2. Nomenclatura y Geometria de Los Elementos de Un Rotor y Estator
GUÍA VII: “MÁQUINAS ASINCRÓNICAS” 1. El estator de una...
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Sistemas Electromecánicos, Guía VI:”Máquinas Asincrónicas”
1
GUÍA VII: “MÁQUINAS ASINCRÓNICAS”
1. El estator de una máquina asincrónica trifásica de 6 polos está conectado a una red de 50 [Hz]. Determine la frecuencia de las corrientes en el rotor para cada una de las si-guientes condiciones: a.1) Rotor detenido. a.2) Rotor girando a un tercio de la velocidad sincrónica. a.3) Rotor girando con un deslizamiento de 3%. a.4) Rotor girando con un deslizamiento de -3%. a.5) Rotor girando a 1000 [rpm]. a.6) Rotor girando a 500 [rpm] en sentido contrario al campo giratorio del estator. Para cada una de las condiciones anteriores indique las siguientes velocidades relativas: b.1) Campo giratorio del estator con respecto al estator. b.2) Campo giratorio del estator con respecto al rotor. b.3) Campo giratorio del rotor con respecto al estator. b.4) Campo giratorio del rotor con respecto al rotor. b.5) Campo giratorio del rotor con respecto al campo giratorio del estator.
Resolución:
a) Definamos:
[ ][ ]
[ ]rpmen rotor del giro de velocidad:s
radrotor del giro de velocidad:
sradestator del giratorio campo del velocidad:
Hzrotor de corrientes de frecuencia:Hzestator de corrientes de frecuencia:
1
r
m
r
p
ff
η
ω
ω
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
(1)
Luego el 'slip' ('s') está dado por:
-
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2
p
psm
1
1
ω
ωω
−= (2)
Y:
fsf r ·= (3) . De este modo, a.1) con rotor detenido:
[ ]Hzfp
ps
r 5050·1
10
1
1
==⇒
=−
=ω
ω
(4)
a.2) Con la velocidad a 1/3 de la velocidad sincrónica:
[ ]Hzf
p
pps
r 33.3350·32
32
·31
1
11
==⇒
=−
=ω
ωω
(5)
a.3) Con s = 3%:
[ ]Hzf r 5.150·03.0 ==⇒ (6) a.4) Con s = -3%:
[ ]Hzf r 5.150·03.0 ==⇒ (7) a.5) Con una velocidad de 1000 [rpm]:
-
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3
[ ]
[ ]Hzf
f
f
s
srad
r
rm
0
0
3··2
7.1043··2
/7.104·2·60
1000·2·60
=⇒
=−
=⇒
===
π
π
ππη
ω
(8)
a.6) Con una velocidad de -500 [rpm]:
[ ]
[ ]Hzf
f
f
s
srad
r
rm
7550·5.1
5.1
3··2
36.523··2
/36.52·2·60500·2·
60
==⇒
=+
=⇒
−=−
==
π
π
ππη
ω
(9)
b) b.1) Campo giratorio del estator con respecto al estator, para todos los casos (a.1; …;a.6):
[ ]sradfpecge
/72.1073··21 === π
ωω (10)
b.2) Campo giratorio del estator con respecto al rotor:
cgemcger
cge sωωωω ·=−= (11) Luego en cada caso:
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ]sradsasradsa
sradsa
sradsa
sradsa
sradsa
cger
cge
cger
cge
cger
cge
cger
cge
cger
cge
cger
cge
/08.157·5.15.1)6.
/0·00)5.
/·03.003.0)4.
/·03.003.0)3.
/81.69·32
32)2.
/72.104·11)1.
===
===
−=−=−=
===
===
===
ωω
ωω
πωω
πωω
ωω
ωω
(12)
-
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b.3) Campo giratorio del rotor con respecto al estator:
rotor al respectocon rotor del giratorio campo del velocidad:rotor del velocidad:
rotor del giratorio campo del velocidad::
cgr
m
cgr
mcgre
cgr
donde
ωω
ω
ωωωω +==
(13)
Entonces para el caso de a.1):
]/[72.104
]/[72.1043
·2··10
srad
sradfss
ecgr
m
==⇒
==⇒
=⇒=
ωω
πω
ω
(14)
Para los casos restantes:
]/[72.1043··2··
3·2··
)·1(
111
1
1
sradfss
fss
me
cgr
m
==+−=+=⇒
=⇒
−=
ωπωωωωω
πω
ωω
ω321
(15)
b.4) Campo giratorio del rotor con respecto al rotor:
}
1
·
···2···2
1
ωππ
ω
ω
sp
fsp
ffs
r
rcgr ===
876
(16)
Luego en cada caso:
-
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[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ]sradsasradsa
sradsa
sradsa
sradsa
sradsa
rcgr
rcgr
rcgr
rcgr
rcgr
rcgr
/08.157·5.15.1)6.
/0·00)5.
/3
)50·03.0(··203.0)4.
/·03.003.0)3.
/81.69·32
32)2.
/72.104·11)1.
1
1
1
1
1
===
===
=−
=−=
===
===
===
ωω
ωω
ππ
ω
πωω
ωω
ωω
(17)
Ojo que 'f' y 'fr' no pueden ser frecuencias negativas. b.2) Campo giratorio del rotor con respecto al campo giratorio del estator:
mmr
ecgr
ecge
pfs
pf
pf
ωπωπ
ω
πω
+=+=
=
··2···2
··2
(18)
Además se sabe:
pf
pf
sm
··2
··2
π
ωπ −= (19)
Con ello:
pf
pf
pf
pf
m
m
ecgr
··2··2
··2
···2 πωπ
ωππω =+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧ −= (20)
Finalmente:
0=−=e
cgee
cgrcge
cgr ωωωω
(21)
Para todos los casos.
-
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2. Un motor de inducción trifásico de 6 polos, 400 [Hz], 150 [V], entrega una potencia nominal de 10 [HP] a la carga con un deslizamiento de 3%. Las pérdidas por venti-lación y roce a velocidad nominal son de 200 [W]. Determine: a) La velocidad del rotor. b) La frecuencia de las corrientes del rotor. c) Las pérdidas en el cobre del rotor. d) El torque. e) La relación entre frecuencia del estator (f), la frecuencia de las corrientes del rotor (fr) y la velocidad del rotor (ωr) [rad/s], en un motor de 2 polos.
Resolución: Definamos:
[ ][ ][ ]Hzestator elen corrientes las de frecuencia:Hzrotor elen corrientes las de frecuencia:
rpmen rotor del giro de velocidad:s
radrotor del giro de velocidad:
sradestator del giratorio campo del velocidad:1
ff
p
r
m
m
η
ω
ω
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
(22)
a) Se tiene que:
][76.7759··2
60
]/[6.812)·1(
]/[3.2513··2
1
1
rpm
sradp
s
sradf
mm
m
==⇒
=−=⇒
==
ωπ
η
ωω
πω
(23)
b) La frecuencia de las corrientes en el rotor es:
][12400·03.0· Hzfsf r === (24)
c) Definamos:
-
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rotor del cobre elen pérdidas:ón ventilacimás roce de pérdidas:
giratorio campo de potencia:mecánica potencia:
2
1
Cu
vr
CG
mec
PPPP
+
(25)
Primero llevemos la potencia mecánica a [W]
][7457][10 WHPPmec == (26)
Luego la potencia mecánica total:
][7657 WPPP vrmecmecTOTAL =+= + (27) Finalmente:
][2377657·03.01
03.01
·2 WsP
sP mecTOTALCu =−=
−= (28)
d) El torque es:
]·[176.96.812
7457 mNP
Tm
mec ===ω
(29)
e) El torque es:
πω
πωπ
·2·
··2··2
·
mr
mr
r
ffff
ff
fsf
−=⇒−
=
= (30)
3. Un motor de inducción trifásico de 440[V], 50 [Hz], 8 polos, rotor devanado, estator y rotor en conexión estrella, pérdidas en el estator despreciables, tiene los siguientes parámetros: R2' = 0.63 [Ω], Xσ1 = 1.15 [Ω], Xσ2 = 1.15 [Ω], Xm = 40 [Ω] a) Determina la característica T(s). b) Si el motor debe accionar una carga cuyo torque es de 500 [Nm], ¿qué resistencia equivalente debe conectarse en el rotor para lograr que el motor arranque?
-
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Resolución: Previamente, el circuito equivalente por fase es:
j·Xσ2'
V1∟0√3
j·Xσ1
j·Xm R2'/s
Figura 1. Circuito Equivalente por fase
a) Se tiene el equivalente Thevenin, donde:
Figura 2. Circuito Equivalente Thevenin
0
·12.1)·(
····
][º0247)·(
··
1
1
1
1
=
=+
==
∠=+
=
•
•
•
Th
m
mThTh
m
m
Th
R
jXXjXjXj
XjZ
VXXj
XjVV
σ
σ
σ
(31)
Luego el torque máximo, y 'sm' correspondiente al deslizamiento para torque máximo:
-
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9
277.0'
'
]·[6.513)15.112.1·(314·2
270·4·3)'·(·2
··3
2
2
2
21
2
=+
=
=+
=+
=
σ
σω
XXR
s
mNXX
VpT
Thm
Th
Thm
(32)
En forma general, y la característica es:
]·[3.264)1(1]·[6.513)(277.0
]·[0)0(0
·2)(
mNTsmNsTs
mNTss
sss
TsT
m
m
m
m
=→=⇒=→=⇒
=→=⇒
+=
(33)
0
100
200
300
400
500
600
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Deslizamiento
Torq
ue
b) Sea la ecuación general de torque:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +++
=2
222
1
22
)'()'(·
'···3
σ
ω
XXsRRs
RVpT
ThTh
Th
m (34)
Despejando R2' para s = 1:
-
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10
][23.2][17.1
][86.2'][8.1'
0'·663.4153.5'
2
1
22
12
22
2
Ω=Ω=
⇒⎭⎬⎫
Ω=⇒Ω=⇒
=−+
ad
ad
RR
RR
RR (35)
Para los 2 valores de R2', se tiene:
¿?26.1793.0
''
2
1
2
2
→=→=→
+=
m
m
Thm
ss
XXR
sσ
(36)
Luego la resistencia adicional equivalente debe ser 1.17 [Ω].
4. Un motor de inducción trifásica, 6 polos, 440[V], 60 [Hz], tiene los siguientes parámetros referidos al estator. Resistencia del estator R1 = 0 [Ω]; Resistencia del rotor R2' = 0.3[Ω]; Inductancia de magnetización Lm = 0.1[H]; Inductancia de dispersión del estator Lσ1 = 3 [mH]; Inductancia de dispersión del rotor Lσ2' = 3 [mH] Determine: a) El torque máximo. b) El torque de arranque. c) La velocidad a la cual se produce el torque máximo. d) La velocidad a la cual el motor impulsará una carga que tenga la característica Tc = K·ωr, donde ωr velocidad de giro del rotor y K = 2[Nm/rad/s]. (Hint: haga una solución gráfica). e) La frecuencia en [Hz] de las corrientes por el rotor, cuando éste gira a ηr =1141 [rpm]. f) La eficiencia del motor cuando el rotor gira a la velocidad de e).
Resolución:
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Xσ2'
440√3
Xσ1
Xm R2'/s
Figura 3. Circuito Equivalente por fase
a) El equivalente thevenin tiene los siguientes valores:
][1.164.4213.1
64.42·13.1·
][48.24764.4213.1
64.423
440·
1
1
1
1
Ω=+
=+
=
=+
=+
=
m
mTh
m
mTh
XXXX
X
VXX
XVV
σ
σ
σ (37)
Luego el torque máximo y deslizamiento para dicho torque:
]·[8.327)'·(·2
··3
135.0'
21
21
2
mNXX
VpT
XXR
s
Th
Thm
mm
=+
=
=+
=
σ
σ
ω
(38)
b) El torque está dado por:
ss
ss
TsT
m
m
m
+=
·2)(
(39)
Para obtener el torque de arranque evaluamos en s = 1:
]·[92.86
1135.0
135.01
8.327·2 mNTarr =+
= (40)
c) La velocidad a la que se produce el torque máximo:
-
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][1038·2
60·
]/[7.108)135.01(3
30··2)1·(1
rpm
sradsp
mm
mm
==
=−=−=
πωη
πωω (41)
d) En rigor se debe utilizar la condición de equilibrio entre el torque eléctrico y el torque de
carga:
cm
m
m Tsp
ss
ss
TsT =−=
+= )1(·2
·2)( 1
ω
(42)
Pero esto nos conduce a una ecuación cúbica. Sin embargo, supongamos un deslizamiento
pequeño, el torque eléctrico es:
2022
··2···2
m
mels
m
mmel s
sTT
ssssT
T =⎯⎯ →⎯+
= → (43)
Luego el torque de carga:
pkTs
pkksT csmc
10
1 ·)1·(··)(ωω
ω =⎯⎯→⎯−== → (44)
En equilibrio:
0518.08.327·3135.0·60··2
··
·2··2
1
1
===⇒
=
πω
ω
m
m
m
m
Tps
s
pssT
(45)
Entonces la velocidad del rotor:
][1138
]/[15.119)0518.01(3
60··2)1·(1
rpm
sradsp
r
r
=⇒
=−=−=
η
πωω (46)
Si se realiza una solución gráfica se tiene que el punto de equilibrio ocurre a 117 [rad/s]. Luego suponer una condición de pequeños deslizamientos es una buena aproximación e) Sea:
-
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]/[5.11960·2·][1141 sradrpm mmm ==⇒=πηωη (47)
Luego s:
05.01
1
=−
=
p
psm
ω
ωω
(48)
Entonces:
][360·05.0· Hzfsf r === (49)
f) Sea η el rendimiento del motor:
%9595.005.011 =⇒=−=−= ηη s (50) Las pérdidas del estator son despreciables
5. Un motor de inducción trifásico de 460 [V], 60 [Hz], 6 polos, mueve a una carga constante de 100 [Nm] a una velocidad de 1140 [rpm], cuando los terminales del rotor están cortocircuitados. Se desea reducir la velocidad del motor a 1000 [rpm] agregando resistencias externas en el rotor. Diseñe la resistencia adicional por fase especificando su potencia y su valor en [Ω], considerando que la resistencia del rotor es de 0,2 [Ω] por fase. Cuando el eje mecánico está detenido, la tensión entre 2 terminales del rotor es de 460 [V]. Desprecie las pérdidas en el estator.
Resolución: a) Calculemos los deslizamientos en cada condición
167.005.0
])[1000(2]),[1140(1][360060·
donde ;
2
1
=⇒=⇒
===
−=
ss
rpmrpmirpmf
p
ps ee
ie
i
ηη
ηη
(51)
-
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
14
Supongamos condición de pequeños deslizamientos, entonces:
2
22
1
11
··2··2
m
m
m
m
ssT
Ts
sTT == (52)
La condición de equilibrio está dada cuando el torque es 100 [N·m] en ambos casos:
1
2
1
2
2
2
1
1
21
··2··2]·[100
ss
ss
ssT
ssT
mNTT
m
m
m
m
m
m
=⇒
=
==
(53)
Por otro lado, se sabe:
''
''
2
121
2
222
σσ XXR
sXX
Rs
Thm
Thm +
=∧+
= (54)
Entonces
][467.02.0667.0'][667.03.3·2.0'''][2.0'
3.3''
05.0167.0
22212
12
22
1
2
Ω=−=⇒Ω==+=⇒Ω=⇒
===
ad
ad
m
m
RRRRR
RR
ss
(55)
Debido a la resistencia adicional, tenemos 2 curvas de característica diferentes para la
misma máquina. Ahora bien la potencia:
][1047172.104·100·Rsin ; ][11938119·100·
22
ad11
WTPWTP
mcmec
mcmec
===
===
ωω
(56)
Las pérdidas son:
][20991
·
][3.6281·
2
222
1
111
Ws
PsP
Ws
PsP
meccu
mecCu
=−
=
=−
=
(57)
-
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15
Con ello:
][7.1470:12 WPPP cucuCuRad −= (58) O bien:
][1470·''
222
WPRR
P cuad
CuRad == (59)
6. La máquina asincrónica de la figura impulsa al generador sincrónico conectado a la red 1 de 380 [V], 50 [Hz]. La máquina sincrónica tiene saturación despreciable y al-canza la condición de flotación con una corriente de campo If = 2 [A]. La máquina a-sincrónica tiene pérdidas despreciables en el estator (R1 = 0) a) ¿A qué velocidad gira el conjunto? Justifique. b) Determine la potencia activa que entrega la red 2. c) ¿Qué valor debe tener la corriente de campo para que el generador transmita su potencia nominal a la red 1 con FP unitario?
Resolución: a) La máquina sincrónica impone la velocidad, ya que debe girar a la velocidad sincrónica de
la red 1. De esta manera la máquina de inducción se acomodará a la velocidad a través del deslizamiento. La velocidad del conjunto es:
][1572
50··2··2 11 sradp
fpm
====ππωω (60)
-
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16
b) Suponiendo que no hay pérdidas en la transmisión, la potencia en el eje de la máquina sincrónica es:
][30 kWPmec = (61) Luego la potencia activa de la red 2 es (con pérdidas despreciables en el estator):
sP
P mecCG −=
11 (62)
Donde:
167.060··250··2·21
·1
2
=−=−=ππ
ωωmps (63)
Luego:
][361 kWPCG = (64) c) La máquina sincrónica se encuentra en condición de flotación, la corriente de armadura es
cero, luego la tensión es los terminales es la misma que la tensión de alimentación:
][220 VVV aP == por fase con ][2 AI f = (65)
Luego cuando la potencia nominal es 30 [kVA]:
][6.45·380·330000
··3
AII
IVP
a
a
aanom
=⇒=
=
(66)
Dado que el factor de potencia es 1, Va e Ia están en fase:
Figura 4. Circuito Equivalente
-
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
17
Por LVK:
][º2315.238
··
VV
XjIVV
P
saaP
∠=⇒
+=
•
••• (67)
Si consideramos el estar trabajando en zona lineal de la característica de magnetización de
la máquina sincrónica:
][165.2220
15.238·2'·' AV
VII
P
Pff === (68)
Siendo esta la corriente de campo para la nueva condición.
7. Un motor asincrónico de 225 [kW], 50 [Hz], 16 polos, rotor devanado, estator y rotor en conexión estrella tiene una resistencia del rotor (por fase) referida al estator de 0.035 [Ω]. El deslizamiento nominal del motor es sn = 2.5%. El motor impulsa a un ventilador cuyo momento de carga es proporcional al cuadrado de la velocidad ( 2· rc kT ω= ). El ventilador demanda una potencia de 225 [kW] a la ve-locidad nominal del rotor. a) Determine el torque que desarrolla el motor: a.1) A velocidad nominal. a.2) A 250 [rpm]. b) Se agregan resistencias adicionales en el rotor devanado, para reducir la velocidad a 300 [rpm]. b.1) Muestre gráficamente cómo se altera el punto de trabajo y la característica Tel(ωr) al agregar la resistencia adicional. b.2) Determine el valor de la resistencia adicional (vista desde el estator). (Ayuda: considere que T(s) es lineal en la zona de trabajo) b.3) Calcule el rendimiento del motor en el nuevo punto de trabajo. b.4) Determine la potencia disipada en cada resistencia adicional. b.5) Calcule la frecuencia de las corrientes en el rotor (fr). b.6) Determine la velocidad del campo giratorio del rotor con respecto al del estator.
Resolución:
a) a.1) La velocidad nominal del rotor es:
]/[3.38)025.01·(8
50··2)1·(··2 sradsp
fnomrnom =−=−=
ππω (69)
-
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18
Luego el torque nominal es:
]·[58753.38
2250002 mN
PT
rnom
nomnom === ω
(70)
a.2) Se sabe que:
]/··[43.38
5875·
2222
2
radsmNT
k
kT
rnom
nom
rc
===⇒
=
ω
ω (71)
A η = 250[rpm]:
]/[2.2660
·2· sradr ==πηω (72)
El torque del ventilador es:
]·[27462.26·4· 22 mNkT r === ω (73)
b) b.1) Se tiene la curva de la figura siguiente.
Desde el punto de operación A con snom = 0.025 (365[rpm]) se traslada al punto de operación B con:
2.0
83000
3008
3000
2 =−
=s (74)
-
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19
Figura 5. Curva Torque versus Velocidad
b.2) Considerando que se está trabajando en la zona estable (con s < sm1), podemos usar una aproximación lineal:
ssT
sTm
m ··2)( = (75)
En el caso sin resistencias adicionales:
nomm
mnomnomnom ss
TTsTss ··2)(
1
==⇒= (76)
Con las resistencias adicionales en el rotor:
22
22 ··2)( ssT
TsTm
m== (77)
-
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
20
1
2
22
·m
mnomnom
ss
ss
TT
=⇒ (78)
Considerando que sm ~ R2':
Tm
m
RR
ss
''
2
2
2
1 =⇒ (79)
Además:
2
22
2·
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒
=
r
rnomnom
rc
TT
kT
ωω
ω (80)
De este modo:
][38.0'·9.10'''9.11'·'
9.11025.02.0·
3006.365·
''
·
22
2222
22
2
22
2
2
21
2
Ω==⇒+==⇒
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒
=
RRRRRR
ss
RR
ss
TT
ss
ad
adT
nomr
rnomT
nom
nom
m
m
ωω (81)
b.3) Con η = 300 [rpm]:
%808.01
2.0375
3003751
1
=⇒=−=⇒
=−
=−
=
ηη
ω
ωω
sp
psr
(82)
b.4) Se tiene:
][12402560
·2·300·4··)300(3
3300300300 WkTP rrmec =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛===
πωω (83)
Luego:
-
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
21
][310062.01
2.0·124025
)1(
)(
32
232
W
ss
PP
sP
PPPP
mecTCu
CuCGCumecCG
=−
=−
=⇒
=+=
φ
φ
(84)
Pero:
][946438.0035.0
38.0·3
31006''
'··
31)'(
)'()'(
22
232212
222232
WRR
RPRP
RPRPP
ad
adTCuadCu
adCuCuTCu
=+
=+
=→
+=
φφ
φ
(85)
b.5)
][1050·2.0· 12 Hzfsf r === (86) b.6) Se tiene:
][375·50 1 rpmp
fcgercgrecgr ===+== ωωωωω (87)
O bien:
][375]/[25.3985.74.31
][75]/[85.750·2.0·8·2···2
]/[4.3160
·2·300][300
1
rpmsrad
rpmsradp
fs
sradrpm
recgr
r
==+=+=
====
===
ωωω
ππω
πω
(88)
8. Una máquina de inducción de 10 [kW], 4 polos conectada en Y ala red trifásica de 380 [VLL], 50 [Hz]. La máquina tiene los siguientes parámetros de circuito equivalente: R1 = 0 , Rfe → ∞ (pérdidas despreciables en el estator). R2' = 0.4 [Ω], Xσ1 = Xσ2' = 1 [Ω], Xm = 10 [Ω]. a) Encuentre la característica torque versus deslizamiento. b) Calcule la velocidad de giro (en RPM) del rotor cuando la máquina es usada para levantar una carga gravitacional (torque constante) de 30 [N·m]. c) ¿Cuánto valen las pérdidas (en kW) de la máquina para la condición de operación calculada en b).
-
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
22
Resolución: a) Sabemos que:
m
m
m
ss
ss
TsT
+=
·2)(
(89)
Donde:
''
)'·(·2··3
2
2
2
2
σ
σω
XXR
s
XXVp
T
Thm
The
Thm
+=
+=
(90)
Aplicando teorema de Thevenin:
][1110
''·
][2001110·220·
3380
2
2
1
Ω=+
=
==+
=
m
mTh
m
mTh
XRXR
X
VXX
XV
σ (91)
Reemplazando:
21.01
1110
4.0
]·[200)1
1110·(50··2·2
)200·(2·3 2
=+
=
=+
=
m
m
s
mNTπ
(92)
Finalmente:
]·[0441.0
·84
21.021.0
400)( 2 mNss
ss
sT+
=+
= (93)
b) Debemos encontrar s para 30 [N·m].
-
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
23
Existen 2 métodos, uno exacto despejando s de la característica torque versus deslizamiento, y otra aproximada encontrando la aproximación lineal de T'(s) y despejando directamente. Dicho método debe ser validado comprobando s
-
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
24
1710 [rpm] encuentre la nueva velocidad (con alimentación 400 [V], 50 [Hz]) si el torque de carga es el mismo.
Resolución: a) Sabemos que el torque máximo está dado por:
)'·(·2··3
'·'·)'·(·2
··3
22
2
22
2
2
σ
σσ
σ
ω
ωωω
LLVp
T
LXLXXX
VpT
The
Thm
eTheTh
The
Thm
+==⇒
=∧=→
+=
(99)
Sabemos que la cambiar la alimentación, cambia VTh y ωe, entonces expresando dichas
variaciones:
]·[2.76100·5060·
550400·
5060·
550400'
)'·(·2··3
·5060·
550400
)'·(·6050·2
·550400··3
'
2222
22
222
22
2
22
mNTT
LLVp
LL
VpT
mm
The
Th
The
Th
m
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=σ
σ
ωω (100)
b) Debemos encontrar el deslizamiento para el cual ocurre torque máximo.
( ) eThThm LLR
XXR
sωσσ ·'
''
'
2
2
2
2
+=
+= (101)
Tanto las resistencias como las inductancias permanecen constantes con la frecuencia de
excitación (modelo ideal):
( ) ( )
3.025.0·5060'
·5060
·''
·5060
'·''
'2
2
2
2
==
=+
=+
=
m
meTheTh
m
s
sLL
RLL
Rs
ωω σσ (102)
Luego:
-
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
25
][1050·2
'·60'
]/[·357.0·2
50··2)1·(··2
'
rpm
sradsp
f
rmrm
me
rm
==
==−=
πω
η
πππ
ω (103)
c) Sabemos que:
]·[5.38
05.025.0
25.005.0
20025.0
25.0
200
05.0180017101
)1·(260·60)1·(
60·][1710
1
11
1
11
mN
ss
T
s
ssp
frpm i
er
=+
=+
=⇒
=−=⇒
−=−==η
(104)
Por otra parte, al alimentar con la nueva fuente la característica cambia pero el torque de
carga permanece igual:
5.38
'3.0
3.0'
4.152)'( ==+
= cT
ss
sT (105)
Entonces:
⎩⎨⎧
==
=−±
=
=+−
+=
2.1'0882.0'
66.2368.5928)4.152(4.152
055.11·4.15233.128
5.38·3.0·3.05.384.152
2
12
2
ss
s
sss
s
(106)
Entonces, dado que s es menor que 1, s' = 0.0882. Con ello:
][46.1367·2
'·60'
]/[2.143)0882.01·(2
·100)'1·(··2
'
rpm
sradsp
f
rr
er
==
=−=−=
πω
η
ππω
(107)
/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org) /PDFXTrapped /Unknown
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