Grundlagen der Wärmeübertragung 7 Wärmestrahlung der Wärmeübertragung 7 Wärmestrahlung 1 7.1...
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Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 1
7.1 Grundlagen und Definitionen
Erfolgt durch elektromagnetische Wellen
In Abhängigkeit von der absoluten Temperatur
Alle Materialien ( fest / flüssig / gas ) geben Wärmestrahlung ab
Erfolgt auch im Vakuum
Nicht an Materie gebunden
Wärmestrahlung für Wellenlängen: 𝟎, 𝟏 𝝁𝒎 < 𝝀 < 𝟏𝟎𝟎 𝝁𝒎
Sichtbares Licht: 𝟎, 𝟑𝟓 𝝁𝒎 < 𝝀 < 𝟎, 𝟕𝟓 𝝁𝒎 (kurzwellig)
Wärmestrahlung (IR): 𝟎, 𝟕𝟓 𝝁𝒎 < 𝝀 < 𝟐𝟎𝟎 𝝁𝒎 (langwellig)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 2
Neue Begriffe:
Intensität: 𝒊 [𝑾
𝒎𝟐]
- monochromatisch: 𝒊𝝀 [𝑾
𝒎𝟐𝝁𝒎] auf Wellenlänge bezogen
Es gilt: 𝒊 = 𝟎∞𝒊𝝀 𝒅𝝀
Reflexion:
- spiegelnd
- diffus (technisch relevant), wird hier behandelt
𝝋𝟏 𝝋𝟐𝝋𝟏 = 𝝋𝟐
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 3
Emission:
Definition eines Energiestroms 𝑬, der von einem Flächenelement 𝒅𝑨 in Richtung
𝜷 ausgeht
𝒅𝝎𝜷
𝒓
𝒅𝑶
𝒅𝑨
𝒅 𝑬 = 𝒊𝝀 𝒅𝑨 𝒅𝝎 𝒅𝝀
𝒅 𝑬 = 𝒊𝝀𝒏 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒅𝑨 𝒅𝝎 𝒅𝝀𝒅𝑨
𝜷
𝜷
𝒅𝝎: Raumwinkelelement
𝒊𝝀𝒏: Komponente von 𝒊𝝀 senkrecht
zur Flächennormalen
𝒊𝝀 = 𝒊𝝀𝒏 𝒄𝒐𝒔𝜷
( 7.1 )
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 4
𝒅𝝎
𝒓
𝒅𝑶
𝒅𝝎 =𝒅𝑶
𝒓𝟐
𝝎 =𝑯𝒂𝒍𝒃𝒌𝒖𝒈𝒆𝒍𝒐𝒃𝒆𝒓𝒇𝒍ä𝒄𝒉𝒆
𝒓𝟐=𝟐𝝅𝒓𝟐
𝒓𝟐= 𝟐𝝅
𝒅𝑶𝒓 𝒅𝜷
𝒅𝝎 =𝒅𝑶
𝒓𝟐=(𝒓𝐬𝐢𝐧𝜷 𝒅𝝍) (𝒓 𝒅𝜷)
𝒓𝟐= 𝐬𝐢𝐧𝜷 𝒅𝝍 𝒅𝜷
𝜷 𝒅𝜷
𝒓𝐬𝐢𝐧𝜷 𝒅𝑶
𝒅𝝍
𝜷 = 𝟎
𝒅𝑨
𝒓
( 7.2 )𝜷: Polarwinkel
𝝍: Azimutwinkel
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 5
Was passiert mit Strahlung, die auf einen Körper trifft?
𝑬 = 𝒊𝝀𝒏 𝒅𝝀 𝒅𝑨 𝟎
𝟐𝝅
𝒅𝝍 𝟎
𝝅/𝟐
𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒅𝜷 = 𝝅 𝒊𝝀𝒏 𝒅𝝀 𝒅𝑨
Aus ( 7.1 ) und ( 7.2 ) folgt für den Energiestrom, der von einem
Flächenelement in den Halbraum gestrahlt wird:
transparenter Körper (z.B. Glas)
𝑬 = 𝑬𝑨 + 𝑬𝑹 + 𝑬𝑻
𝑬Reflexion 𝑬𝑹
Absorption 𝑬𝑨Transmission 𝑬𝑻
nicht-transparenter Körper (z.B. Metall)
𝑬 = 𝑬𝑨 + 𝑬𝑹, 𝑬𝑻 = 𝟎
𝑬Reflexion 𝑬𝑹
Absorption 𝑬𝑨
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 6
𝟏 = 𝑬𝑨 𝑬+
𝑬𝑹 𝑬+
𝑬𝑻 𝑬= 𝛼∗ + 𝜌∗ + 𝜏∗
Normiert auf den auftreffenden Strahlungsenergiestrom 𝑬 erhält man
folgende Gleichung 𝛼∗ Absorptionsgrad
𝜌∗ Reflexionsgrad
𝜏∗ Transmissionsgrad
Spezialfälle:
Schwarzer Körper: 𝛼∗ = 1, 𝜌∗ = 0, 𝜏∗ = 0: absorbiert alles
weißer Körper: 𝛼∗ = 0, 𝜌∗ = 1, 𝜏∗ = 0: reflektiert alles
Für die meisten technischen Oberflächen gilt:
𝜶∗ + 𝝆∗ = 𝟏, 𝝉∗ = 𝟎
diathermer Körper: 𝛼∗ = 0, 𝜌∗ = 0, 𝜏∗ = 1: lässt alles durch (z.B. Luft in dünnen
Schichten)
Berußte Oberfläche
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 7
7.2 Kirchhoff ‘ sches Gesetz:
1
2
Umhüllung strahlt als schwarzer Strahler mit Energiestromdichte 𝒆𝒔(𝑻𝑼) = 𝑬𝒔(𝑻𝑼)
𝑨𝑼
Körper 1 bzw. 2 strahlt mit Energiestromdichte 𝒆𝟏 bzw. 𝒆𝟐
Körper 1 und 2 beeinflussen das Strahlungsfeld nicht, da 𝑨𝟏 ≪ 𝑨𝑼, 𝑨𝟐 ≪ 𝑨𝑼
Körper 1 hat Oberfläche 𝑨𝟏 ≪ 𝐀𝐔
Körper 2 hat Oberfläche 𝑨𝟐 ≪ 𝐀𝐔
Unendlich große, adiabate Umhüllung 𝐀𝐔, 𝑻𝑼
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 8
Im thermischen Gleichgewicht (𝑻𝑼= 𝑻𝟏 = 𝑻𝟐) gilt:
absorbierter Energiestrom 𝑬𝒂 = emittierter Energiestrom 𝑬𝒆
𝜶𝟏∗ =
𝒆𝟏 𝑻𝑼 𝒆𝒔 𝑻𝑼
= 𝛆𝟏∗ (𝑻𝑼)
𝜶𝟏∗ 𝒆𝒔 𝑻𝑼 𝑨𝟏 = 𝒆𝟏(𝑻𝑼)𝑨𝟏
bzw:
Emissionsgrad: 𝛆∗
Absorptionsgrad: 𝜶∗
Ebenso für
𝜶𝟐∗ =
𝒆𝟐 𝑻𝑼 𝒆𝒔 𝑻𝑼
= 𝛆𝟐∗ (𝑻𝑼)
𝛆∗ = 𝜶∗
Gesetz von Kirchhoff
𝑬𝒂𝟏
𝑬𝒆𝟏
𝑬𝒂𝟐
𝑬𝒆𝟐
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 9
7.3 Strahlung des „schwarzen“ Körpers
Schwarzer Körper bezieht sich nicht auf Farbe, sondern 𝜶∗ = 𝟏
= perfekter Strahler und Absorber.
Die Energie, die von einem schwarzen Strahler abgegeben wird, hängt
nur von seiner absoluten Temperatur ab.
z.B. Heizkörperlack bei 300 K , 𝜶∗ ≈ 𝟏 egal ob Heizkörper
schwarz oder weiß lackiert ist.
Ein schwarzer Strahler strahlt diffus, d.h. gleichmäßig in alle Richtungen
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 10
Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers
ist eine Funktion von 𝝀 und 𝑻
Wien‘ sches
Verschiebungsgesetz
0
500
1000
1500
2000
2500
0 5 10 15 20
Wellenlänge 𝝀 [𝝁𝒎]
Sp
ektr
ale
sp
ezif
isch
e A
usstr
ah
lun
g
𝑬 𝑨𝝀[
𝑾
𝒎𝟐𝝁𝒎]
6𝟎𝟎 𝑲
7𝟎𝟎 𝑲
5𝟎𝟎 𝑲
4𝟎𝟎 𝑲
T
2896max
KT
imumEnergiemaxbei
m
max
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 11
Für jede Temperatur gibt es eine Wellenlänge, bei der die spezifische
Ausstrahlung 𝑬
𝑨 𝝀maximal ist.
Das Maximum verschiebt sich zu höheren Wellenlängen 𝝀, wenn
die Temperatur abnimmt.
Bei Temperaturen unter 850 K wird die meiste Wärme im nicht sicht-
baren Bereich abgestrahlt.
Betrachtet man 𝑬
𝑨 𝝀: sehr steiler Anstieg,
nur langsamer Abfall nach dem Maximum
Die Wellenlänge, bei der Energiemaximum auftritt, kann nach dem
Wien‘ schen Verschiebungsgesetz berechnet werden.
T
2896max
KT
imumEnergiemaxbeim max
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 12
Für die gesamte Energie, die von einem schwarzen Körper
abgestrahlt wird, gilt das Gesetz von Boltzmann:
Temperatur an der Oberfläche der Sonne T 6000 K.
größter Teil der abgestrahlten Energie bei 0,5 m
Stefan-Boltzmann-Konstante des schwarzen Körpers
𝑪𝒔 ∶ Strahlungskonstante des schwarzen Strahlers
𝑪𝒔 = 𝟓, 𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟖𝑾
𝒎𝟐𝑲𝟒
Beim Kachelofen 𝑻 ≈ 𝟑𝟐𝟎 𝑲, 𝝀𝒎𝒂𝒙 = 𝟗 𝝁𝒎 (IR)
𝒆𝒔 = 𝝀=𝟎
∞ 𝑬
𝑨 𝝀𝐝𝝀 =
𝑬
𝑨= 𝑪𝑺 𝑻
𝟒
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 13
Ein „grauer“ Strahler hat über den gesamten Wellenlängenbereich
einen konstanten Anteil der spektralen spezifischen Ausstrahlung 𝑬
𝑨 𝝀
des schwarzen Strahlers.
𝜺∗ = 𝒆
𝒆𝑺
Im allgemeinen Fall gilt für den Emissionsgrad 𝜺∗ = 𝒇 𝑻 , Praxis: häufig 𝜺∗ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
𝑬
𝑨 𝝀
grau 𝜺∗ = 𝟎, 𝟔
schwarz 𝜺∗ = 𝟏, 𝟎
𝝀
𝑻 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 14
Typische Werte VDI – Wärmeatlas
Werte von werden gemessen.𝛆∗
𝛆∗ = 𝟎, 𝟗
Für die meisten praktischen Oberflächen (nicht-metallisch, unpoliert)
Für hochpolierte Oberflächen ( Gold, Kupfer )
𝛆∗ = 𝟎, 𝟎𝟑
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 15
Selektive Strahler: Beispiel Absorberflächen eines Solarkollektors
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4
ideal
Solarkollektor (gemessen am ITW)
Siliziumoxid auf Aluminium
Sp
ektr
ale
r A
bso
rpti
on
sg
rad
[−]
𝝀 [𝝁𝒎]
Kurzwellige Solar
-strahlung wird
absorbiert
Geringe
Emission im
langwelligen
Bereich
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 16
Weitere Beispiele für selektive Strahler
Schnee:
Zustrahlung Sonne: weißer Strahler (kurzwellig)
Abstrahlung nachts: schwarzer Körper (langwellig)
Heizkörperlack:
kurzwellig weiß (sichtbarer Bereich)
Langwellig schwarz (IR-Bereich)
Solarkollektor (Absorber)
𝜶𝑺𝒐𝒍𝒂𝒓∗ ≈ 𝟎, 𝟗𝟓 (kurzwellig), 𝜺𝑰𝑹
∗ ≈ 𝟎, 𝟎𝟓 (langwellig)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 17
7.4 Wärmeübertragung durch Strahlung:
Wenn die Umgebung schwarz ist, dann wird die gesamte Energie absorbiert.
Bei selektive Oberflächen (z.B. Solarkollektoren) ist 𝜺 von der Temperatur
und von der Wellenlänge abhängig
Ein Körper mit einem Emissionsverhältnis 𝜺∗ und der Temperatur 𝑻𝟏 strahlt
𝒒𝟏 = 𝒆𝟏 = 𝜺∗𝑪𝒔𝑻𝟏𝟒 ab
Wenn die Umgebung außerdem die Temperatur 𝑻𝟐 besitzt, dann beträgt die
übertragene Nettowärmestromdichte
𝒒 = 𝑸
𝑨= 𝜺∗ 𝐂𝐬 (𝐓𝟏
𝟒 − 𝐓𝟐𝟒)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 18
Wenn die Strahlungsenergie in Abhängigkeit vom Abstrahlwinkel
gemessen wird, stellt man fest:
stärkste Strahlung üblicherweise in der Flächennormalen
cosmax ee
Flächen-
normalen
maxee
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 19
Beispiel:
Der Heizkörper einer Zentralheizung hat eine Oberflächentemperatur von
70 °C. Die gewünschte Raumtemperatur beträgt 20 °C. Bestimmen Sie die
durch Strahlung und Konvektion übertragenen Wärmeströme.
Stoffwerte der Luft: = 1,2 kg/m3, = 1,8·10-5 kg/(m·s)
= 0,026 W/(m·K) Pr = 0,71
Die Heizkörperoberfläche kann als schwarzer Strahler betrachtet werden.
244* /367 mWTTCq RHsstr
RHFKkon TTq
3 Pr118,0 LFK GrNu
𝜺∗ = 𝟏
Definition: 𝜶𝑺𝒕𝒓 = 𝒒𝑺𝒕𝒓
𝚫𝐓=
𝒒𝑺𝒕𝒓
𝐓𝐇−𝐓𝐑=
𝟑𝟔𝟕𝑾/𝒎𝟐
𝟕𝟎−𝟐𝟎 𝑲= 𝟕, 𝟑𝟒
𝑾
𝒎𝟐𝑲
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 20
KmW
TTg RHFK
231
31
2
2
/34,5Pr118,0
2/267 mWqkon
2263450)34,734,5()(
m
WK
Km
WTqqq StrFKstrkonges
Anmerkung:
58% des gesamten Wärmestroms werden durch Strahlung übertragen.
Dies bestätigt nochmals die Bedeutung der Wärmestrahlung im
Bereich der freien Konvektion.
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 21
7.5 Sichtfaktoren (Einstrahlzahlen, Formfaktor der Strahlung)
21 ˆ;ˆ AFlächeeempfangendjAFlächedeabstrahleni
Die Sichtfaktoren geben an, welcher Teil der von A
bzw. B abgegebenen Strahlung auf B bzw. A auftrifft.
Geometrie – Faktoren für einfache Anordnungen analytisch berechenbar.
Ansonsten durch numerische Berechnungen (ray tracing)
𝝋𝒊𝒋
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 22
7.5.1 Summenregel und Reziprokregel
Aus der Definition von 𝝋 folgt:
Für 2 große parallele Platten, die sich
gegenüber stehen gilt unter Vernach-
lässigung von Randeffekten, dass die
gesamte von A abgegebene Strahlung
auf B fällt. 1L
2L
s
A
B
𝝋𝟏𝟏 + 𝝋𝟏𝟐 + 𝝋𝟏𝟑… = 𝟏
𝝋𝟏𝟐 = 𝝋𝟐𝟏 = 𝟏
Summenregel
𝝋𝟏𝟐 𝑨𝟏 = 𝝋𝟐𝟏𝑨𝟐 Reziprokregel
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 23
Für konvexe Flächen
Für konkave Flächen
Für ebene Platte 𝝋𝟏𝟏 = 𝟎
𝝋𝟏𝟏 = 𝟎
𝝋𝟏𝟏 ≠ 𝟎
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 24
Zwei Geometrie-Fälle von Bedeutung:
1) zwei lange konzentrische Zylinder
2) zwei konzentrische Kugelflächen
Innere Oberfläche konvex, d.h.
Ein Teil der von abgegebenen Strahlung trifft auf , der Rest auf .2A 1A 2A
1
2
𝝋𝟏𝟏 = 𝟎 𝝋𝟏𝟐 = 𝟏
Reziprokregel
Summenregel
𝝋𝟐𝟏 =𝑨𝟏𝑨𝟐
𝝋𝟐𝟐 = 𝟏 −𝑨𝟏𝑨𝟐
𝝋𝟐𝟏 + 𝝋𝟐𝟐 = 𝟏
𝝋𝟏𝟐 𝑨𝟏 = 𝝋𝟐𝟏𝑨𝟐
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 25
7.5.2 Strahlung zwischen zwei parallelen Platten
Zwei mögliche Rechenwege
a) Multiple Reflection Method
b) Net Radiation Method ( Netto = Net )
a) Multiple Reflection Method:
1A
2A
2T
1T
Wärmestrahlung von A1:4
1
*
1TCS
Davon wird von absorbiert (Kirchoff‘sches Gesetz):2A
*
2
4
1
*
1 TCS
Rest wird reflektiert:
*
2
4
1
* 11
TCS
𝜶∗ = 𝜺∗
Annahme: Kirchhoff‘sches Gesetz gilt
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 26
Rest wird reflektiert
**
2
4
1
*
1111 TCS
Von A2 absorbiert
*
2
**
2
4
1
*
1111 TCS
Fortsetzung führt zum gesamten Wärmestrom, der von
Fläche A1 abgestrahlt und von Fläche A2 absorbiert wird
....111112*
2
2**
2
*4
1
*
2
*
121 111 TCAQ S
Von der reflektierten Strahlung absorbiert :
**
2
4
1
*
111 TCS
1A
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 27
*
2
*
4
1
*
2
*
21111
1
1
1
TCAQ S
*
2
*
4
2
*
2
*
12111
1
1
1
TCAQ S
Für den Netto – Wärmestrom gilt:
4
2
4
1*
2
*
*
2
*
1221111
1
1 TTAC
QQQS
4
2
4
1
*
2
*
4
2
4
1*
2
**
2
*
*
2
*
12
111
1
11
1 TTAC
TTAC
Q SS
xxxxda
1
11 32 10 xfür
AAAund 21
42
81067,5Km
WCS
Parallele Flächen
A1=A2=A
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 28
b) Net Radiation Method:
𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟐 𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟏
𝑸𝒛𝒖,𝟏
𝑸𝒛𝒖,𝟐
𝑸𝒂𝒃,𝟏
𝑸𝒂𝒃,𝟐
21
Gleichung (7.1) kann umgeschrieben werden:
Energiebilanz (Systemgrenze um beide Platten) liefert
𝑸𝟏𝟐 = 𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟏 = 𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟐
Energiebilanz an Platte 1 liefert
𝑸𝟏𝟐 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏,𝟏 − 𝑸𝑨𝒃𝒔𝒐𝒓𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏,𝟏 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏,𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝑸𝒛𝒖,𝟏
Für 𝑸𝒛𝒖 gilt: Strahlung von 𝑨𝟏 trifft vollständig auf 𝑨𝟐 und
umgekehrt: 𝝋𝟏𝟐 = 𝝋𝟐𝟏 = 𝟏
𝑸𝒛𝒖,𝟏 = 𝝋𝟏𝟏 𝑸𝒂𝒃,𝟏 + 𝝋𝟐𝟏
𝑸𝒂𝒃,𝟐 = 𝑸𝒂𝒃,𝟐
𝑸𝒛𝒖,𝟐 = 𝝋𝟐𝟐 𝑸𝒂𝒃,𝟐 + 𝝋𝟏𝟐
𝑸𝒂𝒃,𝟏 = 𝑸𝒂𝒃,𝟏
(7.1)
(7.2)
(7.3)
𝑸𝒛𝒖,𝟏
𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟏
𝑸𝑨𝒃𝒔𝒐𝒓𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏,𝟏
1 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏,𝟏
𝑸𝒂𝒃,𝟏
𝑸𝒂𝒃: von einer Fläche abgegebene Strahlung
( 𝑸𝒂𝒃 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + 𝑸𝑹𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏)
𝑸𝒛𝒖: einer Fläche zugestrahlte Strahlung
(nicht gleich: absorbierte Strahlung)
𝑸𝟏𝟐 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏,𝟏 + 𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝑸𝒛𝒖,𝟏 − 𝟏 − 𝜺𝟏
∗ 𝑸𝒛𝒖,𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝑸𝒛𝒖,𝟏 = 𝑸𝒂𝒃,𝟏 − 𝑸𝒛𝒖,𝟏 (7.4)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 29
Für 𝑸𝒂𝒃: von einer Fläche abgegebene Strahlung gilt:
𝑸𝒂𝒃 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + 𝑸𝑹𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏 = 𝜺∗𝑨 𝑪𝒔 𝑻𝟒 + 𝑸𝒛𝒖 (𝟏 − 𝜺∗)
angewendet auf die beiden Flächen: 𝑸𝒂𝒃,𝟏 = 𝜺𝟏
∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟏𝟒 + 𝑸𝒛𝒖,𝟏(𝟏 − 𝜺𝟏
∗ )
𝑸𝒂𝒃,𝟐 = 𝜺𝟐∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟐
𝟒 + 𝑸𝒛𝒖,𝟐(𝟏 − 𝜺𝟐∗ )
Die Gleichungen (7.2), (7.3), (7.5) und (7.6) stellen 4 Gleichungen für die 4
Unbekannten 𝑸𝒛𝒖,𝟏, 𝑸𝒛𝒖,𝟐, 𝑸𝒂𝒃,𝟏 und 𝑸𝒂𝒃,𝟏 dar. Daraus ergibt sich:
𝑸𝒂𝒃,𝟏 =𝜺𝟏∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟏
𝟒 + 𝜺𝟐∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟐
𝟒(𝟏 − 𝜺𝟏∗ )
𝟏 − (𝟏 − 𝜺𝟏∗ )(𝟏 − 𝜺𝟐
∗ )
𝑸𝒂𝒃,𝟐 =𝜺𝟐∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟐
𝟒 + 𝜺𝟏∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟏
𝟒(𝟏 − 𝜺𝟐∗ )
𝟏 − (𝟏 − 𝜺𝟏∗ )(𝟏 − 𝜺𝟐
∗ )
Aus den Gleichungen (7.2) und (7.4) kann damit der Nettowärmestrom
berechnet werden:
(7.5)
(7.6)
𝑸𝟏𝟐 = 𝑸𝒂𝒃,𝟏 − 𝑸𝒛𝒖,𝟏 = 𝑸𝒂𝒃,𝟏 − 𝑸𝒂𝒃,𝟐
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 30
4
2
4
1*
2
*
1
*
2
*
1
*
2
*
112 TT
CAQ s
4
2
4
1
*
2
*
1
12
111
TTAC
Q S
42
81067,5Km
WCS
Parallele Flächen
A1=A2=A
4
2
4
1
*
2
*
1
12100100
111
TTACQ S
42
67,5Km
WCS
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 31
7.5.3 Strahlungsaustausch zwischen zwei beliebig orientierten Flächen
111,212,1, ababzu QQQ
222,121,2, ababzu QQQ
wie zuvor:
111,212,
*
11,1, 1 ababEmissionab QQQQ
222,121,
*
22,2, 1 ababEmissionab QQQQ
Net Radiation Method: für allgemeinen Strahlungsaustausch (alle 𝝋𝒊𝒋 ≠ 𝟎) gilt:
1
2
𝑸𝒂𝒃 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + 𝑸𝑹𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + 𝑸𝒛𝒖 (𝟏 − 𝜺∗)
angewendet auf beide Flächen:
(7.7)
(7.8)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 32
1221
*
2
*
111
*
122
*
2
21
*
22,22
*
21,
1,111111
111
EmissionEmission
ab
QQQ
1221
*
2
*
111
*
122
*
2
12
*
21,11
*
12,
2,111111
111
EmissionEmission
ab
QQQ
)( 1,1,2,2,12 abeinabein QQQQQ
1221
*
2
*
111
*
122
*
2
1211
*
1212,2221
*
2121,
12111111
1111
EmissionEmission QQQ
4
1
*
111, TCAQ sEmission
4
2
*
222, TCAQ sEmission
12111
21221
Aus (7.7) und (7.8) folgt:
Mit (7.4) kann der Nettowärmestrom berechnet werden
Summenregel
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 33
1221
*
2
*
111
*
122
*
2
4
2212
4
1121
*
2
*
112
111111
TATACQ s
4
2
4
1
2
1*
2
*
1
*
2
*
2
*
11
12
1
TT
A
A
CAQ
s
4
2
4
1
2
1
*
2
*
1
112
111
TT
A
A
ACQ S
A1 umschlossene Flächen
A2 umschließende Fläche
𝝋𝟏𝟏 = 𝟎,𝝋𝟏𝟐 = 𝟏,𝝋𝟐𝟏 =𝑨𝟏
𝑨𝟐, 𝝋𝟐𝟐 = 𝟏 −
𝑨𝟏
𝑨𝟐
Bsp: für zwei konzentrische Kugel bzw. unendliche Zylinder gilt:
1
2
(7.9)
Vereinfachung für 𝑨𝟐 ≫ 𝑨𝟏:
𝑸𝟏𝟐 = 𝜺𝟏∗ 𝑨𝟏 𝑪𝒔 (𝑻𝟏
𝟒 − 𝑻𝟐𝟒)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 34
Aus Gleichung (7.9) folgt für beliebige Flächenanordnung zwischen 2 diffus
strahlenden Flächen 𝑨𝟏 und 𝑨𝟐 (nicht konkav, d.h. 𝝋𝟏𝟏 = 𝝋𝟐𝟐 = 𝟎):
𝑸𝟏𝟐 =𝜺𝟏∗ 𝜺𝟐
∗ 𝑪𝒔 (𝑨𝟏 𝝋𝟏𝟐𝑻𝟏𝟒 − 𝑨𝟐 𝝋𝟐𝟏𝑻𝟐
𝟒)
𝟏 − 𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝟏 − 𝜺𝟐
∗ 𝝋𝟏𝟐 𝝋𝟐𝟏
2 1
212
21
1
12
coscos1
A AdAdA
sA
mit Reziprokregel:
𝝋𝟏𝟐𝑨𝟏 = 𝝋𝟐𝟏𝑨𝟐
𝒅𝑨𝟏
𝒅𝑨𝟐
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝒔
𝜷𝟐
𝜷𝟏
𝑸𝟏𝟐 =𝜺𝟏∗ 𝜺𝟐
∗ 𝑪𝒔 𝑨𝟏 𝝋𝟏𝟐
𝟏 − 𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝟏 − 𝜺𝟐
∗ 𝝋𝟏𝟐 𝝋𝟐𝟏(𝑻𝟏
𝟒 − 𝑻𝟐𝟒)
Definition des Sichtfaktors
Umfangreiche Tabellen für 𝝋𝟏𝟐 verfügbar (einige im Umdruck)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 35
Hinweis: Die Reziprokregel folgt direkt aus der Definition von 𝝋𝟏𝟐 bzw. 𝝋𝟐𝟏
2 12 1
212
21112212
21
1
12
coscos1coscos1
A AA AdAdA
sAdAdA
sA
2 12 1
212
21221212
21
2
21
coscos1coscos1
A AA AdAdA
sAdAdA
sA
Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen erhält man die bereits
bekannte Reziprokregel
𝝋𝟏𝟐𝑨𝟏 = 𝝋𝟐𝟏𝑨𝟐
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 36
7.6 Solarstrahlung
7.6.1 Grundlagen:
Sonderfall der Wärmestrahlung für hohe Temperaturen
(z.B auch Flammen)
Durchmesser Sonne 1,39 · 109 m
Abstand Erde – Sonne 1,5 · 1011 m
Sonnenstrahlung wird in Atmosphäre
absorbiert und reflektiert (H2O, O2, O3,
CO2, Staub)
Erde
Atmosphäre
Sonne hohe Temperatur geringe Wellenlänge
Oberfläche des bestrahlten Körpers ist i.a. wesentlich kälter.
emittierte Wärmestrahlung hat wesentlich größere Wellenlänge
Kirchhoff ´sches Gesetz gilt nicht allgemein, d.h. 𝜶∗(T1) 𝜺∗(T2).
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 37
Strahlung von der Sonne breitet sich kugelförmig aus und trifft zum Teil auf
die projezierte Erdfläche (Kreis):
𝑬𝑬 = 𝒒𝑺𝒄 𝑨𝑬= 𝑬𝒔 ∙𝑨𝑬𝑨𝒐
𝒒𝑺𝒄 = 𝐒𝐨𝐥𝐚𝐫𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 (Sonnenenergie pro Zeit und Fläche, die auf
Erdatmosphäre auftrifft)
orbitr
SonneErde
Annahmen:
– Erde bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius 𝒓𝒐𝒓𝒃𝒊𝒕– Sonne ist schwarzer Strahler mit 𝑻 = 𝟓𝟖𝟎𝟎 𝑲
Von der Sonne ausgesendete Strahlung: 4TACAeE sssss
𝑨𝑬 = 𝝅 𝒓𝑬𝟐
𝑨𝒔 = 𝟒 𝝅 𝒓𝒔𝟐
𝑨𝒐 = 𝟒 𝝅 𝒓𝒐𝒓𝒃𝒊𝒕𝟐
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 38
s
orbit
sSc e
r
rq
2
2135358001067,5105,1
10635,0 48
2
11
9
m
WScq
Rückstrahlung von Erdoberfläche: 97,0*
Strahlung von Gasen in der Atmosphäre („Himmel“) auf die Erde:
4
skyssky TCetvereinfach
hängt von klimatischen Bedingungen ab:skyT
230 K (klarer, kalter Nachthimmel)
285 K (bewölkt, warm)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 39
In der Wüste beträgt die nächtliche Lufttemperatur = 20 °C, und die
effektive Temperatur des Himmels sky = - 40 °C.
Beispiel:
Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient zwischen dem flachen
Gewässer einer Oase und der Umgebungsluft beträgt 5 W/m2K.
Besteht die Gefahr, dass das Wasser gefriert?
𝑸𝒔𝒕𝒓 𝑸𝒌𝒐𝒏𝒗
𝝑𝒘
𝝑∞, 𝝑𝒔𝒌𝒚
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 40
4*4*
skysWswkonv TACTACTTA
dt
dEQQ akku
abzu 0
1,16324 WsWkonv TCT
C5,K268T WW
gesucht ist stationärer Zustand
Annahme: keine Wärmeleitung im Boden
1** (für Wasser, da Tsky ≈ Tw )
Aufgrund der niedrigen Temperatur des Himmels wird das Wasser
gefrieren.
geg: 𝑻∞ = 𝟐𝟗𝟑 𝑲, 𝑻𝒔𝒌𝒚 = 𝟐𝟑𝟑 𝑲
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 41
7.6.2 Solarkollektoren
Flachkollektoren Vakuumröhren-Kollektoren
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 43
Im stationären Zustand:
abzu
verlustkonvverluststrnutzskysolar qqqqq ,,
Auf die Kollektorfläche bezogen:
solarsolarsolar eqmit *
4*
skysskysky TCq
4*
, Oberflächesverluststr TCq
Oberflächekonvverlustkonvq ,
lungSolarstrahfürntskoeffizieAbsorptionsolar ̂*
absorbsky
daKirchhoffnachsky **
(kurzwellig)
(langwellig)
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 44
Wirkungsgrad:solar
Nutz
e
q
Ein guter Kollektor hat eine stark selektive Absorber-Oberfläche, d.h.
1*
*
solar
Technisch möglich sind Werte bis zu 0,95 / 0,05 = 19.
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 45
Beispiel
Ein unverglaster Solarkollektor besteht aus einer flachen, quadratischen Platte
mit einer Seitenlänge von 0,7 m. Die Plattenoberfläche hat einen Absorptions-
grad von 0,9 und einen Emissionsgrad von 0,2. Bei ruhender Umgebungsluft mit
einem Druck von 1 bar und einer Temperatur von 25 °C können die konvektiven
Wärmeverluste näherungsweise nach der Gleichung
25,05,0 LL GrNu
berechnet werden, mit = 1,85·10-5 kg/(m·s) und = 0,026 W/(m·K).
An einer bestimmten Tageszeit beträgt die Solarstrahlung 500 W/m2 und die
effektive Himmelstemperatur -3 °C. Berechnen Sie die Oberflächentemperatur
des Kollektors, wenn der Wirkungsgrad des Kollektors 50% beträgt.
Grundlagen der Wärmeübertragung
7 Wärmestrahlung 46
nutzverlkonvverlstrskysolar QQQQQ ,,
25,0
2
3 )(5,0
koll
Lkonv
Lg
LLNu
25,0
25,0
2
3
395,0
)(5,0
koll
koll
koll
koll
T
TT
T
TTLg
L
4*4**
kollsskysskysolarsolar TACTACeA solarkollkonv eATTA )(