NOTACIÓN CIENTÍFICA

 

La Notación Científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades numéricas que son demasiado grandes o por el contrario, demasiado pequeñas.

 Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el Producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del

1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10. Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad:   139000000000 cm.

Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta:

¿Cómo lo llevamos a la mínima expresión?

1. Primero, empezaremos a contar los espacios que separan a cada número de derecha a izquierda, hasta llegar al último número entero.

2.  Antes de llegar a dicho número, separamos la cantidad con un punto dejando como compañía dos decimales más, (en éste caso 3 y 9).

3.  Por último,  multiplicamos la cantidad (1.39) por 10 (que es la base)  y lo elevamos a la potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada número).

Veamos otro ejemplo, tenemos 0.000096784 cm.

 En éste caso, el procedimiento será de la siguiente manera:

1. Partiremos desplazando el punto de derecha a izquierda, hasta llegar al primer número diferente de cero (en éste caso 9).

2. Separamos el número seguido por dos decimales (6 y 7) multiplicado por 10 como base constante.

3. La potencia, a diferencia del primer ejemplo, será negativa ya que contamos de izquierda a derecha, tomando en cuenta únicamente los números enteros.

Es decir, que tenemos como resultado:

O bien:

Aproximado, en donde la respuesta también sigue siendo válida. Cabe mencionar, que se seleccionaron únicamente los números enteros, debido a que en términos matemáticos los ceros a la izquierda no cuentan y  no deben ser incluidos.

 La Notación Científica puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas Básicas que conocemos: Suma, Resta, Multiplicación y División. Hagamos un ejemplo con cada una de las operaciones.

1. SUMA

Tenemos 450000 + 1270 + 530000     Tomando en cuenta los procedimientos anteriores, tenemos como resultado:     1) 4500000 =

2) 1270 =

3) 530000 =

  4) Ahora bien, para sumar tenemos que llevar las cantidades a una misma

  potencia,en éste caso nos difiere , para poder llevarlo a la potencia

de 5, corremos el punto dos cifras más, siempre de derecha a izquierda,   

   obteniendo (Se agregaron las cantidades que hacían falta, siendo         siempre 0.) 5) Teniendo las cantidades a una misma potencia, procedemos a sumar:

6) Obteniendo como Respuesta En otro ejemplo tenemos, 0.0536 + 0.0456 + 0.0043 Llevándolo a la mínima expresión tenemos:

1) 0.0536 = 

2) 0.0456 = 

3) 0.0043 = 

4) Llevamos a la misma potencia todas las cantidades, así que   

  va a ser igual a , en éste caso corrimos de derecha a izquierda    una cifra y se restaron las potencias ( -3 + 1 ) quedando de potencia -2 ya que    el número es mayor predominando el signo.                    5) Ahora  procedemos a sumar:

 

  6) Se tiene de  Respuesta o también se puede expresar como

    (Se desplaza el punto de derecha a izquierda, restando     potencias)

2. RESTA

 

Se tiene 0.535 – 0.021 1) Expresamos las cantidades en Notación Científica 0.535 =

0.021 =

2) Ahora, tenemos que llevar las expresiones a la misma potencia, en éste caso será la potencia de -2 a -1.

   ( Se desplazó el punto de derecha a izquierda).           3) Teniendo potencias iguales, restamos:

4)  Obtenemos como Respuesta

En el siguiente ejemplo, combinaremos Suma con Resta, así:

Empezaremos realizando las operaciones por separado:

1)

¿Por qué está respuesta? Acordémonos que las cantidades se tienen que igualar a la misma potencia y por eso, hicimos llegar 2.35 x 10 -1 a la potencia de 1 agregando dos ceros de derecha a izquierda para hacerlo positivo.

  Recordemos la Gráfica de Escalas que se detalla a continuación:

 

2) Seguimos trabajando las siguientes cantidades:

, cómo en el caso anterior, hicimos llegar la potencia -1 a 1.

3) Por último procedemos a restar las dos respuestas: 3) Por último procedemos a restar las dos respuestas:

4) Teniendo como Respuesta

 3. MULTIPLICACIÓN

 

Multiplicar 0.215 mts. x 250000 mts. 1) Desplazamos el punto al primer número entero, quedándonos potencia negativa,

así: 0.215 = 2) De igual forma, el punto se desplaza de derecha a izquierda hasta llegar al primer número entero:

250000 =

3) En el caso de la multiplicación, vamos a multiplicar las bases, con la diferencia que las potencias se sumarán.   OJO! Únicamente en la Multiplicación, así:

Multiplicamos las bases: 2.15 x 2.5 = 5.375 4) Ahora sumamos las potencias – 1+5, obteniendo como resultado potencia de  4.

4) La respuesta sería de

Multiplicar 1) En éste ejemplo es un poco más sencillo, ya que las expresiones están dadas ya en Notación Científica, empezamos a multiplicar bases: 9.2 x 6.2 = 57.04

2) Ahora sumamos potencias 12 + 15 = 27

3) Quedando en Notación Científica la expresión .

4) Pero la idea de aplicar Notación Científica, es llevarla las cantidades a la mínima expresión tenemos que:

5) Obteniendo como  respuesta 

4. DIVISIÓN

     Dividir 

     1) 

     2) 

     3) En la división, las potencias las vamos a restar (lo contrario de la            multiplicación), y dividimos las bases como cualquier división.

      Dividimos: 5.32  ÷  2.37  = 2.244

       Ahora restamos las potencias 0 – 5, obteniendo como resultado potencia de    -5.     

4) Obtenemos como respuesta  

     En otro ejemplo, dividamos  

      1) Dividimos bases : - 9.4 ÷ - 3.4 = 2.76, nos da cantidad positiva, ya que en la        

 multiplicación de signos, los iguales dan signo positivo.

      2) Ahora restamos potencias -20 – (+15)= - 20 – 15= - 35. Aquí lo que hicimos

fue multiplicar signos quedando signos iguales y por ende se sumaron.

  3) Quedándonos:

      4) Obtenemos como respuesta 

EXPONENCIACIÓN

 

Así como en la Notación Científica, la Exponenciación funciona de igual forma y más

sencilla, la única diferencia es que las potencias se multiplican.

Ejemplo:

Tenemos la siguiente cantidad,

El Procedimiento a seguir será de la siguiente forma:    

1) Llevamos la cantidad a Notación Científica, es decir:

2) Ahora aplicamos la Exponenciación , lo hacemos de igual forma para base

y potencia, así:   

Base: (1.21 x 1.21) ó también = 1.46

   Ahora multiplicamos las Potencias ( 5 x 2) = 10

3) Obteniendo como resultado En la mayoría de las Operaciones realizadas, se aplican los mismos procedimientos, lo único que cambia es la función que tiene la potencia en cada una de ellas. Veamos otro tipo de ejemplo de Exponenciación:

Tenemos 

1) La cantidad ya está expresada en Notación Científica, así que empezaremos por

elevar la base a la potencia indicada, así:

2) Ahora multiplicamos potencias de la cantidad inicial:

(4 x 12) = 48

3) En éste caso, vamos a sumar los exponentes de las bases, debido a que cuando aplicamos potenciación en las bases, nos quedó como resultado   Notación Científica, pero ya que nos quedaron dos bases, lo que nos queda es sumar exponentes, cómo se detalla a continuación:

 

 

4) Y la respuesta final sería:  

Desarrollar

1) Pasamos a Notación Científica

2) Pasamos a multiplicar potencias:

3) Obteniendo como respuesta: 

 

En estos casos, el signo negativo siempre se mantiene con la base, sin perjudicar el

procedimiento de Exponentes.

CONVERSIÓN DE UNIDADES

 

En la mayoría de situaciones y por causa de diversas cantidades con unidades diferentes,

se requiere convertir la medición de una unidad en otra, por lo que mencionamos algunos

pasos que nos facilitarán el proceso de conversión.

1. Primero, debemos escribir la cantidad que deseamos convertir, lo podemos  

representar para mayor entendimiento por medio de un Diagrama. (Más adelante

se ejemplifica).

2. Se tienen que definir las unidades a convertir en las unidades requeridas.

3. Los factores de conversión tienen que ser recíprocos, uno del otro, por lo  

    que siempre existirán dos factores.

4. Se multiplicarán las cantidades a convertir por los otros factores (Tanto Numeradores

como Denominadores).

5. Se dividen los resultados dados en el paso anterior.

6. Y por último, se eliminan las unidades, quedando solamente las deseadas.

 En Mecánica, siendo una de las áreas principales de la Física, se utilizan ciertas    

Magnitudes Fundamentales que son indispensables para la mayor parte de las aplicaciones. Empezaremos a estudiar cada una de éstas magnitudes, con sus ejemplos

para mayor comprensión.

MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES

Desde las Sociedades Primitivas el hombre siempre tuvo la necesidad de medir,

por lo que utilizaban partes del cuerpo humano como la pulgada, palmada, pie, brazada; pero a

medida que se daba el intercambio económico entre los pueblos, se presentaba

el problema de no coincidir con los mismos patrones de medición, viéndose afectados

y obligados a la necesidad de crear un Sistema Internacional de Unidades.

 

El Sistema Internacional de Unidades conocido por sus Siglas (SI)

parte de las siguientes Magnitudes Fundamentales:

1. La Longitud.

2. La Masa.

3. El Tiempo.

4. La Carga Eléctrica.

También detallamos un Sistema de Unidades para cada una de las Magnitudes:     1) Sistema M.K.S = Metro, Kilogramo, Segundo.

2) Sistema C.G.S = Centímetros, Gramos y Segundo.

3) Sistema Inglés = Pie, Libras, Masa, Segundo.    

4) Sistema Técnico = Metro, UTM (Unidad Técnica de Masa), Segundo.

Ahora estudiaremos cada uno de las magnitudes con sus respectivos sistemas,

aplicando ejercicios de conversión.

UNIDADES FUNDAMENTALES DE LONGITUD

 

La Longitud como Magnitud Física se puede expresar por medio de ciertas unidades,

las cuáles poseen sus respectivas

equivalencias, describiremos algunas que nos facilitarán a la realización

de los ejercicios de conversión.

Ejemplos:

a) Convertir 2593 Pies a Yardas.

1. Antes de empezar, es necesario aclarar que algunas equivalencias no se encuentran en las unidades que  se requieren, por lo que es

necesario hacer dos o más conversiones para llegar a las unidades deseadas.

Ahora bien, para simplificarlo, lo trabajaremos como regla de tres representándolo de la siguiente manera:

2. ¿Cómo llegamos a ésta respuesta? Bueno, como se mencionó en el primer paso, empezamos a simplificar por medio de  regla de tres, nos damos cuenta que la

primera conversión realizada no se encuentra en las unidades requeridas, por lo que ha sido necesario primero convertir las unidades de pies a metros  y por último de metros a yardas,  las cuales son las unidades que deseamos.

3. Por medio del Diagrama se van tachando las unidades que no necesitamos hasta llegar las requeridas.

4. Como último paso, se multiplican las cantidades, es decir, los 2593 por la equivalencia 1.094 yardas ambas funcionando como Numeradores; luego multiplicamos

3.281 Pies x 1 Metro, funcionando como Denominadores.

5. Por último dividimos los resultados, el Numerador con el Denominador, es decir el resultado de multiplicar 2593 x 1.094 que es igual a 2836.74 entre el resultado de multiplicar 3.281 Pies x 1 Metro que es 3.281;  

obteniendo como resultado los 864.59 Yardas.

 

OJO! En el Diagrama únicamente eliminamos Unidades (pies, metros) no Cantidades, las cantidades se multiplican o se dividen según sea el caso.

       Veamos otro ejemplo:

b) Convertir 27,356 Metros a Millas            

1. Realizándolo por medio del Diagrama y Regla de Tres nos quedaría así:

  2. Aplicamos el mismo procedimiento, eliminando unidades hasta llegar a           las unidades requeridas.

    3. Luego multiplicamos las cantidades (27,356 x 1) como Numeradores y             (1000 x 1.61) como Denominadores.

    4. Procedemos a dividir 27,356 ÷ 1,610, obteniendo como respuesta 16.99          Millas.

UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASA

 

Al igual que las unidades de Longitud, también existen unidades de Masa.

Ejemplo:

a) Convertir 386 Kilogramos a Libras.

  1. Cómo en las Conversiones de Longitud, realizamos el mismo procedimiento. Vamos eliminando las unidades, 1 Kilogramo equivale a        1000 Gramos, 1 Libra equivale a 453.6 gramos.      2. Luego multiplicamos Numeradores (386 x 1000) = 386,000 y (1 x 453.6) = 453.6.                    3.  Por último dividimos los 386,000 ÷ 453.6, dándonos un resultado de 850.97 Libras. 

FACTORES DE CONVERSIÓN PARA ÁREA

 

Cómo en las demás magnitudes, también tenemos unidades para Área,

para mejor conocimiento las detallamos a continuación:

Ejemplo:

a) Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo. 1. Empezamos dibujando el Diagrama para guiarnos mejor

  2. Si nos damos cuenta las Unidades están dividas, es decir (Millas /Horas) por lo que tenemos que eliminar Unidades tanto en Nominadores como en Denominadores.

3. Siguiendo el mismo procedimiento realizamos las conversiones necesarias hasta llegar a las que deseamos. 4. Multiplicamos las cantidades de los Numeradores, nos da un resultado de 1771, y en los Denominadores 3600.

5. Ahora dividimos los resultados 1771 ÷ 3600, dándonos como respuesta 0.49 Metros / Segundo.  

FACTORES DE CONVERSIÓN PARA VOLUMEN

Describimos algunas Unidades de Conversión para Magnitud Volumen.

Ejemplo:

a) Un motor de un automóvil tiene un desplazamiento del émbolo de 1595 cm3 y un diámetro del cilindro de 83 Mm.  Expresar éstas medidas en Pulgadas Cúbicas y en Pulgadas.

1. Éste problema es diferente, pero siempre empezamos dibujando el Diagrama como guía.

       2.  En éste caso primero convertimos los 1595   en Pulgadas Cúbicas.

3. Eliminamos las unidades y hacemos las respectivas conversiones para empezar a multiplicar.

Dividimos respuestas (86,405,616 ÷ 1000,000).

   4.  Nos da una respuesta de 86.40 5.  Ahora pasamos los 83 mm. a pulgadas.  

 

UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPO

 

Ahora tenemos algunas Unidades de Tiempo:

Ejemplo:

a) Convertir 2,352 Segundos a Año.

      En éste caso, las conversiones son más largas, ya que se tienen

que convertir los segundos a minutos, minutos a horas, horas a días y días a

años que son las unidades que necesitamos.

    1. Detallamos las Unidades con sus respectivas Equivalencias.

    2.  Ahora multiplicamos los Numeradores (2,352 x 1 x 1 x 1 x 1) = 2,352.

    3.  Luego los Denominadores (60 x 60 x 24 x 365.2) = 31, 553,280

    4. Ahora dividimos 2, 352 ÷ 48,833,80

    5. Obteniendo como resultado 

 

La respuesta es un poco diferente, pero aún así siempre

se puede hacer uso de la Notación Científica.

CONVERSIÓN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS

la Conversión de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo quees la Trigonometría.

 * TRIGONOMETRÍA: Es la rama de la Matemática que estudia las propiedades y medidas de ángulos y triángulos. Para ello, es necesario apoyarnos con el Instrumento de la Calculadora y saber algunas

unidades de conversión, por ejemplo:

1° = 60 Minutos ( 60 ')

1 ' = 60 Segundos ( 60 '')

¶ Radianes = 180° ( El símbolo de ¶ Pi, utilizado en Matemática, tiene un valor numérico

de 3.1415927 aproximadamente de 3.1416

En una Calculadora Científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudarán a la

conversión de las Funciones Trigonométricas, como por ejemplo:

Grados: (D) (DEG)

Radianes: (R) (RAD)

Gradianes: (G) (GRAD)

Ahora veamos un ejemplo.

a) Convertir 18.4567 ° a Grados, Minutos y Segundos.

1. Como primer paso, tenemos que el número entero es de 18, éste nos equivale a 18°. 2.  Luego los decimales después del punto es necesario que los pasemos a minutos, así:

OJO! Eliminamos unidades iguales y dejamos únicamente la que nos interesa, es decir, los minutos.  

3.  Ahora, tomamos los decimales 402 y los pasamos a Segundos.

0.402 ' x 60 '' (Segundos)  = 24.12''

4.   Ahora unimos todas las respuestas quedándonos 18 ° 27' 24'', que se lee: 18 Grados, 27 Minutos y 24 Segundos

NOTA: Si nos damos cuenta en cada conversión trabajamos sólo con los decimales, manteniéndose únicamente el primer número entero que corresponde a los Grados.

Veamos otro ejemplo a la inversa.

b) Convertir 18° 27' 24'' a Grados    

1. En éste caso ya no son de Grados a Radianes, sino lo contrario, lo haremos llegar de Segundos, Minutos a Grados. Convertimos los Segundos a Minutos:         

     2.  Ahora los 27 Minutos le adicionamos éstos 0.4 minutos y lo convertimos en Grados.

      3. Sumamos las Unidades Equivalentes, es decir, los 0.456 ° +

la cantidad entera 18° quedándonos como respuesta 18.456 ° Grados.