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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
3. Reelle Funktionen
Prof. Dr. Gunar Matthies
Wintersemester 2015/16
Funktionsbegriff
Definition
Seien A und B nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f , die jedemx ∈ A genau ein y ∈ B zuordnet, heißt Funktion oder Abbildung.Wir schreiben
f : A→ Bund
y = f (x) bzw. x 7→ f (x)für die Zuordnungsvorschrift.
Bemerkung
Eine Funktion ist erst durch die Angabe der Zuordnungsvorschriftsowie der Mengen A und B bestimmt. Eigenschaften von Funk-tionen können von der konkreten Wahl von A und B abhängen.
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Beispiele I
A = {x1, x2, x3}, B = {y1, y2, y3, y4}
f : A→ B gegeben durch
x3
x2
x1
y3
y1
y2
y4
f (A) = {y1, y3} 6= B
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Beispiele II
Keine Abbildungen sind
Dem roten Element werdenzwei Bilder zugeordnet.
Dem roten Element wird keinBild zugeordnet.
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Definitions- und Wertebereich
Definition
Sei f : A→ B, x 7→ y = f (x) eine Funktion. Dann heißen1. y Bildpunkt von x unter der Abbildung f oder Funktionswert
an der Stelle x ,2. x Urbildpunkt von y unter der Abbildung f ,3. A Definitionsbereich oder Urbildbereich von f ,4. B Wertebereich,5. f (A) := {y ∈ B : Es gibt ein x ∈ A mit y = f (x)} ⊂ B das
Bild von A unter f oder der Wertebereich von f
6. graph(f ) :={(x , f (x)) : x ∈ A
}Graph von f .
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Graphen und reelle Funktionen
Sind A ⊂ R und f (A) ⊂ R, so kann der Graph als eine Kurve inder Ebene R2 dargestellt werden.
Im Spezialfall A ⊂ R und B ⊂ R sprechen wir von einer reellenFunktion einer (reellen) Variablen (Veränderlichen) oder kurz voneiner Funktion.
−2 −1 1 2
2
4f (x) = x2
x
y
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Monotonie
Definition
Sei D ⊂ R. Eine Funktion f : D → R heißt1. monoton wachsend (fallend), wenn für alle x1, x2 ∈ D mit
x1 < x2 stets
f (x1) ≤ f (x2)(f (x1) ≥ f (x2)
)gilt;
2. streng monoton wachsend (fallend), wenn für alle x1, x2 ∈ Dmit x1 < x2 stets
f (x1) < f (x2)(f (x1) > f (x2)
)gilt.
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Parität, Periode, Nullstelle
Definition
Sei D ⊂ R. Eine Funktion f : D → R heißt1. gerade (ungerade), falls mit x ∈ D auch −x ∈ D ist und
f (−x) = f (x)(f (−x) = −f (x)
)gilt;
2. periodisch mit der Periode T > 0, falls D = R ist und
f (x + T ) = f (x) für alle x ∈ R
gilt.Ein Wert x ∈ D heißt Nullstelle von f , falls f (x) = 0 erfüllt ist.
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Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
Definition
Sei f : A→ B eine Funktion.1. f heißt injektiv (eineindeutig), falls für x1, x2 ∈ A mit x1 6= x2
stets auch f (x1) 6= f (x2) gilt.2. f heißt surjektiv (Abbildung von A auf B), wenn f (A) = B
gilt, d. h., zu jedem y ∈ B gibt es mindestens ein x ∈ A mity = f (x).
3. f nennen wir bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.
Folgerung
Wenn f : A → B eine bijektive Abbildung ist, dann gibt es zujedem x ∈ A genau ein y ∈ B mit y = f (x).
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Beispiel
f : R→ (−1, 1)
−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10
−1
−0.5
0.5
1
f (x) =x
1+ |x |
x
y
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Umkehrabbildung
Definition
Sei f : A → B eine bijektive Abbildung. Die Funktion, die jedemy ∈ B das eindeutig bestimmte Urbild x ∈ A unter der Abbildungf zuordnet, heißt Umkehrfunktion von f und wird mit f −1 : B → Abezeichnet.
Bemerkung
Es gilt f −1(f (x)) = x und f(f −1(y)
)= y . Bei der Angabe der
Zuordnungsvorschrift von f −1 wird statt y oft x benutzt.
Bemerkung
Der Graph von f −1 entsteht aus dem Graphen von f durch Spie-gelung an der Gerade y = x .
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Beispiel
a f (a) b f (b)
a
f (a)
b
f (b)
f
f −1
f (a) < f (b) f : [a, b]→ [f (a), f (b)], f −1 : [f (a), f (b)]→ [a, b]f (a) > f (b) f : [a, b]→ [f (b), f (a)], f −1 : [f (b), f (a)]→ [a, b]
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Strenge Monotonie und Umkehrfunktion
Folgerung
Jede streng monoton wachsende (fallende) Funktion f : A → B ,die surjektiv (f (A) = B) ist, besitzt eine Umkehrfunktion. Hier istdie strenge Monotonie essentiell für die Injektivität, die zusammenmit der vorausgesetzte Surjektivität die Bijektivität von f sichert.
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Polynome
Definition
Eine Funktion f : R→ R,
f (x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0 =n∑
i=0
aixi
mit an 6= 0 heißt Polynom n-ten Grades. Die Funktion f : R→ Rmit f (x) = 0 für alle x ∈ R heißt Nullpolynom. Ihm wird keinGrad zugeordnet.
Beispiel
Polynome können auf verschiedene Weise geschrieben werden, z. B.• p(x) = x3 − 3x + 2• q(x) = (x − 1)2(x + 2)3(x2 + 3x − 8)
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Mehrfache Nullstellen
Definition
Sei p : R → R ein Polynom n-ten Grades. Dann heißt x0 ∈ Rk-fache Nullstelle (k ∈ N), wenn
p(x) = (x − x0)kq(x)
für alle x ∈ R gilt, wobei q : R → R ein Polynome vom Gradn − k mit q(x0) 6= 0 ist.
Bemerkung
Setzen wir in der obigen Definition k = 0, so weist p wegen
p(x) = (x − x0)0︸ ︷︷ ︸
= 1
q(x) = q(x) und p(x0) = q(x0) 6= 0
keine Nullstelle in x0 auf.
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Horner-Schema zur Polynomberechnung
Gegeben: Polynom p(x) = x3 − 3x + 2Gesucht: p(−1)
Horner-Schema p(x) =((1 · x + 0) · x − 3
)· x + 2
1 0 − 3 2
x = − 1 − 1 1 2
1 − 1 − 2 4
p(−1) = 4
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Rationale Funktionen
Definition
Seienp : R→ R, p(x) =
n∑i=0
aixi , q : R→ R, q(x) =
m∑j=0
bjxj
Polynome der Grade n und m. Dann heißt
f (x) :=p(x)
q(x)
gebrochen rationale Funktion. Gilt• grad q = 0, so ist f ein Polynom.• grad p ≥ grad q ≥ 1, so nennen wir f unecht gebrochen.• grad q > grad p ≥ 0, so heißt f echt gebrochen.
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Beispiele
Beispiel
• f (x) =2x3 − x2 + 5x
x2 + 1Zählerpolynom p(x) = 2x3 − x2 + 5x , grad p = 3,
Nennerpolynom q(x) = x2 + 1, grad q = 2.
unecht gebrochen
• g(x) =x + 13x4 − x
Zählerpolynom p(x) = x + 1, grad p = 1,
Nennerpolynom q(x) = 3x4 − x , grad q = 4.
echt gebrochen
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Zerlegungssatz
Satz
Jede gebrochen rationale Funktion f lässt sich als Summe
f (x) = h(x) + g(x)
eines Polynoms h und einer echt gebrochen rationalen Funktion gschreiben.
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Polynomdivision I
(x3 − 3x + 2
):(x2 + x − 2
)= x − 1
− x3 − x2 + 2x− x2 − x + 2x2 + x − 2
0
x3 − 3x + 2 = (x2 + x − 2)(x − 1)
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Polynomdivision II
(x3 − 3x + 2
):(x + 1
)= x2 − x − 2+
4x + 1− x3 − x2
− x2 − 3xx2 + x
− 2x + 22x + 2
4
x3 − 3x + 2 = (x2 − x − 2)(x + 1) + 4
1 0 − 3 2
x = − 1 − 1 1 2
1 − 1 − 2 4
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Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis
α ∈ [0◦, 360◦], t ∈ [0, 2π], t =α
180◦π
t
y
xα
1
1
sin(α) = sin(t) = y , cos(α) = cos(t) = x
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Sinus- und Kosinusfunktion
π2
π
−1
−0.5
0.5
1
x
y
Die Funktionen sin : R→ [−1, 1] und cos : R→ [−1, 1] sind je-weils periodisch mit der Periodenlänge 2π.Die Sinusfunktion ist ungerade, die Kosinusfunktion gerade.G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/71
Eigenschaften trigonometrischer Funktionen
Für alle x ∈ R gilt: sin2(x) + cos2(x) = 1.
Für alle x ∈ R und alle k ∈ Z gelten
sin(kπ) = cos(π2+ kπ
)= 0,
cos(kπ) = sin(π2+ kπ
)= (−1)k .
Für alle x , y ∈ R gelten die Additionstheoreme
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y),cos(x + y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y).
G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/71
Tangensfunktion
tan : R \{π2+ kπ : k ∈ Z
}→ R, tan(x) =
sin(x)cos(x)
−32π−π −π
2π2
π 32π
2π 52π
−10
−5
5
10
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Kotangensfunktion
cot : R \ {kπ : k ∈ Z} → R, cot(x) =cos(x)sin(x)
−32π−π −π
2π2
π 32π
2π 52π
−10
−5
5
10
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Tangens und Kotangens am Einheitskreis
t
α
1
1
x
y
tan(α) =sin(α)cos(α)
, cot(α) =cos(α)sin(α)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 27/71
Die Arcussinus-Funktion
π −π2 −1 1 π
2π
−π2
−1
1
π2
sin : R→ [−1, 1], x 7→ sin(x)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/71
Die Arcussinus-Funktion
π −π2 −1 1 π
2π
−π2
−1
1
π2
sin :[−π2,π
2
]→ [−1, 1], x 7→ sin(x)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/71
Die Arcussinus-Funktion
π −π2 −1 1 π
2π
−π2
−1
1
π2
sin :[−π2,π
2
]→ [−1, 1], x 7→ sin(x)
arcsin : [−1, 1]→[−π2,π
2
], x 7→ arcsin(x) (auch: sin−1(x))
G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/71
Die Arcuscosinus-Funktion
−1 1 π2
π
−1
1
π2
π
cos : R→ [−1, 1], x 7→ cos(x)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/71
Die Arcuscosinus-Funktion
−1 1 π2
π
−1
1
π2
π
cos : [0, π]→ [−1, 1], x 7→ cos(x)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/71
Die Arcuscosinus-Funktion
−1 1 π2
π
−1
1
π2
π
cos : [0, π]→ [−1, 1], x 7→ cos(x)arccos : [−1, 1]→ [0, π], x 7→ arccos(x) (auch: cos−1(x))
G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/71
Die Arcustangens- und die Arcuscotangens-Funktion
-6 -4 -2 2 4 6
−π2
π2
π
arctan : R→(−π2,π
2
), x 7→ arctan(x)
arccot : R→ (0, π) , x 7→ arccot(x)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 30/71
Exponentialfunktionen
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
2
4
f : R→ R, x 7→ ax , mit a > 0
a = 2, a = 3.5, a =1, a =12, a = e
G. Matthies Grundlagen Mathematik 31/71
Exponential- und Logarithmusfunktionen
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
ex
ln(x)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 32/71
Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen
Für alle a, b ∈ R+ und alle x , y ∈ R gelten:• ax+y = ax ay
• (ax)y = axy
• (ab)x = ax bx
Für alle x , y ∈ R+ und alle a ∈ R gelten:• ln(xy) = ln(x) + ln(y)
• ln(x
y
)= ln(x)− ln(y), speziell: ln
(1y
)= − ln(y)
• ln (xa) = a ln(x)Für alle a ∈ R+ und alle x ∈ R gilt
ax =(e ln(a)
)x= ex ln(a)
Für alle x ∈ R+ und a ∈ R+ \ {1} gilt
loga(x) =ln(x)ln(a)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 33/71
Verkettung von Funktionen
Definition
Seien g : A → B und f : C → D Abbildungen mit g(A) ⊂ C .Dann heißt die Funktion
f ◦ g : A→ D, x 7→ f(g(x)
)Verkettung (Komposition, Hintereinanderausführung) der Funktio-nen f und g .
Bemerkung
Oft treten Verkettungen von Funktionen in natürlicher Weise auf,ohne dass uns die Verkettung auf dem ersten Blick bewusst wird.
Die Verkettung von mehr als zwei Funktionen ergibt sich in Ver-allgemeinerung der Verkettung von zwei Funktionen.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 34/71
Eigenschaften von Verkettungen
Bemerkung
Die Verkettungsoperation ◦ ist nicht kommutativ. Dies heißt, dassim Allgemeinen f ◦ g 6= g ◦ f gilt, selbst wenn alle auftretendenAusdrücke wohl definiert sind.
Beispiel
Seien f : R → R, x 7→ x2 und g : R → R, x 7→ x + 1 zweiFunktionen. Dann sind f ◦ g : R→ R, g ◦ f : R→ R mit
(f ◦ g)(x) = f(g(x)
)= f (x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
und(g ◦ f )(x) = g
(f (x)
)= g(x2) = x2 + 1
zwei verschiedene Funktionen.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 35/71
Häufungspunkt
Definition
Sei D ⊂ R. Ein Punkt x0 ∈ R heißt Häufungspunkt von D, wennfür jedes ε > 0 in der ε-Umgebung Uε(x0) = (x0 − ε, x0 + ε) vonx0 stets unendlich viele Elemente von D liegen.
Beispiel
D := [1, 2) ∪ {3}
0 1 2 3
3 ist kein Häufungspunkt von D, gehört aber zu D.2 ist Häufungspunkt von D, gehört aber nicht zu D.1.5 ist Häufungspunkt von D und gehört zu D.0 ist kein Häufungspunkt von D und gehört auch nicht zu D.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 36/71
Grenzwert einer Funktion
Definition
Seien D ⊂ R, f : D → R und x∗ ein Häufungspunkt von D. DerWert f ∗ ∈ R heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle x∗,wenn für alle Folgen (xk)k∈N ⊂ D mit
limk→∞
xk = x∗ und xk 6= x∗ für alle k ∈ N
die Beziehunglim
k→∞f (xk) = f ∗
gilt. Dafür wird dann kurz
limx→x∗
f (x) = f ∗
geschrieben.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 37/71
Stetigkeit I
Definition
Seien D ⊂ R und f : D → R. Die Funktion f heißt in x0 ∈ Dstetig, wenn
limx→x0
f (x) = f (x0)
gilt, d. h., wenn der Grenzwert der Funktion f in x0 mit demFunktionswert f (x0) übereinstimmt.
Bemerkung
Stetigkeit bedeutet, dass Funktionsauswertung und Grenzprozessvertauscht werden dürfen:
limn→∞
f (xn) = f(limn→∞
xn),
falls limn→∞
xn = x0 gilt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/71
Stetigkeit II
Definition
Seien D ⊂ R und f : D → R. Die Funktion f heißt auf A ⊂ Dstetig, falls f in jedem Punkt x0 ∈ A stetig ist. Ist f auf D stetig,so nennen wir f stetige Funktion.
Bemerkung
Zum Nachweis der Stetigkeit in x0 ∈ D müssen alle möglichenFolgen (xn)n∈N mit xn → x0 für n→∞ betrachtet werden.
Um die Unstetigkeit von f in x0 zu zeigen, genügt es eine konkreteFolge (xn)n∈N mit
limn→∞
xn = x0 und limn→∞
f (xn) 6= f (x0)
zu finden.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 39/71
ε-δ-Charakterisierung
Definition
Seien D ⊂ R und f : D → R. Die Funktion f ist in xo ∈ D stetig,wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δε > 0 derart gibt, dass für allex ∈ D mit |x − x0| < δ stets auch∣∣f (x)− f (x0)
∣∣ < ε
erfüllt ist.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 40/71
ε-δ-Charakterisierung
x0 − δ x0 x0 + δ
f (x0)− ε
f (x0)
f (x0) + ε
x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/71
ε-δ-Charakterisierung
x0 − δ x0 x0 + δ
f (x0)− ε
f (x0)
f (x0) + ε
x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/71
Rechenregeln für stetige Funktionen
Satz
Seien D1,D2 ⊂ R und x0 ∈ D1 ∩ D2.Sind die Funktionen f : D1 → R und g : D2 → R in x0 stetig, sosind auch die Summe f +g , die Differenz f −g und das Produkt f gin x0 stetig. Gilt zusätzlich g(x0) 6= 0, dann ist auch der Quotientf /g in x0 stetig.
Satz
Sei I ⊂ R ein Intervall. Die Funktion f : I → R sei in x0 ∈ I stetigund es gelte f (x0) > 0 (f (x0) < 0). Dann gibt es ein ε > 0 derart,dass
f (x) > 0(f (x) < 0
)für alle x ∈ I ∩ (x0 − ε, x0 + ε)
gilt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 42/71
Verknüpfung stetiger Funktionen
Satz
Seien f : A → B stetig in x0 ∈ A und g : D → C mit f (A) ⊂ Dstetig in y0 = f (x0) ∈ D. Dann ist g ◦ f : A→ C in x0 stetig.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 43/71
Folgerungen
Satz
Sei f : [a, b] → [f (a), f (b)] stetig und streng monoton wach-send bzw. f : [a, b] → [f (b), f (a)] stetig und streng monotonfallend. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : [f (a), f (b)] → [a, b]bzw f −1 : [f (b), f (a)] → [a, b] ebenfalls stetig und streng mono-ton wachsend bzw. streng monoton fallend.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 44/71
Illustration
a f (a) b f (b)
a
f (a)
b
f (b)
f
f −1
G. Matthies Grundlagen Mathematik 45/71
Nullstellensatz und Zwischenwertsatz
Satz (Nullstellensatz)
Sei f : [a, b] → R stetig und erfülle f (a)f (b) < 0, d. h., dieFunktion f hat an den Intervallenden a und b Funktionswerte mitunterschiedlichen Vorzeichen. Dann besitzt die Funktion f im In-verall (a, b) mindestens eine Nullstelle.
Satz (Zwischenwertsatz)
Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann existiert zu jedem
y0 ∈[min
(f (a), f (b)
),max
(f (a), f (b)
)]mindestens ein x0 ∈ [a, b] mit f (x0) = y0.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 46/71
Bisektionsverfahren zur Nullstellenbestimmung
Gegeben sei eine stetige Funktion f : [a, b]→ Rmit f (a)f (b) < 0.Bisektionsverfahren:1. Setze L := a, R := b;2. Berechne M := (R + L)/2 und f (M);3. Ist f (M) = 0, dann ist eine Nullstelle gefunden; STOP.4. Ist f (L)f (M) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen L und
M. Setze R := M und gehe zu 2.5. Ist f (M)f (R) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen M und
R . Setze L := M und gehe zu 2.
Es liegt stets eine Nullstelle zwischen L und R . In jedem Schritthalbiert sich der Abstand zwischen L und R .
G. Matthies Grundlagen Mathematik 47/71
Illustration zur Bisektion
a b
f (a)
f (b)
M1 x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/71
Illustration zur Bisektion
a b
f (a)
f (b)
M1
M2
x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/71
Illustration zur Bisektion
a b
f (a)
f (b)
M1
M2M3
x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/71
Regula falsi zur Nullstellenbestimmung
Gegeben sei eine stetige Funktion f : [a, b]→ Rmit f (a)f (b) < 0.Regula falsi:1. Setze L := a, R := b;2. Bestimme M als Stelle, an der die Sekante durch
(L, f (L)
)und
(R, f (R)
)die x-Achse schneidet:
M := L− L− R
f (L)− f (R)f (L).
Berechne f (M);3. Ist f (M) = 0, dann ist eine Nullstelle gefunden; STOP.4. Ist f (L)f (M) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen L und
M. Setze R := M und gehe zu 2.5. Ist f (M)f (R) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen M und
R . Setze L := M und gehe zu 2.
Es liegt stets eine Nullstelle zwischen L und R .G. Matthies Grundlagen Mathematik 49/71
Illustration zur Regula falsi
a b
f (a)
f (b)
M1 x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/71
Illustration zur Regula falsi
a b
f (a)
f (b)
M1 M2 x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/71
Illustration zur Regula falsi
a b
f (a)
f (b)
M1 M2 x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/71
Beschränktheit
Definition
Seien D ⊂ R und f : D → R. Die Funktion f heißt• nach oben (unten) beschränkt, falls es eine Zahl c ∈ R mit
f (x) ≤ c(f (x) ≥ c
)für alle x ∈ D gibt;
• beschränkt, falls f nach oben und unten beschränkt ist.Jede Zahl c ∈ R mit der Eigenschaft f (x) ≤ c (f (x) ≥ c) für allex ∈ D wird als obere (untere) Schranke von f auf D bezeichnet.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 51/71
Infimum und Supremum
Definition
Die kleinste obere (größte untere) Schranke nennen wir Supremum(Infimum). Wir schreiben
supx∈D
f (x) bzw. infx∈D
f (x).
Existiert ein x0 ∈ D mit
f (x0) = supx∈D
f (x) bzw. f (x0) = infx∈D
f (x)
so heißt f (x0) Maximum (Minimum) von f auf D. In diesem Fallwird x0 als Maximalstelle (Minimalstelle) von f auf D bezeichnet.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 52/71
Satz von Weierstraß
Satz (Satz von Weierstraß)
Jede stetige Funktion f : [a, b] → R ist auf dem beschränktenund abgeschlossenen Intervall [a, b] beschränkt. Darüber hinausgibt es mindestens eine Minimalstelle x0 ∈ [a, b] und mindestenseine Maximalstelle x1 ∈ [a, b].
Bemerkung
Die Voraussetzungen, dass das Intervall abgeschlossen und be-schränkt sein muss, sind für die Aussage des Satzes wesentlich.Als Beispiele seien die Funktionen f : R → R, x 7→ x undg : (0, 1]→ R, x 7→ 1/x genannt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 53/71
Stetige Erweiterung
Satz
Seien D ⊂ R, f : D → R, x0 ein Häufungspunkt von D undc = lim
x→x0f (x). Dann können drei Fälle auftreten:
1. x0 6∈ D. Dann ist die Funktion
f̃ (x) :=
{c , x = x0,
f (x), x 6= x0,
stetig in x0. Wir nennen f̃ in x0 stetige Erweiterung von fund x0 hebbare Definitionslücke.
2. x0 ∈ D und f (x0) = c . Dann ist f in x0 stetig.3. x0 ∈ D und f (x0) 6= c . Dann ist f in x0 unstetig.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 54/71
Beispiel für eine stetige Erweiterung
f : R \ {0} → R, x 7→ sin(x)x
−4 −2 2 4
0.5
1
x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/71
Beispiel für eine stetige Erweiterung
f : R \ {0} → R, x 7→ sin(x)x
−4 −2 2 4
0.5
1
x
y
f̃ : R→ R, x 7→
sin(x)x
, x 6= 0,
1, x = 0,
G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/71
Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen
Satz
Seien f : Df → R und g : Dg → R zwei Funktionen mit Df ,Dg ⊂R. Weiterhin sei x0 ein Häufungspunkt von Df ∩ Dg . Es gelte
limx→x0
f (x) = F , limx→x0
g(x) = G .
Dann gelten die Zusammenhänge• lim
x→x0
(f (x) + g(x)
)= F + G ;
• limx→x0
(f (x)− g(x)
)= F − G ;
• limx→x0
(f (x)g(x)
)= FG ;
• und im Fall G 6= 0 auch limx→x0
f (x)
g(x)=
F
G.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 56/71
Berechnung von Grenzwerten I
Beispiel
Gegeben sind
f : R→ R, x 7→ x2 − 5x + 6, g : R→ R, x 7→ x2 + 3x − 10.
Gesucht ist der Grenzwert
limx→1
f (x)
g(x)= lim
x→1
x2 − 5x + 6x2 + 3x − 10
.
Es gilt g(1) = −6 6= 0 und
limx→1
f (x)= limx→1
x2−5x+6=2, limx→1
g(x)= limx→1
x2+3x−10=−6.
Damit folgt
limx→1
x2 − 5x + 6x2 + 3x − 10
=limx→1
x2 − 5x + 6
limx→1
x2 + 3x − 10=
2−6
= −13.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 57/71
Berechnung von Grenzwerten II
Beispiel
Gesucht ist der Grenzwert
limx→2
x2 + 3x − 10x2 − 5x + 6
.
Da der Nenner an der Stelle x0 = 2 eine Nullstelle hat, kann dasVerfahren aus dem vorigen Beispiel nicht verwendet werden. Nungilt
x2 + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5), x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Damit folgt
limx→2
x2 + 3x − 10x2 − 5x + 6
= limx→2
(x − 2)(x + 5)(x − 2)(x − 3)
= limx→2
x + 5x − 3
= −7
und an der Stelle x0 = 2 liegt eine hebbare Definitionslücke vor.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 58/71
Verhalten im Unendlichen
Definition
Sei f : D → R eine Funktion mit einem nach oben (unten) unbe-schränkten Definitionsbereich D.Wenn ein Wert c ∈ R ∪ {−∞,∞} derart existiert, dass für jedeFolge (xn)n∈N ⊂ D mit
limn→∞
xn =∞(
limn→∞
xn = −∞)
stets auchlimn→∞
f (xn) = c
gilt, dann schreiben wir kurz
limx→∞
f (x) = c
(lim
x→−∞f (x) = c
).
G. Matthies Grundlagen Mathematik 59/71
Asymptote einer Funktion
Definition
Eine Funktion ϕ heißt rechte Asymptote der Funktion f oderAsymptote von f für x → +∞, wenn lim
x→+∞
∣∣f (x) − ϕ(x)∣∣ = 0
gilt. Eine Funktion ψ heißt linke Asymptote der Funktion f oderAsymptote von f für x → −∞, wenn lim
x→−∞
∣∣f (x) − ψ(x)∣∣ = 0
erfüllt ist. Eine Funktion, die rechte und linke Asymptote ist, wirdkurz als Asymptote bezeichnet.
Folgerung
Für jede echt gebrochene Funktion g gilt g(x) → 0 für x → ∞und g(x)→ 0 für x → −∞. Deshalb ist die Nullfunktion (rechteund linke) Asymptote von g .Jede gebrochen rationale Funktion hat als Asymptote das Poly-nom, welches bei der Polynomdivision als Quotient auftritt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 60/71
Beispiel für Asymptoten
Wir betrachten die Funktion f : R→ R, x 7→ x + arctan(x). Da
limx→∞
∣∣∣f (x)− (x +π
2
)∣∣∣ = 0
gilt, ist die Funktion ϕ(x) = x + π/2 rechte Asymptote von f .
Aus der Tatsache
limx→−∞
∣∣∣f (x)− (x − π
2
)∣∣∣ = 0
ergibt sich, dass ψ(x) = x − π/2 linke Asymptote von f ist.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 61/71
Rationale Funktion mit Asymptote
−4 −2 2 4
−10
−5
5
10
h(x) = 2x − 1
f (x) =2x3 − x2 + 5x
x2 + 1= 2x − 1+
3x + 1x2 + 1
G. Matthies Grundlagen Mathematik 62/71
Einseitige Grenzwerte
Definition
Sei f : D → R mit D ⊂ R eine Funktion. Weiterhin sei x0 einHäufungspunkt von
D+x0 := {x ∈ D : x > x0}.
Dann bedeutet
f (x0+) = limx→x0x>x0
f (x) = limx→x0+0
f (x) = c ∈ R ∪ {−∞,∞},
dass für jede Folge (xn)n∈N ⊂ D+x0 mit lim
n→∞xn = x0 stets auch
limn→∞
f (xn) = c
gilt. Dann ist c der rechtsseitige Grenzwert von f an der Stelle x0.Auf analoge Weise definieren wir den linksseitigen Grenzwert
f (x0−) = limx→x0x<x0
f (x) = limx→x0−0
f (x).
G. Matthies Grundlagen Mathematik 63/71
Sprungstelle
Definition
Ein Punkt x0 heißt Sprungstelle von f , falls die beiden einseiti-gen Grenzwerte existieren, diese aber verschieden sind. Der Wertf (x0+)− f (x0−) heißt Sprunghöhe von f an der Stelle x0.
x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 64/71
Oszillationsstelle
Definition
Existiert der linksseitige Grenzwert f (x0−) nicht, so liegt in x0eine linksseitige Oszillationsstelle vor. Analog wird eine rechtssei-tige Oszillationsstelle über die Nichtexistenz von f (x0+0) erklärt.Existieren beide einseitigen Grenzwerte nicht, dann wird x0 als(beidseitige) Oszillationsstelle bezeichnet.
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Oszillierende Unstetigkeitsstelle
f : R→ [−1, 1], x 7→
sin(1x
), x 6= 0,
0, x = 0,
-0.1 0.1
1
−1
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Polstellen
Definition
Seien D ⊂ R, x0 ein Häufungspunkt von D und f : D → R. DieStelle x0 heißt Polstelle von f , wenn
limx→x0
∣∣f (x)∣∣ =∞erfüllt ist.
Beispiel
f : R \ {0} → R, x 7→ 1x hat an der Stelle x0 = 0 einen Pol, da
limx→0
∣∣∣∣1x∣∣∣∣ =∞
gilt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 67/71
Polstelle mit Vorzeichenwechsel
Satz
Seien f : D → R eine Funktion mit D ⊂ R und x0 ein Häufungs-punkt von D. Gilt
f (x0+) = +∞, f (x0−) = −∞oder
f (x0+) = −∞, f (x0−) = +∞,dann liegt in x0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
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Nachweis einer Unstetigkeitsstelle
−2 −1 1 2
1
2
3
x3
x2 + 1
x
y
f : R→ R, f (x) =
{x2 + 1, x < 0,x3, x ≥ 0
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Hebbare Definitionslücke und Polstelle
−3 −2 −1 1 2 3
−2
2
4
6
f (x) =x3 − x
x3 − x2
x
y
Df = R \ {0, 1}, Df̃ = Df ∪ {1} = R \ {0},
f̃ : Df̃ → R, x 7→ 1+1x
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Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen
Gegeben: • gebrochen rationale Funktion f (x) =p(x)
q(x)• Stelle x0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms pund `-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q
Es gilt:p(x) = (x − x0)
k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,
q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.
Fall 1) k = ` = 0 =⇒ x0 ∈ Df
limx→x0
f (x) = limx→x0
p(x)
q(x)=
p(x0)
q(x0)
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Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen
Gegeben: • gebrochen rationale Funktion f (x) =p(x)
q(x)• Stelle x0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms pund `-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q
Es gilt:p(x) = (x − x0)
k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,
q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.
Fall 2) k = ` > 0 =⇒ x0 6∈ Df
limx→x0
f (x) = limx→x0
p̃(x)
q̃(x)=
p̃(x0)
q̃(x0)
x0 ist hebbare Definitionslücke.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/71
Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen
Gegeben: • gebrochen rationale Funktion f (x) =p(x)
q(x)• Stelle x0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms pund `-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q
Es gilt:p(x) = (x − x0)
k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,
q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.
Fall 3) k > ` = 0 =⇒ x0 ∈ Df
limx→x0
f (x) = limx→x0
p̃(x)(x − x0)k
q(x)= 0
x0 ist Nullstelle von f .
G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/71
Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen
Gegeben: • gebrochen rationale Funktion f (x) =p(x)
q(x)• Stelle x0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms pund `-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q
Es gilt:p(x) = (x − x0)
k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,
q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.
Fall 4) k > ` > 0 =⇒ x0 6∈ Df
limx→x0
f (x) = limx→x0
p̃(x)
q̃(x)(x − x0)
k−` = 0
x0 ist hebbare Defintionslücke.Die erweiterte Funktion f̃ hat in x0 eine Nullstelle.
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Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen
Gegeben: • gebrochen rationale Funktion f (x) =p(x)
q(x)• Stelle x0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms pund `-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q
Es gilt:p(x) = (x − x0)
k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,
q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.
Fall 5) ` > k > 0 =⇒ x0 6∈ Df
limx→x0
|f (x)| = limx→x0
∣∣∣∣ p̃(x)q̃(x)(x − x0)
k−`∣∣∣∣ =∞
Polstelle`− k gerade kein Vorzeichenwechsel`− k ungerade Vorzeichenwechsel
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