Guías Prácticas de Investigación de Operaciones · 2011. 5. 28. · conocimiento progresivo,...

Guías Prácticas de Investigación de Operaciones

Julio Rito Vargas Avilés/UNI Página 1 |



INDICE

Página

Introducción 2

Justificación 7

Conjuntos convexos y no convexos- Práctica 1. 13

Solución Gráfica de PPL.- Práctica 2. 18

Solución por método simplex y revisado de PPL - Práctica 3.| 26

Análisis de sensibilidad y Dualidad.- Práctica 4. 44

Problemas de Transporte.- Práctica 5. 54

Problemas de Transbordo.- Práctica 6. 63

Problemas de Asignación.- Práctica 7. 76

Problema de la Ruta crítica.- Práctica 8. 80

Problemas del Camino más corto.- Práctica 9 . 85

Problema de Costo mínimo.- Práctica 10. 92

Problema del Flujo máximo.- Práctica 11. 96

Problema del Árbol de expansión mínimo.- Práctica 12. 115

Problema de Análisis de decisión.- Práctica 13. 122

Problema resueltos por Árbol de decisión.- Práctica 14. 135

Problemas de Colas.- Práctica 15. 143

Problemas de Inventarios.- Práctica 16. 156

Problemas de Programación Dinámica.- Práctica 17. 162

Problemas de Cadenas Markov.- Práctica 18. 170

Problemas de Teoría de Juegos.- Práctica 20. 175

Problemas misceláneos resueltos. 180

Bibliografía. 220

Software de apoyo. 222



Introducción

Con este libro de guías prácticas para la asignatura de Investigación de

operaciones, pretendemos que los estudiantes que cursan las asignaturas de

Investigación operativa I y II cuenten con material metodológica y diádicamente

elaborado para que pueda realizar sus prácticas sin la asistencia del profesor.

La mayoría de las prácticas están orientadas para que los estudiantes las

puedan realizar con el apoyo del computador. Si bien es cierto hay varios

software que pueden usarse, recomendamos que las prácticas las haga con

WinQSB, por contener todos los módulos que son abordados en este texto y

contamos con un manual del Software para apoyo del estudiante.

El libro inicia cada práctica con ejemplos ilustrativos, resueltos

metodológicamente, para facilitar el aprendizaje del estudiante y así permitirle

abordar la guía práctica correspondiente con mayor dominio y poder resolverla

con un alto grado de seguridad.

El libro lo hemos estructurado en tres grandes aspectos: Los ejemplos que

anteceden cada guía práctica, las guías prácticas que debe ser resulta por el

estudiante con apoyo del computador y una miscelánea de problemas

propuestos y resueltos al final del libro, que le permitirán a los estudiantes

tener una visión más amplia del mundo de problemas prácticos que se pueden

abordar desde los métodos cuantitativos.

Este libro de guías prácticas está orientado para que sea desarrollado en dos

semestres, las primeras 8 prácticas para el I semestre y las restantes en el

segundo semestre. Cada guía práctica no necesariamente se debe de

desarrollar en un período de laboratorio (2 horas), algunas pueden durar más

de acuerdo a las orientaciones del profesor de la asignatura, algunas prácticas

el alumno las resolverá en forma independiente, en su casa o donde él estime

conveniente. No obstante independiente de la forma y donde el alumno

resuelva cada guía, el profesor debe garantizar que se haga un análisis

colectivo sobre la misma, esta parte es esencial para el dominio de los temas

tratados.

Las guías fueron organizadas de forma que permita al estudiante un

conocimiento progresivo, iniciando desde la parte básica de los hiperplanos

hasta el desarrollo de temas de mayor complejidad en el análisis y en la toma

de decisiones. Sin embargo no es obligatorio ni riguroso seguir el orden en que

se proponen todas las prácticas, eso dependerá de la orientación e interés que

el profesor de la asignatura tenga y del dominio de las temáticas por parte de

los estudiantes.



Es importante desarrollar completamente cada práctica y logro los objetivos

propuestos en la misma.

Justificación

La investigación de operaciones es una de las asignaturas que generan mayor

expectativa en los estudiantes y profesionales que las cursan. Por cuanto son

de suma importancia para la toma de decisiones.

La toma de decisiones es la tarea esencial de las organizaciones (pequeñas,

medianas y grandes) y de los individuos que de forma independiente a diario

tienen que enfrentar problemas.

En la toma de decisiones el análisis puede tomar dos formas: cualitativo y

cuantitativo.

El análisis cualitativo se basa principalmente en el juicio y experiencia de la

gerencia, incluye sentimientos intuitivos sobre los problemas tratados y es más

un arte que una ciencia.

Los métodos cuantitativos juegan un papel clave en la Administración y la

optimización de procesos. Por lo que es relevante estudiar los diferentes

métodos cuantitativos que mejor se ajusten a la solución de problemas del

campo de la investigación de operaciones.

El análisis cuantitativo se concentra en hechos cuantitativos o datos asociados

con los problemas y desarrolla expresiones matemáticas que describen las

relaciones entre ellos. Utilizando los métodos cuantitativos se obtienen

resultados con los que se hacen recomendaciones basadas en los datos

cuantitativos del problema.

El papel del análisis cuantitativo en la toma de decisiones puede variar

dependiendo de los factores cualitativos.

Los modelos matemáticos son la base de los modelos cuantitativos. A su vez,

la esencia de la Investigación de operaciones es el uso de los modelos.

Este documento de carácter práctico tiene como propósito abordar los métodos

de solución de los diferentes modelos matemáticos que se formulan en la

investigación de operaciones, tanto desde el punto de vista analítico, gráfico

como auxiliarnos de las herramientas computacionales sobre todo aquellos

cuyo nivel de complejidad de cálculo lo requieren y centrar el esfuerzo en el

análisis de sensibilidad de los posibles escenarios que se pudiesen presentar y

que son incertidumbre que en el mundo de la gestión a diario tenemos que

enfrentar.



CONJUNTOS CONVEXOS Y NO CONVEXOS

Para analizar el concepto de conjunto convexo, consideremos los

siguientes conjuntos.

CONJUNTO A CONJUNTO B

CONJUNTO C CONJUNTO D.

Ejemplo: Consideremos el conjunto A.

B

C

D

A

Definición de Conjunto Convexo:

Conjunto que contiene cualquier segmento que une dos puntos del conjunto.

x

y

A



D

x y

Obsérvese que para cualquier par de puntos x, y que estén dentro del conjunto A, el

segmento que une dichos puntos siempre queda dentro del conjunto, en consecuencia

A es un conjunto convexo.

Consideremos el conjunto B:

Obsérvese que para cualquier par de puntos x,y que estén dentro del conjunto B, el

segmento que une dichos puntos no queda dentro del conjunto, en consecuencia B no

es un conjunto convexo.

Consideremos el conjunto C:

En este caso para cualquier par de puntos x,y de la recta C, el segmento que los une

queda dentro del conjunto, en consecuencia C es un conjunto convexo.

Por último sea el conjunto D:

B

y x

x

y

C



Es claro gráficamente que para cualquier par de puntos x, y, el segmento que los une

está totalmente contenido en dicho conjunto.

Consideremos un último ejemplo en el plano, sea el conjunto E

Conjunto poligonal delimitado por los puntos ((0,0), (5,0), (0,3), (1,2), (0,0))

Se puede ver que existen segmentos, como el indicado en la figura que contiene

puntos que no están en el conjunto, por lo que este conjunto no es CONVEXO.

EJERCICIO 1

Determinar si los siguientes conjuntos son o no convexos, dibujándoles previamente:

a. Conjunto poligonal determinado por los puntos (0,1),(1,0),(1,3),(0,1) b. Conjunto poligonal determinado por los puntos (1,1),(2,1),(2,3),(-1,2)

(-1,0), (1,1)

SOLUCION:

a. Es convexo b. No es convexo

E

x

y

E



Podemos definir conjuntos en el plano de una manera más compleja:

Por ejemplo, si consideramos el conjunto

S3= {(x, y) € R2/ y ≥ x}

¿Qué hacemos para dibujar este conjunto?

Primero dibujamos la curva que delimita el conjunto. En DERIVE, resulta sencillo

1. Poner la ventana en modo gráfico 2D 2. Editar la función y= x 3. Desde el menú Insertar hacer clic en la opción graficar.

Para delimitar la región del plano basta considerar un punto que no esté en la curva,

por ejemplo (1,2) si ese punto satisface la ecuación entonces ese es el recinto a

considerar, en nuestro caso como 2 sí es mayor o igual que 1, entonces el recinto es

Obsérvese que es claramente convexo pues cualquier par de puntos que estén en S3

el segmento que los une está claramente contenido en S3.

¿Qué sucedería si no podemos representar gráficamente el conjunto, como sucede

con conjuntos de dimensión superior a 3?

y=x

y=x

S3



En esos casos es necesario dar una definición analítica de conjunto convexo, para lo

cual efectuamos la siguiente definición:

CONJUNTO CONVEXO.

Diremos que un subconjunto S Rn es convexo si para cualquier par de puntos

y para cualquier [0,1] se cumple que está en S, es decir que si

llamamos segmento de extremos por

S es convexo si para cualesquiera ,

¿Cuál es el significado de z = x + (1- )y?

Vamos a verlo en un ejemplo:

EJEMPLO: Estudiar analíticamente si el conjunto anterior

S3= {(x, y) € R2/ y ≥ x} es un conjunto convexo.

Para ello consideremos dos vectores de S3

(x1,y1), (x2,y2), Habría que comprobar si b(x1,y1)+(1-b)(x2,y2) es un vector que pertenece

a S3 para cualquier valor de b en [0,1]

Es decir tendremos que comprobar si

b x1+ (1-b) x2 by1+ (1-b) y2

Como x1y1 entonces bx1by1 (pues b es positivo o cero)

Y como x2 y2 entonces (1-b) x2 (1-b) y2

Sumando ambas expresiones se obtiene la desigualdad por tanto S3 es un conjunto

convexo.

Esto en DERIVE se puede realizar definiendo dos vectores:

V1: = [x1, y1]

V2: = [x2, y2]



Y comprobando si el vector

b - v1 + (1 - b)* v2

Que una vez simplificado nos da

[b(x1-x2) + x2 , b(y1-y2) + y2]

Y al expandirle

[b * x1- b * x2) + x2 , b * y1- b * y2 + y2]

Si es un vector del conjunto S3.

EJERCICIO 2

Estudiar de forma gráfica si los siguientes conjuntos son o no conjuntos convexos.

a.

b.

SOLUCIONES:

a. Lo hacemos gráficamente, representando el conjunto. Para ello dibujamos los dos límites del conjunto x2+y2=1 y x2+y2=4 (circunferencias de radio 1 y radio 2)

Definimos las expresiones

x2 + y2 =1

x2 + y2 =4

Y luego las graficamos con Derive de la misma que lo hemos hecho anteriormente



¿Cuál es el recinto?

Ahora debemos determinar en que lado de la circunferencia se sitúa el

conjunto.

Tomemos un punto fuera de ambas circunferencias, por ejemplo (0,0). Y

comprobemos si se verifica la primera desigualdad para ese punto

02 + 02 ≥ 1

Efectivamente no se verifica, por tanto el conjunto se sitúa hacia fuera de la

circunferencia.

Por otro lado

02 + 02 ≤ 1

Es cierta por tanto el conjunto es la corona circular situada entre la

circunferencia de radio 1 y la circunferencia radio 2.

¿Este conjunto es convexo?

Claramente se ve que no, tomemos dos puntos cualesquiera por ejemplo (-

1,1/2) y (2,0), ambos pertenecen al conjunto, sin embargo el segmento que los

une como se ve no pertenecen al conjunto.



Consideremos las expresiones que definen los límites del conjunto:

Representemos ambas rectas:

Para saber cuál es exactamente el recinto, tomemos un punto que no esté en dichas

rectas, por ejemplo (0,0).

Comprobemos a qué 1, comprobamoslado de la recta x + y =1 se encuentra nuestro

conjunto x + y 1 verifica la ecuación, por tanto el Recintopara (0,0), y observamos

que 0+0 1 está al lado del Y por otro lado para determinar el conjunto x – y x + y

1 por tanto también es de la recta hacia el (0,0),1 comprobamos que 0 – 0 con lo

cual tendremos que el recinto será:

(0,0).



EJERCICIO 3

Demostrar de forma analítica que el conjunto

Conjunto convexo.

OBSERVACIÓN.

En general si es un vector de Rn c R se verifica que los conjuntos:

H= { Rn/ t. =c}

H+= { Rn/ t. c} H-={ Rn/ t. c}

H0+={ Rn/ t . >c} H0-={ Rn/ t. <c}

Son conjuntos convexos.

Demostración

Demostremos uno de ellos por ejemplo que H = { Rn/ t. =c} es convexo.

Sean dos vectores cualesquiera hay que demostrar que si [0,1] entonces

el vector pertenece a H.

Si entonces se verifica que ,

Si entonces se verifica que ,



Veamos qué ocurre con el producto

Luego efectivamente el vector cumple la propiedad por tanto pertenece a

H.

Lo mismo se puede hacer con el resto de conjuntos.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS.

Conjuntos convexo "por definición"

a) El conjunto vacío (∅) es un conjunto convexo.

b) Los conjuntos de un único punto {a}, también son conjuntos convexos.

c) También el conjunto Rn (espacio total) es un conjunto convexo.

La intersección, finita o infinita, de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

La combinación lineal de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

La unión de conjuntos convexos, en general, no tiene porque ser un conjunto

convexo.

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS.

EJEMPLO.

Sean los siguientes conjuntos convexos:

Si los representamos tendremos:



¿Cuál es la intersección de estos dos conjuntos?

Se puede ver que la intersección es el conjunto

Se puede ver gráficamente que es un conjunto convexo.

Y este ejemplo se puede generalizar con la siguiente propiedad:

LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS ES UN CONJUNTO CONVEXO:

Demostración:

Si Xi es un conjunto convexo para i=1,..., n. Esto quiere decir que dados dos

puntos cualesquiera de este conjunto entonces el segmento que los une está totalmente contenido en el conjunto Xi, es

decir luego esto quiere decir que con lo que queda demostrado.



UNIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS.

A partir de los conjuntos convexos anteriores S y T, veamos cuál es el conjunto unión.

Este conjunto no es convexo pues si considero dos puntos del conjunto por ejemplo

(1.04, -1.57) y (2.43,-0.3)

Si representamos el segmento que une dichos puntos editando

Obtenemos

Segmento que no está totalmente contenido en el conjunto. Luego:



La unión de conjuntos convexos en general no es convexo.

Vamos a introducir ahora dos nuevos conceptos el concepto de punto extremo de un

convexo y el concepto de combinación lineal convexa:

CONCEPTO DE PUNTO EXTREMO DE UN CONVEXO.

Consideremos el siguiente conjunto convexo:

Para representarlo dibujamos las rectas que delimitan los conjuntos:

Vamos ahora a ir delimitando los semiplanos determinados por cada una de las

desigualdades:

0 x 1

Este recinto es clara su representación:



Vamos a delimitar los otros dos: 2 – x y

Consideremos un punto que no está en la recta por ejemplo (0,0). (0,0) verifica la

desigualdad?

¿ 2-0 0? No es cierto por tanto al otro lado del (0,0) es decir

Por último vamos a delimitar el recinto de la desigualdad y 2+x

De nuevo consideremos un punto que no está en la recta y=2+x como es el (0,0),

¿(0,0) satisface la desigualdad? ¿0 2+0? Como es cierto entonces el semiplano está

situado de la recta hacia el (0,0), es decir

En consecuencia el conjunto delimitado es:



¿Cuáles son los vértices de este conjunto?

La intersección de rectas:

[ 2 – x = y; y = 2 + x ]

Da el punto

[x = 0 y = 2]

Las rectas

[x = 1; y = 2 – x]

El punto

[x = 1; y = 1]

Y las rectas

[x = 1; y = 2 + x]

El punto

[x = 1 y = 3]

Luego los vértices de este conjunto serán:

(0,2), (1,1) y (1,3), también llamados puntos extremos de S.

Para dar la definición más formal de Punto Extremo de un conjunto convexo, vamos a

definir el concepto de Combinación Lineal Conexa.



DEFINICIÓN: COMBINACIÓN LINEAL CONVEXA.

Diremos que es una combinación lineal convexa de si

existen tales que:

1.

2.

Según el ejemplo anterior, podemos comprobar que Todas Las Combinaciones

Lineales Conexas de los puntos (0,2), (1,3), (1,1) son todos los puntos del triangulo

definido antes. Si queremos comprobar esto vamos a realizar algunas combinaciones

lineales convexas de estos tres puntos.

Lo vamos a hacer con DERIVE:

Definamos en primer lugar los puntos

P1 : = [0, 2]

P2 : = [1, 3]

P3 : = [1, 1]

Vamos a ir realizando combinaciones lineales convexas y vamos a ir representando

los puntos obtenidos:

0*p1 + 0*p2 + 0*p3 = [1, 1]

[1, 1]

Obsérvese que en este caso la combinación lineal convexa da el propio p1.

En este caso p2

1*p1 + 0*p2 + 0*p3 = [0, 2]

[0, 2]

Y en este caso p3.

0*p1 + 1*p2 + 0*p3 = [1, 3]

[1, 3]

Pero existen otras formas de realizar combinaciones lineales convexas:



Veamos lo que tenemos representado hasta ahora:

Continuemos haciendo combinaciones lineales convexas



Obtendremos las representaciones:

A partir de estas combinaciones lineales convexas podemos obtener una definición de

punto extremo de un conjunto convexo, de la siguiente forma.

¿Cuál es la combinación lineal convexa mediante la cual obteníamos?:

¿p1?

¿p2?

¿yp3?

¿Tiene alguna característica especial?

Como puede verse estos puntos tienen una característica especial y es que tan solo

intervienen en la combinación lineal el propio punto, por ello definimos:

Definición de Punto extremo de un conjunto convexo:

Sea S un conjunto convexo. Diremos que es un Punto Extremo de S

si no se puede expresar como combinación lineal convexa de dos puntos

distintos del propio . También se les suele llamar Vértices del conjunto (si es en R2 ó R3).

EJERCICIO 4

Calcular los puntos extremos de los conjuntos:

a.

b.



SOLUCIÓN:

(A)

(B)

Para obtener puntos extremos hay que resolver la intersección entre recta y

circunferencia.

Como x = 1 + y, entonces sustituyendo este valor de x en la circunferencia tenemos:

(1 + y)2 + y2 = 1

Resolviendo ahora obtenemos:

[y = 0; y = -1]



Luego los puntos son para y=0, x=1; (1,0)

Y para y = -1, x = 0; (0,-1) que son los puntos extremos.



GUÍA PRÁCTICA # 1

Conjuntos convexos y no convexos

Tema 1: Conjuntos Convexos

Contenidos:

Conjuntos de puntos, rectas e hiperplanos.

Conjuntos convexos, propiedades

Objetivos: Al finalizar la práctica el estudiante pueda:

o Identificar gráficamente conjuntos convexos. o Graficar conjuntos convexos con restricciones. o Identificar gráficamente conjuntos acotados y cerrados. o Determinar si las formas graficas de uniones e intersecciones de

conjuntos convexos son también conjuntos convexos.

I. Indique cual de los siguientes conjuntos son convexos.

a) ______________________

b) _____________________

c) ______________________

d) ______________________

e) ______________________

f) ______________________

Guía Práctica para Investigación de Operaciones

Julio Rito Vargas Avilés/UNI Página 26

II. Clasifique los gráficos anteriores en Acotados y no acotados.

Acotados No Acotados

III. Haciendo uso de Derive, grafique los siguientes puntos, y determine si el conjunto formado es convexo, acotado y cerrado.

a) 0,0,2,1,3,0,0,5,0,0

b) 1,0,3,1,0,1,1,0

c) 1,1,0,1,2,1,3,2,1,2,1,1



d) 2,4,1,0

IV. Estudiar de forma gráfica si los siguientes conjuntos son o no conjuntos convexos, acotados y cerrados.

a) 94/, 222

1 yxRyxS

b) 4,3/, 2

2 yxyxRyxS



c) 0,1,0,0/, 2

3 yyxyxxRyxS

d) 1,1,0,0/, 2

4 yxyxRyxS

V. A partir de los siguientes conjuntos S y T, establezca si el conjunto unión e intersección de S y T es convexo, acotado y cerrado.

1.

4/, 222 yxRyxS

411/,222 yxRyxT



2.

5/, 2 yxRyxS

6/, 2 yxRyxT

I. Graficar los siguientes conjuntos de ecuaciones con el sistema de coordenadas rectangulares y con el programa Derive 6.0. Verificar si la intersección de las mismas forma un conjunto convexo. Si es así indicar si el poliedro formado es acotado y cerrado.

1. 2.

3. 4.

0,

54

42

15

332

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xx

5. 6.

0,

03

1232

21

21

21

xx

xx

xx

0,

12

1628

21

21

21

xx

xx

xx

0,

1

1242

1223

21

2

21

21

xx

x

xx

xx

0,

4

3

1

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

0,

22

3

1

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx



7. 8.

9. 10.

0,

3

4

92

21

2

1

21

xx

x

x

xx

0

3

1

21

21

21

xx

xx

xx

0,

33

21

21

xx

xx

0,

2

3

52

21

2

1

21

xx

x

x

xx



PROGRAMACIÓN LINEAL

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático

norteamericano de origen húngaro Janos von Neuman (1903-1957), quien en 1928

publicó su famoso trabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los

problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos.

La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y,

desde 1930, catedrático de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que

otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta

disciplina.

En 1858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el

cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de

edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230

de llegada. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días

del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costos previstos.

Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase los

métodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre

un 10 y un 15% en tan sólo un año.

Definición de Programación lineal:

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden

resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo,

función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por

inecuaciones lineales.

Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:

Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.

En un problema de programación lineal intervienen:

La función z = ax + by llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.

Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones,

disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a … ( < o ); como mínimo de…

( > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.



Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se le

denomina conjunto (o región) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser

solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser

solución. En el apartado siguiente veremos cómo se determina la región factible.

La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.

Utilizaremos las siglas PPL para indicar problema de programación lineal

Determinación de la región factible:

La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar

en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región

factible, y puede estar o no acotada.

Región factible acotada Región factible no acotada

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en

sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >).

Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un

número de lados menor o igual que el número de restricciones.

El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente:

1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de

soluciones de cada una de las inecuaciones.

Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos

Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra.

2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones

de todas las inecuaciones.

Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales

pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el

caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.

Veámoslo con un ejemplo:



Dibuja la región factible asociada a las restricciones:

x + y 4

y 4

y x

Las rectas asociadas son: r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x

Elegimos el punto P(0,0), que se encuentra en el

semiplano situado por debajo de la recta.

Introduciendo las coordenadas (0,0) en la

inecuación x + y 4, vemos que no la satisface:

0 + 0 = 0 < 4 . Por tanto, el conjunto de

soluciones de la inecuación es el semiplano

situado por encima de la recta r : x + y = 4 .

Procedemos como en el paso anterior.

Las coordenadas (0,0) satisfacen la

inecuación y 4 ( 0 4) . Por tanto, el

conjunto de soluciones de la inecuación

es el semiplano que incluye al punto O.

La recta t asociada a la restricción pasa por

el origen, lo cual significa que si probásemos

con el punto P(0,0) no llegaríamos a ninguna

conclusión. Elegimos el punto (1,0) y vemos

que no satisface la inecuación y x (y = 0 <

1 = x ). Por tanto, el conjunto solución de esta

inecuación es el semiplano determinado por

la recta t que no incluye al punto (1,0).

La región factible está formada por los puntos

que cumplen las tres restricciones, es decir,

se encuentran en los tres semiplanos

anteriores.



Método gráfico :

Solución Gráfica de un problema de PL

Problema 1.

La WINDOR GLASS CO produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y

puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta

1, los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos.

Debido a una reducción de las ganancias, la alta administración ha decidido reorganizar la línea

de producción de la compañía. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará

libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos

nuevos que tienen ventas potenciales grandes:

– Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. – Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies por 6.

El producto 1 requiere de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2.

El producto 2 sólo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha

concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las

plantas. Sin embargo, como ambos productos competirán por la misma capacidad de

producción en la planta 3, no está claro qué mezcla de productos sería la más rentable. Por lo

tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema.

El grupo comenzó a realizar juntas con la alta administración para identificar los objetivos del

estudio y desarrollaron la siguiente definición del problema:

Determinar que tasas de producción deben tener los dos productos con el fin de maximizar las

utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción

limitadas disponibles en las tres plantas. (Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades,

de manera que la tasa de producción está definida con el número de lotes que se producen a

la semana) Se permite cualquier combinación de tasas de producción que satisfaga estas

restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que se posible del

otro.

El equipo de IO también identificó los datos que necesitan reunir:

Número de horas de producción disponibles por semana en cada planta para estos nuevos

productos. (Casi todo el tiempo de estas plantas estás plantas está comprometido con los

productos actuales, lo que limita la capacidad para manufacturar nuevos productos.)

Número de horas de fabricación que emplea cada lote producido de cada artículo nuevo en

cada una de las plantas.



La ganancia por lote de cada producto nuevo. (Se escogió la ganancia por lote producido como

una medida adecuada una vez que el equipo llegó a la conclusión de que la ganancia

incremental de cada lote adicional producido sería, en esencia, constante, sin importar el

número total de lotes producidos. Debido a que no se incurre en costos sustanciales para

iniciar la producción y comercialización de estos nuevos productos, la ganancia total de cada

uno es aproximadamente la ganancia por lote producido multiplicado por el número de lotes.)

La obtención de estimaciones razonables de estas cantidades requirió del apoyo de personal

clave en varias unidades de la compañía. El personal de la división de manufactura

proporcionó los datos de la primera categoría mencionada. El desarrollo de estimaciones para

la segunda categoría requirió un análisis de los ingenieros de manufactura involucrados en el

diseño de los procesos de producción para los nuevos artículos. Al analizar los datos de costos

obtenidos por estos ingenieros, junto con la decisión sobre los precios de la división de

mercadotecnia, el departamento de contabilidad calculó las estimaciones para la tercera

categoría.

• La tabla siguiente resume los datos reunidos de la información anterior. Planta Tiempo de producción por Lotes, Horas Tiempo de producción

disponible a la

semana, horas Producto

1 2 1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18

Ganancias por lote $ 3000 $5000

El primer paso para la resolución del problema de programación es la definición de las

variables de decisión en este caso tenemos dos tipos de producto:

1. Variables de decisión

La función objetivo es lo que queremos optimizar (minimizar o maximizar), por ello está

compuesta por los costos de cada producto, los cuales van acompañado por las variables de

decisión en el caso de la minimización y de utilidades y variables de decisión en el caso de la

maximización. En este problema en particular lo que desea la empresa es encontrar la solución

que maximice sus utilidades. Colocamos 3 en lugar de 3000 y 5 en lugar de 5000, para trabajar

en unidades mas pequeñas; pero al final representa miles de dólares.

2. Función Objetivo

1x Número de lotes del producto1 fabricado por semana

2x Número de lotes del producto2 fabricado por semana

Maximizar 2121 53),( xxxxfZ



En este caso las restricciones son las limitantes que tiene la empresa para producir el

producto1 y el producto2. Tenemos 3 restricciones bien definidas, las cuales. Cabe señalar que

las restricciones de no negatividad, siempre es necesario incluirlas, ya que en las respuestas no

pueden resultar valores menores que cero, sino la solución del problema no tendría ningún

sentido.

3. Restricciones

4. Formule el modelo matemático del PPL. Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la

función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.

41 x Horas disponibles en la planta 1, para producir lotes del producto 1

122 2 x Horas disponibles en la planta 2, para producir lotes del producto 2

1823 21 xx Horas disponibles en la planta 3, para producir lotes del producto 1 y producto 2

0

0

2

1

x

x

Restricciones de no negatividad

Máx.

21 53 xxZ

S.a

0

0

1823

122

4

2

1

21

2

1

x

x

xx

x

x



5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible.

Si hacemos uso del WinQSB los pasos ha seguir son los siguientes

1. Nos vamos a INICIO. 2. Elegimos todos los programas 3. Damos clic derecho izquierdo en WinQSB 4. y elegimos con un clic izquierdo la herramienta Goal Programming. 5. Al cargar el programa nos vamos a archivo y damos clic en nuevo. 6. Aparecerá una nueva ventana que nos muestra: Título del problema: el título es totalmente opcional cada uno le pueda dar el

nombre que desee. Número de Goal, es decir número de metas. En este caso queremos encontrar un

solo óptimo por lo cual, la meta es 1. Número de variables: las variables de decisión, no son más que las que definimos

al inicio, son dos. Entonces escribimos 2. Número de restricciones: también ya las hemos definido. Son tres restricciones. El

programa ya incluye las restricciones de no negatividad, por lo que solamente escribimos las otras faltantes 3.

El programa trae la opción de minimización o maximización. Como el nuestro es un problema de maximización le damos entonces clic en maximización.

Damos clic en aceptar y nos aparecerá una nueva ventana en la cual veremos en la primera columna C1, C2, C3; estas son las restricciones del problema. Aparece además en la primer fila la letra Z, allí colocaremos los coeficientes de las variables de decisión de la función objetivo.

Para tener una mejor interpretación es necesario que cambiamos los nombres a las restricciones e incluso a las variables de decisión, para ello nos vamos a Edición; elegimos la opción constraint name y podemos cambiarle el nombre a las restricciones de igual forma, podemos elegir la opción variable name y definir bien quien es x1 y x2.

Cuando hemos introducido los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones, entonces podemos irnos a la opción Solve and Analize y elegimos Graphic Method, dado que nuestra intención es resolverlo por el método gráfico.

Al hacer esto el programa nos mandará a una nueva ventana, la cual nos indica que variable conforma el eje de las X y cual conforma el eje de las Y, le damos aceptar y ante nosotros aparecerá un gráfico como el que se muestra a continuación.



Los pares ordenados que han sido seleccionados son los que acotan la llamada Región Factible,

son las posibles soluciones al problema y son esenciales para descubrir cual es el óptimo. El

siguiente paso es evaluar cada uno de estos puntos y encontrar el que maximice nuestras

utilidades al mayor porcentaje posible.

6. Soluciones factibles.

Valores permitidos 21 , xx

de la región factible

Función Objetivo

21 53 xxZ

Soluciones factibles (FEV)

(0,0) )0(5)0(3Z 0

(0,6) )6(5)0(3Z 30

(2,6) )6(5)2(3Z 36

(4,3) )3(5)4(3Z 27

(4,0) )0(5)4(3Z 12

Después de haber analizado las soluciones factibles vemos que la que nos da la máxima

utilidad es el punto (2,6)

Esto se interpreta de la siguiente manera:

7. Soluciones óptimas:

Para obtener la máxima utilidad que es de $36,000 tendremos que

producir dos lotes del producto 1 y 6 lotes del producto 2.

(0,6)

(2,6)

(4,3)

(0,0) (4,0)

Región

Factible



Problema 2.

Rulisa fabrica masa para pasteles de tipo I y II. La de tipo I la vende a 5 euros el kilo, gastando 1

euro en ingredientes y 2 en mano de obra. La de tipo II se vende a 3 euros y cuestan 1 euro,

tanto los ingredientes como el trabajo. Para hacer las masas se necesitan dos tipos de

actividades: amasado y horneado. Rulisa dispone de 18 horas de amasado y 12 de horneado a

la semana. La masa de tipo I necesita 2 horas de amasado

Y 3 de horneado, mientras que la de tipo II, necesita 3 de amasado y 1 de horneado.

Si la cantidad de masa que se puede vender es ilimitada, optimizar los beneficios semanales de

Rulisa.

Análisis del problema

• Identifiquemos los datos que necesitamos para la para definir el modelo:

– Número de horas disponibles para producción, por semana. (18 para amasado y 12 para horneado)

– Número de horas que requiere cada tipo de masa (tipo I y II) en amasado y horneado.

– La ganancia por cada producto (precio de venta - costos de producción) de cada uno.

La tabla siguiente resume los datos reunidos.

Actividades Tiempo de producción por producto, horas Tiempo de producción

disponible a la

semana, horas Tipo de masa

I II Amasado 2 3 18 Horneado 3 1 12

Ganancias Por

Producto €2 €1

Para lograr una mejor solución del problema definiremos nuestras variables de decisión, las

cuales son:


1x Kilogramos de masa I a fabricar semanalmente.

2x Kilogramos de masa II a fabricar semanalmente.

2x



En este caso la función objetivo estará compuesta por la ganancia obtenida por cada tipo

de masa y por las variables de decisión. El problema que estamos resolviendo es un

problema de maximización.


Dado que este producto requiere de dos operaciones fundamentales (Amasado, Horneado) las

restricciones estarán dadas por la capacidad en horas semanales para estas actividades.

Además colocaremos la restricción de no negatividad.

3. Restricciones

4. Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalaron anteriormente.


Para graficar la región factible es necesario que conozcamos los puntos por donde pasan las

diferentes rectas por lo que hacemos uso de el método de intercepto. Aunque existen otros

Maximizar

2121 2),( xxxxfz

Tiempo máximo de amasado permitido

Tiempo máximo de horneado permitido

Restricciones de no negatividad

Maximizar 212 xxz

S. a

1832 21 xx

123 21 xx

0

0

2

1

x

x

1832 21 xx

123 21 xx

0

0

2

1

x

x



formas de resolver sistemas de ecuaciones haremos uso de este por considerarlo más sencillo

de utilizar.

Primero cambiamos el signo por el =.

Elegimos de las ecuaciones.

9

2/18

18)0(32

0

1

1

1

2

x

x

x

x

Punto1 (0,6)

Punto2 (9,0) este punto queda descartado dado que no es uno de los vértices de la región

factible

12

12)0(3

0

123

2

2

1

21

x

x

x

xx

Punto3 (0,12)

Punto (4,0) Descartamos este punto dado que No forma parte de la región Factible.

Para encontrar la intercepción de las rectas 1832 21 xx y 123 21 xx usamos el método

de sustitución. Veámoslo a continuación.

Dado que no todos los puntos son parte de la región factible, podemos decir que los vértices

de la región factible son:

6

3/18

183)0(2

0

1832

2

2

2

1

21

x

x

x

x

xx

4

3/12

1203

0

1

1

1

2

x

x

x

x

730

718

187

183692

18)312(32

123

1832

2

1

1

11

11

21

21

x

x

x

xx

xx

xx

xx



Para encontrar la solución óptima es necesario que evaluemos todos los valores de los vértices

en la función objetivo.




Función Objetivo

212 xxZ

Soluciones factibles (FEV)

(0,0) 0)0(2Z 0

(0,6) 6)0(2Z 6

(18/7, 30/7) 7/30)7/18(2Z 66/7

(4,0) 0)4(2Z 8

La solución óptima se puede analizar de la siguiente manera.


1832 21 xx

123 21 xx

(18/7,30/7)

(0,0) (4,0)

(0,6)

Para alcanzar la máxima utilidad es necesario que la empresa produzca 18/7 kg de masa de

tipo I y 30/7 Kg de masa de tipo II, para alcanzar una utilidad máxima de 66/7 de euros.



GUÍA PRÁCTICA # 2

Solución Gráfica de PPL

Unidad 2: Programación lineal

Contenidos:

• Construcción del modelo de programación lineal. • Solución gráfica del problema bidimensional

Objetivos: A l finalizar la práctica el estudiante adquiera las siguientes habilidades:

Resolver problemas de programación lineal con dos y tres restricciones a través del Método Gráfico.

Graficar la región de factibilidad en un sistema de coordenadas, haciendo uso de las restricciones del problema de programación lineal.

Hacer uso del IOR Tutoríal para encontrar la región de factibilidad del problema de programación lineal.

Encontrar la solución al problema de programación lineal de dos y tres restricciones.

I. Resuelva los siguientes problemas por el método grafico.

Problema 1:

La compañía INTEL produce dos dispositivos para computadoras, (producto 1 y

producto 2) y requiere partes de metal y componentes eléctricos. La administración

desea determinar cuantas unidades de cada producto fabricar para maximizar la

ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2

unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3

unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía

tiene 200 unidades de partes de metal y 300 componentes eléctricos. Cada unidad del

producto 1 da una ganancia de $ 2 y cada unidad del producto 2 da una ganancia de $

3.00

a) formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método grafico para resolver este modelo. ¿Cuál es la

ganancia total que resulta?

Materiales Unidades de Material para cada dispositivo

Total de unidades disponibles de cada material Producto 1 Producto 2

Ganancias por unidad





3. Restricciones

4. Formule el modelo matemático del PPL. Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual

definimos la función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que

se señalan.


Forma estándar del modelo:






Función Objetivo Soluciones factibles (FEV)


Problema 2:

Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de

almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3

Kg. de chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de

chocolate, 1,5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y

B son 13 y 13,50 €, respectivamente. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para

maximizar sus ventas?



Caja tipo A Caja tipo B Disponibles

Chocolate

Almendras

Frutas

Precio en euros

1. Variables de decision




Restricciones



se señalan.










Problema 3:

Un laboratorio de Cómputos, almacena, al menos 300 Computadoras de un tamaño y

400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de computadoras

almacenadas no debe exceder de 1200. Determine las cantidades posibles de estos

dos tipos de computadoras que pueden almacenarse.

Restricciones Tipo de Computadoras Total

Computadoras Computadora 1 Computadora 2

Tipos de Computadoras



3. Restricciones





se señalan.










El Método Simplex

Para la solución de un problema de PL

Para resolver los problemas de PL se utilizan varios Algoritmos. El más antiguo y más

utilizado sigue siendo el Algoritmo del Simplex debido a Dantzig.

La solución de los problemas de programación lineal parte de dos teoremas

fundamentales:

El conjunto factible de un problema de PL puede representarse mediante un

poliedro convexo.

Si un PL tiene solución óptima y finita ésta se encuentra en uno de los vértices

del poliedro convexo.

De ellos se deduce que:

Puesto que el número de vértices de un poliedro factible es finito, el número de

posibles soluciones de un PL también es finito.

Esto sugiere, inicialmente, un algoritmo para calcular la solución óptima:

Calcular el valor de la función objetivo en cada vértice del conjunto factible y escoger

el mejor. Sin embargo, el número de vértices de un conjunto factible es:

m = número de restricciones

n =número de variables

Ejemplo: Sí m=3; y n=2; entonces el número de Vértices=10

El concepto de vértice es de naturaleza geométrica y es poco adecuado para construir

un algoritmo utilizable por ordenadores.

Conceptos importantes:

Variable básica: Una de las variables restantes, diferentes a las no-básicas, de un

programa lineal en forma estándar (igual en número al total de restricciones de

igualdad)

Variable no básica: conjunto seleccionado de variables de un programa lineal en

forma estándar (en número igual al total de variables menos el número de

restricciones de igualdad) cuyos valores se toman como cero.

Forma estándar: Una forma particular de un problema de programación lineal en el

que la función objetivo debe ser maximizada; solamente existen restricciones de

igualdad y todos los lados derechos de las variables son no negativos

m)!-n(m m!

n)!(m

m

nm



Solución básica: Valores de las variables que satisfacen las restricciones de igualdad

de un programa lineal en forma estándar, después de que las variables no básicas se

toman como cero.

Solución básica factible inicial: Valores de las variables que satisfacen las

restricciones de igualdad y de no negatividad de un programa lineal en forma

estándar, después de que las variables no básicas se toman como cero.

Variable de sobrante: variable no negativa que se añade al lado izquierdo de una

restricción menor o igual que, para obtener una restricción de igualdad equivalente.

Variable de faltante: variable no negativa que se añade al lado izquierdo de una

restricción mayor o igual que, para obtener una restricción de igualdad equivalente.

Iteración: una serie de pasos de un algoritmo que se repien.

Prueba de optimalidad: Método para determinar si la solución obtenida es la óptima.

Mejora: proceso de encontrar soluciones factibles con valores de la función objetivo

cada vez mejores.

El Método Simplex se basa en el concepto de la SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE

Es aquella que tiene al menos n-m componentes nulos o variables no básicas. Las m

restantes variables se denominan básicas.

A partir de: Ax = b

x ≥ 0

Se dice que x es una SBF si puede realizarse la partición:

A = [ N|B]

xN = 0 xB = B-1b

Existen varios tipos de solución básica:

• SB Factible: Todas las variables básicas xB ≥ 0

• SBF No Degenerada: xB > 0

• SBF Degenerada: algún xB = 0

Cada SBF representa un vértice del Conjunto Factible.

Sin embargo, un vértice puede estar representado por más de una SBF si esta es

degenerada.

Cualquier conjunto poliédrico no vacío contiene al menos un vértice, y si hay un

vértice, siempre habrá por lo menos una SBF.

B

N

x

xx



El algoritmo del Simplex busca el óptimo de un problema de PL recorriendo algunos de

los vértices del poliedro del conjunto de soluciones factibles.

En cada iteración, el algoritmo se desplaza de un vértice a otro de forma que el valor

de la función objetivo mejore con el desplazamiento.

La optimización de un PL puede dar 4 posibles resultados:

Óptimo único

Soluciones Alternativas: Existen varias soluciones que dan el mismo valor en

la función objetivo.

No factible: No existe ninguna solución que satisfaga simultáneamente todas

las restricciones del problema

No acotado: El valor de la función objetivo en el óptimo es tan grande o

(pequeño) como se desee en caso de maximización (o minimización).

LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX:

Costes reducidos (cj-zj ):

Miden el efecto sobre la función objetivo de un aumento unitario en el valor de cada

una de las variables no básicas. Por tanto:

• Si una variable no básica que tenga asociado un (cj-zj) > 0 entrara en la

base, el valor de z aumentaría.

• Si una variable no básica que tenga asociado un (cj-zj) < 0 entrara en la

base, el valor de z disminuiría.

• Si una variable no básica que tenga asociado un (cj-zj) = 0 entrara en la

base, el valor de z permanecería inalterado.

• TEST DE OPTIMALIDAD

• En problemas de maximización: La solución es óptima si todos los

costes reducidos (cj-zj) son ≥ 0.

• En problemas de minimización: La solución es óptima si todos los

costes reducidos (cj-zj) son ≤0.

• REGLA DE ENTRADA EN LA BASE

La variable que entra en la base debe ser aquella que tenga el mayor coste reducido

(absoluto) en el caso de maximización (o mayor coste reducido en el caso de

minimización), ya que ésta es la variable que aumenta (o disminuye) más rápidamente

el valor de la función objetivo.

La interpretación de este cociente:

Representa el máximo valor que puede tomar la variable entrante antes de que la

variable que se está considerando viole su restricción de no negatividad.



Si todos los aik son ≤ 0 la solución no está acotada:

La variable entrante puede crecer indefinidamente sin pérdida de factibilidad.

En el PL se transforman las inecuaciones en ecuaciones.

Dentro de la matriz A de coeficientes deberá encontrarse una submatriz

identidad (I) de orden mxm:

A = [N | I ]

Las variables cuyos coeficientes técnicos (aij) se corresponden con la submatriz

identidad, serán las variables consideradas básicas (xB) en la solución inicial y

sus valores de solución serán los términos independientes de las restricciones

(b).

El resto de variables serán consideradas no básicas (xN) y, por tanto, su valor de

solución será cero.

Si A no contiene una submatriz identidad o existe algún componente negativo en b, no

resulta inmediato determinar una SBF inicial.

b

0

x

xx

B

N



EJEMPLO APLICADO EL METODO SIMPLEX

El P.L. correspondiente es:

Max z = 23x + 32y

sujeto a:

10x + 6y ≤ 2500

5x + 10y ≤ 2000

x + 2y ≤ 500

x, y ≥ 0

Para convertir las inecuaciones en ecuaciones se añade una variable de holgura si por

cada ecuación:

Max (z) = 23x + 32y + 0 h1+ 0 h2 + 0 h3

10x + 6y + h1 = 2500

5x + 10y + h2 = 2000

x + 2y + h3 = 500

x, y ≥ 0

El proceso de cálculo de la solución utilizando el método del Simplex en forma de

tableau es el siguiente:

Operación Producto Disponibilidad

X Y (horas/periodo)

Cortado 10 6 2500

Cosido 5 10 2000

Empaquetado 1 2 500

Beneficio unitario 23 32



PASO 1: Formar el tableau inicial

a) Forma Algebraica b) Forma Tabular

Variable

Básica

Ec.

Coeficiente de : Lado

Derecho Z X Y h1 h2 h3

(0) Z - 23x - 32y =0 Z (0) 1 -23 -32 0 0 0 0

(1) 10x + 6y + h1 = 2500

h1 (1) 0 10 6 1 0 0 2500

(2) 5X+10Y + h2 = 2000 h2 (2) 0 5 10 0 1 0 2000

(3) X+ 2Y + h3=500 h3 (3) 0 1 2 0 0 1 500

PASO 2. Test de Optimalidad. Los costes reducidos de las variables x e y son

negativos. Luego no estamos en el óptimo y debe aplicarse la regla de entrada en la

base.

PASO 3. Regla de entrada. Se introduce la variable con mayor coste (absoluto)

reducido, en este caso, la variable y.

PASO 4. Regla de salida. Para determinar que variable sale de la base se calculan los

ratios:

Mín {bi /yik } = Mín {2500/6, 2000/10, 500/2} = 200

El mínimo es 200, por tanto, sale h2

PASO 5. Actualización de la solución:

• Se divide la fila entrante por el pivote

• El resto de las filas se actualizan restándoles la fila correspondiente a la nueva

variable básica, multiplicada por yik

• El tableau resultante es:

Primer Iteración

c) Forma Algebraica d) Forma Tabular

Variable

Básica

Ec.



(4) Z - 23x - 32y =0 Z (0) 1 -7 0 0 3.2 0 6400

(5) 10x + 6y + h1 = 2500

h1 (1) 0 7 0 1 -0.6 0 1300

(6) 5X+10Y + h2 = 2000 Y (2) 0 0.5 1 0 0.1 0 200

(7) X+ 2Y + h3=500 h3 (3) 0 0 0 0 -0.2 1 100



Una vez recalculado el tableau, se vuelve al paso 2 y se realiza una nueva iteración. El

tableau resultante es:

e) Forma Algebraica f) Forma Tabular

Variable

Básica

Ec.



(8) Z - 23x - 32y =0 Z (0) 1 -7 0 0 3.2 0 6400

(9) 10x + 6y + h1 = 2500

h1 (1) 0 7 0 1 -0.6 0 1300

(10) 5X+10Y + h2 = 2000 Y (2) 0 0.5 1 0 0.1 0 200

(11) X+ 2Y + h3=500 h3 (3) 0 0 0 0 -0.2 1 100

Segunda iteración:

g) Forma Algebraica h) Forma Tabular

Variable

Básica

Ec.



(12) Z - 23x - 32y =0 Z (0) 1 0 0 1 2.6 0 7700

(13) 10x + 6y + h1 = 2500

X (1) 0 1 0 0.14 -0.08 0 185.7142

(14) 5X+10Y + h2 = 2000 Y (2) 0 0 1 -0.07 0.14 0 107.1428

(15) X+ 2Y + h3=500 h3 (3) 0 0 0 0 -0.2 1 100

Solución óptima para X=185.7142, Y=107.1428 con Z=7700.

Si en la matriz A no existe una submatriz identidad, se deberá seguir uno de los dos

siguientes procedimientos:

• Método de Eliminación o de la M Grande

• Método de las 2 Fases

En ambos casos se resuelve un problema de apoyo que:

• En A incluye una submatriz identidad I, por lo que resulta muy sencillo

determinar una solución inicial

• Su óptimo, si existe, es una SBF del problema.

Una vez construido el problema de apoyo se aplica el algoritmo del Simplex para su

solución final.



Ejemplo 2:

Resolveremos por el método Simplex el problema de la WINDOR GLASS CO. Que produce

artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas.

Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la 3

produce el vidrio y ensambla los productos.



Solución de los dos problemas anteriores por Simplex Revisado.



GUÍA PRÁCTICA # 3

Solución por el Método Simplex y Simplex Revisado

I. Resolver por el método simplex y simplex revisado, los siguientes problemas.

Max

Sujeto a:

Forma Algebraica Forma Tabular

Variable

Básica

Ec.


Derecho Z X1 X2 X3 X4 X5

(0)

(1)

(2)

(3)

II.Resolver por el método simplex, el siguiente problema:

Max

Sujeto a:

Forma Algebraica Forma Tabular

Variable

Básica

Ec.


Derecho Z X1 X2 X3 X4

(0)

(1)

(2)

(3)

21 6040 xxZ

0,

903

40

702

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

21 34 xx

0,

602

40

21

21

21

xx

xx

xx



DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Teoría de dualidad:

• La teoría de dualidad parte que asociado a todo problema de PL tiene existe

otro problema lineal llamado dual.

• Las relaciones entre el problema dual y el problema original o (llamado

también primal) son en extremos útiles en una gran variedad de situaciones.

• Uno de los aspectos más importantes de la teoría de dualidad es la

interpretación y realización del análisis de sensibilidad.

Esencia de la teoría de dualidad:

• Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su problema dual tiene la

forma que se muestra a la derecha.

Max Min

El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el problema primal, pero en

diferentes lugares.

Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y del problema dual.

Max Min

Donde c, y son vectores fila y b y x son vectores columna.

0

:

1

1

j

i

n

j

jij

n

j

jj

x

bxa

asujeto

xcZ

0

:

y

cyA

asujeto

ybW

0

:

x

bAx

asujeto

cZ x

0

:

y

cyA

asujeto

ybW



Problema primal y dual para el caso del problema de Wyndor Glass Co.

El problema primal El problema Dual

Max Min

A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y a la derecha el problema

dual en forma algebraica.

El problema dual se puede resolver por los mismos métodos que hemos resueltos los

problemas PL. Por lo que para efectos de análisis vamos resolverlo usando WinQSB.

Max

Min

A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a la derecha el problema

dual en forma matricial.

Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co. (usando WinQSB)

La solución óptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36.

0

0

1823

122

4

:

53

2

1

21

2

1

21

x

x

xx

x

x

asujeta

xxZ

0

0

0

522

33

:

18124

3

2

1

32

31

321

y

y

y

yy

yy

asujeta

yyyW

0

0

18

12

4

23

20

01

:

53

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

asujeta

x

xZ

000

53

23

20

01

:

18

12

4

321

321

321

yyy

yyy

asujeta

yyyW



La solución óptima es: X1=2 y X2=6 para z= 36

Análisis comparativo: (Solución dual y primal)

En cuadro anterior se puede ver que la solución de las variables de decisión del problema

primal son: X1=2 y X2=6, estos resultados corresponden los precios sombras de la solución

del problema dual.

La solución de las variables de decisión del problema dual son: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1. Estos

valores corresponden a los precios sombra del problema primal.

El óptimo de la función objetivo tanto del problema dual como primal es el mismo ( Z=36).

Los valores mínimos permitidos en las variables de decisión del primal (X1=0; X2=2)

corresponden a los mínimos permitidos en las restricciones del problema dual.

Los valores máximos permitidos en las variables de decisión del primal (X1=7.5 ; X2= M)

corresponden a los máximos permitidos en las restricciones del problema dual.

Los valores mínimos permitidos en las variables de decisión del dual (Y1=2; Y2=6;Y3=12)

corresponden a los mínimos permitidos en las restricciones del problema primal.

Los valores máximos permitidos en las variables de decisión del dual (Y1=M ; Y2= 18 ;Y3=24)

corresponden a los máximos permitidos en las restricciones del problema primal.

La reducción de costos para las variables de decisión de problema primal (X1=0;X2=0)

corresponden a los precios sombras del problema del problema dual.

La reducción de costos para las variables de decisión de problema dual (Y1=2;Y2=0;Y3=0)

corresponden a los precios sombras del problema del problema primal.

Problema primal (original):

MAX Z= 3X1 + 4X2 – 2X3 Variables duales

Sujeto a: 4X1 – 12X2 + 3X3 < 12 Y1

–2X1 + 3X2 + X3 < 6 Y2

–5X1 + X2 – 6X3 < -40 Y3

3X1 – 4X2 – 2X3 < 10 Y4



X1 > 0, X2 < 0, X3 no restringida en signo

Problema Dual

Min W = 12Y1 + 6Y2 – 40Y3 + 10Y4

Sujeto a:

4Y1 – 2Y2 – 5Y3 + 3Y4 >= 3

–12Y1 + 3Y2 + Y3 - 4Y4 >= 4

3Y1 + Y2 – 6Y3 – 2Y4 >= -2

Y1 > 0, Y2 < 0, Y3 > 0, Y4 no restringida en signo

Usando WinQSB. Obtenemos la solución de ambos problemas.

Sensibilidad:

El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima

obtenida como resultado de hacer cambios en el modelo original.

Como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad

para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.

Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir diferentes tipos de cambios en el modelo

original como:

1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, Cij

2. Cambios en los recursos, bi

3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, aij

4. Adición de una nueva variable Xi

5. Adición de una nueva restricción. aij >= bi

Ejemplo de análisis de sensibilidad:

La empresa KAMIR se dedica a la fabricación de tres producto; A, B y C. El procedimiento de

producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de

ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada

operación.

Datos de producción para la compañía (minutos por producto)



El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para

la compañía.

Datos de costo e ingreso para la compañía

Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que

se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. Considerando la información, se

planteó el modelo de programación lineal:

X1: número de productos tipo A.

X2: número de productos tipo B.

X3: número de productos tipo C.

Solución: Modelo de PPL

Dual del Problema anterior.

Min W= 480Y1 + 480Y2 + 480y3

Sujeto a:

2y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 20

6y1 + 6y2 + 2y3 ≥ 35

2y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 45

y1 ≥ 0

acabadoxxx

inspecciónxxx

formaciónxxx

asujeto

xxxZ

480422

480263

480262

:

453520

321

321

321

321



y2 ≥ 0

y3 ≥0

Responda las siguientes preguntas.

1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual

permanece

2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?

3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por que?

4. ¿Que pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección,

cambiaría la función objetivo?

5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el

departamento de formado?

6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de

mantenimiento en el departamento de acabado?

7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, ¿cómo se

afecta la base actual y el objetivo?

8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto,

¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en que departamento y cuanto

tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual?

Problema PPL con análisis de sensibilidad.

Es problema de PL con varias variables

Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en cuatro sabores: chocolate, vainilla,

chicle y plátano. Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene un

déficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche, azúcar y crema.

Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidas de sus expendios. Por estas

circunstancias, la compañía a decidido seleccionar la cantidad que debe producir de

cada sabor para maximizar la ganancia total, dadas las restricciones en las cantidades

de ingredientes básicos.



Sujeto a:

• La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170 libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes)

• Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón de leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema.

• Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema.

• Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema.

• Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema.

• La compañía para mantener su mercado cautivo de sabores a decidido también producir al menos 30 galones de helados de cada uno de los cuatro sabores.

• Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chicle generan ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9 y $.95 por galón.

Variables de decisión

X1 = Números de Galones de helados de chocolate

X2 = Números de Galones de helados de vainilla

X3 = Números de Galones de helados de banano

X4= Números de Galones de helados de chicle

Función objetivo

Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4

$ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate)

+ ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla)

+ ($/galón de plátano) x (Número galones banano)

+ ($/galón de chicle) x (Número galones chicle)

Restricción de producción

0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X1 galones de

chocolates


vainilla

0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para producir X3 galones de

banano


chicle



0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 220

0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X1 galones de

chocolates


vainilla

0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X3 galones de

banano


chicle

0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 170

0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X1 galones de

chocolates


vainilla

0.2X3es el total de galones de crema que se requieren para producir X3 galones de

banano


chicle

0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 70

Compromisos de demanda

X1 galones de chocolate 30 galones

X2 galones de vainilla 30 galones

X3 galones de banano 30 galones

X4 galones de chicles 30 galones

Modelo de PPL

Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4



No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de

demanda para todas las variables.

Solución

PREGUNTAS ADICIONALES

Suponga que la ganancia por galón de plátano a $1.00 ¿cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total?

Sujeto a:

0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 220

0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 170

0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 70

X1 30

X2 30

X3 30

X4 30



- Cambia la ganancia total

- Cambia la solución óptima.

Suponga que la ganancia por galón de plátano a $0.92 ¿cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total?

- Cambia levemente la ganancia total

- No cambia la solución óptima

- Se podría decir que no hay cambios relevantes en la optimización.

Suponga que descubren tres galones de crema agrio que tienen que tirarse ¿cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? Se podría decir que no hay cambios en la optimización ni en la ganancia, eran

Sobrantes.



Suponga que tienen la oportunidad de comprar 15 libras adicionales de azúcar por un costo total de $15.00¿Deben comprarlas ? explique

- Se recomienda comprarlos, eso permite mejorar la solución óptima - El precio es inferior a lo permitido de $2.50 por libra, por tanto es una

buena opción.

Nota: Se utilizó el software WINQSB para la solución del modelo.



9. ¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A ?

10. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A cambiara sus

tiempos de fabricación en

11. a1= (2,3,2) a a1 = (1,2,2)

12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes

características C4=60, a4 = (2,1,3), ¿Qué recomendaría?

Solución del primal con WinQSB.

Decisión Variable

Solution Value

Unit Cost or

Profit c[i]

Total Contribution

Reduced Cost

Basis Status

Allowable Min c[i]

Allowable Max c[i]

X1 0 20 0 -5.00 at bound -M 25.00

X2 48 35 1,680.00 0 Basic 22.50 135.00

X3 96 45 4,320.00 0 Basic 32.50 70.00

Objective Function Max= 6,000.00

Constraint Left

Hand

Side

Direction Right Hand

Side

Stack

Or

Surplus

Shadow

Price

Allowable

Min RHS

Allowable

Max RHS

C1 480.00 <= 480.00 0 2.50 240.00 480.00

C2 480.00 <= 480.00 0 0 480.00 M

C3 480.00 <= 480.00 0 10.00 160.00 960.00

Respuestas a las preguntas:

1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual

permanece: X2 está entre 22.5 y 135.00, X3 está entre 32.5 y 70, la variable X1 no es

básica, es decir no se recomienda producir del producto A.

2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?

Para formación se puede tener entre 240 y 1440 minutos.

Para inspección se puede tener entre 288 y M (ilimitado) minutos.

Para acabado se puede tener entre 160 y 960 minutos.

3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por que?

En acabado, por ejemplo con 2 horas más en acabado se producirían 132 unidades del

producto C, actualmente son 96. Con una nueva utilidad de 7,200.00 contra 6,000 que

actualmente se obtienen. El intervalo lo permite con una costo de por minuto de

U$10.

4. ¿Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección,

cambiaría la función objetivo? No cambiaría la función objetivo, la cual permanecerá



igual porque no se afectaría la producción. Los 20 minutos que darían como sobrantes,

es decir no se aprovecharían.

5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el

departamento de formado? La utilidad óptima seguiría siendo la misma que la actual,

no habría incremento en la producción, y los 50 minutos no serían utilizados.

6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de

mantenimiento en el departamento de acabado? Si se programan 30 minutos de

acabado solo contaríamos con 450 minutos para este proceso, lo que afectaría la

producción de la siguiente manera: se producirían 51 unidades tipo B y 87 unidades

tipo C, para una utilidad óptima de 5,700.00, teniéndose una pérdida de U$ 300 por el

tiempo perdido en mantenimiento.

7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, ¿cómo se

afecta la base actual y el objetivo? Actualmente los costos de producción del producto

B es U$50.00 con 25% menos los costos de producción serán de U$ 37.50. Por lo tanto

la utilidad por unidad producida será de (U$37.50+U$15.00=U$52.50) y es vendida en

U$100.00 por lo que la utilidad será de U$ 47.50. Esto afectará la función objetivo, la

que lógicamente aumentará su óptimo a U$6,600.00 produciendo los mismos

productos.

8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto,

¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en que departamento y cuanto

tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual? El modelo recomienda

de acuerdo a los intervalos que se pueden contratar minutos extras en inspección y

acabado, siendo el acabado el de mayor costo. Si hay una disminución de costo. Se

podría aumentar al máximo recomendado de 8 horas extras o sea 480 minutos en

acabado para un total de 960 minutos en acabado. Esto permitirá óptimo de U$

10,800.00 con una producción concentrada en el producto C. que es de mayor

rentabilidad.

9. ¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A?

Si se producen 10 unidades del producto A, las utilidades se reducirían a U$ 5,925.00 o

sea se tendría una pérdida de U$75.00 con respecto a la utilidad actual.

10. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A cambiara sus

tiempos de fabricación en

11. a1= (2,3,2) a a1 = (1,2,2)

Seguiría siendo poco atractivo producir el producto A dado su poca utilidad en

comparación con los productos B y C. de manera que se seguiría produciendo la misma

cantidad de B y C y por lo tanto obtendríamos el mismo óptimo actual.

12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes

características C4=60, a4 = (2,1,3), ¿Qué recomendaría?



Remplazar el producto A que no es rentable y producir el nuevo producto según el

análisis de optimalidad con los parámetros del nuevo producto se vuelve atractivo

producirlo, ya que la nueva utilidad neta sería de U$ 9,600.00 con tiempo de

procesamiento menor. Esto implica ahorro en maquinaria y horas-hombres.

acabadoxxx

inspecciónxxx

formaciónxxx

asujeto

xxxZ

480423

48026

480262

:

453560

321

321

321

321

Guías Prácticas de Investigación de Operaciones · 2011. 5. 28. · conocimiento progresivo,...

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