Dasuin

중학수학 3(상)

Green

#Green(중3-상)(001~004) 2014.7.9 12:18 PM 페이지1

Green 구성살펴보기

스토리텔링

단원의소개를재미있는이야기형식으로풀어단원내용의큰틀을

쉽게이해할수있도록하였습니다. 또, 주어진과제를통하여수학

에직접적용되는내용을정리해보고, 주변에서수학과관계되어지

는상황에대하여생각해볼수있도록하였습니다.

무리수란무엇일까요?

우리가중학교 2학년때배운유리수와소수에대하여생각해봅시다.

소수는유한소수와무한소수로구분할수있고, 무한소수는다시순환소수와순환하지않는무한소수로

구분할수있었습니다. 그리고유한소수와순환소수를유리수라고배웠습니다. 이때순환하지않는무한

소수는‘유리수가아니다.’라고배웠습니다.

이순환하지않는무한소수를부르는이름은없을까요?

중학교 3학년에서는이순환하지않는무한소수에게‘무리수’라는이름이있다는것을배우게됩니다.

역사적으로가장먼저무리수라는것이증명된수는‘루트 2’라고읽는 '2입니다.

무리수는순환하지않는무한소수이기때문에 '2도소수로나타내면 1.4142135623…과같이끝없이계

속이어지는순환하지않는무한소수입니다. 이처럼무리수는소수점아래의숫자가끝없이계속되고, 어

떠한규칙도없답니다.

히파수스(Hippasus)의위험한발견

무리수의존재를가장먼저증명한사람은피타고라스학파의히파수스(Hippasus)라는수학자입니다.

피타고라스의제자였던히파수스가하루는피타고라스에게물었습니다.

“직각삼각형에서직각을낀두변의길이의제곱의합은빗변의길이의제곱과같다면(피타고라스정리)

두변의길이가각각 1인직각삼각형의빗변의길이는어떻게됩니까?”

이질문은매우논리적이고합당한것이었지만피타고라스학파는히파수스가이단적종교사상을가지

고있는것으로취급하며그를학파내에서축출함과동시에바다에빠뜨려죽이고, 그의질문에대한이

야기를일체입에올리지말라는명령을내렸습니다.

왜그랬을까요?

당시피타고라스학파사람들은만물의근원이수(數)이며정수와정수의비율(유리수)로만물을표현할

수있다고믿었습니다.

두변의길이가 1인직각삼각형의빗변의길이는무리수인 '2입니다.

히파수스의질문은피타고라스정리를유리수만으로는표현할수없다는사실을증명한셈이기때문에

피타고라스학파에정면으로도전한것이되었던것입니다. 피타고라스학파에게수학은그들의신념이

자아주특별한의미였습니다. 그러므로자신들의신념을부정하고무리수의존재를외부에유출시킨죄

를히파수스에게물어그를처단하였던것입니다.

6 Ⅰ. 실수와그계산

무리수의발견

<소수의분류> <실수의분류>

개념원리

단원의핵심이되는개념의원리를이해하기쉽도록요약하여정리

하고, 잠깐 Check를통하여문제에적용하는기본적인방법을익

힐수있도록하였습니다.

8 Ⅰ. 실수와그계산

개념원리

잠깐Check

1. 제곱근과실수

1. 제곱근의뜻

⑴ 제곱근：어떤수 x를제곱하여 a가될때,

즉 x¤ =a일때, x를 a의제곱근이라고한다.

0의제곱근：0¤ =0이므로 0의제곱근은 0이다.

⑵ 제곱근의개수

①양수의제곱근：양수와음수 2개가있고그절댓값은서로같다.

② 0의제곱근：0 한개뿐이다.

③음수의 제곱근：양수 또는 음수를 제곱하면 항상 양수가 되므로 음수의

제곱근은생각하지않는다.

⑶ 제곱근의표현

①제곱근을나타내기위해 ' (근호)를사용하고,

이기호를‘제곱근’또는‘루트’라고읽는다.

② a>0일때, x¤ =a이면 x=—'a이때 a의양의제곱근을 'a, 음의제곱근을-'a로나타낸다.

3의양의제곱근은 '3, 음의 제곱근은-'3이다.예

예

2.제곱근의성질

a>0일때,

⑴ ('a)¤ =a, (-'a)¤ =a

'2, -'2는 2의제곱근이므로제곱하면 2가된다. 즉, ('2)¤ =2, (-'2)¤ =2이다.

⑵ "≈a¤ =a, "√(-a)¤ =a

3¤ =9, (-3)¤ =9이므로 "3 Ω¤ ='9=3, "(ç-3)¤ ='9=3이다.

⑶제곱수：1, 4, 9, 16, y 등과같이자연수의제곱인수

예

예

3.제곱근의대소관계

오른쪽그림은한눈금의크기가 1인모눈종이위에두정

사각형①, ②를그린것이다. 이두정사각형①, ②의넓

이는 각각 2, 5이므로 한 변의 길이는 각각 '2, '5이다.

또, 정사각형②의한변의길이가정사각형①의한변의

길이보다길므로 '2<'5임을알수있다.

일반적으로정사각형은넓이가넓을수록변의길이도길고, 역으로변의길이가

길수록 넓이도 넓다. 넓이가 각각 a, b인 두 정사각형의 한 변의 길이를 각각

'a, 'b로나타낼수있으므로다음과같은사실을알수있다.

a>0, b>0일때,

⑴ a<b이면 'a<'b⑵ 'a<'b이면 a<b

2

-24

제곱

제곱근

ab

÷a÷b

'a 제곱근 a, 루트 a

1. 다음수의제곱근을구하여라.

⑴ 25 ⑵ 0.49

⑶ 0 ⑷13

2. 다음을계산하여라.

⑴ ('5 )¤ ⑵ (-'7 )¤⑶Æ… ¤ ⑷-"√(-9)¤

23

3.다음 두 수의 대소를 비교하여 안

에알맞은부등호를써넣어라.

⑴ '∂11 '∂13⑵ 2 '5⑶-'2 -'3⑷-4 -'∂21

1. ⑴—5 ⑵—0.7 ⑶ 0 ⑷—Ƭ2. ⑴ 5 ⑵ 7 ⑶ ⑷-9

3. ⑴< ⑵< ⑶> ⑷>

23

13답

유형문제

개념원리에서학습한내용을다시한번꼼꼼하게되짚어주고, 대

표적인유형의문제들을유제와함께반복적으로풀어봄으로써기

본기를다질수있도록하였습니다.

10 Ⅰ. 실수와그계산

제곱해서

⑴ 4 ⑵ ⑶ 25

가되는수를찾는다.

[참고] 2와 -2를 한꺼번에 —2로 표

시하기도 한다. —는 + 또는 -로서

‘복부호’라고한다.

916

Key Point필수예제 1 다음수의제곱근을구하여라.

⑴ 4 ⑵ ⑶ (-5)¤916

확인유제 1-1 다음수의제곱근을구하여라.

⑴ 36 ⑵ 0.25 ⑶ (-8)¤

확인유제 2-1 양수 a의 양의 제곱근은 'a, 음의 제곱근은-'a로나타낸다.다음수를근호를사용하지말고나타내어라.

⑴ '∂49 ⑵ æ– ⑶ -'∂0.1649

핵심강의 | x¤=a일때, x는 a의제곱근이다.원리익히는유형문제

Plusαa>0일때, [ a의제곱근：—'a

제곱근 a：'a

1. 제곱근의뜻

⑴제곱근：제곱해서어떤수 a가되는수를 a의제곱근이라고한다.

⋯ ① 양수의제곱근은양수와음수두개가있고그절댓값은같다.

⋯ ② 음수의제곱근은생각하지않는다.

⋯ ③0의제곱근은 0이다.

⑵ 근호：제곱근을나타내는기호 '⑶ 양수 a의제곱근：기호 ' (근호, 루트)를사용한다.

a의양의제곱근은 'a (루트 a, 제곱근 a)

a의음의제곱근은-'a (마이너스루트 a)

다음수의제곱근을근호를사용하여나타내어라.

⑴ 7 ⑵ ⑶ 0.415

필수예제 2

-2

24

제곱

제곱근

#Green(중3-상)(001~004) 2014.7.9 12:18 PM 페이지2

계산력·이해력다지기

개념과원리를이해하기위한기본이되는계산력·이해력문제와

개념확인문제들을충분히풀어봄으로써안정된기본기를다질수

있도록하였습니다.

1. 제곱근과실수 15

계산력·이해력다지기

다음을구하여라.

⑴ 제곱근 25 ⑵ 64의제곱근

⑶ 의제곱근 ⑷ (-3)¤ 의제곱근

⑸ 10의음의제곱근 ⑹ 0.16의양의제곱근

⑺ 0.64의음의제곱근 ⑻ 'ß25의제곱근

⑼ 'ß81의제곱근 ⑽ '9의양의제곱근

19

1

다음수를근호를사용하지말고나타내어라.

⑴ '1å6 ⑵ -'ß0.64⑶—'ß1.44 ⑷—æ≠ 100

81

2

(-5)¤ 의양의제곱근을A, '1å6의음의제곱근

을B라할때, A-B의제곱근을구하여라.

3

양수 a의제곱근을 x라할때, 2을 x에관한

식으로나타내어라.

ax4

다음중그값이 3인것의개수를구하여라.5"≈3¤ , "≈(-3)¤ , (-'3 )¤ , -"≈(-3)¤ , ('3 )¤

다음수가자연수가되도록하는가장작은자연

수 x를구하여라.

⑴ '7∂2x ⑵ '2ƒ0-x

⑶ Æ ⑷ Æ x0.0H2

12x

6

기본문제

개념원리와유형문제에서학습한것을총정리하는단계로, 다양한

유형의필수학습문제들을풀어봄으로써원리를완벽하게익히고,

문제에대한적응력을향상시킬수있도록 하였습니다.

18 Ⅰ. 실수와그계산

① 양수 a의제곱근：—'a② 제곱근 a(a>0)：'a③ a>0일때, ('a)¤ =a, (-'a)¤ =a, "≈a¤ =a, "√(-a)¤ =a

④ a<0일때, "≈a¤ =-a, "√(-a)¤ =-a

⑤ a>0, b>0일때, a<b이면 'a<'b, 'a<'b이면 a<b

①곱셈에대한교환법칙

②결합법칙: (kA)B)

③분배법칙: A(B+C) )

원리핵심

기본문제

암기노트

중요

다음중옳은것은?

① 64의제곱근은 8이다. ② 0의제곱근은없다.

③ 제곱근 7은—'7이다. ④ 'ß81=—9이다.

⑤ "≈(-≈10)¤ =10이다.

1제곱근의뜻

(-3)¤ 의음의제곱근을 A, '9의양의제곱근을 B라할때, A-B¤ 의값을구

하여라.

2제곱근의뜻

다음중그값이나머지넷과다른하나는?

① ('3 )¤ ② "≈3¤ ③ "≈(-3)¤

④ (-'3 )¤ ⑤-"≈(-3)¤

3제곱근의성질

다음을계산하여라.

⑴ "≈4¤ -"≈(-5)¤

⑵ "ç0.H4÷Ƭ- ¤⑶ 'ƒ144-('ß10)¤ _"≈(-2)¤ +"≈(-3)›

53

4제곱근의성질

발전문제

개념원리에대한안정된학습을바탕으로한단계높은수준의문

제를통하여상위권으로도약하는첫번째과정으로수학적사고력

과문제해결력을기를수있도록하였습니다.

22 Ⅰ. 실수와그계산

① 양수 a의제곱근：

② 제곱근 a(a>0)：

③ a>0일때, ('a)¤ = , (-'a)¤ = , "≈a¤ = , "ç(-a)¤ =

④ a<0일때, "≈a¤ = , "√(-a)¤ =

⑤ a>0, b>0일때, a<b이면 , 'a<'b이면

암기체크

발전문제

중요

"√(-2)› 의제곱근은?

①-2 ②—2 ③ 4

④-4 ⑤—4

1제곱근의뜻

양수 a의한제곱근이 '3-1일때, 다른한제곱근을구하여라.2제곱근의뜻

반지름의길이가각각 2 cm, 3 cm인두원이있다. 이두원의넓이의합과같은

넓이를갖는원의반지름의길이를구하여라.

3제곱근의뜻

æ≠ `이정수가되기위한가장작은자연수 x를구하여라.96x4

제곱근의성질

서술형·STEAM형문제

서술형문제를통하여문제에대한이해능력, 해석능력, 해결능력

을 향상시키고, 창의논리적 사고력을 키울 수 있도록 하였습니다.

또, STEAM형문제를통하여다른교과와의융합형문제에대한

적응력과문제해결력을향상시킬수있도록하였습니다.

24 Ⅰ. 실수와그계산

서술형·STEAM형문제

01 서 술 형

02 서 술 형

'ƒ42-x 와 '∂96x 를모두정수가되게하는정수 x의값을구하여라.(8점)

채점기준 점수

'ƒ∂42-x가정수가되도록하는정수 x의값을구한경우 3해결과정 '∂96x가정수가되도록하는정수 x의값을구한경우 3

답구하기 옳은답을구한경우 2

요소

영역

오른쪽그림과같이한눈금의길이가 1인모눈

종이에 사각형 OPQR를 그렸다. 다음 물음에

답하여라.(6점)

⑴OPQR의넓이를구하여라.

⑵OPQR의한변의길이를구하여라.

⑶-'∂10`을수직선위에나타내어라.

10 2-3 -2 -1

R

P

-4

O

Q

채점기준 점수

OPQR의넓이를구한경우 1

OPQR의한변의길이를구한경우 1해결과정

-'∂10을수직선위에나타낸경우 2

답구하기 구하는답을정확히나타낸경우 2

요소

영역

#Green(중3-상)(001~004) 2014.7.9 12:18 PM 페이지3

Ⅰ. 실수와그계산

1.제곱근과실수 8

2.근호를포함한식의계산 26

Ⅱ. 인수분해와이차방정식

1.인수분해⑴ 50

1.인수분해⑵ 68

2.이차방정식⑴ 86

2.이차방정식⑵ 104

3.이차방정식의활용 122

Ⅲ. 이차함수

1.이차함수와그그래프⑴ 144

1.이차함수와그그래프⑵ 160

2.이차함수의최댓값과최솟값 178

(부록) 제곱근표 197

Green 내용살펴보기

#Green(중3-상)(001~004) 2014.7.9 12:18 PM 페이지4

Dasuin

Ⅰ.실수와그계산

1. 제곱근과실수

2. 근호를포함한식의계산

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지5

무리수란무엇일까요?

우리가중학교 2학년때배운유리수와소수에대하여생각해봅시다.

소수는유한소수와무한소수로구분할수있고, 무한소수는다시순환소수와순환하지않는무한소수로

구분할수있었습니다. 그리고유한소수와순환소수를유리수라고배웠습니다. 이때순환하지않는무한

소수는‘유리수가아니다.’라고배웠습니다.

이순환하지않는무한소수를부르는이름은없을까요?

중학교 3학년에서는이순환하지않는무한소수에게‘무리수’라는이름이있다는것을배우게됩니다.

역사적으로가장먼저무리수라는것이증명된수는‘루트 2’라고읽는 '2입니다.

무리수는순환하지않는무한소수이기때문에 '2도소수로나타내면 1.4142135623…과같이끝없이계

속이어지는순환하지않는무한소수입니다. 이처럼무리수는소수점아래의숫자가끝없이계속되고, 어

떠한규칙도없답니다.

히파수스(Hippasus)의위험한발견

무리수의존재를가장먼저증명한사람은피타고라스학파의히파수스(Hippasus)라는수학자입니다.

피타고라스의제자였던히파수스가하루는피타고라스에게물었습니다.

“직각삼각형에서직각을낀두변의길이의제곱의합은빗변의길이의제곱과같다면(피타고라스정리)

두변의길이가각각 1인직각삼각형의빗변의길이는어떻게됩니까?”

이질문은매우논리적이고합당한것이었지만피타고라스학파는히파수스가이단적종교사상을가지

고있는것으로취급하며그를학파내에서축출함과동시에바다에빠뜨려죽이고, 그의질문에대한이

야기를일체입에올리지말라는명령을내렸습니다.

왜그랬을까요?

당시피타고라스학파사람들은만물의근원이수(數)이며정수와정수의비율(유리수)로만물을표현할

수있다고믿었습니다.

두변의길이가 1인직각삼각형의빗변의길이는무리수인 '2입니다.

히파수스의질문은피타고라스정리를유리수만으로는표현할수없다는사실을증명한셈이기때문에

피타고라스학파에정면으로도전한것이되었던것입니다. 피타고라스학파에게수학은그들의신념이

자아주특별한의미였습니다. 그러므로자신들의신념을부정하고무리수의존재를외부에유출시킨죄

를히파수스에게물어그를처단하였던것입니다.

6 Ⅰ. 실수와그계산

무리수의발견

<소수의분류> <실수의분류>

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지6

무리수를발견하고도사람을죽이면서까지끝내숨기려고했던피타고라스학파!!

그들에게무리수는단순한수가아니라그들의믿음과신념을무너뜨리고세상을흔들어놓을수있는수

였기때문에무리수를인정할수가없었던것이었습니다.

이처럼우리가알고있거나배우게될수학에는많은사람들의희생과노력이있었으며, 또한재미나고

흥미진진한이야기들도많이있습니다.

이번단원에서히파수스를죽게만들었던무리수가어떤수이고, 무리수가포함된식의계산은어떻게하

는것인지에대하여공부해보도록합시다.

Story Telling

앞에 있는 소수와 실수를 분류한 그림을 보고, 각각의 수들에 대하여 예를 들어 보자.

무리수 '2는 제곱하여 2가 되는 수를 의미한다. 제곱하여 10이 되는 무리수는 무엇일지 생각해 보고, 제곱하여 4가 되

는 수는 무리수인지 아닌지에 대하여 생각해 보자.

인터넷을 이용하여 피타고라스 학파와 히파수스에 관련된 이야기를 찾아서 읽어 보자.

스 토 리 텔 링

Ⅰ. 실수와그계산 7

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지7

8 Ⅰ. 실수와그계산

개념원리

잠깐Check

1. 제곱근과실수

1. 제곱근의뜻

⑴ 제곱근：어떤수 x를제곱하여 a가될때,

즉 x¤ =a일때, x를 a의제곱근이라고한다.

0의제곱근：0¤ =0이므로 0의제곱근은 0이다.

⑵ 제곱근의개수

①양수의제곱근：양수와음수 2개가있고그절댓값은서로같다.

② 0의제곱근：0 한개뿐이다.

③음수의 제곱근：양수 또는 음수를 제곱하면 항상 양수가 되므로 음수의

제곱근은생각하지않는다.

⑶ 제곱근의표현

①제곱근을나타내기위해 ' (근호)를사용하고,

이기호를‘제곱근’또는‘루트’라고읽는다.

② a>0일때, x¤ =a이면 x=—'a이때 a의양의제곱근을 'a, 음의제곱근을-'a로나타낸다.

3의양의제곱근은 '3, 음의 제곱근은-'3이다.예

예

2.제곱근의성질

a>0일때,

⑴ ('a)¤ =a, (-'a)¤ =a

'2, -'2는 2의제곱근이므로제곱하면 2가된다. 즉, ('2)¤ =2, (-'2)¤ =2이다.

⑵ "≈a¤ =a, "√(-a)¤ =a

3¤ =9, (-3)¤ =9이므로 "3 Ω¤ ='9=3, "(ç-3)¤ ='9=3이다.

⑶제곱수：1, 4, 9, 16, y 등과같이자연수의제곱인수

예

예

3.제곱근의대소관계

오른쪽그림은한눈금의크기가 1인모눈종이위에두정

사각형①, ②를그린것이다. 이두정사각형①, ②의넓

이는 각각 2, 5이므로 한 변의 길이는 각각 '2, '5이다.

또, 정사각형②의한변의길이가정사각형①의한변의

길이보다길므로 '2<'5임을알수있다.

일반적으로정사각형은넓이가넓을수록변의길이도길고, 반대로변의길이가

길수록 넓이도 넓다. 넓이가 각각 a, b인 두 정사각형의 한 변의 길이를 각각

'a, 'b로나타낼수있으므로다음과같은사실을알수있다.

a>0, b>0일때,

⑴ a<b이면 'a<'b⑵ 'a<'b이면 a<b

2

-24

제곱

제곱근

ab

÷a÷b

'a 제곱근 a, 루트 a

1. 다음수의제곱근을구하여라.

⑴ 25 ⑵ 0.49

⑶ 0 ⑷13

2. 다음을계산하여라.

⑴ ('5 )¤ ⑵ (-'7)¤⑶Æ… ¤ ⑷-"√(-9)¤2

3

3.다음 두 수의 대소를 비교하여 안

에알맞은부등호를써넣어라.

⑴ '∂11 '∂13⑵ 2 '5⑶-'2 -'3⑷-4 -'∂21

1. ⑴—5 ⑵—0.7 ⑶ 0 ⑷—Ƭ2. ⑴ 5 ⑵ 7 ⑶ ⑷-9

3. ⑴< ⑵< ⑶> ⑷>

23

13답

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지8

1. 제곱근과실수 9

잠깐Check

Ⅰ. 실수와그계산

4.무리수와실수

⑴ 무리수：유리수가아닌수, 즉분수로나타낼수없는수를무리수라고한다.

⑵ 무리수의 소수 표현：무리수를소수로나타내면순환하지않는무한소수가

된다.

'2=1.41421356237y, -'3=-1.73205080756y, '5=2.23606797749y,

원주율 p=3.141592653y 등은순환하지않는무한소수이므로모두무리수이다.

'2를무한소수로나타내는방법

1¤ =1, 2¤ =4이므로 1¤ <2<2¤ ∴ 1<'2<2

1.4¤ =1.96, 1.5¤ =2.25이므로 1.4¤ <2<1.5¤⋯ ⋯∴1.4<'2<1.5

1.41¤ =1.9881, 1.42¤ =2.0164이므로 1.41¤ <2<1.42¤⋯ ⋯∴1.41<'2<1.42

이와같은계산을되풀이하면 '2를무한소수로나타낼수있다.

∴ '2=1.41421356 y

⑶ 실수：유리수와무리수를통틀어실수라고한다.

⑷ 실수의분류

참고

예

4. 다음중무리수인것은?

① '4 ② '∂12 ③ -'ƒ100④ -Æ ⑤ 'ƒ0.641

9

4. ②

5. -, >답

유한소수

무한소수소수 [ 순환소수

순환하지않는무한소수

유리수

무리수[

양의정수(자연수)

⋯0⋯

음의정수

(9

정수

⋯ ⋯

정수가아닌유리수

(9

유리수

무리수⋯y`순환하지않는무한소수

(9

실수

5.실수의대소관계

⑴ 실수와수직선：수직선은실수에대응하는점으로완전히메울수있다.

오른쪽 그림에서 어두운 정사각형의 넓이는 5이다.

여기서 수직선 위의 점 A의 좌표는 2이고, 선분

AB와선분 AC의길이는 '5이므로수 2+'5에는점 B가, 수 2-'5에는점 C가대응하게된다.

⑵ 실수의대소관계

①양수는 0보다크고, 음수는 0보다작다.

②양수는음수보다크다.

③두양수에서는절댓값이큰수가크다.

④두음수에서는절댓값이큰수가작다.

⑶ a, b가실수일때,

① a-b>0이면 a>b ② a-b=0이면 a=b ③ a-b<0이면 a<b

참고

5.다음은 두 수 1과 '3-1의 대소를 비

교하는 과정이다. 안에 알맞은 기호

를써넣어라.

1 ('3-1)=1-'3+1=2-'3='4-'3>0

이므로 1 '3-110 2 3 4 5

C A B

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지9

10 Ⅰ. 실수와그계산

제곱해서

⑴ 4 ⑵ ⑶ 25

가되는수를찾는다.

[참고] 2와 -2를 한꺼번에 —2로 표

시하기도 한다. —는 + 또는 -로서

‘복부호’라고한다.

916

Key Point필수예제 1 다음수의제곱근을구하여라.

⑴ 4 ⑵ ⑶ (-5)¤916

확인유제 1-1 다음수의제곱근을구하여라.

⑴ 36 ⑵ 0.25 ⑶ (-8)¤

확인유제 2-1 양수 a의 양의 제곱근은 'a, 음의 제

곱근은-'a로나타낸다.다음수를근호를사용하지말고나타내어라.

⑴ '∂49 ⑵ æ– ⑶ -'∂0.1649

핵심강의 | x¤=a일때, x는 a의제곱근이다.원리익히는유형문제

Plusαa>0일때, [ a의제곱근：—'a

제곱근 a：'a

1. 제곱근의뜻

⑴제곱근：제곱해서어떤수 a가되는수를 a의제곱근이라고한다.

⋯ ① 양수의제곱근은양수와음수두개가있고그절댓값은같다.

⋯ ② 음수의제곱근은생각하지않는다.

⋯ ③0의제곱근은 0이다.

⑵ 근호：제곱근을나타내는기호 '⑶ 양수 a의제곱근：기호 ' (근호, 루트)를사용한다.

a의양의제곱근은 'a (루트 a, 제곱근 a)

a의음의제곱근은-'a (마이너스루트 a)

다음수의제곱근을근호를사용하여나타내어라.

⑴ 7 ⑵ ⑶ 0.415

필수예제 2

-2

24

제곱

제곱근

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지10

1. 제곱근과실수 11

핵심강의 | a>0일때, ('a)¤ =a,

(-'a)¤ =a, "√a¤ =a, "√(-a)¤ =a

2. 제곱근의성질

⑴ a>0일 때

⋯ ①a의제곱근 ('a, -'a)을제곱하면 a가된다.

('a)¤ =a, (-'a)¤ =a

⋯ ②'∂(제곱인수)는근호(' )를사용하지않고나타낼수있다.

⑵ "≈a¤에서

"≈a¤ =|a|=[⑶제곱수：1, 4, 9, 16, y 등과같이자연수의제곱인수

⋯ '∂(제곱수)="≈(자연≈수)¤ =(자연수)

aæ0일때, a

a<0일때, -a

a>0일때,

('a)¤ =a, (-'a)¤ =a,

"≈a¤ =a, "(≈-a)¤ =a

가성립함을이용한다.

Key Point

필수예제 4 a>0, b<0일때, 다음식을간단히하여라.

⑴ "ç(3a)¤ +"ç(-a)¤ -"ç(6b)¤⑵ (-'a)¤ -"ç(-5a)¤ +"ç9b¤

필수예제 5 다음식의값이자연수가되도록하는가장작은자연수 x의값을

구하여라.

⑴ "ç60x ⑵ æ– 108x

Plusα (-a)¤ =(-a)_(-a)=a¤`이므로 (-a)¤의제곱근은 a¤의제곱근과같다.

다음값을구하여라.

⑴ ('5)¤ ⑵ (-'7)¤⑶ "≈6¤ ⑷ "≈(-2)¤

확인유제 3-1 다음을계산하여라.

⑴ "ç3¤ +"√(-2)¤

⑵ '∂49-"√(-5)¤

⑶ "√(-2)¤ _(-"ç4¤ )

필수예제 3

확인유제 4-1 a>0일때, "≈a¤ =a

a<0일때, "≈a¤ =-a1<x<2일때, "√(x-1)¤ +"√(x-2)¤ 을간단히하면?

① -3 ② 1 ③ x-3

④ 2x+1 ⑤ 2x-3

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지11

12 Ⅰ. 실수와그계산

핵심강의 | a, b가양수일때

a>b이면 'a>'b, 'a>'b이면 a>b

(음수)<0<(양수)3. 제곱근의대소관계

a>0, b>0일때

⑴ a>b이면 'a>'b⑵ 'a>'b이면 a>b

Key Point

Plusα양수에대하여그값이클수록그수의양의제곱근의값도크다.

다음두수의대소를비교하여라.

⑴ '5, '7 ⑵ 4, 'ß15

확인유제 6-1 음수는절댓값이큰수가작다.다음수중큰수부터차례로나열할때, 네번째오는수는?

① -3 ② '5 ③ -æ–

④ æ– ⑤ '6214

174

필수예제 6

부등식 3<'ß3a<5를만족시키는자연수 a의개수를구하여라.

확인유제 7-1 부등식 '2<x<'ß20을만족하는자연수 x의개수를구하여라.

주어진 부등식의 각 변을 제곱해도 부

등호의방향은변하지않는다.필수예제 7

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지12

1. 제곱근과실수 13

'ƒ(유리수의 ƒ제곱인수) 유리수

'ß(유리수ƒ의제곱이 ß아ß닌수) 무리수

다음수를유리수와무리수로구분하여라.

⑴ '5 ⑵ 3.14 ⑶ -'ß49⑷ 'ß0.36 ⑸Æ ⑹ 0. H1H22

3

다음<보기> 중옳은것을모두골라라.

확인유제 8-1 순환하는 무한소수는 유리수이므로 분

수로나타낼수있다.다음<보기>의수중에서무리수의개수를구하여라.

필수예제 8

필수예제 9

핵심강의 | 유리수가 아닌 수, 즉 분수로

나타낼수없는수를무리수라고한다.

4. 무리수와실수

⑴ 무리수：유리수가아닌수

⑵ 무리수의소수표현：무리수를소수로나타내면순환하지않는무한소수가된다.

⑶ 실수：유리수와무리수를통틀어실수라고한다.

⋯

Plusα ' 가있다고해서모두무리수는아니다.

예를들어, '∂16="≈4¤ =4와같이근호안의수가유리수의제곱이되는수는유리수이다.

보기

0.H4H3, (-'5)¤ , '∂49-'9, '∂10, 3.14, '∂1.21, 3'2

보기

ㄱ. 소수는유한소수와순환소수로이루어져있다.

ㄴ. 순환하지않는무한소수는무리수이다.

ㄷ. 유리수와무리수를통틀어실수라고한다.

ㄹ. a가유리수이면 'a는항상무리수이다.

유한소수

무한소수소수 [ 순환소수

순환하지않는무한소수

유리수

무리수[

양의정수(자연수)

⋯0⋯

음의정수

(9

정수

⋯ ⋯

정수가아닌유리수

(9

유리수

무리수⋯y`순환하지않는무한소수

(9

실수

Key Point

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지13

14 Ⅰ. 실수와그계산

핵심강의 | 수직선은 실수에 대응하는 점

으로완전히메워져있다.

5. 수직선과실수의대소관계

⑴ 수직선은실수에대응하는점으로완전히메울수있다.

⑵ 실수의대소관계

⋯ ①음수<0<양수

⋯ ②두양수에서는절댓값이큰수가크고, 두음수에서는절댓값이큰수가작다.

⑶ a, b가실수일때,

⋯ ①a-b>0이면 a>b ② a-b=0이면 a=b ③ a-b<0이면 a<b

Plusα한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로 1에 대응하는 점을 중심으로 하고 '2를 반지름의 길이로

하는 원을 그릴 때, 수직선과 1의 오른쪽에서 만나는 점과 왼쪽에서 만나는 점에 대응하는 수는 각각 1+'2, 1-'2이다.

Key Point오른쪽그림의정사각형OABC는한

변의 길이가 2인 정사각형의 각 변의

중점을 연결하여 만든 것이다. 이때,

다음을구하여라.

⑴정사각형OABC의넓이

⑵ 변OA의길이

⑶ 점O를중심으로하고반지름이OA”인원을그려서수직선과만나는

점을P라할때, 점P에대응하는수

필수예제`10

AC

B

-1 10

PO

확인유제 10-1 1+'2`에 대응하는점을찾는순서① 1과 2 사이에 한 변의 길이가 1인

정사각형을그린다.

② 1에 대응하는 점을 중심으로 하여

반지름의길이가대각선의길이

'2인원을그린다.

③②에서 그린 원이 수직선과 만나는

점중오른쪽에있는점을잡는다.

아래그림은수직선위에한칸의길이가 1인모눈선을그린것이

다. 이것을이용하여다음수를수직선위에나타내어라.

⑴ 1+'2 ⑵ 1-'2

0-3 -2 -1 1 2 3

다음두수의대소를비교하여라.

⑴ '∂18-3, '∂20-3 ⑵ '2+'3, '2+'5두 실수를 각각 a, b라 하여 a-b의

값의부호를조사한다.필수예제`11

확인유제 11-1 다음두수의대소를비교하여라.

⑴ 2+'2, 3 ⑵ 2+'3, '3+'5

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지14

1. 제곱근과실수 15

계산력·이해력다지기

다음을구하여라.

⑴ 제곱근 25 ⑵ 64의제곱근

⑶ 의제곱근 ⑷ (-3)¤ 의제곱근

⑸ 10의음의제곱근 ⑹ 0.16의양의제곱근

⑺ 0.64의음의제곱근 ⑻ 'ß25의제곱근

⑼ 'ß81의제곱근 ⑽ '9의양의제곱근

19

1

다음수를근호를사용하지말고나타내어라.

⑴ '1å6 ⑵ -'ß0.64⑶—'ß1.44 ⑷—æ≠ 10081

2

(-5)¤ 의양의제곱근을A, '1å6의음의제곱근

을B라할때, A-B의제곱근을구하여라.

3

양수 a의제곱근을 x라할때, 2을 x에관한

식으로나타내어라.

ax4

다음중그값이 3인것의개수를구하여라.5"≈3¤ , "≈(-3)¤ , (-'3 )¤ , -"≈(-3)¤ , ('3 )¤

다음수가자연수가되도록하는가장작은자연

수 x를구하여라.

⑴ '7∂2x ⑵ '2ƒ0-x

⑶ Æ ⑷ Æ x0.0H2

12x

6

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지15

16 Ⅰ. 실수와그계산

다음을계산하여라.

⑴ -"≈(-8)¤ +"≈3¤⑵ ('1å4å4+'1å6å9)_"≈(-4)¤

⑶ _ ÷Æ˚ _

⑷ 'ß1.69_(-'ß0.1)¤⑸ "≈0.H1+'ß0.09

'6å43

116

'44

'9'1å6

7

0<x<1일때, 다음식을간단히하여라.

æ≠1+ ¤ -æ≠1- ¤1x

1x

9

다음식을간단히하여라.

⑴ (-'ß10)¤ -(-'7)¤⑵ "√(-6)¤ -"√(-5)¤

⑶ "√(-3)¤ -'ß64⑷ "√(-0.2)¤ -"√(-0.1)¤

⑸ (-'ß10)¤ _-Ƭ 2

⑹ (-'6)¤ _Ƭ 2

⑺ '∂144÷"√(-2)¤

⑻ -'ƒ0.49÷"√(-0.1)¤

⑼ Ƭ _'ƒ0.04_"√(-5)¤

⑽ 'ß81÷"√(-3)¤ _-Ƭ 216

1625

12

14

8

다음 안에알맞은등호또는부등호를써넣어

라.

⑴ '1å3 4 ⑵ Æ⑶-'5 -'6 ⑷ 1+'3 1+'5⑸ 'ƒ1.44 1.2 ⑹-'ƒ0.04 -0.1

12

14

10

다음수를큰수부터차례로나열하여라.

⑴ -4, 3, -'1å5, '1å7, -'2å0⑵ -5, '3, 0, -Æ , '6, Æ

⑶ -Æ , -'2, '5, 0, '713

72

52

11

다음 부등식을 만족하는 자연수 x를 모두 구하

여라.

⑴ 4<'x<5 ⑵ 1.2<'x<3

⑶ '3å5<x<'7å0 ⑷-5<-'x<-4.6

12

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지16

1. 제곱근과실수 17

a, b, c가자연수일때, 다음두식을모두만족

하는 a의값중가장큰값을구하여라.

13 a=bc 100<abc<400

다음<보기>의수중무리수의개수를구하여라.14보기

'30

—Æ

'4'ß0.9'ß29-4

'2ƒ.253.H1

'3-294

다음그림에서세점A, B, C에대응하는수를

각각구하여라.

0 1

1

2-2 -1 ABC

15

다음 그림에서 점 P, Q에 대응하는 수를 구하

여라.

⑴ ⑵

0-1 1 2 3 4

CB

Q

D

A

42 3P

B C

DA

16

다음 안에알맞은부등호를써넣어라.

⑴ '∂12 '∂18⑵ -2 -'5⑶ 2-'2 '3-'2⑷ '6+'7 3+'7

17

다음세수의대소관계를부등호를사용하여나

타내어라.

⑴ a=2+'2, b='2+'3, c='3+1

⑵ a='5-4, b=-2, c=1+'5⑶ a=3-'ß13, b=3-'7, c=-2

18

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지17

18 Ⅰ. 실수와그계산

① 양수 a의제곱근：—'a② 제곱근 a(a>0)：'a③ a>0일때, ('a)¤ =a, (-'a)¤ =a, "≈a¤ =a, "√(-a)¤ =a

④ a<0일때, "≈a¤ =-a, "√(-a)¤ =-a

⑤ a>0, b>0일때, a<b이면 'a<'b, 'a<'b이면 a<b

①곱셈에대한교환법칙

②결합법칙: (kA)B)

③분배법칙: A(B+C) )

원리핵심

기본문제

암기노트

중요

다음중옳은것은?

① 64의제곱근은 8이다. ② 0의제곱근은없다.

③ 제곱근 7은—'7이다. ④ 'ß81=—9이다.

⑤ "≈(-≈10)¤ =10이다.

1제곱근의뜻

(-3)¤ 의음의제곱근을 A, '9의양의제곱근을 B라할때, A-B¤ 의값을구

하여라.

2제곱근의뜻

다음중그값이나머지넷과다른하나는?

① ('3)¤ ② "≈3¤ ③ "≈(-3)¤

④ (-'3 )¤ ⑤-"≈(-3)¤

3제곱근의성질

다음을계산하여라.

⑴ "≈4¤ -"≈(-5)¤

⑵ "ç0.H4÷Ƭ- ¤⑶ 'ƒ144-('ß10)¤ _"≈(-2)¤ +"≈(-3)›

53

4제곱근의성질

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지18

1. 제곱근과실수 19

중요

중요

a>0일때, "√(-2a)¤ -('a)¤ `을간단히하면?

① a ②-a ③ 2a¤

④ 3a ⑤-3a

5제곱근의성질

'ß120x가자연수가되도록하는가장작은자연수 x의값을구하여라.6제곱근의성질

"≈(x-3≈)¤ =2를만족하는정수 x의값을모두구하여라.7제곱근의성질

0<x<1일때, "≈(1≈-x)¤ -"≈(2x≈-3)¤ 을간단히하면?

①-3x+4 ② 3x+4 ③ 3x-4

④-x+2 ⑤ x-2

8제곱근의성질

'2<'x<3을만족하는자연수 x의값은모두몇개인지구하여라.9제곱근의대소관계

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지19

20 Ⅰ. 실수와그계산

중요

다음두수의대소를비교하여라.

⑴ Æ , '∂0.5 ⑵ -'3, - 95

14

10제곱근의대소관계

다음중에서가장큰수는?

① "√(-0.1)¤ ② 'ƒ0.02 ③ 'ƒ0.04④ '∂0.1 ⑤ 'ƒ0.05

11제곱근의대소관계

다음중에서 4와 5 사이에있는수를모두찾아라.12제곱근의대소관계

13무리수와실수

a='5일때, 다음중유리수가아닌것은?

① a¤ ② "√5a¤ ③ a+'2④ (-a)¤ ⑤ 3+'5a

14무리수와실수

'∂12, '∂15, '∂18, '∂20, '∂24, '∂26

보기

'∂25, -'ƒ1.21, '∂14Ƭ , p, 0.33333y

964

다음<보기> 중무리수의개수는모두몇개인지구하여라.

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지20

1. 제곱근과실수 21

중요

다음그림의어두운두정사각형은한변의길이가2인정사각형의각변의중점을연

결하여만든것이다. 이때, 수직선위의점P, Q에대응하는좌표를각각구하여라.

-5-6-7 -4 -3 -2 -1 0 1QP

15실수의대소관계

오른쪽그림에서모눈한칸은한변의길이

가 1인 정사각형이고, ABCD는 정사각

형이다. 다음 <보기>의 설명 중 옳은 것을

모두골라라.

16실수의대소관계

'2-2의절댓값을구하여라.17실수의대소관계

다음두실수의대소를비교하여라.

⑴ '7+'8, 3+'7 ⑵ 2, '6-1

18실수의대소관계

다음에주어진세수의대소를비교하여라.19실수의대소관계

4

C

B

A

D

1 2 3 QP

2+'7, 3+'5, '5+'7

보기

ㄱ. ABCD의넓이는 5이다.

ㄴ. AD”의길이는 '5이다.

ㄷ. 점P에대응하는수는 1-'5이다.

ㄹ. 점Q에대응하는수는 3+'5이다.

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지21

22 Ⅰ. 실수와그계산

① 양수 a의제곱근：

② 제곱근 a(a>0)：

③ a>0일때, ('a)¤ = , (-'a)¤ = , "≈a¤ = , "ç(-a)¤ =

④ a<0일때, "≈a¤ = , "√(-a)¤ =

⑤ a>0, b>0일때, a<b이면 , 'a<'b이면

암기체크

발전문제

중요

"√(-2)› 의제곱근은?

①-2 ②—2 ③ 4

④-4 ⑤—4

1제곱근의뜻

양수 a의한제곱근이 '3-1일때, 다른한제곱근을구하여라.2제곱근의뜻

반지름의길이가각각 2 cm, 3 cm인두원이있다. 이두원의넓이의합과같은

넓이를갖는원의반지름의길이를구하여라.

3제곱근의뜻

æ≠ `이정수가되기위한가장작은자연수 x를구하여라.96x4

제곱근의성질

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지22

1. 제곱근과실수 23

중요

중요

두 실수 a, b에 대하여 a<b, ab<0일 때, "ç4a¤ -"√(a-b)¤ +"çb¤ 을 간단히 하

여라.

5제곱근의성질

다음부등식을만족하는자연수 x를모두구하여라.

⑴ '5<x<'∂13 ⑵-4<-'∂2x<-1

6제곱근의대소관계

다음<보기> 중 '2`와 '3 사이의실수가아닌것은모두몇개인지구하여라.7무리수와실수

4-'2의정수부분을 a, '∂15의소수부분을 b라할때, a+b의값을구하여라.8실수의대소관계

수직선위에자연수의양의제곱근 1, '2, '3, 2, '5, '6, '7, '8, 3, y에대응하

는점을각각나타내면다음과같다.

이중에서무리수에대응하는점의개수는 1과 2 사이에 2개, 2와 3 사이에 4개이

다. 이때 1001과 1002 사이에있는무리수에대응하는점의개수는?

① 2000개 ② 2001개 ③ 2002개

④ 2003개 ⑤ 2004개

1 ÷2 ÷3 2 ÷5 ÷6 ÷7 ÷8 3

9실수의대소관계

보기

1.5, '2+0.1, 2, '3-'2, '3-0.01, '∂2.5, '3+0.1

'2+'32

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지23

24 Ⅰ. 실수와그계산

서술형·STEAM형문제

01 서 술 형

02 서 술 형

'ƒ42-x 와 '∂96x 를모두정수가되게하는정수 x의값을구하여라.(8점)

채점기준 점수

'ƒ∂42-x가정수가되도록하는정수 x의값을구한경우 3해결과정 '∂96x가정수가되도록하는정수 x의값을구한경우 3

답구하기 옳은답을구한경우 2

요소

영역

오른쪽그림과같이한눈금의길이가 1인모눈

종이에 사각형 OPQR를 그렸다. 다음 물음에

답하여라.(6점)

⑴OPQR의넓이를구하여라.

⑵OPQR의한변의길이를구하여라.

⑶-'∂10`을수직선위에나타내어라.

10 2-3 -2 -1

R

P

-4

O

Q

채점기준 점수

OPQR의넓이를구한경우 1

OPQR의한변의길이를구한경우 1해결과정

-'∂10을수직선위에나타낸경우 2

답구하기 구하는답을정확히나타낸경우 2

요소

영역

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지24

1. 제곱근과실수 25

닮음비가 2：3인 두 정사각형모양의 꽃밭의 넓이의 합이 52일 때, 작은 꽃밭의

한변의길이를구하여라.

03 STEAM 형

Science

Technology

Engineering

Art

Mathematics

다음그림과같이반지름의길이가 인원O가수직선과원점에서접한다. 원점

과만나는원 O 위의점을 P라하고, 이원을수직선을따라서오른쪽으로한바

퀴굴릴때, 점P가처음으로다시수직선과만나는점에대응하는수를구하여라.

1-1 2 3 40

P

O

P

O

1204 STEAM 형

Science

Technology

Engineering

Art

Mathematics

#Green(중3-상)1(005~046) 2014.7.9 12:18 PM 페이지25