Investigacin de operaciones

Investigacin de operaciones GRAFOS: APLICACIONES DE REDES

IntroduccinEn una red de comunicacin, no es necesario que toda estacin pueda comunicarse directamente con otra, puesto que las estaciones pueden actuar de posta para un mensaje entre otras dos estaciones. Si una estacin, o una lnea de datos, dejan de funcionar, queremos saber si la red queda conexa, es decir, si todas las estaciones que siguen funcionando pueden comunicarse entre s.

Definicin: Grafo

Un grafo o red est definido por dos conjuntos de smbolos: nodos y arcos.

Un nodo corresponde a un vrtice de un grafo. Un arco corresponde a un par ordenado de vrtices que representan una posible direccin de desplazamiento a travs de un grafo. Si un grafo posee el arco (i; j), el desplazamiento desde el nodo i al nodo j es factible en el grafo. El punto i es el nodo inicial, El punto j es el nodo terminal del arco

Definicin: GrafoUn grafo es una dupla G= {X, U}, Donde X: es un conjunto finito y no vaco de elementos llamados vrtices y U: es el conjunto cuyos elementos se componen de sub conjunto de X de cardinalidad. Los vrtices de X generalmente son nombrados X1, x2,.., Xn y son representados como puntos, las aristas en cambio son nombradas U1, U2,Un y son graficadas como lneas

Terminologa Las flechas se conocen como arco o rama de la redLos puntos/elementos del modelo se conocen como nodos de la red.Una ruta es una secuencia de arcos distintos que conectan a dos nodos.En la red podemos observar las diferentes rutas que puede tomar el flujo por medio de los arcos o ramas de la red.La cantidad mxima de flujo (quiz infinito) que puede circular en un arco dirigido se conoce como capacidad del arco. Entre los nodos se puede distinguir aquellos que son generadores de flujo, Cada nuevo arco crea un rbol ms grande, Una red conexa es una red en la que cada par de nodos est conectado.

Consideraciones importantes:

Las flechas/lneas de una sola direccin son arcos directos.Las lneas con flujo para ambas direcciones son arcos indirectos.Una red que tiene solamente arcos directos es una red directa.Una red que tiene arcos en ambas direcciones es una red indirecta.Una ruta que empieza y termina en el mismo nodo es un ciclo.Si la red contiene como mnimo una ruta directa entre 2 nodos, se dice que estn conectados.

Los problemas de optimizacin de redes se pueden representar en trminos generales a travs de uno de estos cuatro modelos:

Modelo de minimizacin de redes

El modelo de minimizacin de redes o problema del rbol de mnima expansin tiene que ver con la determinacin de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en la solucin del problema.

Algoritmo para construir el rbol de expansin mnima:

Algunas aplicaciones

1. Diseo de redes de telecomunicacin redes de fibras pticas, de computadoras, telefnicas, de televisin por cable, etctera.2. Diseo de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras vas ferroviarias, carreteras, etctera.3. Diseo de una red de lneas de transmisin de energa elctrica de alto voltaje.En esta era de la supercarretera de la informacin, las aplicaciones del primer tipo han cobrado una importancia especial, pues en una red de telecomunicaciones slo es necesario insertar suficientes ligaduras para que proporcionen una trayectoria entre cada par de nodos, de modo que el diseo de tales redes es una aplicacin clsica del problema del rbol de expansin mnima.

Modelo de Flujo Mximo

Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a travs de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad mxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la mxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Algoritmo para el modelo de flujo mximo:

Algunas aplicaciones

Maximizar el flujo a travs de la red de distribucin de una compaa desde sus fbricas hasta sus clientes.Maximizar el flujo a travs de la red de suministros de una compaa de proveedores a las fbricas.Maximizar el flujo de petrleo por un sistema de tuberas.Maximizar el flujo de agua a travs de un sistema de acueductos.Maximizar el flujo de vehculos por una red de transporte.

Modelo de la ruta ms corta

Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta ms corta (la trayectoria con la mnima distancia total) del origen al destino.

Algoritmo de la ruta ms corta:Algunas aplicaciones

No todas las aplicaciones del problema de la ruta ms corta involucran minimizar la distancia recorrida de un origen a un destino. En realidad, es posible que ni siquiera se refieran a un viaje. Las ligaduras (o arcos) pueden representar actividades de otro tipo, por lo que escoger una trayectoria a travs de la red significa seleccionar la mejor secuencia de actividades.

Modelos de flujo de costo mnimo

El modelo de flujo de costo mnimo tiene una posicin medular entre los problemas de optimizacin de redesAbarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solucin es muy eficiente. Igual que el problema del flujo mximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta ms corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a travs de un arco. Igual que el problema de transporte, puede manejar varios orgenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados.

A continuacin se describe el problema del flujo de costo mnimo:La red es una red dirigida conexa.Al menos uno de los nodos es nodo fuente.Al menos uno de los nodos es nodo demanda.El resto de los nodos son nodos de trasbordo.Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin indicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo est dada por la capacidad del arco. La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.El costo del flujo a travs del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a travs de la red para satisfacer la demanda dada.

Algunas aplicaciones

Tal vez el tipo ms importante de aplicacin del problema del flujo de costo mnimo es en la operacin de la red de distribucin de una compaa.

Gracias por su atencin