Anna Lovász Institute of Economics Hungarian Academy of Sciences June 3 0 , 201 1 .
Graph Limits and Testing Hereditary Graph Properties Lovász, Szegedy 2006.
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Graph Limits and Testing Hereditary Graph Properties
Lovász, Szegedy 2006
Propriedades Testáveis de Grafos
Propriedade P hereditária:
G satisfaz P todo subgrafo induzido de G satisfaz P
Propriedade P testável: Existe outra propriedade P’ tal que, , k: G satisfaz P Com prob. 1- , Gk induzido k vértices satisfaz P’
G -far(P) Com prob. 1- , Gk induzido k vértices não satisfaz P’
Teorema 1 [Alon, Shapira, 2005]:Propriedade Hereditária Testável
Parâmetros Testáveis de Grafos
Invariante f(G) de grafos normalizado entre 0 e 1
f(G) testável: , k: grafo G k vértices:Com prob. 1- , Gk induzido com k vértices satisfaz |f (G)-f (Gk)|
Distância entre grafos:
Distância para uma propriedade:
Teorema 2 [Alon, Shapira, 2005]:Distância para P hereditária é testável
Prova alternativa
Densidades de Subgrafos
t(F,G): Probabilidade de um random map V(F)V(G) preservar adjacências
tinj(F,G): injective
tind(F,G): e não-adjacências
Sequências Convergentes de Grafos
Sequência (Gn) de grafos simples |V(Gn)|
(Gn) convergente: (t(F,Gn)) converge, para todo grafo F simplescauchy? métrica?
Distância : generalização de d para pesos e conjunto diferente de vértices
[Borgs, Chayes, et al, 2006]:
(Gn) convergente cauchy em
Todo (Gn) possui uma subsequência convergenteProva:1. Elon Lages: Toda sequência limitada de reais possui subsequência convergente 2. Para todo (Gn), todo conjunto finito de grafos F possui subsequência na qual (t(F,Gn)) converge3. Segue do Teorema da Compacidade
Funções com 2 variáveis
Intuição: grafo em [0,1], onde W(x,y) é a dens entre vizinhança infinitesimal de x e y
Norma retangular:
Densidade de Subgrafos:
Relação, “Graphons” e Step-Functions
[Lovász, Szegedy 2004]: (Gn) convergente se e só se existe “objeto limite” tal que
Obs: Todo é limite de uma (Gn) convergente
W-random graph G(n,W) sobre [n]: sorteia x1,…xn: ij aresta com prob. W(xi,xj)
StepFunction:
f(G) Testável f(Gn) Convergente
[Borgs, Chayes, et al, 2006]:Parâmetro f(G) testável (Gn) convergente: f(Gn) converge
Prova ()f testável , k: grafo G k vértices:
|f (G)-f (G[Vk])| com prob. 1-, para Vk aleat. com k vértices
|f (G)-E(f (G[Vk]))| , para Vk aleat. com k vértices
(Gn) convergente
Fk com k vértices:
Um Lema Auxiliar
Lema 4:
Prova:Suponha Z indicadora de um retângulo S x T
Vale para Z step-function
(combinação linear de funções indicadoras de retângulos)
Vale para Z integrável
(por definição, aproxima para step-functions em L1([0,1]2) )
Graphons com a propriedade P hereditária
Funções , tais que n, x1,…,xn[0,1]:
Se G sobre [n] satisfaz: U(xi,xj)=0 ij E(G)
U(xi,xj)=1 ij E(G)
Então G satisfaz P
Obs1: Alterando 0<U(x,y)<1 gera U’ que satisfaz o mesmo
Obs2:
Lema 5: é fechado em com respeito a norma
Prova:
Distância de um Graphon para P
Distância para :
Lema 6: P hereditária é função contínua na norma ||||Prova:
Distância de um Graphon para P
Distância para :
Lema 6: P hereditária é função contínua na norma ||||Prova:
Se não for convergente, tomeuma subsequência convergente
Grafos e Graphons com a Propriedade P
Lema 7:
Prova:
Lema 8:
Prova:
Prova do Teorema 2
Tome (Gn) convergente:
Prova-se que
Se não for convergente, tomeuma subsequência convergente
FIM