Guia 2 Integral Definida

2007

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE

VICERRECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

SECCION DE MATEMTICA ASIGNATURA : MATEMTICA II

CAPITULO 2

INTEGRAL DEFINIDA

Lic. ELIZABETH VARGAS

CIUDAD GUAYANA 2007

CAPITULO 2. Integral Definida Lic. Elizabeth Vargas

2007

2

2.1 PARTICION DE UN INTERVALO CERRADO

El objetivo de este captulo es definir la integral segn Riemann, analizar sus propiedades y aplicar el 7HRUHPD )XQGDPHQWDO GHO &iOFXOR ,QWHJUDO. Para ello, es necesario realizar un trabajo previo con el clculo de reas de ciertas regiones en el plano, lo cual involucra los conceptos de sumatorias, particin de un intervalo cerrado y limite. En el Apndice A se da un resumen sobre las sumatorias.

Definicin 2.1 Particin de un intervalo cerrado

Sean el intervalo [a, b] , P [a, b] tal que P = {x0, x1, ..., xn-1, xn}. 3HVXQDSDUWLFLyQGH>DE@ si se cumple que: a = x0 < x1 < ...< xn-1 < xn = b . A los xi se les llama QRGRVRHOHPHQWRVGHODSDUWLFLyQ.

NOTAS: i) La particin P determina n subintervalos cerrados de [a, b] de la forma :

[a, x1] , [x1, x2] , ..., [xn-1, b] . La longitud del i-simo subintervalo [xi-1, xi] es xi = xi xi-1 , i = 1,2,..., n, adems

abxin

i=

=1. La mayor de estas longitudes se le llama QRUPDGHODSDUWLFLyQP y se

denota por P : { }nixmxP i ,...,2,1: == .

ii) Si la participacin P determina n subintervalos de igual longitud, se dice que3HVXQDSDUWLFLyQUHJXODUdel intervalo [a, b] y su norma es h = (b-a)/n. En este caso, los nodos se hallan as: x0 = a , x1 = a + h , x2 = a + 2h , ... , xi = a + i.h , ... , xn = a + nh = b.

En una particin regular los nodos estn igualmente espaciados.

iii) Si los elementos de una particin de un intervalo cerrado [a, b] con 0 < a < b , forman una progresin geomtrica de razn r se cumple que:

x0 = a, x1 = ar ,..., xi-1 = ari-1

, xi = ari ,... , xn = ar

n = b

De arn = b se obtiene na

br = ( as se calcula la razn ) y la longitud de cada

subintervalo es : )1(111 === rarararxxx iiiiii , de manera que :

.,...,2,1,1. nir

rarx ii =

= Esta particin no es regular y se cumple que :


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3

x1


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4

=

49

45

3 ,I y 13 =x ,

= 3

49

4 ,I y 7504 ,=x

Luego { } ;,;;,;, 1750125050 == mxP la particin P no es regular.

2) Determine una particin regular del intervalo [1,5] con 9 nodos.

Solucin: Como la particin tiene 9 nodos entonces hay 8 subintervalos: n = 8, la norma

de la particin es 21

815

=

=P y los elementos de la particin son:

= 5,29

,4,27

,3,25

,2,23

,1P

EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1

Sea { }niixP 0== una particin del intervalo [a , b]. Decida si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) n

abP = b) Pn

ab c) Si +n entonces 0P

b) Si 1= iii xxx , entonces ixP , para todo i = 1,2,..., n. c) Si 0P entonces el nmero de subintervalos de la particin tiende a infinito.

2.2 SUMA DE RIEMANN

Sean f una funcin definida en un intervalo cerrado [a,b] y { }niixP 0== una particin del intervalo [a,b] . Se define una VXPD GH 5LHPDQQ GH OD IXQFLyQ f FRQ UHVSHFWR D OD

SDUWLFLyQPcomo: =

=n

iii xcfPfS

1).(),( (2.3)

donde [ ] nixxxxxc iiiiii ...,,,,, 2111 == .

Observaciones: a) f no necesariamente es continua en el intervalo [a,b]. b) La funcin f puede tomar valores positivos, negativos o cero en [a, b]. c) ci es cualquier punto en el subintervalo [ ] niconxx ii ,...,,,, 211 = d) Geomtricamente de S(f, P) se interpreta as:


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5

En cada subintervalo se construyen rectngulos de base ix y altura f (ci). Si f (ci) > 0, el rectngulo queda por encima del eje X y su rea es f (ci). ix . Si f (ci) < 0, el rectngulo se encuentra por debajo del eje X, entonces f (ci). ix


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6

Las otras sumas generadas con (2.3) se denominaran sumas intermedias de Riemann Ejemplo 2.2 Sean 2

218 xxf =)( , P = { 0; 1,5 ; 2,5 ; 4,5 ; 5 ; 6 } una particin del

intervalo [0,6]. Calcule la suma de Riemann asociada a P usando a ci como el punto medio de cada subintervalo. Solucin En el siguiente cuadro se resumen los clculos:

Intervalo ci f(ci) ix f(ci). ix [ 0, 1.5 ] 0,75 7,71875 1,5 11,578125

[ 1.5, 2.5 ] 2 6,00000 1,0 6,00000

[ 2.5, 4.5 ] 3,5 1,8750 2,0 3,7500

[ 4.5, 5 ] 4,75 -3,28125 0,5 -1,640625

[ 5, 6 ] 5,5 -7,12500 1,0 -7,12500

La grfica de f se muestra a continuacin:

Ejemplo 2.3 Sean f(x) = [I x I] +2, x [-3, 3] y la particin P = {-3, -1, 0, 2, 3} del intervalo [-3, 3]. Halle la suma de Riemann asociada a P usando los siguientes valores para Ci : -2,5 ; -0,5 ; 1 ; 2,5 .

Solucin: La siguiente figura ilustra la grfica de f (x) =[I x I] + 2 con los correspondientes rectngulos asociados a la particin P y a los ci :

Luego , la suma de Riemann es :

=

==5

1562487512

iii xcfPfS ,).(),(

0 1.5 2.5 X

Y

5 6 4.5


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7

Ejemplo 2.3. Sea f definida por f(x) = x2 , con x en el intervalo [0,2] . Usando particiones regulares halle : a) Sumas inferiores b) Sumas superior c) Sumas intermedias. Solucin: Se toma una particin regular del intervalo [0,2] con n subintervalos, por lo que

nx

2= y los elementos de la particin son:

2212420 1210 ==

==== nii x

n

ix

n

ix

nx

nxx ,...,,

)(...,,,,

Como f es creciente en [0,2] entonces f es creciente en cada uno de los subintervalos [ ]ii xx ,1 , por lo tanto f(xi-1) es el valor mnimo y f(xi) es el valor mximo. Clculo de las sumas inferiores: ( ver grfico (2.2 a) ) :

( )====

+=

=

==

n

i

n

i

n

i

n

iin ii

nnn

inn

ifxxfs1

23

12

2

111 12

8214212.

)(.

)().(

Aplicando las frmulas especiales de sumatoria , se obtiene la siguiente expresin para

las sumas inferiores :

+= 2

13234

nnsn (2.4)

Clculo de las sumas superiores: ( ver grfico (2.2b ) :

6121882422

31

23

12

2

11

))((...).( ++===

== ====

nnn

ni

nnn

inn

ifxixfnSn

i

n

i

n

i

n

i

Simplificando se obtiene : 2344

38

nnSn ++= (2.5)

Tomando las sumas intermedias: en este caso vamos a tomar el punto medio de cada

subintervalo: el punto medio de cada subintervalo [xi-1, xi] es 21 ii

ixx

c+

= ; pero

n

ixi

)1(21

=

y n

ixi

2= por lo tanto

n

ici

12 = ; luego :

La suma de Riemann asociada a la particin P usando los puntos dados, es:

S(f, P) = f(-2,5)2+f(-0,5)1+f(1)2+f(2,5)1 = -2 +1 + 6 + 4 = 9

4 3

2


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8

= =

=

==

n

i

n

ii

nnn

ifxcfS1 1

232

38212

.).( (2.6)

En particular, si n = 5 la particin regular del intervalo [0, 2] tiene 5 subintervalos por lo tanto x = 2/5 , x0= 0, x1= 2/5, x2 = 4/5, x3 = 6/5, x4 = 8/5, x5 = 2 .

Si en (2.4), (2.5) y ( 2.6) se sustituye n = 5 se obtiene 2588

2548

55 == S,s , 2566

=S

cumplindose: s5 < S < S5 . A continuacin se muestran los grficos con n=5:

Y Y

0 2/5 4/5 6/5 8/5 2 X 0 2/5 4/5 6/5 8/5 2 X

Figura 2.2.a Suma inferior Figura 2.2.b Suma superior

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS SUMAS SUPERIORES E INFERIORES. 1) Si f es una funcin continua en [a, b] tal que f(x) 0 para todo x [a, b] y niixP 0}{ == es una particin de [a, b] entonces: m(b-a) sp Sp M (b-a) , donde, m y M son los valores mnimo y mximo absolutos de f en [a, b], respectivamente; sp y Sp representan respectivamente , la suma inferior y la suma superior de la funcin f asociadas a la particin P. 2) Si P y P* son dos particiones del intervalo [a, b] tal que P* es un refinamiento de P entonces se cumple que: aumentan las sumas inferiores y disminuyen las sumas

superiores. Es decir: ps *ps ; *pS pS

2.3 INTEGRAL DEFINIDA

Definicin 2.3 Sea f una funcin definida en un intervalo cerrado [a, b]. La integral definida de f entre a y b , se denota por ba dxxf ,).( y se define as:

==

ba

n

iii

Pxcfdxxf

10).(lim).( (2.7)

siempre que este lmite exista , niixP 0}{ == es una particin de [a, b] , ci [xi-1, xi].


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9

NOTAS: 1) Si el lmite anterior existe entonces es nico y representa el valor de la integral, por lo que se dice que IHV LQWHJUDEOHHQ [a, b] o OD LQWHJUDOGHILQLGDGHIHQWUHD\EH[LVWH

2) El nmero a se llama OtPLWHLQIHULRU y el nmero b OtPLWHVXSHULRU. 3) La definicin no exige que f sea continua en [a,b], ni que f(x)0 para todo x[a,b]. 4) La igualdad (2.7 ) significa que: para todo > 0 existe > 0 tal que para cualquier particin P de [a, b] para la cual


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10

Ejemplo 2.4 Usando la definicin 2.3 , calcule ( ) dxx .

2

23 1

Solucin. Sea { }niixP 0== una particin regular de intervalo cerrado [-2, 2], por lo que

nx

4= ,

n

ixi

)1(421

+=

,

n

ixi

42 += , ii xC = , luego:

( )

+=

=+

n

in nnifdx.x Lim

1

22

3 4421

+=

=+

n

in nni

Lim1

3 4142

Aplicando las propiedades de las sumatorias y las frmulas especiales de sumatorias se

obtiene: ( ) 4432122

3=

=

ndxx nlim. NOTA: a) Si f es una funcin continua en [a, b] tal que tal que f(x) 0 para todo x [a, b]

entonces ba dxxf )( representa el rea A de la regin limitada por la grfica de f, el eje X y las rectas x = a y x = b. Esto es: = ba dxxfA ).( b) Si f es continua en [a, b] tal que 0)( xf para todo x [a, b], entonces el rea de la regin limitada por la grfica de f , el eje X y las rectas x = a y x = b viene dada por:

= ba dxxfA ).( Ejemplo 2. 5 Sea la regin R acotada por la grfica de f(x) = x2, el eje X y las rectas x=0, x=2. Halle el rea de la regin R.

Solucin: Como el rea de la regin A viene dada por = ba dxxfA ).( , entonces el proceso para calcular reas es el mismo que el de calcular integrales definidas. En el ejemplo 2.3 se calcularon las sumas superiores, inferiores e intermedias de f en el intervalo [0,2] , por lo que aprovecharemos esos resultados para calcular el rea usando sumas superiores, inferiores e intermedias:

Usando las sumas inferiores:

+= 2

13234

nnsn

Luego , el rea de la regin R es: 38

344

38

21

1 =

+=

=

=

nnLimxxfLimAn

n

ii

n).(


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11

Usando las sumas superiores: 2344

38

nnSn ++=

Luego, el rea de la regin es: 38

344

38).( 2

1=

++=

=

=

nn

LimxxfLimAn

n

ii

n

Tomando las sumas intermedias: = =

=

==

n

i

n

ii

nnn

ifxcfS1 1

232

38212

.).(

De all: el rea de la regin es 38

32

38).( 2

1=

=

=

=

n

LimxcfLimAn

n

ii

n

En cualquier caso el rea de la regin es 38

=A , esta no depende de la eleccin de los ci.

Definicin 2.4

i) Si a > b entonces =ba ab dxxfdxxf ).()( , siempre que ambas integrales existan. ii) Si f (a) existe entonces =aa dxxf 0)(

Teorema 2.1 Integrabilidad de las funciones continuas

Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

El teorema anterior da condiciones suficientes pero no necesarias para que f sea integrable en [a, b]. Es decir, Si f es continua en [a, b], el teorema 2.1 asegura que

ba dxxf )( existe. Es posible que f sea discontinua en el intervalo [a, b] pero f sea integrable en [a, b] .

Ejemplo 2.4 Sea f definida por

=

=

01

012

x

xxxf,

,

)( Es f integrable en [0, 1] ?

Solucin: La grfica de f se muestra a continuacin

Observe que f tiene una discontinuidad infinita en x = 0 y f no es acotada [0, 1].

xi-1 xi


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Para verificar si f es o no integrable en [0, 1] se procede as: se toma una particin P del intervalo [0, 1] : 1,...,,1,...,1,0 110 ==

=== nii x

n

ix

n

ix

nxx . Luego :

10 )( dxxf =n

Lim =

n

jjj xcf

1).( =

nLim

=

n

j nin

12

2 1. =

nLim

+++ 2

1...

411

nn = + .

Esto significa que la suma de Riemann se hace arbitrariamente grande; por lo tanto f no es integrable en el intervalo [0 , 1], ni es integrable en cualquier intervalo cerrado que contenga al cero.

Del ejemplo anterior se deduce que:

S f no es acotada en [a , b] entonces f no es integrable en [a, b].

Ejemplo 2.5 Sea

=

Ix

Qxxf

,0

,1)( Es f integrable en [0, 1] ?

Solucin: La funcin f es acotada en [0, 1]. Sea { }niixP 1== una particin regular de [0, 1]. S ci Q para i = 1, 2, ..., n, entonces f(ci) = 1, luego:

( )

= =

n

i

x).(fP,fS1

ic =

=

n

i n1

1.1 = 1

S ci I para i = 1, 2, ..., n , entonces f(ci ) = 0 y ( ) 0).c (,1

=

= =

n

ii xfPfS

Luego +n

Lim S(f , P ) no existe, por lo tanto f no es integrable en [0, 1].

Este ejemplo nos permite concluir que una funcin acotada en un intervalo [a, b], no necesariamente es integrable

Teorema 2.2 . Si f es integrable en [a, b] entonces f es acotada en [a, b].

Teorema 2.3. S f es acotada y continua en un intervalo [a, b] , salvo en un subconjunto numerable de [a, b] , entonces f es integrable en [a, b].

OBSERVACIONES: i) Un conjunto D es numerable si existe un subconjunto M de los Nmeros Naturales y una funcin biyectiva G :M D.

iii) El teorema 2.3 nos proporciona un grupo especial de funciones que son integrables en un intervalo cerrado [a, b] , entre estas funciones se encuentran: la funcin parte entera, la funcin signo, algunas funciones escalonadas, entre otras.


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En el siguiente diagrama se establece la relacin entre las funciones integrables, las funciones derivables , las funciones continuas y las funciones acotadas.

funciones acotadas

funciones integrables

funciones continua

funciones derivables

Ejemplo 2.6 Demuestre que f(x) = [x] es integrable en

23

21

, , y halle 232

1 dx).x(f .

Solucin: f tiene un solo punto de discontinuidad en

23

21

, , el cual es x=1, f es acotada

en

23

21

, . Se toma una particin regular de

23

21

, con n subintervalos : n

x1

= ,

n

ix i += 2

1 . Se debe probar que

=+

n

ii

n

x).c(fLim1

existe.

CASO 1: n es par : los nodos son 231

21

122

12

10 =


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14

CASO 2: n impar : los nodos son 23

21

23

21

2110 =


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En este caso no conviene trabajar con particiones regulares. Para resolver este problema

se toma la particin del intervalo [0 , 1] dada por 33

n

ixi = , i = 0 , 1 ,2, ..., n . Note que

esta particin no es regular, la longitud de cada subintervalo se calcula as :

xi = 32

3

3

3

3

11331

n

iin

in

ixx ii

+=

=

)(. Para calcular la integral se elegir ci = xi , por lo

tanto: 10 3 dxx

+

= =

n

in n

iin

ifLim1

3

2

3

3 )133(.

Simplificando se obtiene: 10 3 dxx 43

41

21

43lim 2 =

+= nnn

. Este valor representa el

rea de la regin limitada por la curva de 3)( xxf = , el eje X y las rectas X=0 y X=1.

Se deja al lector repetir los clculos usando ci = xi-1 y ci el punto medio de [xi-1, xi].

b) Calcule :dxeba

x para ello procedemos as: Sea P una particin regular de [ ] h

n

abxba ==:, entonces ax =0 ,

( )hiaxi 11 += , bxihax ni =+= ,..., . Elegir ( ) ihaiii ecfihaxc +=+== , Calcular: Sn = ( )

=

n

ii xcf

1:

Sn = ( ) ( ) ( ) ==

+

=

=

=n

i

ihan

i

ihan

ii ee

n

abn

abexcf

111

Sn( ) ( ) ( )( )hnhhhanhhha eeeee

n

abeeee

n

ab 122 1 ++++=+++=

La expresin entre parntesis es una progresin geomtrica de razn he y su primer

trmino es 1, nos interesa calcular : S = ( )hnh ee 11 +++ Multiplicando ambos miembros por he : nhhhh eeeSe +++= 2

Restando S - Seh y despus despejando S se obtiene: hnh

e

eS

=

11

Luego: ( ) ( )hnhhani

ine

eee

n

abxcfS

== = 1

1.

1 pero

n

abh =


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( ) ( ) ( ) ( )( )

=

==

=

n

n

ab

aba

n

abn

aba

n

iin abab

e

e.n

ab.ee

e

e.ee

n

abxcfS

1

1

1

1

1

Ahora vamos a calcular nn

ba

x SLimdxe+

= :

( )n

ab

n

ababa

n

ba

x

e

en

abee

Limdxe

+

=1

1 ( )

( )

n

ab

n

n

ba

e

en

ab

Limee

ab

+

=

1

Para calcular este lmite hacer: ,n

abz

= por lo tanto cuando +n entonces

0z , luego :

( ) ( )z

e

eLimeee

zeLimeedxez

z

z

baz

z

z

baba

x

=

=

11 00( )( )1= ba ee

As abba

x eedxe = c) Usando la definicin calcule badxxb

a


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Restando nS. - nSr .23

y luego se despeja nS obtenindose:

( )

1

1

1 23

23

23

23

23

231

=

=

+

r

rr

r

rrS

n

n

n

Luego: ( ) ( ) ( )1

1

1

1

11

23

23

21

23

23

23

1

=

==

r

r

rraa

r

r

rr

raaxcf

nn

n

iii

( )1

1.1

23

23

21

=

r

rrraa

n ( )1

1.1.

23

23

21

=

r

r

a

braa

n

n

( )1

1.1

23

21

=

r

rr

aa

bbaa

As ( ) ( ) ( )1

1.

23

21

1

===

r

rraabbxcf

n

iii . Para calcular: ( )

=+

n

iii

nxcfLim

1: se hace

221

trasrt == , ++= ncuandotynsa

br n 11

Luego ( ) ( ) ( )( )( )( ) 3211 11111

1213

2

123

21

=

++

+

=

+ ttttttLim

tttLim

r

rrLimttn

De all que ( ) =ba aabbdxx 32 d) =ba badxxsen )cos()cos(.)( . Solucin. Sea P una particin regular de [a, b] , entonces

n

abhx == , elegir


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ci= xiaxi += . , entonces: ==

+==n

ii

n

ii hhiafxcfpfS

11)..()(),( =

=

+n

ihiasenh

1).(

[ ])())((....)()(.),( nhasenhnasenhasenhasenhpfS ++++++++= 12 Multiplicando ambos miembros por ( )22 hsen. resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ])()(...)(),( nhasensenhnasensenhasensenhpfSsen hhhh ++++++= 2222 21222 (2.12)

Aplicando la frmula : 2.sen(u).sen(v) = cos(u-v) cos(u+v) en el lado derecho de (2.12) resulta:

( ) ( )

++

+++

+

+=

2

122

122

322

2 hnahnahahahpfShsen coscos...coscos),(.

La suma que esta entre corchetes es una suma telescpica, por lo que se obtiene:

( )

++

+=

2

1222

2 hnahahpfShsen coscos.),(..

De donde: ( )

++

+

= 212

22

2

hna

ha

hsen

hpfS coscos.

),(

Pero ( )22

.12 hbhna +=++ , entonces :

+

+

= 222

2

hbhah

sen

hpfS coscos.

),(

Tomando lmite cuando +n se obtiene: )cos()cos(),( bapfSLimn

=

+, con lo que se

demuestra que: =ba badxxsen )cos()cos(.)( . 2) Sea la regin R limitada por la grfica de 1= xxf )( , el eje Y, el eje X y la recta x = 2. Halle el rea de la regin usando : a) Suma inferior b) Suma superior .

Solucin: En la figura 2.3 observe que: i) En el intervalo [0, 1] la regin esta limitada por las rectas y = -x + 1, y = 0, x = 0 y x = 1, adems la funcin es decreciente. ii) En [1,2], f es creciente y la regin esta limitada por x = 1, x = 2, y = x-1, y = 0. Por lo que el intervalo [0,2] se divide en [0,1] y [1,2] y se trabajar, por separado, en cada uno de ellos.


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Figura 2.3

i) Clculo de las sumas superiores e inferiores de f en [0,1]:

Sea n

ix,

n

ix,

nx ii =

==

111 , por ser f decreciente en [0,1] entonces f(xi-1) es el

mximo y f(xi) es el mnimo en cada subintervalo [xi-1, xi]. Luego:

[ ]

[ ] ( )nn

nin

.

n

ifx).x(fS

nn.

n

in

.

n

ifx).x(fs

n

i

n

i

n

ii,

n

i

n

i

n

ii,

21

21111

21

21111

1 12

1110

11 110

+=++

=

==

=

+=

==

= ==

== =

ii) Calculo de las sumas superiores e inferiores de f en [1,2]:

Sean )x(f;x...,,n

ix,

n

ix...,,

nx,x,

nx inii 1110 21

111111

=+=

+=+=== y

f(xi) representan , respectivamente , el mnimo y el mximo de f , por lo que:

[ ]nnn

in

.

n

ifx).x(fsn

i

n

i

n

ii,

21

2111111

1 1 1121 =

=

+==

= = =

[ ] ==

+=

+==

n

i

n

ii,

nn.

n

ifx).x(fS11

212

12111

Luego , la suma inferior viene dada por s= s[0,1] + s[1,2] = 1 1/n , y la suma

superior es: S = S[0,1] + S[1,2] = 1 + 1/n . En cualquier caso se cumple que :

11111 =

+=

=

nLim

nLimA

nn

Suma inferior

Suma superior

1 2 X

Y

Nota: La regin R que se muestra en la

figura 2.3 se subdivide en dos regiones que

son congruentes, por lo que se puede

calcular el rea de una sola regin y

despus se multiplica por dos, para

obtener el rea de la regin R.


2007

20

EJERCICIOS PROPUESTOS 2.2 1) En cada caso , halle el rea de la regin indicada usando: i) Sumas inferiores ii) Sumas superiores iii) Sumas intermedias Las regiones son : a) f(x) = 100 3x2, x = 1, x = 5, y = 0

b) f(x) = x3 + 1, x = 1, x = -1, Eje X c) f(x)= 12 x , x= -1, x=1 , y=0

2) Use la definicin de integral definida para demostrar que el rea de un tringulo de base b y altura h es

2.hb

.

3) Usando sumas de Riemann calcule el valor de las siguientes integrales +ba dx)xx()a 2 dx)xx()b 3431 2 + ba dxx)c 1 con 0


2007

21

10) Sea f definida por f(x) = x3 1 Graficar f Usando la definicin de integral definida, calcule el rea de la regin limitada por

la grfica de la funcin y las rectas x = -3, x = 1, y = 0

Calcule el valor de

13 dx)x(f

11) Sea f definida por [ ]012 ,xconxx)x(f += Graficar f

Usando la definicin correspondiente, calcule dx.)x(f

01

Calcule el rea de la regin limitada por la grfica de y= )x(f y las rectas y =0 , x= -1 y x=0 ?

2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Teorema 2.4 Si k es cualquier constante, entonces =ba abkdxk ).(.

Demostracin. Sean f definida por f(x) = k , para todo x [a, b] y P una particin de [a, b], entonces:

)().(. abkxkxkxcfdxkn

ii

P

n

ii

P

n

iii

P

ba

LimLimLim =

=

=

= =

=

= 101010

Luego: =ba abkdxk )(. Si k > 0 entonces ba dxk. representa el rea del rectngulo acotado por las rectas y = k, y = 0, x = a , x = b. Teorema 2.5 Si f es integrable en [a, b] y c es cualquier constante real entonces cf es integrable en [a, b] y se cumple que : =ba ba dxxfcdxxfc ).().(

Demostracin. Sea P una particin de [a, b], y ]iii xxw ,[ 1 entonces

( ) ( )

=

= =

=

i

n

iiP

n

iiiP

ba

xwfLimcxwcfLimdxxfc .)(..)()(.1010

(2.13)

Como f es integrable en [ a, b ] entonces el limite en (2.13) existe y vale ba dxxf )( . Por lo tanto ( ) = baba dxxfcdxxcf ).(.)( .


2007

22

Teorema 2.6 Si f y g son funciones integrables en un intervalo cerrado [a, b] entonces f + g y f g son integrables en [a, b] y se cumple:

( )( )

=

+=+

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxfii

dxxgdxxfdxxgxfi

).().(.)()()

).().(.)()()

El teorema anterior se puede extender a una suma de cualquier nmero finito de funciones. As: si f1 , f2 , ..., fn son integrables en [a , b] entonces (f1 + f2 + ... + fn ) es integrable en [a, b] y se cumple que:

( ) ++=++ ba nbaba n dxxfdxxfdxxfxf ).(...).(.)(...)( 11

Teorema 2.7 Si f es integrable en [a , b] y c[a , b] entonces +=ba ca bc dxxfdxxfdxxf ).().().(

Geomtricamente esta igualdad se puede interpretar as: en la siguiente figura se muestra la regin R limitada por la grfica de la funcin continua y = f(x) , f(x)>0 en [a , b] y las rectas x = a , x = b , y = 0:

Demostracin Si a, b, c son tres nmeros diferentes , se cumple que:

(i) a < b < c (ii) a < c < b (iii) b < a < c (iv) b < c < a (v) c < a < b (vi) c < b < a

Y y = f (x) La recta x = c divide a la regin R en

dos regiones R1 y R2, por lo tanto el

rea de la regin es : 21 RRR AAA += .

Lo cual equivale a:

+= bcba ca dxxfdxxfdxxf ).().().(

a c b X

R2 R1

El siguiente teorema es una generalizacin del teorema anterior.

Teorema 2.8 Si f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los nmeros a,

b, c entonces +=ba ca bc dx).x(fdx).x(fdx).x(f , independientemente del orden entre a, b y c.


2007

23

La demostracin se har para el caso (i) : sean a < b < c entonces, por el teorema 2.7 se tiene que :

+=ca ba cb dxxfdxxfdxxf ).().().( De all que =ba ca cb dxxfdxxfdxxf ).().().( Lo cual equivale a +=ba ca bc dxxfdxxfdxxf ).().().(

Se deja como ejercicio los casos restantes.

Teorema 2.9 Si f es integrable en [a, b] y f (x) 0 para toda x [a, b] entonces

0).( ba dxxf .

Teorema 2.10 Monotona de la integral definida Si las funciones f y g son integrables en [a, b] tal que f (x) g(x) para todo x[a , b] entonces baba dxxgdxxf ).().( (2.14)

Demostracin. Como f y g son integrables en [a , b] entonces (g f) es integrable en [ a , b ]. Por hiptesis se tiene que f (x) g (x) para todo x [ a , b] entonces g (x) f(x) 0 para todo x [a, b]; luego aplicando el teorema 2.9 se tiene que:

( ) 0)()( dxxfxgba , de donde dxxgdxxf baba ).().( .

Geomtricamente el teorema 2.10 se puede interpretar as: si f y g son funciones continuas en [a, b] y se cumple que 0 f (x) g(x) para todo x [a, b] . El rea de la regin bajo la grfica de f , entre x = a y x = b no supera el rea de la regin limitada por la grfica de g, el eje X, x = a , x = b. ( en la figura 2.8 el rea de la regin sombreada es ( )dx.)x(f)x(gb

a ).

y = g (x) Y

y = f (x)

a b X Figura 2.8


2007

24

Teorema 2.11 Propiedad de acotamiento de la integral definida.

Si f es integrable en [a, b] , m y M son respectivamente los valores mnimo y mximo absolutos de f en [a, b], entonces se cumple que: ba abMdxxfabm )().()( (2.15)

Demostracin Como m y M son , respectivamente , los valores mnimo y mximo absolutos de f en [a, b] se tiene que: m f (x) M , para todo x [a, b]. Aplicando el teorema 2.10: ba ba ba dxMdxxfdxm ).( . Aplicando el teorema 2.4 se obtiene:

ba abMdxxfabm )().()( .

Figura 2.9

Teorema 2.12 Teorema del valor medio para integrales

Si f es una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un nmero c en [a, b] tal que )).(().( abcfdxxfb

a= . (2.16)

Demostracin. i) Si f es constante en [a , b] entonces f (x) = d , para todo x[a , b]. Luego

=ba abddxd )(. . En este caso el c que garantiza el teorema 2.12 puede ser cualquier nmero en el intervalo [a, b]. ii) Supongamos que f no es constante en [a, b]: como f es continua en [a, b] entonces f alcanza su valor mximo absoluto (M) y su valor mnimo absoluto (m) en [a, b]. Luego : m f (x) M para todo x [a , b] . Por el teorema 2.11 se concluye que:

ba )ab(Mdx).x(f)ab(m . De all: Mabdx).x(f

m

ba

.

El teorema 2.11 , geomtricamente se puede interpretar as: sea f continua en [a, b] tal que f (x) 0 para todo x [a, b] ;

entonces ba dxxf ).( representa el rea bajo la curva y = f(x) entre a y b. Esta rea es mayor que el rea del rectngulo abBA y menor que el rea del rectngulo abCD (ver figura 2.9 ).

Y

M

m

a b

D C

A B


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25

Sean m = f(xm), M = f (xM) , xm , xM [a, b] , abdx).x(fb

a

= , entonces f(xm) f(xM) y por el teorema del valor intermedio para funciones continuas se concluye que existe un c comprendido entre xm y xM tal que f(c) = . De donde se deduce que existe c [a, b]

tal que f (c) =abdx).x(fb

a

. Luego se concluye que:

)ab).(c(fdx).x(fba

= . OBSERVACIONES:

i) El valor de c referido en el teorema anterior no necesariamente es nico.

Y y = f(x)

f(c)

a c b X Figura 2.10

Definicin 2.5 Si la funcin f es integrable en [a, b], el valor promedio o valor medio de f

en [a, b] es: abdx).x(fb

a

(2.17)

Observe que:

i) Si f es continua en el intervalo [a, b] , la expresin (2.17 ) representa el f (c) del teorema del valor medio para integrales. ii) Sea P es una particin regular del intervalo [a, b] con n subintervalos, y ci [xi-1, xi], i = 1, 2, ..., n . El valor promedio de las f (ci) es: ( ))(...)(1 1 ncfcf

n++ , multiplicando y

dividiendo por (b a), y reordenando los trminos resulta: =

n

!ii n

)ab().c(f.ab

1

Pero xn

ab = , luego x).c(f.

abn

ii

=1

1. Tomando lmite cuando n + se

obtiene :

=

+

n

ii

nx).c(fLim.

ab 11

, lo cual equivale a

ba

dx).x(f.ab

1 .

ii) El teorema del valor medio para integrales para el caso en que f es continua y f (x) 0 para toda x[a, b] se puede interpretar geomtricamente as: este teorema garantiza la existencia de al menos un nmero c [a, b] tal que el rea de la regin limitada por y = f(x) , x = a , x = b e y = 0, es igual al rea del rectngulo de base (b - a) y altura f (c).


2007

26

EJERCICIOS RESUELTOS 2.4

1) Hallar un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dxxx )168(0

4

24 +

Solucin: Sea f (x) = x4 8x2 +16, f '(x) = 4x (x2 4). As , los nmeros crticos de f en [-4, 0 ] son x = 0, x = -2, luego: f (0) = 16 , f (-4) = 144 , f (-2) = 0. Por lo tanto M = 144 , m = 0. Aplicando el teorema 2.11 resulta:

( ) 576401441684000 04

24=+++=

).().( dxxx

El valor de la integral ( ) dxxx

+0

4

24 168 esta comprendido entre 0 y 576.

2) a) Halle el valor promedio de la funcin f (x) = x3 1 en [-2, 2]. b) Halle el valor de c en [-2, 2] en el cual f(x) es igual a su valor promedio.

Solucin: a) El valor promedio Vp de f en [-2, 2] es igual a: ( )

)( 221

2

23

=

dxxVp .

Pero ( )

=

2

2

3 41 dxx , luego: 144

=

=pV . As, el valor promedio de f en [-2, 2] es 1.

b) Para hallar el valor de c [-2, 2] para el cual f (c) es igual a su valor promedio ,

se

resuelve la ecuacin f (c) = -1 , esto es c3 1 = -1 , de donde c = 0.

3) Sea f una funcin cuya representacin grfica se muestra a continuacin Y 2 y = f (x)

1 5 6 8 -2 1 2 4 X -1

a) Halle

8

2)( dxxf .

b) Halle el rea de la regin limitada por la grfica de f , el eje X y 2 x 8. c) Son iguales los resultados obtenidos en (a) y (b)?, Por qu?. d) Halle el valor promedio de f en [-2, 8]. Existe c [-2, 8] tal que f (c) es igual al valor promedio de f ?.

Solucin:

+++++=

54

85

02

10

21

42

82

dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f)a


2007

27

Del grfico se tiene que:

3)(02

=

dxxf (rea de un trapecio)

==10 21 23)()( dxxfdxxf (rea de un trapecio) =42 2dxxf )( (rea de un rectngulo) =54 21dxxf )( (rea de un tringulo) =85 23dxxf )( (rea de un tringulo , cambiada de signo).

Luego:

=++++=8

27

23

212

23

233dxxf )(

b) El rea de la regin limitada por la grfica de f y las rectas x = -2 0, x = 8 , y = 0 se calcula as:

=

==

52

85

1023

217dxxfdxxfA )()(

c) Los resultados obtenidos en (a) y (b) son distintos, esto se debe a que la integral definida

8

2)( dxxf

no representa el rea bajo la curva , pues f(x) toma valores positivos y negativos en el intervalo [-2, 8] .

d) El valor promedio de f en [-2, 8] es igual a : 107

28

8

2=

=

)()( dxxf

Vp

Sea c [-2, 8] tal que 107

=)(cf , de all que c (4 , 5) .

4) Sin calcular el valor de la integral , demuestre que:

9

52

110 dx

x (2.18)

Solucin: Sea 312

11

1

)()(',)(

=

=

xxh

xxh . Note que h'(x) < 0 para todo

x[5, 9], por lo que h es decreciente en [5, 9]. Luego, h alcanza su valor mximo absoluto en x = 5 y su valor mnimo absoluto en x = 9 ; as: M = h(5) = 0.5 ,

2219 == )(hm .

Aplicando el teorema 2.11 se obtiene la desigualdad ( 2.18 ):

9

52

110 dx

x


2007

28

2.5 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL.

Hasta los momentos se ha trabajado con integrales definidas cuyos limites superior e inferior son fijos. En esta seccin se considera integrales definidas con uno o ambos limites de integracin variables. Por ejemplo: +xa bx xx drrfdrrfdrrf 1

2

).(,).(,).( donde a, b son fijos , x es una variable , f continua . Este tipo de integrales definen funciones reales de variable real. As: = xa drrfxG )()( define una funcin cuyo dominio es [a, b]. Note que == aa drrfaG 0)()( y = ba drrfbG ).()( . Si f es no negativa y continua en [a, b], el valor G(x) representa la medida del rea bajo la curva y = f (r) y las rectas r = a, r = x, r = 0, la cual varia a medida que varia x.

Teorema 2.13 Primer teorema fundamental del clculo integral.

Sean f continua en el intervalo [a, b] , x [a, b]. Si G es la funcin definida por:

= xa dr)r(f)x(G entonces G'(x) = f (x). Demostracin. Se quiere calcular G(x) : sean x , x + h en [a, b] entonces:

G(x)=h

)x(G)hx(GLimh

+

0 (2.19)

donde = xa dr)r(f)x(G y +=+ hxa dr)r(f)hx(G , por lo que : =+ + xahxa dr).r(fdr)r(f)x(G)hx(G += hxx dr).r(f (2.20)

Sustituyendo (2.20) en (2.19) se obtiene : G(x)=h

dr).r(fLim

hxx

h

+0

(2.21)

Por el teorema del valor medio para integrales existe un c en el intervalo acotado por x

y x + h tal que: + =hxx h).c(fdr).r(f , esto se sustituye en (2.21) obtenindose: )(lim)('

0cfxG

h= = )(xf ya que c est entre x y x + h , y xhxlimlimx

hh=+=

)(

00

entonces xclimh

=0

(por el teorema del encaje ) ; adems f es continua en c entonces )x(f)c(fLim

h=

0. Por lo que G'(x) = f (x) .

NOTAS: i) El teorema anterior establece que la integral definida xa dr)r(f , con el limite superior variable, es una primitiva de f.


2007

29

ii) Si = bx dr).r(f)x(G ( limite inferior variable ) entonces G se puede escribir as: = xb dr).r(f)x(G , luego G'(x) = - f (x).

iii) Sea = )x(ha dr).r(f)x(G entonces G'(x) = f (h(x)) h'(x ) . En efecto: sea H la funcin definida por = xa dr).r(f)x(H , entonces == )x(ha )x(Gdr).r(f))x(h(H Derivando G se tiene : G'(x) = H'(h(x)) h'(x) , como H(x)=f(x) entonces H'(h(x)) = f(h(x)) , luego se tiene que G'(x) = f (h (x)) h'(x) .

iv) Sea = )x(m )x(q dr)r(f)x(g , donde ambos limites de integracin son variables: g se descompone as += )x(mpp )x(q dr).r(fdr)r(f)x(g , con p fijo , luego se deriva. Ejemplo 2.7 Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

( ) dtt

t)x(f)cdt.e)x(N)bdt.t)x()a xx

)xx( txa

+=== +

2

3

2 22

4

6

22

112

Solucin: En cada caso se aplica el teorema 2.13 '24' )).(12()() xxxa = , es decir : )12(2)( 4' = xxx

( ) 2222 122 )(')(' .)(dondede),.()() xxxx exxNxxexNb ++ +=+=

c) Descomponer f as : +

++

=

00 4

6

4

63

2

11xx dt

ttdt

tt)x(f

, derivando se obtiene :

12

20

8

13

13

12

x

x

x

x)x(f '+

+=

Ejemplo 2.8. Encuentre una funcin f tal que ++= x dttfx 1 22 11 .))(( .

Solucin: Se derivan ambos miembros y se aplica el teorema 2.13 obtenindose:

2))((12 xfx += de donde 1414 22 == x)x(fyx)x(f .

Ejemplo 2.9 . En cada caso calcular f (2) , sabiendo que f es continua y satisface la frmula dada para todo x > 0.

+ =+=+=x x )x(x xdt).t(f)c),x(xdt).t(f)b),x(xdt).t(f)a 0 0 10222 2

11


2007

30

Solucin: En cada caso se aplica el teorema 2.13:

Para (a) : f (x) = 2x + 3x2 y f (2) = 16

Para (b) : f (x2).2x = 2x + 3x2 , con 2=x se obtiene 2

231)2( +=f .

Para (c) : f (x2 + x3) (2x + 3x2) = 1, de donde 232 321)(

xxxxf

+=+ y con x = 1

se obtiene 51)2( =f .

Ejemplo 2.10. Sea f definida por +

++=

x dtt

))t(sen()x(f0 22

13 . Halle un polinomio cuadrtico

tal que p(0) = f (0) , p(0) = f (0) , p(0) = f (0). Solucin: Sea p(x) = ax2 + bx + c , a 0 , p'(x) = 2ax + b , p'' (x) = 2a.

Aplicando el teorema 2.13 a f resulta: 2'

2)sen(1)(

x

xxf

+

+= . Luego:

22

2

2212

)x(x))x(sen()xcos()x()x(f ''

+

++= . Evaluando p, p', p'' en x = 0 resulta: p(0) = c ,

p'(0)=b , p''(0) = 2 . Evaluando f , f ' , f'' en x = 0 se obtiene f (0) = 3 , f '(0) = , f ''(0) = . De las condiciones del problema se tiene que: p(0) = f (0) , p(0) = f (0) , p(0) = f (0) y de all resulta que c = 3 , b = y a = . Luego, el polinomio

buscado es 321

41)( 2 ++= xxxp .

Teorema 2.14 Segundo teorema fundamental del clculo integral (Frmula de Newton Leibniz , o Regla de Barrow )

Si f es una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b] y G es una primitiva de f en [a, b], entonces: =ba )a(G)b(Gdx).x(f

Demostracin. Como G es una primitiva de f en el intervalo cerrado [a, b] y la funcin h definida por = xa dt).t(f)x(h tambin es una primitiva de f en el intervalo cerrado [a, b] , se tiene que h(x) - G(x) = C con C constante . Luego : +=xa C)x(Gdt).t(f (2.22)


2007

31

Evaluando (2.22) en x = a se tiene +=aa c)a(Gdt).t(f , de donde c = - G(a) . Por consiguiente =xa aGxGdttf )()().( . Evaluando en x = b se obtiene : =ba )a(G)b(Gdt).t(f . NOTAS: i) El valor G(b) G(a) no depende de la eleccin de la primitiva G. ii) Para calcular ba dx).x(f , usando el segundo teorema fundamental del clculo integral, se busca una primitiva de f: sea G dicha primitiva, entonces:

)a(G)b(G)C)a(G(C)b(GC)x(Gdx).x(fbx

ax

ba

=++=+==

=

Observe que la constante C desaparece, por lo que no es necesario colocarla.

EJERCICIOS RESUELTOS 2.5

Aplicando la regla de Newton Leibnitz, evale las siguientes integrales:

pi

20

21 :dx)x(sen) sea f (x) = sen(2x) la cual es continua en

20 pi, y una primitiva de f

es )2cos(21)( xxG = , luego:

1021

212

2122

020 =+pi==

pi pi=

=)cos()cos()xcos(dx).x(sen

x

x

10 222 ,dx).e.b.a() xxx a , b > 0 , a , b 1. Sea h(x) = ax b2xe2x, la cual se puede expresar as h(x)= (ab2e2)x , y una primitiva de h

es )e.ab(Ln

)e.ab()x(Hx

22

22= . Luego:

( ) ( )( ) ( )2222

1

022

2210

10

2222 1eabLn

eabeabLn

eabdx.eabdx).e.b.a(x

x

xxxxx

===

=

=

3) dxxx +30 2 34 : Para evaluar esta integral se debe eliminar el valor absoluto del integrando, lo cual se hace aplicando la definicin de valor absoluto. As:

( ] [ )[ ]

+

++=+

3134

313434

2

22

,

,,

xsixx

xsixxxx


2007

32

Luego, la integral dada se puede descomponer en la suma de dos integrales :

+++=+30 10 31 222 343434 dxxxdxxxxx )()(

3832

332

3

3

1

231

0

23

=

++

+=

=

=

=

=

x

x

x

x

xxx

xxx

4) dxxx

pi

pi

2

)sen()cos(

Recuerde:

pipi

pipi

,)()cos(

,)()cos(

4

42

xsixsenx

xsixsenx

Luego:

=

pipi

pipi

,

4),cos()sen(

4,

2),sen()cos(

)sen()cos(xxx

xxx

xx

Ahora se integra :

( ) ( )

( ) ( ) 2224

4

2

2

4

2 4

+=++=

+=

pi

pi=

pi=

pi=

pi

pi

pi

pi

pi

pi

x

x

x)x(sen)xcos()xcos()x(sen

dx)xcos()x(sendx)x(sen)xcos(dx)x(sen)xcos(

Se deja como ejercicio repetir este problema en el intervalo

2

,0 pi .

5) Calcule [ ] 232

1dx. x

Recuerde que f(x) = [x] =

2311

1210

,xsi

,xsi

; luego :

[ ] 232

1dx. x = [ ] [ ]

211

2323

1

123

1

1

21

21

==+=+ dx. 1 dx. 0 dx. x dx. x

Esta integral se resolvi en el ejemplo 2.6 usando la definicin de integral definida.


2007

33

2.6 CAMBIO DE VARIABLE PARA LA INTEGRAL DEFINIDA

Si la funcin u = g(x) tiene derivada continua en el intervalo cerrado [a, b] y f tiene una primitiva F en el rango de g y du= dxxg )(' , entonces:

( ) ( ) ( ))()().()(')( )( )( agFbgFduufdxxgxgfba

bgag

== (2.23) EJERCICIOS RESUELTOS 2.6

En cada caso, evale las integrales dadas:

(1)

34

45 2 1xx

dx

Hacer x

u1

= entonces

21

u

dudx,u

x == . Se deben hallar los nuevos lmites de

integracin, as: para 45

=x se tiene que 54

=u , y con 34

=x se obtiene 43

=u .

Sustituyendo en la integral dada resulta:

+

=

=

=

5443111114

3

54 2

34

45

43

54

2

2

2arcsenarcsen

u

du

u.

u

u

du

xx

dx

Otra manera de evaluar esta integral es la siguiente: se resuelve la integral indefinida

obtenindose =

)xsec(arcxx

dx

12; despus se evala la primitiva obtenida desde

45

=x hasta 34

=x obtenindose:

34

45 2 1xx

dx

=

45

34

secsec arcarc

2) +4

1 42 xdxx

: Hacer xt 42 += entonces 2

,

422 dttdxtx == . Luego: los

limites superior e inferior son, respectivamente, 618 y . As:

( )( ) 2

232

8124

2

42186

241

186

2

==

=

+ dtt

t

dttt

x

dxx .

3) +

+=

0

2 2 542

3

xx

dxxI )( : completando cuadrados resulta :


2007

34

( )( ) + +=+ +=

0

2 2

0

2 2 127

3

542

3

x

dxx

xx

dxxI )( (2.24)

Hacer la sustitucin )1(2 += xu , 2

2=

ux

,

2dudx = . Adems, cuando x = -2,

2=u , y con x = 0 , 2=u ; esto se sustituye en (2.24) obtenindose:

+

=

+

=

2

2 2

2

2 2

2

2 2 722

721

7

22

2

u

du

u

duu

u

duu

I (2.25)

Para calcular la integral :

2

2 2721

u

duu se hace el cambio de variable:

52522277 222 ======= pupuudupdpupup ,,cony,,,,

Luego

==

2

2

552

021

721

pdpp

u

duu. (2.26)

Y para la segunda integral se tiene:

=

=

7

22

472

72

22

722 2

2 2arcsenarcsenarcsen

u

du ( 2.27)

Sustituyendo (2.26) y (2.27) en (2.25) se obtiene :

( )

=

+

+02 2 7

22

4

542

3arcsen

xx

dxx

2.8 INTEGRACION DE FUNCIONES PARES E IMPARES

Sea f integrable en [-a, a] : a) Si f es par entonces

==

a

a

a

adxxfdxxfdxxf

0

0 )(2)(2)(

b) Si f es impar entonces

=

a

adxxf 0)(

Demostracin: a) Como f es par entonces f (x) = f (-x) para toda x [-a, a] :

sea u = - x , du = - dx:

===

0 0 0

0a a a

a

duufduufduufdxxf )()().()(

As:

=

0

0).()(

a

a

dxxfdxxf . Luego :

=+=a

a a

a a

dxxfdxxfdxxfdxxf 00 0

)(2)()()(


2007

35

b) Como f es impar se tiene f (-x) = -f (x), x [-a, a]. Sea u = -x, du = - dx:

===

0 0 0

0)()().()(

a a a

a

duufduufduufdxxf , de donde :

=

a

adxxf 0)(

EJERCICIOS PROPUESTOS 2.4

1) Aplique la propiedad de acotamiento de la integral definida para hallar un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dada.

dx.senx)a pi

pi4

3

4

( )

2

2

3 cos9cos4)pi

pi dxxxb

2

2

3.sen3)

pi

pi dxxc

2) Sin evaluar la integral definida, demuestre que:

10 10 2dxxdxx)a 21 21 2) dxxdxxb

3) Si f es continua en [a, b], demuestre que

baba dxxfdxxf .)()(

4) Sea F definida por

( ) ( ) += 24 3 4lnx dttxF , halle la ecuacin de la recta tangente a la curva en 2=x .

5) Para F definida por ( ) ( )

++=x

dtttxF1

2 22ln , halle la ecuacin

de la recta tangente en 1=x .

6) En cada caso , halle el valor promedio de la funcin f en el intervalo dado. Adems, halle los valores de x en los cuales f(x) iguala a su promedio.

[ ]10122 ,x,xx)x(f)a +=

[ ]21 2122

,xx

x)x(f)b +=

7) Sea f una funcin continua en [-2, 2], par y no negativa en [-2, 2], y g una funcin continua e impar en [-2, 2]. Si ==20 02 5)(5)( dxxgydxxf , halle: a) [ ]

+22

3 dxxgxf )()(

b) ( )

22 dxxgxf )().(

8) Demuestre que f definida por ( ) = xx tdtxf

5

2 es constante en ( )+,0 .

9) Demostrar que para todo x real

( ) ( )xxxdtttx +=+ 322

0

2

10) Sea f continua para todo x tal que

+++=x )xcos()x(sen.xxdt).t(f0 2 221221 , 11) Sin calcular el valor de la integral, halle

( )xF : a) ( ) ( ) +

+=1

2

22

52x

dtttxF


2007

36

para todo x. Calcular

pi

pi44

'f,f .

12) Cierto da, la temperatura t horas despus de la medianoche era:

( ) ( )

+= 10

121080 tsentT pi .

Cul era la temperatura promedio entre el medioda y las 6 de la tarde?

c) ( ) += 52 2 2x dttxF b) ( ) += 3 21xx dssxF d) ( ) ( )( ) = xsen dttsentxF 2 21

13) Demuestre que f definida por

( ) = xx tdtxf 52 es constante en ( )+,0 .

14) La intensidad de una corriente alterna de un circuito elctrico viene dada por:

( ) ( ) ( )ttsentI pipi 120cos602 += donde I se mide en amperios, t en segundos. Calcule la corriente promedio para los siguientes intervalos de tiempo:

600 1 t

24010 t

300 1 t

15) Sabiendo que f es impar, g par en

[ ]1,1 , ( ) ( ) == 1010 3dxxgdxxf . Calcule: a) ( )

1

1dxxf

b) ( )

1

1dxxg

c) ( ) ( )( )

+1

1dxxgxf

16) Existe una funcin f definida y continua para todo nmero real x que satisface una ecuacin de la forma:

( ) ( ) cxxdttftdttfx

x

+++= 9818161 2

0

donde c es una constante. Encontrar

una frmula explcita para ( )xf y hallar el valor de c.

17) Calcule las siguientes integrales: D dx

x

x +

+4

2 61 dxx)b

+3

33

++1

0

1

1 1 xxdx)ddxxx)c

( )

++

4

1

1

011

31

dyy.y)fdxx

x)e

pi

40 21

dx)x(sen

)x(tg)g

18) Decida si las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales falsas:

a) S f es continua y ( ) 0xf para todo [ ]bax , entonces ( ) 0ba dxxf .

b) S ( ) 0=ba dxxf entonces ( ) 0=xf para todo [ ]bax , .

19) Calcule las siguientes integrales definidas: D dxx

4

42 E ( ) dxxx 21 21

F dxxx

2

22 G ( ) dxxtg +40 18

pi

H ( ) dxxxxx +++10 232 164


2007

37

c) S ( ) ( )xfxf = para todo [ ]aax , y f es integrable en [ ]aa, , entonces

( ) 0=

a

adxxf .

d) S ( ) ( )xfxF = para toda [ ]bx ,0 entonces ( ) ( )bFdxxfb =0 .

e) S ( ) ( )( ) 0ba dxxgxf entonces ( ) ( )xgxf para todo [ ]bax , .

f) S ( ) ( )xGxF = para todo [ ]bax , entonces ( ) ( ) ( ) ( )aGbGaFbF = .

g) La funcin ( ) xx

senxxf cos+= es

integrable en [ ]pipi ,2 . h) El valor de la integral 0

111

1 2=

dxx . i) La pendiente de la recta tangente a la

curva ( ) ( ) += 23 3 4lnx dttxg , en el plano donde 3=x es ( )2ln28 .

I ( )( ) ( ) dxxsenxsenx +26 2 1cos

pi

pi

J ( )( ) ( ) dyysenyseny

+

pi

0 2 2cos3

K ( ) dxx

xarcsen

5.0

0 213

L ( ) dxxx

+

1

1 421M dx

x 12 21 N ( ) dxxx +

9

1 211

O ( ) ( ) dxsenxLnx +30 1cospi

20) S ( ) ( )xgxf para todo [ ]bax , entonces i) ( ) ( ) baba dxxgdxxf

ii) ( ) ( ) baba dxxgdxxf 21) Dada una funcin g, continua para todo x, tal que ( ) 51 =g e ( ) 21

0= dttg .

Si ( ) ( ) ( ) = x dttgtxxf 0 221 , demostrar que: ( ) ( ) ( ) = xx dttgtdttgxxf 00 , y calcular ( )1f y ( )1f .

22) Encontrar una funcin f y un valor de la constante c, tal que:

( ) ( ) ( ) 20 2

1cos xxxxsendttftx = para

todo x real.

22) Calcule las siguientes integrales definidas:

( )

pi

++

+++

40 2

4

1

1

0

1

0

1

1

3

3

1113

1

13

dx)x(sen

)x(tg)fdyy.y)edxx

x)d

xx

dx)cdxxx)bdxx)a


2007

38

AUTOEVALUACION N 2

1) Usando la definicin, calcule +40 2 )6( dxxx . El valor de esta integral representa el rea de la regin limitada por la grfica de f (x) = x2 + x 6 y las rectas x = 0, x = 4, y = 0 ?

2) Calcule las siguientes integrales:

++ 44

2

0

21

0

2

212

141

2pi

pidxxtagxddxxxxcdx

x

xLnbdxx

xarctgxa )()..))())()

3) Halle el polinomio P de grado 2 tal que P(1) = P(0) = 0 y =10 1)( dxxp .

4) Decida si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

1. Si =aa dxxf 0)( entonces f (a) = 0. 2. Si ba dxxf 0)( entonces f (x) 0 para todo x [a, b]. 3. Si F'(x) = f (x) para todo x [a, b] entonces =ba bFdxxf )()( . 4. Si f y g son funciones continuas en [a, b ] entonces h(x) = )(

)(xgxf

es integrable

en [a, b ]. 5. Si f es una funcin impar y continua en [ ]a,a entonces ( ) b.a.dx)x(fba

a2=+

6. El valor de dxx 11 1 1 es cero.

7. Si F esta definida por ( ) = )x(sen dt)t(arcsenxF 4 , entonces )xcos(.x)x(F = . 8. La funcin F definida por F(x)=sec(x) es integrable en [ ]pi,0 .

5) La temperatura diaria en grado Fahrenheit en cierta ciudad, t meses despus del 15 de Julio, viene dada por:

+=6

1861 ttT picos)( . Encuentre la temperatura

promedio entre el 15 de septiembre y el 15 de diciembre.

6) Sea f es una funcin continua en [ ]b,a y P una particin de [ ]b,a . Si con la misma particin P se calculan la suma superior S( f , p ) , la suma inferior s( f , P ) y una suma intermedia cualquiera SP( f, p) . Que relacin existe entre estas sumas ?

Guia 2 Integral Definida

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