Tema 5Tema 5CosmologíaCosmología

GravitaciónGravitaciónGravitación Gravitación UniversalUniversalUniversalUniversal

Profesor.Profesor.-- Juan J. Sanmartín RodríguezJuan J. Sanmartín Rodríguez

IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

TychoTycho BraheBrahe (1546(1546--1601)1601)TychoTycho BraheBrahe (1546(1546--1601)1601)

Danés notable, perdió la vida en unduelo El Rey Federico II le dio una islapequeña para que construyera el mejorpequeña para que construyera el mejorobservatorio del mundo.

Diseñó, construyó y usó instrumentos muy precisospara medir las posiciones del cielo Mantuvo grandespara medir las posiciones del cielo. Mantuvo grandesmarcas por años. Ayudó a Kepler a tratar de entenderel movimiento de Marte. Construyó un modelo con elSol girando alrededor de la Tierra pero los planetasSol girando alrededor de la Tierra, pero los planetasorbitando al Sol. Encontró que los cometas se muevenentre las órbitas de los planetas (no Tolemaico). Elmovimiento de Marte aún no se explicao e o de a e aú o se e p cacompletamente.

Galileo Galilei (1564Galileo Galilei (1564 1642)1642)Galileo Galilei (1564Galileo Galilei (1564--1642)1642)1609 G lil G lil i (1564 1642) b l i l1609 Galileo Galilei (1564-1642) observa el cielo conel telescopio e inicia la etapa de la astronomíainstrumental. En los años siguientes observó:montañas en la Luna manchas en el Sol fases en elmontañas en la Luna, manchas en el Sol, fases en elplaneta Venus. De manera similar detectó que la VíaLáctea estaba compuesta por numerosas estrellas.

Uno de los primeros en usarexperimentos para deducir leyesexperimentos para deducir leyesfísicas: leyes de movimiento, velocidad,aceleración, inercia, péndulo, cuerposcayendo.cayendo.• Usó telescopios para la astronomía.• Después de su excepticismo inicial,adoptó el modelo de Copérnico ya que

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p p y qlas evidencias empíricas lo apoyaban.

Descubrimientos de GalileoDescubrimientos de Galileo

Los cuerpos celestes no sonLos cuerpos celestes no sonperfectos: montañas sobre la luna,manchas solares.

La Tierra no es solamente el centrod ió ( j L d J i )de rotación (p.ej. Lunas de Jupiter).

Venus pasa por el frente y pord t ás d l S l (n pu d cu i si ldetrás del Sol (no puede ocurrir si elsistema de Tolomeo es correcto).

Johannes Kepler 1571Johannes Kepler 1571 16301630Johannes Kepler 1571Johannes Kepler 1571--16301630Nació enfermo y pobre.Nació enfermo y pobre.

Johannes Kepler (1571-1630) publica su obra “Elmisterio del Universo” obra de enfoque casi místico.E ib f él b " t M t Jú it

1604: Reporta la presencia de una "estrella nueva" en

Escribe su frase célebre "entre Marte y Júpiter yocoloco un planeta“.

1604: Reporta la presencia de una "estrella nueva" enla constelación del Serpentario.

1609: Publica las dos primeras leyes sobre el movimiento de los planetas enel Sistema Solar en el libro "Astronomia nova".

1611: Publica “Dioptrik” el primer tratado sobre las bases numéricas de laóptica.

1619 Johannes Kepler (1571-1630) publica la tercera ley del movimientoplanetario en su libro "Harmonices mundi".

JohannesJohannes KeplerKepler 15711571 16301630Johannes Johannes KeplerKepler 15711571--163016301621 Will b d S ll (1591 1626) d b l f ió d l l1621 Willebrod Snell (1591-1626) descubre la refracción de la luz.

1627 Johannes Kepler (1571-1630) publicaT b l R d l hi (T bl R d lfi )sus Tabulae Rudolphinae (Tablas Rodolfinas),

que constituyeron la base para el cálculo delos movimientos planetarios. Estas tablasobtienen su nombre del Emperador Rodolfo IIobtienen su nombre del Emperador Rodolfo IIde Alemania, al cual fueron dedicadas. Enellas se predice por primera vez el tránsito deVenus y Mercurio por el disco del Sol para1631

1619 Johannes Kepler (1571-1630) postula

1631.

la existencia de un viento solar en suexplicación de la dirección de la cola de loscometas.

Leyes deLeyes de KeplerKeplerLeyes de Leyes de KeplerKepler

ElipsesElipsesElipsesElipsesUna elipse es un ejemplo de una “secciónó i ” L í l l hi é b lcónica”. Los círculos y las hipérbolas

pertenecen a otra familia. Todas son formasposibles de órbitas.

Una elipse se puede hacer con doscuerdas un lápiz Las cuerdas están en elcuerdas un lápiz. Las cuerdas están en elfoco y si se alejan uno del otro, la elipsees mas excéntrica (una sola cuerda haceun circulo.un circulo.

Leyes deLeyes de KeplerKepler Primera LeyPrimera LeyLeyes de Leyes de KeplerKepler –– Primera LeyPrimera LeyLosLos planetasplanetas sese muevenmueven enen órbitasórbitas elípticaselípticas concon elel SolSol enen unouno dede loslos focosfocosLosLos planetasplanetas sese muevenmueven enen órbitasórbitas elípticas,elípticas, concon elel SolSol enen unouno dede loslos focosfocos..Nota: no hay nada en el otro foco o en el centro

Leyes deLeyes de KeplerKepler Segunda LeySegunda LeyLeyes de Leyes de KeplerKepler –– Segunda LeySegunda LeyElEl radiovectorradiovector (línea(línea imaginariaimaginaria queque uniríauniría elel solsol concon cadacada planeta)planeta) barrebarre áreasáreasElEl radiovectorradiovector (línea(línea imaginariaimaginaria queque uniríauniría elel solsol concon cadacada planeta)planeta) barrebarre áreasáreasigualesiguales enen tiempostiempos igualesiguales

De esto tenemos que deducir que si elq qSol está en uno de los focos de la elipse(Primera Ley), habrá un momento enque el planeta esté más cerca del Sol ypor lo tanto tendrá que ir más rápido ensu órbita para barrer un área igual

Segunda Ley quiere decir que los planetasSegunda Ley quiere decir que los planetasgiran alrededor del Sol mas rápido cuandoestán mas cerca de él. Estas leyes valen paracualquier cosa que esté orbitando alrededorq qde cualquier cosa debido a la gravedad.

Segunda Ley de Kepler AnimadaSegunda Ley de Kepler AnimadaSegunda Ley de Kepler AnimadaSegunda Ley de Kepler Animada

Leyes deLeyes de KeplerKepler Tercera LeyTercera LeyLeyes de Leyes de KeplerKepler –– Tercera LeyTercera LeyQueQue loslos cuadradoscuadrados dede loslos periodosperiodos dede revoluciónrevolución dede loslos planetasplanetas divididodivididoentreentre elel cubocubo dede sussus radiovectoresradiovectores permanecepermanece constanteconstante..

LaLa formaforma masmas generalgeneral dede estaesta leyley eses::

T.- periodo del planeta, tiempo que tarda en dar unavuelta a su órbita.R.- radiovector, linea que une el Sol con cada planeta.

.3

2

CteRTplaneta =

Según esto podemos expresar:

, q pRplaneta

...3

2

3

2

3

2

=== JupiterMarteTierra

RT

RT

RT

JupiterMarteTierra RRR

Sabemos que la distancia de la Tierra al Sol son aprox. 150.000.000 Km yq p ysu periodo es de 1 año = 365,25 dias

Problema: El planeta Saturno, es el Sr. de los anillos del Sistema solar y elsexto en su posición con respecto al sol. Dados los siguientes datos calcula elp p gperiodo de Saturno. Consideramos el periodo de la Tierra como 365 díasDSATURNO-SOL=1.429.400.000 km.DTIERRA-SOL= 149.000.000 km.TIERRA SOL

10410004004291 12mkmR ⋅==

¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.

.1049,1000.000.149

.104,1000.400.429.111mkmR

mkmR

SolTierra

SolSaturno

⋅==

==

−

−

( ) 2222 365 TTT

Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)

( )( ) ( )312

2

3113

2

3

2

104,11049,1365

⋅=

⋅⇒= Saturno

Saturno

Saturno

Tierra

Tierra TRT

RT

( ) ( ) diT 510512104,1365 3122 ⋅⋅( ) ( )( ) diasTsaturno 5,10512

1049,1,

311=

⋅=

Problema: Supongamos ahora un planeta que tarda 200 días en dar una vueltaal Sol, Calcula a que distancia se encuentra de este., qDTIERRA-SOL= 149.000.000 km.Consideramos el periodo de la Tierra como 365 dias

¡¡Cuidado con los datos!! Tienen que estar en el S I

.1049,1000.000.149 11mkmR SolTierra ⋅==−

¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.

Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)

( )( )

( )3

2

311

2

3

2

3

2 20010491

365planetaTierra

RRT

RT

=⇒= ( )111049,1 planetaplanetaTierra RRR ⋅

( ) ( )( )

=⋅⋅

= 32

2311

3652001049,1

planetaR( )2365p

Leyes deLeyes de KeplerKepler AmpliaciónAmpliaciónLeyes de Leyes de KeplerKepler –– AmpliaciónAmpliaciónLaLa formaforma masmas generalgeneral dede estaesta leyley (esencial(esencial parapara determinardeterminar todastodas laslas

t í )t í )masasmasas enen astronomía)astronomía) eses::

MaT3

2 ∝centralM

Para los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central) si lasPara los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central), si lasunidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) enaños, la constante de proporcionalidad es 1.

Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital?

211125;125532 ==== TT 2.11125;1255 ==== TT

Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba quesurgían debido a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través deun magnetismo.

Leyes de Leyes de KeplerKepleryy pp

Ley de la Gravitación UniversalLey de la Gravitación UniversalLey de la Gravitación UniversalLey de la Gravitación UniversalLa gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley deLa gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley deNewton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.

21 mmGF ⋅=

r

La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de la

2dGF iagravitator ⋅=

g p qconstante de la gravitación G, en unidades métricas,

mNG2

111076 ⋅−

Por lo tanto, se requieren masas grandes para poder sentir una fuerza

KgG 11107,6 ⋅=

Por lo tanto, se requieren masas grandes para poder sentir una fuerzaapreciable, p.ej. La masa de la Tierra es 5,98x1024 kg.

A pesar de la masa grande de la Tierra, la fuerza gravitacional que sientes en lap g , g qsuperficie de la Tierra, tú peso, es solamente unos cuentos cientos de Newtons.

Para el calculo de la fuerza gravitatoria de un objeto o persona sobre lasuperficie de un planeta, la distancia d entre ambos cuerpos es el radio delplaneta.

/21 personaobjetoplaneta mMGmmGF

⋅⋅r2

/221

planeta

personaobjetoplanetaiagravitator R

Gd

GF ⋅=⋅=

En el caso de un satélite girando alrededor del planeta, al radio del planetatenemos que sumarle la altura, es decir, d=Rplaneta+h+h..

2221

)( hRmM

GdmmGF

planeta

satéliteplanetaiagravitator +

⋅⋅=

⋅⋅=

r

)( planeta

Y para el caso de dos cuerpos celestes..

221

221 cuerpocuerpo

iagravitator dMM

GdmmGF

⋅⋅=

⋅⋅=

r

separag dd

Problema: Calcula la fuerza gravitatoria con la que la tierra atrae a una personad 70 k dde 70 kg. de masa.Datos necesarios: MTIERRA= 5,98x1024 Kg ; RTIERRA=6400 Km.

¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.

( ) NRmM

GFTierra

personaTierraiagravitator 7,681

104,6701098,51067,6 26

2411

2 =⋅

×⋅⋅⋅=

⋅⋅= −

r

( )Tierra 104,6

Muy parecido a si calculamos el peso por la fórmula de los temas anteriores.

NgmPeso 7,68681,970 =⋅=⋅= NgmPeso 7,68681,970

Es por lo que definimos…

Intensidad de campo gravitatorioIntensidad de campo gravitatorioIntensidad de campo gravitatorioIntensidad de campo gravitatorioSi igualamos las dos formas de calcular la atracción de un cuerpo por unSi igualamos las dos formas de calcular la atracción de un cuerpo por unplaneta.

PesogmmM

GF personaplanetaii =⋅=

⋅⋅=

r

Entonces se deduce que:

Pesogmd

GF personaplaneta

iagravitator 2

q

2planeta

planeta

dM

Gg ⋅=r

Definimos entonces g como intensidad de campo, que en la superficieterrestre será…

planeta

24

( ) smgterrestre 81,974,9

104,61098,51067,6 26

2411 ≈=

⋅

⋅⋅= −r

La diferencia está en la aproximación de las cantidades.

Problema: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más pequeño.Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km. Calcula:

El d d 87 k l fi i d M ia. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de Mercurio.b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio.c. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg. situado a 400 km. de

altura.?d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite.

Apartado a).- Como en el problema anterior…

( ) NR

mMGF personamercurio

iagravitator 75,7987103,31067,6 26

2311

2 =×⋅

⋅⋅=⋅

⋅= −r

( )Rmercurioiagravitator

109,4 262⋅

Apartado b).- Para el cálculo de la intensidad de campo, es decir, para la g enMercurio…

M 1033 23⋅

( ) sm

RMGgmercurio

mercurio 92,0109,4103,31067,6 26

112 =

⋅

⋅⋅⋅=⋅= −r

Apartado c).- Ahora vamos a calcular la fuerza con que Mercurio atrae al satélite, al serla altura a la que orbita considerable frente al radio de Mercurio tenemos quela altura a la que orbita considerable frente al radio de Mercurio tenemos queconsiderarla…

( ) NhRmMGFsatélitemercurio

satélitemercurioiagravitator 43,313

104109,4400103,31067,6

)( 256

2311

2 =⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅=

+⋅

⋅= −r

( )

Apartado d) Y para finalizar calculamos la intensidad de campo a esa alturaApartado d).- Y para finalizar calculamos la intensidad de campo a esa altura…

( ) sm

hRMGg

téliti

mercurio 78,01041094

103,31067,6)( 256

2311

2 =⋅+⋅

⋅⋅⋅=

+⋅= −r

( )hR satélitemercurio 104109,4)( ⋅+⋅+

¿Porqué no se caen los Satélites?¿Porqué no se caen los Satélites?¿Porqué no se caen los Satélites?¿Porqué no se caen los Satélites?Hasta ahora vimos la fuerza con la que atrae un planeta a los cuerpos, en elHasta ahora vimos la fuerza con la que atrae un planeta a los cuerpos, en elcaso de un satélite

21 mMmm satéliteplaneta ⋅⋅r22

21

)( hRG

dmmGF

planeta

satéliteplanetaiagravitator +

⋅=⋅=

Tiene que haber una fuerza igual a esta que evite que el satélite caiga.

¿Cuál es esta Fuerza?¿Cuál es esta Fuerza?

Para explicarlo nos tenemos que ir al Tema I - Cinemática

ACELERACIÓN CENTRÍPETA¿Os acordáis?¿Os acordáis?En el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe aceleración, la aceleración centrípeta.

¿Os acordáis?¿Os acordáis?

Rva2

c =

Cuando viajamos en un vehículo y toma unacurva, la tendencia es a salirnos de la curva. La

R

aceleración centrípeta lo impide al tirar denosotros hacia dentro de la curva.

Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la aceleración centrípeta.

Tenemos una Fuerza centrípeta que evitaque nos salgamos de la curva encontraposición con una Fuerza Centrífugacontraposición con una Fuerza Centrífuga.

Fuerza CentrífugaFuerza CentrífugaLa fuerza centrífuga (F) no es una fuerza propiamente tal, sino que esproducida por la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos

gg

tienden a seguir una trayectoria tangencial a la curva que describen. La fuerzacentrífuga aumenta con el radio del giro (r) y con la masa (m) del cuerpo.

2

giro

girocuerpocentrífugacuerpocentrífuga R

vmamF

2

⋅=⋅=r

g

Y por lo tanto, la Fuerza Gravitatoria es contrarrestada por esta FuerzaCentrífuga, de modo que al igualar ambas fuerzas.

iagravitatorcentrífuga FFrr

= iagravitatorcentrífuga

Obtenemos lo siguiente…

mMv rr ⋅2

iagravitatorcuerpoplaneta

giro

girocuerpocentrífuga F

dmM

GRv

mFrr

=⋅=⋅= 2

Como el Radio de Giro y la Distancia son iguales, obtenemos…

2

2

dmM

Gdv

m cuerpoplanetagirocuerpo

⋅⋅=⋅

dd

Y deducimos Velocidad OrbitalVelocidad OrbitalY deducimos

M

Velocidad OrbitalVelocidad Orbital

dM

Gv planetagiro ⋅=

d

Problema anterior: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el máspequeño. Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km.Calcula:

a. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de Mercurio. anteriorb. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio. anteriorc ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg situado a 400 km dec. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg. situado a 400 km. de

altura?. anteriord. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite. anteriore. Velocidad de giro del satélite.

centrífugagiro

satélitesatélitemercurio

iagravitator FhR

vm

hRmMGF

rr=⋅=

⋅⋅=

)()(

2

2 centrífugasatélitemercurio

satélitesatélitemercurio

iagravitator hRhR ++ )()( 2

MEntonces…

( )hRMGvmercurio

mercuriogiro +

⋅=

Kmm 4733692037103,31067623

11 ⋅−

( ) hKm

smvgiro 4,73369,2037

104109,4,1067,6 56

11 ≈=⋅+⋅

⋅⋅=

Problema: La Luna es el satélite natural de la Tierra. Conociendo los siguiente datos:MLUNA=7,2x1022 Kg.; RLUNA= 1740 km. ; MTIERRA=5,98x1024 Kg.; DTIERRA-LUNA= 384000 km.Calcula:Calcula:

a. El peso de una persona de masa 80 Kg. en la superficie lunar.b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie lunar.c. ¿Con que fuerza atraerá la Tierra a la Luna y viceversa?.¿ q yd. Velocidad de giro lunar.e. Tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta alrededor de la Tierra.

A t d )Apartado a).-

NmM

GF personaluna 912680102,71067622

11 ×⋅⋅ −r

( ) NR

GFluna

personalunaiagravitator 9,126

1074,1,1067,6 26

112 =

⋅⋅⋅=⋅=

Apartado b).-

( ) sm

RMGgluna

luna 59,11074,1102,71067,6 26

2211

2 =⋅

⋅⋅⋅=⋅= −r

( ),

Apartado c).- 2LunaTierra

iagravitator dMMGF ⋅

⋅=r

LunaTierrad −

1091102,71098,510676 202224

11 NF ⋅×⋅−r

( ) .109,11084,3

1067,6 28NF iagravitator ⋅=

⋅⋅⋅=

Apartado d).-

mMGv Tierra 210191098,51067624

11 =⋅

⋅⋅=⋅= −

sdGv

LunaTierragiro 2,1019

1084,31067,6 8 =

⋅⋅⋅=⋅=

−

Apartado e) Calculamos la longitud de la órbita de la lunaApartado e).- Calculamos la longitud de la órbita de la luna…

mrL lunaorbita98

_ 104,21084,322 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ππ

dhssLt orbita

periodo 4,27.1035,2.1035,221019104,2 6

69

=⋅

=⋅=⋅

==dh

hsvgiro

periodo ,243600

,2,1019 ⋅

Velocidad de EscapeVelocidad de EscapeVelocidad de EscapeVelocidad de EscapeL l id d dLa velocidad de escapedepende de la masa y deltamaño del cuerpo. Parala Tierra es cerca de 11la Tierra es cerca de 11km/s. Cuando la velocidadde escape es la velocidadde la luz el cuerpo centralde la luz, el cuerpo centralserá un agujero negro.

Es importante notar queninguna de estasvelocidades depende depla masa del cuerpo queestá orbitando oescapando.

3131

p

Ampliación Ampliación -- Movimiento OrbitalMovimiento OrbitalppLa fuerza de gravedad siemprehace que las cosas caigan Lahace que las cosas caigan. Lapregunta es si la trayectoria dela caída coincide con cualquiersuperficie. La forma de la órbitasuperficie. La forma de la órbitadepende de la velocidad que elcuerpo tenga en un punto dado.

Velocidades bajas recorrerán distanciasmenores, mientras que velocidades grandesrecorrerán distancias mayores. En estoscasos se puede decir que las trayectorias soncerradas. Sí la velocidad es bastante grande(mayor o igual a la velocidad de escape), laorbita será una hipérbola en lugar de unaelipse y el cuerpo no regresará.

Leyes deLeyes de KeplerKeplerLeyes de Leyes de KeplerKepler

GravitaciónGravitaciónGravitaciónGravitación

3434

Explicación de las Leyes de KeplerExplicación de las Leyes de KeplerExplicación de las Leyes de KeplerExplicación de las Leyes de KeplerN t d li t áti t ( d l l ) l ó bitNewton pudo explicar matemáticamente (usando su calculo) que las órbitasde los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo queestos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrarque el periodo y tamaño de una orbita están dados por:que el periodo y tamaño de una orbita están dados por:

32

2 4P π 32

)(a

MMGP

PlanetaSol +=

Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constantegravitacional.

Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa decualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo delcuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna)cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).

Cálculo de la Masa de la TierraCálculo de la Masa de la TierraCálculo de la Masa de la TierraCálculo de la Masa de la TierraSabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna y a laSabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna, y a laluna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cercade 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años.

6

33

102521444001

−∝∝ xaM 622 1025.21064

121400 ==∝∝ x

xPM

Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Asíque la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol Paraque la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol. Parapoder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley deKepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a(metros), G (unidades mks).(metros), G (unidades mks).

EjerciciosEjercicios AmpliaciónAmpliaciónEjercicios Ejercicios -- AmpliaciónAmpliación

¿Cuál sería el periodo orbital de la Tierra si la masa del Sol fuera 9 vecesmayor? Discuta las implicaciones si esto fuera cierto

Suponga que se descubrió un nuevo cometa y que las observacionesindican que su periodo es de 1000 años ¿A qué distancia (promedio) seindican que su periodo es de 1000 años, ¿A qué distancia (promedio) seencuentra del Sol?