Graphes Chap8 Flots Pres
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7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
1/57
Chapitre 8 : Flots dans les reseauxAlgorithmique de graphes
Sup Galilee-INFO2
Sylvie Borne
2011-2012
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - 1/57
-
7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
2/57
Plan1 Flot realisable
2 Le probleme du flot maximumExemplePlusieurs sources, plusieurs puitsFlot maximum et programmation lineaire
3 Chanes augmentantes
4 Algorithme de Ford et Fulkerson (1961)Procedure de marquage (labelling)Algorithme de la chane augmentanteAlgorithme de Ford et Fulkerson
5 La coupe minimum6 Implementation et complexite de lalgorithme de Ford et
Fulkerson
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - 2/57
-
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Probleme de flot
Probleme de plus court cheminune personne seule de la source a la destination.
Probleme de flotacheminement dune quantite de marchandises (divisibles : onpeut acheminer nos marchandises par des routes differentes) de lasource vers la destination.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - 3/57
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Probleme de flot : Applications
Applications :
logistique : transport de marchandises : train, camion,bateau,. . .
distribution deau (canalisations)
transport de petrole : reseaue de pipelines
energie : reseau EDF, centrales clients
information : reseau telephonique, reseau dentreprises,internet.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - 4/57
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Reseau de transport
Definition : reseau de transportUn reseau de transport note R = (G= (V,E), s, t, c) est forme
de :
G= (V,E) un graphe oriente
s V appele sommet source
t V appele sommet destination ou puits
c : E N,Q+ fonction capacite (a chaque arc (i,j) E estassociee une capacite c(i,j) 0).
Remarque :s et tsont deux sommets particuliers de G.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Flot realisable 5/57
-
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Flot realisable
Definition : flot realisableSoit R = (G= (V,E), s, t, c) un reseau. Un flot f dans Rest
une application f : N,Q+.Un flot f est realisable dans Rsi
1 contrainte de capacite0 f(i,j) c(i,j) (i,j) E
2 contraintes de conservation de flot (Loi de Kirschoff)
i| (i,j)E
f(i,j)
k| (j,k)E
f(j, k) = 0 j V\{s, t}
(quantite qui entre dans j= quantite qui sort de j)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Flot realisable 6/57
-
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Flot realisableExemple :
s
v1
v2
t
(5)
(6)
(4)
(7)
( ?)
5
5
2
3
7
capacite
flotx
(2)
Le flot est realisable.
contraintes de capacite Okcontraintes de conservationde flot Oken v1 : 5-2-3=0en v2 : 5+2-7=0
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Flot realisable 7/57
-
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Valeur dun flot
Definition : valeur dun flotSoit R = (G= (V,E), s, t, c) un reseau.
La valeur dun flot f realisable entre s et test la quantite de flotenvoyee de s a t. On la note F et
F = i| (s,i)E
f(s, i) j| (j,s)E
f(j, s) =
i| (i,t)E
f(i, t)
j| (t,j)E
f(t,j)
Exemple :
Ici, la valeur du flot est de 10. (F = 5 + 5 = 3 + 7 = 10).
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Flot realisable 8/57
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Arc sature
Definition : arc satureUn arc (i,j) est dit sature pour un flot f si f(i,j) =c(i,j).
Exemple :
s
v1
v2
t
(5)
(6)
(4)
(7)
( ?)
5
5
2
3
7
capacite
flotx
(2)
Ici, les arcs (s, 1), (1, 2) et (2, t) sont satures.Les arcs (s, 2) et (1, t) ne le sont pas.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Flot realisable 9/57
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Arc retour
Remarque :Pour que la contrainte de conservation de flot soit verifiee en tout
sommet (y compris (s et t), on ajoute un arc artificiel (t, s) decapacite infinie et appele arc de retour.
s
v1
v2
t
(5)
(6)
(4)
(7)
5
5
2
3
7
(2)
F = 10(+)
Si aucun autrearc nentre en s,la valeur F duflot f est alorsdonnee a f(t, s).
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Flot realisable 10/57
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Le probleme du flot maximum
Probleme :Soit un reseauR = (G = (V,E), s, t, c).Le probleme du flot maximum consiste a determinerun flot realisable entre s et t qui soit de valeurmaximum.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Le probleme du flot maximum 11/57
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Le probleme du flot maximum : exempleExemple :On remarque que le flot donne dans le reseau precedent nest pas
maximum. En effet, on peut trouver un flot de valeur 11.
s
v1
v2
t
(5)
(6)
(4)
(7)
(2)
5
76
1
4
11 11
Ce nouveau flot est maximum.En effet, on remarque quau mieux il peut rentre 11 unites de flotdans t a cause des capacites 4 et 7 sur les arcs entrants.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Le probleme du flot maximum 12/57
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Plusieurs sources, plusieurs puits
Remarque :
Le probleme du flot maximum peut etre generalise de la manieresuivante :Supposons quil existe un ensemble de sommets sources et unensemble de puits.On desire determiner un flot max qui peut etre envoye de toutes
les sources aux differents puits.Ce probleme peut etre ramene au probleme precedent en ajoutantune super-source s0 et un super-puits t0. On relie la super-source atoutes les sources avec des arcs de capacite infinie et on relie lesuper-puits aux differents puits avec des arcs de capacite infinie. Leprobleme se ramene alors a un probleme de flot max de s0 a t0.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Le probleme du flot maximum 13/57
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Plusieurs sources, plusieurs puits
Exemple :sources : v1 et v2 et puits : v4 et v5
s0
v1
v2
v3
v4
v5
t0
1
(+)
(+)
(4)
(3)
(4)
(2)
(+)
(+)
(1)
(2)
(1)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Le probleme du flot maximum 14/57
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Flot maximum et PL
Soient f(i,j) = flot transitant sur larc (i,j) (i,j) E
F= valeur du flot fLe probleme du flot maximum entre s et tpeut se formuler de lamaniere suivante :
Max F
s.c.
i|(i,j)E
f(i,j)
k|(j,k)E
f(j, k) =
F si j=s0 si j=s, tF si j=t
jV
0 f(i,j) c(i,j) (i,j) E
Ce programme lineaire a |E| + 1 variableset 2|E| + |V| contraintes.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Le probleme du flot maximum 15/57
-
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Chanes augmentantes
Exemple :
s
v1
v2
t
(5)
(6)
(4)
(7)
(2)
Pour determiner un flot maximum dans ce reseau, on peutcommencer par envoyer du flot sur des chemins de s a t.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 16/57
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Chanes augmentantes
Par exemple, on peut commencer par envoyer un flot de 2 sur lechemin (s, 1, 2, t).
s
v1
v2
t
(5)
(6)
(4)
(7)
(2)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 17/57
-
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Chanes augmentantes
Vu quil y a une reserve de capacite de 3 sur le chemin (s, 1, t),on peut envoyer 3 unites de flot.
s
v1
v2
t
(5)
(6)
(4)
(7)
(2)2
2 2
2 2
0
0
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 18/57
-
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Chanes augmentantes
Vu quil reste une reserve de 5 sur le chemin (s, 2, t), on peut
envoyer un flot de 5 sur ce chemin.
s
v1
v2
t
(5)
(6)
(4)
(7)
(2)5
5
2
2 5
3
0
Mais ce flot nest pas maximum.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 19/57
-
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Chanes augmentantesConsiderons la chane
s
v1
v2
t
(6)
(4)
(2)
5
2
3
On remarque que lon peut :
augmenter le flot de 1 sur (s, 2),diminuer le flot de 2 sur (1, 2),
augmenter le flot de 1 sur (1, t).
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 20/57
-
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Chanes augmentantes
Donc en augmentant le flot de 1 sur les arcs (s, 2) et (1, t) et en lediminuant de 1 sur larc (1, 2) on aura le flot realisable suivant :
s
v1
v2
t
(5)
(6) (7)
(2)5
23
10
5 7 10
(4)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 21/57
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Chanes augmentantes
Les contraintes de conservation de flot sont respectees.v1
v2
t
+1
-1 s
v1
v2
+1
-1
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 22/57
-
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Chanes augmentantes
Definition : chane augmentanteUne chane Centre s et t est dite augmentante par rapport a un
flot f = (f(i,j), (i,j) E) realisable entre s et t si
f(i,j)0 si (i,j) C ((j, i) E) arc non conforme)
ou C+ est lensemble des arcs de Crencontres dans le bon sens etC est lensemble des arcs de Crencontres dans le sens contraire.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 23/57
-
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Chanes augmentantes
Exemple :
s
v1
v2
t
(6)
(4)
(2)
arcs conformes
arcs non conformes50, 3
-
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Chanes augmentantes
Lemme :Soit f = (f(i,j), (i,j) E) realisable entre s et t.
Sil existe une chane augmentante par rapport a f entre s ett,alors f nest plus maximum.
Preuve :
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 25/57
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Procedure de marquage
Cette procedure permet, etant donne un flot realisable, dedeterminer si elle existe, une chane augmentante par rapport a f.
Cette procedure est basee sur 2 operations de marquage dits :marquage direct et marquage indirect.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 26/57
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Marquage direct
Marquage direct :
Si pour un arc (i,j) on a
*
f(i,j) < c(i,j)i j
i marquejnon marquef(i,j)
-
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Marquage indirect
Marquage indirect :Si pour un arc (j, i) on a
*
f(j, i) > 0i j
i marquejnon marquef(j, i)>0
alorson marque jet on pose
(j) =min((i), f(j, i))
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 28/57
-
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Algorithme de la chane augmentante
Supposons que lon dispose dun flot realisablef = (f(i,j), (i,j) E) entre s et t.
Etape 1 : (initialisation)Marquerspar (s, +).Poser (s) = +.
Etape 2 : Repeter les operations suivantes jusqua ce que tsoit marque ou quil ne soit plus possible de mar-quer.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 29/57
-
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Algorithme de la chane augmentante
Operation a)Si il existe un arc (i,j) tel que
i marquejnon marque
f(i,j)
-
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Algorithme de la chane augmentante
Operation b)Si il existe un arc (j, i) tel que
i marquejnon marque
f(j, i)>0Alors
Marquer jpar (i,)Poser (j) =min((i), f(j, i))
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 31/57
Al i h d l h
-
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Algorithme de la chane augmentante
Etape 3 : Si test marque Alors
une chane augmentante C entre s et t estdetectee et on pose =(t)
Sinonle flot f est maximum.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 32/57
Al i h d l h
-
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Algorithme de la chane augmentanteExemple :Considerons le reseau suivant ou le flot de depart est nul (donc
uniquement marquage direct possible).
1 3 5
2
4 6
7
(5)
(1)
(3)
(4)(7)
(2)(4)
(4)
(5)
(1)
(1) (6)
(9)
(1)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 33/57
Al ith d F d t F lk
-
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Algorithme de Ford et Fulkerson
On suppose que lon dispose dun flot initial f = (f(i,j), (i,j) E)entre s et t(on peut prendre f= 0).
Etape 1 : Appliquer lalgorithme de la chane augmentante af.Si test marque,
STOP f est optimal.Sinon
une chane augmentanteCest detectee, aller aletape 2.
Etape 2 : Changer le flot f comme suit :
f(i,j) =
f(i,j) si (i,j) C
f(i,j) + si (i,j) C+
f(i,j) si (i,j) C
Aller a letape 1.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 34/57
Al ith d F d t F lk
-
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35/57
Algorithme de Ford et Fulkerson
Exemple :
1 3 5
2
4 6
7
(5)
(1)
(3)
(4)(7)
(2)(4)
(4)
(5)
(1)
(1) (6)
(9)
(1)4
1 0
3
45
0
2 0
2
11 2
7 99
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 35/57
Algorithme de Ford et Fulkerson
-
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36/57
Algorithme de Ford et Fulkerson
Exemple :
1 3 5
2
4 6
7
(5)
(1)
(3)
(4)(7)
(2)(4)
(4)
(5)
(1)
(1) (6)
(9)
(1)4
1 0
3
4
2
11
711
2
0
7
2
4
11
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 36/57
Algorithme de Ford et Fulkerson
-
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37/57
Algorithme de Ford et Fulkerson
Exemple :
1 3 5
2
4 6
7
(5)
(1)
(3)
(4)(7)
(2)(4)
(4)
(5)
(1)
(1) (6)
(9)
(1)4
1 0
3
4
2
11
77
2
13
2
4
6
13
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 37/57
Algorithme de Ford et Fulkerson
-
7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
38/57
Algorithme de Ford et Fulkerson
Exemple :
1 3 5
2
4 6
7
(5)
(1)
(3)
(4)(7)
(2)(4)
(4)
(5)
(1)
(1) (6)
(9)
(1)4
1 0
3
4
1
7
4
6
14
3
1 3
0
8 14
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 38/57
Coupe
-
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Coupe
Definition : coupeEtant donne un graphe G =(V,E) et un sous-ensemble S desommets de V, on appelle coupe
associee a S, et on la note (S),lensemble des arcs (i,j) tels quei S et j V\S.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 39/57
Coupe
-
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40/57
Coupe
Exemple :
1 2
5
4
3
({1, 3, 4}) = {(1, 2), (1, 5), (3, 2), (4, 5)}
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 40/57
Coupe
-
7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
41/57
Coupe
Definition : separe
Etant donnes deux sommets s et tde Get une coupe (S), on ditque (S) separe s et t si s S et t V\S.Exemple :
1 2
5
4
3
La coupe ci-contre separe 1et5.Elle separe aussi3et2.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 41/57
Capacite dune coupe
-
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42/57
Capacite d une coupe
Definition : capacite dune coupeSi c= (c(i,j), (i,j) E) est un systeme de capacites associe aux
arcs du graphe G = (V,E) et si (S) est une coupe du graphealors la capacite de (S) est definie par
C((S)) =
(i,j)(S)
c(i,j).
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 42/57
Flots et coupes
-
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43/57
Flots et coupes
Theoreme :Soit un reseau R = (G= (V,E), s, t, c).
Si f = (f(i,j), (i,j) E) est un flot realisable entre s et t devaleur F et si (S) est une coupe qui separe s et t alors
F C((S)).
Preuve :
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 43/57
Th du flot max - coupe min
-
7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
44/57
Th du flot max coupe min
Theoreme : Th du flot max - coupe min
La valeur maximum dun flot realisable entre s et test egalea la capacite minimum dune coupe separant s et t.Preuve :
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 44/57
Th du flot max - coupe min
-
7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
45/57
Th du flot max coupe min
Exemple :
1 3 5
2
4 6
7
(5)
(1)
(3)
(4)(7)
(2)(4)
(4)
(5)
(1)
(1) (6)
(9)
(1)1 0
3
4
1
14
3
7
4
0
3
4
1
6
148
Remarque :Tous les arcs appartenant a la coupe sont satures et la valeur duflot sur ces arcs est bien de3+4+1+6=14.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 45/57
Flots entiers
-
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46/57
Remarque :Si les capacites sont entieres alors le flot max a des valeurs
entieres.
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 46/57
Graphe decart
-
7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
47/57
p
Definition : graphe decartSoit R = (G= (V,E), s, t, c) un reseau. Soit fun flot sur R.
Gf = (V, Ef) est le graphe decart de favec pour (i,j) E :
f(i,j)0 (j, i) Ef (arc non conforme)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Implementation et complexite de lalgorithme de Ford et Fulkerson 47/57
Graphe decart
-
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p
Exemple :
1 3 5
2
4 6
7
(5)
(1)
(3)
(4)(7)
(2)
(4)
(5)
(1)
(1) (6)
(9)
(1)4
4
13
(4)2
7
1 0
3
4
1
2 1
6
7 13
2
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Implementation et complexite de lalgorithme de Ford et Fulkerson 48/57
Graphe decart
-
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p
Exemple :
arcs conformes
arcs non conformes
1 3 5
2
4 6
7
4
(5)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Implementation et complexite de lalgorithme de Ford et Fulkerson 49/57
Graphe decart
-
7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
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Exemple :
arcs conformes
arcs non conformes
1 3 5
2
4 6
7
7
(7)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Implementation et complexite de lalgorithme de Ford et Fulkerson 50/57
Graphe decart
-
7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
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Exemple :
arcs conformes
arcs non conformes
1 3 5
2
4 6
7
0(1)
Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Implementation et complexite de lalgorithme de Ford et Fulkerson 51/57
Graphe decart
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7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres
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Exemple :
arcs non conformes
arcs conformes
1 3 5
2
4 6
7
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Graphe decart
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Remarque :La recherche dune chane augmentante se ramene a un parcours
en profondeur dans le graphe decart a partir s.Exemple :
arcs non conformes
arcs conformes
1 3 5
2
4 6
7
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Graphe decart
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Remarque :On calcule ensuite les capacites residuelles sur la chane de s a t.
Exemple :
arcs non conformes
arcs conformes
2 2 3
1
2
1 3 5
2
4 6
7
= 1
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Complexite
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1 Complexite dune iteration : O(m)
recherche dune chane augmentanteparcours en profondeur :O(m)2m arcs au pluscalcul de la capacite residuelle pour la chanetrouver le minimum dau plus n 1 capacites residuelles
O(n)calcul du nouveau flot : O(n)construction du nouveau graphe decart :au max 2 (n 1) arcs qui changent : O(n)
2 Nombre max diterations de Ford / Fulkerson
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Complexite
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1 Complexite dune iteration : O(m)
2 Nombre max diterations de Ford / Fulkersonhypotheses : c N et le flot de depart est entier.Les capacites residuelles sont entieres. la suite des flots est entiere.
la valeur du flot augmente au moins de 1 a chaqueiteration. au plus F iterations avec F=valeur du flot max.F
jc(s,j) (n 1)C avec C =max(i,j)Ec(i,j)
donc au pire, (n 1)C iterations.
Complexite dans le pire des cas de Ford / Fulkerson : O(n.m.C)
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Ameliorations de Ford et Fulkerson
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Idee 1 : Choisir une chane augmentante de capacite residuellemaximum.pas de garantie que les augmentations suivantesce nest plus un parcours mais la recherche dun chemin dedebit maximum
Idee 2 : Choisir une chane augmentante la plus courte possible entermes de nombre darcs.parcours en largeur
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