Grand théorème de FermatGrand théorème de Fermat Définition Les nombres algébriques ...
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Théorie algébrique des nombres
TAI Nombres et structures
Anthony BrancaClément GarnierAntoine Llorca Sébastien Masurel
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Grand théorème de Fermat
Définition
Les nombres algébriques
L’anneau de Dedekind
La fonction zêta
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Des entiers aux polynômes
Fermat conjecture qu’il n’y a pas de solution à l’équation xn + yn = zn pour n ≥ 3 avec x, y, z entiers triviaux .
En 1994, Andrew Wiles la démontre. Elle deviendra alors théorème de Fermat-Wiles.
q(x) ≡ r(x) mod p(x) p(x) divise (q(x) – r(x))
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Des entiers aux polynômes
Démonstration:
- Soit q(x), p(x) et r(x) tel que q(x) ≡r(x)mod p(x).La division euclidienne de q(x) par p(x) est donc q(x)=p(x)*s(x)+r(x) avec s(x) quotient de la division.Alors q(x)-r(x)=p(x)*s(x) et donc p(x) divise (q(x)-r(x)).
- Soit q(x), p(x) et r(x) tel que on a p(x) divise (q(x)-r(x)).Il existe donc s(x) tels que q(x)-r(x)=p(x)*s(x) .On a alors : q(x)=p(x)*s(x)+r(x) et donc q(x) ≡r(x)mod p(x).
-Donc q(x) ≡ r(x) mod p(x) p(x) divise (q(x) – r(x))
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Des polynômes aux nombres idéaux
Racines p-ièmes de l’unité démonstration :
xp + yp = ?
ei2π = 1
αn la racine n-ième de 1 dans ℂ
αn = (ei2π)1/n = ei2π/n
Avec la formule d’Euler αn = cos(2 / n) + isin(2 / n)
Tout les α sont des puissances de l’une d’entre elles
Si p est premier, toute racine p-ième sauf 1 est racine primitive
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Des polynômes aux nombres idéaux
Kummer veut démontrer xp + yp en facteur premiers ou p est premier
xp + yp = (x + y)(x + y) … (x + p-1y)
Etudes des « entiers complexes »
a0 + a1 + a22 + a33 + … + ap-1p-1
Kummer dit décomposition en facteur premier est unique
Preuve réfuter par Cauchy pour p=23
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Annexes
Quelques scripts Python La suite de Fibonacci Les nombres premiers Factorisation d’un entier en facteurs premiers Les nombres de Smith Approximation de la racine carrée d’un réel
Programme en C Résolution d’équation du quatrième degré