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C A P I T U L O– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

5GRAVITACAO

5.1 INTRODUCAO

Por volta de 1666, Newton formulou e verificou numericamente a lei gravitacional que ele publicouem seu livro Principia em 1687. Newton esperou quase 20 anos para publicar seus resultadosporque ele nao podia justificar seu metodo de calculo numerico no qual ele considerou a Terra ea Lua como pontos de massa. Com a formulacao matematica do calculo (que Newton mais tardeinventou), temos mais facilidade para provar hoje o problema que Newton encontrou com maisdificuldade no seculo dezessete.

A Lei de Newton para gravitacao universal declara que cada partıcula puntual de massa atraitodas outras partıculas no universo com uma forca que varia diretamente com o produto das massase inversamente com o quadrado da distancia entre elas. Na forma matematica, escrevemos a leicomo

F = −GmM

r2er (5.1)

onde a uma distancia r da partıcula de massa M uma segunda partıcula de massa m experimentauma forca atrativa (ver Figura 5-1). O vetor unitario er aponta de M para m, e o sinal de menosgarante que a forca e atrativa—isto e, que m e atraıda para M .

Uma verificacao laboratorial da lei e uma determinacao do valor de G foi feita em 1798 pelofısico ingles Henry Cavendish (1731-1810). O experimento de Cavendish, descrito em muitos textoselementares de fısica, usou uma balanca de torcao com duas pequenas esferas fixas nas extermidadesde uma barra leve. As duas esferas foram atraıdas

FIGURA 5-1

por outras duas grandes esferas que podiam ser colocadas em qualquer dos lados das pequenasesferas. O melhor valor para G que foi encontrado ate hoje e 6, 6726± 0, 0008× 10−11N ·m2/kg2.

47

48 - - - 5 / GRAVITACAO

E interessante, embora G e talvez a mais antiga constante fundamental conhecida, conhecemos elacom menos precisao que conhecemos outras constantes modernas fundamentais como e, c e ~.

Na forma da Equacao 5.1, a lei rigorosamente aplica-se somente para partıculas puntuais. Seuma ou ambas partıculas sao substituıdas por um corpo com uma certa extensao, devemos fazeruma hipotese adicional antes de calcularmos a forca. Devemos assumir que o campo de forcasgravitacionais e um campo linear. Em outras palavras, assumimos que isso e possıvel para calculara forca gravitacional lıquida sobre uma partıcula devido as muitas outras partıculas, simplesmentetomando a soma vetorial de todas as forcas individuais. Para um corpo consistindo de umadistribuicao contınua de materia, a soma vem a ser a integral (Figura 5-2):

F = −Gm

∫V

ρ(r′)er

r2dv′ (5.2)

onde ρ(r′) e a densidade de massa e dv′ e o elemento de volume na posicao definida pelo vetor r′

apartir da origem (arbitraria) ate um ponto no interior da distribuicao de massa.

FIGURA 5-2

Se ambos, o corpo de massa M e o corpo de massa m tem extensao finita, uma segundaintegracao sobre o volume de massa ira ser necessario para calcular a forca gravitacional total.

O vetor campo gravitacional g e o vetor representante da forca por unidade de massaexercida sobre uma partıcula no campo de um corpo de massa M . Assim,

g =Fm

= −GM

r2er (5.3)

ou

g = −G

∫V

ρ(r′)er

r2dv′ (5.4)

Observe que a direcao de er varia com r′ (na Figura 5-2).A grandeza g tem dimensoes de forca por unidade de massa, tambem igual a aceleracao.

De fato, proximo da superfıcie da Terra, o valor de g e apenas uma grandeza que chamamos deaceleracao gravitacional constante. Medida com um pendulo simples (ou com alguma variacaomais sofisticada) e suficiente para mostrar que |g| e aproximadamente 9, 80 m/s2 (ou 9, 80 N/kg)na superfıcie da Terra.

5.2 POTENCIAL GRAVITACIONAL

O vetor campo gravitacional g varia com 1/r2 e por isso satisfaz a condicao ∗ que permite g serrepresentado como o gradiente de uma funcao escalar. Portanto, podemos escreve-la

g ≡ −∇Φ (5.5)

∗Isto e, ∇× g ≡ 0.

Projeto AIUTA – Mecanica Classica I (UNIFRA–2004)

5.2. POTENCIAL GRAVITACIONAL - - - 49

onde Φ e chamado potencial gravitacional e tem dimensoes de (forca por unidade de massa) ×(distancia) ou energia por unidade de massa.

Como g tem somente uma variacao radial, o potencial Φ pode ter no maximo uma variacaocom r. Portanto, usando a Equacao 5.3 para g, temos

∇Φ =dΦdr

er = GM

r2er

Integrando, obtemos

Φ = −GM

r(5.6)

A possıvel constante de integracao foi suprimida, porque o potencial e indeterminado a menosde uma constante aditiva; isto e, somente diferencas no potencial sao significativas, e nao valoresparticulares. Normalmente, retiramos a ambiguidade do valor do potencial requerendo arbitrari-armente que Φ → 0 como r →∞; entao, a Equacao 5.6 nos da corretamente o potencial para essacondicao.

O potencial devido a uma distribuicao contınua de materia e:

Φ = −G

∫V

ρ(r′)r

dv′ (5.7)

Da mesma forma, se a massa e distribuıda somente sobre uma casca fina (isto e, uma distri-buicao superficial), entao:

Φ = −G

∫S

ρs

rda′ (5.8)

onde ρs e a densidade superficial de massa.Finalmente, se existe uma fonte linear, com uma densidade linear de massa ρl, entao

Φ = −G

∫Γ

ρl

rds′ (5.9)

O significado fısico da funcao potencial gravitacional torna-se mais claro se considerarmos otrabalho por unidade de massa dW ′, o qual deve ser feito por um agente externo, em um campogravitacional para deslocar o corpo uma distancia dr. Nesse caso, o trabalho e igual ao produtoescalar da forca e do deslocamento. Entao, para o trabalho feito sobre um corpo por unidade demassa, temos

dW ′ = −g · dr = (∇Φ) · dr

=∑

i

∂Φ∂xi

= dΦ (5.10)

como Φ e uma funcao somente das coordenadas do ponto no qual e medido: Φ = Φ(x1, x2, x3) =Φ(xi). Portanto a quantidade de trabalho por unidade de massa que deve ser feita sobre umcorpo para move-lo de uma posicao para outra em um campo gravitacional, e igual a diferenca depotencial entre os dois pontos.

Se a posicao final esta mais afastada da fonte de massa M do que a posicao inicial, o trabalhofoi feito sobre a unidade de massa. As posicoes dos dois pontos sao arbitrarias, e podemos fazer umdeles tender ao infinito. Se definirmos o potencial para ser zero no infinito, podemos interpretarΦ em qualquer ponto para como sendo o trabalho por unidade de massa requerido para trazer ocorpo do infinito ate tal ponto. A energia potencial e igual a massa do corpo multiplicada pelopotencial Φ. Se U e a energia potencial, entao

U = mΦ (5.11)



e a forca sobre um corpo e dada pelo negativo do gradiente da energia potencial de tal corpo,

F = −∇U (5.12)

a qual e justamente a expressao que havıamos usado anteriormente (Equacao 2.88).Notamos que ambos, o potencial e a energia potencial, aumentam quando o trabalho e feito so-

bre o corpo. (O potencial de acordo com a nossa definicao, e sempre negativo, e somente aproxima-se do valor maximo, o qual e zero, se r tender para o infinito.)

Uma certa energia potencial existe sempre que um corpo e localizado em um campo gravi-tacional de uma fonte de massa. Essa energia potencial reside no campo,∗ mas e usual, conformeessas circunstancias, falar da energia potencial “do corpo”. Continuaremos essa pratica aqui. Po-demos tambem considerar a propria fonte de massa como tendo uma energia potencial intrınseca.Essa energia potencial e igual a energia gravitacional liberada quando o corpo foi formado ou, demodo oposto, e igual a energia que deve ser fornecida (isto e, o trabalho que deve ser feito) paradispersar a massa ao longo da esfera ate o infinito. Por exemplo, quando um gas interestelar econdensado para formar uma estrela, a energia gravitacional liberada vai em grande quantidadepara o aquecimento da estrela. Assim, a temperatura aumenta, a energia e irradiada da estrela,como radiacao eletromagnetica. Em todos os problemas que tratamos, consideramos a estruturados corpos inalterados durante o processo que estamos estudando. Entao, nao existe mudanca naenergia potencial intrınseca, e essa pode ser desprezada em qualquer calculo que estamos fazendo.

Os resultados do Exemplo 5.1 sao muito importantes. A Equacao 5.19 condiciona que o po-tencial em qualquer ponto fora da distribuicao esfericamente simetrica de materia (casca ou solida,porque os solidos sao compostos por muitas cascas) e independente do tamanho da distribuicao.Portanto, para calcular o potencial externo (ou a forca), consideramos toda a massa concentradano centro. A Equacao 5.20 indica que o potencial e constante (e a forca e zero) em qualquer pontodo interior de uma casca de massa com simetria esferica. E, finalmente, nos pontos internos deuma casca de massa, o potencial dado pela Equacao 5.21 e consistente com ambos os resultadosanteriores.

∗Ver, contudo, o comentario do final da Secao 9.5 considerando a energia em um campo.


5.2. POTENCIAL GRAVITACIONAL - - - 51

FIGURA 5-3

A magnitude do vetor campo g pode ser calculada de g = −dΦ/dR para cada uma das tresregioes. Os resultados sao

g(R < b) = 0

g(b < R < a) =4πρG

3

(b3

R2−R

)

g(R > a) = −GM

R2

Notamos que nao somente o potencial mas tambem o campo vetorial (e portanto, a forca ) saocontınuos. A derivada do vetor campo, porem, nao e contınuo atraves da superfıcie interna ouexterna da casca.

Todos esses resultados para o potencial e o vetor campo podem ser resumido como na Figura5-4.

EQUACAO DE POISSON

E util comparar estas propriedades do campo gravitacional com alguns resultados familiares daeletrostatica que foram determinados na formulacao das equacoes de Maxwell. Consideramos umasuperfıcie arbitraria como na Figura 5-4 com uma massa m localizada internamente em algumlugar. Similar ao fluxo eletrico, vamos achar o fluxo gravitacional Φm proveniente da massa matraves da superfıcie arbitraria S.

Φm =∫

S

n · g da (5.13)

onde a integral e sobre toda a superfıcie S e o vetor unitario n e normal a superfıcie a diferencialde area da. Se substituirmos g da Equacao 5.3 para o vetor campo gravitacional para uma massam, teremos um produto escalar n · g,

n · g = −Gmcos θ

r2



FIGURA 5-4

onde θ e o angulo entre n e g. Substituindo este na Equacao 5.13 obteremos

Φm = −Gm

∫S

cos θ

r2da

A integral e sobre um angulo solido da superfıcie arbitraria e tem valor 4π radianos, dando o fluxode massa

Φm =∫

S

n · g da = −4πGm (5.14)

Note que nao existe materia onde a massa esta localizada dentro da superfıcie S. Podemos ge-neralizar este resultado para varias massas mi dentro da superfıcie S somando sobre todas asmassas. ∫

S

n · g da = −4πG∑

i

mi (5.15)

Se mudarmos para uma distribuicao continua de massa dentro da superfıcie S, temos∫S

n · g da = −4πG

∫V

ρ dv (5.16)

onde a integral no lado direito e sobre o volume V encerrado por S, ρ e a densidade de massa, edv e a diferencial de volume. Usamos o teorema da divergencia de Gauss para escrevermos esteresultado. O teorema da divergencia de Gauss, Equacao 1.130 onde da = n da, e∫

S

n · g da =∫

V

∇ · g dv (5.17)

ent Se igualarmos os lados direito das Equacoes 5.16 e 5.17, teremos∫V

(−4πG)ρ dv =∫

V

∇ · g dv

e por causa da superfıcie S, este volume V , e completamente arbitrario, as duas integracoes devemser iguais.

∇ · g = −4πGρ (5.18)

Este resultado e semelhante a forma diferencial de Gauss para lei do campo eletrico, ∇ ·E = ρ/ε,onde ρ neste caso e a densidade da carga.

Inserindo g = −∇Φ na Equacao 5.18 e obtemos ∇ · g = −∇ ·∇Φ = −∇2Φ. A Equacao 5.18torna-se

∇2Φ = 4πGρ (5.19)

a qual e conhecida como a equacao de Poisson e e util em certas aplicacoes de teoria de potencial.Quando o lado direito da Equacao 5.19 e zero, o resultado ∇2Φ = 0 e uma equacao chamada de


5.3. LINHAS DE FORCA E SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL - - - 53

equacao de Laplace. A equacao de poisson e util no desenvolvimento das funcoes de Green, consi-derando que nos muitas vezes encontramos a equacao de Laplace quando usamos varios sistemasde coordenadas.

5.3 LINHAS DE FORCA E SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL

Vamos considerar uma massa que num campo gravitacional que pode ser descrito pelo vetor campog. Vamos desenhar uma linha externa saindo da superfıcie da massa tal, que a direcao da linhaem cada ponto e mesma direcao de g no ponto. Esta linha se estendera da superfıcie da massa ateo infinito. Tal linha chamada de linha de forca.

Desenhando linhas similares para todo pequeno aumento de area da superfıcie da massa,podemos indicar a direcao do campo de forca em algum ponto arbitrario no espaco. As linhasde forca para um ponto de uma unica massa sao todas linhas retas prolongadas da massa ate oinfinito. Definido desse modo, as linhas de forca estao informando somente a direcao do campo deforca num dado ponto. Podemos considerar, porem, que a densidade de tais linhas – que e, numerode linhas passando por unidade de area orientada perpendicular com as linhas – e proporcional amagnitude da forca pela area. As linhas de forca desenhadas e desse modo adequado para visualizartanto a magnitude quanto a direcao ( isto e, a propriedade do vetor) do campo.

A funcao potencial e definida para todo ponto no espaco ( exceto para posicao do ponto demassa). Logo, a equacao

Φ = Φ(x1, x2, x3) = constante (5.20)

define uma superfıcie no qual o potencial e constante. Tal superfıcie e chamada uma superfıcieequipotencial. O vetor campo g e igual ao gradiente de Φ, assim g nao pode ter componenteao longo da superfıce equipotencial. Portanto, segue que cada linha de forca deve ser normal paracada superfıcie equipotencial. Assim, o campo nao realiza trabalha sobre um corpo movendo-seao longo da superfıce equipotencial. Como a funcao potencial e unica em cada ponto calculado,duas superfıcies equipotenciais nao podem se cruzar ou tocar-se. As superfıcies de igual potencialque circundam um unico, isolado ponto de massa (ou qualquer massa esfericamente simetrica) saotodas esfericas. Considere dois pontos de massa M que sao separados por uma certa distancia. Ser1 e a distancia de uma massa ate algum ponto no espaco e se r2 e a distancia de outra massa ateo mesmo ponto, entao

Φ = −GM

(1r1

+1r2

)= constante (5.21)

define superfıcies equipotenciais. Varias destas superfıcies sao mostradas na Figura 5-5 para estesistema de duas partıculas. Em tres dimensoes, as superfıcies sao geradas pela rotacao destediagrama ao redor de uma linha conectando as duas massas.

5.4 QUAL E O CONCEITO UTIL DE POTENCIAL ?

O uso de potenciais para descrever o efeito de forcas com “acao a distancia” e uma tecnica extre-mamente importante e poderosa. Nao devemos, entretanto, perder de vista o fato que a



FIGURA 5-5

justificativa fundamental para usar um potencial e fornecer um meio conveniente para calculara forca sobre um corpo (ou a energia para o corpo em um campo)– para isto e a forca (e energia)e nao o potencial que e a quantidade fısica significativa. Assim, em alguns problemas pode sermais facil de calcular diretamente a forca, do que achar o potencial e entao tomar o seu gradiente.A vantagem de usar o metodo do potencial e que o potencial e uma grandeza escalar∗. Naonecessitamos estar de acordo com as complicacoes adicionadas na selecao dos componentes de umvetor ate que a operacao do gradiente seja realizada. Em calculos diretos da forca, os componentesdevem ser carregados durante todo o calculo. Algum conhecimento, entao, e necessario na escolhade uma aproximacao para se usar. Por exemplo, se um problema tem uma simetria particularque, de consideracoes fısicas, nos permita descobrir que a forca tem uma certa direcao, entao aescolha de tal direcao e uma das direcoes que reduzira o calculo do vetor para um calculo de umsimples escalar. Em tal caso, o calculo direto da forca pode ser suficientemente simplificado quesera obvio o uso do metodo potencial. Cada problema requer uma forca que deve ser examinadapara descobrir o metodo mais simples para calcula-lo.

∗Iremos ver no capıtulo 7 outros exemplos de funcao escalar das quais podemos obter resultados vetoriais. E ocaso da Funcao Lagrangiana, a qual, para enfatizar a analogia, e algumas vezes (principalmente em tratamentosmais antigos) chamada de potencial cinetico.


5.5. MARES OCEANICAS - - - 55

5.5 MARES OCEANICAS

As mares oceanicas, ha muito desperta o interesse dos humanos. Galileu tentou sem exito explicaras mares oceanicas, mas nao podia explicar o tempo de aproximadamente duas mares altas por dia.Newton finalmente deu uma explicacao adequada. A mare e causada pela atracao gravitacional dooceano entre a lua e o sol, mas existem varios fatores complicadores.

O calculo e complicado pelo fato que a superfıcie da Terra nao ser um sistema inercial.A rotacao da Terra e da Lua em torno de seus centros de massa (e ainda movem-se ao redordo sol), assim devemos considerar que a agua mais proxima da lua sendo “puxada” para forada terra, e a Terra como sendo puxada para fora da agua, para os pontos mais afastados daLua. Entretanto, a Terra gira em trono de seu eixo enquanto a Lua gira em torno da Terra.Vamos inicialmente considerar somente o efeito da Lua, acrescentando o efeito do sol mais tarde.Assumiremos um modelo simples pelo qual a superfıcie da Terra e completamente coberta poragua, e iremos adicionar o efeito de rotacao da Terra num tempo apropriado. Iremos considerar osistema de referencia inercial x′y′z′ como mostrado na Figura 5-6a. Consideraremos Mm como amassa da Lua, r como o raio circular da Terra, e D a distancia do centro da lua ate o centro daTerra. Consideramos o efeito da atracao gravitacional da Lua e da Terra, numa pequena massam localizada na superfıcie da Terra.Como mostrado na Figura 5-6a, o vetor posicao da massa ma partir da Lua e R, e do centro da Terra e r, e de outro sistema inercial r′m. O vetor posicao apartir do sistema inercial ate o centro da Terra e r′E . Como e medido a partir do sistema inercial,a forca em m, devido a Terra e a Lua, e

mr ′m = −GmME

r2er −

GmMm

R2eR (5.22)

Similarmente, a forca sobre o centro de massa da Terra causada pela Lua e

ME r′E = −GMEMm

D2eD (5.23)

FIGURA 5-6

Queremos encontrar a aceleracao r medida num sistema nao inercial localizado no centro da



Terra. Portanto, queremos

r = r′m − r′E =mr′mm

− ME r′EME

= −GME

r2er −

GMm

R2eR +

GMm

D2eD

= −GME

r2er −GMm

(eR

R2− eD

D2

)(5.24)

A primeira parte e devido a Terra, e a segunda parte e a aceleracao da forca devido a mare, aqual e responsavel pela producao das mares oceanicas. Ela e devida a diferenca entre aatracaogravitacional da lua no centro da Terra e a superfıcie da terra.

Encontramos a seguir um efeito da forca devido a mare em varios pontos da terra comomostra a Figura 5-6b. Mostramos uma visao polar da Terra com o eixo polar ao longo do eixo-z.A Forca devido as mares FT sobre a massa m sobre Superfıcie da Terra e

FT = −GmMm

( eR

R2− eD

D2

)(5.25)

onde usamos apenas a segunda parte da Equacao ??. Olhamos primeiro no ponto a, o ponto maisafastado entre Terra e Lua. Ambos vetores unitarios eR e eD apontam ao longo da mesma direcaoexterna da lua ao longo do eixo-x. Como R > D, o segundo termo da equacao 5.25 predomina, ea forca devido as mares ao longo do eixo-x+ e mostrada na Figura 5-9b. Para o ponto b, R < De a forca devido as mares tema a mesma magnitude do ponto a, mas esta ao longo do eixo-x−. Amagnitude da forca devido as mares ao longo do eixo-x, FTx, e

FTx = −GmMm

(1

R2− 1

D2

)= −GmMm

(1

(D + r)2− 1

D2

)

= −GmMm

D2

1(1 +

r

D

)2 − 1

Expandimos o primeiro termo em parenteses usando a expansao (1 + x)−2 na Equacao D.9.

FTx = −GmMm

D2

[1− 2

r

D+ 3

( r

D

)2

− · · · − 1]

= +2GmMmr

D3(5.26)

onde devemos tomar cuidado com o termo mais elevado nao-nulo da expansao, porque r/D = 0.02.Para o ponto c, o vetor unitario eR (Figura 5-9b) nao e completamente igual ao comprimento

eD, mas o componente do eixo-x aproximadamente cancela-se, porque R ' D e o componente-x deeR e eD sao similares. Entao sera um pequeno componente de eR ao longo do eixo-y. Aproximamoso componente-y de eR por (r/D)j, e a forca devido as mares no ponto c, chamada de FT y, e aolongo do eixo-y e tem sua magnitude

FT y = −GmMm

(1

D2

r

D

)= −GmMmr

D3(5.27)

Observe que a forca ao longo do eixo −y tende para o centro da Terra no ponto c. Achamossimilarmente no ponto D a mesma quantidade, mas o componente eR sera ao longo do eixo −y,assim a propria forca, com o sinal da Equacao 5.27, sera ao longo do eixo +y na direcao do centroda Terra. Indicamos que as forcas devido as mares nos pontos a, b, c and d da Figura 5-7a.

Determinamos a forca num potno arbitrario e observando que os componentes x− e y− daforca devido as mares podem ser encontrdas por substituicao de x e y para r em FT x e FT y,



respectivamente, na Equacao 5.26 e 5.27.

FT x =2GmMmx

D3

FT y = −GmMmx

D3

FIGURA 5-7

Entao num ponto arbitrario tal como em e, fazemos x = r cos θ e y = r sin θ, assim teremos



FT x =2GmMmr cos

D3(5.28)

FT y = −GmMmr sinD3

(5.29)

Equacoes 5.28 e 5.29 concedem uma forca devido as mares ao redor da Terra para todos os angulosθ. Note que eles possuem os resultados corretos dos pontos a, b, c, and d.

A Figura 5-7a mostra a representacao da forca devido as mares. Em seu modelo simples, asforcas se orientam ao longo da agua no eixo-y fazendo maior sombra do que ao longo do eixo-x.Mostramos um resultado exagerado na Figura 5-7b. A terra realiza uma revolucao sobre um eixoa cada 24 horas, observamos duas mares altas por dia.

Um calculo rapido mostra que a atracao gravitacional do sol e aproimadamente 175 vezes maisforte do que a da lua sobre a superfıcie da Terra, assim devemos esperar forcas devido as marespor influencia do Sol. O calculo da forca devido as mares e similar ao realizado apenas devido alua. O resultado (Problema 5-18) da forca devido as mares devido ao sol e 0.46 do da lua, umefeito consideravel. A despeito da forte atracao devido ao sol, o gradiente da forca gravitacionalsobre a superfıcie da Terra e muito pequeno, porque existe uma distancia muito grande ate o sol.



As mares mais altas (chamadas mares elasticas) ocorre quando a Terra, Lua e Sol estaoalinhados (Lua nova e Lua cheia), e as mares mais baixas (chamado mares baixas) ocorre noprimeiro e terceiro quarto da Lua quando o sol e a lua possuem angulos reto entre si, cancelandoparcialmente seus efeitos. A maxima mare, ocorre a cada 2 semanas, devendo ser 1.46h = 0.83 mde mare alta.

Um observador que permaneca muito tempo perto do oceano relatara mares tıpicas das praiassao maiores do que as calculadas no Exemplo 5.4. Muitos outros efeitos jogam um papel importante.A terra nao esta completamente coberta por agua, os continentes possuem um papel significativo,especialmente bancos de areia (recifes) e estuarios estreitos. Os efeitos locais podem ser dramaticos,conduzindo a mares de varios metros. As mares no meio do ocenao, todavia, sao similares ao quefoi calculado. Ressonancias podem afetar a oscilacao natural dos corpos de agua e causa alteracoesnas mares. A friccao das mares entre s agua e a Terra levam a uma quantidade significativa deenergia perdida na Terra. A Terra nao e rıgida, e ela tambem distorcida pelas forcas devido asmares.

Em adicao aos efeitos recem discutidos, lembre que a rotacao da Terra, a Lua tambem orbitaao redor da Terra. Isto leva a resultados que nao sao exatamente de duas mares por dia, porqueocorrem uma vez a cada 12 h e 26 mim (Problema 5-19). O plano da orbita da Lua tambem naoe perpendicular ao eixo de rotacao da Terra. Isto causa uma grande mare a cada dia levementemaior que outro. A friccao das mares entre a terra e a agua mencionada anteriormente resulta no“arraste” do oceano terrestre como na rotacao da Terra.

FIGURA 5-9

Isto e o motivo porque as mares altas nao serem exatamente ao longo do eixo Terra-Lua, masseparado alguns graus como mostra a Figura 5-9.


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