, v) g(u, v) no es homogénea

16. Determinar si la siguiente ecuación diferencial es homogénea y, de serlo, hallar su solución

(x + y)dx + xdy = 0 ...

N(tx, ty) = tx = t N(x, y) grado 1

ecuación diferencial es homogéneaComo N(x, y) es más simpley = ux ... dy = udx + xdu ... sust. y en :

17. Ahora utilizamos M(x, y) en el ejemplo anterior.

Soluciónx = vy ... dx = vdy + ydv ... sust. y en :(vy + y) (vdy + ydv) + vydy = 0

v2ydy + vydy + vy2dv + y2dv + vydy = 0

18. Probar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea y resolverla

Solución

= t (x + y)= t M(x, y) grado 1

N(tx, ty) = - tx + ty= t (- x + y)= t N(x, y) grado 1

es homogéneaUsamos N(x, y)y = ux ...


Solución

N(tx, ty) = - tx = t (- x)= t N(x, y) grado 1

es homogénea la ecuación diferencial


Solución

es homogénea

21. Resolver el siguiente problema con valor inicial

Solución

N(tx, ty) = - tx= t N(x, y) grado 1

es homogéneaComo N(x, y) es más simple

22. Resolver la siguiente ecuación diferencial eligiendo el cambio de variable apropiado

Solución

23. Resolver la ecuación diferencial mostrada a continuación

Solución

24. Resolver la ecuación diferencial :

Solución

25. Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial

transformándola a una homogénea.

Solución

26. Resolver (2x – y – 2)dx + (x – 2y – 1)dy = 0 empleando los cambios de variable apropiados para transformarla a una homogénea.

Solución

Resolvemos el sistema

N(tu, tv) = tu – 2tv = t(u – 2v) = t N(x, y) h. grado 1 ec. dif. es homogénea

Tomamos N(x, y)

27. Comprobar que la siguiente ecuación diferencial es exacta y hallar su solución(xy2 + 1)dx + (x2y + 2)dy = 0

Solución

M(x, y) = xy2 + 1 N(x, y) = x2y + 2

28. Resolver la siguiente ecuación diferencial4(x3y + x2)dx + (x4 + 4y3)dy = 0

Solución

M(x, y) = 4 (x3y + x2) N(x, y) = x4 + 4y3

29. Verificar que la siguiente ecuación diferencial es exacta y hallar su solución(2xy + tan y)dx + (x2 + x sec2 y)dy = 0

Solución

M(x, y) = 2xy + tan y N(x, y) = x2 + x sec2 y

30. Probar que la siguiente ecuación diferencial no es exacta, halle un factor integrante y resuélvala

ydx – xdy = 0

Solución

M(x, y) = y N(x, y) = - x

31. La siguiente ecuación diferencial no es exacta. Calcular un factor de integración y resolverla

2xydx + (y2 – x2)dy = 0

Solución

M(x, y) = 2x N(x, y) = y2 – x2

32. Probar que la ecuación diferencial (- xy sen x + 2y cos x)dx + 2x cos x dy no es exacta, luego verificar que xy es un factor de integración y hallar su solución.

Solución

33. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal empleando el método de variación de parámetro

.

Solución

33. Resolver aplicando el método de variación de parámetro.

Solución

34. Resolver la ecuación diferencial lineal (3xy + 3y – 4)dx + (x + 1)2 dy = 0 por el método de variación de parámetro.Solución

dividiendo entre dx:

4

62

6

23

3

3

3

C1xy

13

1

1

2

2

2

2

2

1xu3u1x

1xu3u1x1x

1x1x3uu1x

dxdy

1x

uy

1xCy

C1xy

C1xy

C1x3y

C1x

dx3y

dyy

dx0y1x

3dxdy

1x

4y1x

3dxdy

:1x entre dividiendo

4y1x3dxdy1x

0dxdy1x4y1x3

0dxdy1x4y3xy3

13

'

''

ln ee

ln

lnln

2444

234

1x4

1xu3

1xu3

1xu1x

1x4

1xu

1x3

1xu3u1x

:en sust

'

'

.

3

33

2

3

2

2

2

3

23

1xC

1x2y

1xC

1x1x2y

C1x1x2y

:en sust

C1x2u

dx1x4du

1x41x1x4u

1x4

1xu

.

'

'

35. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método del factor integrante.

xxy

dxdy

Solución

x

xdxx1(x)dxP

x1 P(x)

xP(x)dx

lnee

ln

2xydxdyx

xxy

dxdyx

:por mult

.

xC

3xy

x

Cy

C3xyx

Cdxxyx

:integrando

xyxdxd

2

3

2

2

3

3x

36. Aplique el método del factor integrante para resolver

1x4y

1x3

dxdy

2

Solución

3

3

2

23

3

23

23

31xP(x)dx

3

1xC

1x2y

C1x1x2y

C1x2dx1x41xy

1x41xydxd

1x41x3dxdy1x

1x4y

1x3

dxdy1x

:por mult.

1xee

1x1x31x

dx3P(x)dx1x

3P(x)

3

ln

lnln

37. Resolver xyxdxdy

cotcsc por el método del factor integrante.

Solución

xxydxdy

csccot

xCxy

Cdxxy

:integrando

1xydxd

1xydxdyx

xxydxdyx

:por mult.

x

xxdxP(x)dxx P(x)

xP(x)dx

sen

sen

sen

cossen

csccotsen

senee

senlncotcot

senln

38. Resolver la ecuación diferencial de Bernoulli 24yxydxdyx .

Solución

dividiendo entre x: la ecuación diferencial

x3xu3

dxdu

sust. y u como

x3xy3

dxdu

y3yxxy

dxdu

3y1

:en sust.

dxdu

y31

dxdy

:y despejamos

dxdyy3

dxdu

yu

yy u Sea

yxxy

dxdy

3

3

33

2232

2

'

2

3

32-1

23

,

31

34

3131331

3

34

373

73

63

63

623

3x

Cxx73y

uyyyu

y u : ec. de

Cxx73u

xCx73ux

Cx73ux

dxx3ux

:integrando

x3uxdxd

x3ux3dxdux

:por mult

x

x3dxx13P(x)dx

x3 P(x)

3

.

e

ln

ln

39. hallar la solución de la ecuación diferencial de Bernoulli

xyy

x1x

dxdy 2

Solución

dxdyy

dxduyu

yy u Sea

2

1

121

1:y despejando

2

'

dxdu

ydxdy

1

11-

x

x

lnln

1

22

2

ee

y u

ee

eeuxe

:integrando

ee

e1ee

11ex

:por .

eeee

ln1(x)dxx

1x P(x)

11dxdu

:éstaen sust.

11

11

:en .

x

x

x

x

xx

xx

xxx

xxxxx

xC

y

yupero

xCu

Cdx

uxdud

uxdxdux

xu

xx

dxdu

mult

x

xxdxx

dxP

xu

xx

xy

xx

dxdu

yxyy

xx

dxdu

y

sust

40. Determine la soución de 34xy3y6xy '

Solución

22

22

2

2x

31

3434

34

34

'

34

31341

34

34

xuxdxd

xxx2

dxdux

:por mult

x

x2dxx12P(x)dx

x2 P(x)

1xu2

dxdu

:éstaen sust

1yx2

dxdu

3yy3y

x6

dxdu

y3

:en sust.

dxdu

y3

dxdy

:y despejando

dxdyy

31

dxdu

yy u Sea

y3yx6

dxdy

xxy3y6dxdyx

2

.

e

ln

.

ln

32

331

2

22

22

yu

1

1ux

:integrando

Cxxy

uypero

Cxxu

xCx

ux

Cx

dxx

41. Resolver la siguiente ecuación diferencial de Ricatti 2yy2y ' .

Solución

13

13

131

1441221

121221

:en y sust.

1y

u12y Sea

2y

1y ó 2y 01220

0

.y que Suponiendo

'

'

22

'2

2'

2

2'

2

'2

'

1

11

11211

1

1

uu

uu

uuu

uu

uuuu

u

uuu

u

uu

tomemos

yyyydxdy

cte

x3C3

1-

12y

:en sust

C31u

C3

u

dxu

:integrando

udxd

1u3u

:por mult.

x3dx3P(x)dx3P(x)

x3

x3x3

x3x3

x3x3

x3

x3

e

.

e

ee

ee

ee

e

e

'

42. Hallar la solución de la ec. Dif. De Ricatti

xy ;y2xyx2y 1

22'

Solución

22

2

2'

u1x2

xx2u

u11

:en y sust.

uu11y

u1 x y Sea

u

1x

'

'

2

222 u

1ux2x2

xu11x2u

u11 '

222

2 u2

ux4x2

xu1x2u

u1

'

2x21Cx1x2

11xy

:en sust.

Cxx21u

xC21ux

C21dxx2xu

:integrando

x2uxdxd

2ux4x1ux

:por mult.

x

x2xdxx4x1dx(x)Px4

x1 P(x)

2ux4x1u

2ux4x1u

2xu4xuu

uu2

ux4

xu1u

u1

2

222

222

22

2

22

x211

x21x2x2

x2x2x2

x2x2

x2

x2x2x

2

222

e

e

eee

eee

ee

e

ee

ln

'

ln

'

'

'

'

43. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal de orden superior homogénea

0y2yy2y '''''' .

Solución

31 2 0 1

1 1

0 21 1-

0 1 0 2 1 1

1 2 1 211

1- 2 1121 2 1

2 112

11 raíces posibles

1 div. 1 a 2 1, div. 2a

caract. ec. 02mm2m

y Sea

3

0

23

mx

,,

e

1 2 - 2-2

1 0

x23

x2

x1

x233

x22

x11

cccy

y 2m

y 1m

y 1m

eee

e

e

e

44. Resolver 0yy3y3y '''''' .

Solución

1raíces posibles1 div. 1a1 div. 1a

caract. ec. 01m3m3m

y Si

3

0

23

mx

e

1 -3 3 -1 - 1-1 4 -7

1 -4 7 -8

1 -3 3 -1 11 -2 1

1 -2 1 0 1

1 -1

1 -1 0 1

11 0

m = 1 mult. 3

x23

x2

x1

x23

x2

x1

xcxccy

xy xy

y

eee

ee

e

45. Resolver 0yy 4 .

Solución

1 raíces posibles1 div. 1a1 div. 1a

caract. ec. 01m

y Sea

4

0

4

mx

e

1 0 0 0 -1 -1 1 -1 1 -1 1-1 -1 1 1 1 0 1

1 -1 1 -1 0 -1 1 0 1 0 1-1 2 -3 1 1

1 -2 3 -4 1 1 2

1m1m

01m

Cmm

1 0 1

2

2

2

senxcxcccy

senxx

isenxxyy

immm

xx

x

x

4321

4

3

ix

2

1

2

1

cosee

ycosy

cose : Tomemos e

e

11

46. Resolver 0y16y8y 4 '' .

Solución

x2xcx2xcx2cx2cy

x2xy xy

x2xy x2y

x2ix2xxe

x2ix2e

mult.dos i2m4m

4x04x4x016x8x

mx

16 8, 4, 2, 1, raíces pos.1 div. 1a

16 8, 4, 2, 1, div. 16a

caract. ec. 016m8m

y Sea

4321

4

2

3

1

ix2

2ix

2

2

2

4

0

24

mx

sencossencos

sensen

coscos

sencos

sencos

e

47. Resolver 0y10yy5y3y 4 '''''' .

Solución

10 5, 2, 1, raíces pos.1 div. 1a

10 5, 2, 1, div. 10a

caract. ec. 010mm5m3m

y Sea

4

0

234

mx

e

1 -3 5 -1 -10 -1 1 -4 9 -10 2-1 4 -9 10 2 -4 10

1 -4 9 -10 0 -1 1 -2 5 0 2-1 5 -14 2 0

1 -5 14 -24 1 0 5

x2cx2cccy

x2y x2y

2i 1 - m Tomemos

yy

2m1m

i212

i422

51422m

05m2m

Cmm5 21

x4

x3

x22

x1

x4

x3

x2i1-

x22

x1

2

1

2

2

2

senecoseee

senecosee

ee

48. Resolver 0y2y8y13y11y5y 45 '''''' .

Solución

2 1, raíces pos.1 div. 1a

2 1, div. 2a

02m8m13m11m5m

ey

5

0

2345

mx

1 -5 11 -13 8 2 -1 1 -5 11 -13 8 -2 1-1 6 -17 30 -38 1 -4 7 -6 2

1 -6 17 -30 38 -40 1 -4 7 -6 2 0 11 -3 4 -2

1 -2 2 1 1 -3 4 -2 0 11 -1 1 -2 2

1 -1 1 1 -2 2 0

02m2mCmm221 2

2

xcxcxcxccy

xy xy

y 3 mult. 1m

xy xy

i 1 m Tomemos

i12

i222

21422m

x5

x4

x23

x2

x1

x23

x2

x1

x5

x4

xi1

2

senecoseeee

ee

e

senecosee

49. Probar que F(D) = (D – 1)2 es un operador anulador de f(x) = xex.

Solución

F(D)f(x) = (D – 1)2 xex = (D – 1) (D – 1) xex 01D

xx1DxeDx1Dxxx

xxxxx

eee

eeee

50. Hallar los operadores anuladores de las siguientes funciones mostradas abajo.

Solución

a) f(x) = 4x2 – 7x + 1D3

b) f(x) = x sen 2x + cos 2x

22

2

4D

42

2n11n

c) xxx3 8x25x (x)g eee

41D

14n31n

d) xx x (x)g x33x cosesene

2222 10D6D19D6D

1 32n11n

51. Calcular el operador anulador de las siguientes funciones.

Solución

a) g(x) = x5 – 4x3 + 6x2 – 5 D6

b) x2 x g(x) x23 cose

4242 8D4D44D22D

2 4n 2

c) x3xx3 x (x)h 2 2 sencos

32 9D

3 n 3

d) x3xx3 x24x2 cosesene

5252 13D4D94D22D

5 n 2 - 3

52. Calcular los operadores anuladores de las funciones mostradas abajo.

Solución

a) f(x) = 3x2 – 5x + e2x

3x2 – 5x e2x D3 (D – 2) D3(D – 2)

b) f(x) = x2 sen x + x cos 3xx2 sen x x cos 3x(D2 + 1)3 (D2 + 9)2

(D2 + 1)3 (D2 + 9)2

c) f(x) = 1 + xe-x

1 xe-x

D (D + 1)2

D(D + 1)2

d) f(x) = 2ex sen x + 3 xex + 4x 2ex sen x 3xex 4x(D2 – 2D + 2) (D – 1)2 D2

D2 (D – 1)2 (D2 – 2D + 2)

53. Resolver 30y15y2y ''' aplicando el método de los coeficientes indeterminados.

Solución

0y15D2DD

: ec. la a F(D) Aplicando

0 (D)F30 g(x)

30y15D2D

30y15Dy2yD

ccy

yy

3m5m

03m5m015m2m

y Sea

0y15y2y

2

2

2

x32

x51h

x32

x51

2

1

2

mx

ee

ee

e

'''

2ccy

:en sust.

2y2 A 30A15020sust

0y 0y Ay

30y15y2y

:en y sust

Ay

Ac Sea cy

cccy

cccy

1y y y

3 m 5 m 0m015m2mm

y Sea

x32

x51

p

''p

'pp

pp'''

p

p

p

33p

y3

y

x32

x51

3x3

2x5

1

3x3

2x5

1

2

mx

ph

ee

.

.

ee

ee

ee

e

'

54. Resolver 2xx2yyy2 ''' por el método de los coeficientes indeterminados.

Solución

xx2y1DD2

ccy

yy

1m21m

431

2212411

m

01mm2

y Sea

0yyy2

22

x2

x211h

x2

x211

2

1

2

2

mx

ee

ee

e

'''

0y1D2DD

: ec. la a F(D) Aplicando

D (D)F

x2x g(x)

23

3

2

2x2

x211

22

22

''p

'p

2p

2pp

'''p

p

2p

543

y

2543

y

x2

x211

2543

x2

x211

2543

x2

x211

3

23

mx

x4ccy

:en sust.1C-1C- 0B2BC2 4A0ABC4

xx2CxxBC2ABC4

xx2CxBxACx2BC22

sust

C2y Cx2By CxBx Ay

xx2yy2y

:en y sust

CxBxAy

cC c B c A Sean

xcxccccy

xcxccccy

xy xy 1y y y

1- m 21 m 0m

01mm2m

y Sea

ph

ee

.

.

ee

ee

ee

e

'

55. Resolver x21yy e'' .

Solución

4x

3p

y4

x3

y

x2

x1

4x

3x

2x

1

4x

3x

2x

1

4321

2

mx

2

x

x2

x2

x1h

x2

x1

2

mx

cxcy

cxcccy

cxcccy

1y xy y y

0m 1m 1m 1m01m1mm

y Sea

0y1D1DD

: a F(D) Aplicando

1DD (D)F21 g(x)

21y1D

ccy

y y

1m01m

y Sea

0yy

ph

e

eee

eee

eee

e

e

e

ee

ee

e

''

1xccy

yy y como

1xy

1 A 22A1 B 1B21BA2

21BAxA2Ax

:sust

A2Axy AAxy BAxy

21yy

:en y Sust

Bxcy

Bc Ac Sea

xx2

x1

ph

xp

xx

xxxx

xx''p

xx'p

xp

xp

''p

p

x3p

43

eee

e

ee

eeee

.

eeeee

e

.

e

56. Aplique el método de variación de parámetros para resolver 4yy '' .

Solución

x2

x1p

p

x2

x1h

x2

x1

2

mx

uuy

:y como propone Se

ccy

y y

1 m01m

y Sea

0yy

ee

ee

ee

e

''

4ee

y y

422ee2ee2y

:en .

e2e2u e22e4

e2e2u e22

e4

e44e

0e

e4e4

e0

211ee

eeW

2 1, k ,

21

h

p

22'

2

11'

1

2

1

'

xx

p

xxxx

xxxx

xxxx

xx

x

xx

x

xx

xx

kk

ccy

ycomo

sust

dxWW

u

dxWW

u

W

W

WW

u

57. Resolver x4y2y3y e''' por el método de variación de parámetros.

Solución

xx

xxh

xx

uu

ccy

y

mmm

mm

Sea

yyy

eey

:y como propone Se

ee

ey e

1m 2012

023

e y

023

22

1p

p

22

1

22

1

2

mx

'''

x3x3xx2

x2x

kk

212

W

2 1, k WWu

eeee

ee

,'

xx2

x21

ph

xxxxx2x2x3p

x2x2

x22

x2x3

x2

2

xx3

1x3

x31

1

xxx2

x2

2

xx

x

1

32ccy

yy y como322

342

34y

:en sust

22

4dx4u 44WW

u

34dx2u 44

WW

u

442

0W

44

0W

eee

eeeeeee

.

eeeee

e

eeee

eee

e

eee

'

'

58. Resolver x28y4y sen'' .

Solución

2sen2cosy

:y como propone Se

sencos2seny cos

2sen2cose

2i 04

e y

04

21p

p

21

21

2ix

2

mx

''

xuxu

xcxcyxxy

xix

mm

Sea

yy

h

xxxx

x

xxx

x

xxxx

xxWW

u kk

2cos2sen82sen82sen2

02cosW

2sen82cos22sen8

2sen0W

2122sen2cos22cos22sen2

2sen2cosW

2 1, k ,

2

21

22

'

x2x2x2x2cx2cy

yy y comox2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x22

x2x2x22x2x2

x2x2x22

x4x2y

:en sustdx2x 2 dz2x z

x2zdz2dx2x2x22xdx2x24u

x2x242

x2x28WW

u

2x4x2

4x4x2dx

2x414xdx24u

2x 42

x28WW

u

21

ph

22

2

2p

22

22

21

22

11

sencossencos

sencossencossencos

sensencoscossencos

sensencossen.

cossen

sencossencossen

cossencossen

sensencossen

sensen

'

'

59. Resolver la siguiente ecuación de Cauchy Euler homogénea.09yxyyx '''2

Solución

32

31

32

31

21

2

m

xcxcy

xy xy

3m 3m3m09m

09m1mm xy Sea

60. Hallar la solución de 05yy2x ''2 .

Solución

lnx23senxclnx

23cosxcy

lnx23senxy lnx

23cosxy

lnx23senixln

23cosxx

i23

21 Tomemos

i23

21

46i2

2252442

m

052m2m

051m2m xy Sea

212

211

212

211

21xlni2321

2

m

e

61. Determine la solución de 0yxyyx '''2 .

Solución

xlnxcxcyxlnxyx y

2 mult. 1m01m

012mm

01m1mmxy Sea

21

21

2

2

m

62. Resolver la siguiente ecuación de Cauchy Euler no homogénea 4'''2 x4y3xyyx .

Solución

Sea y = xm

m(m – 1) – 3m + 4 = 0 m2 – 4m + 4 = 0(m – 2)2 = 0 m = 2 mult. dos y1 = x2 y2 = x2 ln xy = c1x2 + c2x2 ln x

Se propone yp = u1x2 + u2x2 ln x

4xlnxxcxcy

4x

2lnxxx

41

2lnxxlnxx

2xxx

41

2lnxxy

:yen sust.2

xxdxu x xxu

x41

2lnxxxlnxdxu xlnx

xlnxxu

xx2x0xW

lnxx2xlnxxxlnxx0W

x2xlnxx2xlnxxxW

2 1, k ,WWu

42

22

1

444

42

222

2

p

p

2

23

4'2

22

13

4'1

42

2

2

42

2

1

322

k'k

63. Hallar la solución de 12lnx2yyx ''2 .

Solución

02yyx ''2 Sea y = xm

m(m – 1) – 2 = 0 m2 – m – 2 = 0(m + 1) (m – 2) = 0 m1 = 2 m2 = - 1 y1 = x2 y2 = x-1

yh = c1x2 + c2x-1

Se propone yp = u1x2 + u2x-1

2 1, k ,WWu k'

k

31lnxxcxcy

31xln

31

32lnx

61

61

62lnxx

31

32xlnxx

6x

612lnxxy

:yen sust.

x31

32xlnxdx12lnx

31

312lnxu

3

12lnx3-

12lnx-u

6x

612lnxxdxx12lnx

31

3x12lnxu

3x-

12lnx3

x12lnx

u

1-2lnxx

12lnx-2x0x

W

x12lnx

x-x

12lnx-x-0

W

31-2x-2xxxW

1-2

21

1-22-2

p

p

2

'2

223

31

3

3'1

2

2

2

32-2

1-

1

2-

-12

x

64. Una masa de 40g. estira un resorte 10cm. Un mecanismo de amortiguación comunica una resistencia al movimiento numéricamente igual a 560 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia debajo de 2 cm/s.

Solución

M = 40g. d = 10 cm. = 560

tete

ii

e

scm

yyy

tt 7seny 7cosy

772

14142

981419614m

09814mm

y Sea

/20y 00y

09814

0F(t)M

F(t)yMk

dtdy

Mdtyd

m3920dina/c10cm980cm/s40g.

dP

dFk

mgPkdF

72

71

2

mt

'

'''

2

2

2

y = c1 e-7t cos 7t + c2 e-7t sen 7t y(0) = 0

0 = c1 e-7(0) cos 7(0) + c2 e-7(0) sen 7(0) 0 = c1

y = c2 e-7t sen 7t

7tsen72y

72c07c2

)0(7sen7)0(7cos7c2

20y t7sen77tcos7cy

7t

22

)0(7072

'7tt72

'

e

ee

ee

65. Un cuerpo de masa 0.204kg. estira un resorte de 0.5m. Si no hay fuerza de amortiguación y sabiendo que se aplica una fuerza externa F(t) = 5 sen 4t, calcular la ecuación de movimiento si el peso parte del reposo desde una posición de 0.2m debajo de la posición de equilibrio.

SoluciónM = 0.204kg. d = 0.5m = 0

0y20D16D

: a F(D) Aplicando

16D F(D)

25sen4t yD2D

t5sen2ct5cos2cy

t52senyt 52cosy

52 m Tomemos

52m

020m

y Sea

00y 2.00y

t4sen2520yy

MF(t)y

Mk

dtdy

Mdtyd

4tsen 5 F(t)

N/m 40.5cm

9.8m/s0.204kg.dFkkdF

22

2

2

21h

21

2

mt

'

''

2

2

2

i

i

e

sen4t425t5sen2

255t50.2cos2y

255

5225c2552c0

25cos4(0)(0)5cos2c52(0)5sen2c520

25cos4tt5cos2c52t5sen2c52y

c0.2sen4(0)425(0)5sen2c(0)5cos2c 0.2

0.2 y(0) sen4t 425t5sen2ct5cos2cy

425B254B0A04A

25sen4t4Bsen4t4Acos4t25sen4t20Bsen4t20Acos4t16Bsen4t16Acos4t

sust.

16Bsen4t16Acos4ty

4Bcos4t4Asen4ty Bsen4t Acos4ty

25sen4t20yy

:en y sust.

t4senBt4cosAyBcA c Sea

t4senct4coscy

sen4tccos4tct52senct 52coscy

t4senct4cosct52senct 52coscy

t4senyt 4cosyt 52senyt 52cosy

4i m i52m

020m16m

e y Sea

22

21

21'

1

21

21

''p

'pp

p''p

p

p

43

43p

y43

y21

4321

4321

22

mt

ph

66. Calcular L {1}.

Solución

s11L

s10

sssdt11L

0s-st-

t0

st-

0st-

eelimee

67. Hallar L {t}.

Solución

222

s(0)s(0)

2

st-st-

t

0

st

0

st

0

st-

0

st

0st-

s1tL

s1

ss0

sst

ss1

stdt

sstdtttL

eeeelim

eeeee

68. Calcular L {tn}, n .

Solución

1nn

5434

4323

322

1nn

1n0

st-1n0

st-1n0s-nst-n

t

0st-1n

0

st-n

01n

st-

0

stn

0stnn

sn!tL

54!

53!

54tL

54tL 4n

53!

512

53tL

53tL 3n

52

51

52tL

52tL 2n

tLsntL

tLsndtt

sndtt

sn

s0

st

dttsn

stdtnt

sstdtttL

eeee

lim

eeeee

69. Hallar L {eat}.

Solución

a s ,as

1L 0 s ,as

1

as-as-asdtdtL

at

0as-tas-

t0

as-

0tas-

0st-atat

e

eelimeeeeet

70. Calcular L {cos kt}.

Solución

222222

ikt-iktiktikt

kssktcosL

kss

ks2s

21

iksiksiksiks

21

iks1

iks1

21LL

21

2LktcosL

eeee

71. Determinar L {sen kt}.

Solución

2222

ikt-ikt-iktikt

ksk

ks2ik

2i1

iksiks2ik

2i1

iks1

iks1

2i1LL

2i1

2iL

eeee

72. Obtener L {cos2 kt}.

Solución

22

22

22

22

22

222

22

4kss2ks

4kss2ks2

21

4ksss4ks

21

2kss

s1

21cos2kt1L

21

2cos2kt1L

73. Hallar L {sen2 kt}.

Solución

22

2

22

2

22

222

22

4kss2k

4kss4k

21

4ksss4ks

21

2kss

s1

21cos2kt1L

21

2cos2kt1L

74. Calcular L {sen kt cos kt}.

Solución

2222 4ks

k2ks

2k21sen2ktL

21

2sen2ktL

75. Determinar L {sen at cos bt}.

Solución

2222

222

2222

222

2222

2

2222

2222

2222

basbasbasa

basbasbas2a

21

basbas2ababas2a

21

basbasbabasbababasba

21

basba

basba

21

2tbasentbasenL

76. Hallar L {4t – 3e2t}.

Solución

2ss

84s3s2ss3s84s

2s3

s43Lt4L 2

2

2

2

22t

e

77. Calcular L {- 2 + 3t t2} .

Solución

3322

s23s2s

s2!

s3

s2tLt3L12L

78. Determinar L {e2t + e-2t}.

Solución

4s2s

2s2s2s2s

2s1

2s1

2

79. Calcular L {senh kt}.

Solución

2222

-ktkt

ksk

ks2k

21

ksksksks

21

ks1

ks1

21

2L

ee

80. Calcular L {cosh kt}.

Solución

2222

-ktkt

kss

ks2s

21

ksksksks

21

ks1

ks1

21

2L

ee

81. Calcular L {t2 e3t} aplicando las propiedades correpondientes.

Solución

33t2

32

3s23)F(stL

s2tLF(s)

e

82. Mediante las propiedades hallar L {sen 2t e-t}.

Solución

41s

21)F(ssen2tL

4s2sen2tLF(s)

2t-

2

e

83. Resolver L {cos 4t e2t}.

Solución

162s

2s2)-F(scos4t L

16sscos4tLF(s)

22t

2

e

84. Determine el valor de L {u(t – 4) (t – 4)3}.

Solución

f (t – 4) = (t – 4)3

f (t) = t3

4

s4

44s3

43

s6

s3!4t4tuL

s3!tLf(t)L

ee

85. Calular L {u(t – 1) sen 2(t – 1)}.

Solución

f (t – 1) = sen 2(t – 1)f (t) = sen 2t

4s

24s

21t2sen1tuL

4s2sen2tLf(t)L

2

s

2s

2

ee

86. Calcular L {t cosh t}.

Solución

22

2

22

22

2

2

1s

1s

1s

2s1s1s

sdsdF(s)

dsd1tcoshtL

1sscoshtLF(s)

87. Calcular L {t3 e-2t}.

Solución

4

432

12

2

3

3

3

332t-3

2t-

2s62s62s2

dsd2s

dsd

dsd

2sdsd

dsd

2s1

dsdF(s)

dsd1tL

2s1eLF(s)

e

88. Calcular

t

03dTTL .

Solución

54t

03

43

33

s3!

s3!

s1dTTL

s3!tLF(s)

tf(t)Tf(T)

89. Hallar

t

0cosh3TdTL .

Solución

9s1

9ss

s1cosh3TdTL

9sscosh3TLF(s)

cosh3Tf(t)

22t

0

2

90. Calcular

t

02 dTT-tsenTL .

Solución

1ss2!

1s1

s2!dTTtsenTL

1s1sentLG(s)

s2!tLF(s)

sentg(t)TtsenTtgtf(t)Tf(T)

2323t

02

2

32

22

91. Hallar )dT T-tf(T)gL t

0 .

Solución

1ss2!

1s1

s2!dTTtsenTL

1s1sentLG(s)

s2!tLF(s)

sentg(t)TtsenTtgtf(t)Tf(T)

2323t

02

2

32

22

92. Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función periódica. f(t)

1

1 2 3 4 5 t

Solución

2s-

s-s-

s2

s-s-0s-s-1

0

st-2

1st-1

0st-2

0st-

-1s11

s1

11)(

1s1

s1

ssssdt0dt1dtf(t)

21 010 1

)(

2

ee

ee

tfL

eeeeeeee

tt

tf

T

93. Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función periódica.

f(t)

1

1 2 3 4 5 t

Solución

22

s-s-

s

22

s-s-1

02

st-st-1

0st-

s1

ss11)(

s1

sssstdtt

tf(t)0t10f(t)

10101m

1,1,0,01T

eee

tfL

eeeee

94. Calcular

41

s2L .

Solución

3!2t

s12L

3

41

95. Determinar el valor de

1s34sL 2

1 .

Solución

3sent4cost1s

3L1s

4sL 21

21

96. Obtener

2ss1L 1 .

Solución

21

22edT

F(T)2s

1Lf(t)

F(T)dT

F(s)s1L

2s1

s1L

2t02t-t

0

2Tt

02T

2Tt21

t

0

11

eeee

ee

97. Hallar

21

3s1L .

Solución

3t

21

21

22

t3s

1L

ts1Lf(t)

s1F(s)

3s13sF

e

98. Determinar

s1L 11 tan .

Solución

tsentsent

t1

1s1L

t1

s1tanL

t1f(t)

tf(t)1ds

dF(s)L

2111

1

99. Calcular

2ss1L 1 aplicando el método de las fracciones parciales.

Solución

21

21

21

2ssL

2ss1L

21A12A10A20A0s21A12A12A22A2s

1sA2sA2s

As

A2ss

1

2t2t11

1121

2221

2121

2

1

2

1e

e

100. Usar el método de fracciones parciales para hallar

2

1

112

ss

L .

Solución

t-t-

21

21

1121

221

21221

2

t21s

11s

2L1s12sL

2A11A102A1A0s1A112A0A -1s

12A1sA1s

A1s

A1s

12s

ee

s

101. Calcular

4s1s32sL 22

21 con el método de fracciones parciales.

Solución

2senh2t

35senht

31

4s1L

35

1s1L

31

4s1s32sL

0A0A

010A16A1132510A3816A

35B31B

2 6B 10 4B10B 124B16B

1104B10B43B4B

115B10A8B16A2s52B2A5B5A1s

52B2A5B5A1s3B4B3021B0A4B0A0s

32s1sB1ssA4sB4ssA

4sBsA

1sBsA

4s1s32s

21

21

22

21

2

12121

2

1

1

21

21

21

21

2211

2211

2211

212

2211

222

22

21

21

222

211

22

2

102. Resolver 1y(T)dTy(t)t

0 por el método de la transformada de Laplace.

Solución

1s1Y(s)

s1Y(s)

s11

s1

sY(s)Y(s)

1Ly(T)dTy(t)L

s

1ss

1

s

11

s

1

t

0

t

t11

y(t)

1s1LY(s)Ly(t)

e

e

103. Aplique el método de la transformada de Laplace para resolver.0)0(y 1 y(0) 12y3yy ''''

Solución

t2t

t2t111

33

22

11

321

3212

2

2

2

21

2

2

2

22

2

'2

'''

21

21

21

21

1s1L

2s1L

21

s1L

21y(t)

1A1A1s21A12A2s

21A12A0s2ssA1ssA1s2sA

1sA

2sA

sA

1s2ss13ss

23sss13ss

23sss13ssLy(t)

23sss13ss

23ssY(s)

s3ss13s

s1Y(s)23ss

s12Y(s)33sY(s)0sY(s)s

s12Y(s)y(0)sY(s)3(0)ysy(0)Y(s)s

s1y2Ly3LyL

s

13s2s

eey

ee

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