Grundlagen der Elektrotechnik 3 -...

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 1

FachgebietNachrichtentechnische Systeme

N T S

Kapitel 7Operationsverstärker

Grundlagen der Elektrotechnik 3Grundlagen der Elektrotechnik 3



N T S

A

P

N

Schaltsymbol eines OP (ohne Spannungsversorgungs-Anschlüsse):

7.1 Eigenschaften von Operationsverstärkern

– Verstärker ist ein wesentlicher Bestandteil vieler elektronischer Geräte– Signalverstärkung wird häufig mit Hilfe des Operationsverstärkers realisiert– Dies ist durch integrierten Halbleiterschaltungen seit vielen Jahren möglich geworden– Operationsverstärker (OP‘s) sind genügend preiswert herzustellen– Sie finden einem sehr breiten Anwendungsbereich– Die Bezeichnung Operationsverstärker stammt aus der Analog-Rechentechnik– Die Anwendungen gehen über den Rahmen von Rechenoperationen weit hinaus



N T S

7.1 Eigenschaften von OperationsverstärkernGeeignete äußere Beschaltungen eines Operationsverstärkers erlaubt die Realisierung nahezu jeder gewünschten Übertragungseigenschaft! Das Schaltungsdesign mittels OP‘s ist vergleichsweise einfach!

Dies ergibt eine universelle Einsatzfähigkeit dieser Bauelemente

Die Beschaltungen beinhalten fast immer Rückkopplungen, meist Gegenkopplungen.

Damit die Eigenschaften eines so aufgebauten Verstärkers möglichst nur von der äußeren Beschaltung abhängen, müssen an den OP einige Anforderungen gestellt werden.

Eigenschaften eines „idealen Operationsverstärkers“:- Unendlich hohe Differenz-Spannungsverstärkung- Unendlich hoher Eingangswiderstand- Verschwindend geringer Ausgangswiderstand

Den „idealen OP“ gibt es in der Praxis natürlich nicht. Abhängig z.B. vom Frequenzbereich kommen moderne Bauelemente diesem Ideal aber schon recht nahe!



N T S

7.1 Eigenschaften von Operationsverstärkern

Reale OP‘s weisen häufig weitere Anschlüsse auf:

- Positive und negative Betriebsspannung (incl. Masse). - Weitere Anschlüsse zur Korrektur des Frequenzganges der Leerlaufverstärkung- Zur Verbesserung der Stabilität- Zur Nullpunkteinstellung (Kompensation von Offset-Strömen/Spannungen)

Ein Operationsverstärkers ist im wesentlichen ein Differenzverstärker.

Steigt die Spannung am nicht-invertierenden Eingang P relativ zum invertierenden Eingang N an, so nimmt auch die Spannung am Ausgang A zu.



N T S

+0.1mV-0.1mV

+10V

-10VAminU

AmaxU

AU

D P NU = U -U

AUNU

DUPU

7.1 Eigenschaften von OperationsverstärkernDie Eingangsspannungs-Ausgangsspannungs-Kennlinie eines Operationsverstarkersändert sich nahezu linear mit der Eingangsspannung UD= UP-UN.

als die Summe von positiver und negativer Versorgungsspannung.

Wie bei jedem aktiven Bauelement ist jedoch die Aussteuerfähigkeit begrenzt. Bei größerer Aussteuerung mündet die Kennlinie in die Sättigungswerte.

Der Verstärker wird also übersteuert. Der maximale Aussteuerbereich ist immer etwas kleiner (Größenordnung 2 V)



N T S

~pu

du

pu

nu au

0au

pi

ni

psZ

nsZ

dsZaZ

7.1.1. Wechselstromeigenschaften

Kleine Buchstaben mit kleinen Indizes bezeichnen Wechselstromkomponenten, also Signale.Komplexe Größen sind durch Unterstreichen gekennzeichnet.

AC-Ersatzschaltbild des OP

Mit Hilfe eines Ersatzschaltbildes können die wichtigsten Wechselstromeigenschaften eines Operationsverstarkers beschrieben werden.



N T S

d p nu u u

2p n

gl

u uu

2p n

d

i ii

gl p ni i i

7.1.1. WechselstromeigenschaftenWie beim Differenzverstärker gilt:

Für die Ströme gilt:

Den Mittelwert der Eingangsspannungen nennt man auch Gleichtakt-Eingangsspannung:

Die Ausgangs-Wechselspannung hängt im wesentlichen von der Differenz-Eingangsspan-nung ab, jedoch hat auch die Gleichtakt-Eingangsspannung einen nicht immer zuvemachlässigenden Einfluß auf die Ausgangsspannung.

Man muß daher zwischen zwei verschiedenen Verstärkungen unterscheiden.

(7.1-1)

(7.1-2)

(7.1-3)

(7.1-4)

duau

glu

Differenz-Eingangsstrom

Gleichtakt-Eingangsstrom



N T S

ad

d

uvu

0glu

agl

gl

uvu

0du

Ld Z

v v

7.1.1. Wechselstromeigenschaften

ist die Differenz-Spannungsverstärkung.

mit

mit

Beide Definitionen gelten bei einem bestimmten Ruhepunkt und einer bestimmten Last.

Eine wichtige Kenngröße bei Operationsverstärkern ist die Differenz-Spannungsverstärkungohne äußere Last:

Diese Größe wird auch offene Spannungsverstärkung (Open Loop Gain) genannt.

(7.1-5)

(7.1-6)

(7.1-7)

Die Gleichtaktverstärkung ist wie folgt definiert:



N T S

P’

N’

=

=

P

N

0V0A

0A

2 BI

0aU

NI PI

0U

0U1R 2R

A

==

=

=

=

P

N0U

DUdU

0

2I

BI aU

dV Uar

BI

dr

7.1.2. Gleichstrom-Eigenschaften

Durch praktisch immer vorhandene Unsymmetrien in der Eingangsstufe (Differenzverstärker)erhält man zusätzliche Fehler, welche außerdem temperaturabhängig sind.

a) Gleichstrom-Ersatzschaltbild,b) Kompensation der Eingangsfehler

Die bisher erläuterten Kenngrößen für Wechselstrom sind konstant, solange man sichim linearen Arbeitsbereich des Operationsverstärkers befindet.



N T S

0 0NU U

0AU 0 P NU U U

0 0 00 ( , , )B B

B

U U UU t U t Ut U

0U

0Ut

0

B

UU

7.1.2. Gleichstrom-EigenschaftenBeim realen Operationsverstarker ist die Ausgangsspannung UA auch dann nicht Null, wennUp= UN= 0 ist. Man definiert eine Offsetspannung U0 als die Spannungsdifferenz, die zwischen den beiden Eingängen liegen muß, damit UA = 0 wird:

beiDie Offsetspannung läßt sich im Operationsverstärker selbst oder in einerexternen Schaltung kompensieren. Störend macht sich dann nur noch die Offsetspannungsdrift bemerkbar:

ist der Temperaturkoeffizient (Typische Werte: 1...100µV je Grad)

(7.1-12)

ist der Langzeitkoeffizient (Größenordnung: 10µV ... 1 mV je Tag)

berücksichtigt den Einfluß der Betriebsspannungsschwankungen(Größenordnung: 10 µV /V ... 1 mV/V)



N T S

2P N

BI II

0AU

0 P NI I I 0 0.1 BI I

7.1.2. Gleichstrom-Eigenschaften

Ist IP der Eingangsruhestrom am nichtinvertierenden Eingang und IN der Eingangsruhestrom am invertierenden Eingang, dann gilt für den Eingangsruhestrom (input bias current):

bei

Die beiden Eingangsruhestrome sind normalerweise nicht genau gleich. Die Differenz beträgt:

In Bild auf S. 9 ist das Gleichstrom-ErsatzschaItbild eines Operationsverstarkersangegeben.

(7.1-13)

(7.1-14)

Weiterhin weist ein realer Operationsverstarker Eingangsruheströme auf. Sie sind durch die Basisströme der Eingangstransistoren bedingt.

Diese Differenz wird Eingangsfehlstrom (Offsetstrom) genannt.

Mittels der dargestellten Kompensationsschaltung erhält man einenVerstärker, dessen Eingangsfehlspannung und dessen Eingangsruheströme nahezu verschwinden.



N T S

eu 1Z

0Z

au LZ

eu LZ

0Z

LuLi

S

7. 2. Rückgekoppelte OperationsverstärkerRückkopplungsschaltungen lassen sich je nach Abnahme und Einspeisung desRückkopplungssignals in vier Gruppen einteilen:Das Rückkopplungssignal kann proportional zur Ausgangsspannung (spannungsgesteuert)oder proportional zum Ausgangsstrom (stromgesteuert, eher seltene Anwendung) sein.

Spannungsgesteuerte Spannungsrückkopplung Stromgesteuerte Spannungsrückkopplung

Die Einspeisung des Rückkopplungssignals kann parallel oder in Serie zum Eingang erfolgen. Im ersten Fall summieren sich Eingangs- und Rückkopplungsstrom, im zweiten Fall Eingangs- und Rückkopplungsspannung.



N T S

1Z

LZau

0Z

eu

0i1i

ni

eu

0ZLZLu0i ni

Li

7. 2. Rückgekoppelte Operationsverstärker

Die Rückführung kann an den invertierenden oder nichtinvertierenden Eingang angeschlossen werden (Mit- oder Gegenkopplung). Welche Art der Kopplung auftritt, hängt nicht nur von der Polung der Anschlußklemmen ab -von grossem Einfluss ist auch der Phasenfrequenzgang.

Spannungsgesteuerte Stromrückkopplung Stromgesteuerte Stromrückkopplung

Durch Eingangs- und Ausgangsnetzwerke können die Schaltungen noch erweitert werden.

Die Schaltungen (auf dieser und der vorigen Seite) sind so dargestellt, daß bei Verwendung von Widerständen bei tiefen Frequenzen eine Gegenkopplung auftritt.



N T S

Spannungsgesteuerter Spannungsrückkopplung:Der durch die Widerstände und fließende Strom ist proportional zur Ausgangs-spannung. Die am Widerstand abfallende Spannung wird in den invertierenden Eingang eingespeist. Die Eingangsspannung wird an den nichtinvertierenden Eingang gelegt.

Stromgesteuerte Spannungsrückkopplung:Die an abfallende Rückkopplungsspannung ist proportional zum Laststrom.

Spannungsgesteuerter Stromrückkopplung:Der Knotenpunkt S besitzt nahezu Massepotential.Der der Ausgangsspannung proportionale Rückkopplungsstrom addiert sich am PunktS zum Eingangsstrom .

7. 2. Rückgekoppelte Operationsverstärker

0Z0Z

0Z

1Z

0i1i

Stromgesteuerter Stromrückkopplung:Hier entspricht der Rückkopplungsstrom dem Laststrom. Am Knotenpunkt S summieren sich wieder Eingangs- und Rückkopplungsstrom.



N T S

nu

1R0R

a nu Vu

| | v V| | ,| | 0gl glG v V

0aZ 0P NI I

nuau

0R ni

eu

1i

7. 3. Invertierender VerstärkerIn folgenden ist ein invertierenden Verstärkers mit reeller Beschaltung in spannungsgesteuerter Stromrückkopplung angegeben.

Ein idealer Operationsverstärker (mit verschwindenden Offsets) ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet:Offene Spannungsverstärkung

Gleichtaktunterdrückung

Ausgangsimpedanz

Eingangsruheströme

Invertierender VerstärkerZur Berechnung der Spannung unund der Ausgangsspannung ua



N T S

Diese Spannung wird verstärkt, und die Ausgangsspannung würde auf hohe nega-tive Werte entsprechend der Beziehung ansteigen. Da jedoch der Ausgang aufden invertierenden Eingang zurückwirkt, wird die Spannung un gleichzeitig wieder verkleinert.Es liegt also eine Gegenkopplung vor. Im Gleichgewichtszustand wird sich am Punkt Sdie gegenüber dem Anfangszustand eine wesentlich kleinere Spannung einstellen:

1

1 0n e

Ru uR R

a nu Vu

1

1 0 (1 )n eRu u

R R V

1

1 0n e

Ru uR VR

7. 3. Invertierender VerstärkerLegt man an die Schaltung eine positive Eingangsspannung ue an, so wird sicham invertierenden Eingang - da die Ausgangsspannung un im ersten Augenblick nochNull ist - eine Spannung der folgenden Höhe einstellen:

Wegen V >> 1 gilt dann:

(7.3-1)

(7.3-2)

(7.3-3)



N T S

1

1 0n e

Ru uR VR

1 1

1 0 1 0/a n e eVR Ru Vu u u

R R V R V R

1

0

RVR

1

0

a

e

u Ru R

1

0a e

Ru uR

7. 3. Invertierender VerstärkerDamit läßt sich die Größe der im Gleichgewichtszustand auftretenden Ausgangsspannungberechnen:

Für erhält man:

(7.3-6)

(7.3-5)

(7.3-4)



N T S

Der Gleichgewichtszustand der Schaltung stellt sich so ein, daß wird, d.h. der Punkt S in Bild 5.3-1 liegt praktisch auf Massepotential. Er wird daher als .,virtuelle Masse" bezeichnet.

Damit lassen sich in der Regel die Operationsverstärkerschaltungen in vereinfachter Form berechnen.

Das Minuszeichen besagt, daß die Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannunginvertiert ist. Bei großer offener Spannungsverstärkung V ist die Verstärkung des beschaltetenOperationsverstärkers nur noch durch das Verhältnis der Widerstände R1 und R0 gegeben.Änderungen von V infolge vom Exemplarstreuungen, Temperaturänderungen und Nichtli-nearitäten wirken sich auf den beschalteten Verstärker praktisch nicht aus.

0an

uuV

7. 3. Invertierender Verstärker



N T S

7. 3. Invertierender Verstärker

Zusammenfassend kann man feststellen:

Bei jedem beschalteten Operationsverstärker muss geprüft werden, ob Mit- oder Gegenkopplung vorliegt. Maßgeblich für eine Gegenkopplung ist, daß die Ausgangsgröße der Eingangsgröße entgegenwirkt.

Bei Gegenkopplung kann man die sich einstellende Ausgangsspannung berechnen.

Bei Mitkopplung tritt in vielen Fällen eine Schwingneigung der Schaltung auf. Dazu reicht jede auch extrem geringe phasenrichtige Einkopplung des Ausgangssignals für V > 1.



N T S

Bisher wurden die bei einem realen Operationsverstärker die Eingangsruheströme vernachlässigt: P N BI I I

0R

1R

eu0 1//R R

NI

PI

au

=eu

au

1R

0R

0U

7. 3.1. Kompensation von Eingangsruhestrom und Offsetspannung

Zur Berechnung der Auswirkung derOffsetspannung auf den Ausgang

Kompensation des Eingangsruhestromes

Diese erzeugen je nach der Größe des jeweiligen Widerstandes am Eingang des Operationsverstärkers eine Spannung, die wie eine zusätzliche Offsetspannung wirkt.



N T S

In der Schaltung nach obigem Bild bewirkt der Ruhestrom IN am N-Eingang einen Spannungs-abfall . Wird nun der P-Eingang des Verstärkers nicht direkt, sondern über einenWiderstand mit Masse verbunden, so fällt wegen an diesem Eingang etwadie gleiche Spannung ab. Damit kann die Wirkung des Eingangsruhestromes weitgehendkompensiert werden. Lediglich der Offsetstrom bewirkt noch eine kleine Span-nungsdifferenz. Die auftretende Gleichtaktaussteuerung kann meistens ver-nachlässigt werden.

0 1( || )NI R RP NI I

0 1||R R

0 P NI I I 0 1( || )Gl BU I R R

0 0 0 10

0 1 0

( )0 0e a ea

u U u U u U Ru UR R R

1 10

0 0

(1 )a eR Ru u UR R

10 0

0

(1 )aRU UR

7. 3.1. Kompensation von Eingangsruhestrom und Offsetspannung

Ein weiterer Fehler entsteht durch die Offsetspannung U0, die eine überlagerte Gleichspannung am Ausgang bewirkt. Aus dem obigen Ersatzschaltbild ergibt sich:

Die überlagerte Gleichspannung hat also die Größe:

(7.3-24)

(7.3-25)



N T S

0 1 0i i

01Z

euau

02Z

03Z

11Z 12Z

13Z0i

1iS A

7.3.2. Mit Vierpolen beschalteter invertierender Verstärker

Bisher kamen als Eingangsbeschaltung und zur Rückkopplung Zweipole zur Anwendung.

In der Praxis werden aber auch Vierpole, und zwar meistens T-Glieder verwendet

Bei der Ermittlung des Frequenzganges der Schaltung wird ein idealer OP vorausgesetzt. Der Punkt S liegt praktisch auf Massepotential.Da in den idealen Verstärker kein Strom hineinfließt, gilt für den Summen-punkt S:



N T S

001 02

01 0203

eui Z ZZ ZZ

111 12

11 1213

aui Z ZZ ZZ

01 02 11 1201 02 11 12

03 13

e au uZ Z Z ZZ Z Z Z

Z Z

11 1211 12

13

01 0201 02

03

( ) a

e

Z ZZ Zu ZA p Z Zu Z Z

Z

7.3.2. Mit Vierpolen beschalteter invertierender Verstärker

Die Berechnung der Ströme ergibt:

Damit gilt:

(7.3-26)

(7.3-27)

(7.3-28)



N T S

7.4. Nichtinvertierender Verstärker



N T S

7.4. Nichtinvertierender VerstärkerEin nichtinvertierenden Verstärker verwendet die spannungsgesteuerte Spannungsgegenkopplung.

Die von der Ausgangsspannung ua abhängige Spannung un wird in den invertierenden Eingang eingespeist.

Es liegt hier eine Gegenkopplung vor.

Beim idealen Operationsverstärker verschwindet die Differenzspannung.



N T S

p eu u

0

1 0n e a

Ru u uR R

1 0

0a e

R Ru uR

1

0

1a

e

u Ru R

eu

du

au1R

0Rnu

euau


Im nebenstehend skizzierten Fall gilt außerdem:

Damit folgt:

(7.4-3)

(7.4-2)

(7.4-1)

Nichtinvertierender Verstärker

Spannungsfolger



N T S

0

1 0n a

Ru uR R

ad e n

uu u uV

0

1 0

1 1e n

a a

u u Ru V u V R R

V


In der folgenden Betrachtung soll der Einfluss einer endlichen Leerlaufverstärkung untersucht werden:

Man erkennt, daß für dieses Ergebnis in Gl. (7.4-3) übergeht.

(7.4-4)

(7.4-5)

(7.4-6)

Der nichtinvertierende Verstärker hat folgende Eigenschaften:- Keine Invertierung des Eingangssignals - Die Verstärkung ist größer bzw. im Grenzfall gleich Eins - Unendlich großer Eingangswiderstand (bei Verwendung des idealen OP‘s)

Da der Ausgangswiderstand des Verstärkers sehr niederohmig ist, wird der nichtinver-tierende Verstärker in der Praxis oft als Impedanzwandler eingesetzt.



N T S

0

1 0n a

Ru uR R

d e nu u u gl eu u

( )a d gl gl e n gl glu Vu V u V u u V u

0

1 0

1 ( )a e glRu V u V V

R R

0 0

1 0 1 0

11

1

e

gla gl

VR Ru R R V R R

Vu V VV

1 11

xx

0

1 0

1 1

gle

a

Vu Ru V R R V

7.4. Nichtinvertierender VerstarkerBeim nichtinvertierenden Verstärker mit realem OP tritt eine vergleichsweise hohe Gleichtaktspannung auf. Die folgende Rechnung zeigt, wie dadurch zusätzliche Fehler entstehen können.

Mit

resultiert:

Nutzt man die Näherung dann ergibt sich:

Der Vergleich mit Gl. (7.4-6) zeigt den Einfluss der endlichen Gleichtaktunterdrückung aufdie Verstärkung.

(7.4-9) (7.4-8)

(7.4-7)



N T S

7.5. Niederfrequenz-Verstärker



N T S

1

0

1e

a

u Ru R

2C

0C

aueu 1R

0R2R

=0U

BI

BI

2Rau

1R

NU

PU

7.5. Niederfrequenz-VerstärkerDie Kondensatoren C0 und C2 bilden hier für Wechselspannungen höherer Frequenzeinen Kurzschluß. Die Schaltung arbeitet dann als nichtinvertierenderVerstärker mit derVerstärkung

(7.5-1 )

Niederfrequenz-VerstärkerZur Erläuterung der Gleichstrom-verhältnisse beim Niederfrequenz-Verstärker



N T S

2P BU I R 0 0 1N a BU U U I R

0 0 1 2a BU U I R R

7.5. Niederfrequenz-VerstärkerErläuterung der Gleichspannungsverhältnisse (Berücksichtigung der Eingangsruheströme):

Die Offsetspannung kann man sich in Reihe mit einem der beiden Eingänge des Verstärkers geschaltet denken. Damit gilt:

Damit erhalt man mit UP = UN für die Ausgangsoffsetspannung:

Damit der Einfluss des Eingangsruhestromes klein bleibt, wählt man R1 » R2.

Der Eingangswiderstand der Schaltung ist praktisch gleich R2.

Bei UP= 1 V, IB= 1 µA ergibt sich z.B. R2 = 1 MW.

(7.5-2)



N T S

2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )1/ 1p e eR pTu p u p u p

R pC pT

2 2 2mit T R C

0 0 0

1 0 0 1

1/ 1( ) ( ) ( )1/ 1n a a

R pC pTu p u p u pR R pC pT

0 0 0T R C

1 1 0 0( )T R R C

( ) ( )p nu p u p

1 2

0 2

1( )( )( ) 1 1

a

e

pT pTu pA pu p pT pT

1 2 1 1

0 2 0 0

( ) 1( )

a

e

u p pT pT T Ru p pT pT T R

p

7.5. Niederfrequenz-Verstärker

Für ergibt sich wieder:

(7.5-3 )

Für die Systemfunktion der Schaltung erhält man:



N T S

7.6. Analoge Rechenschaltungen



N T S

1 2

01 02 0 0 1

0e e ev en a

v n

u u u u uR R R R R

7.6.1. Umkehraddierer

Jede der Eingangsspannungen uev speist einen Strom in den Knotenpunkt S ein.

Da der Knotenpunkt S der folgenden Schaltung praktisch Massepotential hat, könnenhier über Widerstände R0v weitere Spannungsquellen angeschlossen werden, ohne dass eine gegenseitige Beeinflussung der Spannungsquellen auftritt.

Wendet man die Knotenregel auf den Summationspunkt S an, dann erhält man:

Die Schaltung eignet sich zum Addieren von Spannungen oder auch zum Summieren von Strömen.

Beim Summieren von Strömen können die Widerstände R0v = 0 gesetzt werden.



N T S

1 1 1 11 2

01 02 0 0a e e ev en

v n

R R R Ru u u u uR R R R

enu

0nR

au

2eu1eu

02R

01R 1RS

au

PR

1eu

2eu

PR

NR NR

7.6.1. Umkehraddierer

Daraus folgt: (7.6-1)

Umkehraddierer Subtrahierschaltung



N T S

p nu u

2 2 21

1 11

pp e e e

pp

Ru u u uR

R

1 11

1

1 11

NN e a e a

e an

NN

RR u u u u u uu RR

2 1( )a e eu u u

7.6.2. SubtrahiererIn der Subtrahierer-Schaltung liegen die Eingänge des OP‘s nicht auf Nullpotential.Zur Berechnung der Ausgangsspannung soll daher von den Spannungen am P- bzw. N-Eingang ausgegangen werden. Für den idealen Operationsverstärker gilt dann:

Mitfolgt dann: (7.6-3)

Die Schaltung bildet also die Differenz der beiden Eingangsspannungen und multipliziertsie mit dem Faktor α.

Da die Eingänge des Verstärkers nicht auf Nullpotential liegen, muss überprüft werden,ob der zulässige Gleichtaktbereich des Verstärkers nicht überschritten wird.



N T S

0 1 0i i

00

euiR

1 1

adui Cdt

10 0 1

0e a a eu du du uCR dt dt R C

00 1 0

1 t

a e au u dt UR C

aueu

0R

1C

0i

1i

7.6.3. Integrator

Daraus berechnet sich die Ausgangsspannung ua zu :

Das Bild zeigt die Schaltung eines Umkehrintegrators. Unter Voraussetzung eines idealen Operationsverstärkers erhält man die folgenden Gleichungen:

Ua0 ist die Spannung, die zu Beginn der Integration am Ausgang der Schaltung vorhandenist. Das Produkt R0C1 = T1 hat die Dimension einer Zeit (Integrierzeit).

Umkehrintegrator

(7.6-20)

(7.6-19)



N T S

0

e

E

uU

t

0 .5

1T

1 0 1T R C

0 .5

0

a

E

uU

t

1

1

7.6.3. Integrator

Zeitlicher Verlauf der Ausgangsspannung bei sprungförmigem Verlauf am Eingang

Ist die Eingangsgröße ue(t) zur Zeit t=0 eine Sprungfunktion, so ist die Integrierzeit die Zeit,bei der von Null an beginnend die Ausgangsspannung ua gerade die Größe derEingangsspannung ue erreicht hat:



N T S

0 1 0i i

11

auiR

0 0

edui Cdt

01

0e adu uCdt R

1 0e

aduu R Cdt

( )( )( )

aD

e

u pA p pTu p 1 0DT R C

aueu

0C

1R1i

0i

7.6.4. DifferentiatorHier ist die Prinzipschaltung eines Differentiators dargestellt. Bei idealem OP gilt:

Die Systemfunktion des Differentiators hat die Form:

mit

Prinzipschaltung des Differentiators



N T S

Durch Einfügen eines Widerstandes R0 in Reihe zur Kapazität C0 erhält man eine besserbrauchbare Schaltung (mit niedrigerem Rauschen).

Für die Systemfunktion der Schaltung erhält man:

7.6.4. Differentiator

1

0

( ) ( )( ) ( )

a

e

u p Z pu p Z p

Die angegebene Prinzipschaltung des Differentiators ist in dieser einfachen Form meistensnicht brauchbar (z.B. nicht reeller Eingangswiderstand und Verstärkung des Rauschens bei hohen Frequenzen).



N T S

1 1 11

1 1 1

/( )1/ 1

R pC RZ pR pC pT

00 0 0 0

0

1( ) 1/ pTZ p R pC RpT

01

0 0 1

( ) .( ) (1 )(1 )

a

e

u p pTRu p R pT pT

10

0

( ) .( )

a

e

u p R pTu p R

aueu

0R0C

1R

1C

7.6.4. DifferentiatorMit R1C1=T1 und R0C0=T0 ergibt sich :

Verbesserte Schaltung des Differentiators

0 1Für 1 und 1 gilt:pT pT

1

0 1

( ) 1Für gilt: .( )

a

e

u p Rpu p R pT



N T S

au

eu

t

t

7.6.4. DifferentiatorDie Schaltung arbeitet damit für Frequenzen 0 < w <w0= 1/T0 als Differentiator, darüber hinaus integriert sie. Durch Zuschalten der Kapazität C1 parallel zum Widerstand R1 tritt eine Absenkung der Verstärkung bei höheren Frequenzen auf, wodurch auch das Rauschen verringert wird. Wählt man R0C0 = R1C1, dann sinkt die Verstärkung oberhalb w 0 ab.

Der zum Differenzieren nutzbare Frequenzbereich wird hierdurch aber nicht weiter eingeschränkt als es durch den Widerstand R0 ohnehin schon der Fall ist.

Im Bild ist der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung eines Differentiators dargestellt,wenn die Eingangsspannung einen sägezahnförmigen Verlauf hat.

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