Guia de matematicas - Jefferson C.

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA AMERICA FACULTAD DE DISEÑO GRAFICO Y COMUNICACIÓN VISUAL

Lic. Hermes Rodríguez Valencia 1

MATEMATICA APLICADA



Presentación de la Asignatura FACULTAD: Diseño y Comunicación Visual CARRERA: Diseño DISCIPLINA: Expresión Técnica ASIGNATURA: Matemática Aplicada NIVEL: Primero COMPILADOR DE LA GUÍA: Lic. Hermes Rodríguez V. E-MAIL [email protected]

La representación de sistemas de gráficas de precisión denominados infogramas técnicos, es un medio de la comunicación visual y parte del lenguaje que el ser humano utiliza para expresar, transmitir y perpetuar sus ideas, creaciones o investigaciones, para lograr su libertad tecnológica y social, al margen de las barreras idiomáticas. La presencia de esta disciplina en el currículo, tiene como finalidad elevar el nivel tecnológico y científico de las habilidades de representación, acorde al avance y demanda del conocimiento científico.

Fundamentación de la Asignatura Descripción del curso. Fundamentación. Esta asignatura enfoca el manejo de la Matemática Aplicada hacia el Diseño Gráfico y sirve de apoyo fundamental a las disciplinas de Representación Técnica. La Matemática es una ciencia que permite cumplir dos funciones básicas en la persona: 1.- Le permite desarrollar el pensamiento lógico y las habilidades de trazo para desarrollar diseños altamente creativos de índole matemático, geométrico y estadístico, para la solución de problemas de la vida profesional. 2.- Sirve como herramienta práctica para resolver adecuada y técnicamente cualquier problema durante su vida estudiantil y luego como un profesional . La Universidad Tecnológica América (UNITA), en la Facultad de Diseño y Comunicación Visual gradúa profesionales en la carrera de Ingeniería en Diseño y Comunicación Visual que están preparados para planificar, administrar y asesorar empresas de Diseño Gráfico y Publicitarias, además podrá demostrar que tiene capacidad de análisis, deducción, creación al momento de tomar decisiones en los procesos matemáticos para la solución de problemas de la vida profesional. El estudio de todos estos procesos permitirá al estudiante interrelacionar sistemas de programación, emplear elementos plásticos para el diseño y aplicar los conocimientos adquiridos en la representación visual de proyectos correspondientes a su nivel donde se realizan una serie de actividades que caracterizan los modos de actuación profesional con tareas prácticas y productivas.



G u í a d e e s t u d i o

M a t e m á t i c a Aplicada La asignatura de Matemática Ap licada tiene por objeto representar en forma clara y amena los fundamentos básicos que le permitirá unificar los conocimientos con el fin que todos los estudiantes estén en capacidad de desarrollar los trazos geométricos aplicando los teoremas, axiomas y postulados en general al momento de realizar bocetos, dibujos, maquetas con lo cual se conseguirá trabajos coordinados como resultado final. Es de vital importancia enseñar Matemática en el primer nivel diurno, nocturno y semipresencial de la Facultad con el fin de unificar y nivelar los conocimientos que posteriormente serán aplicados y relacionados con las otras asignaturas en la realización de los trabajos de exposición enfocados hacia el Diseño Gráfico que son un compendio para demostrar que se está formando profesionales polivalentes, investigadores, humanistas, líderes que dominan las bases de los conocimientos científicos y desarrollan habilidades, destrezas que necesariamente ayudan a su formación cinética (dinámica) para enfrentar con mayor responsabilidad su campo profesional.

OBJETIVOS Crear sistemas visuales básicos en donde se apliquen las bases matemáticas, evidenciándose la exactitud de las operaciones, la honestidad y responsabilidad en el cumplimiento de sus tareas tanto académicas como profesionales.

Dotar al futuro graduado de técnicas a través de los ejercicios de construcción, que le permitirá diseñar elementos inherentes a su trabajo y e enfrentar problemas nuevos y ofrecer soluciones creativas



SISTEMA DE CONTENIDOS

UNIDAD 1

1. PROPOSICIONES

1.1 Proposición Simple Cerrada 1.2 Proposición Compuesta Cerrada 1.3 Valor de Verdad

1.4 Operadores o Conectivas 1.5 Negación, Doble Negación 1.6 Conjunción 1.7 Disyunción Inclusiva 1.8 Disyunción Exclusiva 1.9 Condicional 1.10 Bicondicional 1.11 Tablas de Verdad

UNIDAD 2 2. TEORIA ELEMENTAL DE CONJUNTOS 2.1 Definición de conjunto, elemento, notación

2.2 Relaciones no definidas, pertenencia. 2.3 Determinación de Conjuntos 2.4 Clasificación de Conjuntos 2.5 Diagramas de Venn 2.6 Operaciones entre conjuntos: 2.7 El punto , producto Cartesiano, conjunto de puntos en el plano, el puntillismo. 2.8 Trazos de rectas paralelas y perpendiculares, conjunto de rectas en el plano. 2.9 Conjuntos de ángulos, triángulos y cuadriláteros 2.10 Los Polígonos y la Circunferencia 2.11 Empalmes y arcos 2.12 Ovoides, óvalos y espirales

UNIDAD 3 3. ESTADISTICA DESCRIPTIVA 3.1 Población y Muestra 3.2 Estadística de atributos 3.3 Est. Variable discreta 3.4 Est. Variable continua 3.5 Medidas de Tendencia Central 3.6 Media Aritmética 3.7 Mediana 3.8 Moda 3.9 Cuartillas 3.10 Deciles y Percentiles 3.11 Gráficos 3.12 Interpretación 3.13 Ejercicios de aplicación



Estrategias Metodológicas

El trabajo en el aula primeramente será de ambientación y nivelación de conocimientos y se fomentará las plenarias como estrategias de integración para resaltar en los estudiantes los valores en cuanto a la responsabilidad individual y solidaridad con los compañeros y maestros. En la primera unidad se trabajará utilizando a la geometría elemental como herramienta matemática donde el estudiante desarrollará el pensamiento lógico conceptual. En la segunda unidad se desarrollaran talleres integradores de la Teoría Elemental de Conjuntos utilizando como Herramientas a los trazos geométricos básicos para realizar composiciones de los mismos. En la tercera unidad se favorece el trabajo investigativo grupal, que el estudiante aplicará en los proyectos integradores de nivel. Se trabajará además con varias fuentes de investigación para fundamentar las tareas.



PROPOSICIONES PROPOSICIÓN SIMPLE CERRADA ( PROPOSICIÓN ) Es una oración de la cual tiene sentido afirmar que es verdadera o falsa, pero no ambas cosas. Ejemplo: Quito es una ciudad (verdadero) Quito patrimonio cultural de la humanidad (verdadero) Guayaquil perla del pacífico (verdadero) 2 + 2 = 15 (falso) NOTACIÓN DE PROPOSICIÓN Para representar proposiciones se utilizan las letras minúsculas p,q,r,s,t ... con o sin subíndices. p: Quito es una ciudad q: Quito patrimonio cultural de la humanidad r: Guayaquil perla del pacífico s: 2 + 2 = 15 VALOR DE VERDAD El valor de verdad de una proposición se indica con la expresión v( ), en el interior del paréntesis se escribe la proposición cuyo valor de verdad se va a determinar luego del paréntesis se escribe el signo igual y posteriormente la letra V ( inicial de verdadero ) o la letra F inicial del falso v ( ) = V , v( ) = F, según corresponda a proposición analizada. Se lee v (p) = V “ valor de verdad de p Verdadero ” v (q) = F “ valor de verdad de q Falso ”



PROPOSICIÓN COMPUESTA CERRADA Una proposición compuesta es aquella que esta formada por dos o más proposiciones simples. Las proposiciones simples se pueden “coordinar” mediante palabras llamadas operadores, conectores o conectivas. Los operadores más utilizados son los siguientes:

Símbolo

Nombre

Se lee

∼

Negación

No

∧

Conjunción

y

∨

Disyunción Inclusiva

Y/o

∨

Disyunción Exclusiva

o

→

Condicional

Si ... entonces ...

↔

Bicondicional

... si y solo si ...

NEGACION Dada una proposición p cualesquiera se puede formar una proposición compuesta llamada negación de la primera, insertando el adverbio No en la proposición o anteponiéndole la frase es Falso que… Ejemplo: p : Quito es una ciudad ∼p : Quito no es una ciudad



VALOR DE VERDAD DE LA NEGACION.- Dada una proposición p cualesquiera al efectuar la Negación de dicha proposición, su valor de verdad cambia. Si es verdadero cambia a falso y si es falso cambia a verdadero. Los valores de verdad para la negación se resumen en la siguiente tabla: p ∼p V F F V DOBLE NEGACION.- Dada una proposición p al efectuar la doble negación se obtiene la proposición inicial. Si su valor de verdad de la proposición inicial es Verdadero al efectuar la doble negación la última proposición sigue siendo verdadera y si es falsa sigue siendo falsa. p: Quito patrimonio cultural de la humanidad ∼p: Quito no es Patrimonio cultural de la humanidad. ∼ (∼p): Quito patrimonio cultural de la humanidad La tabla de verdad para la doble negación es la siguiente: p ∼p ∼ (∼p) V F V F V F CONJUNCION Dos proposiciones simples se pueden coordinar o enlazar mediante la letra “ y” para formar una proposición compuesta llamada conjunción de las dos primeras.- Simbólicamente se escribe de la siguiente manera y se lee : Se escribe Se lee p ∧ q p y q



p: CAIN ES HIJO DE ADAN v (p) = V q: CAIN ES HIJO DE EVA v (p) = V p ∧ q : CAIN ES HIJO DE ADAN Y EVA

P.S.C. conector P.S.C.

PROPOSICION COMPUESTA CONJUNCION VALOR DE VERDAD.- El valor de verdad de la proposición compuesta conjunción depende del valor de verdad que tienen las proposiciones simples y de los valores de verdad que se asignan al conector por definición.

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

DISYUNCION INCLUSIVA Dos proposiciones simples se pueden coordinar o enlazar mediante las letras y/o para formar una proposición compuesta llamada Disyunción Inclusiva de las dos primeras. Simbólicamente se indica de la siguiente manera y se lee: p V q “ p y/o q “

Ejemplo : p: El señor Jorge León estudia matemática v ( p ) = V q: El señor Jorge León estudia física v ( q ) = V p V q : El señor Jorge León estudia matemática y/o física


Proposición Compuesta cerrada Disyunción Inclusiva

VALOR DE VERDAD.- El valor de verdad de la proposición compuesta depende de las proposiciones simples y de los valores de verdad asignados al conector por definición.



La tabla de verdad asignada al conector se resume en la siguiente tabla:

p q p V q

V V V

V F V

F V V

F F F

Las letras y/o significan que se pueden presentar la una posibilidad o la segunda, o ambas posibilidades. ( Lo uno, lo otro, o ambas cosas). DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Dos proposiciones simples se pueden coordinar por medio de la letra “o” para formar una proposición Compuesta llamada Disyunción exclusiva de las primeras. Simbólicamente se indica de la siguiente manera. p V q “ p o q “ Ejemplo : p: El señor Paolo López esta vivo v ( p ) = V q: El señor Paolo López esta muerto v ( q ) = F p V q : El señor Paolo López esta vivo o muerto


Proposición Compuesta cerrada Disyunción Exclusiva

VALOR DE VERDAD.- el valor de verdad de la proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y de los valores de verdad asignados al conector por definición.

p Q p V q

V V F

V F V

F V V

F F F



CONDICIONAL Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante las letras “ Si … entonces … “ para formar una proposición compuesta llamada condicional de las dos primeras. Simbólicamente se indica de la siguiente manera y se lee : p→q “ Si p entonces q “ p: Xavier estudia v ( p ) = V q: Xavier perderá el año v ( q ) = F p → q : Si Xavier estudia entonces perderá el año

conector P.S.C. conector P.S.C.

Proposición Compuesta cerrada Condicional

VALOR DE VERDAD.- El valor de verdad de la proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y del valor de verdad que tiene el conector por definición.

p Q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

CONDICIONAL Dos proposiciones simples se pueden coordinar por medio de la expresión “ ... si y solo sí ... “ para formar una proposición compuesta llamada Bicondicional de las dos primeras. Simbólicamente se indican de la siguiente manera: p↔q “ p si y solo si q” p: 22 = 4 v ( p ) = V q: 4 = 2 x 2 v ( q ) = V p↔q : 22 = 4 si y solo si 4 = 2 x 2




PROPOSICIÓN COMPUESTA CERRADA BICONDICIONAL

VALOR DE VERDAD.- El valor de verdad de la proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y de los valores de verdad asignados al conector por definición. Dichos valores de verdad se resumen en la siguiente tabla de verdad:

p Q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

RESUMEN Conjunción

y

Disyunción Inclusiva

Y/o

Disyunción Exclusiva

o

Condicional

Si ... entonces...

Bicondicional

... si y solo si...

p Q p ∧q p ∨ q

p ∨ q

p →q p ↔q

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD Se llama polinomio booliano a la conjunción, Disyunción, etc... de proposiciones simples y/o compuestas. Ejemplos: ∼ p → ∼ q ( p∧q) ∨ q Para construir una tabla de verdad de un polinomio Booliano se siguen generalmente los siguientes pasos:

a) Se encuentran las variables o proposiciones que tiene el polinomio booliano, considerando una sola vez aquellas que se repiten



∼ p → ∼ q 2 variables

( p∧q) ∨ ( q ∨ r ) 3 variables

∼ p → p 1 variable

b) Se escriben las combinaciones lógicas para el número de variables

determinado anteriormente.

Una variable 2n = 21 = 2 Dos variables 2n = 22 = 4 Tres variables 2n = 23 = 8

Para determinar las combinaciones lógicas también se procede de la siguiente manera:

A B C D ... 1v 2v 3v 4v 5v ... variables 1 2 4 8 16 ...

A) La primera variable dos verdaderos y dos falsos La segunda variable un verdadero un falso B) La primera variable cuatro verdaderos y cuatro falsos La segunda variable dos verdaderos y dos falsos La Tercera variable un verdadero , un falso.

Ejemplo: 1 ) Resolver el siguiente polinomio booliano: ( p ∧ q ) ↔ ( q ∧ p ) p q V V V F F V F F 1) Primero escribimos las combinaciones lógicas debajo de cada variable, en este caso son dos verdaderos, dos falsos para la primera, y para la segunda un verdadero , un falso.



p q ( p ∧ q ) V V V V F F F V F F F F 2) Resolvemos la primera parte del polinomio ( p ∧ q ) aplicando la definición para el conector ∧ . p q ( p ∧ q ) ( q ∧ p )

V V V V V F F F F V F F F F F F 3) Resolvemos la segunda parte del polinomio ( q ∧ p ) aplicando la definición para el conector ∧ . p q ( p ∧ q ) ( q ∧ p )

( p ∧ q ) ↔ ( q ∧ p )

V V V V V V F F F V F V F F V F F F F V 4) Por último resolvemos el polinomio ( p ∧ q ) ↔ ( q ∧ p ) aplicando la definición del conector ↔, esta viene a ser la columna resultado, que en este caso son verdaderas todas. (TAUTOLOGI A) TAUTOLOGIA .- Se llama tautología o verdad lógica al polinomio Booliano que tiene en la columna resultado solo valores verdaderos. 2) Resolver el siguiente polinomio booliano: ∼ (∼ p ∧ q) → p Existe una forma abreviada de resolución ∼ (∼ p ∧ q) → p V V V V F V F V F F F F



1) Escribimos debajo de cada variable las combinaciones

∼ (∼ p ∧ q) → P F V V V F V F V V F V F V F F F

2) Resolvemos primero la negación de p, debajo del símbolo ∼

∼ (∼ p ∧ q) → P F V F V V F V F F V V F V V F V F F F F

1 2 3) Resolvemos la operación ∧ entre las columnas 1 y 2 colocando el resultado

debajo del símbolo, esta vendría ser el resultado del paréntesis.

∼ (∼ p ∧ q) → P V F V F V V V F V F F V F V F V V F V V F F F F 4 3

4) A continuación negamos la columna 3 en la columna 4, debajo del símbolo ∼.

∼ (∼ p ∧ q) → P V F V F V V V V F V F F V V F V F V V V F V V F F F F F 4 6 5

5) Finalmente aplicamos la operación condicional entre la columna 4 y 5,

escribiendo el resultado en la columna 6 debajo del símbolo →, esta vendría ser la columna resultado.( en este caso nos dio una contingencia )

CONTINGENCIA. - Se llama contingencia al polinomio booliano que tiene en la columna resultado valores de verdaderos y Falsos, no necesariamente con un mismo número.



2) Resolver el siguiente polinomio booliano: (p ↔ q ) ∨ ( q↔p) (p ↔ Q ) ∨

( q ↔ p)

V V V F V V V V F F F F F V F F V F V F F F V F F F V F 1 3 2 En este ejercicio resolveremos directamente en una sola tabla, como vemos la operación final se la realiza entre las columnas 1 y 2 dando el resultado final en la columna 3, todos las combinaciones resultaron ser falsas ( ANTITAUTOLOGIA ). ANTITAUTOLOGIA.- Se llama antitautología o falsedad lógica al polinomio booliano que tiene en la columna resultado únicamente valores falsos. AUTOEVALUACION

1. Que es una proposición ? 2. Que es una proposición compuesta ? 3. Escriba un ejemplo literal de proposición ? 4. Escriba un ejemplo de proposición utilizando teoremas geométricos

básicos ? 5. Escriba un ejemplo literal de proposición compuesta ? 6. Escriba un ejemplo de proposición compuesta utilizando los teoremas

geométricos básicos ? 7. Simbolice cada una de las proposiciones anteriores ? 8. Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones simples:

p: 2+4= 12 q: 15 x 2 = 30

9. Que es la conjunción ? 10. Escriba un ejemplo de conjunción aplicando la perpendicularidad de

rectas ? 11. Escriba un ejemplo de conjunción aplic ando el paralelismo de rectas ? 12. Que es la Negación ? 13. Escriba un ejemplo de negación ? 14. Que es la Disyunción Inclusiva y escriba un ejemplo literal ? 15. Que es la Disyunción Exclusiva y escriba un ejemplo literal ? 16. Que es el condicional y escriba un ejemplo literal ? 17. Que es el bicondicional y escriba un ejemplo literal ?

18. Construir las tablas de verdad de los siguientes ejercicios por los dos

métodos : (∼p ↔ ∼q ) ∨ (∼q↔∼p)



∼ (∼ p ↔ q) → p ∼ ( p ∧ q ) ↔ ∼ ( q ∧ p )

19. Que es la Tautología ? 20. Que es Contingencia ? 21. Que es antitautología ?

22. Con proposiciones simples realizar composiciones básicas con los

teoremas geométricos.(Punto, recta, planos, ángulos, triángulos, etc...)

23. Con proposiciones compuestas realizar composiciones básicas con los teoremas geométricos.(Punto, recta, planos, ángulos, triángulos, etc...)

24. Elaborar una composición básica (diseño) utilizando tempera, construya las

proposiciones simples y compuestas existentes en el diseño.

25. Elaborar una composición básica (diseño) utilizando pinturas, construya las proposiciones simples y compuestas existentes en el diseño.

26. Elaborar una composición básica (diseño) utilizando acuarelas, construya

las proposiciones simples y compuestas existentes en el diseño.



TEORIA ELEMENTAL DE CONJUNTOS

TERMINOS NO DEFINIDOS: CONJUNTO, ELEMENTO Conjunto Intuitivamente (No definido) un conjunto es una agrupación, reunión, colección de objetos. Ejemplos:

• Las letras vocales • Los números dígitos • Los números dígitos pares

Elemento Se llama elemento a los objetos o seres individuales que conforman un conjunto. Ejemplos:

a es elemento del conjunto de las vocales

3 es elemento del conjunto de los números pares

4 es elemento del conjunto de los números impares NOTACIÓN Los conjuntos se denotan de dos formas : GRAFICA Y SIMBOLOCA. GRAFICA Un conjunto se denota gráficamente mediante figuras cerradas llamadas diagramas de VENN EULER.- Los elementos se indican mediante puntos en el interior de la figura cerrada.



CONJUTO DE LAS CONJUTO DE LOS NUMEROS CONJUTO DE LOS VOCALES DIGITOS DIGITOS PARES

. 9 . 8

. a . e . 0 . 1 . 2 . 4 . 6 . 2 . i . o . 3 . 4 . 5 . 0

. u . 6 . 7 . 8 NOTACIÓN SIMBOLICA.- Los conjuntos se denotan con letras Mayúsculas con o sin subíndices, los elementos que conforman o integran un conjunto se indican generalmente mediante números o letras minúsculas. V = { a, e, i, o, u} D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } P = { 0, 2, 4, 6, 8 } 2.- RELACIONES NO DEFINIDAS PERTENENCIA.- Cuando un elemento forma parte de un conjunto se indica

mediante el símbolo ∈, que se lee “ es elemento de “ ó “pertenece a”. Ejemplo: V = { a, e, i, o, u}

a ∈ V “ a es elemento de V”

e ∈ V “ e es elemento de V”

o ∈ V “ o es elemento de V”

Si un elemento no integra o forma parte de un conjunto se indica con el símbolo ∉ se lee “ No es elemento de “ ó “ No pertenece a”.

1 ∉ V “ 1 no es elemento de V”

8 ∉ V “ 8 no es elemento de V”



3 ∉ V “ 3 no es elemento de V” Gráficamente si un punto se encuentra en el interior de la figura cerrada, se afirma

que es elemento del conjunto (∈), de igual manera, si un elemento se encuentra

fuera de la figura cerrada se afirma que no es elemento del conjunto (∉). DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Determinar un conjunto es dar a conocer los elementos que conforman el conjunto.- Un conjunto se puede determinar de dos maneras:

• Comprensión • Extensión

COMPRENSIÓN.- O descripción cuando se enuncia la propiedad común o propiedad que cumple sus elementos, generalmente se indica de la siguiente manera: A = { x / x cumple la propiedad P }

P (x) P(x) = Proposición simple abierta en una variable A = { x / x v [ p (x) ] = V } V = { x / x es vocal } D = { x / x es par dígito } B = { x / x es consonante } Se lee:

• El conjunto A de las x tales que x cumpla con el valor de verdad de p (x) • El conjunto V de las x tales que sea vocal • El conjunto D de las x tales que x sea par dígito • El conjunto B de las x tales que x es consonante.

EXTENSION.- Un conjunto está determinado por extensión o tabulación cuando se enuncia o enumera cada uno de sus elementos separados por comas; si el



conjunto tiene muchos elementos se escriben algunos de ellos, luego 3 puntos suspensivos y finalmente el último elemento. Si el conjunto es infinito se escribe algunos de sus elementos y luego 3 puntos suspensivos. V= { a, e, i, o, u } C1= { b, c, d, f, ...,z} D= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } P= { 0, 2, 4, 6, 8 } CLASIFICACION DE CONJUNTOS Los conjuntos se clasifican de acuerdo al número de elementos, así tenemos:

• Conjunto Vacío • Conjunto Unitario • Conjunto Finito • Conjunto Infinito • Conjunto Universo

Conjunto Vacío Se llama conjunto vacío o nulo al conjunto que no tiene elementos y se denota con el símbolo ∅ ó { }. Simbólicamente el conjunto vacío se denota de la siguiente manera: A = { } (compresión) A = ∅ (extensión) Gráficamente el conjunto vacío está determinado por una figura cerrada la misma que no posee elementos en su interior. A ejemplos:

B = {x/x >9 ; x ∈D } El conjunto B está formado por las X tales que x sea mayor que 9 siendo x elemento de los Dígitos

C = {x/x +2 = 0 ; x ∈D }



El conjunto C está formado por las X tales que x +2 = 0 siendo x elemento de los Dígitos Los triángulos cuya sumatoria interna de los ángulos sea mayor 180 grados Si A es un conjunto el Símbolo n(A) indica el número de elementos que pertenece al conjunto.- Se lee “número de elementos de A”.- Generalmente se utilizan también los siguientes expresiones ; # (A) ; card (A). V= { a } n(V)= 1 C= { b, c } n(C)= 2 D= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } n(D)= 10 P= { 0, 2, 4, 6, 8 } n(P)= 5 A = { } n(A)= 0 Conjunto Unitario Se llama conjunto unitario al conjunto que consta de un solo elemento. Gráficamente un conjunto unitario se denota escribiendo dicho elemento en el interior de dicha figura cerrada. ejemplo:

A= {x/x ∈D ; x < 1 } (COMPRENSION) El conjunto A está formado por las x tales que x sea elemento de los dígitos siendo x menor que uno. A= {0} (EXTENSION)

B= {x/x ∈D ; x+3=5 } (COMPRENSION) El conjunto B está formado por las x tales que x sea elemento de los dígitos siendo x +3 = 5. B= {2} (EXTENSION) C = {x/x sea azul} (COMPRENSION) El conjunto C está formado por las x tales que x sea AZUL. C = {azul} (EXTENSION)



Conjunto Finito Intuitivamente un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos. Un conjunto es finito si es enumerable ( tiene primero y último elemento) Si el conjunto está determinado por extensión y tiene algunos elementos se escribe 3 de ellos luego 3 puntos suspensivos y finalmente el último elemento. Si el conjunto está denotado gráficamente se utilizan los 3 puntos de la misma manera ( los 3 puntos indican que existen otros elementos, pero que no se denotan únicamente por facilidad de escritura. ejemplo: C= { x/x sea vocal } C = { a, e, i, o, u } B= { x/x es letra del alfabeto } B = { a, b, c, ..., z } Conjunto Infinito Intuitivamente un conjunto infinito es aquel que no es finito. Cuando un conjunto se denota por extensión se escriben algunos de los elementos y luego tres puntos suspensivos ( los tres puntos suspensivos indican que existen infinidad de elementos.) ejemplo: Conjunto de los números Naturales N = { x/x sea número natural} N = {0,1,2,3...} R = {x/x sea número real } R = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...} Conjunto Universo Se llama conjunto universo, conjunto referencial o super conjunto para A cualquier conjunto que contenga al conjunto A ( a parte de sus elementos propios) .



ejemplo: El conjunto universo de los números reales P = {2,4,6,8,10,...} El conjunto P está dentro del conjunto universo de los números reales. Representación.- Se simboliza de la siguiente manera: Conjunto de los números reales R = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...} A= {números positivos} B= {números negativos } C= {números pares } D= {números impares } Los conjuntos A, B, C, D son conjuntos que se encuentran dentro del conjunto R, por lo que se dice que R es conjunto Universo SUBCONJUNTO Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B se dice que A es subconjunto de B. Se simboliza de la siguiente manera: A ⊂ B Se lee : A es subconjunto de B A esta incluido en B A esta contenido en B A es parte de B La definición simbólica de subconjunto es la siguiente: A ⊂ B ∀x (x∈A ∧ x∈B) Se lee A subconjunto de B; Para todo x ( x pertenece a A y x pertenece a B ) Ejemplo:



A = {2,3,5,7} Subconjuntos de A Cero elementos: A1 = { } Un elemento: A2 = {2} A3 = {3} A4 = {5} A5 = {7} Dos elementos: A6 = {2,3} A7 = {2,5} A8 = {2,7} A9 = {3,7} A10 = {3,5} A11 = {5,7} Tres elementos: A12 = {2,3,5} A13 = {2,3,7} A14 = {3,5,7} A15 = {2,5,7} Cuatro elementos: A16 = {2,3,5,7} Existen 16 subconjuntos de A de los cuales 15 son subconjuntos propios de A y el mismo conjunto A que forma parte de los subconjuntos ya que todo conjunto es subconjunto de si mismo, a este conjunto lo llamamos subconjunto impropio de A Para determinar el Número de subconjuntos que tiene un conjunto dado A se utiliza la expresión 2 n(A) donde n(A) es el número de elementos que tiene el conjunto dado. SUBCONJUNTO PROPIO

Si los elementos de A son algunos de los elementos de B se dice que A es un subconjunto propio.



Simbólicamente se dice que : A ⊆ B ≡ A ⊂ B ∧ A ≠ B Para indicar que un conjunto no es subconjunto propio de A se utiliza el símbolo ⊆ El conjunto vacío no tiene subconjuntos propios Cualquier otro conjunto tiene al conjunto vacío como subconjunto propio. IGUALDAD DE CONJUNTOS El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos elementos simbólicamente la igualdad de conjuntos se indica de la siguiente forma: A=B ↔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A Ejemplo: A = {x/x es vocal de la palabra prima} D= {x/x es vocal de la palabra viva} A= { i , a } D= { i , a } Entonces el conjunto A=D CONJUNTOS DISYUNTOS Dos conjuntos A y B son disyuntos cuando no tienen elementos comunes. Ejemplo: P = {x/x es par} I= {x/x es impar} Como vemos ninguno de los dos conjuntos tienen elementos comunes. CONJUNTOS COMPARABLES Dos conjuntos son comparables si uno de ellos es subconjunto del otro.



Simbólicamente se indica de la siguiente manera: P es comprable con Q si: A ⊂ B ∨ B ⊂ A CONJUNTO POTENCIA Dado un conjunto A se llama conjunto potencia de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A; se llama también conjunto partes de A. Ejemplo: P(A) = { 2 A} Donde A es el número de elementos de A A = {1} A1= { } A2= {1} Conjunto P(A) = { { }, {1}} OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNION Se simboliza esta operación mediante la letra U, y se dice que A U B “ A unión B “ esta representada gráficamente ; corresponde al área de la figura cerrada de A y al área de la figura cerrada B. Se presentan los siguientes casos: Cuando no tienen elementos en común

Cuando tienen elementos en común



Cuando B es subconjunto de A

Cuando A=B

Extensión La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y/o B ( Las letras y/o significan el uno, el otro o los dos). Comprensión La unión de dos conjuntos se define por compresión mediante la siguiente expresión general. A U B = { x / x ∈ A v x ∈ B} Ejemplo:



A = {2,4,6,8,10} B = {1,3,5,7,9} A U B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} INTERSECCIÓN Se simboliza esta operación mediante el símbolo ∩ , y se dice que A ∩ B “ A intersección B “ es ta representada gráficamente ; corresponde al área común de la figura A y de la figura B. Se presentan los siguientes casos: Cuando no tienen elementos en común

A ∩ B = { } Cuando tienen elementos en común

Cuando B es subconjunto de A



Cuando A=B

Se simboliza esta operación mediante el símbolo ∩, y se dice que A ∩ B “ A intersección B “ esta representada gráficamente y corresponde al área común de la figura A y al área figura B. Extensión La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B ( Las letras y significan los dos). Comprensión La intersección de dos conjuntos se define por compresión mediante la siguiente expresión general. A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo:



A = {2,4,6,8,10} B = {1,2,3,4,5} A ∩ B = { 2,4} COMPLEMENTO El complemento del conjunto A respecto de otro conjunto B se representa gráficamente por el área correspondiente a la región exterior del conjunto A

El complemento del conjunto A respecto de otro conjunto U universo se representa gráficamente por el área correspondiente a la región exterior del conjunto A, siendo esta área A’.

EXTENSION Sea A subconjunto del conjunto Universo U se llama complemento de A al conjunto de elementos que pertenecen al conjunto Universo y no pertenecen al conjunto A, se denotan generalmente de la siguiente manera: A’ En la práctica para encontrar el complemento de un conjunto se señalan los elementos de A en el conjunto Universo y se escribe los elementos que no fueron señalados como elementos del conjunto A’.



COMPRESION El complemento de un conjunto A respecto del Universo se define simbólicamente de la siguiente manera: A’ = { x ∈ U / x ∉ A } Ejemplo: U = {2,4,6,8} A = {2} A’ = {4,6,8} DIFERENCIA Gráficamente la diferencia de dos conjuntos corresponde al área del conjunto A menos el área del conjunto B ( la palabra menos debe interpretarse como separar, quitar ). Cuando no existen elementos comunes

Cuando existen elementos comunes



A-B Cuando B es subconjunto de A

Cuando A es igual a B

A-B= { }



EXTENSION Para A y B subconjunto del conjunto universal U se llama diferencia A-B al conjunto de elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B se denota simbólicamente de la siguiente manera. En la práctica se acostumbra generalmente a señalar los elementos correspondientes a la intersección y se escriben como elementos del conjunto A-B aquellos elementos que no fueron señalados. Ejemplo: A= {0,2,4,6,8 } B= {0,2,5,7,9 } A-B = {4,6,8 } COMPRENSION La diferencia de dos conjuntos se define simbólicamente de la siguiente manera: A-B= { x ∈ U / x∈A ∧ x ∉ B } DIFERENCIA SIMETRICA A ã B Sean los conjuntos A y B, la diferencia simétrica se define gráficamente como la región que corresponde al conjunto A y B menos la región correspondiente a los dos conjuntos dados. Gráficamente se dice también que la diferencia simétrica corresponde al área del conjunto A y al área del conjunto B pero no al área correspondiente a los dos conjuntos, simbólicamente tenemos: Simbólicamente se le representa mediante el ã y se escribe A ã B que se lee A diferencia simétrica con B Cuando A y B no tienen elementos comunes



A ã B Cuando A y B tienen elementos comunes

A ã B Cuando B es subconjunto de A

A ã B Cuando A y B son iguales



A ã B= { } EXTENSION Dados A y B subconjuntos de un conjunto universal se llama diferencia simétrica de A y B al conjunto de elementos que pertenecen a A y B y no pertenecen a los dos conjuntos. Simbólicamente la diferencia simétrica se encuentra en la práctica hallando primero la intersección de los conjuntos y luego se escriben como elementos de la diferencia simétrica aquellos que no pertenecen a la intersección. Ejemplo: A= {0,2,4,6,8 } B= {0,2,5,7,9 } A ã B = {4,6,8,5,7,9} COMPRENSIÓN Se define por comprensión de la siguiente manera: A ã B = { x ∈ U / x∈(A-B) ∨ x ∈(B-A)}



AUTOEVALUACION 1.- Defina lo que es un conjunto ? 2.- Que son los diagramas de Venn ? 3.- Cuantas operaciones entre conjuntos conoce ? 4.- Realice una composición (conjunto utilizando el Dibujo técnico) con:

Paralelas y perpendiculares Triángulos y cuadriláteros Polígonos regulares e irregulares Circunferencia Empalmes Arcos Ovoides, Ovalos y Espirales

5.- Resolver las siguientes operaciones:

A = { 0,2,4,6,8,10} B = { 1,2,3,5,8,9} C = { 1,7,5,6,11} AUB=? c∩d=? B-C=? C-B=? AãC=?

6.- Realizar una composición donde se utilice trazos geométricos Básicos y se evidencie la unión de conjuntos. 7.- Realizar una composición donde se utilice trazos geométricos Básicos y se evidencie la intersección de conjuntos. 8.- Realizar una composición donde se utilice trazos geométricos Básicos y se evidencie la diferencia de conjuntos. 9.- Realizar una composición donde se utilice trazos geométricos Básicos y se evidencie la diferencia simétrica de conjuntos. 10.- Utilice acuarela y pinte las composiciones 6,7,8,9 resaltando los conjuntos color utilizados. 11.- Utilice papel celofán y realice composiciones 6,7,8,9 12.- Construir un elemento tridimensional donde se evidencie la teoría elemental de conjuntos.



ESTADISTICA DESCRIPTIVA Estadística, rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones. Historia Por mucho tiempo, la palabra estadística se refería a información numérica sobre los estados o territorios políticos. La palabra viene del latín "statisticus" que significa "del estado". Las estadísticas como las conocemos hoy día tomaron en desarrollarse varios siglos y muchas mentes privilegiadas. John Graunt (1620-1674), un inglés que estudiaba los expedientes de los nacimientos y muertes descubrió que nacían más niños que niñas, pero también encontró que por estar los hombres más expuestos a accidentes ocupacionales . a enfermedades y la guerra, el número de hombres y mujeres en la edad de casarse era más o menos la misma. Graunt fue el primero en publicar sobre el análisis estadístico y su trabajo llevó al desarrollo de las ciencias actuariales utilizadas por las compañías de seguros. Estadística Es la ciencia encargada de recopilar, organizar, analizar e interpretar formación numérica o cualitativa, de manera que pueda llevar a conclusiones válidas. La estadística se puede definir como la ciencia que recopila, organiza, analiza e interpreta la información numérica o cualitativa, mejor conocida como datos, de manera que pueda llevar a conclusiones válidas. La estadística inferencia Es la ciencia que interpreta información de manera que pueda llevar a conclusiones válidas. Los gobiernos y las organizaciones utilizan la estadística para tomar decisiones que afectan directamente nuestras vidas. La estadística descriptiva Es la ciencia que recopila , organiza e interpreta la información numérica ó cualitativa. Los periódicos, revistas, radio y televisión usan la estadística descriptiva para informar y persuadirnos acerca de ciertas acciones a tomar y en la formación de opiniones. Población: Es la colección, o conjunto, de individuos , objetos o eventos cuyas propiedades serán analizadas. Muestra Es un subconjunto de una población. Las muestras representativas de una población son útiles ya que facilitan el manejo de los datos. Una muestra es representativa de la población si al escogerla cada elemento tiene la misma probabilidad de salir o de ser escogido.



Población vs. Muestra Población es la totalidad de los elementos del grupo particular que se estudia. Como por ejemplo, una empresa que está llevando a cabo un estudio a todos los 350 empleados de la empresa. Esto es población ya que se estudiará cada elemento de la población; en este caso la población es todos los empUeados de la empresa,sus 350 empleados. Muestra es una parte de la población seleccionada de forma que puedan hacerse inferencias de ella con respecto a la población completa. Por ejeinplo, la empresa del ejemplo anterior escogerá 100 empleados de los 350 para hacerles un estudio. Esto es una muestra ya que el total de empleados es 350, se escogió a 100 para hacerse inferencias del resto. Representación Gráfica Los gráficos estadísticos permiten reproducir la información de una tabla, ayudan a interpretar las relaciones entre los datos y constituye en algunos casos la primera etapa de análisis. En cualquier publicación se recomienda que el grafico este acompañado de la respectiva tabla, ya que en esta parecen detalles que no figuran en el gráfico Tipos de gráficos Existen una variedad de gráficos estadísticos, su eyección depende de las características de los datos y del objetivo para el cual se construye el gráfico. Para representar fenómenos discontinuos Representa en forma horizontal o vertical Los anchos de las barras deberán ser iguales y las distancias deben ser iguales entre barra y barra Encuesta Instrumento de investigación de los hechos en las ciencias sociales, la encuesta es la consulta tipificada de personas elegidas de forma estadística y realizada con ayuda de un cuestionario. La encuesta se diferencia de la entrevista en que la información que se obtiene ya está de antemano preparada y estructurada; además, en la entrevista hay una mayor flexibilidad para obtener información. Algunas veces, encuestas y entrevistas se combinan para permitir al entrevistador ampliar la información. La encuesta tiene distintas aplicaciones temáticas: hay encuestas por sondeos determinación de una muestra representativa de una población); encuestas de opinión (encuesta por sondeo para conocer la opinión de un tema en concreto); encuestas urbanas, sociológicas, etc. Asimismo, la encuesta puede ser descriptiva la que establece el estado de un fenómeno determinado o explicativa la que determina las causas por las que se da ese fenómeno. Las preguntas que se llevan a cabo en una encuesta pueden ser de varios tipos: abiertas (el individuo puede responder con unas líneas o frases); cerradas (sólo puede responder con un 'sí' o un 'no'); en abanico o de elección múltiple (podrá elegir entre varias respuestas), y de estimación o evaluación (las preguntas presentan grados diferentes de intensidad). Su ejecución podrá realizarse a través de una entrevista personal, por correo o teléfono.



CALCULO DE LA MUESTRA PARA CALCULAR LA MUESTRA DE ESTUDIO APLICAMOS LA FORMULA n = PQ * N ( N-1 ) E2 + PQ K2

n = TAMAÑO DE LA MUESTRA N = TAMAÑO DE LA POBLACIÓN O UNIVERSO PQ = VARIANZA DE UNIVERSO, RESPECTO A LAS CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES OBEJETO DE LA INVESTIGACION E = ERROR MÁXIMO ADMISIBLE PARA LOS RESULTADOS K = CONSTANTE CUYO VALOR DEPENDE DEL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN O GRADO DE CONFIANZA QUE SE DESEA DAR A LA INVESTIGACIÓN EJEMPLO DETERMINAR EL TAMAÑO DE UNA MUESTRA CON UN ERROR PROBABLE DEL 5% LA POBLACIÓN O UNIVERSO ES DE 2500 UNIDADES Y MANIFIESTA UN ALTO PORCENTAJE DE HETEROGENEIDAD. PQ = 0,25 ES BASTANTE DIFÍCIL CONOCER LA VARIANZA DE LA POBLACIÓN O UNIVERSO YA QUE SE SUPONE QUE ES BASTANTE HETEROGENEA, A PQ SE LE DA EL VALOR DE 0,25 Y DE ESTA MANERA SE CONSIDERA QUE LA MUESTRA A OBTENER SERA MAS QUE SUFICIENTE. N = 2500 E = 0.05 K = 2 PARA EL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN SE CREE SUFICIENTE EL 95 % DE CONFIANZA POR LO QUE A k SE LE DA EL VALOR DE 2. n = 0,25 * 2500 ( 2500 –1 ) ( 0.05)2 + 0,25 22

n = 345 muestra



TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SE REALIZA UNA ENCUESTA A 30 FAMILIAS PARA DETERMINAR EL NUMERO DE HIJOS POR FAMILIA DE CADA HOGAR EN UN SECTOR DETERMINADO. LAS RESPUETAS SON LAS SIGUIENTES: 0,1,3,2,4,2,3,1,0,2,3,1,2,2,1,0,1,2,3,2,1,2,3,0,2,3,2,1,0,2. COMO SABEMOS DEBEMOS ORGANIZAR LA INFORMACIÓN EN UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA

RELATIVA

FRECUENCIA

ABSOLUTA ACUMULADA

FRECUENCIA

RELATIVA ACUMULADA

Yi Tarjas n h N H

0

IIIII

5

0.17

5

0.17

1

IIIIIII

7

0.23

12

0.40

2

IIIIIIIIIII

11

0.37

23

0.77

3

IIIIII

6

0.20

29

0.97

4

I

1

0.03

30

1.00

30

1.00

DONDE: Yi REPRESENTA LOS VALORES DE LA VARIABLE ( NUMERO DE HIJOS POR FAMILIA ). n ( FRECUENCIA ABSOLUTA ) ES EL NUMERO DE VECES QUE SE REPITE UN VALOR. ( UTILIZAMOS LAS TARJAS PARA DETERMINAR EL NUMERO ). EN NUESTRO EJEMPLO QUE REPRESENTAN ? n1 = 5 FAMILIAS NO TIENEN HIJOS n2 = 7 FAMILIAS TIENEN UN HIJOS n3 = 11 FAMILIAS TIENEN DOS HIJOS n4 = 6 FAMILIAS TIENEN TRES HIJOS



n5 = 1 FAMILIAS TIENEN CUATRO HIJOS n =30 NUMERO DE FAMILIAS ENCUESTADAS. H ( FRECUENCIA RELATIVA ) EL CUOCIENTE ENTRE CADA FRECUENCIA ABSOLUTA ni PARA EL TOTAL DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS n. EJEMPLO: n1= 5 n= 30 h1= 5/30 =0.17 h2= 7/30 =0.23 h3= 11/30 =0.37 h4= 3/30 =0.20 h5= 1/30 =0.03 DEBEMOS TENER CUIDADO QUE LA SUMATORIA DE LAS MISMAS SEA 1.00 YA QUE REPRESENTA EL 100%. CASO CONTRARIO TENEMOS QUE APROXIMAR ELEMPLO: h1= 5/30 =0.166 APROXIMAMOS A 0.17 PARA LLEGAR A LA UNIDAD, Y ASI EN TODOS LOS CASOS NECESARIOS, DEBEMOS RECORDAR QUE PARA REALIZAR APROXIMACIONES DEBEMOS DEBEN SER DESDE 5 EN ADELANTE CASO CONTRARIO NO SE APROXIMA. EJEMPLO : h2= 7/30 =0.233 NO SE APROXIMA Y SE QUEDA 0.23 QUE REPRESENTA ? LAS FRECUENCIAS RELATIVAS REPRESENTAN PORCENTAJES EN NUESTRO EJEMPLO TENEMOS: 17% DE LAS FAMILIAS ENCUESTADAS NO TIENEN HIJOS 23% DE LAS FAMILIAS ENCUESTADAS TIENEN UN HIJOS 37% DE LAS FAMILIAS ENCUESTADAS TIENEN DOS HIJOS 20% DE LAS FAMILIAS ENCUESTADAS TIENEN TRES HIJOS 3% DE LAS FAMILIAS ENCUESTADAS TIENEN CUATRO HIJOS N ( FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS ) ESTA FRECUENCIA ABSULTA ACUMULADA ES LA SUMATORIA ESCALONADA DE LA FRECUENCIAS ABSOLUTAS, SOLAMENTE LA PRIMERA ES LA MISMA. EN NUESTRO EJEMPLO TENEMOS: N1 = 5 PORQUE n1= 5 N2 = 5 + 7 = 12 N3 = 12 + 11 = 23 N4 = 23 + 6 = 29 N5 = 29 +1 = 30 N5 TIENE UNA CARACTERÍSTICA QUE DEBE SER SIEMPRE IGUAL AL NUMERO n OSEA AL NUMERO DE FAMILIAS ENCUESTADAS. ( CASO CONTRARIO ESTA MAL ) QUE REPRESENTA ?



N1 = 5 FAMILIAS NO TIENEN HIJOS N2 = 12 FAMILIAS TIENEN HASTA UN HIJO N3 = 23 FAMILIAS TIENEN HASTA DOS HIJOS N4 = 29 FAMILIAS TIENEN HASTA TRES HIJOS N5 = 30 FAMILIAS TIENEN HASTA CUATRO HIJOS H ( FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS ) ESTA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA AL IGUAL QUE LA ANTERIOR ES LA SUMATORIA ESCALONADA DE LA FRECUENCIAS RELATIVAS, SOLAMENTE LA PRIMERA ES LA MISMA. EN NUESTRO EJEMPLO TENEMOS: H1 = 0.17 PORQUE h1= 0.17 H2 = 0.17 + 0.23 = 0.40 H3 = 0.40 + 0.37 = 0.77 H4 = 0.77 + 0.20 = 0.97- H5 = 0.97 + 0.03 = 1.00 H5 TIENE UNA CARACTERÍSTICA QUE DEBE SER SIEMPRE IGUAL A 1.00 OSEA AL 100% ( CASO CONTRARIO ESTA MAL ) QUE REPRESENTA ? H1 = 17% DE LAS FAMILIAS NO TIENEN HIJOS H2 = 40% DE LAS FAMILIAS TIENEN HASTA UN HIJO H3 = 77% DE LAS FAMILIAS TIENEN HASTA DOS HIJOS H4 = 97% DE LAS FAMILIAS TIENEN HASTA TRES HIJOS H5 = 100% DE LAS FAMILIAS TIENEN HASTA CUATRO HIJOS.

CALCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA CON (VARIABLE DISCRETA) (MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL)

VARIABLE DISCRETA POR LO GENERAL LOS DATOS OBSERVADOS DE LA VARIABLE SON RELATIVAMENTE POCOS Y PUEDE CONSIDERARSE QUE DICHOS VALORES DEFINEN LA CLASE O GRUPO CORRESPONDIENTE. LA DISTANCIA ENTRE LAS OBSERVACIONES SON PEQUEÑAS.

MEDIA ARITMÉTICA ( X ) ES LA SUMATORIA DE TODAS LAS OBSERVACIONES OBTENIDAS DIVIDIDOS PARA EL NUMERO TOTAL. SE CALCULA MEDIANTE LAS ECUACIÓNES:

∑ ESTE SÍMBOLO REPRESENTA SUMATORIA

X = ∑ Yini X = Yi hi



n PARA NUESTRO EJEMPLO TENEMOS :

Yi n h Yini Yi hi

0

5

0.17

0

0

1

7

0.23

7

0.23

2

11

0.37

22

0.74

3

6

0.20

18

0.60

4

1

0.03

4

0.12

30

1.00

51

1.69

COMO VEMOS EN EL CUADRO CREAMOS LA CASILLA Yini Y YihI Y RESULTA DE MULTIPLICAR LOS VALORES RESPECTIVOS DE CADA CASILLA. PARA LA PRIMERA FORMULA TENEMOS QUE LA ∑ DE Yini ES IGUAL A 51 DONDE n= 30, APLICANDO LA FORMULA TENEMOS:

X = ∑ Yini X = 51/30 = 1.7 n AL APLICAR LA SEGUNDA FORMULA TENEMOS :

X = Yi hi LA SUMATORIA DE Yi hi ES IGUAL A 1.69 QUE EN REALIDAD ES IGUAL A 1.7 QUE ES EL VALOR BUSCADO. ESTE VALOR REPRESENTA QUE LAS 30 FAMILIAS TIENEN EN PROMEDIO 1.7 HIJOS MEDIANA ( Me ) MEDIANA ES EL VALOR DEL ELEMENTO CENTRAL DE UN CONJUNTO DE OBSERVACIONES. PARA NUETRO EJEMPLO TENEMOS:



Yi n N

0

5

5

1

7

12

FILA j-1

2

11

23

FILA j

3

6

29

4

1

30

30

DONDE PRIMERO CALCULAMOS n/2 TENEMOS 30/2= 15, ESTE NUMERO ESTA CONTENIDO EN EL NUMERO 23 ENTONCES ESTA FILA SE LLAMARA j. SI SE CUMPLE CON LA CONDICION:

Nj-1 < n/2 < Nj ENTONCES Me = Yj Nj-1 = 12 Nj = 23 n/2 = 15 Nj-1 < n/2 < Nj 12<15< 23 CUMPLE ENTONCES Me = 2 ESTO REPRESENTA QUE DOS ES EL ELEMENTO CENTRAL EL 50% DE LAS OBSERVACIONES ESTA DE 0 A 2 Y EL OTRO 50% DE LAS OBSERVACIONES ESTA DE 2 A 4. SI NO CUMPLERA TENDRÍAMOS QUE APLICAR LA FORMULA : Me = Yj + Yj+1 2 EJEMPLO:



Yi n N

1

1

1

3

3

4

FILA j-1

5

4

8

FILA j

7

2

10

FILA j+1

9

6

16

16

PRIMERO CALCULAMOS n/2 , 16/2 = 8 Nj = n/2 SI SE CUMPLE CON LA CONDICION:

Nj-1 < n/2 < Nj ENTONCES Me = Yj Nj-1 = 4 Nj = 8 n/2 = 8 Nj-1 < n/2 < Nj 4< 8 < 8 NO CUMPLE Me = Yj + Yj+1 2 Me = 5 + 7 2 Me = 6 MODA ( Md )



LA MODA CON VARIABLE DISCRETA ES FACIL DE ENCONTRAR YA QUE ES EL ELEMENTO O QUE MAYOR NUMERO DE VECES SE REPITE. PARA NUESTRO EJEMPLO TENEMOS:

Yi n N

0

5

5

1

7

12

2

11

23

3

6

29

4

1

30

30

COMO VEMOS EN LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS EL ELEMNTO QUE MAYOR NUMERO DE VECES SE REPITE ES 2 ( 11 VECES ) PUES LA MODA ES IGUAL A 2

Md = 2

CALCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA CON (VARIABLE CONTINUA) (MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL)

VARIABLE CONTINUA CUANDO EL NUMERO DE OBSERVACIONES ES ELEVADO , EL PROBLEMA QUE SE PRESENTA LA CLASIFICACION DE LAS OBSERVACIONES , CON EL OBJETO DE OBTENER CLASES DE DATOS EN LAS QUE SE ENCONTRARAN OBSERVACIONES QUE TENGAN CARACTERÍSTICAS SIMILARES. LA VARIABLE CONTINUA SE UTILIZA PARA DATOS QUE NO ESTEN SEGUIDOS Y SEPARADOS CONSIDERABLEMENTE. VAMOS A ANALIZAR EL SIGUIENTE EJEMPLO:



LA SIGUIENTE INFORMACIÓN, CONSISTE EN REMUNERACIONES SEMANALES DE UN GRUPO DE CUARENTA OBREROS.

65 85 77 70 72 73 67 61 76 73 70 59 58 46 84 47 70 80 67 47 57 70 83 68 94 67 60 69 52 67 57 73 64 63 74 82 67 58 66 70

LO PRIMERO QUE TENEMOS QUE ENCO NTRAR ES EL RECORRIDO, PRIMERO ESCOGEMOS EL VALOR MENOR = 46 Y EL VALOR MAYOR = 94, LUEGO EL RECORRIDO SERA IGUAL A: L = V máx – V min L = 94 – 46 L = 48 ( recorrido ) ESTA INFORMACIÓN VAMOS A LLEVARLE A UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DIVIDIDAS EN 6 INTERVALOS. CALCULAMOS EL ANCHO DEL INTERVALO QUE SERA IGUAL A 48 / 6 = 8 Y TENEMOS: intervalos Yí-1 Yí 46,1 54 54,1 62 62,1 70 70,1 78 86,1 94 EL PRIMERO VA DESDE 46,1 HASTA 54 ESTO REPRESENTA QUE SE PONDRÁN VALORES MAYORES DE 46 Y ASI SUCESIVAMENTE. PERO SE PRESENTA UN PROBLEMA NO PODEMOS UBICAR EL PRIMER VALOR QUE ES 46 POR LO QUE NOS VEMOS OBLIGADOS A RECALCULAR EL RECORRIDO PARA LO CUAL RESTAMOS UNA UNIDAD AL LIMITE INFERIOR Y SUMAMOS UNA UNIDAD AL SUPERIOR Y TEMENOS: L = V máx – V min L = 95 – 45 L = 50 ( recorrido ) PARA ESTE RECORRIDO HAREMOS 5 INTERVALOS DE 10 UNIDADES DE SEPARACIÓN Y TENEMOS: Yí-1 Yí Yi ni hi Ni Hi 45,1 55 50 4 0.100 4 0.100 55,1 65 60 10 0.25 14 0.350 65,1 75 70 18 0.450 32 0.800 75,1 85 80 7 0.175 39 0.975 85,1 95 90 1 0.025 40 1.000

40 1.000 Y i-1 Límite interior del intervalo



Y i Límite superior del intervalo Y i Marca de clase ( se obtiene sumando (45 + 55) /2 = 50, recordemos que los decimales en el 45,1 nos representan que se pondrán valores mayores de 45 , no el 45). MEDIA ARITMÉTICA CALCULAMOS CON LAS FORMULAS :

X = ∑ Yini n Yí-1 Yí Yi ni Yi ni 45,1 55 50 4 200 55,1 65 60 10 600 65,1 75 70 18 1260 75,1 85 80 7 560 85,1 95 90 1 90

40 2710 Media aritmética es igual 2710/40 = 67,75 X = 67,75 En promedio los 40 trabajadores ganan 67,75 dólares semanales MEDIANA LA CALCULAMOS MEDIANTE LA FORMULA : Me = Y´j-1 + Cj ( n/2 – Nj-1 ) nj Yí-1 Yí Yi ni Ni 45,1 55 50 4 4 55,1 65 60 10 14 FILA J-1 65,1 75 70 18 32 FILA J 75,1 85 80 7 39 85,1 95 90 1 40

40 En la tabla de distribución de frecuencias las columnas que interesan son los de la tabla anterior.



Primero calculamos n/2 40/2 = 20 y vemos donde esta contenido el 20 esa fila se llamara fila j, La fila anterior se llamará j-1. En nuestra fórmula tenemos : Y´j-1 = 65 Cj = 10 ( que es la diferencia de las marcas de clase Yi ejemplo 60-50 = 10 ) n/2 = 20 Nj-1 = 14 nj = 18 tenemos todos los valores y procedemos a calcular la mediana. Me = 65 + 10 ( 20 – 14 ) 18 Me = 65 + 60/18 Me = 68,33 LA MEDIANA REPRESENTA QUE EL 50 % DE LOS TRABAJADORES GANAN DE 45 A 68,33 DOLARES SEMANALES Y EL OTRO 50% DE 68,33 A 95 DOLARES SEMANALES. CUANDO n/2 es igual Nj entonces la mediana es igual a Y´j Ejemplo: Y´i-1 Y´i Yi ni Ni 35 45 40 5 5 45 55 50 20 25 55 65 60 11 36 65 75 70 8 44 75 85 80 6 50 50

Calculamos n/2 entonces 50/2 = 25 Me = 55 MODA Md CALCULAMOS MEDIANTE LA FORMULA: Md = Y´j-1 + Cj ( nj+1 ) nj-1 + n j+1 Para determinar la fila j observamos el mayor valor de frecuencia en este caso 18



Yí-1 Yí Yi ni Ni 45,1 55 50 4 4 55,1 65 60 10 14 Fila j -1 65,1 75 70 18 32 FILA j 75,1 85 80 7 39 Fila j+1 85,1 95 90 1 40

40 Md = 65 + 10 ( 7 ) 10+7 Md = 65 +4,1 Md = 69,1 ESTO REPRESENTARA QUE CON MAYOR FRECUENCIA ( MODA) LOS 40 TRABAJADORES GANAN 69,1 DOLARES SEMANALES. LAS CUARTILLAS.- RESULTA DE DIVIDIR LA SERIE ORDENADA DE OBSERVACIONES EN CUATRO PARTES IGUALES. Q1 ES EL VALOR QUE SUPERA AL 25 % DE OBSERVACIONES Y ES SUPERADO POR EL 75% Q2 ES IGUAL A LA MEDIANA Q3 ES EL VALOR QUE SUPERA AL 75 % DE LAS OBSERVACIONES Y ES SUPERADO POR 25 % LA FORMULAS DE CALCULO SON : Q1 = Y´j-1 + Cj ( n/4 –Nj-1 ) clave calcular n/4 nj Q2 = Me clave calcular n/2 Q3 = Y´j-1 + Cj ( 3n/4 – Nj-1 ) clave calcular 3n/4 nj Cuartilla Q1 Yí-1 Yí Yi ni Ni 45,1 55 50 4 4 55,1 65 60 10 14 Fila j 65,1 75 70 18 32



75,1 85 80 7 39 85,1 95 90 1 40

40 n/4 = 40/4 = 10 Q1 = 55+ 10 (10- 4 ) 10 Q1 = 55 + 6 Q1 = 61 Q2 = Me = 68,33 Cuartilla Q 3 Y´i-1 Y´i Yi ni Ni 45,1 55 50 4 4 55,1 65 60 10 14 65,1 75 70 18 32 Fila j 75,1 85 80 7 39 85,1 95 90 1 40

40 3n/4 = 3*40/4 = 30 Q3 = 65+ 10 (30-14) 18 Q3 = 65 + 160/18 Q3 = 65 + 8.88

Q3 = 73.88 QUE REPRESENTAN ESTOS VALORES: Q1 = 61 Q2 = 68,33 Q3 = 73,88 DE 45 A 61 SE ENCUENTRAN UBICADOS UN 25 % DE LAS REMUNERACIONES DE 61 A 68,33 SE ENCUENTRAN UBICADOS EL 25 % DE LAS REMUNERACIONES DE 68,33 A 73,88 SE ENCUENTRAN UBICADOS EL 25 % DE LAS REMUNERACIONES DE 73,88 A 95 SE ENCUENTRAN UBICADOS EL 25 % DE LAS REMUNERACIONES DE LOS 40 OBREROS.



BIBLIOGRAFÍA

• GEOMETRÍA CALVACHE, ABAD, TERÁN, YACELGA Y ROSEROICB – EPN Ecuador, 2000.

• GEOMETRÍA ANALÍTICA LONDOÑO, Nelson Editorial Norma, Colombia 2000. • ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESPINOZA, Alfredo Ecuador,1999. • BARNET-Uribe. Álgebra y Geometría.1995 • GARCIA Ardura. Ejercicios de algebra. 1980. • VASCONEZ-Aristóbulo. Estadística descriptiva. 1982 • GARCIA Ardura. Ejercicios y problemas de Aritmética.1996. • MANUAL DE PROPOSICIONES, MSC. PACO BASTIDAS, U CENTRAL, 1996, ECUADOR

Guia de matematicas - Jefferson C.

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