Grafos de exclusividad básicos en correlaciones cuánticas
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GRAFOS DE EXCLUSIVIDAD BÁSICOSEN CORRELACIONES CUÁNTICAS
José Ra. Portillo Fernández
Universidad de Sevilla, España
18 de Octubre de 2013
JOSÉ RA. PORTILLO GRAFOS DE EXCLUSIVIDAD BÁSICOS EN CORRELACIONES CUÁNTICAS
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GRAFOS DE EXCLUSIVIDAD BÁSICOS EN CORRELACIONES CUÁNTICAS
con M. KLEINMANN, O. GUHNE, J.A. LARSSON, A. CABELLOMemory cost of quantum contextuality.New J. Phys 13 (113011), 2011.con E. AMSELEM, L. E. DANIELSEN, A. J. LÓPEZ-TÁRRIDA, M. BOURENNANE,A. CABELLOExperimental fully contextual correlations.Physical Review Letters 108 (200405), 2012.con A. CABELLO, L. E. DANIELSEN, A. J. LÓPEZ-TÁRRIDAQuantum Social Networks.J. Phys. A: Math. Theor 45 (285101), 2012.con A. CABELLO, L. E. DANIELSEN, A. J. LÓPEZ-TÁRRIDABasic logical structures in quantum correlations.Physical Review A 88, (032104) 2013.
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RESUMEN
CONTEXTUALIDAD CUÁNTICA
Correlaciones cuánticas entre resultados de medidas compatibles nopueden ser reproducidas mediantes teorías de variables ocultas nocontextuales (NCHV)
DETECCIÓN EXPERIMENTAL: DESIGUALDADES NO CONTEXTUALES (NC)
Violación de desigualdades satisfechas por modelos NCHV
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
Comprender por qué QM sólo viola algunas desigualdades NC
Identificar qué previene violaciones mayores a las cuánticas.
¡ RESOLVEMOS USANDO GRAFOS!
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RESUMEN
CONTEXTUALIDAD CUÁNTICA
Correlaciones cuánticas entre resultados de medidas compatibles nopueden ser reproducidas mediantes teorías de variables ocultas nocontextuales (NCHV)
DETECCIÓN EXPERIMENTAL: DESIGUALDADES NO CONTEXTUALES (NC)
Violación de desigualdades satisfechas por modelos NCHV
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
Comprender por qué QM sólo viola algunas desigualdades NC
Identificar qué previene violaciones mayores a las cuánticas.
¡ RESOLVEMOS USANDO GRAFOS!
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RESUMEN
CONTEXTUALIDAD CUÁNTICA
Correlaciones cuánticas entre resultados de medidas compatibles nopueden ser reproducidas mediantes teorías de variables ocultas nocontextuales (NCHV)
DETECCIÓN EXPERIMENTAL: DESIGUALDADES NO CONTEXTUALES (NC)
Violación de desigualdades satisfechas por modelos NCHV
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
Comprender por qué QM sólo viola algunas desigualdades NC
Identificar qué previene violaciones mayores a las cuánticas.
¡ RESOLVEMOS USANDO GRAFOS!
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RESUMEN
CONTEXTUALIDAD CUÁNTICA
Correlaciones cuánticas entre resultados de medidas compatibles nopueden ser reproducidas mediantes teorías de variables ocultas nocontextuales (NCHV)
DETECCIÓN EXPERIMENTAL: DESIGUALDADES NO CONTEXTUALES (NC)
Violación de desigualdades satisfechas por modelos NCHV
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
Comprender por qué QM sólo viola algunas desigualdades NC
Identificar qué previene violaciones mayores a las cuánticas.
¡ RESOLVEMOS USANDO GRAFOS!
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LA VERDAD
LA VERDAD
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LA VERDAD
¿ QUÉ ESLA VERDAD ?
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LA VERDAD
LA VERDADES UN GRAFO
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LA VERDAD
Los vérticesson proposiciones lógicas
Las aristasunen proposiciones contradictorias
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LA VERDAD
¿ CUÁNTA VERDAD HAYEN UN GRAFO?
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VERDAD NCHV
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VERDAD NCHV
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VERDAD NCHV
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VERDAD PROBABILÍSTICA
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VERDAD PROBABILÍSTICA
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VERDAD PROBABILÍSTICA
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VERDAD PROBABILÍSTICA
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VERDAD CUÁNTICA
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DESIGUALDAD CLAUSER-HORNE-SHIMONY-HOLT
Desigualdades no contextuales (NC)⇐⇒herramientas para identificar e investigar correlaciones.
Desigualdades NC violadas por QM⇐⇒Grafos cuánticos contextuales.
〈A1B0〉 =
∫A(a′, λ)B(b, λ)ρ(λ)dλ
〈A1B0〉 − 〈A1B1〉 =
∫[A(a′, λ)B(b, λ) − A(a′, λ)B(b′, λ)]ρ(λ)dλ =∫
A(a′, λ)B(b, λ)[1 ± A(a, λ)B(b′, λ)]ρ(λ)dλ −∫
A(a′, λ)B(b′, λ)[1 ± A(a, λ)B(b, λ)]ρ(λ)dλ
|〈A1B0〉 − 〈A1B1〉| ≤∫
[1 ± A(a, λ)B(b′, λ)]ρ(λ)dλ +
∫[1 ± A(a, λ)B(b, λ)]ρ(λ)dλ,
|〈A1B0〉 − 〈A1B1〉| ≤ 2 ± (〈A0B1〉 + 〈A0B0〉) =⇒|〈A1B0〉 − 〈A1B1〉 + 〈A0B1〉 + 〈A0B0〉| ≤ 2
β = 〈A0B0〉+ 〈A0B1〉+ 〈A1B0〉 − 〈A1B1〉NCHV
≤ 2
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GRAFO DE EXCLUSIVIDAD
DESIGUALDAD CLAUSER-HORNE-SHIMONY-HOLT
P(a, b | x , y) = P(se obtiene a al medir Ai y se obtiene b al medir Bj )
±〈Ai Bj 〉 = 2[P(1,±1 | i, j) + P(−1,∓1 | i, j)] − 1 =⇒ S =β
2+ 2 =
P(1, 1 | 0, 0) + P(−1,−1 | 0, 0) + P(1, 1 | 0, 1) + P(−1,−1 | 0, 1)
+P(1, 1 | 1, 0) + P(−1,−1 | 1, 0) + P(1,−1 | 1, 1) + P(−1, 1 | 1, 1)NCHV
≤ 3
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GRAFO DE EXCLUSIVIDAD
DESIGUALDAD CLAUSER-HORNE-SHIMONY-HOLT
SCHSH = Σx,y,a,b∈0,1s.t.a⊕b=xy P(a, b|x , y),
(a, b|x , y) (a′, b′|x ′, y ′) excluyente↔↔ x = x ′, a 6= a′ o y = y ′, b 6= b′.
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CLAUSER-HORNE-SHIMONY-HOLT INEQUALITY
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GRAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES
Desigualdades no contextuales (NC)⇐⇒herramientas para identificar e investigar correlaciones.
Combinaciones lineales de probs. de eventos en una desig. NC⇐⇒ combinaciones convexas de probabilidades de eventos S⇐⇒ grafo G(S).
eventos↔ vérticeseventos excluyentes↔ aristas.
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GRAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES
Desigualdades no contextuales (NC)⇐⇒herramientas para identificar e investigar correlaciones.
Combinaciones lineales de probs. de eventos en una desig. NC⇐⇒ combinaciones convexas de probabilidades de eventos S⇐⇒ grafo G(S).
eventos↔ vérticeseventos excluyentes↔ aristas.
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LA VERDAD
¿ CÓMO SE CALCULALA VERDAD CUÁNTICA?
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LA VERDAD CUÁNTICA
LÓGICA CUÁNTICA
Proposiciones = vectores de un espacio de Hilbert de dimensión d > 2.
Proposiciones excluyentes↔ vectores ortonormales.
GRAFOS CONTEXTUALES: REPRESENTACIONES ORTONORMALES
proposiciones↔ vectores↔ vértices
proposiciones excluyentes↔ vectores ortonormales↔ aristas
d-contextos completos↔ bases ortonormales↔ d-cliques
VERDAD
En un estado cuántico Ψ, las probabilidades de las proposiciones asociadasa los vectores |vi〉 son
|〈Ψ|vi〉|2
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LA VERDAD CUÁNTICA
LÓGICA CUÁNTICA
Proposiciones = vectores de un espacio de Hilbert de dimensión d > 2.
Proposiciones excluyentes↔ vectores ortonormales.
GRAFOS CONTEXTUALES: REPRESENTACIONES ORTONORMALES
proposiciones↔ vectores↔ vértices
proposiciones excluyentes↔ vectores ortonormales↔ aristas
d-contextos completos↔ bases ortonormales↔ d-cliques
VERDAD
En un estado cuántico Ψ, las probabilidades de las proposiciones asociadasa los vectores |vi〉 son
|〈Ψ|vi〉|2
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LA VERDAD CUÁNTICA
LÓGICA CUÁNTICA
Proposiciones = vectores de un espacio de Hilbert de dimensión d > 2.
Proposiciones excluyentes↔ vectores ortonormales.
GRAFOS CONTEXTUALES: REPRESENTACIONES ORTONORMALES
proposiciones↔ vectores↔ vértices
proposiciones excluyentes↔ vectores ortonormales↔ aristas
d-contextos completos↔ bases ortonormales↔ d-cliques
VERDAD
En un estado cuántico Ψ, las probabilidades de las proposiciones asociadasa los vectores |vi〉 son
|〈Ψ|vi〉|2
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VERDAD NCHV
α(G) = 3
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VERDAD CUÁNTICA
ϑ(G) = m«ax|Ψ|=1,G o.r. |vi 〉
n∑i=1
|〈Ψ|vi〉|2 = 2 +√
2
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VERDAD PROBABILÍSTICA
α∗(G) = 4
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GRAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES
α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G)
α(G) Número de Independencia
ϑ(G) Número de Lovász m«ax|Ψ|=1,G o.r . |vi 〉
n∑i=1
|〈Ψ|vi〉|2
α∗(G) Número de Rosenfeld m«ax∑i∈clique wi≤1
∑i∈V (G),0≤wi≤1
wi
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GRAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES
α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G)
α(G) Número de IndependenciaCota de Teorías clásicasϑ(G) Número de LovászCota de Mecánica Cuánticaα∗(G) Número de RosenfeldCota de Teorías probabilísticas
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GRAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES
α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G)
Grafos cuánticos contextuales: α < ϑ
Grafos cuánticos totalmente contextuales: α < ϑ = α∗
Grafos cuánticos no contextuales: α = ϑ
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GRAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES
RESULTADOS
GCCs no son grafos perfectosα(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G)↔ ω(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G) ≤ χ(G)
QCGPG
G
QNCG
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GRAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES
RESULTADOS
GCCs tienen como grafos inducidos a agujeros impares (odd holes) oantiagujeros impares (odd antiholes).
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AGUJEROS IMPARES
RESULTADOS
Los agujeros impares (ciclos con n vértices, n > 3 impar) son GCCs.
α(Cn) =n − 1
2< ϑ(Cn) =
n cos(π
n
)1 + cos
(πn
)R.O. óptima Lovász de agujeros impares en dimensión 3:
〈vj | =
√ϑ
n√1− ϑ
ncos
(2πjn
)√
1− ϑ
nsin(
2πjn
)
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AGUJEROS ANTIIMPARES
RESULTADOS
Los antiagujeros impares (complementarios de ciclos con n vértices,n > 3 impar) son GCCs.
α(Cn) = 2 < ϑ(Cn) =
1 + cos(π
n
)cos(π
n
)
R.O. óptima Lovász de antiagujeros impares en dimensión 2n + 1(Knuth, 1993)R.O. óptima Lovász de antiagujeros impares en dimensión n − 2(Portillo, 2012):
vj,0 =
√ϑ
n
vj,2m−1 = (−1)j(m+1)
√√√√√√√√√2
(cos(π
n
)+ (−1)m+1 cos
((m + 1)π
n
))
n cos(π
n
) cos
(j(m + 1)π
n
)
vj,2m = (−1)j(m+1)
√√√√√√√√√2
(cos(π
n
)+ (−1)m+1 cos
((m + 1)π
n
))
n cos(π
n
) sin
(j(m + 1)π
n
)
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AGUJEROS ANTIIMPARES
RESULTADOS
Si una estructura cuántica contiene un antiagujero impar de n ≥ 5vértices, entonces la dimensión cuántica producida por la correlación es,al menos,b2n/3c.
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NMERO DE ESTRUCTURAS BÁSICAS INDUCIDASEN DESIGUALDADES NC Y DEMOSTRACIONES KS
NC inequalityKS proof Vertices Dimension C5 C7 C7 C9 C9
KCBS 5 3 1 0 0 0 0CHSH 8 4 8 0 0 0 0S3 10 4 10 0 0 0 0KCBS-twin 10 6 12 0 0 0 0Mermin 16 8 96 0 0 0 0KS-18 18 4 144 108 0 12 0YO 22(13+9) 3 288 384 0 0 0KS-24 24 4 576 576 0 192 0KS-31 31 3 70 184 0 248 0KS-33 33 3 72 84 0 128 0
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NÚMERO DE GRAFOS CONEXOS CON n VÉRTICES
Tipo / vértices 5 6 7 8 9 10No isomorfos 21 112 853 11117 261080 11716571Perfectos 20 105 724 7805 126777 3122221Contextuales 1 3 33 498 16533 975330No perfectos y - 4 96 2814 117770 7619020no contextualesTotalmente context. - - - - - 4
RESULTADOS
P(α(G) < ϑ(G)) u 1 para G de orden arbitrariamente grande.
1
34
25 6
7
8
9
10
1
34
25 6
7
8
9
10
(a) (b) 1
3
8
2 5
6 7
4
9
10
12
3
4
56
7
8
9
10(c) (d)
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NÚMERO DE GRAFOS CONEXOS CON n VÉRTICES
Tipo / vértices 5 6 7 8 9 10No isomorfos 21 112 853 11117 261080 11716571Perfectos 20 105 724 7805 126777 3122221Contextuales 1 3 33 498 16533 975330No perfectos y - 4 96 2814 117770 7619020no contextualesTotalmente context. - - - - - 4
RESULTADOS
P(α(G) < ϑ(G)) u 1 para G de orden arbitrariamente grande.
1
34
25 6
7
8
9
10
1
34
25 6
7
8
9
10
(a) (b) 1
3
8
2 5
6 7
4
9
10
12
3
4
56
7
8
9
10(c) (d)
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EN LABORATORIO
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EN LABORATORIO
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EN LABORATORIO
Probabilidad Resultado experimental Experimento idealP(010|012) 0,24091± 0,00021 0,25P(111|012) 0,30187± 0,00020 0,25
P(01|02) 0,28057± 0,00020 0,25P(00|03) 0,50375± 0,00014 0,5P(11|03) 0,47976± 0,00014 0,5P(00|14) 0,47511± 0,00034 0,5P(01|25) 0,43765± 0,00015 0,5
P(010|345) 0,24296± 0,00051 0,25P(111|345) 0,25704± 0,00052 0,25
P(10|35) 0,24751± 0,00035 0,25Ω 3,4671± 0,0010 3,5
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PROBLEMAS ABIERTOS
Caracterización de grafos contextuales
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GRAFOS CONTEXTUALES
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GRAFOS CONTEXTUALES
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GRAFOS CONTEXTUALES
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GRAFOS CONTEXTUALES
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PROBLEMAS ABIERTOS
Caracterización de grafos contextualesCaracterización de grafostotalmente contextuales
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GRAFOS CONTEXTUALES
1
34
25 6
7
8
9
10
1
34
25 6
7
8
9
10
(a) (b) 1
3
8
2 5
6 7
4
9
10
12
3
4
56
7
8
9
10(c) (d)
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PROBLEMAS ABIERTOS
Caracterización de grafos contextualesCaracterización de grafostotalmente contextualesGrafos contextuales con simetría
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GRAFOS CONTEXTUALES
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PROBLEMAS ABIERTOS
Caracterización de grafos contextualesCaracterización de grafostotalmente contextualesGrafos contextuales con simetríaRango ortogonal de un grafo(dimensión cuántica)
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Gracias
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AVISO LEGAL
Ningún gato ha sido maltratado en esta investigación.
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REDES SOCIALES
jazzOxfordyogasushichessBachrunning
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jazzOxfordyogasushichessBachrunning
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REDES SOCIALES
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REDES SOCIALES
DIFERENCIA ENTRE CSN Y GSN
Probabilidad media T de que para un actor Ti = 1.
REDES SOCIALES CLÁSICAS
T =ω(G)
n=
número de cliquenúmero de vértices
(=
26
=13
)=α(G)
n
REDES SOCIALES GENERALES
T =α∗(G)
n
(=
5/26
=5
12
).
REDES SOCIALES CUÁNTICAS
T =1n
n∑i=1
|〈Ψ|ψi〉|2 =ϑ(G)
n
(=
√5
6
)
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REDES SOCIALES / GRAFOS CONTEXTUALES
RESULTADOS
Estados cuánticos |Ψ〉 y |ψi〉 en dim. mín. ξ(G) optimizando T .
|Ψ〉 estado inicial de S con máxima ventaja cuántica.
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