Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übung

Christian Knell

Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Themen

Aufgabe 1: Komparator

Aufgabe 2: Addierer / Subtrahierer

Aufgabe 3: Mehr-Operanden-Addierer

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 1

a) Entwickeln Sie eine digitale Schaltung, die zwei Bits a und b

miteinander vergleicht. Die Schaltung besitzt 3 Ausgänge:

‘<‘ ist logisch ‘1‘, genau dann, wenn a < b. Entsprechend ist

‘>‘ genau dann ‘1‘, wenn a > b. Der Ausgang ‘=‘ soll genau

dann eine ‘1‘ anzeigen, wenn a und b gleich sind.

(Hinweis: Beginnen Sie mit einer Funktionstabelle)

b) Die Schaltung aus a) wird als ‘Black-Box‘ mit den Eingängen

a und b und den Ausgängen ‘<‘, ‘>‘ und ‘=‘ betrachtet.

Bestimmen Sie ein Komparator-Schaltnetz für vorzeichenlose

zweistellige Binärzahlen unter Verwendung von

1-Bit-Komparatoren aus Teilaufgabe a). Darauf aufbauend

soll nun ein Komparator für zwei 4-Bit-Binärzahlen A = a3…a0

und B = b3…b0 aufgebaut werden.

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 1

a) Entwickeln Sie eine digitale Schaltung, die zwei Bits a und b

miteinander vergleicht. Die Schaltung besitzt 3 Ausgänge:

‘<‘ ist logisch ‘1‘, genau dann, wenn a < b. Entsprechend ist

‘>‘ genau dann ‘1‘, wenn a > b. Der Ausgang ‘=‘ soll genau

dann eine ‘1‘ anzeigen, wenn a und b gleich sind.

(Hinweis: Beginnen Sie mit einer Funktionstabelle)

→

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

a b < > =

0 0 0 0 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 0 0 1

ba''

11. Übungsblatt – Aufgabe 1

a) Entwickeln Sie eine digitale Schaltung, die zwei Bits a und b

miteinander vergleicht. Die Schaltung besitzt 3 Ausgänge:

‘<‘ ist logisch ‘1‘, genau dann, wenn a < b. Entsprechend ist

‘>‘ genau dann ‘1‘, wenn a > b. Der Ausgang ‘=‘ soll genau

dann eine ‘1‘ anzeigen, wenn a und b gleich sind.

(Hinweis: Beginnen Sie mit einer Funktionstabelle)

→

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

a b < > =

0 0 0 0 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 0 0 1

ba''

11. Übungsblatt – Aufgabe 1

a) Entwickeln Sie eine digitale Schaltung, die zwei Bits a und b

miteinander vergleicht. Die Schaltung besitzt 3 Ausgänge:

‘<‘ ist logisch ‘1‘, genau dann, wenn a < b. Entsprechend ist

‘>‘ genau dann ‘1‘, wenn a > b. Der Ausgang ‘=‘ soll genau

dann eine ‘1‘ anzeigen, wenn a und b gleich sind.

(Hinweis: Beginnen Sie mit einer Funktionstabelle)

→

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

a b < > =

0 0 0 0 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 0 0 1

bababaab ''

11. Übungsblatt – Aufgabe 1

a) Entwickeln Sie eine digitale Schaltung, die zwei Bits a und b

miteinander vergleicht. Die Schaltung besitzt 3 Ausgänge:

‘<‘ ist logisch ‘1‘, genau dann, wenn a < b. Entsprechend ist

‘>‘ genau dann ‘1‘, wenn a > b. Der Ausgang ‘=‘ soll genau

dann eine ‘1‘ anzeigen, wenn a und b gleich sind.

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

baba ''

ba''

ba''

11. Übungsblatt – Aufgabe 1

b) Die Schaltung aus a) wird als ‘Black-Box‘ mit den Eingängen

a und b und den Ausgängen ‘<‘, ‘>‘ und ‘=‘ betrachtet.

Bestimmen Sie ein Komparator-Schaltnetz für vorzeichenlose

zweistellige Binärzahlen unter Verwendung von

1-Bit-Komparatoren aus Teilaufgabe a). Darauf aufbauend

soll nun ein Komparator für zwei 4-Bit-Binärzahlen A = a3…a0

und B = b3…b0 aufgebaut werden.

1. Erweiterung auf 2 Bit

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 1

b) 1. Erweiterung auf 2 Bit

→ A > B, wenn entweder:

(1) a1 > b1

(2) a1 = b1 & a0 > b0

→ A < B, wenn entweder:

(1) a1 < b1

(2) a1 = b1 & a0 < b0

→ A = B, wenn:

(1) a1 = b1 & a0 = b0

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11. Übungsblatt – Aufgabe 1

b) 1. Erweiterung auf 2 Bit

→ entspricht einer Kaskadierung des Komparators

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11. Übungsblatt – Aufgabe 1

b) 2. Erweiterung auf 4 Bit = Kaskadierung des Verfahrens

→ baumartig

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11. Übungsblatt – Aufgabe 1

b) 2. Erweiterung auf 4 Bit = Kaskadierung des Verfahrens

→ Kettenprogression

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Halbaddierer mit Hilfe von NAND-

Gattern. Realisieren Sie einen Volladdierer mit Hilfe von

NAND-Gattern. Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der

verwendeten Gatter und die Anzahl der Gatter des kritischen

Pfades.

b) Erstellen Sie aus den Volladdiererzellen aus a) einen

Carry-Ripple-Addierer für 4-Bit breite Operanden

(a3…a0 + b3…b0 + cin = couts3…s0. Wie viele Gatter enthält

nun der kritische Pfad des gesamten Schaltnetzes?

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Halbaddierer mit Hilfe von NAND-

Gattern.

Halbaddierer:

summieren die beiden Eingangsbits ai und bi und

legen die Summe auf den Ausgang si

zusätzlich wird ein Übertragungsbit ci+1 erzeugt

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Halbaddierer mit Hilfe von NAND-

Gattern.

Halbaddierer:

→

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ai bi si ci+1

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

iiiii babas

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Halbaddierer mit Hilfe von NAND-

Gattern.

Halbaddierer:

→

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

ai bi si ci+1

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

iii bac 1

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Halbaddierer mit Hilfe von NAND-

Gattern.

→

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

iiiii babas

))(())(( iiiiii bbabaa

)()( iiii baba

iiiii babas

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Halbaddierer mit Hilfe von NAND-

Gattern.

→

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

iii bac 1

iii bac 1

)()( iiii baba

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Halbaddierer mit Hilfe von NAND-

Gattern.

→

→

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))(())(( iiiiiii bbabaas

)()(1 iiiii babac

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der verwendeten Gatter

und die Anzahl der Gatter des kritischen Pfades.

→ Beim Halbaddierer liegt ein gültiges cout-Signal nach 2

und ein s-Signal nach 3 Gatterlaufzeiten am Ausgang an.

→ Es genügen 5 Gatter zur Realisierung eines HAs.

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der verwendeten Gatter

und die Anzahl der Gatter des kritischen Pfades.

→ optimale Implementierung:

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Volladdierer mit Hilfe von NAND-

Gattern.

Volladdierer:

besitzen zusätzliche einen Übertragungseingang und

sind somit in der Lage, vorhergehende Stellen in die

Berechnung einzubeziehen

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Realisieren Sie einen Volladdierer mit Hilfe von NAND-

Gattern.

Volladdierer:

Einen Volladdierer erhält man durch Verschachtelung zweier

Halbaddierer

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

a) Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der verwendeten Gatter

und die Anzahl der Gatter des kritischen Pfades.

→ Beim Volladdierer liegt ein gültiges cout-Signal nach 5 und

ein s-Signal nach 6 Gatterlaufzeiten am Ausgang an.

→ Es genügen 9 Gatter zur Realisierung eines VAs

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

b) Erstellen Sie aus den Volladdiererzellen aus a) einen

Carry-Ripple-Addierer für 4-Bit breite Operanden

(a3…a0 + b3…b0 + cin = couts3…s0. Wie viele Gatter enthält

nun der kritische Pfad des gesamten Schaltnetzes?

Carry-Ripple-Addierer:

Hintereinanderschaltung von Volladdierern

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

b) Erstellen Sie aus den Volladdiererzellen aus a) einen

Carry-Ripple-Addierer für 4-Bit breite Operanden

(a3…a0 + b3…b0 + cin = couts3…s0. Wie viele Gatter enthält

nun der kritische Pfad des gesamten Schaltnetzes?

→ Die Gesamtlaufzeit beträgt 12 Gatterlaufzeiten für s3 und

11 Gatterlaufzeiten für cout

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

b) Erstellen Sie aus den Volladdiererzellen aus a) einen

Carry-Ripple-Addierer für 4-Bit breite Operanden

(a3…a0 + b3…b0 + cin = couts3…s0. Wie viele Gatter enthält

nun der kritische Pfad des gesamten Schaltnetzes?

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

c) Der Addierer aus b) soll nun als Block dargestellt werden und

so erweitert werden, dass er durch ein zusätzliches Steuerbit

auch subtrahieren kann (durch Umwandlung von B

in das 1er-Komplement). Dazu stehen Ihnen beliebige Gatter

zur Verfügung. Beachten Sie:

Erzeugung negativer Zahlen (Komplementierer)

Behandlung des Übertrags

Erkennung eines Überlaufs (Overflow)

d) Führen Sie den Schritt c) für eine Recheneinheit durch, die B

in Abhängigkeit von in das Zweierkomplement

umwandelt.

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/SubAdd

/SubAdd

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

c) Erzeugung negativer Zahlen (Komplementierer)

→ Die Komplementbildung erfolgt durch XOR-Gatter die als

steuerbarer Inverter arbeiten.

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

c) Behandlung des Übertrags

→ Das auflaufende Carry muss auf die niederwertigste

Stelle addiert werden (End-Around-Carry EAC)

→ Das ist nötig, da die ‘0‘ in der B-1-Darstellung durch 0000

und 1111 codiert wird

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

c) Erkennung eines Überlaufs (Overflow)

→ Die Overflow Logik prüft ob bei gleichen

Eingangsvorzeichenbits (a3, b3) das

Ergebnisvorzeichenbit (s3) verschieden ist

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11. Übungsblatt – Aufgabe 2

c) …durch ein zusätzliches Steuerbit auch

subtrahieren kann (durch Umwandlung von B in das 1er-

Komplement).

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/SubAdd

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

d) Führen Sie den Schritt c) für eine Recheneinheit durch, die B

in Abhängigkeit von in das Zweierkomplement

umwandelt.

→ Das Aufsummieren der ‘1‘ erfolgt unter Verwendung des

cin-Eingangs

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

/SubAdd

11. Übungsblatt – Aufgabe 2

d) Führen Sie den Schritt c) für eine Recheneinheit durch, die B

in Abhängigkeit von in das Zweierkomplement

umwandelt.

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

/SubAdd

11. Übungsblatt – Aufgabe 3

In dieser Aufgabe soll ein Schaltnetz für

die Addition von 4 Summanden (u, v, w, x)

erstellt werden, das beispielsweise für

die Addition von Teilprodukten eines

Multiplizierers benutzt werden könnte.

Eine mögliche Lösung besteht darin, zuerst u + v und w + x mit

Hilfe je eines Carry-Ripple-Addierers zu berechnen. Die

Teilsummen werden dann baumartig zu dem Endergebnis

zusammenaddiert. Wie viele NAND-Gatterverzögerungszeiten

umfasse dann der kritische Pfad minimal, wenn nur die in

Aufgabe 2a) entworfenen Volladdierer verwendet werden dürfen?

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u3 u2 u1 u0

+ v3 v2 v1 v0

+ w3 w2 w1 w0

+ x3 x2 x1 x0

s5 s4 s3 s2 s1 s0

11. Übungsblatt – Aufgabe 3

Eine mögliche Lösung besteht darin, zuerst u + v und w + x mit

Hilfe je eines Carry-Ripple-Addierers zu berechnen. Die

Teilsummen werden dann baumartig zu dem Endergebnis

zusammenaddiert. Wie viele NAND-Gatterverzögerungszeiten

umfasse dann der kritische Pfad minimal, wenn nur die in

Aufgabe 2a) entworfenen Volladdierer verwendet werden dürfen?

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 3

Eine mögliche Lösung besteht darin, zuerst u + v und w + x mit

Hilfe je eines Carry-Ripple-Addierers zu berechnen. Die

Teilsummen werden dann baumartig zusammenaddiert.

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 3

Wie viele NAND-Gatterverzögerungszeiten

umfasse dann der kritische Pfad minimal, wenn nur die in

Aufgabe 2a) entworfenen Volladdierer verwendet werden dürfen?

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11. Übungsblatt – Aufgabe 3

→ Die Zahlen unter den VAs geben die jeweils größte NAND-

Gatterverzögerungszeit an.

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11. Übungsblatt

Danke für die

Aufmerksamkeit

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