Grupo 4 Cap IV Ft 2013

8/16/2019 Grupo 4 Cap IV Ft 2013

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4A.3 Construcción de líneas de corriente para elfujo potencial alrededor de un cilindro

Usamos la ecuación 4.3-19 para grafcar las líneas de corriente:

( ) 2 2

1, 1 ...................................... (4.3 19) X Y Y

X Y Ψ = − − − ÷+

En el siguiente gráfco se muestra la construcción de la línea de corriente

32ψ =

por el método descrito en el enunciado del problema.

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4A.4 comparación de per les exactos y

aproximados para el fujo a lo largo de una placaplana

acemos

xυ

υ υ ∞

Π = e

/Y y vxυ ∞= ! luego e". 4#4-1$ da a la apro%imación:

32

3

3

3 13 1 132 280 2 280

0.323209 0.005002

Y Y

Y Y

υ Π = − ÷

= −

& la fg. 4.4-3 muestra la relación 'e%acta(vsY υ

Π

ubicación

)pro%.υ

Π

Ecuación4.4-1$

υ Π

'e%acto(#*ig. 4.4-3

)pro%.υ

Π

+υ

Π

'e%acto(

&

a. 1., .4 $ .49 .9

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b. 3. .$3, .$4 .99c. 4. .9/3 .9 1. 1

4A.5 Demostración numérica del alance de

momento !on "armana. 0as integrales en la ecuación 4.4-13 son

( ) ( )1 2 x e x e xo o I v v v dy y I v v dy

∞ ∞= ρ − = ρ −∫ ∫

0a fgura 4.4-3 da' / x f v v∞=

como una unción de coordenadasadimensionales#

/ ( )Y y v vx∞=

&ev v∞=

en esta geometría. )sí#' xv v f ∞

=

2/dy x v dY ∞ρ = ρµ

# de manera"ue estas integrales toman las ormas

( ) ( )1 2' 1 ' 1 'o o

I v x f f dY y I v x f dY ∞ ∞

∞ ∞= ρµ − = ρµ −∫ ∫

Una e aluación numérica de las integrales sobre & da

( ) ( )' 1 ' 0.664 1 ' 1.73o o

f f dY y f dY ∞ ∞

− = − =∫ ∫

i se utili5a una tabla precisa de la solución. El siguiente cálculo se 6i5o apartir de la *ig. 4.4-3

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& 1. 7. 3. 4. ,. .8 .34 . 3 .$44 .9,, .9,3 1.1- 8 1 . .3/ .1, . 4, . 1/ .8 1- 8 .7744 .7331 .13 9 . 43 . 1 / .

)plicando la regla trape5oidal obtenemos los alores

[ ]1 1/ 2 0.66 0.37 0.156 0.045 0.017 0 / 2 1.0 1.74 I

= + + + + + + × =

[ ]2 0 / 2 0.244 0.2333 0.1309 0.043 0.0167 0 / 2 1.0 0.65 I = + + + + + + × =

;ue están de acuerdo# en su incertidumbre# con los alores aceptados1#/3 2 # 4.

b. Usando la Ecu. 1.1-7 2 los resultados de a. En la Ecu 4.4-1$ tenemos

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1/2

120

32

3

(0)

0.65

0.325 /

yx y

x

dI I

dx

v

v x

−

=

∞

∞

τ = +

= ρµ= ρµ

c. la uer5a en la dirección % en un plato de anc6ura < 2 longitud 0#6umedecido en ambos lados# de acuerdo con el resultado en b# es

00

3 1/2

0

3 2

2

2 (0.325

1.30 ;

L

x yx y

L

F W dx

W v x dx

v LW

=

−∞

∞

= τ

= ρµ

= ρµ

∫ ∫

El coefciente recomendado es de 1#37$

4#.$ %lujo de !órtice

a. Usando la ecuación 4.3-17# encontramos "ue:

ln2i

w z π Γ =

ln2

dw i d z dz dz π

Γ =

1

2

dw i

dz z π

Γ = ÷

acemos un artifcio agregando z x iy= −

2 z x iy= +

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2 2 ( )( )dw i z i x iydz x iy x iy zz π π

Γ Γ −= = ÷ ÷+ −

( ) 222dw i x iydz x iyπ

Γ −= ÷ ÷−

( ) 2

2 2 2 2 2( ) 1iy i y y y= = − = −

2 22dw i x iydz x yπ

Γ −= ÷+

................4.3 12 x ydw v ivdz

= − + −

Esto indica el con=ugado comple=o. >gualando las partes real e imaginariada:

2 2

2 2

2 2

cos2 2

x

y

y senv x y r

xv

x y r

θ π π

θ π π

Γ Γ = − = − ÷ ÷+ Γ Γ = = ÷ ÷+

0os componentes en coordenadas cilíndricas son:

cosr x yv v v senθ θ = +

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2 2

2 2

cos

coscos

2 2

cos

2 2

cos2

12

x yv v sen v

senv sen

r r

senv

r r

senv

r

vr

θ

θ

θ

θ

θ

θ θ

θ θ θ θ

π π

θ θ

π π

θ θ π

π

= − + Γ Γ = − − + ÷ ÷ ÷

Γ Γ = + ÷ ÷

Γ += ÷ Γ = ÷

b. 0a uer5a del órtice está dada porv r θ = Ω

como indica la ecuación3. -3/

4#.& compro ando soluciones a los pro lemasde fujo no estacionario

a. ustitu2endo la solución de la ecuación. 4.1-14 o 1, en la ecuación 4.1-,# tenemos "ue comprobar "ue:

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2

2

2

( )

( )0

0( )

0

2( ) 1 1 erf(

e d e d

e d π

η −ηη −η

η −η

ηΦ η = − = − η =1− η)...........4.1−14

η∫ ∫ ∫

2

2 ...............4.1 5vt y∂Φ ∂ Φ

= −∂ ∂

2 22

20 0

2 21 1e dn v e dn

t yπ π

η η−η −η∂ ∂ − = − ÷ ÷∂ ∂ ∫ ∫

?enemos "ue usar la regla de la cadena de la di erenciación parcial# =unto con la órmula de 0eibni5

( ) ( )2 2

22

20 0. .e dn v e dn

t y

η η−η −η ∂ ∂η ∂ ∂η= ÷∂η ∂ ∂η ∂ ∫ ∫

0a integral cancela la di erencial

( )2 22

.e v et y

−η −η ∂η ∂ ∂η= ÷∂ ∂η ∂

@omo4

y

vt η =

entonces:

( ) ( )( )2 2

2

1 1. 22 4 4

ye v et vt vt

−η −η − = − η ÷ ÷

@uando se utili5a la defnición deη

# lo anterior se encuentra "ue es unaidentidad

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