Gua 2.- Definicin de Funcin En esta segunda gua trataremos la definicin de funciones de variable compleja y la determinacin de los dominios de las mismas, se recomienda leer con cuidado y buscar ms material de apoyo.

Abril

2010

Lic. Marcos Lizana A. Gua para Ingenieros de la UNEFA-Los Teques.

01/04/2010

La Funcin Compleja

FUNCIN COMPLEJA

En Clculo se estudio ampliamente el concepto de Funciones Real de

variable Real, entonces a modo de repaso podemos ver que el decir funcin de ,

esto es, que , significa que dado un valor de , disponemos de un mtodo

para determinar un valor de . Decimos que es la variable independiente e la

variable dependiente de la relacin. Generalmente, para trazar una grfica usted

construy una tabla o lista de datos dando valores a y determinando los de ,

por medio de la relacin que se cumple.

Adems de las tablas existen otras formas de expresar una relacin

funcional. El mtodo ms comn consiste en describir la relacin por medio de una

ecuacin matemtica, como las que ya usado en otras materias, y en ese caso

proporciona un valor de para cada valor de , claro est que debe tener las

precauciones pertinentes a cuales son los elementos del dominio de la funcin.

La expresin funcin multiforme (o multivaluada) es un trmino que

usaremos ocasionalmente a partir de ahora en este curso. Con la finalidad de que

recuerde esto, veamos que ocurre con funciones como , al asignar valores

a debemos tomar solamente valores positivos y obtenemos para cada valor dos

posibles resultados, uno positivo y otro negativo, que difieren solo en el signo.

Debido a que ocurre esto con esta ecuacin, el cual define dos valores para una

misma variable y no uno solo, no define por si sola una funcin de .

La manera ms sencilla de visualizar la mayora de las relaciones

funcionales es por medio de una grfica y, sin duda alguna, a aprendido a

realizarla en los cursos anteriores a est, si no est totalmente empapado de el

mtodo de graficacin sera bueno que por su cuenta lo repase.

Algunos de estos conceptos, pero no todos, se aplican tambin al estudio

de las funciones de una variable compleja. Aqu se usa una variable

independiente, por lo regular , que toma valores complejos. Consideraremos en

general funciones definidas en algn

dominio o regin del plano complejo. A

cada valor de perteneciente a esta regin

le corresponder un valor de la variable

dependiente, llamemosla , y diremos que

es funcin de , es decir, que

en esta regin, a menudo la regin ser

todo el plano complejo. Es de suponer que

, como , puede tomar valores complejos,

reales o imaginarios puros. A continuacin

se presentan algunos ejemplos.

Regin en que est definida

a) Todo el plano

b) Todo el plano

c) Todo el plano

d) Todo el plano, salvo

A menudo la expresin de , en trminos de e , puede volverse a

escribir fcilmente en trminos de ; en otros casos la notacin resulta

incmoda. Sea como sea, las identidades

Son tiles si queremos pasar de las variables a .

Con frecuencia se usa el trmino dominio de definicin (de una funcin) para describir el conjunto de valores de la variable independiente para los cuales la funcin est definida. Un dominio en este sentido puede o no ser un dominio en el sentido que hemos dado a este trmino (es decir, como lo definimos para valores de funciones reales)

Ejemplo

Exprese en trminos de con

Solucin:

Por medio de las ecuaciones planteadas antes del ejemplo, escribimos de nuevo

lo anterior en la forma

Esta es la respuesta.

En general, tiene parte real y parte imaginaria, y podemos escribir la

funcin en la forma , o bien , donde

y son funciones reales de las variables e .

En el ejemplo tenemos

y

Una diferencia entre una funcin de una variable compleja y

una funcin real de una variable real es que mientras, en general, la

relacin puede representarse grficamente en el plano cartesiano, no es

tan fcil elaborar la grfica de una funcin compleja. Se requieren dos nmeros

e para definir un valor cualquiera y otros dos nmeros para los valores de y

correspondientes. As pues, en general se requiere un espacio de cuatro

dimensiones para representar en forma grfica; dos dimensiones

corresponden a la variable independiente y las otras dos a la variable

dependiente .

Evidentemente una grfica de cuatro dimensiones no es un medio

conveniente para estudiar una funcin. Es preciso recurrir a otros mtodos para

visualizar , sin embargo, vamos a dar un breve vistazo a un mtodo. Se

representan, uno junto a otro, dos planos coordenados: el plano con ejes e , y

el plano con ejes y . Consideremos ahora un nmero complejo

perteneciente a una regin del plano en que est definida. El valor de

que corresponde a es . Denotamos por . Ahora representamos

grficamente los nmeros y en los planos y , respectivamente.

Decimos que el nmero complejo es la imagen de bajo la

transformacin y que los puntos y son imgenes uno del otro.

Ejercicio2

1. Suponga que .

Diga en qu punto o puntos de cada uno de los siguientes dominios no est definida

a)

b)

c)

d)

2) Para cada una de las siguientes funciones calcule

a)

b)

c)

d)

3) Escriba las siguientes funciones de en la forma ), donde y son funciones

reales explcitas de e .

a)

b)

c)

d)