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Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 10
Grundwissen Mathematik 10. Klasse, Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Seite 1 von 12
1 KREIS und KUGEL
Bogenlänge °
=180
παrb
Das Verhältnis °
=180
πα
r
b heißt Bogenmaß, ist nur vom
Mittelpunktswinkel α abhängig und ist eine andere Möglichkeit,
die Größe eines Winkels anzugeben. Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Bogenmaß 0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
2
3π
π2
Bei Winkeln über 360° bzw. π2 beginnen die Sinus- und Kosinuswerte von vorn.
Kreissektorfläche °
=360
2 απrA Kreissegmentfläche A:
„Sektorfläche minus Dreiecksfläche“ Dreieck ist gleichschenklig! A
Kugelvolumen π3
3
4rVK = Kugeloberfläche π24rOK =
3
4
3
π
KVr =
π4
KOr =
2 SINUS und KOSINUS Im Einheitskreis (Radius 1) gilt für den Mittelpunktswinkel α :
Hochwert: y = sinα
Rechtswert: x = cosα
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Vergleich der Sinus- und Kosinuswerte in den anderen Quadranten z.B. für °= 30α :
II. Quadrant:
°=°=°−° 30sin150sin)30180sin(
°−=°=°−° 30cos150cos)30180cos(
III. Quadrant:
°−=°=°+° 30sin210sin)30180sin(
°−=°=°+° 30cos210cos)30180cos(
IV. Quadrant:
°−=°=°−° 30sin330sin)30360sin(
°=°=°−° 30cos330cos)30360cos(
Vorzeichen von Sinus und Kosinus:
+ + - +
- - - + Sinus- und Kosinusfunktion x im Bogenmaß (also ohne Benennung) statt im Gradmaß ACHTUNG: Taschenrechner auf RAD umstellen! Alle Werte wiederholen sich im Abstand
π2 (Periodenlänge)
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Veränderungen der Sinusfunktion y = a sinx a ist die Amplitude (größte Abweichung in y-Richtung von der Mittellage) und bewirkt also eine Streckung/Stauchung in y-Richtung. hier: a = 1; Amplitude 1 hier: a = 2; Amplitude 2 y = sin(bx)
b verändert die Periode von π2 auf b
π2,
bewirkt also eine Streckung/Stauchung in x-Richtung.
hier: b = 1; Periode π2
hier: b = 2; Periode ππ
=2
2
y = sin(x - c) c bewirkt eine Verschiebung in x-Richtung hier: c = 0 hier: c = 1 also um 1 nach rechts! (Phasenverschiebung) y = sin(x) + d d bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung hier: d = 0 hier: d = 2 also um 2 nach oben!
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Beispiel: y = 3sin[2(x - 1)] + 1
Amplitude 3 Periode ππ
=2
2 um 1 nach rechts um 1 nach oben
3 EXPONENTIELLES WACHSTUM und EXPONENTIALFUNKTION lineares Wachstum: exponentielles Wachstum:
axby ⋅+= xaby ⋅= für 1>a
b: Startwert x: Anzahl der Zeiteinheiten a: Wachstumsfaktor ___________________________ Die x-Achse ist Asymptote. ax ist immer positiv und ungleich 0! Wachstum für a>1 Zerfall oder Abnahme für a<1 Jede Funktion mit einem x im Exponenten heißt Exponentialfunktion.
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4 LOGARITHMUS
x = logb p ist diejenige Hochzahl (Exponent), mit der man die Basis b potenzieren muss
um den Potenzwert p zu erhalten, also:
logb p = x denn bx = p log2 8 = 3 denn 23 = 8 Sonderfälle: logb 1 = 0 logb b = 1 log10 x = lg x Es gibt nur Basen b>0 und ungleich 1! Rechenregeln für den Logarithmus:
qpqp bbb loglog)(log +=⋅ (Logarithmus eines Produkts)
qpq
pbbb loglog)(log −= (Logarithmus eines Quotienten)
prp b
r
b log)(log ⋅= (Logarithmus einer Potenz)
a
pp
b
ba
log
loglog = (Wechsel der Basis)
Lösen von Exponentialgleichungen z.B. auf beiden Seiten gleiche Basen oder erst noch zusammenfassen: herstellen und dann Exponenten vergleichen:
2
11
22
5,02
11
1
−=
−=+
=
=
−+
+
x
x
x
x
2
93
79
213
73323
7323
2
2
=
=
=
−
=⋅⋅−
=⋅−
−
−
x
x
x
xx
xx
z.B. beide Seiten logarithmieren (z.B. mit Zehnerlogarithmus):
12lg
3lg
2lg
3lg1
3lg2lg)1(
3lg2lg
32
1
1
−=
=+
=+
=
=
+
+
x
x
x
x
x
( )
( )
2lg3lg2
3lg
3lg2lg3lg2
3lg2lg3lg2
2lg3lg3lg2
2lg3lg12
2lg3lg
23
12
12
−=
=−
=−
=−
=−
=
=
−
−
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
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5 MEHRSTUFIGE ZUFALLSEXPERIMENTE typische Aufgabenstellungen, z.B. beim n-maligen Würfeln:
a) beim n-ten Wurf die erste Sechs: 6
1
6
51
⋅
−n
(Die ersten n-1 Würfe sind keine 6, der letzte schon.)
b) frühestens beim n-ten Wurf eine 6: 16
51
⋅
−n
(Die ersten n-1 Würfe sind keine 6, der letzte Versuch kann eine 6 sein, muss aber nicht!) c) Wie oft muss mindestens geworfen werden, damit mit einer WSK von wenigstens 90% mindestens eine Sechs kommt?
P(„mindestens eine Sechs“) = 1 - P(„keine Sechs“) =
n
−
6
51 muss also %90≥ sein!
≥
≤
⋅
≤
≤
−≥
−
≥
−
6
5lg
1,0lg
1,0lg6
5lg
1,0lg6
5lg
1,06
5
1,06
5
9,06
51
n
n
n
n
n
n
Beachte: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
bedingte WK: )(
)()(
BP
BAPAPB
∩= ist die WK, dass A eintritt unter der Vorbedingung,
dass B gilt; am besten mit Vierfeldertafel:
A A
B )( BAP ∩ )( BAP ∩ )(BP
B )( BAP ∩ )( BAP ∩ )(BP
)(AP )(AP 1
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6 GANZRATIONALE FUNKTIONEN
nxaxf ⋅=)( heißt auch Potenzfunktion oder Parabel n-ter Ordnung
Ist n gerade, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Ist n ungerade, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
ganzrationale Funktion, z.B. dritten Grades: )652(25,0)( 23+−−= xxxxf
Zur Nullstellensuche muss man die Gleichung lösen: 0)652(25,0 23=+−− xxx
Finde die erste Nullstelle durch Probieren: z.B. 11 =x
Polynomdivision ergibt die erste Zerlegung des Terms:
6)1(:)652( 223−−=−+−− xxxxxx
Löse 062=−− xx entweder mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel aus der 9. Klasse)
oder mit Satz von Vieta: )2)(3(62+−=−− xxxx
Also heißen die anderen beiden Nullstellen: 32 =x und 23 −=x
Somit kann man die Funktion auch komplett in Linearfaktoren zerlegen:
)2)(3)(1(25,0)( +−−= xxxxf
Arten von Nullstellen: einfache Nst.: schneiden die x-Achse; gehören zu einem einfachen Linearfaktor: f(x) = (x + 2)(x - 1) x1 = -2 x2 = 1
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doppelte Nst.: berühren die x-Achse; gehören zu einem zweifachen Linearfaktor: f(x) = (x - 3)² x1 = x2 = 3 dreifache Nst.: berühren und schneiden die x-Achse gehören zu einem dreifachen Linearfaktor: f(x) = (x - 1)³ x1 = x2 = x3 = 1 Symmetrie von Funktionen f(-x) f(x) f(-x) f(x)
f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung
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Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen: Nur der Grad (höchster vorkommender Exponent) entscheidet zusammen mit dem davor stehenden Faktor (Koeffizienten): f(x) = 0,5x3 - 1,5x + 1 Das 0,5 ist positiv, also kommt der Graph von links unten und geht nach rechts oben.
±∞=±∞→
)(lim xfx
g(x) = -x4 - 2x3 + 2x +1 Das Minus vor dem x4 ist negativ, also kommt der Graph von links unten und geht nach rechts unten.
−∞=±∞→
)(lim xfx
Grobverlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion z.B. f(x) = 2 (x + 2) (x - 1)² (x - 2) Der Grad ist 4 (höchster Exponent nach dem Ausmultiplizieren). Koeffizient 2 ist positiv, also kommt der Graph von links oben und geht nach rechts oben, d.h.
+∞=±∞→
)(lim xfx
x1 = -2 ist einfache Nst., also Schnittstelle x2 = 1 ist doppelte Nst., also Berührstelle x3 = 2 ist einfache Nst., also Schnittstelle Dann muss der Graph zwangsläufig etwa so verlaufen:
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7 Das Verhalten z.B. einer gebrochen-rationalen Funktion im Unendlichen:
falls +∞=±∞→
)(lim xfx
, so heißt f divergent
falls axfx
=±∞→
)(lim , so heißt f konvergent gegen die feste Zahl a
z.B. 5
12)(
2
2
+
+=
x
xxf Nenner immer positiv, also RD f =
Zähler immer ungleich 0, also keine Nullstellen
=
+
+
=±∞→±∞→
2
2
2
2
51
12
lim)(lim
xx
xx
xfxx
21
2
51
12
lim
2
2
==
+
+
±∞→
x
x
x also: waagrechte Asymptote y = 2
TRICK: höchste Nennerpotenz ausklammern und kürzen! Die Brüche, die nur im Nenner ein x enthalten, werden alle 0!!! y = 2 Gf
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8 Der Einfluss von Parametern im Funktionsterm auf den Graphen
am Beispiel 2)1()( 2+−= xxf (Scheitelform! also S(1/2)) oder 32)( 2
+−= xxxf
a) Verschiebung in y-Richtung Verschiebung in y-Richtung nach oben: f(x) + d, falls d > 0 Verschiebung in y-Richtung nach unten: f(x) + d, falls d < 0 f(x) +1 = (x - 1)² +2 + 1 = (x - 1)² + 3 S(1/3) f(x) - 2 = (x - 1)² +2 - 2 = (x - 1)² S(1/0) Hänge das d hinten ans Ende des Funktionsterms an! b) Verschiebung in x-Richtung Verschiebung in x-Richtung nach rechts: f(x - b), falls b > 0 Verschiebung in x-Richtung nach links: f(x - b), falls b < 0 f(x - 1) = (x - 1 - 1)² +2 = (x - 2)² + 2 S(2/2) f(x -(-2)) = (x + 2 - 1)² +2 = (x + 1)² + 2 S(-1/2) Ersetze jedes x im Funktionsterm durch das (x - b) ! c) Strecken oder Stauchen in y-Richtung Strecken in y-Richtung mit dem Faktor c: c f(x), falls c > 1 Stauchen in y-Richtung mit dem Faktor c: c f(x), falls 0 < c < 1 2 f(x) = 2 [(x - 1)² +2] = 2 (x - 1)² + 4 S(1/4) 0,5 f(x) = 0,5 [(x - 1)² +2] = 0,5 (x - 1)² + 1 S(1/1) Schreibe den Faktor c vor den ganzen Funktionsterm!
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d) Strecken oder Stauchen in x-Richtung Strecken in x-Richtung mit dem Faktor a: f(ax), falls 0 < a < 1 Stauchen in x-Richtung mit dem Faktor a: f(ax), falls c > 1 f(0,5x) = (0,5x - 1)² +2 = [0,5 (x - 2)]² +2 = 0,25 (x - 2)² + 2 S(2/2) f(2x) = (2x - 1)² +2 = [2 (x - 0,5)]² + 2 = 4 (x - 0,5)² + 2 S(0,5/2) Ersetze jedes vorkommende x im Funktionsterm durch ax! e) Spiegeln des Graphen Achsenspiegeln an der x-Achse: -f(x) Achsenspiegeln an der y-Achse: f(-x) Punktspiegeln am Ursprung: -f(-x) -f(x) = - [(x - 1)² + 2] = - (x - 1)² - 2 S(1/-2) f(-x) = (-x - 1)² + 2 = (x + 1)² + 2 S(-1/2) -f(-x) = - [(-x - 1)² + 2] = -(x + 1)² - 2 S(-1/-2) Schreibe das „-“ vor den ganzen Term bzw. vor jedes vorkommende x bzw. beides!