Guía de Estudio Prueba de Aptitud Académica...

Ejército de Guatemala

Escuela

Politécnica

PROGRAMA DE PRUEBAS DE ADMISIÓN

Guía de Estudio

Prueba de Aptitud Académica Matemática

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INTRODUCCIÓN

Esta guía de estudio de matemática para examen de admisión a la Escuela Politécnica tiene

como fin, proporcionar al aspirante todo el contenido mínimo que debe repasar para aprobar

con éxito el examen de admisión, requisito para ser aceptado en dicha Alma Mater Militar.

La guía está estructurada con explicación por tema, ejercicios de selección múltiple, con

respuestas al final de cada ejercicio, simulando la forma en que las pruebas de admisión y

becas son realizadas en la mayoría de instituciones.

I. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo es el valor más pequeño que puede contener a una cierta

cantidad de números o valores numéricos. El procedimiento para determinar el MCM es

bastante sencillo.

Ejemplo 1:

Determine el MCM de 3, 8, 15, 20

3 8 15 20 2 3 4 15 10 2 3 2 15 5 2 3 1 15 5 3 1 1 5 5 5

1 1 1 1 120 Se puede observar que se van dividiendo los números en los factores primos, hasta que

todos quedan igual a (1), todos los valores de la derecha se multiplican y ese es el MCM.

EJERCICIO:

Determine el MCM de los siguientes números.

RESPUESTAS:

C B A A A A

II. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Es un número que puede dividir exactamente a cada numero de una serie de números

dada, se utilizan los factores primos que pueden dividir exactamente a todos los números de

la serie.

Ejemplo 1:

Determine el MCD de 16, 24, 32

16 24 32 2 8 12 16 2 4 6 8 2

2 3 4 8

Se puede observar que se van dividiendo los números en los factores primos, hasta que ya

no pueden ser divididos todos por el mismo número, todos los valores de la derecha se

multiplican y ese es el MCD.

EJERCICIO:

Determine el MCD de los siguientes números.

RESPUESTAS:

D D D A C D

III. FRACCIONES

Son números que representan una división, pueden ser impropias o propias, dichos

números no se operan de igual manera que los números enteros, para cada operación se

deben seguir lineamientos muy específicos.

A. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Para realizar una suma o una resta de fracciones, la parte más importante es

recordar que si los denominadores no son iguales, se debe obtener un MCM, ya que

con este valor se realiza toda la operación.

Ejemplo 1:

Realice la siguiente operación de fracciones:

Se puede ver que si el denominador es el mismo, únicamente sumamos y restamos

los numeradores y el denominador se copia.

Ejemplo 2:

Realice la siguiente operación con fracciones:

El MCM de 3, 5 y 6 es 30, entonces tenemos, debemos dividir el MCM entre cada

denominador y multiplicarlo por su respectivo numerador, por ejemplo, 30 dividido 3

es igual a 10, multiplicado por 4 da 40.

EJERCICIO:

Realice las siguientes sumas y restas de fracciones.

RESPUESTAS:

D B C D B D B D C D A D D B

B. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

La multiplicación de fracciones es la única operación que se asemeja a la

multiplicación de números enteros, ya que se multiplica numerador con numerador y

denominador con denominador, no importa la cantidad de fracciones involucradas,

siempre se debe tener cuidado con la ley de signos para la multiplicación.

Ejemplo 1:

Realice la siguiente operación con fracciones.

(

) (

) (

) (

( )( )( )

( )( )( ))

Nunca se debe olvidar la simplificación de fracciones.

EJERCICIO:

Realice las siguientes multiplicaciones de fracciones.

RESPUESTAS:

C D B C A A C A C A B D A C D

C. DIVISIÓN DE FRACCIONES:

La división de fracciones es una operación similar a la multiplicación, solo que se

efectúa de forma cruzada, numerador por denominador y denominador por

numerador.

Ejemplo 1:


Ejemplo 2:


En este caso aplicamos la conocida ley del ¨Sandwich¨ o ¨Emparedado¨ que

consiste en multiplicar los extremos y forman el numerador, multiplicar los medios y

forman el denominador.

EJERCICIO:

Realice las siguientes divisiones de fracciones.

RESPUESTAS:

A C C B A C C C C

IV. NÚMEROS MIXTOS

Son números que están compuestos por un número entero y una fracción, teniendo la

forma.

Para convertir un mixto a fracción el procedimiento es bastante sencillo, multiplicamos el

denominador por el entero y a este resultado le sumamos el numerador, este será el

numerador de la fracción y el denominador no cambia.

La conversión de fracción a mixto solo es posible cuando el numerador es mayor que el

denominador, se realiza una división sin decimales y se obtiene la respuesta.

Ejemplo 1:

Convertir a mixto.

Realizamos la división.

4

5 23

20

3 Ahora para poder dar la respuesta, el cociente debe ser el entero, en este caso (4), el

residuo será el numerador, en este caso (3) y el denominador siempre será el mismo (5).

Quedando el resultado como,

Para realizar operaciones básicas con números mixtos, el primer paso y fundamental es

convertir cada uno de los números mixtos a fracción. La respuesta puede aparecer como

fracción o numero mixto, eso dependerá del formato de respuesta que se elija.

EJERCICIO:

Realice las siguientes operaciones con números mixtos, fracciones y enteros.

RESPUESTAS:

A C C C C C D A A A D B C A A

V. LEY DE SIGNOS

Debes tener en cuenta que la ley de signos en la matemática tiene dos grandes áreas

donde opera y son diferentes, una ley de signos es para la suma y la resta, y la otra para la

multiplicación y la división.

Suma y resta: Signos iguales se suman, signos diferentes se restan y se copia el signo del

número mayor.

Multiplicación y División: La multiplicación o división de signos iguales da positivo y de

signos diferentes da negativo.

VI. JERARQUIA DE OPERADORES

Es muy importante conocer el orden de operación cuando aparecen muchas operaciones en

conjunto, entonces es importante conocer la jerarquía de dichas operaciones o signos.

operador Nombre

( ) , - * + Signos de agrupación

√ Potencias y radicales

Multiplicación y división

Suma y resta

EJERCICIO:

Resuelva las siguientes operaciones utilizando las leyes de signos y la jerarquía de

operadores.

RESPUESTAS:

B C A A A B C C C A A A C C A C C D B A B A A A

EJERCICIO:

Resuelva las siguientes operaciones utilizando las leyes de signos, la jerarquía de operadores y las

reglas de fracciones y mixtos.

RESPUESTAS:

C C A D A D C B C D B D

VII. LEYES DE EXPONENTES

A. MULTIPLICACIÓN:

Cuando dos bases iguales se multiplican, se copia la base y los xponentes se

suman.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

B. DIVISIÓN:

Cuando dos bases iguales se dividen, se copia la base y los exponentes se restan.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

VIII. POTENCIA:

Cuando una base y su exponente son afectados por otro exponente, se copia la base y los

exponentes se multiplican.

Ejemplo 1:

( )

Ejemplo 2:

( )

IX. EXPONENTES NEGATIVOS:

Un exponente negativo puede cambiar de signo al cambiar de posición junto con su base, si

se encuentra como numerador pasa a denominador y viceversa.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

EJERCICIO:

Simplifique utilizando las leyes de exponentes.

RESPUESTAS:

D B D C C B A B B D B D B A A B A B C A

D C D A D C C B A C A B D B C A C B B A

D C A A A

X. LEYES DE EXPONENTES

A. MULTIPLICACIÓN:

Cuando dos bases iguales se multiplican, se copia la base y los exponentes se

suman. Además los coeficientes o números, se multiplican normalmente.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

B. DIVISIÓN:

Cuando dos bases iguales se dividen, se copia la base y los exponentes se restan.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

C. POTENCIA:

Cuando una base y su exponente son afectados por otro exponente, se copia la

base y los exponentes se multiplican.

Ejemplo 1:

( )

Ejemplo 2:

( )

XI. EXPONENTES NEGATIVOS:

Un exponente negativo puede cambiar de signo al cambiar de posición junto con su base, si

se encuentra como numerador pasa a denominador y viceversa.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Es importante recordar que las leyes de exponentes aplican entre variables iguales, en el

caso de la potenciación, afecta por igual a todas las variables y números.

EJERCICIO:

Simplifique utilizando las leyes de exponentes.

RESPUESTAS:

A A C A D D B A D C A A A D D D A A C B

C D D A A B A B C C

XII. RADICALES

A. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

La simplificación de radicales es un proceso muy sencillo que consiste en cambiar la

forma de un radical, un radical aunque tenga un número que no tenga raíz cuadrada

exacta, puede ser factorizado y simplificado.

Ejemplo 1:

Simplificar

√

El número (8) puede descomponerse en dos números, el (2) y el (4), la pareja de

números que se busca tiene que cumplir con un requisito importante, al menos uno

de los dos números debe tener raíz cuadrada exacta.

√

Como el (4) tiene raíz cuadrada exacta sale del radical como (2)

√ √

Ejemplo 2:

Simplificar

√ √ ( )√ √

Se puede ver que el (16) salió del radical como (4) que es la raíz cuadrada exacta.

EJERCICIO:

Simplifique los siguientes radicales.

RESPUESTAS:

A D D C A A

B. SUMA Y RESTA DE RADICALES

Para poder sumar o restar radicales, todos deben tener el mismo radical con el

mismo número, cuando no se presenta ese caso es indicativo que se deben

simplificar los radicales antes de operarlos.

Ejemplo 1:

√ √

Se suman los coeficientes y el radical solo se copia.

√ √ √

Ejemplo 2:

√ √ √

Al simplificar los radicales, obtenemos

√ √ √ √

EJERCICIO:

Sumar y restar los siguientes radicales.

RESPUESTAS:

D C D D B A

C. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

La multiplicación de radicales se realiza multiplicando los coeficientes y por aparte

se multiplican los términos dentro de los radicales, una vez realizada la

multiplicación se tiene que simplificar la respuesta.

Ejemplo 1:

Multiplicar

√ √ √ √ ( )√ √

Ejemplo 2:

Multiplicar

√ ( √ )

Se multiplica el termino de afuera con cada uno de los términos de adentro

√ √ √ √ √ √

EJERCICIO:

Multiplique los siguientes radicales.

RESPUESTAS:

C B C D B C A D

D. DIVISIÓN DE RADICALES

La división de radicales obedece a las mismas normas que la multiplicación cuando

se trata de un monomio dividido por otro monomio, pero cuando tenemos

combinaciones de binomios el método es diferente.

Monomio sobre monomio:

Las reglas son las mismas que en la multiplicación y se debe dejar la respuesta final

sin radical en el denominador, eso se logra multiplicando el numerador y el

denominador por el radical del denominador.

Ejemplo 1:

√

√

Dividimos los coeficientes y los términos del radical por separado.

√

√

( )

Ejemplo 2:

√

√

En este caso los coeficientes si se pueden dividir, pero los términos de los radicales

no son divisibles ni simplificables, así que multiplicaremos todo por el radical del

denominador.

√

√

√

√ √

√ √

√ √

1. Binomio sobre monomio:

El procedimiento consiste en multiplicar el numerador y el denominador por

el término radical que se encuentra en el denominador.

Ejemplo 3:

√

√

Ahora tenemos:

√

√ √

√ √ √

√ √ √

( ) √ √

2. Monomio sobre binomio:

En este caso debemos utilizar el binomio del denominador cambiando el

signo del segundo término para multiplicar el numerador y el mismo

denominador.

Ejemplo 4:

√

√

Ahora tenemos:

√

√ √

√ √ √

√

En la parte inferior tenemos una diferencia de cuadrados.

√ √

√ √ √

( ) √ √

√ √

√ √

Al final todos los coeficientes tienen mitad, por eso se simplifican, y el signo

negativo del denominador se trasladó para el numerador.

EJERCICIO:

3. Divida los siguientes radicales.

RESPUESTAS:

A B A C D D C C

XIII. OPERACIONES BASICAS CON POLINOMIOS

A. SUMA

Para realizar la suma de polinomios el procedimiento que presenta menos

equivocaciones, es el de ordenar todos los términos antes de realizar la suma, la

suma como tal es únicamente de los coeficientes, ya que la variable y los

exponentes no deben sufrir cambio alguno.

Ejemplo 1:

( ) ( )

Ordenamos un polinomio sobre otro, este ordenamiento debe sobre la misma

variable y el mismo exponente.

Se puede observar que solo se operan los coeficientes, siguiendo las leyes de

signos para suma y resta.

Ejemplo 2:

( ) ( ) ( )

B. RESTA

Para restar términos las reglas son las mismas que para la suma, el polinomio que

tiene el signo negativo delante de él, es el polinomio que cambia de signos. Así que

todos los términos del polinomio sustraendo cambian de signo.

Ejemplo 1:

( ) ( )

Podemos observar como los términos cambiaron de signo, y se realizo el mismo

procedimiento que en la suma.

Ejemplo 2:

( ) ( ) ( )

EJERCICIO:

Realice las siguientes sumas y restas.

RESPUESTAS:

B B D A A D D B A C D D

C. MULTIPLICACIÓN

La multiplicación es un procedimiento sencillo pero que debe ser llevado

cuidadosamente, ya que debemos multiplicar signos, coeficientes y exponentes, es

importante recordar que para la multiplicación la ley de signos establece que signos

iguales da positivo y diferentes negativo. Los coeficientes se multiplican como

números y los exponentes de variables iguales se suman. Siempre se debe

multiplicar cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro

polinomio.

Ejemplo 1:

( )( )

Se ordenan uno sobre el otro y se empieza la multiplicación.

También se debe tener en cuenta la multiplicación con dos o más variables y tener

un orden para operar.

Ejemplo 2:

( )( )

EJERCICIO:

Realice las siguientes multiplicaciones.

RESPUESTAS:

C A B B B A C D D D B C

D. DIVISIÓN

La división es una de las operaciones básicas más complejas, ya que se debe

dividir multiplicar y restar, pero el procedimiento es cíclico. Se deben tener los

polinomios ordenados y dejar los espacios en blanco si algún término no aparece.

Ejemplo 1:

( ) ( )

Se ponen los polinomios en forma ordenada

Se divide el primer término del polinomio dividendo dentro del primer término del

polinomio divisor.

Se multiplica ese resultado por cada término del polinomio divisor y al colocarlos

debajo del polinomio dividendo deben cambiar de signo para realizar la resta.

+4 Y el procedimiento se repite para el nuevo primer término, esto realiza mientras la

división sea posible y no queden exponentes menores a cero.

+4

+4

Siendo la respuesta,

Donde la R significa residuo.

EJERCICIO:

Realice las siguientes divisiones.

RESPUESTAS:

A B C B D C A A D D D C A C A C C A B B D B D A A A B A D D

XIV. PRODUCTOS NOTABLES

Reciben este nombre aquellas multiplicaciones que tienen una característica que permite

obtener la respuesta sin tener que pasar por el proceso de multiplicación.

XV. DIFERENCIA DE CUADRADOS:

La forma general de este tipo de producto es:

( )( )

Podemos notar que los dos paréntesis tienen los mismo términos y el único cambio es el

signo, entonces dicha multiplicación es igual a la diferencia entre cada termino elevado al

cuadrado.

Ejemplo 1:

( )( )

Entonces la respuesta será: el cuadrado de (2x) y el cuadrado de (3), y un signo de resta

entre ambos.

( )( )

EJERCICIO:

Realice los siguientes productos notables.

RESPUESTAS:

D D A A D A D A D C A B

XVI. BINOMIO AL CUADRADO

La forma general es

( )

Cuando tenemos dos términos elevados a la potencia (2), el resultado tiene 3 términos, el

primero y el tercer término son los cuadrados de los términos dentro del paréntesis, el

segundo término se obtiene multiplicado por (2) el primer término y el segundo término.

Ejemplo 1:

( )

Usando la forma general,

( ) ( )( ) ( )

Recordar que cualquier número elevado al cuadrado siempre dará un valor positivo es muy

importante.

( )

EJERCICIO:

Realice los siguientes binomios al cuadrado.

RESPUESTAS:

B B A A D D B C C D C C

XVII. BINOMIO AL CUBO

La forma general para un binomio al cubo es:

( )

Los signos son muy importantes, si no se quiere tener problema con la operatoria de signos

y exponentes, lo más sencillo es recordar que si el signo en el binomio es positivo todos los

términos serán positivos, cuando el signo es negativo, los signos van alternados ( )

y en el caso de ambos fuesen negativos, entonces todos los términos serian negativos.

Ejemplo 1:

( )

Usando la forma general

( ) ( ) ( ) ( )( )

Es importante recordar que de primero se operan las potencias y luego las multiplicaciones.

Ejemplo 2:

( )

Ahora tenemos un signo negativo.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Ahora recordemos que un signo negativo elevado a una potencia par dará positivo y

elevado a una potencia impar dará negativo.

Podemos ver como los signos quedan alternos.

EJERCICIO:

Realice los siguientes binomios al cubo.

RESPUESTAS:

B D C B B A A D B D A C

XVIII. FACTORIZACIÓN

Método por el cual se busca la simplificación de términos algebraicos de la forma de suma y resta a la forma de producto notable o multiplicación.

A. FACTOR COMÚN

Es el caso de factorización más importante y consiste en identificar que hay en común entre los valores numéricos y las variables de varios términos algebraicos. Este caso puede estar presente en cualquiera de los demás casos de factorización.

Ejemplo 1:

En este caso el factor común es únicamente numérico, ya que todos los números son divisibles dentro de (2), ninguna de las variables se repite por los tanto no hay factor común con las variables.

( )

Se coloca el (2) fuera de un paréntesis, y se divide cada termino entre ese valor para colocarlos dentro.

Ejemplo 2:

En este caso no hay un número distinto de (1) que divida a todos los valores numéricos, pero la variable (x) se repite en todos los términos, así que el factor común es la variable con el menor exponente de toda la expresión, en este caso es (x).

( )

Es importante recordar que en la división con variables los exponentes se restan.

Ejemplo 3:

En este caso el factor común es

( )

Podemos ver que (c) no es factor común porque no aparece en cada término.

EJERCICIO:

Factorizar utilizando factor común.

RESPUESTAS:

A B A D D A

XIX. DIFERENCIA DE CUADRADOS

Este caso de factorización tiene características propias:

A. Son dos términos B. Es una resta o diferencia C. Ambos términos tienen raíz cuadrada exacta (este requisito no es obligatorio, ya

que se puede aplicar en casos donde no existe raíz cuadrada exacta)

La forma general de este caso es:

( )( )

Para este caso la raíz cuadrada de y la raíz cuadrada de Entonces se abren dos paréntesis y se colocan las raíces, en un paréntesis con signo positivo entre ambos términos y en el otro signo negativo entre ambos.

Ejemplo 1:

La raíz cuadrada de , la raíz cuadrada de 1 es 1. Siendo la respuesta,

( )( )

Ejemplo 2:

En este caso se puede ver que ambos casos no tienen raíz cuadrada exacta, sin embargo es visible el caso de factor común, entonces factorizamos primero el factor común.

( )

Ahora podemos observar que lo que se encuentra dentro del paréntesis si es un caso de diferencia de cuadrados, ya que ambos términos tienen raíz cuadrada exacta.

( )( )

El (2) que esta como factor común no desaparece.

Ejemplo 3:

De igual manera ambos términos no tienen raíz cuadrada exacta, pero si factor

común.

( )

Ahora lo que está dentro del paréntesis si es un caso de diferencia de cuadrados.

( )( )

EJERCICIO:

Factorizar utilizando diferencia de cuadrados y factor común si es necesario.

RESPUESTAS:

C C D B C B A C B A

XX. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Características de este caso:

A. Son dos términos B. Puede ser suma o resta C. Ambos términos tiene raíz cúbica exacta.

La forma general de este caso es:

( )( )

( )( )

Podemos observar que en ambos casos los términos son iguales, el cambio se da en los signos que se utilizan para cada uno de los casos.

Ejemplo 1:

En este ejemplo, la raíz cubica de y la raíz cubica de 8 es 2.

Siendo la factorización de la siguiente manera:

( )( )

Recordar que en el segundo paréntesis la operatoria es con los términos del primer paréntesis, el primer término al cuadrado, el primer término por el segundo y el segundo término al cuadrado.

En la diferencia también se cumple la misma operatoria con el cambio de signos respectivo.

Ejemplo 2:

Primero factor común

( )

Y ahora podemos ver que el paréntesis es un caso de diferencia de cubos,

obteniendo

( )( )

Ejemplo 3:

Primero factor común

( )

Y ahora el paréntesis por diferencia de cubos

( )( )

EJERCICIO:

Factorizar utilizando suma o diferencia de cubos y factor común si es necesario.

RESPUESTAS:

A A A A B D C B C C

XXI. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio tiene tres términos y esa es la característica principal, además las variables tienen una relación en sus exponentes muy particular. El trinomio cuadrado perfecto es identificable fácilmente. También puede haber factor común antes de la factorización de trinomio en sí.

La forma general es:

( )

Ejemplo 1:

Comprobación: la raíz cuadrada de y la raíz cuadrada de 9 es 3. Entonces multiplicamos ( )( ) , que es el mismo valor que se encuentra como segundo

término del trinomio. Así que la respuesta es:

( )

El signo del segundo término es el signo que debe ir entre los dos términos en el paréntesis.

Ejemplo 2:

El factor común es 4.

( )

El trinomio dentro del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto.

( )

EJERCICIO:

Factorizar utilizando el procedimiento para un trinomio cuadrado perfecto y factor común si

es necesario.

RESPUESTAS:

C C A D B B

XXII. TRINOMIO DE LA FORMA

Tiene las mismas características de un trinomio, pero en esta ocasión el coeficiente del término cuadrático es (1).

Ejemplo 1:

El primer paso es colocar la raíz cuadrada de en cada paréntesis, los signos deben ir de la siguiente manera, el primer paréntesis lleva el signo del segundo término del trinomio y el segundo paréntesis lleva por signo el resultado de la multiplicación del signo del segundo y tercer término.

( )( )

Ahora buscamos dos números que multiplicados den el tercer término (6) y que sumados den el coeficiente del segundo término (5). Para este ejemplo serán los números (2) y (3).

( )( )

Ejemplo 2:

Los paréntesis deberán llevar los signos siguientes:

( )( )

Dos números que multiplicados den (10) y restados den (-3), los números son, (5) y (2).

( )( )

Ejemplo 3:

El trinomio tiene factor común (3).

( )

Ahora el paréntesis es un trinomio de la forma

( )( )

EJERCICIO:

Factorizar utilizando el procedimiento para trinomio de la forma y factor común si

es necesario.

RESPUESTAS:

B A A C A A

XIII. TRINOMIO DE LA FORMA

Este tipo de trinomio se caracteriza porque el coeficiente que acompaña al termino cuadrático no es (1), previamente verificar que no haya factor común.

Ejemplo 1:

El primer paso consiste en multiplicar por el coeficiente del término cuadrático todo el trinomio de la siguiente manera.

( )

En el segundo término la multiplicación queda indicada.

Ahora ponemos los paréntesis de la siguiente manera, colocando la raíz cuadrada de y los signos siguen la misma regla que el caso de factorización de trinomio de la forma .

( )( )

Ahora buscamos dos números que multiplicados den (24) y restados (-5).

( )( )

Ahora siempre habrá en uno o en los dos paréntesis un caso de factor común, para este ejemplo el primer paréntesis tiene factor común (2).

( )( )

Ahora tanto el (2) de arriba como el (2) del denominador se eliminan quedando como respuesta, el número del denominador siempre debe ser eliminado.

( )( )

Ejemplo 2:

Podemos observar que el factor común es , quedando el trinomio de la siguiente manera

( )

Ahora podemos factorizar por separado el trinomio y al final unir este resultado con el resultado del factor común.

( )

Separamos en los paréntesis y buscaremos dos números que multiplicados den (210) y

restados (23).

( )( )

Ahora operamos el factor común del primer paréntesis.

( )( )

El 5 del numerador y el 5 del denominador se eliminan, unimos los dos paréntesis al factor común del inicio y damos la respuesta.

( )( )

Ejemplo 3:

En este caso tenemos dos variables, el procedimiento numéricamente es el mismo, se debe

tener cuidado con no omitir la segunda variable.

( )

Ahora necesitamos dos términos que al multiplicarlos den ( ) y restados ( ).

( )( )

Factor común,

( )( )

Siendo la respuesta

( )( )

EJERCICIO:

Factorizar utilizando los procedimientos para trinomio de la forma y factor

común si es necesario.

RESPUESTAS:

C B C C D A

XXIV. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Este caso se caracteriza por tener 4 términos. Y lo que se busca es agrupar en parejas de términos que tengan algo en común entre ellos.

Ejemplo 1:

Descartando la existencia de factor común para los cuatro términos, agrupamos los términos en parejas. Para este ejemplo agruparemos los dos primeros y los dos últimos.

( ) ( )

Para el primer paréntesis el factor común es y para el segundo .

Quedando así,

( ) ( )

Podemos observar que los dos paréntesis quedaron iguales, este paso es fundamental, ya que si no son iguales no podemos continuar. Ahora la respuesta se conforma colocando el paréntesis repetido una sola vez, y en otro paréntesis colocar los términos que quedaron fuera de los paréntesis.

( )( )

Ejemplo 2:

Agrupamos

( ) ( )

Factorizamos, factor común

( ) ( )

Ahora podemos observar que los dos paréntesis tienen los mismos términos pero con signos contrarios, este pequeño problema se resuelve cambiando el signo positivo que se encuentra entre los dos paréntesis por un signo negativo y esto automáticamente cambia los signos de los términos del segundo paréntesis.

( ) ( )

Ahora si podemos dar una respuesta.

( )( )

EJERCICIO:

Factorizar utilizando agrupación de términos y factor común si es necesario.

RESPUESTAS:

C A B B A B

XXV. ECUACIONES

A. ECUACIONES LINEALES

Son todas aquellas ecuaciones donde el exponente máximo para la variable es (1),

por lo tanto la ecuación tiene una solución.

Ejemplo 1:

En este caso pasaremos todos los términos que contienen la variable de un solo

lado de la ecuación, y los términos numéricos del otro lado respetando el cambio de

signo por cambiar de lugar en la ecuación.

Sumamos y restamos,

El número que acompaña a la (x) está multiplicando pasa al otro lado de la ecuación

a dividir.

Entonces el valor de (x) para esta ecuación es (6).

Ejemplo 2:

( ) ( )

El primer paso es operar los paréntesis con el número que se encuentra afuera.

Ahora el procedimiento es similar al ejemplo anterior.

Ejemplo 3:

( )

Cuando las ecuaciones tienen fracciones se deben operar como fracciones y lo

demás se resuelve siguiendo las mismas reglas del ejemplo 2.

(

)

EJERCICIO:

Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.

RESPUESTAS:

D C A C C C C D C D A B A B C A A A A A

C A A C A D C C D B B B A A A D D C A C

B. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Las ecuaciones cuadráticas reciben su nombre por el exponente mayor de la

ecuación, que es de grado dos, eso quiere decir que la variable tendrá un

exponente (2). Existen diversos métodos de solución de ecuaciones cuadráticas,

aunque el método que siempre puede ser utilizado es aquel que utiliza la formula

cuadrática.

C. POR FACTORIZACION:

Este método solo se puede utilizar si la ecuación cuadrática es factorizable, ya sea

como trinomio, factor común o diferencia de cuadrados.

Ejemplo 1:

Determine las soluciones para:

Podemos observar que el trinomio es factorizable.

( )( )

Ahora cada paréntesis se iguala a cero, y se despeja la variable.

Entonces las soluciones de la ecuación son:

* +

Ejemplo 2:


El factor común es

( )

Ahora igualamos a cero el paréntesis y el término que se encuentra fuera del

paréntesis.

Siendo las soluciones.

* +

Ejemplo 3:


En este caso hay una diferencia de cuadrados.

( )( )

Al igualar los paréntesis a cero, obtenemos como soluciones:

* +

D. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS

Este método de solución es bastante utilizado ya evita utilizar la formula cuadrática,

aunque cuando se trabaja con fracciones o decimales puede volverse muy

complicado.

Ejemplo 1:


Ya que el trinomio no es factorizable, pasamos el número sin variable del otro lado

de la ecuación.

Ahora completamos el cuadrado, obteniendo la mitad de (4) y elevando al cuadrado

el resultado, este valor se debe sumar de ambos lados de la ecuación.

Factorizando del lado izquierdo, trinomio cuadrado perfecto.

( )

Despejando la variable.

√

√

Si necesitamos valores en decimales se opera el radical y damos las dos respuestas

en decimales, caso contrario se pueden dar respuestas en forma indicada o de

radical.

{ √ √ }

E. FORMULA CUADRÁTICA

Este método es el más utilizado, ya que permite resolver cualquier ecuación

cuadrática.

La fórmula cuadrática es:

√

Siendo: (a) el coeficiente del término cuadrático, (b) el coeficiente del término lineal

y (c) el coeficiente sin variable.

Ejemplo 1:


Para poder utilizar la formula cuadrática, la ecuación debe estar igualada a cero.

Para este ejemplo:

Sustituyendo valores,

√ ( )( )

( )

√

√

Ahora podemos ver que tendremos dos respuestas, una utilizando el signo de suma

y el otro utilizando el signo de resta.

Ahora podemos dar las soluciones de la ecuación.

{

}

EJERCICIO:

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método indicado.

Por factorización.

RESPUESTAS:

A B A B D B B D A A

F. ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Existen sistemas de ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas, 3 incógnitas y más.

Estudiaremos los métodos más conocidos para la solución de ecuaciones

simultáneas, también llamado sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Existen diversos métodos para llegar a una solución, entre ellos se pueden

mencionar, igualación, sustitución, método de suma y resta, siendo los más

conocidos, también existen métodos matriciales que son poco usados por su

complejidad y tiempo que se debe invertir.

G. IGUALACIÓN:

En este método se debe despejar una de las variables e igualar para encontrar la

solución.

Ejemplo 1:

Resolver el sistema,

(1)

(2)

Despejamos (y) en la ecuación (1)

Despejando (y) en la ecuación (2)

Ahora igualamos,

Realizamos una multiplicación cruzada con los denominadores y obtenemos,

( ) ( )

Y tenemos una ecuación lineal, fácil de resolver.

Entonces el valor de (x) es (2). Para determinar el valor de (y), sustituimos el valor

de (x) en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema original. Para este ejemplo

utilizaremos la ecuación (1).

( )

Entonces el valor de (y) es (-3). Siendo la respuesta final,

( )

H. SUSTITUCIÓN:

Este método consiste en despejar una variable y sustituirla en la otra ecuación para

llegar a la solución de una de ellas.

Ejemplo 1:

(1)

(2)

Despejando (y) en la ecuación (1),

Ahora sustituimos (y) en la ecuación (2),

(

)

Multiplicamos toda la ecuación por 4 para eliminar el denominador,

( )

El procedimiento para determinar (y) es el mismo, sustituimos (x) en cualquiera de

las ecuaciones originales, obtendremos una (y) igual a (-3).

I. ELIMINACIÓN:

Este método consiste en igualar una de las variables para poder ser eliminado por

suma y resta.

Ejemplo 1:

(1)

(2)

Podemos observar que para eliminar la (y) el (4) y el (-5) deben ser iguales, la forma

más fácil de realizar esta operación es multiplicar toda la ecuación (1) por (5), y toda

la ecuación (2) por (4). Obteniendo,

46 Siendo la (x),

Para determinar el valor de (y), siempre sustituimos en cualquiera de las dos

ecuaciones originales.

EJERCICIO:

Determine el valor de las variables para cada sistema de ecuaciones.

RESPUESTAS:

D C A B D C D D A B

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