Grandeurs et mesures au cycle 3

Frédéric FesquetInspection de l’Education Nationale de Saint-Affrique

2014-2015

Eratosthène, l’homme qui mesura la Terre avec un bâton et un chameau

• Erathostène, savant grec, III – II ème siècle av. JC. • Directeur de la grande Bibliothèque d’Alexandrie.• Précepteur du futur pharaon Ptolémée IV.

Il constate que : « Dans la ville de Syène, à midi le jour du solstice d’été, le soleil éclaire le fond des puits ».

A Syène (Assouan), le 21 juin à midi, le soleil est exactement à la verticale du sol (ses rayons peuvent donc atteindre le fond des puits.)..

Le même jour, à la même heure, à Alexandrie, il observe que le Phare ou les obélisques ont une ombre.

Si le 21 juin à Syène, le Soleil est à la verticale du sol, c’est que la trajectoire de ses rayons à cet endroit passe par le centre de la Terre.

Eratosthène observe qu’à Alexandrie l’angle formé par l’ombre d’un bâton, le 21 juin à midi, valait 1/50ème de cercle, soit 360°/50 = 7.2°.

D’après le théorème des angles alternes-internes, l’angle au sommet du bâton est donc égal à l’angle qui sépare les deux villes à la surface de la Terre...

Puisque la mesure de l’angle par Erathostène à Alexandrie donne 1/50ème de cercle. Il doit estimer la distance entre Syène et Alexandrie.

Sachant qu’un chameau met 50 jours pour aller d’Alexandrie à Syène, et qu'il parcourt 100 stades par jour (le stade valait environ 157,5 m). La distance entre les villes est donc d’environ 5000 stades.

Si 1/50ème de la circonférence de la Terre égale 5000 stades, c’est que cette dernière mesure environ 250 000 stades ...

250 000 stades X 157,5 m =

39 375 000 m soit 39 375 km ...

Un bâton, un chameau et des hypothèses

Pour mesurer la circonférence de la Terre, Eratosthène fait trois suppositions

La Terre est ronde

Les rayons du Soleil sont parallèles

Syène et Alexandrie sont sur le même

méridien

Grandeurs et mesures

La démarche d’Eratosthène montre que la rencontre avec la notion de grandeur, c’est-à-dire le fait de reconnaitre à un objet une propriété, un caractère, passe par l’élaboration de protocoles et la manipulation d’objets permettant des comparaisons, directes ou indirectes.

Dans l’histoire d’Eratosthène, qu’est-ce qui relève des grandeurs et des mesures ?

Grandeurs et mesures

Donner du sens aux mots

Grandeur ? Des mots pour dire tout et...n’importe quoi, « grand » et « petit »:- un appartement plus petit, c’est une affaire d’aire...- une valise plus grande, c’est une histoire de volume ...- un vase plus grand souvent pour parler d’un vase plus haut... ou plus profond!!!ou un petit chemin dans la forêt lorsqu’il est étroit …

Grandeurs et mesures

Donner du sens aux mots

Grandeur ? Des mots différents pour désigner une même grandeur :Largeur, épaisseur, profondeur, hauteur, longueur, périmètre, rayon, diamètre, distance … tous ces mots désignent une seule grandeur, une longueur.

Grandeurs et mesures

Donner du sens aux mots

Grandeur ? Quelles grandeurs pour quels objets ?Lignes Longueur Surfaces AireSolides Volume – capacité Angle Secteurs angulaires Evénement qui s’étale dans le temps Durée ……

Grandeurs et mesures

Essai de définition ?

Grandeur ? Toute propriété d’un objet qui peut être quantifiée par la mesure ou le calcul, et dont la valeur s'exprime à l'aide d'un nombre accompagné d'une unité de mesure.Exemple : longueur/largeur/hauteur/profondeur/circonférence /périmètre/taille;masse/poids;aire/surface; durée/ temps ; angle ; volume/ capacité/ contenance ; température ; prix/monnaie ; octet /quantité de données.

Grandeurs et mesures

Essai de définition ?

Grandeur ? deux types de grandeursGrandeurs repérables : grandeurs pour lesquelles on peut constater l’égalité et qu’on peut ordonner Exemples : la température, la date, l’altitude...

Grandeurs mesurables : grandeurs qui ont les propriétés précédentes et qu’en plus on peut additionner et multiplier par un nombreExemples : la longueur, la masse, l’aire, le volume, la durée

Grandeurs et mesures

définitions internationales

Le mètre : Première définition officielle (26 mars 1791) par l'Académie des sciences : la dix-millionième partie d'un quart de méridien terrestre.Définition de 1983 : distance parcourue par la lumière dans le vide en 1⁄299 792 458 seconde.

Le kilogramme : Le gramme a été initialement défini comme la masse d’un centimètre cube d’eau à la température de 4 °C, qui correspond à un maximum de masse volumique. Le 22 juin 1799, un étalon en platine d’un kilogramme, soit la masse d’un décimètre cube d’eau, fut déposé aux Archives de France.

Grandeurs et mesures

Essai de définition ?

Mesure ? Très souvent le terme « mesure » confond l’action de mesurer (mesurage) et le résultat de cette action (détermination de nombres).On peut retenir qu’il s’agit de la désignation de grandeurs à l’aide d’un nombre et d’une unité.Mesurer c’est calculer : sectionner, couper, transformer la grandeur à mesurer en petits morceaux tous égaux (l’unité) qui seront ensuite dénombrés.

Grandeurs et mesures

Essai de définition ?

Mesure ? Une mesure est une fonction (une combinaison d’opérations à partir d’une ou plusieurs variables ou paramètres) qui associe à tout élément d’une famille une grandeur donnée (36), dans une unité donnée (cm).

Grandeurs et mesures

Tout est-il mesurable?

La température : relevée ou mesurée ?L’heure : « Il est 16 heures. » Est-ce une mesure ?

Grandeurs et mesures

Essai de définition ?

« Grandeurs et mesures » sont des notions utilisées par les enseignants. Elles doivent être interrogées, manipulées, maîtrisées afin de pouvoir être enseignées avec efficacité mais ces deux termes sont à utiliser avec précautions avec les élèves. Les reformulations, de la part des élèves et de l’enseignant doivent être fréquentes.La cour de l’école mesure 15 m de large => Il faut compter 15 fois un mètre pour aller d’un bord à l’autre.

Grandeurs et mesures dans l’enseignement

« L’apprentissage des grandeurs joue un rôle important dans les mathématiques que ce soit pour le développement du raisonnement, le renforcement de l’esprit critique ou l’épanouissement de la vie citoyenne. Il construit un chemin entre les insuffisances du perceptif, l’intérêt des instruments de mesure (qu’il est nécessaire d’apprendre à utiliser) et la puissance du raisonnement (dont le calcul). Il prépare un terrain d’expérience pour d’autres concepts mathématiques : nombres non entiers, preuves géométriques. C’est un domaine prétexte à l’interdisciplinarité, un croisement des sciences, de l’histoire, de la géographie ».Catherine HOUDEMENT. Journées IREM, Lille, 2006

Grandeurs et mesures dans les programmes

Les noms « grandeurs » et « mesures » sont quasiment absents des programmes de 1977.

Ils apparaissent en 1985 sous la forme de deux domaines.CP : Préparation de la mesureCE : Mesure de quelques grandeurs

En 1995, ont leur donne une place plus importante. Les mesures sont reconnues comme un domaine du programme de mathématique dans lequel on aborde la notion de grandeur. « Mesure- Mesure de différentes grandeurs : longueur, masse, durée.….. »

Les programmes de 2002 font de « grandeurs et mesures » un domaine à part entière du programme de mathématique dans une optique transversale: « Les concepts de grandeur et de mesure prennent du sens à travers des problèmes liés à des situations vécues par les enfants .... C’est l’occasion de renforcer et de relier entre elles les connaissances numériques et géométriques, ainsi que celles acquises dans le domaine “Découvrir le monde”.. »

Les programmes de 2008 oublient la caractère transversal de l’approche du domaine « grandeurs et mesures » : « Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit.

«Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle. Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.«Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier.Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés.

« La monnaie

La résolution de problèmes « concrets » contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner du sens. A cette occasion des estimations de mesure peuvent etre fournies puis validées. »

Grandeurs et mesures dans les aménagements de programmes

Au collège les élèves verront :• La construction de la hauteur d'un triangle et la reproduction d'un triangle. On ne fait que les aborder en CM2• Les formules de périmètre, d'aire et de volume

Recommandations pour la mise en œuvre des programmesBulletin officiel > 2014 > n° 25 du 19 juin

Au CM2 on se concentre sur le travail sur des patrons de solides. Il consiste à associer un patron au solide correspondant ou à compléter des patrons de cube ou de pavé droit.

Recommandations pour la mise en œuvre des programmesBulletin officiel > 2014 > n° 25 du 19 juin

Au cycle III on consolide la notion de périmètre des polygones par le calcul pas à pas (en ajoutant au fur et à mesure chacune des longueurs), en faisant pour le carré et le rectangle le lien avec les formules

Recommandations pour la mise en œuvre des programmesBulletin officiel > 2014 > n° 25 du 19 juin

Le calcul d'une aire se limite au CM2 à celle d'un carré ou d'un rectangle.On approche la notion d'aire à partir de manipulations (pavages...) ; les formules d'aire du carré et du rectangle pourront aisément se déduire d'une activité de pavage par des carrés.

Recommandations pour la mise en œuvre des programmesBulletin officiel > 2014 > n° 25 du 19 juin

Au cycle 3, le concept de grandeur ne s’appuie plus seulement sur la perception des situations de la vie courante.Les unités de mesure sont connues et étudiées, la définition des grandeurs utilise des repères physiques (main, pied, pas, rue, stade, ..) et tire profit d’une reformulation fréquente, l’aire c’est : « la quantité de papier qu’utilise cette figure », « l’encombrement », « la place qu’elle prend sur le papier » Elise LOCQUET

Grandeurs et mesures analyse de pratique

Découverte de la notion d’aire d’après une séquence d’Elise Locquet

Source : Elise Locquet, L'INTRODUCTION DE LA NOTION D'AIRE, MASTER SMEEF Spécialité « Professorat des écoles », (M2), Année 2012/2013, Arras.

Source : Elise Locquet, L'INTRODUCTION DE LA NOTION D'AIRE, MASTER SMEEF Spécialité « Professorat des écoles », (M2), Année 2012/2013, Arras.

Grandeurs et mesures

On veut déterminer laquelle de ces noix de coco est la plus grosse.

Comment s’y prendre ? Quels problèmes va-t-on rencontrer ? Quelle solution est la plus pertinente ?

Utilisation par l'enseignant : Commencer par afficher le menu "parcours personnalisé" (cliquer sur l'option dans le menu déroulant, sous "Le Matou Matheux").

A partir de ce menu, il peut :• créer un parcours personnalisé en indiquant un mot de passe qui le protègera des modifications ;• charger un parcours existant en entrant le numéro et le mot de passe associés ;• lister les parcours créés par les autres.

Créer un parcours avec le site http://matoumatheux.ac-rennes.fr/

Une fois un parcours chargé ou créé, l'enseignant peut :

• ajouter la page en cours au parcours, à condition que cette option soit activée pour celle-ci, elle est alors non grisée. L'enregistrement du parcours est automatique ;• gérer le parcours, c'est-à-dire monter ou descendre une page, la supprimer, donner un titre au parcours, modifier le mot de passe, supprimer le parcours.

Vous pouvez créer autant de parcours que vous le souhaitez, mais attention à ne pas perdre les numéros et mots de passe ! Un parcours n'est effacé qu'après 15 mois d'inactivité.

Créer un parcours avec le site http://matoumatheux.ac-rennes.fr/

Utilisation autonome par l'élève :L'enseignant communique le numéro du parcours à ses élèves.L'élève affiche le parcours en entrant ce numéro depuis la page d'accueil du site.

L’élève peut disposer d’un plan de travail qui détermine son parcours avec autant d’essais qu’il le souhaite.

Parcours 494 : mesure ce2 Date Nombre d’essais

1 Le jaguar

2 Le requin baleine

3 La corneille noire

4 L'hippopotame commun

5 Le dauphin commun

……

Sources :1) Site web d’Anne Rhulmann : n’est plus actualisé mais fonctionne encorehttp://matoumatheux.ac-rennes.fr/accueil.htm Le + => permet de créer des parcours ou de réutiliser les parcours créés par des collègues

(plusieurs milliers). Un parcours personnalisé est un ensemble ordonné de pages du site, choisies par l'enseignant. C'est un marque-pages que les élèves pourront utiliser.

2) Site web de Thérèse Eveilleauhttp://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/indexF.htm Les mathématiques deviennent ludiques3) Animation pédagogique : Cycle III, GRANDEURS et MESURES, Patrick WIERUSZEWSKI Université

Orléans, IUFM, site de BLOIS, CHATEAUROUX, lycée agricole de TOUVENT, Mars 2012.4) Grandeurs et mesures cycle 3 : longueurs, masses, aires et capacités (C. Perfetta et O. Hunault,

IPR) http://www.ia94.ac-creteil.fr/maths/pdf_maths/grandeurs_mesures_C3.pps5) Elise Locquet, L'INTRODUCTION DE LA NOTION D'AIRE, MASTER SMEEF Spécialité « Professorat

des écoles », (M2), Année 2012/2013, Arras. http://dumas.ccsd.cnrs.fr/dumas-00906343/document

6) Sur Eratosthène : http://sciencetonnante.wordpress.com/2011/10/03/la-mesure-de-la-circonference-de-la-terre-par-eratosthene/

7) Le nombre au cycle 3. Les apprentissages numériques, SCEREN/CRDP, 2012