Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 ·...
Transcript of Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 ·...
![Page 1: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/1.jpg)
Gravite ve Yükseklik
Kamil Teke
Hacettepe Üniversitesi
Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisligi Bölümü
![Page 2: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/2.jpg)
Yer’in gravite alanındaki degişimlere neden olan kitle hareketleri
• Katı Yer, okyanus ve atmosfer gel-gitleri
• Okyanus akıntıları ve okyanus tabanı basıncı değişimleri
• Yeraltı sularının kitle dağılımındaki değişimler (hidrolojik devir)
• Jeoidin içindeki kitle dağılımı değişimi: konveksiyon akımları
• Tektonik plaka hareketleri ve depremler
• Post-glacial rebound
• Global deniz seviyesi yükselmesi (1.8 mm/yıl) (Douglas, 1991)
• Bölgesel deformasyonlar
![Page 3: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/3.jpg)
• Jeoidin belirlenmesi (basit örnek) • Topoğrafya ve serbest hava indirgemesi
(basit örnek)
![Page 4: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/4.jpg)
Jeoidin belirlenmesi (basit örnek)
P topo T
P Q
Stokes
Inverse Stokes
g g A F
g g
g N
Bernhard Hofmann-Wellenhof ve Helmut Moritz (2006) Physical Geodesy, Second Edition, Springer, Wien, NewYork, ISBN-10 3-211-33544-7. Pavlis, N.K., S.A. Holmes, S.C. Kenyon, and J.K. Factor, An Earth Gravitational Model to Degree 2160: EGM2008, presented at the 2008 General Assembly of the European Geosciences Union, Vienna, Austria, April 13-18, 2008.
max
84 84 2008
0 0
( , ) ( , ) ( , )
( , ) cos sin (cos )
WGS WGS EGM
n n
nmnm nm
n m
C N
C CC m CS m P
![Page 5: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/5.jpg)
Gravite indirgemeleri (basit örnek)
2
0
Serbest hava indirgemesi: 0.3086 ( )
2 2 (serbest hava gravite gradyanı)
gF H H H mgal
H h
Jh
3
3
Bouguer indirgemesi: 2 0.1119 ( ) eger 2.67
Spherical shell approximation: 4 0.2238 ( ) eger 2.67
B
SS
A G H H mgal g cm
A G H H mgal g cm
Olgunlaştırılmış Bouguer indirgemesi:
Bouguer anomalisi:
B B t
B B
g g A A F
g g
Franz Barthelmas (2009). Definition of functionals of the geopotential and their calculation from spherical harmonic models. Scientific Technical Report STR09/02. Deutsches Geoforschunszentrum, Potsdam.
![Page 6: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/6.jpg)
Arazi düzeltmesi (basit örnek)
T B t
T
B T
A A A
A A
g g A F
Örnegin: EGM2008 DEM: SRTM 3’’(Dijital yükseklik/arazi modelleri)
Topografya (topography/terrain) modelleri yüzey küresel harmonik fonksiyonlarina dönüstürülebilir (Sneeuw, 1994).
max
0 0
( , ) cos sin (cos )n n
nmnm nm
n m
H R HC m HS m P
IDEMS (IGFS), DEM ürünleri : SRTM, ACE, ACE2, ASTER, GLOBE, GTOPO30,
![Page 7: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/7.jpg)
• Gök cisimlerinin Yer’in dış gravite alanı içeresinde oluşturduğu gel-git potansiyellerinin hesabı
• Gel-git jeoid çeşitleri
![Page 8: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/8.jpg)
V20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli (1 ay boyunca). Uzun periyotlu ge-
gitlerdir.
V22, 2.derece, 2. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Sektoral gel-git potansiyeli (1
gün boyunca). 12 saat periyoda sahip gel-gitlerdir.
V21, 2.derece, 1. mertebe küresel harmonik
fonksiyonu: Tesseral gel-git potansiyeli
(1 gün boyunca). Günlük periyoda sahip gel-gitlerdir.
Ay’ın ve Güneş’in Yer’in dış gravite alanında oluşturdukarı bozucu (gel-git) gravite potansiyelleri
Petit G., and Luzum B. (2010). IERS Conventions 2010, IERS Technical Note ; 36, Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie, ISBN 3-89888-989-6.
![Page 9: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/9.jpg)
V20+V21+V22: Toplam gel-git potansiyeli
Gök cisimlerinin (Ay’ın, Güneş’in ve güneş sistemi gezegenlerinin) Yer’in dış gravite alanı içerisindeki gel-git gravite potansiyelleri
max
12
( ) (cos )n n
nnn
RV A GM P
r
2
20 20 203
2
21 21 213
2
22 22 223
(cos ) (cos )
1(cos ) (cos )cos( )
3
1(cos ) (cos )cos 2( )
12
RV GM P P p
r
RV GM P P p
r
RV GM P P p
r
![Page 10: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/10.jpg)
Gel-git tanımlarına göre jeoid çeşitleri (IERS Konvansiyonları)
• Ölçülen jeoid (instantaneous geoid) (t epogu): W = W0 = Vgeo + Vcentrifugal +
Vtidalpermanent + Vtidal
periodic +
Vdeformationpermanent + Vdeformation
periodic
• Ortalama (mean) jeoid (oşinografi) (≈mean ocean surface): W = W0 = Vgeo + Vcentrifugal + Vtidal
permanent + Vdeformationpermanent
• Sıfır gel-git (zero-tide) jeoidi (Jeodezi):
W = W0 = Vgeopotential + Vcentrifugal + Vdeformationpermanent
• Gel-git bağımsız (tide-free) jeoid (Jeodezi)
(Tide-free crust : örnegin, ITRF2008, VTRF2008, ...) W = W0 = Vgeo + Vcentrifugal
No
min
al love n
um
bers
Petit G., and Luzum B. (2010). IERS Conventions 2010, IERS Technical Note ; 36, Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie, ISBN 3-89888-989-6.
![Page 11: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/11.jpg)
• Gravite potansiyeli alanı bileşenlerinin hesabı • Bruns (T -> N) • Stokes (∆g -> N) – yüzey integrali
• Pizetti (∆g -> T) – yüzey integrali
• Venning Meinesz (∆g -> (ƺ, ƞ) ) – yüzey integrali
![Page 12: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/12.jpg)
Stokes formüllerinden jeoid ondülasyonunun hesabı
2 2
0 ' 0'
2
( , ) ( ', ') ( ) cos ' ' '4
p
RN g S d d
, : p hesap noktasının küresel cografi koordinatları
', ' : kaynak noktanın (yüzey elemanı) küresel cografi koordinatları
: küresel uzaklık
S( ): Stokes fonksiyonu
1S( )= 6sin 1 5cos 3cos ln(sin
2sin
2
2sin )
2 2
Stokes formülü –Stokes integrali (Stokes, 1849) Determine the geoid from gravity data
1cos [cos cos ' sin sin 'cos( ' )]
![Page 13: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/13.jpg)
1
1
(0, , ) (0, ) (0, , )( , )
(0, ) (0, )
( , , ) ( , )( , ) ( , )
(0, )
i ii i
W U TN
W N U NN N
Bruns formülü (iteratif yaklaşım)
Bruns formülünden jeoid ondülasyonunun hesabı
Venning Meinesz, 1928
2 2
0 ' 0'
2
2 2
0 ' 0'
2
1 ( )( , ) ( ', ') cos cos ' ' '
4
1 ( )( , ) ( ', ') sin cos ' ' '
4
dSg d d
d
dSg d d
d
Gravite anomalilerinden (∆g) çekül sapması bileşenlerinin (ƺ, ƞ) hesabı
![Page 14: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/14.jpg)
Gravite anomalilerinden (∆g) bozucu potansiyel (T) hesabı
2 2
' 0'
2
( , , ) ( , ', ') ( , ) ' '4
p
RT r g R S r d d
2
2 2
, : p hesap noktasının küresel cografi koordinatları
', ' : kaynak noktanın (yüzey elemani) küresel cografi koordinatları
: küresel uzaklık
S(r, ): Stokes fonksiyonu
2 cS(r, )= 3 cos 5 3ln
R R Rl R r R
l r r r
2 2
os
2
2 cos
l
r
l r R Rr
Pizetti, 1911
1cos [cos cos ' sin sin 'cos( ' )]
![Page 15: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/15.jpg)
• Uydu gravite misyonlarına genel bakış • GRACE • GOCE
![Page 16: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/16.jpg)
GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment ) uydu gravite misyonu
http://www.csr.utexas.edu/grace/ Ayan T. ve Akyılmaz O. (2006) Yeryuvarı gravite alanının Grace uydu verilerinden bulanık çıkarım verileri ile modellenmesi. Harita Dergisi, 135, 10-25.
• 17 Mart 2002 • Yükseklik : 300-500 km • Aralarindaki mesafe ~200 km • 89°-kutupsal • Bilinmeyenler: Yerin gravite anomalileri • Ölçüler: iki uydunun arasındaki uzunluk
değişimleri
• German Space Agency's Challenging Minisatellite Payload (CHAMP) uydu gravite misyonundan elde edilen deneyimler üzerine geliştirilmiş bir sistemdir.
• US Space Agency, NASA ve German Space Agency, DLR ortak projesidir. • Her iki uydunun ağırlık merkezine yerleştirilmis ivme ölcerler uydulardaki
gravitasyonel olmayan ivmelenmeleri (örnegin, atmosfer sürüklenmesi) ölçer. Böylece sadece gravitasyonel degisimlerin sonucu olusan ivmelenmeler modellenebilir.
• Yer’in her ay, aylık ortalama global gravite alanı.
![Page 17: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/17.jpg)
Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation (GOCE) uydu gravite misyonu
http://www.esa.int/SPECIALS/GOCE/; Rummel vd., 2004; Karslıoglu M.O. (2006) Uydu gradyometresi ve GOCE uydusu. Harita Dergisi, 135, 26-41.
• Mart 2009.
• Gradiometer iceren ilk uydu .
• Satellite to satellite tracking (SST) : GPS-GOCE
• Satelite gravity gradiometer (SGG)
• SGG: gravite gradyanlari 10-6 x g (1 mgal), jeoidi 1-2 cm duyarlikla belirliyor. Yarim dalga boyu 100 km olan global gravite alani.
• 3 ortagonal eksenin uclarinda (50 cm) 6 adet ivme ölcer iceren bir gradyometreye sahip.
• İvmeölcerlerin prezisyonu : 10-12 ms-2 /Hz1/2
• SST: 1-2 cm dogrulukta GPS konum bilgisi ile uzun dalga boylu gravite alani.
• Yildiz sensörleri ile gravimetre ölcülerinin kombinasyonlarindan inersiyal uzaya göre dönüklükler.
GRF ve ARF
![Page 18: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/18.jpg)
GOCE – Konum ve zaman referans sistemleri, ürünlerden örnekler
Ext. Data: ERP (IERS), GPS orbit, clock, ground GPS station data (IGS), SLR data (ILRS), Atmosphere (ECMWF), planetary ephemeris (JPL421-NASA), tide models, DTM, external info. of gravity field
ARF -> GRF -> LORF -> EFRF -> IRF
GPST = TAI – 19s = UTC + 15 TAI-UTC=34s (1 temmuz 2012)
L2 Products • GRF gravite gradyanlari • LORF gravite gradyanlari • Hassas yörüngeler • GOCE gravite alani modeli - V, ∆g, N, (ƺ,ƞ) • Zamana bagli gravite
degisimlerinden kaynaklanan gravite gradyanlari düzeltmeleri.
...
http://www.esa.int/SPECIALS/GOCE/; Rummel vd., 2004; Karslıoglu M.O. (2006) Uydu gradyometresi ve GOCE uydusu. Harita Dergisi, 135, 26-41.
![Page 19: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/19.jpg)
• Global Gravite Modellerinin Küresel Harmonik Fonksiyonlara açılımları
( , , , ) ( , , )
( , , , ) ( , , )
( , , , ) ( , , )
( , , , , ) ( , , )
2( , , , , ) ( , , )
( , , , , , ) (
V V V V
nm nm
REF REF U U
nm nm
REF REF T T
nm nm
REF REF T T
nm nm
REF REF T T
nm nm
REF REF T T
nm nm
GM a C S V r
GM a C S U r
GM a C S T r
TGM a C S N r
TGM a C S T g r
r
N NGM a C S
, , ), ( , , )r r
![Page 20: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/20.jpg)
Kartezyen koordinatlar için Gradyan ve Laplace operatörleri, Laplace kısmi diferansiyel denklemi
2 2 22
2 2 2
Gradyan ( ) operatörü: (vektör)
Laplace operatörü: (skaler)
Nabla i j kx y z
x y z
V
x
Vg V
y
V
z
2 0V
Hobson, 1931; Freeden, 1985; Bronshtein vd., 2004
![Page 21: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/21.jpg)
Yerin dış gravite potansiyel alanı (Küresel Harmonik Fonk.)
max
0
( , , ) ( , )
nn
n
n
GM aV r Y
r r
GOCE Level 2 product data handbook. Issue: 4.3. Doc. Nr: GO-MA-HPF-GS-0110; Torge 2001
0
( , ) cos sin (cos )n
GOCE GOCE
nmnm nmn
m
Y C m S m P
yüzey küresel harmonik fonksiyonu
küresel harmonik fonksiyon V = W - Z
( )!
2(2 1)( )!
2(2 1)( )!(cos ) (cos )
( )!
nmnm
nmnm
nm nm
CC n m
Sn n mS
n n mP P
n m
: jeosantrik enlem ( =90°- )
' : jeodezik (elipsoidal) enlem ( '=90°- ')
: indirgenmis enlem ( =90°- )
![Page 22: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/22.jpg)
Normal gravite potansiyel alanı için küresel harmonik fonksiyon Stokes katsayılarının hesabı
( )T V Z U Z
8
0
2(2)
( , ) (cos )
nREFREFn n
n
GM aU r C C P
r r
2
2
0
0 2 4 6 8
'3 2( 1) 1 1
3 3(2 3)(2 1) 4 1
2 ( 1, 2, 3, 4) ; 1; ; ; ;
kREF k
k
REF REF REF REF REF
m eeC k
qk k k
n k k C C C C C
0( , , , ) , , ,...ha f GM U
( )
( )
GOCE s GOCEnGOCE GOCE
nm nm
REF REFGOCE s GOCE
nm nm
C CGM a
GM aS S
( ) ( )
0 0 00 00
( ) ( )
0 0
; 1
0,2,4,6,8 hariç ;
T GOCE S REF T GOCE S
n n n
T GOCE S T GOCE S
nm n nm n
C C C C C
n C C S S
GOCE Level 2 product data handbook. Issue: 4.3. Doc. Nr: GO-MA-HPF-GS-0110.
![Page 23: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/23.jpg)
Gravite anomalilerinin küresel harmonik fonksiyona açılımı
max
20
( , , ) ( 1) ( , )
nn
n
n
GM ag r n Y
r r
Bozucu gravite potansiyellerinin küresel harmonik fonksiyona açılımı
max
0
( , , ) ( , )
nn
n
n
GM aT r Y
r r
Bozucu gravite potansiyeli, gravite anomalisi, jeoid yüksekligi, çekül sapması bileşenlerinin küresel harmonik fonksiyonlara açılımı
max
0
( , , ) ( , )
nn
n
n
GM aN r Y
r r
;T T
nm nmC S
Jeoid yüksekliklerinin küresel harmonik fonksiyona açılımı ;T T
nm nmC S
;T T
nm nmC S
TN
2
P Qg g
TT
r a
GOCE Level 2 product data handbook. Issue: 4.3. Doc. Nr: GO-MA-HPF-GS-0110.
( , , )1 1;
( , , )sin
rN N
ra a
Çekül sapması bileşenlerinin (ƺ, ƞ) küresel harmonik fonskiyona açılımı ;T T
nm nmC S
![Page 24: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/24.jpg)
Yer’in gravite alanı küresel harmoniklerinin bazı özellikleri
10 11 11
21 21
(R/r) : potansiyel ondulasyonlarının genliklerinin küçülme ve büyüme ölçeği
, , : Jeoid ve normal elipsoid orjinleri arasındaki kayıklıklar
C , : Jeoidin dönme kutbunun koordinatları (inersi
n
V V V
V V
C C S
S
min max min max
max max
yal tensör)
Gravite alanının en küçük temsil edilebilirlik çözünürlüğü
1en kısa yarım dalga boyu ( ) (1) veya ( ) 4arcsin (2)
1
Ra n a n
n n
maksimum derece
Stokes katsayısı sayısı
çözünürlük
eşitlik (1) eşitlik (2)
nmax Cnm, Snm [derece] [km] [derece] [km]
75 5776 2.4 266.667 3.016 335.073
180 32761 1.0 111.111 1.266 140.690
360 130321 0.5 55.556 0.635 70.540
![Page 25: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/25.jpg)
NGPS/Nivelman - Nglobal_gravity_model
GRACE GRACE GRACE GRACE GOCE + GRACE
GRACE
Bölge (nivelman noktasi sayisi)
GGM03C EIGEN-GLO4C EIGEN-5C EIGEN-51C EIGEN-6C EGM2008 till d/o 360
Europe (1234)
33.3 33.6 30.2 28.8 27.5 26.9
Germany (675)
18.8 17.8 15.2 14.8 15.4 14.2
Canada (1930)
27.8 25.3 25.1 24.4 22.9 22.9
USA (6169)
34.5 33.9 33.9 33.3 31.6 31.8
Australia (201)
25.8 24.4 24.3 23.3 23.6 23.6
Maksimum d/o : 360 Karesel ortalama hata (RMS) : cm
GRACE science team meeting program, 8-10 August 2011, Austin, Texas. http://www.csr.utexas.edu/grace/publications http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/
![Page 26: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/26.jpg)
• Yükseklik kavramı ve yükseklik çeşitleri • Düşey datum ve düşey kontrol ağları
(örnekler)
![Page 27: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/27.jpg)
0
0
P
p
P
C W W dW gdn
45
0
dyn CH
* CH
g
N CH
Yükseklik çesitleri ve nivelman ile bulunan yükseklik farkına getirilen düzeltmeler
Bernhard Hofmann-Wellenhof ve Helmut Moritz (2006) Physical Geodesy, Second Edition, Springer, Wien, NewYork, ISBN-10 3-211-33544-7.
0 0
0 0
dyn
AB AB AB
B Bi
AB i
AA
H n DC
g gDC dn n
0 0 0
0 0 0
N
AB AB AB
BN Ni A B
AB i A B
A
H n NC
gNC n H H
*
* *0 0 0
0 0 0
AB AB AB
Bi A B
AB i A B
A
H n OC
g g gOC n H H
![Page 28: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/28.jpg)
Jeoid yüksekliği, yükseklik anomalisi, telluroid, kojeoid
( , , ) ( , )W h U h
Franz Barthelmas (2009). Definition of functionals of the geopotential and their calculation from spherical harmonic models. Scientific Technical Report STR09/02. Deutsches Geoforschunszentrum, Potsdam.
0( ( , ), , ) ( 0, )W h N U h U jeoid ve elipsoid
topografya ve telluroid
* NH H N
( , , ) ( , ) ( , , )T T TW h U h g h Molodensky vd. 1962
![Page 29: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/29.jpg)
http://www.geod.nrcan.gc.ca/hm/msl_e.php
Jeoid ve ortalama deniz seviyesi (MSL) ilişkisi
-1.8 m < mean SST (ODT) < + 1.2 m (global ölcekte) (LeGrand et al. 2003)
![Page 30: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/30.jpg)
Gravity for the Re-definition of American Vertical Datum-GRAV-D
National Geodetic Survey (NGS-USA) GRAV-D projesi (Gravity for the Re-definition of American Vertical Datum-GRAV-D) • Uçaktan gravite ölçülerinin gerçekleştirilmesi (en iyi dogrulugu ~2 mgal ) • Yersel gravite ölçülerinin gerçekleştirilmesi • Uydu altimetre ölçülerinden gravite anomalileri (dalga boyu: ~20 km ve gravite anomalisi
belirleme duyarligi ~5 mgal ) ve ortalama deniz yüzeyi modelleri • Ulusal düşey kontrol ağı mareograf istasyonlarından belirlenen ortalama deniz seviyesi
Ulusal gravimetrik jeoid modeli • Jeoid yüzeyinin yüksekliklerini, referans veya global elipsoid yüzeylerinden hesaplayan
modeller • Gravimetrik jeoid modelleri • Hibrid jeoid modelleri • Gravimetrik çekül sapması modelleri • Hibrid çekül sapması modelleri
http://www.ngs.noaa.gov/GRAV-D/ Hasan Yıldız (2012) Yükseklik Modernizasyonu Yaklasimi: Türkiye icin bir inceleme. Harita dergisi. 147, 1-12.
Amaç: Düşey datum sağlamak amaçlı gravite ölçülerine dayanan ülke ölçeğinde 2 cm doğruluğunda hibrid yerel (gravimetrik) jeoid modeli oluşturmak. Proje süresi : 10 yıl. 2021 yılında tamamlanması planlanıyor.
NGVD 1929; NAVD 1988
![Page 31: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/31.jpg)
Kanada nivelman ağı ve Kanada düşey datumu 1928 (CGVD28) modernizasyonu
Avantajlar • Mutlak (global) duyarlıkta iyileşme. • GNSS, global uydu misyonlari ile tam uyum. • Sürdürülebilirlik maliyeti az. • Daglık arazilerde ortometrik yüksekliklerin elde
edilmesi. • Sadece nivelman noktalarında değil tüm yüzey
noktalarında ortometrik yüksekliklerin hızlı ve az maliyetle belirlenebilmesi.
• Nivelman noktalarından çıkış almaya gerek kalmaması.
• Gelecek Uluslararası yükseklik standardlarIna uyum. • Yeni geliştirilen global jeoid modelleri ve uydu
gravite misyonları. • Digital arazi/yükseklik modellerinin sürekli
iyileştirilmesi (ETOPO2, SRTM vd.).
Dez-avantajlar • GNSS teknolojilerine bağımlılık. • Bağıl (ülke içi) düşey konum
doğruluğunun nisbeten düşük olması. • Jeoid modellerinde girdi verilerin
duyarlıkları (örnegin: Stokes integralinden önce gravite anomalilerine getirilen topografya indirgemesi)
Veronneau and Heroux (2007) Canadian Height Modernization: Rational, Status and Plans. Canadian Geodetic Reference System Committe. GeoCongres, Quebec, Canada, 2-5 October 2007.
NRCan/GSD Nivelman-tabanlı düşey datumdan Jeoid-tabanlı düşey datuma geçiş.
![Page 32: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/32.jpg)
Avusturalya, Danimarka, Kanada, Finlandiya, Norveç, Isveç nivelman ağı ve düşey datumu
• Avusturalya 1966-1968 yılları arasında 30 mareograf istasyonundan belirlediği ortalama deniz seviyesini düşey datum olarak kullanmaktadır (Australian height datum (AHD), 1971). Avusturalyanın düşey datumunda ve nivelman ağında problemler var.
• Danimarka 1888-1900 yılları arasında 10 mareograf istasyonundan belirlediği ortalama deniz seviyesini düşey datum olarak kullanmakta.
• Kuzey ülkeleri post-glacial rebound ve Avusturalya haricindeki tüm ülkeler tektonik hareket problemleri ile karşılaşmış.
• Danimarka, Finlandiya ve Isveç nivelman noktalarındaki yükselme hızlarını belirlemişler fakat bilimsel çalışmalar haricinde uygulacılarca pek dikkate alınmamış.
• Mareograf istasyonlarında deniz topografyasının (SST) izlenmesi ihmal edilmiş. • Hepsinde ortalama deniz seviyesi (MSL) sıfır jeopotansiyel yüzey olarak düşünülmüş. • Nivelman noktalarının bir kısmı tahrip olmuş. • Uygulayıcılardan yükseklik datumunun yenilenmesine ilişkin bir talep gelmemiş. • Tayvan, Kuoshio okyanus akıntısının neden olduğu büyük deniz topografyası (SST)
değişimlerine rağmen tek mareograf istasyonundan elde ettiği ortalama deniz seviyesini (MSL) sıfır jeopotansiyel yüzey kabul etmis.
http://www.geod.nrcan.gc.ca/hm/docs_e.php: Height Reference System Modernization Documents
![Page 33: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/33.jpg)
Teşekkür ederim
![Page 34: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/34.jpg)
Ekler
![Page 35: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/35.jpg)
Küresel kutupsal ve elipsoidal koordinat sistemleri
Yer’in gravite jeopotansiyelinin modellenmesinde
Normal elipsoidin gravite potansiyelinin modellenmesinde
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
2 2
2 2
sin cos
sin sin
cos
x u E
y u E
z u
2 2
1
( )
:
90 ; tan ( tan ) ( )
E a b lineer eksentrisite
u noktadan gecen normal elipsoidin
küçük yarı ekseni
bindiregnemiş enlem
a
90 ; : coğrafi enlem
![Page 36: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/36.jpg)
Gravitenin algılanması
• Yunan filozof Aristotle (384-322 BC): Gravitasyon doğal bir olgudur. Maddelerin düşmesine ve yükselmesine (gazlar için) neden olur. Ağır maddeler hızlı düşer(!)
Rönesans dönemi sonrası (15 yüzyil sonrası Avrupası) • Aristotle’den 2000 yıl sonra Galileo Galilei (1564-1642): Gözlem ve ölçülerin bilimsel analizi
ile tüm maddelerin aynı ivemelenme ile yere düştüklerini buldu (fizikçiler icin devasa bir gelişmedir).
• Johannes Kepler (1571-1630): Gezegenlerin yörünge hareketlerini modelleyerek yörüngeler kanunu, alanlar kanunu ve periyotlar kanunu yani gezegensel hareket yasalarını buldu.
• Issac Newton (1642-1727): Tek bir yasa (gravitasyon yasası) bularak tüm evrenin dinamiğini açıklamayı başardı (Philosophiae Naturalis principia mathematica, 1687).
• Pierre Bouguer 1735-1743 yılları arasında Peru’da ilk gravite (mutlak gravite) ölçüsünü
pendulum aleti ile yaptı. • Lagrangre (1736-1813), Gauss (1777-1855) ve Green (1793-1841): Gravitasyonel ivmelenme
ve gravite potansiyeli alanlarını geliştirdi. • Albert Einstein (1879-1955): Genel relativistik teorisi ile gravite alanlarının bir hıza sahip
oldugunu ve bu hızında evrenin eşik hızı olan ışık hızına eşit olduğunu buldu. Işıgın uzayda gravite egrileri boyunca yol aldığını buldu.
• Friedrich Robert Helmert (1843-1917): EKK (Carl Friedrich Gauss, jeodezide EKK), koordinat dönüsümleri ve bir cok jeodezik problemlere iliskin model geliştirdi.
• Stokes, 1849; Pizetti, 1911; Venning Meinesz, 1928; Kellog, 1953; Modelensky, 1962; Heiskanen ve Moritz, 1967; Günter, 1967; Hotine, 1969; Pick vd., 1973; Vanicek ve Krakiwsky, 1982; Moritz, 1989; Jekeli, 1988; Hofmann Wellenhof ve Moritz, 2005; ...
1 2
2 2
m m m GmF G n g G n V
l l l
![Page 37: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/37.jpg)
2 2 2
2 2 2
(Nokta kitle potansiyeli)
Sürekli yoğunluk dağılımına sahip kitle potansiyeli
( ', ', ')( , , ) ' ' '
( ') ( ') ( ')
1W=V+Z= G ( ) (Yer'in gravite potansiyeli)
2
( , , ) (
GMV
l
x y zV x y z G dx dy dz
x x y y z z
dv x yl
GMV r r R
r
) (Sabit yoğunluk dağılımına sahip küre potansiyeli)
Gravite potansiyeli
![Page 38: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/38.jpg)
Dirichlet (birinci) sınır değer problemi
Verilen: s küre yüzeyinde, ( , ', ') kaynak
Aranan: s küre yüzeyi dışında, ( , , ) hedef
sV R
V r
2
' 0 ' 0
2 1( , ) ( , ', ') (cos )sin ' ' '
4n ns
nY V R P d d
1cos [cos cos ' sin sin 'cos( ' )] Kaynak ile hedef arasındaki küresel uzaklık
max1
0
( , , ) ( , )
nn
n
n
RV r Y
r
( , ', ')sV R
( , ', ')sV R
( , ', ')sV R
( , ', ')sV R
( , , )V r
R
r
![Page 39: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/39.jpg)
Neumann (ikinci) sınır değer problemi
Verilen: s küre yüzeyinde, (n yüzey normali doğrultusu) kaynak
Aranan: s küre yüzeyi dışında, ( , , ) hedef
sV
n
V r
2
' 0 ' 0
2 1( , ) (cos )sin ' ' '
4
sn n
VnY P d d
n
1cos [cos cos ' sin sin 'cos( ' )] Kaynak ile hedef arasindaki küresel uzaklik
max1
0
( , )( , , )
1
nnn
n
R YV r R
r n
( , , )V r r
sV
n
sV
n
sV
n
sV
n
n
R
![Page 40: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/40.jpg)
Robin (üçüncü) sınır değer problemi
Verilen: s küre yüzeyinde, (n yüzey normali doğrultusu) kaynak
Aranan: s küre yüzeyi dışında, ( , , ) hedef
ss
VhV k
n
V r
2
' 0 ' 0
2 1( , ) (cos )sin ' ' '
4
sn ns
VnY hV k P d d
n
1cos [cos cos ' sin sin 'cos( ' )] Kaynak ile hedef arasındaki küresel uzaklık
max1
0
( , )( , , )
( / )( 1)
nnn
n
R YV r
r h k R n
( , , )V r r
ss
VhV k
n
n
R2
Jeoid ondülasyonları hesaplanırken
1
hR
k
ss
VhV k
n
ss
VhV k
n
ss
VhV k
n
g
N
T ,
![Page 41: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/41.jpg)
Poincare ve Prey gravite indirgemesi
2
2
0
1
2 4 2
2 2
4 0.3086 0.2238 0.0848
0.0848( )
P
Q P
Q
Q P P Q
gg g dH
H
ggJ G
H
Jh
gG gal km
H h
g g H H
• W=WQ üzerindeki tüm kitleleri kaldır. P noktasında ölçülen g’den çıkar. • P noktasından Q noktasına g’ ye serbest hava indirgemesi yap. • Kaldırdığın kitleleri yerine koy. gP P noktasında ölçülen gravite 1- Bouguer plakasını kaldır....................................................... – 0.1119(HP – HQ) 2- P den Q ya serbest hava indirgemesi yap............................ + 0.3086 (HP – HQ) 3- Bouguer plakasını ekle......................................................... – 0.1119(HP – HQ) Q daki gravite ............... g = gP + 0.0848 gal km-1 x (HP – HQ) km
Bernhard Hofmann-Wellenhof ve Helmut Moritz (2006) Physical Geodesy, Second Edition, Springer, Wien, NewYork, ISBN-10 3-211-33544-7.
![Page 42: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/42.jpg)
Normal elipsoidin dış gravite potansiyel alanı
2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2
0
21
2
21
0 2
1( , ) ( , ) ( )
2
1 1 1( , ) tan (sin ) ( )cos
2 3 2
11 3 tan 3
2
11 3 tan 3
2
U u V u x y
GM E qU u a u E
E u q
u E uq
E u E
b E bq
E b E
Normal elipsoid parametreleri: , , ,a f GM
: noktadan geçen normal elipsoidin küçük yarı ekseni
: noktanın indirgenmiş enlemi
u
![Page 43: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/43.jpg)
Herhangi bir enlem ve yükseklikteki noktanın normal gravitesi
2 2
2 2 2 2
sin cos
sin cos
p ea b
a b
indirgenmiş enlemden (β) normal gravite hesabı
: 0 : ekvatordaki normal gravite
: 90 : kutuplardaki normal gravite
e
p
2 2
2 2 2 2
cos sin
cos sin
e pa b
a b
cografi enlemden (ϕ) normal gravite hesabı
2 2
2
2 2
2 31 (1 2 sin )h f m f h h
a a
a bf
a
a bm
GM
( , , , )a f GM
: noktanın sferoid yüzeyinden yüksekliğih
![Page 44: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/44.jpg)
( , , ) ( 0, ) ( , , )W h N U h g h N
( , , ) ( , ) ( , , )W h U h g h
( , , ) ( , ) ( , , )T T TW h U h g h
Molodensky vd. 1962
Bozucu gravite, gravite anomalisi
![Page 45: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/45.jpg)
Yer’in gravite alanı küresel harmoniklerinin bazı özellikleri
2
max
10 11 11
( 1) : harmonik katsayıların sayısı
(R/r) : potansiyel ondulasyonlarının genliklerinin
küçülme (downward continuation) ve büyüme (altitude) ölçeği
, , : Jeoid ve normal elipsoid orjinleri aras
n
V V V
n
C C S
21 21
min max
max
ındaki kayıklıklar
C , : Jeoidin ortalama dönme kutbunun koordinatları (inersiyal tensör)
Gravite alanının en küçük temsil edilebilirlik çözünürlüğü
en kısa yarım dalga boyu ( ) (1) veya
V VS
Ra n
n
min max
max
1( ) 4arcsin (2)
1a n
n
maksimum derece
Stokes katsayısı sayısı
çözünürlük
eşitlik (1) eşitlik (2)
nmax Cnm, Snm [derece] [km] [derece] [km]
75 5776 2.4 266.667 3.016 335.073
180 32761 1.0 111.111 1.266 140.690
360 130321 0.5 55.556 0.635 70.540
![Page 46: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/46.jpg)
Astrojeodezik çekül sapması bileşenleri (ƺ, ƞ)
( ) cos
jeoid normali , astronomik koordinatlar ,
elipsoid normali ', elipsoidal koordinatlar ,
n
n
Bernhard Hofmann-Wellenhof ve Helmut Moritz (2006) Physical Geodesy, Second Edition, Springer, Wien, NewYork, ISBN-10 3-211-33544-7.
![Page 47: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/47.jpg)
Çekül sapması bileşenlerinin (ƺ, ƞ) küresel harmonik fonskiyona açılımı
1 1;
sin
N N
a a
max
max
0 00
0 00
(cos )( , , ) cos sin
( , , ) sin cos cossin
nn nT T nmnm nm
n m
nn nT T
nm nm nm
n m
PGM ar C m S m
a r r
GM ar mC m mS m P
a r r
,1
,
,0 ,2
, 1 , 1
2 ( 1) (cos ) ( 0)(cos )
2 2 ( 1) (cos ) ( 1)( 2) (cos ) ( 1)
( )( 1) (cos ) ( )( 1) (cos ) ( 1)
n
n m
n n
n m n m
n n P mP
n n P n n P m
n m n m P n m n m P m
GOCE Level 2 product data handbook. Issue: 4.3. Doc. Nr: GO-MA-HPF-GS-0110.
![Page 48: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/49.jpg)
Dru A. Smith (1997) The impact of the permanent tide on GEOID96, G96SSS and NAVD88. Presented at the spring meeting of the American Geophysical Union, Baltimore, Maryland, 27 May 1997.
![Page 50: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/50.jpg)
Dru A. Smith (1997) The impact of the permanent tide on GEOID96, G96SSS and NAVD88. Presented at the spring meeting of the American Geophysical Union, Baltimore, Maryland, 27 May 1997.
![Page 51: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/51.jpg)
Dru A. Smith (1997) The impact of the permanent tide on GEOID96, G96SSS and NAVD88. Presented at the spring meeting of the American Geophysical Union, Baltimore, Maryland, 27 May 1997.
![Page 52: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/52.jpg)
Yükseklik anomalisi ve Telluroid (Hirvonen, 1960, 1961)
Her P topografya noktasındaki gerçek gravite potansiyeline (Wp) eşit olan normal gravite potansiyeline (UQ) sahip bir Q noktası vardır. Q noktalarının oluşturduğu yüzeye Telluroid denir.
N
N
h H
h H
Ellipsoid height = normal height + height anomaly
( , , ) ( , )W h U h
![Page 53: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/53.jpg)
Yerin dış gravite potansiyel alanı (Küresel Harmonik Fonk.)
max
2
( , , ) 1 ( , )
nn
n
n
GM aV r Y
r r
: Jeoid (sınır yüzey) dışında bir noktanın jeopotansiyeli
: Yer'in merkezinden radyal uzaklık
( , ) : Küresel kutupsal koordinatlar
:Hesap noktasının Yer merkezli ko-enlemi
: Newton gravitasyon sabiti
: Yer'in atmoferide
V
r
G
M
8 3 -2
kapsayan kitlesi
: örnegin: 3986004.415×10 m s (EGM2008)
: Yer elipsoidinin ekvatoral yarıçapı (örneğin:6378136.3 m: EGM2008)
: normalleştirilmiş Legendre Fonksionu
, : dalga numaraları (derece, mertebe)
nm
GM
a
P
n m Torge 2001; Hofmann-Wellenhof ve Moritz, 2005; Pavlis vd., 2008
0
( , ) cos sin (cos )n
nmnm nmn
m
Y C m S m P
yüzey küresel harmonik fonksiyon
küresel harmonik fonksiyon : V = W - Z
![Page 54: Gravite ve Yükseklikyunus.hacettepe.edu.tr/~kteke/index_files/presentations/... · 2012-04-01 · V 20 2.derece, 0. mertebe küresel harmonik fonksiyonu: Zonal gel-git potansiyeli](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021611/5cfe1b4c88c99303098c37d7/html5/thumbnails/54.jpg)
GRACE uydularindaki ölcü aletleri
KBR (K-band ranging system): Iki uydu arasindaki mesafeyi 10-6 metre (sac kili genisligi) duyarlikta belirleyen uzunluk ölcme sistemi. Iyonosfer gecikmesinin modellenmesi icin iki farkli frekans (K-band : 24 ve Ka-band: 32 GHz) kullanir. USO (Ultra Stable Oscillator): KBR uzunluk ölceri icin frekans duyarligi cok yüksek oscilatör (dalga üreteci). ACC (SuperSTAR Accelorometers): Uyduya etkiyen gravitasyonel olmayan ivmelenmeleri duyarli olarak ölcer. (SCA) Star Camera Assembly: Yildizlarin konumlarina göre iki uydunun birbirlerine olan dönüklüklerini ölcer. (MTA) Center of Mass Trim Assembly: uydunun agirlik merkezi ile ivmelenme merkezi arasindaki ofsetleri ölcer. (GPS) Black-Jack GPS Receiver and Instrument Processing Unit: Uydularin hassas konumlarini GPS uydularina olan mesafelerin ölcümü sonucu belirler. GSA (Globalstar Silicon Solar Cell Arrays): Uydunun enerjisini saglayan ve dis kisimini saran paneller.
http://www.csr.utexas.edu/grace/