GUÍA DE MUESTREO ESTADÍSTICO EN AUDITORÍA...

Órgano de Fiscalización Superior del Estado de Guanajuato.

GUÍA DE MUESTREO ESTADÍSTICO EN AUDITORÍA GUBERNAMENTAL


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CONTENIDO I. Muestreo Estadístico en la Auditoría ........................................................................................1 Objetivo ...................................................................................................................................2 Prefacio ...................................................................................................................................2

I.1. Introducción...........................................................................................................................3 I.2. Marco jurídico y normativo del muestreo en auditoría............................................................5 I.3. El muestreo en auditoría .......................................................................................................8 I.3.1 Introducción al Muestreo................................................................................................10 I.3.1.1 Población ................................................................................................................11 I.3.1.2 Razones para muestrear .........................................................................................11 I.3.1.3 Muestreo probabilístico............................................................................................12 I.3.1.4 Desventajas de la inspección por muestreo.............................................................12 1.3.1.5 Muestreo no probabilístico......................................................................................12

I.3.2 Riesgo general de auditoría ...........................................................................................13 I.3.2.1 Importancia relativa .................................................................................................15 I.3.2.2 Riesgo de muestreo ................................................................................................15 I.3.4.3 Errores de muestreo................................................................................................16

I.4. Plan de muestreo.............................................................................................................17 I.4.1 Factores del tamaño de la muestra ............................................................................17 I.4.2 Pruebas de auditoría ..................................................................................................18

II. Muestreo Estadístico.............................................................................................................20 II.1 Principios de Probabilidad................................................................................................21 II.2 Distribuciones de Probabilidad.........................................................................................21 II.2.1 Distribución de Bernoulli ............................................................................................21 II.2.2 Distribución Binomial .................................................................................................22 II.2.3 Distribución Hipergeométrica.....................................................................................22 II.2.4 Distribución Normal Estándar: ...................................................................................23

II.3 Tamaño de muestra simple para proporciones ................................................................27 II.3.1 Tamaño de muestra estratificado ..............................................................................29

II.4 Procesos de selección.........................................................................................................32 II.4.1 Muestreo Aleatorio Simple ............................................................................................32 II.4.2 Muestreo Sistemático....................................................................................................32 II.4.3 Selección aleatoria con Excel .......................................................................................33 II.4.3 Ejercicio:....................................................................................................................36

II.4.4. Muestreo por atributos .................................................................................................37 II.4.5 Muestreo de variables..................................................................................................43 II.4.5.1 Muestreo clásico de variables.................................................................................44

II.5 Los papeles de trabajo ........................................................................................................48 II.5.1 Evidencias y papeles de trabajo ................................................................................49

BIBLIOGRAFÍA .........................................................................................................................52 Disposiciones Jurídicas Vigentes a Julio 2006.......................................................................52 Normas de Auditoría..............................................................................................................52 Textos consultados................................................................................................................53 Páginas Web consultadas .....................................................................................................53


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TABLAS Tabla 1 Ejemplos de métodos de muestreo según su teoría de sustento. ..................................4 Tabla 2 Valoración de los riesgos de auditoría ..........................................................................14 Tabla 3 Fórmulas empleadas para un muestreo simple donde se desea estimar una proporción..................................................................................................................................................28 Tabla 4 Resumen de formulas usadas en un muestreo aleatorio simple ...................................29 Tabla 5 Fórmulas empleadas en un muestreo estratificado.......................................................31 Tabla 6 Para muestras no estimadas en la tabla haremos interpolación lineal. ........................43 Tabla 7 Muestreo de atributos – Tabla de evaluación de resultados. Fuente FELABAN ...........50 Tabla 8 Muestreo de atributos – Tabla de evaluación de resultados. Fuente FELABAN ...........51

FIGURAS

Figura 1 Población y muestra. ...................................................................................................10 Figura 2. Modelos de muestreo que podemos aplicar según las necesidades de auditoría……19 Figura 3 Representación de una distribución Bernoulli, Al tirar..................................................22 Figura 4 Representación de una distribución Binomial, Si tira al aire 100 veces .......................22 Figura 5 La gráfica muestra la probabilidad calculada con Excel y verificada con PQRS ..........23 Figura 6 Se muestra la distribución normal estándar usando el programa PQRS......................24 Figura 9 En la barra principal de herramientas, encontramos la opción de Complementos… ...33 Figura 10 En el menú de complementos seleccionamos las opciones Herramientas para análisis. .....................................................................................................................................33 Figura 11 En el menú Análisis de datos seleccionamos Muestra. .............................................34 Figura 12 Ventana de la Función Muestra. ................................................................................34 Figura 13 Ejemplo de Selección de elementos de una muestra con la función periódico, seleccionando cada 3 elementos. La columna C muestra los números de los municipios seleccionados. ..........................................................................................................................35 Figura 14 En la columna C, se muestran los números que corresponden a ..............................35 Figura 16 Tabla usada para calcular el tamaño de una muestra por atributos...........................41


Órgano de Fiscalización Superior del Estado de Guanajuato

C.P. Mauricio Romo Flores Auditor General

C.P. Patricia Aguilar Gallardo

Directora General de Planeación Programación Control y Seguimiento

Arq. Mario González Juárez

Coordinador de Control y Seguimiento

Ing. David Herrera Ramos Auditor Encargado

Guanajuato, Gto., noviembre de 2006


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I. Muestreo Estadístico en la Auditoría

Objetivo

1. Proporcionar los fundamentos para la aplicación de muestreo estadístico en auditoría 2. El auditor conocerá y aplicará los métodos de muestreo más idóneos para seleccionar una

cantidad de elementos sujetos a pruebas de auditoría.

Prefacio El tema se expone en cuatro etapas. La primera parte presenta una introducción al tema y la normatividad que permite la aplicación de métodos de muestreo en auditoría. En la segunda, se explica la teoría del muestreo. En la tercera etapa se exponen los métodos de muestreo a aplicar y en la última etapa se realiza una aplicación de los conocimientos adquiridos en un ejercicio empleando herramientas de la información.

1 R.H. Montgomery, Auditing Theory and Practice (New Cork: Ronald Press, 1912) pág. 18

“Ninguna auditoría puede ni debe implicar una inclusión completa de todas las operaciones efectuadas en el periodo que se examina”.1


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I.1. Introducción La Estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones. Así mismo, la estadística se fundamenta en la Probabilidad, que es rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. 2 La estadística se divide en estadística descriptiva y estadística inferencial. La primera estudia los procedimientos que sirven para organizar y resumir conjuntos de datos numéricos. La segunda, estudia los procesos estadísticos que sirven para deducir o inferir acerca de un conjunto de datos numéricos (población) al seleccionar un grupo menor de ellos (muestra). Ésta última, la más importante para nuestro caso de estudio. La inferencia estadística provee de técnicas que permiten que los resultados del análisis de una muestra, se puedan generalizar a toda la población. Este proceso se realiza porque en la mayoría de los casos los recursos económicos-humanos y tiempo no son suficientes para revisar todos los elementos de una población. La calidad con que se haya estructurado una muestra es esencial para que la inferencia sea válida. Si la muestra es mal obtenida o tendenciosa, invalida el proceso de inferencia para obtener una conclusión importante sobre el comportamiento de los parámetros de la población, aún cuando éste sea muy sofisticado e innovador. El muestreo es una técnica basada en probabilidad y estadística, para seleccionar de un conjunto de elementos, únicamente una parte de ellos, de manera que los elementos seleccionados puedan proporcionar información de TODO el conjunto al cual pertenecen sin necesidad de evaluarlos uno por uno. Aplicar las técnicas de muestreo estadístico a la auditoría, es una forma de evaluar una partida sin necesidad de aplicar procedimientos de auditoría a todos los integrantes de dicha partida; considerando un grado de certidumbre en nuestro juicio. La inferencia, que se usa para hacer conclusiones de un total, basados en una fracción de ese total, debe ser tratada sin abuso, pues el carácter de las revisiones que practica el Órgano de Fiscalización Superior, obliga a señalar a cabalidad cuáles y cuántas partidas o elementos auditados tienen deficiencias. Se abusa de la inferencia si proyectamos una observación hacia un todas las partidas que conforman el rubro revisado, ya sean cuentas, operaciones, registros; en función de una muestra en la cual se han detectado deficiencias. Es preferible, si así lo aprecia el auditor y el supervisor de la auditoría prescindir del muestreo y entrar a la revisión absoluta del rubro de interés. El muestreo es únicamente una herramienta, no existe la obligación o la restricción de su uso. Es válido para el auditor, trabajar una auditoría seleccionando partidas directamente por criterios de prioridad como denuncias, señalamientos históricos, datos de revisiones de cuenta pública y posteriormente trabajar una muestra estadística en la que ha sido extraída previamente la o las partidas de importancia trascendental. De cierto es que no solo se existe el

2 Stevenson, J. William, Estadística para administración y Economía, Ed. Harla 1981. Pág. 3-9


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muestreo estadístico. La selección de objetos, entes o personas realizado a juicio del interesado, errático o intencional, son ejemplos de muestreo no estadístico y el auditor puede hacer uso de ellos en el momento que sea necesario. Los muestreos no estadísticos pueden disfrazarse con un poco de selección aleatoria, pero carecen de la teoría de muestreo desarrollada científicamente para tal fin. En el siguiente cuadro se presentan algunos tipos de muestreo.

Tabla 1 Ejemplos de métodos de muestreo según su teoría de sustento.

Métodos de Muestreo

Estadístico (Probabilístico)

NO estadístico (No Probabilístico)

Muestreo Aleatorio Simple

Muestreo Aleatorio Sistemático

Muestreo Estratificado

Muestreo por cuotas

Muestreo de conveniencia

Muestreo por conglomerados

Muestreo Intencional

Muestreo bola de nieve


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I.2. Marco jurídico y normativo del muestreo en auditoría desarrollada por órganos de control. La Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos establece que el supremo poder de la federación se divide para su ejercicio en tres poderes, Ejecutivo, Legislativo y Judicial. El poder Legislativo se deposita en el Congreso de la Unión dividido en dos Cámaras, de Diputados y de Senadores. El Congreso de la Unión tiene la facultad de expedir las Leyes que regulan la organización del Estado, entre ellas la función de Fiscalización a través de la Auditoría Superior de la Federación así como las demás que normen la gestión, control y evaluación de los Poderes de la Unión y de los entes públicos federales; En el artículo 74, fracción II, nuestra Constitución establece como facultad exclusiva de la Cámara de Diputados, “coordinar y evaluar, sin perjuicio de su autonomía técnica y de gestión, el desempeño de las funciones de la entidad de fiscalización superior de la Federación, en los términos que disponga la ley. “ La entidad encargada de la fiscalización superior de la Federación, tiene autonomía técnica y de gestión en el ejercicio de sus atribuciones y para decidir sobre su organización interna, funcionamiento y resoluciones, en los términos que disponga la ley, es conocida como la Auditoría Superior de la Federación. (Art. 79 CPEUM) y conforme a la Ley de Fiscalización Superior de la Federación, le permite establecer los elementos que le permitan la práctica idónea de las auditorías. (Art. 16, frac. II) Así pues, la Constitución establece que los Poderes de la Unión y los entes públicos federales están sujetos a control y evaluación que será ejercido por la Cámara de Diputados a través de la Auditoría Superior de la Federación, la cual tiene autonomía técnica y de gestión aplicando las normas que le faciliten su desempeño. De la misma manera, según la Ley Orgánica de la Administración Pública Federal, el Poder Ejecutivo de la Unión, se organiza para su función en Secretarías de Estado, Departamentos Administrativos y Consejería Jurídica. Corresponde pues, a la Secretaría de la Función Pública establecer las bases generales para la realización de auditorías en las dependencias y entidades de la Administración Pública Federal. Los Estados de la Federación son libres y soberanos en todo lo concerniente a su régimen interior, y el poder público de los Estados se divide para su ejercicio en Ejecutivo, Legislativo y Judicial; y éstos se organizan conforme a la Constitución de cada Estado, según lo estipulado en el artículo 116, segundo párrafo, de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos. Al igual que la Federación, la Constitución Política del Estado de Guanajuato, divide al poder público en Legislativo, Ejecutivo y Judicial. El primero, reside en el Congreso del Estado Libre y Soberano de Guanajuato, así como la facultad de fiscalizar; pues como veremos el Congreso del Estado, según el artículo 63 de dicho ordenamiento, tiene entre sus facultades:


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XVIII.- Fiscalizar la cuenta pública del Poder Ejecutivo incluyendo la de las entidades y organismos de la administración pública paraestatal, del Poder Judicial y de los organismos autónomos por Ley. Para tal efecto, el Congreso se apoyará en el Órgano de Fiscalización Superior, en los términos de la Ley Reglamentaria correspondiente; XIX.- Fiscalizar las cuentas públicas municipales incluyendo la de las entidades y organismos de la administración pública paramunicipal. Para tal efecto, el Congreso se apoyará en el Órgano de Fiscalización, a que se refiere la fracción anterior; Así, se le ha conferido al Órgano de Fiscalización Superior autonomía técnica, de gestión y presupuestaria en el cumplimiento de sus atribuciones. A su vez, la Ley de Fiscalización Superior del Estado de Guanajuato establece en el artículo 8, fracción IV, que dicha entidad debe establecer sus criterios para la realización de las auditorías, procedimientos, métodos y sistemas necesarios para la fiscalización de las cuentas públicas. En el mismo sentido, el artículo 9, fracción II; de la misma Ley de Fiscalización, permite que en los procedimientos de fiscalización, el Órgano de Fiscalización utilice las normas y técnicas generalmente aceptadas y las que resulten idóneas al proceso en particular. Además, debemos considerar las Normas de Información Financiera. Ahora, en lo que respecta a los municipios, la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, establece que el Municipio Libre es la base de la división territorial y de la organización política de los Estados de la Federación y será gobernado por un Ayuntamiento. Los municipios tienen personalidad jurídica y la facultad para aprobar los reglamentos, circulares y disposiciones administrativas de observancia general dentro de sus respectivas jurisdicciones, que organicen la administración pública municipal, regulen las materias, procedimientos, funciones de su competencia. (Art. 115, frac. II, párr. 1) La Ley Orgánica Municipal del Estado de Guanajuato, instituye que el Ayuntamiento debe establecer para el estudio y despacho de los diversos ramos de la administración pública municipal diversas dependencias, entre ellas la Contraloría Municipal, y cuyo titular, el Contralor Municipal, tiene la facultad de “Proponer y aplicar normas y criterios en materia de control y evaluación, que deban observar las dependencias y entidades de la administración pública municipal” (Art. 117, frac. II) Al permitir las leyes de nuestro país que las entidades de Control y Fiscalización del gobierno, empleen normas y procedimientos de auditoría generalmente aceptados, abre las puertas a una gama de técnicas científicas que enriquecen el desarrollo de la función de fiscalización y de la auditoría gubernamental. Las Normas y procedimientos que pueden aplicar las entidades de Control Interno y Fiscalización, han sido aprobados por las Organizaciones de Contadores Públicos, Institutos y Entidades de fiscalización, por ejemplo: El Órgano de Fiscalización Superior del Estado de Guanajuato, en su Manual de Auditoría, considera el uso de Muestreo estadístico como una herramienta para la realización de auditorías. Las Normas y procedimientos de Auditoría y Normas para atestiguar, publicadas por el Instituto Mexicano de Contadores Públicos A.C. y la Comisión de Normas y Procedimientos de Auditoría,


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aceptan que se utilice el muestreo para el desarrollo de una auditoría. Las normas están publicadas en boletines que abarcan las distintas etapas del ejercicio de la auditoría. Así pues, se emitió el Boletín 5020 que acepta y define el muestreo en la auditoría y el Boletín 6060 propone como métodos de muestreo estadístico el muestreo por atributos y el muestreo por variables. También, el Boletín 1020, considera que el auditor debe aplicar sus procedimientos de revisión a base de pruebas selectivas. Pues no es práctico revisar el 100% de las operaciones realizadas por un sujeto de fiscalización. Las operaciones del sujeto fiscalizado son repetitivas y forman cantidades numerosas de operaciones individuales. Según el Boletín 5010, cuando existe multiplicidad de partidas y similitud entre ellas, conviene examinar una muestra representativa de las operaciones individuales. Esto en auditoría es llamado Pruebas selectivas. En 1977, para desarrollar la función contable coordinada y normada mundialmente, se fundó la Federación Internacional de Contadores (IFAC), de la cual forma parte nuestro país a través del Instituto Mexicano de Contadores Públicos. Aunque las normas internacionales pretenden ser aceptabas y aplicadas a nivel mundial, no prevalecen sobre la legislación local de cada país miembro. Cuando las normas mexicanas no contemplan un asunto contenido en normas internacionales de la Federación Internacional de Contadores (IFAC), es recomendable que se usen de manera supletoria3. Manual Latinoamericano de Auditoría Profesional en el Sector Público. Que puede aplicarse en México ya que forma parte de la Organización Latino Americana de Entidades de Fiscalización Superior, permite la aplicación del muestreo en las actividades de auditoría. Normas de Auditoría Gubernamental de la Contraloría General de los Estados Unidos en su norma 3.42 Conocimientos técnicos y competencia, numeral 1, indica que el personal que realice auditorías debe tener destrezas en muestreo estadístico cuando así lo amerite el caso. (Esta norma puede aplicarse por el convenio realizado entre México y la USAID) Hay muchas más disposiciones nacionales e internacionales que, “por medio de convenios”, pueden ser aplicados a la auditoría gubernamental realizada en el estado de Guanajuato, las mencionadas aquí son enunciativas. Para mayor referencia consulte la bibliografía.

3 IMCP. Normas y Procedimientos de Auditoría y Normas para Atestiguar. 2006.


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I.3. El muestreo en auditoría En ocasiones, el trabajo de auditoría se ve limitado por la creatividad para desarrollar de manera más eficiente una auditoría, cantidad de recursos económicos, cantidad, los recursos humanos y por la urgencia de dar a conocer los resultados de una manera confiable. Un auditor esta obligado a obtener evidencia comprobatoria, suficiente y competente para que su opinión posea un sustento indubitable. Entonces, ¿cómo es posible que el auditor emita un juicio del ejercicio de recursos públicos, si no puede abarcar la totalidad de los ingresos, egresos, obras, acciones, etc.? La auditoría, es una metodología de revisión y no implica que se deba indagar la totalidad de las operaciones de un ente. El muestreo, es una herramienta de investigación científica, cuya finalidad es determinar qué parte, de la realidad en estudio, debe examinarse con el propósito de obtener conclusiones sobre la población de interés. Visto desde la auditoría gubernamental, es una herramienta que nos proporciona una muestra representativa de las partidas o conceptos que se deben auditar, evitando selecciones viciadas de campos ya conocidos por un auditor. No siempre será permitido expresar las conclusiones obtenidas mediante una muestra, hacia el total de la partida de la que fue tomada la muestra. La auditoría gubernamental debe señalar puntualmente las deficiencias. El muestreo debe usarse como una forma de selección en la que no interviene el criterio subjetivo o preferencial y como complemento cuando se haya detectado y seleccionado partidas clave. El muestreo debe relacionarse con el objetivo de la auditoría. No es lo mismo realizar un muestreo para conocer tendencias de voto, el uso de un desodorante, conocer el número total de cuentas por cobrar o conocer cuál es la razonabilidad de esas cuentas, verificar el cumplimiento de procedimientos, aunque los principios aplicados sean los mismos. Las auditorías que desarrolla actualmente el Órgano de Fiscalización Superior, las aplica a todos los sujetos de fiscalización, acatando los preceptos establecidos en la Constitución Estatal y la Ley de Fiscalización Superior del Estado. Así, se han clasificado en:

1. Revisión de Cuentas Públicas; 2. Auditoría: Integral, financiera y de cumplimiento o bien, en su caso, específica. 3. Investigación de situaciones excepcionales.

La descripción de cada tipo de auditoría se encuentra en el manual de Auditoría del Órgano de Fiscalización Superior. Por ahora, bástenos entender que en estos tipos de revisiones se aplican pruebas sustantivas y de control. Por lo tanto, el muestreo puede ser especializado para cada prueba o estructurarse de manera que en una muestra se aplique los dos tipos de prueba, según sean las características y necesidades de la auditoría. En forma general, una auditoría gubernamental, es la aplicación de una evaluación de cumplimiento o sustantivo a las acciones realizadas por las unidades de gobierno y los funcionarios públicos. Las pruebas de cumplimiento se diseñan para comprobar que los procedimientos de control interno estaban en operación durante el periodo auditado4. Por otro

4 IMCP. Normas y Procedimientos de Auditoría y Normas para Atestiguar. 2006. Boletín 5030, párrafos 70 y 76.


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lado, las pruebas sustantivas se elaboran para llegar a una conclusión respecto al saldo de una cuenta, sin importar los controles internos sobre los flujos de las transacciones que se reflejan en el saldo. Cada una de estas pruebas, tiene un adecuado método de muestreo, que por las características del universo a auditar y la experiencia del auditor, se optará por el que mejor se adapte a las circunstancias. El contenido de esta guía es sólo eso, una guía, una introducción al muestreo estadístico y los métodos que se exponen en ella son ejemplo de la gran variedad de posibilidades que se han desarrollado para realizar un muestreo. No es un medio para disminuir la carga de trabajo, sino hacer eficientes los recursos públicos que son empleados para realizar auditorías gubernamentales. Existen muchos programas diseñados expresamente para muestreo, ACL, Sample, Auditor, Posdem, cada uno enfocado en su rama de especialización que facilitan el trabajo de investigación, pero se considera necesario conocer los principios fundamentales del muestreo para hacer aun más eficientes las herramientas que otras personas han desarrollado.


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I.3.1 Introducción al Muestreo Una Muestra es una versión a escala de una población, que debe reflejar cada una de las características de la población. Por supuesto, una muestra que cumpla con esta definición realmente no existe. Por lo que se usan modelos que se adaptan lo mejor posible a la realidad en estudio.

Figura 1 Población y muestra. La estadística se divide en estadística descriptiva y estadística inferencial. La primera estudia los procedimientos que sirven para organizar y resumir conjuntos de datos numéricos. La segunda, estudia los procesos estadísticos que sirven para deducir o inferir acerca de un conjunto de datos numéricos (población) al seleccionar un grupo menor de ellos (muestra). Esta es la más importante para nuestro caso de estudio. La inferencia estadística es el proceso mediante el cual los resultados del análisis de la muestra se pueden generalizar a toda la población. Este proceso se realiza porque en la mayoría de los casos los recursos económicos-humanos y tiempo no son suficientes para revisar todos los elementos de una población. La calidad con que se haya estructurado una muestra es esencial para que la inferencia sea válida. Si la muestra es mal obtenida o tendenciosa, invalida el proceso de inferencia para obtener una conclusión importante sobre el comportamiento de los parámetros de la población, aun cuando éste sea muy sofisticado e innovador. El trabajo de auditoría inicia con una pregunta “¿A qué rubros y en qué medida se les deben aplicar pruebas para conocer el nivel de desempeño, nivel de eficiencia en el manejo de recursos financieros, control de obra, etc.? y se resuelve con una adecuada Planeación. De manera general la inferencia estadística es un proceso que comprende los siguientes pasos:

• Establecer la forma de obtener la muestra representativa. (La distribución de las variables de interés o relacionadas con la muestra, debe parecerse a la población).

Población Muestra


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• Definir los métodos estadísticos para analizar la muestra, no solo el cálculo de estimadores estadísticos, sino obtener toda la información que requerimos de ella a través de pruebas sustantivas y pruebas de cumplimiento.

• Obtener los estimadores apropiados (Media aritmética, varianza y porcentaje de casos favorables), Aplicar las pruebas que seleccionamos para estudiar la muestra.

• Utilizar un procedimiento válido mediante el uso de una distribución de probabilidad apropiada para estimar los parámetros a partir de datos contenidos en la muestra. En auditoría gubernamental, no siempre será adecuado extrapolar las conclusiones de una muestra, hacia la población porque nos obligaremos, en caso de detectar una deficiencia, a señalar que rubros o partidas que, específicamente, deben ser corregidas.

• Interpretación de los resultados y elaboración de conclusiones.

I.3.1.1 Población La población es la colección completa de objetos que deseamos estudiar. Para nuestros casos de estudio, las poblaciones se componen de muchas maneras, por ejemplo:

• El conjunto de todas las cuentas de bancos • El conjunto de las cuentas de los empleados contratados en el periodo enero – junio de

2005. • El conjunto de los bienes inmuebles rentados por el sujeto de fiscalización. • El conjunto de facturas de servicio automotriz de los vehículos de seguridad pública en

el periodo julio – diciembre de 2005. • El conjunto de las obras públicas cuyos pagos se realizaron en el segundo semestre de

2005.

I.3.1.2 Razones para muestrear Revisar todos los registros y operaciones de un ente auditado es equivalente a realizar el trabajo dos veces, y quizá hasta más cuando la inexperiencia del auditor sea relevante en el proceso auditado. El Auditor tiene la facultad de seleccionar de dos maneras, por criterio (no aleatorio) o aleatoriamente. Y en casos especiales puede hacer una mezcla de los dos tipos de muestreo. En general, la industria, la investigación usan el muestreo:

• Porque se requieren pruebas destructivas y no deseamos quedarnos sin población. • Porque es imposible estudiar a todos los elementos de una población. • Porque tienen un alto costo estudiar a todos los elementos de la población. • Porque no siempre es económico incluir a todos los elementos de la población en la

conformación de la muestra. • Porque no se tiene el tiempo de revisar todo. Si se audita el ejercicio fiscal al 100%,

equivale a realizar las operaciones que ya el sujeto de fiscalización ejecutó a lo largo del ejercicio.

Si por alguna situación especial debiese revisarse todo tipo de operación y registro, la planeación de la auditoría marcará el punto de éxito de la misma.


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I.3.1.3 Muestreo probabilístico En general, hay dos tipos de muestras: Muestra probabilística y muestra no probabilística. La muestra probabilística es aquella en la que cada integrante de la población en estudio tiene una misma probabilidad conocida (y no igual a cero) de ser extraída de la población e integrar una muestra. La muestra no probabilística carece totalmente de la intervención del azar. Al usar muestreo probabilístico tenemos las ventajas siguientes:

1. Los resultados de la auditoría no deben ser calificados de tendenciosos, preferenciales, limitados a la facilidad o comodidad, etc., pues se justifican objetivamente.

2. Economía derivada de inspeccionar sólo una porción del lote o cuenta. 3. Reducción del daño por manipuleo durante la inspección en caso de inventarios. 4. Se puede emitir una conclusión sobre el estado total de una partida presupuestal

conservando límites de error y confiabilidad, si el caso lo permite 5. Estima la magnitud del riesgo de que la muestra pueda no ser representativa de toda la

población. Cuando se usa el muestreo probabilístico y se ha detectado un número considerable de deficiencias donde debe aclararse o reintegrarse un importe, es conveniente aumentar el tamaño de la muestra, ya que se tiene un buen indicio de que se encontrarán más deficiencias.

I.3.1.4 Desventajas de la inspección por muestreo Se considera que el muestreo tiene desventajas porque al tomar una muestra, aun que sea representativa, es posible que dentro de la población existan elementos que no satisfacen las condiciones de la revisión y por causas del azar no fueron seleccionados para su análisis, por ende la conclusión obtenida de la muestra sea que se cumple satisfactoriamente. Recuerde que no siempre, en auditoría gubernamental, será posible extender las conclusiones de la muestra hacia la población de donde se extrajo la primera. Entre algunas desventajas podemos citar las siguientes:

1. Riesgo de aceptar partidas "malas" y rechazar partidas "buenas"; es decir dar por buenas las cuentas que contienen errores o deficiencias en su manejo y decir que la cuenta auditada no contiene deficiencias cuando en realidad si las tiene.

2. Requiere la elaboración de planes y documentación para el muestreo. 3. La muestra provee menos información sobre el producto que la inspección 100%.

1.3.1.5 Muestreo no probabilístico Al utilizar los métodos no probabilísticos, no todos los integrantes de la población tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra y los resultados estarán sesgados y no serán representativos de la población. Estos casos se presentan cuando la muestra se elabora a criterio de quién la va a estudiar, quizá seleccione a las personas que le quedan más cerca de su oficina o aquellas que tienen accesos sencillos o los que visten de manera que al analista le parezca familiar. Se seleccionan las cuentas que ya son conocidas, que se “conoce” cuales son los errores, aquellas que no le han presentado complicación en ocasiones anteriores, etc.


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I.3.2 Riesgo general de auditoría El riesgo es la representación mental de que un daño está próximo. Todas las actividades del ser humano tienen un riesgo, y las medidas de prevención tienden a disminuir o eliminar el riesgo. Riesgo General de auditoría, se refiere a la posibilidad de que el auditor emita un juicio de valor sobre sí los estados financieros tomados en “conjunto” están presentados razonablemente cuando en realidad no lo están. El "SAS" 47.- relativo a al “riesgo de auditoría e importancia de la realización de la misma”, señala que la existencia del riesgo de auditoría está implícito en la frase "en nuestra opinión", y que el riesgo de auditoría es el riesgo que corre el auditor de no modificar, inadvertidamente y en forma apropiada, su análisis sobre los estados financieros que se presentan incorrectamente en importes considerables. La auditoría debe planearse para que el riesgo antes señalado, se limite a un nivel bajo que sea, acorde a su juicio profesional de los que la realizan, apropiado para expresar los resultados del análisis de los estados financieros. Si la planeación no contempla ningún tipo de riesgo, deben tenerse reservas las conclusiones expresadas en el informe de auditoría. El riesgo general de auditoría existe porque los sistemas de información del ente auditado pueden contener errores y desviaciones de importancia relativa, que si el auditor no los toma en cuenta, los resultados de auditoría se verán empañados de aclaraciones. Al respecto, el riesgo de auditoría se da por el efecto combinado del riesgo inherente, el riesgo de control y por el riesgo de detección. El riesgo general de auditoria no debe confundirse con los resultados de una mala auditoría. Por mejor que sea el muestreo o el plan de trabajo, si el auditor no evalúa correctamente la documentación, causará cuando menos desprestigio del órgano de control que realiza la auditoría. Como ya se sabe, el riesgo general de auditoría tiene tres componentes, riesgo inherente, riesgo de control y riesgo de detección. Los siguientes párrafos expresan con mayor extensión su definición5.

a) Riesgo inherente: Realizar cualquier actividad conlleva la existencia de un riesgo por el solo hecho de ejecutar la actividad. El manejo de efectivo es más susceptible de malos manejos que un inventario de artículos voluminosos. Los cálculos complejos serán más susceptibles de error que los cálculos “simples”.

b) Riesgo de control: Es la ocurrencia de errores debido a que los sistemas de control

establecidos en un área no prevengan o detecten oportunamente por el control interno contable en vigor. Este riesgo nunca desaparece totalmente. Un control para el manejo de efectivo, es que se presente una fianza por la persona que realice dicha actividad,

5 IMCP. Normas y Procedimientos de Auditoría y Normas para Atestiguar. 2006. Boletín 3030, párrafos 14 al 28.


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pero si la persona que resguarda las fianzas no se percata que la fianza ampara un periodo diferente al momento de trabajo, el control es deficiente. Si los empleados registran hora de entrada mediante una firma en hoja de papel es un control, pero débil. Porque se presta, por ejemplo, a registrar horas diferentes a las reales de ingreso. Permitir que un contratista esté presionando a su supervisión para que su pago salga lo más pronto posible es un control débil. La supervisión, medio de control, está presionada y no realiza su trabajo de forma adecuada y por lo tanto, puede fallar.

c) El riesgo de detección: abarca las posibilidades de que los procedimientos aplicados por

el auditor, no detecten los posibles errores importantes que se generaron durante la ejecución de un proceso de la administración o escaparon a los procedimientos de control interno. El riesgo de detección se genera del lado del auditor debido a que se realizan pruebas a una parte de las partidas y no a la totalidad o por interpretar los resultados erróneamente o aplicar indebidamente un procedimiento de auditoría.

Los riesgos inherentes y de control, son riesgos independientes a la auditoría, el auditor solo puede evaluarlos y emitir recomendaciones. El grado del riesgo de detección es propuesto por el auditor según la naturaleza, alcance y oportunidad de las pruebas sustantivas, y en función de los riesgos inherentes y de control. Un grado de detección bajo proporciona la idea de que los errores de trabajo de la administración se encuentran sin necesidad de buscar mucho. Por el contrario, un riesgo de detección alto, indica que será más difícil detectar los errores. ¿Cómo detectamos deficiencias en un organismo que tiene ésta última característica? Pues estudiando un número mayor de casos. La siguiente tabla nos permite proponer de una manera rápida el riesgo de detección que está dispuesto a correr el auditor. Veamos, si el sujeto de fiscalización tiene riesgo de control alto y el área estudiada tiene un riesgo inherente alto, el auditor debe procurar un riesgo de detección bajo, pues es muy seguro que las deficiencias serán detectadas sin mucha dificultad.

Riesgo de control Alto Medio Bajo Riesgo Inherente Riesgo de detección Alto Bajo Bajo Medio Medio Bajo Medio Alto bajo Medio Alto Alto Tabla 2 Valoración de los riesgos de auditoría. Fuente: Boletín 3030

Por el contrario, si existe un riesgo inherente bajo, y riesgo de control bajo, el auditor tiene un alto riesgo de detección, es decir, que es posible no detectar fallas o deficiencias. ¿Cuánto es alto o cuánto es bajo? No hay una fórmula y depende de la apreciación del auditor, del análisis que haya aplicado para conocer la estructura y los procesos de operación del sujeto fiscalizado. De ahí la necesidad de realizar una adecuada planeación donde se estudien las características del sujeto de fiscalización


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I.3.2.1 Importancia relativa6 Otro factor que es importante en la determinación del riesgo de auditoría es el denominado “Importancia Relativa”. Representa el importe acumulado de errores o desviaciones de Normas de Información Financiera que podrían contener los estados financieros sin que, a juicio del auditor, sea probable que afecte el juicio de las personas que confían en la información contenida en dichos estados. Visto en una manera más simple, en una compara de metros cúbicos de arena, cuanta arena del total adquirida, estoy dispuesto a aceptar como pérdida o merma sin que signifique que se está proporcionando “metros cúbicos incompletos”. Permitir que partidas no importantes compliquen o desordenen el proceso de auditoría, es antieconómico y aparta la atención de los puntos realmente significativos de los Estados Financieros. Ahora, decidir porqué no es importante una o mas partidas, debe ser expresado en los papeles de trabajo y soportado debidamente. La importancia relativa la establece el auditor de los Estados Financieros, quien puede estar informado, pero no necesariamente de un profesional en la materia. El auditor puede decidir que los errores que sumen $100,000 no son importantes en relación con el importe real ejercido teniendo la precaución que ese importe tenga características que impliquen un mismo funcionario, destino, proveedor o cualquier indicio que señale un acto premeditado. En el análisis de estados financieros de sujetos de fiscalización, ¿es posible restarle importancia a errores menores de $ 10,000? O ¿autorizar suscripciones a publicaciones no relacionadas con la administración pública? Los recursos públicos deben cuidarse al extremo ya que provienen y son de la sociedad. Es deber del auditor señalar la mínima deficiencia en la administración de recursos públicos y emitir la recomendación que tienda a prevenir y disminuir el grado de importancia relativa.

I.3.2.2 Riesgo de muestreo Como dijimos, toda actividad conlleva de manera implícita un riesgo. El muestreo no es la excepción. Se debe establecer que existen riesgos de toda índole; generados por el auditor, por la naturaleza del objeto de muestreo, etcétera; y conociéndolos será más fácil su mitigación. El riesgo, por usar muestreo, puede interpretarse como el no analizar una partida que tiene deficiencias porque no fue seleccionada por el procedimiento de muestreo. Y consecuentemente no se expresará una observación o recomendación al respecto. El riesgo de muestreo es expresar la conclusión, producto de la prueba aplicada a una muestra, diferirá de la que habría sacado si la misma prueba se hubiera aplicado a todas las partidas de la población en vez de aplicarla solo a la muestra. Se preguntará el lector, ¿cómo puedo reducir el nivel de riesgo de muestreo? ¿Cómo aumento la confianza en mis pruebas? Si se desea realizar una prueba de nivel alto o de seguridad,

6 IMCP. Normas y Procedimientos de Auditoría y Normas para Atestiguar. 2006. Boletín 3030, párrafos 10 al 13.


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debemos especificar un nivel bajo de riesgo de muestreo. Es decir, se requiere una muestra de mayor tamaño, lo que aumenta el número de análisis y esto reduce el riesgo.

Riesgo ajeno al muestreo El riesgo ajeno al muestreo, son los riesgos que no son resultado del muestreo. O bien, aquel que independientemente del tamaño de la muestra o de la muestra misma, induce al auditor a una conclusión incorrecta acerca del estado de una cuenta o de la eficacia de un control contable. Son ejemplos de esta categoría de riesgo:

El riesgo inherente y el riesgo de control. La omisión de procedimientos de auditoría. (No revisar actas de ayuntamiento o Consejo).

Aplicar procedimientos de auditoría de forma indebida. Aplicar procedimientos de auditoría a una población indebida o incompleta. (Excluir los registros de compras de gas para vehículos, en el momento de conformar una muestra, para pruebas sustantivas de las operaciones y luego concluir que todas las operaciones de compra son incorrectas.)

Aplicar incorrectamente las Normas de Información Financiera. No tomar las medidas necesarias, ya sea como resultado de pruebas de auditoría o porque se desconocía de los factores que requieren cuidado.

A partir de los niveles de riesgo, debemos determinar nuestro “nivel de confianza”, “confiabilidad” o “seguridad de auditoría”. Si como auditores decidimos aceptar un 5% de riesgo de confianza excesiva en un control contable interno, sometido a prueba de cumplimiento, podemos expresar nuestro nivel de confiabilidad del 95% Riesgo y Seguridad. Al planear la auditoría, el auditor utiliza su criterio profesional para determinar el nivel de riesgo de auditoria apropiado y de manera complementaria está expresando el nivel de seguridad ya que no se puede separar la Seguridad del Riesgo. El objetivo del auditor debería ser el reducir el riesgo fuera del muestreo a un nivel mínimo por medio de un planeación, dirección, supervisión y revisión adecuada.

I.3.4.3 Errores de muestreo Error tolerable: Es el error máximo en el universo, que el auditor estaría dispuesto a aceptar y, a pesar de eso, concluir que el resultado del muestreo ha alcanzado su objetivo de auditoria. El error tolerable es considerado durante la etapa de planeación y se relaciona con el juicio preliminar del auditor respecto a la importancia. A menor grado de error tolerable, será mayor el tamaño de la muestra que requerirá el auditor. El error tolerable, el riesgo de detección y la importancia relativa están estrechamente relacionados para determinar el tamaño de la muestra. En los procedimientos de cumplimiento el error tolerable es el porcentaje máximo de desviación de un procedimiento de control prescrito que el auditor estaría dispuesto a aceptar sin alterar el grado de confianza que tenía planeado depositar en el control que esta probando. En el caso de pruebas sustantivas, el error tolerable es el error monetario máximo en el saldo de una cuenta o


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transacción que el auditor estaría dispuesto aceptar de manera que, al considerar los resultados de todos los procedimientos de auditoría, esté en posición de concluir con razonable seguridad, que la información financiera no contiene errores importantes y no requiere emitirse una observación o recomendación. Error esperado en el universo: Si el auditor espera la presencia del error, normalmente tendrá que examinar una muestra mayor para concluir que el valor del universo esta razonablemente presentado dentro del error tolerable estimado o que la confianza que se había planeado depositar en un control importante esta justificada, las muestras de mayor tamaño se justifican cuando se esperan que el universo se encuentre libre de errores. Al determinar el error esperado en un universo, el auditor deberá considerar asuntos tales como niveles de error identificados en auditorias previas, cambios en los procedimientos de los clientes y evidencia disponible de su evaluación del sistema de control interno contable y de los resultados de procedimientos de revisión analíticos.

I.4. Plan de muestreo El Plan de Muestreo, es nuestro mapa, ahí debemos reflejar los antecedentes del sujeto de fiscalización, definir cual es el área que requiere mayor tiempo y recursos y cuantificarlos; estudiar e identificar los riesgos que puedan ocurrir en la auditoría. Lo anterior es una caracterización del sujeto fiscalizado que permite obtener resultados confiables. El Plan de Muestreo, programa las etapas a desarrollar por el auditor:

Definición de los objetivos, naturaleza y alcance de la prueba. Preparación y registro de los datos en los papeles de trabajo. Definición del diseño muestral. Prefijar el nivel de confiabilidad y los riesgos asociados. Determinación de la muestra aleatoria y selección de sus elementos. Método de estimación de la variable en estudio. Elaboración del Modelo de Decisión. Validar los resultados.

Cuando se emplea el muestreo estadístico, en su planeación y evaluación se tienen en cuenta fundamentalmente cuatro aspectos: precisión, confiabilidad, tamaño de la muestra y una medida de la dispersión o variabilidad. Para una muestra de atributos, asociado a pruebas de cumplimiento, esta medida se basa en el índice de error, y en una muestra de variables, asociado a pruebas sustantivas, se basa en la desviación estándar.

I.4.1 Factores del tamaño de la muestra Los factores que intervienen directamente en el tamaño de una muestra son los siguientes: El riesgo de muestreo afecta inversamente el tamaño de la muestra. Si decidimos confiar mucho en los controles internos y aceptamos un riesgo de muestreo alto, obtendremos consecuentemente una muestra “pequeña”. Si tenemos evidencia de que no podemos confiar


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en los controles internos aunque se tenga un riesgo de detección bajo, requerimos un riesgo de muestreo bajo y por ende una muestra de tamaño “grande”. Porcentaje tolerable de desviación o monto de error. Es la cantidad de desviación respecto de los procedimientos prescritos que se pueda encontrar como resultado de las pruebas de cumplimiento sin que se requiera ajustar el nivel de confianza planeada en un procedimiento de control o modificar las pruebas sustantivas. La cantidad tolerable de error, es el importe de los errores que se pueden encontrar en un saldo de una cuenta, como resultado de una prueba sustantivas. El error tolerable no puede ser mayor que el monto de importancia relativa más pequeño en la cuenta individual o para los estados financieros en su conjunto. Porcentaje de desviación o monto de error esperado es una función de los resultados de pruebas de cumplimiento de años anteriores. Entendiendo que lo máximo de monto de error que puedo esperar es el mismo porcentaje o cantidad hallada anteriormente. Si se carece de estos, basta una prueba piloto con una pequeña muestra preliminar y de ahí tomar la estimación.

I.4.2 Pruebas de auditoría Dependiendo de los objetivos de auditoría, de los conceptos que serán evaluados de las pruebas que se aplicaran para una revisión, podemos escoger entre una gran diversidad de métodos de muestreo. Los procedimientos de auditoría comúnmente se denominan pruebas. Las pruebas de cumplimiento se efectúan para conocer cuán correctamente funcionan ciertos controles internos específicos. Su finalidad es proporcionar evidencia al auditor de que los controles están funcionando como lo establece el sistema o el manual de procedimientos y consecuentemente, erradicar en lo posible las causas de esas debilidades o fallos de los `procedimientos y/o controles internos analizados, pues están enmarcadas en una filosofía de mejora continua de la calidad. Pensemos en el control de una Institución que exige al responsable de cuentas por pagar calcular las sumas y los totales que aparecen en factura de proveedor, a modo de determinar que los cálculos hechos por los proveedores son aritméticamente correctos. La manera de confirmar que el control fue aplicado por el funcionario que revisó es colocar sus iniciales en la factura. El auditor, para comprobar que el control se aplicó, toma una factura y comprueba que las iniciales del servidor responsable estén en la factura, efectúa los cálculos aritméticos. Si las iniciales están y las cantidades, sumas y totales son correctas, el control se aplicó satisfactoriamente. Las pruebas sustantivas consisten en pruebas de los detalles en las operaciones y saldos en las cuentas, procedimientos de revisión analítica entre otros. Sirven para detectar errores o irregularidades en los estados financieros.


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El siguiente cuadro nos muestra los modelos de muestreo que podemos aplicar según los tipos de pruebas de auditoría que deseamos aplicar, no todos serán tratados en esta guía.

Figura 2. Modelos de muestreo que podemos aplicar según las necesidades de auditoría. En ocasiones se puede hacer una combinación de métodos para un mejor resultado.

Pruebas

Control

Sustantivas

Muestreo por Atributos

Muestreo por descubrimiento

Muestreo por aceptación

Muestreo de variables

Muestreo proporcional al tamaño


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II. Muestreo Estadístico El muestreo estadístico se basa en principios de probabilidad, por ello, quienes deseen aplicar muestreo estadístico deben conocer los fundamentos y obtener mayor provecho de los programas diseñados para realizar muestreo asistido por computadora. La representatividad en estadística se logra con el tipo de muestreo adecuado que siempre incluye la aleatoriedad en la selección de los elementos de la población que formaran la muestra. No obstante, tales métodos solo nos garantizan una representatividad muy probable pero no completamente segura. La Estadística descriptiva nos permite conocer de manera rápida como es nuestra población a través de medidas de posición, centralidad, dispersión y de forma. La Media, es una medida de centralidad, nos muestra qué tanto los datos observados se agrupan alrededor de uno de ellos mismos. Existe la media de la población representada por m y la media de la muestra x . La diferencia el origen de los datos para su cálculo. Por ejemplo, se registraron las horas de entrada de 10 empleados del municipio, las cuales se muestran así: Empleado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hora 8:25 8:15 8:31 8:27 8:33 8:18 8:34 8:29 8:28 8:30

Usando solo los minutos, suman 267 minutos y los dividimos entre 10, obteniendo 27 y así podemos decir que los empleados en promedio registran su entrada a las 8:27 AM. La Desviación estándar es una medida de dispersión, e indica el grado de dispersión o concentración respecto de la media. Del ejemplo anterior Empleado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hora 8:25 8:15 8:31 8:27 8:33 8:18 8:34 8:29 8:28 8:30 Promedio 8:27 8:27 8:27 8:27 8:27 8:27 8:27 8:27 8:27 8:27

Usando la siguiente fórmula, 1

)( 2

−

−= ∑

N

xxs que calcula la desviación estándar muestral.

Si solo divide N, es la desviación estándar poblacional. Podemos calcular la desviación estándar sabiendo que x es cada hora de registro de entrada y x es la media de esas horas. N es el número de horas registradas. De la fórmula obtenemos que s=6.10; es decir, que a 6.10 unidades de la media “hacia arriba o hacia abajo” tenemos los valores de estudio. Un valor pequeño, indica que están muy próximos a la media, por el contrario si es un valor grande estarán alejados, dispersos. Este texto solo es una guía, existen muchos textos de probabilidad y estadística para administradores que pueden ayudar a ampliar los conceptos aquí expuestos.


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II.1 Principios de Probabilidad La Estadística inferencial, base del muestreo estadístico, se basa en probabilidad y es la que nos permite concluir sobre la población, a partir de los elementos seleccionados de ella. Así pues, y como fundamento de los métodos que se desarrollarán, es deseable conocer los siguientes fundamentos: Variable aleatoria: aquella cuyo valor corresponde a los distintos resultados posibles de un experimento Parámetro es cualquier característica de una población, la media m, la desviación estándar s. De manera general un parámetro se representa con la letra Q. Estadístico: Es la característica que ha sido medida en la muestra. Media muestral X , la desviación estándar muestral s, Evento: resultado de un experimento. Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad, así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro.

II.2 Distribuciones de Probabilidad Distribución de Probabilidad: es una lista de todos los valores que puede tomar una variable, suponiendo que para ello sólo interviene el azar. Si lanzamos un dado, ¿Cuál es su distribución de probabilidad?, Pues 1, 2, 3, 4, 5,6; ya que son los valores que se presentan en las caras del dado. O bien de una moneda, es águila o sol. En auditoría, ¿qué es una “distribución de probabilidad”? Pensemos en la “autorización de un pago por el funcionario responsable”. ¿Cuántos valores puede tener? Sólo dos, autorizado o no autorizado. Si es “Pago de servicios postales mensuales (en el periodo auditado)”, su listado de valores probables son los importes de cada mes dentro del periodo auditado. El valor de una probabilidad se encuentra entre 0 y 1. Se deduce pues, que la suma de las probabilidades de un evento es igual a 1.

II.2.1 Distribución de Bernoulli: una variable aleatoria tiene dos posibles resultados; éxito o fracaso. La probabilidad de éxito se representa con p y no cambia de un ensayo a otro. Así la probabilidad de fracaso será q=1-p y no cambia de un experimento a otro. Cada experimento es independiente.


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Figura 3 Representación de una distribución Bernoulli, Al tirar

una moneda al aire, se tiene ½ de probabilidad que caiga águila o sol. Escoger una factura en una inspección de requisitos fiscales tiene 0.5 de probabilidad de rechazo y 0.5 de aceptación. Analizar la forma de integrar 10 únicas tarjetas de precios unitarios de un contrato, ¿cuántos resultados presenta? ¿Es un experimento Bernoulli? Solo dos, es correcta o no su integración, por lo cual es un experimento Bernoulli. II.2.2 Distribución Binomial: Es una sucesión de n experimentos de tipo Bernoulli con probabilidad de éxito p. Nos interesa aquí, el número de aciertos observados en los n experimentos. Pensando en ejemplo de las tarjetas de precios unitarios, si las analizamos de manera individual, repetimos 10 veces la prueba y en cada una se tiene la probabilidad de ser integrada correctamente o no.

Figura 4 Representación de una distribución Binomial, Si tira al aire 100 veces

una moneda, tiene la probabilidad aproximada de que 50 veces caerá sol y por lo tanto, 50 veces caerá águila.

II.2.3 Distribución Hipergeométrica Se emplea cuando estudiamos fenómenos de carácter de experimento binomial. La distribución binaria supone que la extracción de los resultados del ensayo con reemplazo, haciendo constante la probabilidad de ensayo. Reemplazo, significa que en una prueba, los elementos probados no se extraen, sino que se permanecen en la lista, conjunto o sitio de estudio. Al revisar facturas, no aplicamos dos veces una prueba a la misma factura. Eso es una revisión sin reemplazo, el documento revisado ya no se reintegra al conjunto inicial. Esto hace que la probabilidad de selección cambie. Calcular la probabilidad de un experimento hipergeométrico es:

N

n

kN

yn

k

y

C

CCknNyp

−−⋅=),,;(


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N es número de elementos que existen en la población k número de elementos en la población que se consideran éxitos, aquellos que

tienen la característica de interés. n cantidad de elementos tomadlos de la población N y cantidad de éxitos encontrados en n C Es el símbolo que denota combinaciones Por ejemplo, de 20 facturas, 15 se aprobaron adecuadamente y 5 no. Si tomo, de esas 20 facturas, al azar 4, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de ellas se hayan aprobado adecuadamente?

Figura 5 La gráfica muestra la probabilidad calculada con Excel y verificada con PQRS

II.2.4 Distribución Normal Estándar: La Distribución Normal se adapta a variables que tienen distribuciones empíricas campaniformes y simétricas. Es la distribución más importante y la de mayor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. Un gran número de estudios indica que la distribución normal proporciona una adecuada representación de las distribuciones de una gran cantidad de variables físicas: temperatura,… y variables económicas: rentas, salarios,.. Si la variable aleatoria presenta la siguiente función de densidad:

2mx

2/1

e2

1)x(f

σ

−−

ξΠσ

= para ∞


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2

2

z

e2

1)z(f

−

ηΠ

= Para −∞ < < ∞x

Figura 6 Se muestra la distribución normal estándar usando el programa PQRS7

Como dijimos, una distribución de probabilidad tiene todos los valores posibles de una variable. El área bajo la curva representa esos valores. Si medimos el área bajo la curva partiendo desde cero hacia ambos extremos encontramos que:

1. El 68.28% del área bajo la curva (los valores que puede tomar la variable) esta a una y menos una desviación estándar

2. El 95.44% del área bajo la curva esta a dos y menos dos desviación estándar 3. El 99.74%, prácticamente toda el área, está a tres y menos tres desviaciones estándar

de la media. Vamos a imaginar que 50 auditores tomaron una muestra cada uno, de una misma población. A cada muestra se le sacó el promedio ( X ) y se obtuvo la distribución de medias siguiente:

7 El programa PQRS se obtiene gratis http://www.eco.rug.nl/~knypstra/pqrs.shtml

Media,Desv. Típ.0,1

x

densidad

-5 -3 -1 1 3 50

0.1

0.2

0.3

0.4

Media,Desv. Típ.0,1

x

densidad

-5 -3 -1 1 3 50

0.1

0.2

0.3

0.4

1.96 1.96

Figura 7 Representación de los límites del área de la campana de Gauss que contienen al 68.28%, 95.44% y 99.74%

Figura 8 Representación imaginaria de una distribución de medias


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La media poblacional, indicada en el círculo, figura 8, está contenida dentro del área acotada por -1.96 y 1.96. El intervalo de confianza, expresa la amplitud dentro de la cual probablemente se encuentra la media de la población (m). Los intervalos de confianza más usados son el 99%, y el de 95%. Pero, por necesidades del interesado se pueden usar otros intervalos como 87.6%, 80%, 90%, etc. Un intervalo de confianza X%, significa que el X% de los intervalos construidos de manera similar contiene el parámetro que se está estimando. Otra interpretación es que, 95% de las medias muestrales para un tamaño de muestra especificado, está dentro de 1.96 desviaciones estándar de la media poblacional. Similarmente, en un intervalo de 99%, 99% de las medias muestrales estarán a 2.58 desviaciones estándar de la media poblacional hipotética. Mencionamos anteriormente que el 95.44% del área bajo la curva normal se encuentra en el intervalo {-2,+2}. El numero (2), es el valor Z, o cantidad de desviaciones estándar. Así Los números 1.96 y 2,58, son los valores estandarizados de la distribución normal, para los cuales los intervalos {-1.96, +1.96} y {-2.58.+2.58} contienen exactamente al 95% y 99% del área bajo la curva de la distribución normal. Error estándar de la media, es la desviación estándar de la distribución de muestreo de las medias muestrales.

σ = Desv. Estad. De la media

n = tamaño de la muestra n

x

σσ =

xσ = error estándar de la media

Elaborar intervalos de confianza. Una vez que hemos calculado una media muestral, podemos construir intervalos de confianza para conocer que tan lejos estamos de la media poblacional, usando el error estándar, cuando n y s es desconocida, usamos s. Z es el valor correspondiente al grado ce confianza a que hemos seleccionado.

s = desviación estándar de la muestra, ya que la poblacional es desconocida. Za = valor normal estandarizado para el grado de confianza

seleccionado 90%, 95% n = tamaño de la muestra mayor que 30

n

sZX α±

X = media calculada en la muestra

Aproximación Binomial Si en un experimento binomial, el número de ensayos n tiende a α su distribución de probabilidad se puede aproximar a la distribución normal estándar.


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Sabemos que la media o valor esperado de una binomial es np=µ y su varianza es )1()var( pnpnpqp −== ; la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

n

xpdonde

pnp

npxz =

−

−=

)1(

p es la proporción de la población que tiene la característica de interés. z es el valor de la distribución normal estándar ubicado en el eje de las x. El valor de probabilidad correspondiente se encuentra a la izquierda o derecha de este valor.


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II.3 Tamaño de muestra simple para proporciones A partir de la fórmula de la aproximación de una distribución binomial a una normal estándar, entendiendo que para un número de eventos tenemos un área de probabilidad z, podemos despejar n y analizarla de la siguiente manera: “Para un área de probabilidad z dada, ¿qué tamaño de n es necesario probar?”. Al hacer un poco de álgebra se obtiene la fórmula utilizada para calcular el tamaño de muestra cuando la población en estudio es analizada en proporciones. O visto de otra manera, atributos. Sabemos que atributo es una propiedad, una característica. Cuando, aquí se habla de proporción, nos referimos a qué porcentaje de la población posee una propiedad o atributo “X”. Sea una población de trabajadores dada, qué porcentaje de personas tienen carro (p) y cuántas no (q=1-p). Qué porcentaje de cheques se aprobaron correctamente y cuántos no. El muestreo aleatorio simple consiste en seleccionar de una población un grupo de unidades muestrales, de tal manera que cada elemento de la población tenga la misma oportunidad de ser seleccionada. La población no se tiene identificada en grupos o subgrupos. Para calcular el tamaño de la muestra cuando queremos estudiar atributos de una población usamos la ecuación:

pqZ

BN

Npqn

+−

=

2

2

2)1(

α

Ecuación 1

N Tamaño de población

n Tamaño de la muestra

p Proporción de la población que tiene la característica de interés

q Proporción de la población que NO tiene la característica de interés

B Límite de error de estimación, hasta cuánto me puedo equivocar. En este caso significa

cuanto quiero que x difiera de x . Bxx


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función del riesgo de detección y la importancia relativa. Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al principio o al final. Un estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico y su fiabilidad. El nivel de confianza o seguridad de la auditoría, lo expresamos mediante el término Z que es el valor de de probabilidad en una distribución de probabilidad normal para un grado de error a. Si

se ha estimado un nivel de confianza del 95%, la probabilidad de error es del 5%, distribuido en los dos extremos de la campana de Gauss, por lo que a se divide entre 2, y el valor de Z corresponde a 1.96, pues de este punto hacia el extremo de la campana se encuentra el 2.5% del área de probabilidad. El siguiente cuadro es un resumen de las fórmulas empleadas para proyectar, hacer la inferencia, de los resultados de muestreo hacia la población, tratándose de proporciones de atributos. Recuerde siempre las salvedades en auditoría.

Estimado Varianza muestral Límites de error de estimación Varianza estimada

Proporción

n

y

yp

n

i

i∑=== 1ˆ

pqdonde

N

nN

n

qppV

ˆ1ˆ

1

ˆˆ)ˆ(

−=

−−

=

−

−=

N

N

n

pqZpVZ

1

1)ˆ( qp ˆˆ

Tabla 3 Fórmulas empleadas para un muestreo simple donde se desea estimar una proporción Si no deseamos estimar proporciones, entonces el tamaño de la muestre se obtiene con:

( )

( )222

2

2

1

αZ

BD

sDN

Nsn

=

+−=

Ecuación 2

S2 Varianza poblacional

B Error de estimación, ¿Cuánto permito equivocarme?

Za/2 Es el valor de Z para un nivel de confianza a

A 99%, 95%, 90%, 85%, 80%

N Tamaño de la población que se desea estudiar


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El siguiente cuadro muestra las expresiones para estimar la media, el total, en el muestreo aleatorio simple, las varianzas de muestra y estimada, así como los intervalos de error de estimación para cada caso.

Estimado Varianza muestral Límites de error de estimación Varianza estimada

Media

n

y

y

n

i

i∑=== 1µ̂

−=N

nN

n

syV

2

)(

−=

N

nN

n

sZyVZ

2

)( ( )

1

1

2

2

−

−=∑=

n

yy

s

n

i

i

Total

n

y

NyN

n

i

i∑=== 1τ̂

22

)( NN

nN

n

syNV

−=

22

)( NN

nN

n

sZyNVZ

−= ( )

1

1

2

2

−

−=∑=

n

yy

s

n

i

i

Tabla 4 Resumen de formulas usadas en un muestreo aleatorio simple

II.3.1 Tamaño de muestra estratificado Las poblaciones, estadísticamente hablando, en ocasiones sus elementos no tienen las mismas propiedades de interés, lo que motiva su agrupamiento según se parezcan los elementos entre sí. Estrato, es el conjunto de elementos que, con determinados caracteres comunes se agrupan. Pero cada grupo es diferente entre sí y los elementos que conforman el estrato son homogéneos. Debemos elaborar los estratos de manera que un elemento no pueda estar en dos grupos a la vez. El muestreo estratificado es un procedimiento en el cual se seleccionan muestras aleatorias de cada estrato. La definición y existencia de los estratos se hace necesaria cuando la población no es homogénea y existen subgrupos con características diferentes. Se espera que los resultados del análisis de los datos sean diferentes para cada estrato. Para cada estrato es seleccionada una sub-muestra del total, escogiendo las unidades dentro de cada estrato mediante un muestreo simple aleatorio. Esto asegura una muestra mejor integrada que la obtenida a través de un muestreo aleatorio simple sobre toda la población. Por ejemplo, se desea revisar una población del sistema de cuentas por pagar. En ella se registraron las cuentas por pagar de tres departamentos que se dedican a funciones diferentes, por lo que las cuentas por pagar se enfocan a diferentes rubros. Para generar un muestreo más adecuado y representativo de este sistema, recurrimos al muestreo estratificado, donde cada departamento forma un estrato. El número total de cuentas por pagar N, es la suma del número de cuentas de cada estrato i. La representación Ni indica la cantidad de cuentas del estrato i. Las propiedades de cumplimiento en cada estrato serán piqi. El tamaño de muestra calculada n, se integrará con muestras ni obtenidas en cada estrato. Para este tipo de muestreo, la fórmula para determinar el tamaño de la muestra tiene las siguientes variaciones:


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∑

∑

=

=

+

=k

i

iii

k

i

iii

qpNNZ

NB

qpN

n

12

2

2

1

1

α

Ecuación 3

Donde k es el número de estratos en que hemos dividido a la población. Después de encontrar el tamaño de la muestra, se reparte ésta de manera proporcional al tamaño de cada estrato, aplicando la siguiente relación:

N

Nnn ii =

Ecuación 4 Ya podemos saber cuantos elementos conforman la muestra para estudiar en una población. Si se quisiera revisar los importes de las cuentas por pagar, N tomará los valores del importe total de las cuentas por pagar. Ni indica el importe de las cuentas por pagar de cada departamento. El término piqi se sustituye por la desviación estándar de cada estrato. La expresión ahora incluye una ponderación del tamaño de cada estrato. Es decir, si el importe de cada estrato es la tercera parte del total, w =3. Así, con la siguiente expresión podemos calcular un tamaño de muestra, cuando deseamos estimar un promedio o un total (de ventas, recargos, importes, cantidades, etc.) en una población estratificada.

( )

( ) totalparasoloNB

DZ

BD

sNDN

wsN

nL

i

ii

L

i i

ii

4,

1

2

2

2

2

1

2

1

2

==

+−

=

∑

∑

=

=

α

Ecuación 5

S2 Varianza poblacional

B Error de estimación, ¿Cuánto me permito equivocarme?

Za/2 Es el valor de Z para un nivel de confianza a

a 99%, 95%, 90%, 85%, 80%

N Tamaño de la población que se desea estudiar

El siguiente cuadro muestra las expresiones para estimar la media, el total o una proporción para una población estratificada, las varianzas de muestra y estimada, así como los intervalos de error de estimación para cada caso.


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Estimado Varianza muestral Límites de error de estimación

Med

ia

∑=

=L

i

iist yNN

y1

1 ∑

=

−=

L

i i

ii

i

iist

N

nN

n

sN

NyV

1

2

2

2

1)( ∑

=

−=

L

i i

ii

i

ii

N

nN

n

sN

NyV

1

2

2

2

12)(2

Total

∑=

==L

i

iist yNyN1

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−=

L

i

i

i

ii

i

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N

nN

n

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1

22

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−=

L

i

i

i

ii

i

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nN

n

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1

22

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Proporción

∑=

=L

i

iist pNN

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−

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1

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i

iiL

i i

iii

i

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N

nNN

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−

−= ∑

= 1

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1

2

i

iiL

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iii

i

stn

qp

N

nNN

NpV

Tabla 5 Fórmulas empleadas en un muestreo estratificado


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II.4 Procesos de selección No todas las partidas, cuando se ha decidido usar el muestreo estadístico, están “obligadas” a participar del proceso de selección aleatorio. Recuérdese que la planeación puede determinar la existencia de “partidas clave” que deben ser auditadas y por lo tanto no debe arriesgarse a que, por la naturaleza aleatoria de selección sean omitidas de la revisión. Luego de que hemos de terminado que tamaño tiene la muestra que vamos a trabajar, debemos conocer quienes integran esa muestra. Para esto, debemos usar técnicas de selección aleatoria, usando tablas de números aleatorios, calculadoras o con programas que tengan dicha función. Los procesos de selección más difundidos son el Muestreo Aleatorio Simple y el Muestreo Aleatorio Estratificado.

II.4.1 Muestreo Aleatorio Simple En este método podemos calcular el tamaño de la muestra con las ecuaciones 1, 2, 3 y 5 según sea el caso. Ahora, para determinar a quienes seleccionar para conformar la muestra, se procede a asignar un número de identificación a los elementos muestrales. Generando números aleatorios, estos números tienen valores entre 0 y 1, por lo que deben multiplicarse por un número k, tal que nos de un número entero para seleccionar dentro de los números de identificación de los elementos muestrales. En caso de repetirse un número ya escogido se desecha y se continúa el proceso.

II.4.2 Muestreo Sistemático Es una técnica en la que se elige mediante la selección de una observación cualquiera elegida al azar, una vez elegida esta se hace una sucesión. Este método se usa cuando se desea cubrir el rango de las unidades comprendidas en la población. Primeramente, debemos calcular el tamaño de la población con las expresiones antes vistas. Para formar la muestra, se hará de manera sistemática a partir de la primera según el proceso siguiente.

• Generamos un número aleatorio R. Obtenga su valor entero comprendido en el rango de 1 a N. (N = Tamaño de la población)

• A partir de este número se obtiene un cierto valor “k” donde k = N/n • Sumamos k a R para obtener el siguiente número que corresponde a segundo elemento

muestral seleccionado. • Este procedimiento se repite con cada número seleccionado, recorriendo así todo el

marco muestral de la población. Si mediante la secuencia que se sigue llega un momento el número calculado para extraer el elemento muestral se sale del rango de los números de la población, se continúa a partir del límite inferior del rango de forma tal que se recorra la imagen de los datos poblacionales.


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Ahora, para determinar a quienes seleccionar y conformar la muestra, se procede a asignar un número de identificación a los elementos muestrales. Estos son todos los elementos que conforman la población. Generando números aleatorios se seleccionan uno a uno hasta completar n. Los números aleatorios, si los genera en computadora o la calculadora, tienen valores entre 0 y 1, por lo que deben multiplicarse por un número k, tal que nos de un número entero para seleccionar dentro de los números de identificación de los elementos muestrales. En caso de repetirse un número ya escogido se desecha y se continúa el proceso.

II.4.3 Selección aleatoria con Excel Excel ofrece, dentro de sus muchos recursos, una opción denominada análisis de datos, que no está cargada por “de fault”, sino que el usuario debe cargarla, según sus necesidades. A continuación se indica como. En la barra de herramientas, seleccionamos la opción Herramientas, que despliega el menú que se muestra en la figura. Seleccionamos la opción de “Complementarios…”

Figura 9 En la barra principal de herramientas, encontramos la opción de Complementos… “Complementarios”, despliega el menú de la figura, en este, seleccionamos las casillas correspondientes a “Herramientas para análisis”

Figura 10 En el menú de complementos seleccionamos las opciones Herramientas para análisis. Lo anterior carga las funciones para realizar análisis estadístico básico. Análisis descriptivo, histogramas, comparación de medias, correlación, selección aleatoria de muestras, etc.


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Para ejemplificar su uso, tomemos una lista de nombres de municipios del Estado de Guanajuato, de los cuales requerimos seleccionar de manera aleatoria a 20 municipios. Usando de la barra de herramientas la opción Herramientas-Análisis de Datos… se despliega el siguiente menú:

Figura 11 En el menú Análisis de datos seleccionamos Muestra.

Aquí seleccionamos la opción Muestra, y de despliega la ventana siguiente:

Figura 12 Ventana de la Función Muestra.

En la ventana se muestran tres campos, el primero corresponde a la Entrada. Aquí debemos ingresarle el rango de celdas que contiene la información que deseamos seleccionar. Los datos a seleccionar es una lista de números que identifique y corresponda a la lista de entes que deseamos seleccionar. En este caso, Tenemos una lista de nombres de municipios (columna B), a la cual hemos asignado un número de identificación que va del 1 al 46, (columna A). En método de muestreo, se selecciona el método de selección que hemos de aplicar para obtener una selección aleatoria simple o sistemática. Rango de salida (columna C), solicita el rango de celdas, o la hoja en la que han de vaciarse los elementos seleccionados. La opción periódica corresponde a la selección sistemática, pero debemos tener cuidado, pues el procedimiento programado en Excel, selecciona como elemento pivote el primer dato que tenemos en la lista, y a partir de ahí cuenta el periodo de selección que le hemos pedido. Si se pide un muestreo con periodo 4, proporcionará el elemento 4, y seleccionará de 4 en 4. Si se pide con periodo 9, sucederá lo mismo. Vea la figura que muestra una selección con periodo 3, en la cual se arrojan 14 de los 46 municipios de la lista. La selección inicia con el municipio 3, sigue con el 6, 9, hasta el municipio 45.


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Figura 13 Ejemplo de Selección de elementos de una muestra con la función periódico, seleccionando

cada 3 elementos. La columna C muestra los números de los municipios seleccionados. La selección aleatoria, empleará la selección aleatoria simple, hasta completar el número de elementos que le hayamos solicitado. En este caso, se pueden repetir elementos, ya que el elemento seleccionado, no es retirado del conjunto de datos que estemos trabajando.

Figura 14 En la columna C, se muestran los números que corresponden a

los 20 municipios seleccionados.


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II.4.3 Ejercicio: Un programa social, benefició a 1500 familias, ubicadas en distintas colonias de una ciudad. Las entidades gubernamentales aportaron $48,153,023.00. Para recibir los beneficios, la población debe ser propietaria de la vivienda, Aportar una sexta parte del costo de las reparaciones. 1. NID: número de identificación, de familia 1 hasta familia 1500. 2. PE: número de personas en la familia. 3. IMP: Importe de las reparaciones. 4. AB: Aporta

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