Gravina e santarosa

5/11/2018 Gravina e santarosa

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'~~ PGIE-UFRGS Informatics na EduCSfSO : teoria & pratica. ~ ~ ; - - - - - - - - - - - - - - - - - - . _ . _ . _ . _ - - - - . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ . ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -'L

Maria Alice Gravina 1Lucira Maria Costi Santarosa2

A Aprendizagem da MatematicaEm Ambientes Informatizados

Resumo: Este trabaiho anallsa ambientes informali:zados que apresentam rscursns em consonanciacom processo de aprendizagcm ecnstnrnvista, 0 qual lem como pnneipio baslco que 0 c::oohecimentoS9 construe a partir des a~es do sujejto. A luz da teorta de desen\lolvimenla cognitivo de d.Plaqet saodestacados alguns de s reCLJr50S qu a dao suports as lIoes do sujeito e que consequenternerrtefavorecem a construeae do conheclmento maternat lco. Na aprendizagem da Matemalica es.te suports ea possibilidade do "tazsr matemauca: expenmentar. VI S " , a J i za r mu ltip la s tacetas, generalizar,conleturar e enfim oemonsuar. Exemplas de alguns arnbiemes i lustram tal processo.Palavras-ehBYe: aprend izagem ca matsmanca, GOr,strulivjsm o, amojcntes Inform atizados,Abstract: This paper focus on computers environments with resources that favor the development 01 aconstructivist leaming process; such a process is explained by Piaget's theory. wtltch sates thatknowledge grows as a result 01 individuaj actions. Faaturas that support actions in the context ofmathemattcal education are stressed and examples of software are presented to ijuslrate tf1etheoreticalco n sideration s,Key-Words: metnsmatical lsarnlnq, conslructivisrn, computers environments.

1_Introdu~oEste artigo pretende idenHficar '0 que de diferente' oferecem os ambientes intormatlzados que tam-se a disposicao a1ualmente e a que estas dlterencas trazem de siqnificatlvo para 0 pracesso de ensino eaprendizagem da Matematica (segundo grau e series tinais do primelro grau) e para a desenvoJvimentocoqnltivo do individuo.Nila sao de interesse as ferramentas que guardam caractenstlcas de rnetodos de enslno queprivilegiam slmplesrnente a transrnissao de conhecimento e em que a 'medida' de aquisicao deste

conhecimento e dada pela habilidade do aluno em rnernorlza-lo e rsproduzi-lo, sem que se evldenele umverdadeiro entendimento. Mas ssn aquelas que trazem em seus projetes recursos em consonancla comconcepcao de aprendizagem dentro de uma abordagem construtivlsta, a qual tern como prlnclplo que 0conhecimento e eonstru ida a partir de peroepcoas e ac6es do sujeito, constantemente mediadas porestruturas mentais js . construfdas au que va o se construlndo ao longe do processo, tomando-se aqui ateoria do desenvolvimento cognitivo de J.Piaget como base teorica. Esta teo ria rnostra que toda aaprendizagem depende fundamentalmente de a~6es cooroanadas do sujeito, quer sejam de caraterconcreto ou carater abstrato.No contexte da Ma1ematJca, a aprendizagem nesta perspectiva depende de acoss que caracterizamo 'fazer maternatica': experimentar, interpretar, visualizar, induzir, ccnletcrar, ebstrair, generalizar e enfimdernonstrar. E 0aluno agindo, diferentemente de seu papel passive frente a uma apresentacao formal doconhecimento, a qual e base ada essenciatrnente na transmissao ordenada de 'tatos', geralmente na formade defini~es a propriedades. Nurna apresantacao formal 8discursiva, os alunos nao se engajam em ag5esque desafiem suas capacidades cognitivas, sendo-lhes exigido no maximo rnemonzacao e repetiyao, econsequentemente nao sao autores das construcoes que da~ sentido ao conhecimento maternatiec. aprocesso de pssqulsa v~venciado pelo rnaternatico profissional evidencia a inadequabilidade de talabordagem. Na pesquisa rnatemauca , 0 conhecimento e construfdo a partir de muita investigaQao eexploracao, e a tormallzacao e slmplesrnente 0coroamenta deste trabalho, que culmina. na escrita formal eorganizada dos resultados obtidos! 0 processo de aprendizagem deveria ser similar a este, diferindoessencialmente quanta ao grau de conhecimento ja adquirido.

Professora do ourso de Licenciatura em Matematic;!l da UFRGS, Mestre em Matomatica (IMPA-CNPq), Doutoranda em Informatica naEdLJc~~o (UFAGS). protsssora do Curse de Licenoiatura em Matematica (IM.UFRGS}_ ~l_(_f.). r./rgs, ~)r , t1ttp:1I niec_l.Ifrgs.brltop iCQS ie/ andamento_ html;; Professora pasquisadora em Educacao , Doutorada em EdLJca~o iUFRGS) , Ooordenadcra de Pesqolsa do M EE (UFRGS) eprofessora dos prnqrarnas de doutorado em EdLJcat;~o (UFRGS) e Informalica na Educa'tao (UFRGS}, lucilq"(,)cei>uQ-l.Jg".b", http://n ia !; l, u fr gs , o rV, 2 NP1. maio,1999__ 73


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. ; @ i _ P _ G _ I E _ - _ U _ ' F , _ ' R _ G _ S l n _ f o _ r . _ m _ s _ f l _ c s . . ; . _ n _ B . ; . . . . ; , ; ; , ; E . ; . . . d . , ; ; ; ; , u . . ; . . c a ~ f B ; : " . ; ; , ; ; _ - 0 ; . . . . . ; . . : , ; ; . ; t e o . . . . . . . ; . . ; , T . . ; . ; ; i s . . ; . . . . ; ; ; ; & . . : ; p ; ; . ; . r . . . ; ; ; a . . ; . ; t i . . ; , ; , c . . . . ; . 8Durante alguns anos, a linguagem Logo se apresentou como uma das poucas tarramsntascomputacicnais, se nao a unlca, que tinha como concepcao pedag6gica que 'so se aprende tazendo,experlrnentanco, investigando'. No geral as programas disponfvais eram do tipo 'lnstrucao assistida parcornputador'. Nos dias de hoje ainda e o grande a oferta deprogramas naste ultimo tipo, que mesmo tendointerface com lnteressantes recursos de hipermfdia (som, imagem. anirnacao, texto nao linear), nada maisoferecem aos alunos do que ler definil(oes e propriedades e aplica-las em axercicios pratlcos (tipo tutorial)

ou testar e tlxar 'conhecirnentos' atraves da realizacao de exerclcios prototipos e repetitlvos, que no maximoevancam em grau de diflculdade (tipo pratica de exerclcios).Se alrneja-se uma rnudanca de paraciqrna na educac 9 . 0 , e necessarlo ser critico e cuidadoso nesteprocesso de usc da informatica. A informatica por si so. nao garante esta rnudanea, e muitas vezes enganapelo visual atratlvo dos recursos tecnologicos que sao otsrscloos, OS quais simplesmente retcrcam asmesmas caracteristicas do rnodelo de escola que privi legia a transrnissao do conhecimento.Atualrnente dispoe-se de programas cam caractsnstlcas que 05 tornam potentes terramentas para 0ensino e aprendizagem da Ma1ematica dentro de uma perspectiva construtivista e e lsto que quer-seanalisar neste artiqo. Sao programas onds as alunos podem modelar, analisar slmutactes. fazerexperlmentos, coruefurar. Nestes ambientes as alunos expressam, confrontam e refinam suas ideias, e'programam' 0cornputador sern precisar usar rscursos de linguagem de proqramacao, dlterentemente do

que acontece com micro-mundos no ambiente Logo, Utilizam, palo contraric, processes de rsprssentacaomulto proxlrnos dos processes de representacao COm "lapis e papel", nao sendo-lhas exigido aconhecimento e domfnio de uma nova sintaxe e morfologia, aspectos merentes a uma 11nguagem deproqrarnacao.

2. A aprendizagem da Matematica numa perspectlva construtivistaA orientayao que sa de.para a Educ~ao MatematJca certamente depende de concspcoes sobre anatureza do conhecimento matematico (tornado aqui num senti do bern amplo) e de como acomece 0desenvolvimento c og nittv o d o s er h uma ro .A Matematica, coma area de conhecimento, apresenta duas caracteristicas dlstintas:. e o terrarnenta para 0 entencirnento de problemas nas rnais variadas areas do conhecimento.F6rmulas, teoremas e, rnais geralmente, teonas rnatematicas sao usaoos na resolucao de problemasprarlcos e na explicB9ao de fen6merros fisicos, qujrnicos, biol6gicos, socials ... , Nesie senti do, a aspectoimportante e a aplicabilidade da Matem


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..~ PGIE-UFRGS Informatica na EducafSo : teoria & pratlcaSao pelo mundo f1sico; com as geometrias nao-euolldtanas, no secuto XIX, tem-se 0 carater abstrato aoextrema, ja que as axiomas aceitos nao se baseiam rnais na in1ui9ao imedlata: e finalmente 1em-se aaplicagao destas geornetrias no entendimento de problemas da ffsica.

A teoria de desenvolvimento coqnlnvo proposta par J. Piaget, ajuda a cornpreender que Dpensamento rnatematico nao e, em essencia, dlterente do pensamento humano mats geral, no senti do deque ambos req:uerem habilidades como lntulcao, senso com urn , apreciagao de reqularidades, senseestenco, representacao, abstracao e generallzayao, eto.. A dlterenca que pode ser considerada e nouniverso de trabalho: na Matemattca os objetos sao de carater abstrato e sao rlgorosos os criterlos para 0estabelecimento de verdades.

No processc educativo estes dais aspectos da Matematjca devern ser entatlzados igualmente. Umdos grandes desafios para os educadores rnaternaticos e encontrar os caminhos que levem seLJSalunos aapropriarern-se deste conhecimento. E para isto, questoes de ordem cognitiva merecem uma analise.

Os estudos de Piaget evidenciam j8 . nos primefros anos de vida os prim6rdios destas habilidades,Sua teona, procure explicar 0 cornplexo processo atraves do qual se d a a desenvolvimento das funyoescognltivas da Intelig~nda. Atravss de suas cuidadosas observacoes e entrevistas clfnicas, 'dlsseca' osdiversos estagios deste processo, mostrando a continua evoluyao das estruturas mentais, e cujo estadomais avancaoo se caractsrlza pelo pensamento formal abstrato.

Para manor entendimento do processo evolutivo das estruturas coqrutlvas, Piaget destacada tresestaqios basicos. Na construcao dos primeiros esquemas de natureza 16gico-ma1ematica as crlancas seapoiam em ayoes sensorio-rnotoras sabre objetos materiais e atraves de exercfeios de repeucaoespontansa chegam ao dam inio e generalizagao da ali=.3o(estagia pre-operat6rio) , 0 segundo estaqlocaracteriza-se pelo aparecimento das operar;5es, as ayoes em pensamento; mas nesta fase as cnancasalnca depend em dos objetos concretes para que as a!foes sa constltuarn em conceitos (estaqlo operatorioconcreto). E finalmente atingem 0 sstaplo das operacoes sobre obje1os abstratos, ja nao dapendendo maisde a..;-oesconcretas au de objetos concreto; e a consnnncao do pensamento puramente abstrato.o que sa quer des1acar e 0 quanta 0 processo de aprendizagem baseia-se na a~ao do sujeito;inicialmente, a s a coss concretas sobre objetos concre1os respondsm pela constltuicao dos esquemas, e no

ultimo estaqio, as agoes abstratas (operacees) sobre objetos abstratos respondem pela constitulcao dosconceitos. Diz PIAGET (1974): "s6 tafarfamos de aprendizagem na medida em que um res(Jitado(conhecimento ou atuaf:ao) e adquirido em fun{:ao de experiencia , esse experiencia podendo set do tipotisico ou do tipo J6gico-matematico oa os dois."

Ja no primeiro estagio de desenvolvimento, na construcao e coordenacao de esquemas evidencia-se 0 usa de regras multo pr6ximas a da logica - assoctacao (uniao), generaliza~ao (inclusao}, restncao(interse~ao) . Pereebe-se uma construcao espontanea de estruturas 16,gico-matematicas, que se aproximerndas utilizadas no desenvolvirnento do conhectrnentc rnatematco. E a genese do pensamento j6gico-rnatematlco, que se apresenta na forma de generalizayao de QQoese coordenacao de esquemas.E esctarecedor 0 que diz PIAGET (1973), particularmente no contexte da Educa~ao Matemcitlca:

"0 pepe! inicja! das aqoes e das experlencias logieo matem.Wcas concretes e precisamente depreparar;80 necesssne para chegar-se ao desenvolvimento do espfrito deduiivo, e isto par duesrezsee. A primeira e que as operecoee mentais ou inteJectuais que {ntervem nestas dedu90espostetiores derivam justamente das a~6es: 8yoes interiorizadas, e quando estn interiorizaqao,junto com as coordenecoe que supdem, sao suficJsntes, as experisncias /6gico matematicasenquanto a~5es materials resu/tam }a inu1eis a B dedu~ao interior se bas18ra a si mesmo. Asegunda rsreo e que a COOrdEmBqaode ayoes e as experiencias logico matematicas dao lugar,ao intetionzer-ee , a urn tioo particular de abstra9lio que corresponde precisemente a abstra9aofogica e matematica".

Todo 0 prooesso e permaado pete desenvolvimento, concomitante, da fun~ao representativa; e arepresentacao mental que permite a transicao da acao sens6rio-motora a attao abstrata. Os esquemasevoluem para conceitos e as acces para operacoes atraves da tomada de conselerc.a, deffnida par PIAG ETcoma a reconstltulcao eoncehual do que tern feito a a~ao. BECKER (1997). a luz da teoria de Piaget, diz:

V _ 2 N _'21. malo, 19 99 . ~ _ ---- -- 75


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.3 PGIE-UFRGS"~ Mcil vis/umbrar 0 que islo significa pars a aprendizagem. 0esquema, generalizartao noplano da a~ao concrete, poderiJ mediante progressivas tomedes de consciencia, tomer-seconceito, generaljzar;ao no plano mental ou tnteleotuet. Dos limites do real pesss-se eopossivel ... "

Informatica na EduCBfao : teoria & prstica

Os desequilibrios entre experiencla e estruturas mentais e que fazam 0 sujeito avancar no seudesenvolvimento coqnltivo e conhecimento, e Piaget procure rnostrar a quanto este processo e natural. 0novo objeto de con hecimento e assimilada pelo sujelto atraves das estruturas ja constituidas, sendo 0objeto percebido de urna certa maneira: a 'novo' produz conflitos internos, que sao superados pelaa.comodaqaa cas estruturas cognltivas, e 0 objeto passa a ser percebido de outra forma. Neste processodiatetico e construfdo 0 conhecimento. 0 meio social tern papel fundamental na aceleracao ou retardacaodeste desenvolvimento; isto sa evidsnoia na cecalaqern de estruturas cognitivas que apresentam mdlvlduosque vivem em meios culturalrnente pobrss.

Na formacao rnatsrnatica dos alunos, alern de pretender-se a construcao de uma salida base deconhecimento na area, deve-sa estar atento para a rlqueza lnteleclual que decorra do constantsdesenvolvirnento copnitivo do sujeito quando a ele propicia-se nnersao no processo do 'tazer matemauca',que nada mats I que 0 processo dinamlco 'asslmllacao versus acornodaeao' de construcao slrnuttanea deconhecimento rrraternatico e de estruturas mentais. FISCHBEIN (199'4) dlz:"Axiomas, definiyoes, teoremas e demQnstra~oes devem ser incorporados COma componentesativas do processo de pensar. Eles dewem se inventados au aprendido5, organizados,testados e ueedoe ativamente pelos etunos. Entendimento do semioo de rigar no reciociniodedutivo, 0 sentimento de coerencie e coreeteooie, a capacidade de petiserpropoeioionsimente, niio sao aquisir;5es espontaneas. Na teoria piagetiana todas esteecapacidades estao reteciooeaes com a idede - 0 estagio das opera~8es tormeis. Estacapacidades nao sao meis do que potenciaf{dades que somente um oroceeeo eoucetivo ecepez de molder e trsnstotmsr em rBalidades menteis etives. "

Se por um lado a teo ria de Piaget rnostra urna contmuidace, em princlplo natural, na formacao dasestruturas cognitivas, desde os primeiros esquernas ate as estruturas que respond em palo pansamentoformal abstrato, por outro lado 0 processo de enslno e aprendizagem que sa tem institucionalizado nao levaem consideracao esta 'naturalidade'. A partir do momenta que as cnancas ingressam na escola, no geral,sao privadas de suas acoes e expertsnelas de carater concreto, e mais adiante de carater abstrato,retorcando-se ao ~ongo des anos de vida escolar 0 papel de receptores passtvcs de rnformacao. Estaruptura pode explicar os baixos niveis de pensamento abstrato com que ns alunos chegam ao ensinosuperior. GRAVINA (1996) registra:

.~.. os eiunos chegam a universidade sem terem atingido os n{veis mentais da dedUy80 e dorigor. Racioc{nio dedutivo, metodos e generalizay6es - processes caracteristicos eiundememeis da Geometria- os alunos pouco dominam. Ate mesmo apresentam poucecompreensao doe objetos geomelncos, confundinda propriedades do desenho compropriedades do objeto. "

MOORE (1994), ern sua pesquisa sabre obstaculos frente a dsmonstracao de teorsmas, identificaalgumas causas: imagens mentais lnadsquadas, pouco entendlrnanto dos conceitos, pouco dornlnio dalinguagem e notacao rnaternatica.

Fala-se em processo de ensino e aprendizagem construnvlsta, entendendo-se uma metodologia detrabalho, amda um tanto vaga e imprecisa, que procura colocar-se em. sintonia, principalrnente, comprfnclpios da teorta de praget. Mas de fato, nao tem-se ainda estaaelecida, dentro das teonas da Educay8 .o ,uma s61ida base taorlca do que seria urna 'pedagogia construtivista'. Pesquisas na area de EducacaoMatematica tem se preocupado com estas questoes, mas ainda pDUCa$ sao os rattexcs na praucaeoucattva. Estas pesquisas apontam para principles norteadores do que seria uma 'pedagogiaconstrutivista':"E necessaria que 0professor de matematica organize um trabaJho estruturado atraves deatividades que propiciem 0 aeeenvotvimento de exploray8o informal e investiga{;iio reflexiva eque nao privem os alunos nas suas iniciativas e comrote da sirua0.o. 0professor deve projetardesafios que estimulem 0 questJonamento, a cotoceceo de orobtemes e 8buece de soluyao.

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..~ PGIE-UFRGS Informatica na Educsfao : teoria & pratica.~;!i--__;;,,-.::.....:-----------~--~--......:..-------=---AS alunos nao se tornem etivos aprendizes por aeaso, mas por desafios projetados eestnstursdos, que visem a expforapao e investiga9ao~ (Richards, t 991 )

"Urn dos meloree problemas na educarao decotre do teto que muitos proieseores eonsideram osconceitos metemstico como abjetos prontos, nao percebendo que estes conceitos devem set construfdospetos alunos ...De 8.lgumB maneira as eiunos devem vivencier as mesmas dificuJdadBS eonceituais e suoersros mesmos obstacuJas episremoiogicos encontreoos peios metemeticos ...Solucionendo problemas,discutindo conjeturas e metoao. tornendo-se conecientes de sues conoeocoes e dificuJdades, os aJunossofrem importsntes mudences em suas ideias ... " (VERGNAUD, 1990)

"Na educay80 a preocupaqao principal aevea set a construyBo de esquemes para 0 entendimentode conceitos. 0ensino deveria se dedicar a induzir os alunos a fazerem estas constru90es e ajudiJ-Jos 80Jongo do proceeso ...Aprender envoive abstrat;lio reueave sobre os esouemee ja existentes. para que novosesquamas se eonstruam e favoreram a constru~ao de novos conceitos ...Urn esquema nao se constroequando ha ausencia de esquetnes pre-requisitos ... '{DUBINSKY, 1991)

Para 0 estabelecimento de uma 'pedagogia construtivista' duas das pnnclpals ques1oes,intimamente relacionadas, a serem enfocadas sao:- quanta ao aspecto rnatematico: como projetar atividades que Iacarn com qua os alunos seapropriem de ideias matematicas profundas e significativas (e que exigiram de maternaticos al1amen1equalificados alguns anos para serem concebidas e sstruturadas) ?- quanta ao aspacto coqnltlvo: como fazer para que estas ativioades coloquem os alunos ematitudes sintonizadas com os precesses que sao naturals ao desenvolvimento cognitivo do sujeito ?Na proxima secao deste artigo procura-se mostrar de que forma as ambientes informatizadospodem ajudar na busca de respostas a estas questoes. Sao ambientes que dao suporte aos objetosrnaternatlcos e as accea mentais dos alunos, e que portanto favorecem as processes imbricados deconstrucac de conheclrnento matematico e de desenvolvimen10 de estruturas cognitivas.

3. Ambientes informatizados e 8 aprendizagem da MatematicaConforme delineado na secao anterior, esta se tomando como princfpio que a aprendizagem e urnprocesso construtivo , que depende de modo fundamental das a90es do sujeito e de suas retlexoes sobreestas a.;:oe6: "Todo conhecimento e Ijgado a 8980 e conbecer urn obJeto au evento a assimila-Jo a urn

esquema de a{:ao.. .tsto e veraeae do mais eJementar n{ve/ sensotto motor so mais elevado nfvel deoperaQoes 16gico -matematicas" (PIAG ET, 1967).

No contexte da Matematica, S80 as a c o e s , lnlcialrnente sobre objetos concretes, que se generalizamem esquernas, e nurn sstaqlc mais avancado sao as avoes sobre objetos abstratos que se generalizam emconceltoa e teoremas. Quando a crianca bnnca com pedras, dlspondo-as de diversas formas (segmentos deretas com civerses lncllnacoes e tamanhos, clrculos) e ao corrtar 0 nurnero de pecras constata, comsurpresa, que 0 numero de pedras independe da forma em que estao dispostas, e atraves cas ayaoconcreta de ardenar e contar que constroe 0 conceito de numero natural. Um maternanco, em seu e51:8.gioavancado de pensamento formal, tarnbern 'aqe' sobrs seus objetos de investiqacao: identinca, em casespartlculares reguJaridades que sa generalizam; testa suas conjsturas em novas casos particulares; efina~men1eaventura-se na tentativa de dernonstracao. E 0 que diz HADAMARD (1945):

"De teto, e 6bvio que quaJquer inv9ny8o au deecobene, em Matematica OU em qua/quer outraarea, ecomece pe/a combina~iio de ideies ...a(gumas des quais podem ser ferieis ...~ necesserioconeuulr numeroses possib{/idades de combina~es, e encontrer dentre slas as que Saoproveitoses ... ~Da crianca ao maternanco profissional, as objetos mudam de natureza: de ffsicos passarn aabstratos, mas continuam guardando uma 'concretude', dada pel a representaeao mental, figural DUstrnbollca, a eles associada, e e sobre estes objetos que sao apncadas as a-;:oes mentais. Neste sentido e

interessante 0 que diz OGBORN (1997), a luz da teorta de Piaget, quando fala em "mctootnio formal comourn caso especial e bestente extraordinario de raciocinio concreto. Matematicos e fogicos estao taoecosiumedos com seus sistemas de s(mboJos, que 05 tratam como objetos concretes, "v. 2 N,~l, maio, 1999 _ 77


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.0 PGIE-UFRGS Informatica na EducafBo : teoria & praticaNo procasso de ensmo e aprendlzagem, a transicao na natureza dos obietos sobrs as quais asalunos aolicam as a


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.~ PG1E-UFRGS Informatica na Educafiio : teoria & pratica3.1. Caracteristicss de amblantas informatlzados construtivistas

Esta analise toma como reterencla os trabalhos de KAPUT (1992) e MELLAR& at all (1994).Procura-se identificar de qUB forma as caracterlsticas aqui apontadas dilD suports as ayO es e reflexoessobre OSobjetos rnaternatlcos, condlcao que esta sendo tom ada como indispensavel na aprendizagem daMatematica,3.1.1 Maio Dinamico

Historicarnente os sistemas de representacao do conhecimen1D rnaternatlco tem carater estanco,Vl-se lsto observando os livros ou assistindo uma aula 'classica'. Este earater estaflco muitas vezes dificultaa construcao do significado, e 0significante passa a ser um conjunto de slmbaJos e palavras ou desenho aser msmorlzado. Assim sen do, nao deve ser surpreendente quando os alunos nao conseguern transferir umconceito ou teorema para situacao que nao ooinclda com a prototlplca rsqistrada a partir da apresentacacdo livro ou do professor.A instancla tlsica de urn sistema de representacao afeta substancialmente a construcao deconceitos e teoremas. As novas tecnotopias oferecem mstancias ffsicas em que a representacac passa a tercarater din~mico, e isto tern raflaxos nos processes cognitivos, particularmente no que diz respeito asconcretizacoes mentais. Urn mesmo objeto rnatematico passa a tar repressntacao mutavel, diferentementeda representacao eatatlca dss lnstanelas ffslcae tipo "lapis e papel" ou "giz e quadronegro". 0 dinamismo eobtida atraves de rnanipulacao direta sobra as representacces que se apresen1am na tela do computador.Por exemplo: ern geometria sao 05 elementos de um desenho que sao rnaruputavers; no estudo de funlt0essao objetos mantpurevels qua descrevern rela9ao de cresclrnento/dacrascirnento entre as variavels.

Urn aspecto hnportante do pensamento rnatematlco e a abstracao da lnvariancla, e para 0 seureconhecimento e antendimento nada e mais proprio que a variacao. 0 dinamismo da representacaodestaca os invariantes e diz KAPUT(1992); "a transiyao continua. entre estedoe intermediarios e urn recursoimportante oo s programas de representapao dinamicos, sob 0 ponto de vista cDgnitwo". Por exemplo, aposuma apresentacao estanca do concerto de altura de urn triangulo os alunos registram que "a altura de urnrrll1ngulo e sempre da base a t e a parte meis alta do mesmo au "altura e a linha vertice! que una 8. beee Jadodo trianguJo 80 venice oposto" (GRAVINA,1996}, mostrando concretizacao mental madequada, Ja num melodinamico urn tri:lngulo com correspondsnts segmento altura pode ser manipulado, mantendo-se um lado dotriangulo flxo a Iazendo-se 0 vertice oposto deslocar-se numa paratsta a este taco. Desta forma obtern-seuma familia de desenhos com tri~ngulos e segm6lntos alturas em diversas situacoes. 0 que favorece aeoncreuzacao mental em harmonia com 0 conceito rnaternatco de attu ra de um 1riAngulo.3.1.2 Melo Interativo

Como interatividade entende-ss aqui a dlnarnlca entre alioes do aluno e reayoes do ambiente, a nosentido muito a'am daqueJe em que a rea-;;ao do sistema e sirnplesrnente informar sabre "acerta" ou "erro"frente a ayao do aluno, nao fornecendo nenburna contnbuleao ao processo de aprendizagem. Nainteratividade que se esta pensando, 0 sistema oterece suporte as concretizacoes e alfoes mentais doaluno; isto se matarializa na representacao cos objetos maternatlcos na tela do computador e napossibilidade de manipular estes objetos via sua representacao.A 'reayao' do ambiente, eorrespondente a aeao do aluno, tunclona como 'sensor' no ajuste entre 0cancel to rnaternatico e sua concretlzacao mental. Um meio que pretenda ser interativo, na medida dopossfvel, nao deve frustrar 0 aluno nos procedimsntos exploratcrios associ ados as suas agoes men1ais.1510vai depenoer dos recursos colocados a disposiltao e do nfvel de autornaeao nos procedimentos. Algunsdos recurso ja . dispaniveis em certos ambientes: terramentas para construcao de objetos maternaticos,multiples representacoas, procedimentos dos alunos podem ser registrados ou automatizados lcaptura~aode procedimentos), auto-escala automatica, zoom-in e zoom-out, dados que se atualizam COm a dinarnicada srtuacao, tracado de lugares qsometricos, calculos autornaticos,Quanta ao potencial das muWplas representacoes, considerando que um mesma objeto rnatemaneopode receber diferentes rapresentacoes e que estas rsqlstrarn diferentes facetas do mesrno, urnaexploracao que transita em diferentes Sistemas torna-se siqniticativa no processo de construcao doconceito, Por exemplo, a uma fun-;;ao pode-se associar urna repressntacao grafica que evidencia varlacoes

qualitativas, aLI uma represerrtacao matrlclal nurnerica que evideneia variacoes quantitatlvas, OU aloda umienOmeno cujo comportamento E o dado pela fungao. Ou alnda, pode-sa estudar familia de funy5es sob 0

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.~ PGIE-UFRGS-e .

Informatica na EducBfao : feor;s & praticBponte de vista de operacoes algebricas e correspondentes rnovimsntos qeornetricos nos qraficosassociados.

Os programas que fazem 'tradulj:oes' entre diterentes sistemas de representacao apresentam-secomo potentes reCUlSOSpedagogicos, prlncipa~mente porque 0 aluno pode ccncentrar-se em interpreter 0afaito da suas 8ltOeS frente as diferentes representacces, ate de forma simultanea, e nao em aeoectosrelatlvos a translcao de urn sistema A outro, atlvldade que geralmente demanda tempo.Oapturacao de procedimentos e recurso encontrado, partlcularmente, em programas paraGeometria. Automaticamente sao gravados os procedimentos do aluno em seu trabalho de construcao. emediante sahdta9aa e possfvel repassar a 'h ist6ria' do desenvolvimento de sua construcao, lsto permite 0aluno refletir sobre suas acoes e ldentltlcar possfvals razoes para seus connltos cognitivos. Este recursotambem permits que a aluno explore construcoes Ieitas por outrem, 0 que sempre se apresenta como fontede riqueza em ideias maternalicas.

Ainda atraves da capturaeao de procedimentos, ccnstrucces particulates podern serautornancamenta generalizadas, gravadas e testadas em outras situacoas {sao as macro construcoes]. Acapturacao e feita na sernantica da Geometria, nao dependendo de sintaxe particular de proqramaeao. Porexemplo, urn procedimento de construcao das medlatrizes e general~zado e pode ser apllcado a qualqueroutro trianqulo, evidenciando-se no suporte concreto que a lntersecac das mediatrizes em unlco ponto naodepende ds partlcularldaoes do triangulo, Ve-se asslm 0 ambiente favorecendo a construcao de conjeturas,o que exige racioclnios msdlados palo constants processo de 'assirnilacao versus acomcdacao'. E : claroque a construcao do conhecimento va~ alem a nao se realiza enquanto a argumentayao matsmaflcaexpHcita nao torna evidente 0 'par que desta prupriadade'. Nesta fase final de construceo, a demonstracaoda propriedade, 0 arnbiente continua desempsnhando S6U papal atraves ca possibmdaoe de acrescentarnovas elementos a repressntacac que esta sendo rnarupu'ada, no case os segmentos que determinam ostriangulos cujas conqruenclas sao a base para a arqurnentacao.3,1.3 Melo para modelagem OU 8irnula~io

Criar e explorar 0 modele de um tenomeno e uma exoerlencia tmpartaote no processo deaprendizagem. Segundo OG BORN (1997):'Quando 5e oonetroem mode/os comega-se a penee meiemeticemente. A anafise de urn 0modeio maternalfeo, pode lever a compreenseo de conceitos profundos, como por exemplo ano!('ao fundamentaf de taKa de van'ayao...A criaQao de mode/os e 0 inioio do pensamentopuramente teotico sobre 0hmcionemento das coisss. n

Em programas com recursos de modelagem as alunos oonstroern modelos a partir derepresentacao dada por express6es quantitatlvas (fun~5es, taxas de varlacao, equat;oes dltarenclals) e derela~Des entre as variaveis que descrevem 0 processo OU tenomeno. A caraoterlstica daminante damodelagem e a expltcitacao, rnanlpulaeao a comprsensao cas relay5es entre as variaveis que controlarn 0tenomeno, sendo 0 feedback visual oterecido psla maquina um raourso fundamental para 0 'aiuste' de;de~as.o racurso de simula9ao perrnite a reellzacao de experimentas envoivendo concaitos rnais

avancadcs, Neste caso, a comp\e:ddade analltica do modelo fica por conta do programa e as aluoosexplorarn qualitativarnente as relacoes matematicas que se evidenciarn no dinamismo da representacao decarater visual, Na exploracao qualitativa nao ha preoeupacao com a dedueao das rela95es maternatlcasanaljtlcas. Esta abordagem permite que alunos, ainda sem grande formayfm rnaternatica, explorernienomenos de natureza maternatlca complexa, mas que do ponto de vista puramente qualitativo saofecundos 'germes' de ldelas rnaternatlcas, como por exempla as simulacoes de crescirnento populacional ernais geralrnente de sistemas dinamicos.Os ambientss com recursos de modelaqem e slrnulacao tambern possibilitam tratar a Matematicacomo ferramenta para resolu9ao de problemas em outras areas do conhecimento. Urn exempla ilustrativo eo estudo da parabola: em Matematica e um objato aostrato, que pode ser representado por uma equayaoou grafico; em Ffslca serve para descrever 0 movimento de um objeto em queda livre au que e jogadoverflcajmente para eima. Propriedades rnaternaticas da equacao pass am a ter leitura ffsica e vice-varsa:

ponto de maximo da fun9~O corresponds a altura maxima atingfda palo objeto; zero da fun9ao correspondeao tempo de movrrnento; incHnayao da reta tangente a curva e a velocidade, As relacoes entre conceitosrnaternaticos e Ienomenc ffsteo favorecem a construcao do conhecimento em arnbas as areas.80 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ ~ v _ 2 N.~1,maio.1999


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.a PGIE-UFRGS Informatica na Educafao : teoria & pnitica3.2. Algumas questoes pedag6gicas

Na analise das caracteristicas feita acima, tomou-se como reterencia programas que tem em seusprojetos de construcao procupacoes de caratsr psdag6gico (ver exemplos no sub-item 3.3). Saoferramentas diredonadas para a aprendizagem da Maiematica, e que par consepuinte procurarn oferecerrecursos que viabilizern as agoes mentais doa alunos: sao recursos projetados visando auxlliar os alunos nasuperacao de obstaculos inerentes ao processo de aprendizagern da Matematica,

Nestes ambientes pode-se identificar dais rnodos de utilizagao, na dire9ao de uma pedagogiaconstrutivista:3.2.1 Atividades de Expressao

o aumo cria seus propnos modelos (tomado aqui em sentido amplo) para expressar ideias epensamentos. Suas ccncretizacoas mentais sao exteriorizadas. Urna vez construldo 0 modelo, atraves dosracurses do ambiente, 0 aJuno oode reHetir e experlrnentar. ajustando e/ou modificando suas concepcoes.Neste sentido, os arnblentes sao vsfculos de rnaterlallzacao de jdeias, pensamentas e mais geralmante deacoes do sujeito.3.2.2 Atividadea de Explors(:io

Ao aluno e apresen1ado urn modelo iiipronto, 0 quat ceve ser explorado, entendido, analisado. Naosao suas ideias que ali e81M representadas, e portanto exlste 0 desafia intelectual de ccrnpreende-las, Apropria cornpreensao do modele, 0 entendimento cos prine lplos de construcao, ja sao por sl 80 estlmulos aoraclccfnlo, que tavorecem a construcao de relagoes e conceitos.Neste trabalho nao tai prop6sito a analise de ferramentas mais gerais, tais como os programas decalculo simbolico (Mathematica, Mapple, ...) ou planilhas eletr5nicas (Excel, Lotus, ...) ou ainda linguagens deprooramacao. tsto porque, embora sendo poterrtes ferramentas para a reallzacao de caleulos matemancosou plotagem de graficos au Jmplernentay60 de alqorinncs, nao foram prajetadas com prop6sitos educativos,no sentido de oferecem recursos que auxiliem 0 aluno na construcao de conhecimento e supsracao de

dificuldades. Par exempio, com urn programa de ca~culo simb61ico um aluno pode caicular etrcientemente aderlvada ou integral de uma Iuncao, sern necessarlamente ester entendendo os significados de talsconceitos. Um trabalho de adaptar;ao , orientado por cropositoe pedagogicos, ate pode ser feito, mascertamente nao e simples, e esta e urna questao que vern sendo objeto de pesquisa.Dentre as linguagens de proqramacao dave-se excetuar a I~nguagem Logo, projetada 8 partir deprincipios pedag6gicos consfrutivistas, mas na qual nao vamos nos deter neste trabalho, Seu potencial estaarnplarnante documentado em pesquisas (Hoyles, Noss, Sutherland, Edwards e outros) e transparececlaramanta nas palavras de Papert (1994):

"..programsr a tarl8ruga comeca com a reilexiio sobro como nos fazemos 0 que gostariamosque ele iizesse; essim, ensina.-ia a agir ou 'penser' pode lever-nee a ref/etir sabre nossespr6prias aj(oes au pensementos ...E a medida que as criencs progridem, passam a programaro computedor para tomar decisOOs msie complexee e ecebem engajando-se na reflexao deespectos meis complexos do seu pr6prio pensamento. U

3,3 Alguns prcgramas lIustratlvosOs programas aqui apresentados servern para nustrar as quest6es discutidas anteriormente. Saoapresentadas as princjpais caracterfsticas de cada urn dales e exernplos ilustrativos.

3.3.1 Cabri Geometry e Sketchpad - ferramentas para GeometrlaSao ferramentas, especialmente, para construcoes em Geometria. Dlspoern de >regua e compassoeletrenlccs', sendo a interface de menus de construcao em linguagem classlca da Geometria. Os desenhosde objetos geometricos sao faitos a partir das propriedades que os definem. Atraves de deslocamentos

apllcados aos elementos qua compos 0 desenho, este se transtorrna, mantendo as rElla~5e$ gaornetricasque caracterlzarn a sltua9ao. Assirn, para urn dado concerto ou teorema temas associada urna colecao de'desenhos em rnovimento', a as caractensticas invariantes que af aparecem correspondem as proprtedadesv. 2 N,~l, maia.1999 ~ _ 81


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.-~ PGIE-UFRGS-em questao. 0 ahmo age sobre 05 objetos rnatematlcos num contexte abstrato, mas tern como suporte arepresentaeao na tela do computador. A mullipjjcidade de desenhos enriquece a concretlzacao mental, naoexlstlndo mais as situacfies protottplcas responsaveis pelo entendimento inadequado.

Informatica na Educa~ao: teorie & pnitica

Apresentam interface dlm?m~ca e interativa fdesenhos em movlmsnto' e que podem serautomatizados atravss do recurso de 'botoes'), multiplas representacoes (trabalha com geometrica sintetlcae um pouco de anatltica). captura~ao de procdimentos (tern cornando que perrnlte ter acesso a nlstoria daconstrucao e cornanoos para cria'iao de macros. No Cabri Geometry e 0 proprio desenho que ereconstruldo passe a passe; no Sketchpad alem disto, tem-se janela adlolonal onde a construcao eexplicttada tambsm atraves de 'lnguagem maternatlca).Exemplo 1: Um problema de otimiza~ao

No plano sao dados do's pomos fixes A e S, e urn ponto P que se desloca em uma reta, Dentretodos OS camJnhos AP+PB deterrninar 0de rnenor cornprimento.

-- ?ft-l,~,!

rilffi = 1.00 ern m AR :: 4.50 ern.- -(mA~I')m P6) = ~,50:;:;m.rioP~ 5.03~rn

.A~IB.- no .. .--~-----~r

I ~ , ! I I i

Figura 1 Urn probterna de otimizaqaa {Sketchpad)

Movimento sobre 0ponto P permite a exploracao inioial, Sa 0 quadro geometrico nao se apresentasuficiente para a resolucao do problema, OSaiunos podem se vaier de outras repl"esenta~6es: tabela quecompute otstanclas e grafico da fiJn~ao que representa a situaeao geometrica. Ambas as representacoes saatuallzarn de acordo com 0 movimento do ponte P, Nestas representacoes os alunos podem locallzaraproximadamante 0 ponto que resotve 0 problema, e 0 passo seguinte tt ictemificar a partlcutarldacegeometrjca da solucao dB carater experimental, Pode-se ,r alern, desaflando-se se os alunos aresponderem a pergunta 'por que tal ponte resolve a problema?', A lntormacao visual fornece mdfcios para aarqumentacao rnatsmanca, que vai se tormatizar atraves de concertos e teorernas como reflexao,conqruencla de triilnguros e desiqualdade triangular. (E interessante comparar a exptoracao ern ambienteinformatizado aqui dalineada com 0 trabalno que normalmente ss realiza em sala de aula 'convencionat'].Exernplo 2: Transfonna~oes Isometrlc:as no plano

Sao apresentados aos aJunos lnstrurnentos virtuais que exploram as transtormacoes isometricas noplano: translacao, rotacao e reflexao. Os lnstrurnentos sao dlnamlcos, e maruputanco-os os alunosidentiiicam 0 npo de nanstormacao e os princfpios de construcao dos lnstrurnentos, Os pr,nc~pios deconstrucao de urn dado lnstrumento sao lnvanantes no movimento e portanto sao percebidos e anstrafdos.o mesmo acontece com a transforrnacao que 0 instrumento realiza; as mvarlantes correspandem aspropriedadas que vao definir a transformayao e e atraves da man;pulagao que via se tornandotransparentes 0 passo seguinte e estabe!ecer a rela9aO entre as propriedades do instrumento e atransformacao que e'e reailza, au seja, e a arqurnerrtacao maternatiea.

82 ----- ~ ~ __ . ____ ~ v. 2 N,~l, mOllo,19M


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.ft PGIE-UFRGS Informatica na E duC Bt;B O : teoria & praticB! +

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Figura 2 Transtormayoes lscrnetricas-rotacao (Cabri-Geometry)

Par exemplo, no instrumento que faz rotacao e a partir do ponto a e lingulo fixos no instrumento, ada conqruencla entre segmentos que 0 cornpoern que se deduz que os pontos P e seu transformado P' saotais que OP ti l congruente a . OP' e que 0 angulo POP' e sempre igual a ,propriedades que caracterizarn arota~o de centro 0 e angulo .Exemplo 3: MOdelo para explorayao de Geometria Hiperbolica

A construcao de macros apropriados permite os alunos trabalharern no modele de GeometriaHlperb6lica dado palo disco de Poincare. Tracarn retas , trianqulos, retas parale las , calculam soma dosangulas de um triangLJlo, constrOem objetos geometricos neste mundo diferente do euclidiano. Einteressante observar que a manipuia;;ao dinamica de um taJmodelo pods tavorecsr 0 desenvolvimento deaspectos coqnitivos que sao necessarios aos raciocmlos maternaficos, na sua forma rnals abstrata (seassim pode-se falar).

Figura a - Disco Hiperb61ico (Sketchpad)o grande obstaculo cognitlvo e a nova ideia de rata que se apresenta, diferente oaqueta dada pelo

mundo que a geometria eucJidiana procura descrever. 0 arnblanta lntormatizado, atraves demanlpulacoes, propcta as al(oes mentais que VaG tornar este novo rnundo completamente familiar, nosantido de concretizacac mental de um novo universe maternatico. Com isto 0 aluno pode entender queV. 2 N.~l, malo,1999, _ _ 83


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. ~ _P_G_ 'E_ - _U_F_R_G_S ' _ n _ f o _ r . _ m _ a _ t _ ; c _ a _ n _ a _ E _ d _ u _ c _ a . ; . . f _ a o _ : _ t e _ o _ r , _ i a _ & . . . . . : p '- r , _ a _ ~ t l _ c a _urna geometria e simplesrnente definida por seus axlomas e passa a compreender 0 sentido deoemonstraceo de carater jogico~dedut~vo numa teorta axiomatica.3.3.2 Modellus ferramenta para model8fi::ao e slmulBlj:ao

E uma ferramenta que perrnlte os alunos reaiizarem experimentos oonceltuals, usando para istomodelos maternaticos dados por fUh90es, derivadaa, taxas de varlacao e equacoes diferenclals. Multiplasrepresentacoes e dinamismo atraves de rnanlputacao direta sao dOlS cos recursos tmportantes desteambiente que da~suporte as acoes dos alunos. Estes recursos SaO viabilizados ern janelas dlstlntas: janelade rnodelacao, janeia de animacao d!n~mlCa, janeta graflca e [aneta de tabulacao. Pode ser usado tanto ematlvldaces de expressao (0 aluno constroe 0 modele, tendo como objetivo a consfrueao conceitual dasrela;~Oesmaternaticas que 0 definem) como em atividadas de exploracao (0 aluno expiora um modele js.pronto e tsto e interessante e passive! nurn estuda qualttativo de reiacoes rnaternaticas, quando 0carateranatltlco aorasenta nlvel de dificuldade alem do que pode dar conta 0 aluno)Exelhplo1: Taxa de varia9io e inclil1a~o de reta tangente

Atraves de simulayBo de movrnento ljnear de uma partfcula as alunos estabe!ecem inicialrnente arela~ao entre tipo de crescimento/decrescirnento das variavels e forma do graJico da fun~ao que registra apcsicao da partfcula no tempo. Na mesma janela de anim~ao tern-se rnultiplas representacoea: e apartfcula que esta sendo movimentada com a construcao simulUmea do grafico que correspondente aposlcao da particula no tempo. Atraves de manipul~ao direta sabre a particula 0aluno pode observar quesa a velocidade da parncula aumenta 0 graJico tem concavidade voltada para clrna e se dlminui temconcavidade voltada para baixo. 0 passe seguinte e construe 0 conceito rnaternatico que reglstra aqualidade da varlacao registrada na forma do grartco. a dinam~smo de imagens permite representar retassecantes a curva, corn um ponte flxo, cujos cceflcientes angulares correspondern a velocldades medias, emintervalos cada vez menores. 0 dinarnlsmo rnostra as retas secantes tendendo a p05iyao de rata tangente esurge entao, de forma natural, 0 conceito de derivada corn dupla representacao: e taxa de varlacao e eincHnayao de reta tangente ill curva. Na [aneta de graflcos pode-se construlr 0 gn3Jico da funyBo derlvaoa, eestabeleoerem-se relas;:oes entre Q ccmportarnento da derivada e caraoterfsttcas de funvao que rage asimulacao (sinal ca derivada informa sabre cresclmentc ou decrescimento da fUl19ao, zeros da derivada saopontes de maximo au minima OU 'flf~exao, etc ...)

Figura 4 Sfmula9~O de MOVfmento de ParHcula (Modellus)

3.3.3 Graphmatica - ferramenta para fun~s reals a eurvas no planoE arnblente para plotaqern de equacoes, fun'toes e derivada de funvoes, desigualdades no planocartesiano: curvas parametricas e polares. Trabalha com coordenadas certeslanas, coordenadas polares eescalas logarftm[cas. Tern 0 recurso de multiptas represen tar;6es: expressao analltlca, graficos, podendo

84-- ----- __ ~~ -. . .. __ ... _. V. :2 N.91, maio.1S99


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-0 PGIE-UFRGSplotar ate vlnte e cinco graticos simultaneamente, e tabelas. Permite a construcao de famflias de fun90es eo recurso de multiples representacoes viabiliza exploracoes alqebricas e geometricas, Simultaneamente.Calcula derivada de furll;fa.o sjmbollcarnente e numericamente e plata a reta tangente a curva nurn dadoponte: tarnbem calcula numericamante integral definida, atraves de diferentes metcdos, cesenhando noqrafico as ragioes poligonais corresponcentes, com possibilidade de escalha da partl~ao.

Informatica na EducSfSO : teoria & pratica

Exemplo 1: Transformafi:OeS em graficosA partir de uma funyao basica e de seu grafico, 0 aluno passa a exptorar tarn ilia de fum;:oes. 0recurso de rnultlplas representacoes, no caso anal [fica e qsornetrlca, favorece a consnucao de relaeoesentre operacoes a~gebricas na expressao da fun~ao e movlmentos geometricos em graficos. Em umatam ilia, a fun.;;ao basica e a que tem a expressao algebT"icamats simples, e as dernals funyoes sao obtldas apartir de operacoes alqebncas sobre a expressao da funyao basica, Os graficos dos elementos da tarn filasao identiticados a partir de movimentos qeornetrlcos aplicados ao grafico da fun~lio basica: translay8 .0vertical ou horizontal; dila1a~ao ou contracao nas direcoes horizontais e vertlcais: reflexoes. Com apossioilidade de plotar simultaneamente diversos elementos da lam ilia, 0aluno explora a tipo de movimentoaplicado ao graflco da fun9ao baslca,Por example, na iamnia dos ~olin6mios de grau dols a funyao baslca e y .::;;x:l; e a familia econstituida pelas funyoes y = a . (X+b)2 + c. 0 aluno faz vanacoes nos parametres da famma e lnvestiga 0

efelto geometrico sobre 0 grafico da fum;:ao baslca, Ja na escolha de estrateqia de exploracao e exigido doaluno trabaiho de reflexao. Passo a passe, 0 aluno vai construlndo as relayoes que vao permitt-loconcrattzar mentalmente e com sequranca 0graf~co de qualquer elemento da familia, como per exemplo Y =- 1 /3 * (x .+ 112)1\2+5 , para isto nao depeodendo de tabela numsnca, mas tao somente de movimentosgeometricos. Este estudo pode prosseguir na dire~ao de muoancas de sistemas de coordenadas e asdecorrentes simpHflca.;;:oesde expressoes analfticas,

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Figura 5 - Transtormacces em graficos (Graphmatica)

4, Comentarios finaisNeste frabalhc, a partir do estabelecimento de rela.;:oes entre aprendizagem e processes cognitivos,a luz da teoria de Piaget, procurou-se evidenciar 0 quanta certos arnblentes inlormatizados sao ferramentasde grande potencial em projetos educativos centro de perspective construtivista, 0 que pretendeu-sedestacar a 0 quae natural e intensas, se tornam, nestes ambientes, as a~oes, reflex6es e abstracoes desaprendizes. 0suporte oterecidos pel os amblentes nao so ajudam a . suparaeao dos obstaculos inerentes aoproprio processo de ccnstrucao do conhecimento mate matlc 0, mas tarnbern podem acelerar 0 processo deapropr~a9ao de conhecimento. Como exemplificou-se, rnodelos maternaticos significativos e de naturezacomplexa podem ser trabalhados, sob ponto de vista qualitativo, mesmo que os alunos ainda nao dominema complexidade das equacoes maternaticas que definem 0modelo. Ou ainda, um ptimeiro contato com a

geometria hiperb6lica, atravea de modele dinarnico e manipulativo, pode Iavorecer, e muito, a ccmpresnsaoda natureza do conhecimento matemanco. Conforme os ambientes tornam-se mais ricos nos seus recursos,mars acessfveis vao sa tornando aos alunos ideias rnatamaticas significativas e proiundas.v. 2 N~1, maio, 1999 ~ _ 85


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.~ PGIE-UFRGS InformaticanaEduC8fBO : teoria & prlitica-~~~~!-----------------------~-----Mas as ambiantes lntormatizados, na forma que se apresentarn hOjs, por si so, nao garantem aconstrucao do conhecimento. Para que haja avanco no conhecimento rnaternatico, e rmportante que 0professor prolete as atividades a serern desanvolvidas. Uma tarefa diHcH e conciliar 0 que se julsaimportante a ser aprendido {e e rnatematica sociaimente aeeita que tornece os parametres para tal} com aliberdade de acac do aluno, Assim, POt exernplo, sa 0 objetivo e 0 aprendtzado da Geomattia, atividades

devsm ser projetadas para tal. Nao basta colocar a disposlcao do ahmo urn programa de construcao emGeometr~a; 0 aluno certamente vai aprander alguma coisa. Mas a apropriayao de ideias rnaternatlcassigniflcativas nem sempre acontecem de forma espontanea, mesmo nestes ambientes, e asslrn lim tracalhode onentacao por parte do professor, sa raz necessarlo. Sao os desanos propostos pelo professor que vaooriental" 0 trabaino, desatios estes que se tomam de genufno ~nteresse dos alunos, desde qua nao sejameles privados de suas acoes e exploracOes.Pode-se dlzer que as arnblentes informatizados apresentarn-se ainda como simples ferramentas desuoorte ao processo de ensino e aprendizagem. Ouer-se urns mudanya de posture pedag6glcaacompanhando a inr:orporacao efetiva desta Ierramentas, no dia a dia da sara de aula. E dentro desteespirita que este trabatho se insere,o primeiro passe, natura: em todo momenta de transiyao, e a adaptacao do antigo ao novo, ainda

que de forma urn tanto tlrnida, !sto psrcebe-se tanto na forma como estao sendo concebldos os ambtentescomo na forma com que se da a ~ncorpora9ao ao prooesso educativo. A efetiva utiliza..;a.odestes ambientese urn grande desafio:" E cetto que a escola e urna institui9ao que h a cinco mil anos se baseia no falar I ditar domestre, na escrit manuscritB do a/uno e, h a quatro secutoe, em um IJSO moderado daimpressao. Uma verdedeire integrat;ao da. informatica supoe 0 ebandono de urn Mbitoantropol6gico msie que m{Jenar, 0 que nao pede ser feita em alguns enos. (LEVI, 1993)'~necessidade de novas coateudos de Matematica que visem capacitar os estudantes para 0proximo secuio nao e compatfveJ com as eetruturee cumculsres viqeme ...Novas eitemetivescusticueres dependom de substencie! apf{ca9ao de potentes tecn%gias. Este processo dove(neluir dramstico cresctmemo nas infera9c5es entre os participantes do pfOCeSSQ edur:acional eentre os recursos disponiveis". (KAPUT,1996)

E urn desaho que erwolve aspectos como a propria construcao dos amblentss, a forma~a.o deprofessores a novas propostas currtcuiares. Mas por outro lade, nao e diHell pensar nurn futuro para aeducacao em que os ambientes lntcrmatlzadcs vao ultrapassar sua fun'tao de simples terramentas de apoloao psnsar, na forma que a psicologia proeura hoja expucar, passando entao a ter paper tundarnentai noproprio desenvolvimento de novas capacidades cognitivas do indivfduo, ainda hoje nao irnaginadas. E comconseqiiencias sobra a propria natureza do connemmento e do conhecimento matematlco, em particular,5. Fleferencias bibliognificasBECKER,Femando. Do Ayao a Operafi:ao. Edilora Palrnarinca, 1997.DUNISKY,Ed. 1991; Reflacbve Abstraction in Advanced Mathemabcal Think[ng. In D,Tal! (eo.): Advanced

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apresenta atividaces para series flnais do prlrnelro grau.ht1p:Jlathana.mat.ufrgs.br/-portoslill iceneiatura.html- Site do Curro de Licenciatura em Matematica . UFRGShttp://www.adc.orglLTTJDGi -Dynamical Geometry Pmjeto de pesquisa no Education Development Center,

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Sketchpad; cria~i io de Nicholas Jackiw e Scott Sketetee. Comercializado pela KeyCurric::ufum Press.

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2.MostrB de ativ idades de ensino, artigos e grupos de cnscussaohttp: JJforum.swarthm 0 re.adu Isketch pad Igsp. activl ties lhome. htm 1-The Geornetsr s Sketchpad Activity Centerhttp://fnrum.swarthmore.edu/sketchpad Igsp.g aile ryIgallery.html - The Geometer's Sketchpad Galleryhttp:// www.edc.org I LIT I DG/ - Dynam~cal Geometry - Projeto de pesqulsa no Education Development

Center, Inc., Newton-EUA.Modellus: cria~ao de Vltcr Duarte leodoro, Jcao Paulo Vieira e Fil ipa Costa Clerigo, Faculdade de Glencias eTecnologia da Unlversldade de Nova Lisboa.

v. 2 N .21 , ma~o,1999_~ _ __._ 87
mailto:@tpspJapesp.brhttp://www-cabri.imag.fr/http://proem.pucsp.br/cabrifativ.htmhttp://www.adc.orgllttjdgi/http://httpj/www.keypress.comiproducthttp://fnrum.swarthmore.edu/sketchpadhttp://www.edc.org/http://www.edc.org/http://fnrum.swarthmore.edu/sketchpadhttp://httpj/www.keypress.comiproducthttp://www.adc.orgllttjdgi/http://proem.pucsp.br/cabrifativ.htmhttp://www-cabri.imag.fr/mailto:@tpspJapesp.br


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:~ PGIE-UFRGS Informatica na Educafao : teoria & pniticaAcesso ao programa:

http.//phenix;-sce.let.unl.pVmodellusGraphmatica: cnacao de Keith Hertzer,Acasso 80 programa:

http://www8.pair.comiksofU

88 --- ._ V. 2 N.21, maio,1999
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Gravina e santarosa

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