Grafik Fungsi Sederhana dan Pengoprasiannya

FUNGSI DAN OPERASINYA

2.1 Fungsi

Ilustrasikan fungsi sebagai suatu senapan. Fungsi akan mengambil amunisi dari suatu himpunan yang disebut daerah asal (daerah definisi atau domain) dan menembakkannya pada suatu himpunan sasaran yang disebut daerah hasil (jelajah). Setiap peluru mengenai sebuah titik sasaran tunggal, tetapi boleh jadi beberapa peluru menuju pada titik yang sama.

Definisi 2.1

Sebuah fungsi f adalah suatu pengaitan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan (daerah asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi tersebut.

Daerah asal adalah himpunan semua elemen yang mana fungsi tersebut mendapat nilai.

Daerah hasil adalah himpunan yang memuat semua nilai-nilai yang diperoleh fungsi tersebut.

Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya maka fungsi dapat digambarkan pada suatu bidang koordinat, selanjutnya gambar tersebut dinamakan grafik fungsi. Grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).

Sketsa grafik dari f(x) = x2 – 2 dan g(x) = x3 – 2x adalah:

Ingat Kembali !!Fungsi-fungsi yang kontinu dan grafik fungsi-fungsinya : fungsi linier fungsi kuadrat fungsi

Contoh

Definisi 2.2

Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)= f(x) Fungsi y = f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x)= -f(x)

Pada f(x) = x2 , maka f(-x) = (-x)2 = x2 jadi f(-x) = f(x)

Sehingga f adalah fungsi genap.

Sedang pada f(x) = x3, maka f(-x) = (-x)3 = x2 jadi f(-x) = -f(x)

Sehingga f adalah fungsi ganjil.

Di antara fungsi-fungsi yang akan sering sebagai contoh, terdapat dua (2) fungsi yang sangat khusus, yaitu fungsi nilai mutlak | | dan

fungsi bilangan bulat terbesar .

Definisi 2.3

Harga mutlak didefinisikan sebagai |x| =

= bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

Misal |0|=0 ; |34|=34 ; |1−π|=π−1dan |−5|=5

Contoh

Perlu diketahui bahwa ada fungsi yang tidak memenuhi syarat fungsi genap maupun fungsi ganjil.Fungsi seperti itu dinamakan fungsi tak-

Catatan

Teorema 2.1

(i) |x|≤h , jika danhanya jika−h≤x≤h

(ii) −|x|≤x≤|x|

Bukti:

Andaikan |x|≤h

maka -x -h, atau –h -x

Tetapi x = x atau x = -x

Sehingga x h x h

Atau –x h yang berarti x -h -h x h

Andaikan -h x h maka

Bila x 0 x = x h

Bila x < 0 x = -x h

Selanjutnya untuk membuktikan bagian (ii), kita tinggal mengganti h dengan x pada bagian (i), buktinya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Teorema 2.2

Jika x,y R, dan R = x|x bilangan realMaka x + y x+ y

Bukti:

Dari teorema 2.1 diperoleh -x x x. Sejalan dengan itu berlaku pula -y y y. Bila kedua ketaksamaan itu dijumlahkan, maka diperoleh:

−(|x|+|y|)≤x+ y≤(|x|+|y|) , sehingga menurut dalil (i) maka

|x+ y|≤|x|+|y|

Akibat 2.1

(i) x - y x+ y(ii)x - y x- y(iii) x - y x - z + z - y

x h

Silahkan dicoba pembuktiannya sebagai latihan.

2.1.1 Fungsi Linear

Fungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus, adapun notasinya adalah berikut ini:

y=P1( x )=a1 x+a0 , a1 0

misal: y=4 x+3

2.1.2 Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuarat berupa parabola, dimana bentuk rumusannya adalah:

y=P2( x )=a2 x2+a1x+a0 , a2 0

misal: y = x2 – 4x + 3

2.1.3 Fungsi Trigonometri

Misalkan titik P(x,y) berjarak 1 dari titik O(0,0), yaitu √ x2+ y2=1 , dan misalnya adalah sudut X+OP dengan arah positif yaitu arah

Y

sin = y

OP=1

cos = xP(x,y)

a1 pada persamaan di samping disebut gradient atau koefisien arah garis lurus tersebut

Catatan

X

Y

-1

3

O

-1

1

3

3Y

X

berlawanan dengan arah gerakan jarum jam, dimana X+ titik pada sumbu x positif. Didefinisikan cos = x dan sin = y

Didefinisikan juga:

tanΘ=sinΘcosΘ ,

cotΘ=cosΘsinΘ

secΘ= 1cosΘ ,

cscΘ= 1sinΘ

Grafik y = sin x dan y = cos x terlihat dalam gambar berikut:

Sifat-sifat fungsi trigonometri

cos2θ+sin2θ=1

cos2θ=cos2θ−sin2θsin 2θ=2sin θ cosθ

cos ( A+B )=cos A cosB−sin A sin Bsin ( A+B )=sin A cosB+cosA sinB

1+ tan2θ=sec2θ1+cot2θ=csc2θ

y = cos xy = sin x

-1

1

3/2/2 2

2.1.4 Fungsi Eksponensial

Persamaan umum fungsi eksponen:

y= f ( x )=ax ; a>0, a1

Fungsi ini terdefinisikan untuk semua x. Grafik fungsi ini untuk beberapa nilai a terlihat dalam gambar berikut:

y=(12 )x

dan y=2x y=5x dan y=2x

Sifat-sifat:

1) f ( x )=ax>0 untuk semua x

2) a p⋅aq=ap+q

3) (ap )q=apq

4) ap

aq=a p−q

5) (ab )

p=a

p

b p

2.1.5 Fungsi Logaritma

-1-1

1

1

-4

4

-2

-2

2

2

3

-1-1

1

1

5

4

-2

-2

2

2

10 201553 9 181

3

-3

1

-1 16842

xy 31 log

xy212 log

Jika ab=p , maka b disebut logaritma dari p dengan bilangan dasar

a, dan ditulis log a p . Fungsi logaritma didefinisikan dengan persamaan:

y= f ( x )=loga x , a>0, a1

Fungsi ini terdefinisikan untuk x>0, dan tidak lain merupakan

invers dari fungsi exponent. Grafik fungsi y1=log3 x dan y2=log 1

2

x

terlihat pada gambar berikut:

Sifat-sifat:

1) log a pq= loga p+log aq

2) log a

pq= loga p− logaq

3) log a pq=q loga p

2.2 Operasi pada Fungsi

Fungsi bukanlah bilangan. Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g. Ada beberapa operasi yang bisa diberlakukan pada fungsi

2.2.1 Jumlah dan Selisih

Kita akan mudah memahami operasi pada fungsi ini dengan contoh, misalkan f dan g sebagai berikut:

f ( x )= x−32 dan g( x )=√x

Kita dapat membuat fungsi baru f + g dan f – g dengan cara memberikan pada x nilai ini:

( f +g )( x )= f ( x )+g( x )= x−32

+√x

( f−g )(x )=f ( x )−g( x )= x−32

−√x

2.2.2 Hasil Kali, Hasil Bagi dan Pangkat

Hasil kali dan hasil bagi diperkenalkan dengan cara analog, dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal. Dengan

permisalan di atas, f g dan fg sebagai berikut:

( f⋅g)( x )=f ( x )⋅g ( x )= x−32 √x

( fg )( x )= f ( x )g( x )= x−32√x

Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n kali. Untuk mempermudah pemahaman kita misalkan n = 2.

f 2( x )=[ f ( x ) ]2=[ x−32 ]2

= x2−6 x+94

Misal n = 3, untuk g maka

g3 ( x )=[ g( x ) ]3=(√ x )3=x32

2.2.3 Komposisi Fungsi

Pada operasi fungsi, kita harus memperhatikan daerah asal. Jelas x harus berupa bilangan dimana f maupun g berlaku. Dengan kata lain, daerah asal f + g dan f – g adalah irisan dari derah asal f dan g

Catatan

Daerah asal

f + g

f - y

Pada fg , kita perlu

menambahkan syarat bahwa g(x) 0

Catatan

Simbol f-1 bukan berarti

1f

tetapi f-1 berarti fungsi invers

Catatan

Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua fungsi yang berurutan artinya fungsi yang kedua dioperasikan setelah fungsi yang pertama bekerja. Misalkan f dan g seperti pada contoh di atas, maka jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f. Jadi (g o f) (x) = g(f(x))

Pada contoh f dan g diatas, bisa kita uraikan sebagai berikut:

( g∘ f )(x )=g( f ( x ))=g ( x−32 )=√ x−32( f ∘g )(x )=f (g ( x ))=f (√3 )=√ x−3

2

bisa juga kita dapatkan komposisi ( f ∘ f )( x ) dan ( g∘g )( x ), berapa hasil akhirnya silahkan dicoba sebagai latihan.

Dari contoh di atas, komposisi fungsi tidak berlaku sifat

Catatan

Persamaan KuadratPersamaan kuadrat baru dapat ditentukan dengan rumus : x2 - (α + β)x + α.β = 0 dengan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru.

Pada soal diketahui α = -1/ x1 dan β = -1/x2.

α + β = (-1/x1) + (-1/x2) ⇒ α + β = (-1/x1) - (1/x2) ⇒ α + β = (-x2 - x1) / (x1.x2) ⇒ α + β = - (x1 + x2) / (x1.x2) ⇒ α + β = -(3/2) / (-5/2) ⇒ α + β = 3/5 α.β = -1/ x1 . (-1/x2) ⇒ α.β = 1/(x1.x2) ⇒ α.β = 1/ (-5/2) ⇒ α.β = -2/5

Jadi persamaan kuadrat yang akarnya -1/ x1 dan -1/x2 adalah : x2 - (α + β)x + α.β =0 ⇒ x2 - 3/5x + (-2/5) = 0 ⇒ x2 - 3/5x - 2/5 = 0 ⇒ 5x2 - 3x - 2 = 0.

Diskriminanax2 + bx + c = 0

diskrminan

D = b2 - 4ac

akar-akar PK ax2 + bx + c dapat dikaitkan dengan Diskriminan:

D > 0 PK mempunyai dua akar real berlainan

D = 0 PK mempunyai dua akar sama

D < 0 PK tidak mempunyai akar real

Contoh soal:

3x2 + 4x - 2 = 0

dengan:

a=3 b=4 c=2

D= b2 - 4ac

D= 42 - 4(3)(-2)

D= 16 + 24

D= 40

D > 0

Jadi, D mempunyai dua akar real

Berikut Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

1. Dua Akar Positif ( x1>0 dan x2>0 )Akar-akar persamaan kuadrat dikatakan positif jika :

- D≥0- x1 > x2 > 0- x1 . x2 > 0

2. Dua Akar Negatif ( x1<0 dan x2<0 )Akar-akar persamaan dikatakan negatif jika :

- D≥0- x1 > x2 < 0- x1 . x2 < 0

3. Sama Besar Berlawanan Tanda ( x1 = -x2 )Bila suatu persamaan kuadrat dengan b = 0 atau memiliki bentuk ax2 +  c = 0, maka akar-akarnya akan memiliki nilai yang sama dan berlawanan tanda.

4. Akar Berkebalikan ( x1 = 1/x2 )Dalam hal ini, akar akan x1 berupa kebalikan dari akar x2jika suatu persamaan kuadrat  nila a = c.

5. Dua Akar Berlainan Tanda ( Salah satu akar negatif )Dalam hal ini berarti salah satu akar memiliki tanda positif dan satunya negatif apabila perkalian keduanya bernilai negatif ( x1 . x2 < 0 )

Contoh Soal :Tentukan jumlah ( x1 + x2 )dan hasil kali ( x1 . x2 )akar-akar persamaan x2 + 10x + 25 = 0 !

Jawab :nilai a = 1, b = 10, c = 25, maka :

x1 + x2 = -b/a | x1 . x2 = c/a

x1 + x2 = -10/1 | = 25/1

x1 + x2 = - 10 | = 25

menentukan persmaan fungsi kuadrat

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasannya1. Grafik fungsi y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu y di titik:

a. (-8, 0)

b. (-4, 0)

c. (0, 8)

d. (0, -8)

e. (-4, 8)

Jawab. d. (0, -8)

Pembahasan:

Diketahui y = x2 – 4x – 8

Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika x = 0.

y = x2 – 4x – 8

= 0 – 0 – 8

= -8

Jadi grafik fungsi y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu y di titik (0, -8)

2. Pembuat nol dari fungsi kuadrat y = x2 – x – 12 adalah:

a. x = -1 atau x = 2

b. x = -3 atau x = -4

c. x = 1 atau x = -2

d. x = 1 atau x = 2

e. x = -3 atau x = 4

jawab: e. x = -3 atau x = 4

Pembahasan:

Diketahui y = x2 – x – 12

Pembuat nol fungsi kuadrat diperoleh jika y = 0

x2 – x – 12 = 0

(x + 3)(x – 4) = 0

x = -3 ¿ x = 4

3. Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 – 2x – x2 adalah:

a. x = 4

b. x = 2

c. x = 1

d. x = -1

e. x = -2

Jawab: d. x = -1

Pembahasan:

y = 8 – 2x – x2 → a = -1, -2, c = 8

Persamaan sumbu simetri:

x=−b2a

=−(2 )2 (−1 )

=−1

4. Jika fungsi y = ax2 + 4x + 3a mempunyai nilai maksimum -11, maka a2 – a adalah:

a. 1/6

b. 1/3

c. 3

d. 10

e. 20

Jawab: e. 20

Pembahasan :

Nilai maksimum y = ax2 + 4x + 3a adalah −D4 a

−D4 a

=−b2−4 ac4 a

-11 =

42−4 .a .3 a4 .a

-11 =

4−3a2

a

3a2 – 4 = -11a

3a2 + 11 a = 0

(3a – 1)(a + 4) = 0

A = 1/3 ¿a = -4

Karena y mempunyai nilai maksimum maka a < 0, sehingga nilai a yang memenuhi

adalah -4. Jadi a2 – a = (-4)2 – (-4) = 20

5. Sumbu simetri kurva y = 2x2 + 6x – 5 diperoleh pada garis …

a. x = 3

b. x = 52

c. x = 32

d. x = − 54

e. x = − 32

Jawab: e. x = − 32

Pembahasan:

Pembahasan sumbu simetri:

x=−b2a

= −62 (2 )

=−32

6. titik balik fungsi f(x) = x2 – 4x – 21 adalah:

a. (-3, 27)

b. (2, -25)

c. (0, -21)

d. (1, -24)

e. (-2, 25)

Jawab: e. (-2, 25)

Pembahasan:

Persamaan sumbu simetri:

x=−b2a

=−(−4 )2 (1 )

=2

nilai ekstrim y = −D4 a

=

((−4 )2−4(1 )(−21 ))4 . (1 )

= −(16+84 )

4

= −1004

= -25

Jadi titik balik (2, -25)

7. Koordinat titik balik grafik fungsi dengan rumus f(x) = 3 – 2x – x2 adalah:

a. (-2, 3)

b. (-1, 4)

c. (-1, 6)

d. (1, -4)

e. (1, 4)

Jawab: b. (-1, 4)

Pembahasan:

f(x) = 3 – 2x – x2 → a = -1, b = -2, c = 3

x=−b2a

=

−(−2 )2 (−1 )

=−1

f(-1) = 3 – 2(-1) – (-1)2

= 3 + 2 – 1 = 4

Jadi titik baliknya adalah (-1, 4).

8. Grafik fungsi kuadrat yang persamaanya y = ax2 – 5x – 3 memotong sumbu x. salah satu titik

potongnya adalah (½. 0). Nilai a sama dengan:

a. -32

b. -2

c. 2

d. 11

e. 22

Jawab: c. 2

Pembahasan:

Melalui titik (½. 0), maka:

y = ax2 – 5x – 3

0 = a (−12 )

2

−5(−12 )−30=14a+52−3

0=a+10−12x 4

a = 2

9. Apabila grafik fungsi y = kx2 + (k – 3)x – 4 seluruhnya dibawah sumbu x, maka nilai k tidak

mungkin sama dengan:

a. -10

b. -8

c. -6

d. -4

e. -2

Jawab: a. -10

Pembahasan:

y = kx2 + (k – 3)x – 4

grafik seluruhnya di bawah sumbu x, maka syratnya adalah:

(1) k < 0

(2) D < 0

b2 – 4ac < 0

(k – 3)2 – 4. K(-4) < 0

k2 – 6k + 9 + 16k < 0

k2 + 10k + 9 < 0

(k + 9)(k + 1) < 0

-9 < k < -1

k < 0 dan -9 < k < -1 → -9 < k < -1

berarti k tidak mungkin -10.

10. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a + 1)x + 2a = 0 adalah p dan q. nilai minimum dari p2 +

q2 dicapai untuk a sama dengan:

a. -2

b. -1

c. 0

d. 1

e. 2

Jawab: d. 1

Pembahasan:

x2 + (a + 1)x + 2a = 0

p + q = -(a + 1)

pq = 2a

p2 + q2 = (p + q)2 – 2pq

= (-(a + 1))2 – 2(2a)

= a2 – 2a + 1

a=−b2a

=−(2 )2. 1

=1

SOAL ESSAY FUNGSI KUADRAT

1. Tentukan batas p jika f(x) = (p + 1)x2 – 2px + p – 4 definisi negatif.

Pembahasan:

f(x) = (p + 1)x2 – 2px + p – 4

a = (p + 1); b = -2p; c = p – 4

D = (-2p)2 – 4. (p + 1). (p – 4)

= 12p + 16

Syarat definitif D < 0 dan a < 0

D < 0 ⇒ 12p + 16 < 0

p < − 43 ……………… (1)

a < ⇒ p + 1 < 0

p < -1 ……………….(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh P < -4/3

2. Tentukan batas p jika f(x) = (p + 1)x2 + (p + 2)x – p + 1 definitif positif.

Pembahasan:

f(x) = (p + 1)x2 + (p + 2)x – p + 1

a = p + 1; b = p + 2; c = -(p – 1)

D = (p + 2)2 – 4(p + 1). (-(p – 1))

= p2 + 4p + 4 + 4(p2 – 1)

=p2 + 4p + 4 + 4p2 – 4

= 5p2 + 4p

Syarat definitif positif: D < 0 dan a > 0.

D < 0 ⇒ 5p2 + 4p < 0

p(5p + 4) < 0

-4/5 < p < 0 …………..(1)

a > 0 ⇒ p + 1 > 0

p > - 1 …………..(2)

dari (1) dan (2) diperoleh -4/5 < p < 0.

3. Grafik fungsi y = mx2 – (m + n)x + 4. Melalui titik (2, -2) dan mempunyai sumbu simetri garis

2x – 5 = 0. Tentukan nilai m dan n.

Pembahasan:

y = mx2 – (m + n)x + 4

melalui (2, -2)

4m – 2m – 2n + 4 = -2

2m – 2n = -6

m – n = -3 …………..(1)

sumbu simtris garis x = 52

m+n2m

=52

n = 4m

Dari (1) dan (2) diperoleh m = 1 dan n = 4.

4. Tentukan interval grafik fungsi y = 2x2 – 5x – 3 berada diatas sumbu x.

Pembahasan:

y = 2x2 – 5x – 3

grafik berada di atas sumbu x jika y > 0

2x2 – 5x – 3 > 0

(2x + 1)(x -3) > 0

+ - +

-1/2 3

Jadi x < - ½ atau x > 3

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

2x2 + 3x – 2 ≤ 0

Pembahasan:

2x2 + 3x – 2 ≤ 0

Pembuat nol

2x2 + 3x – 2 = 0

(2x – 1)(x + 2) = 0

x = ½ ¿ x = -2

+ - +

-2 ½

Jadi Hp = {x|-2 ≤ x ≤ ½}

FUNGSI KUADRAT

1. Batas-batas nilai m agar fungsi kuadrat f(x) = (3m + 1)x2 – (5m – 1)x (m +4) definitif positif

adalah:

a. m > -13

b. -13 < m 5

c. -313 < m < 5

d. m < -313 atau m > 5

e. m < -313 atau m > 5

jawab : c. -313 < m < 5

pembahasan:

f(x) = (3 m + 1)x2 – (5m – 1)x+ (m + 4)

fungsi definit positif, maka haruslah memenuhi syarat a > 0 dan D < 0.

(i) a > 0 ⇔ 3m + 1 > 0 ⇔ 3m > - 1 ⇔ m > 13

(ii) D < ⇔ b2 – 4ac < 0

⇔ (-(5m – 1))2 – 4(3m + 1)(m + 4) < 0

⇔ 25m2 – 10m + 1 – 4(3m2 +13m + 4)<0

⇔13m2 – 62m – 15 < 0

⇔ (13m + 3)(m – 5) < 0 ⇔ -313 <m<5

Dari I dan ii di peroleh -313 < m < 5.

2. grafik fungsi kuadrat yang melalui tititk-titik A(-2, 17).

B(1, 5) dan C(4, 11) mempunyai persamaan…

a. y = x2 + 3x – 7

b. y = x2 +3x – 3

c. y = x2 + 3x – 3

d. y = x2 + 3x – 3

e. y = x2 - 3x + 7

f. jawab: e. y = x2 - 3x + 7

pembahasan

misal persamaan fungsi kuadrat itu adalah:

y = ax2 + bx + c

melalui titik A(-2, 17):

17 = a(1)2 + b(-2) + c ⇔4a – 2b + c = 17 …(1)

Melalui titik B(1, 5):

5 = a(1)2 + b(1) + c ⇔a + b + c = 5 …(2)

Melalui titik c(4, 11):

11 = a(4)2 + b(4) + c ⇔16a + 4b + c =11 …(3)

Eliminasi c

4a – 2b + c = 17

a+b+c=53a−3b=12 -

A – b = 4 ….(4)

16a+4b+c=11a+b+c=5

5a + b = 2 ….(5)

Dari persamaan (4) dan ( 5) di peroleh:

A –b = 2

5a+b=26a=a +

a = 1 ⇒ 5(1) + b = 2

b = -3

jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah

y = x2 – 3x + 7

3. nilai a agar grafik fungsi

y = (a – 1)x2 – 2ax + (a – 3)

selalu berada di bawah sumbu X (definit negatif) adalah

a. a = 1

b. a > 1

c. a < 1

d. a > 34

e. a < 34

jawab: e. a < 34

pembahasan:

y = (a – 1)x2 – 2ax + (a – 3) dimana a = a -1,

b = -2a, c = a -3

definit negatif syaratnya D < 0 dan a < 0.

(i) D < 0

B2 – 4ac < 0

(2a)2 – 4(a – 1)(a – 3) < 0

4a2 – 4(a2 – 4a + 3) < 0

4a2 - 4a2 + 16a – 12 < 0

16a – 12 < 0

16a < 12

A < 34

(ii) a < 0

a – 1 < 0

a < 0

dari (i) dan (ii) diperoleh a < 34

4. batas batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 – 2px + 3p + 4

definit positif adalah:

a. -4 < p < - 1

b. -1 < p <4

c. 1 < p <4

d. p < -1

e. p < 4

f. jawab: b. -1 < p <4

pembahasan:

f(x) = x2 – 2px + 3p + 4

a = 1 ; b = -2p; c = 3p + 4

D = (-2p)2 – 4 . (1) . (3p + 4)

=4p2 – 12p -16

Syarat definit negatif : D < 0 dan a < 0

D < 0 ⇒ 4p2 – 12p – 16 < 0

P2 – 3p – 4 < 0

(p + 1)(p – 4) < 0

-1 < p < 4

5. grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, -4) dan melalui titik (2, -3) persamaan

adalah ….

a. y = 2x2 – 2x – 12

b. y = 2x2 – x – 5

c. y = x2 – 2x – 4

d. y = x2 2x – 3

e. y = x2 + 2x – 7

f. jawab: d. y = x2 2x – 3

pembahasan:

titik balik grafik fungsi kuadrat (2, -4) maka;

y = a(x – p)2 + q

= a(x – 1)2 – 4

Melalui titik (2, -3) maka:

Y = a(x – 1)2 -3

-3 =a(2 – 1)2 -4

a = 1

jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

y = a(x - )2-4

= 1(x – 1)2-4

=x2 – 2x + 1-4

=x2 – 2x -3

6. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-4, 0) dan (3, 0) serta memotong

sumbu Y di titik (0, -12) mempunyai persamaan :

a. y = x2 – x – 12

b. y = x2 + x – 12

c. y = x2 + 7x – 12

d. y = x2 – 7x – 12

e. y = -x2 + 7x – 12

Jawab: b. y = x2 + x – 12

Pembahasan:

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (-4, 0) dan (3, 0) maka:

y = a(x – x1)(x – x2)

= a(x + 4)(x – 3)

Memotong sumbu Y di titik (0, -12) maka:

y = a(x + 4)(x – 3)

- 12 = a(0 + 4)(0 – 3)

a = 1

jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:

y = a(x +4)(x – 3)

= 1(x + 4)(x – 3)

= x2 – 3x + 4x – 12

= x2 + x – 12

7. Persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-2, 0) dan (2, 0), serta melalui

titik (0, 4) adalah:

a. y = 4 – x2

b. y = 4 + x2

c. y = x2 – 4

d. y = 2x2 – 4

e. y = 4 – 2x2

jawab: a. y = 4 – x2

Pembahasan:

Memotong sumbu X di titik (-2, 0) dan (2, 0) maka:

y = a(x – x1)(x – x2)

= a(x – (-2))(x – 2)

= a(x + 2)(x – 2)

Melalui titik (0, 4), maka:

4 = a(0 + 2)(0 -2)

4 = a(2)(-2)

a = -1

jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:

y = -1(x + 2)(x – 2)

= 4 – x2

8. Grafik fungsi y = ax2 + bx + c memotong sumbu X di titik dengan absis 0 dan 2. Puncaknya di

titik (1, 1). Fungsi itu adalah:

a. y = x2 – 2x – 2

b. y = x2 + 2x – 2

c. y = x2 + 2x

d. y = -x2 – 2x

e. y = -x2 + 2x

Jawab: e. y = -x2 + 2x

Pembahasan:

Memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (2, 0) maka:

y = a(x – x1)(x – x2)

= a(x – 0)(x – 2)

= ax (x – 2)

Puncak titik (1, 1), maka:

1 = a.1(1 – 2)

1 = -a

a = -1

jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:

y = -1 . x(x – 2)

y = -x2 + 2x

9. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0, nilai fungsi

itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah:

a. f(x) = x2 – 6x + 8

b. f(x) = x2 + 6x + 8

c. f(x) = 2x2 – 12x – 16

d. f(x) = 2x2 – 12x + 16

e. f(x) = 2x2 + 12x + 16

Jawab: d. f(x) = 2x2 – 12x + 16

Pembahasan:

Puncak titik (3, -2), maka:

y = a(x – xp)2 + yp

= a(x – 3)2 – 2

Melalui titik (0, 16), maka:

y = a(x – 3)2 – 2

16 = a(0 – 3)2 – 2

18 = 9a

a = 2

jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:

y = 2(x – 3)2 –2

y = 2x2 – 12x + 16

10. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (1, 7), (2, 6), dan (-2, -2) adalah:

a. y = 2x2 + x + 6

b. y = 2x2 - x + 6

c. y = x2 + 2x + 6

d. y = -x2 + 2x + 6

e. y = -x2 - 2x + 6

Jawab: d. y = -x2 + 2x + 6

Pembahasan:

y = ax2 + bx + c

melalui titik (1, 7), maka:

7 = a + b + c …………(i)

Melalui titik (2, 6) maka:

6 = 4a + 2b + c …………(ii)

Melalui titik (-2,-2) maka:

-2 = 4a – 2b + c …………(iii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh

a + b + c = 7 |x4| 4a + 4b + 4c = 28

4a – 2b + c = 6 |x4| 4a + 2b + c = 6 -

2b + 3c = 22 (iv)

Dari (ii) dan (iii) diperoleh

4a + 2b + c = 6

4a – 2b + c = -2 -

4b = 8

b = 2

b = 2 di subtitusikan ke (iv) :

2b + 3c = 22

2.2 + 3c = 22

c = 18

c = 6

b = 2 dan c = 6 di subtitusikan ke (i)

a + b + c = 7

a + 2 + 6 = 7

a = -1

jadi persamaan fungsi kuadrat yang di maksud adalah y = -x2 + 2x + 6

SOAL ESSAY FUNGSI KUADRAT

1. Tentukan nilai k agar grafik fungsi f(x) = x2 – (k +3)x + (3k + 1) menyinggung sumbu X.

Pembahasan:

f(x) = x2 – (k +3)x + (3k + 1) berarti a = 1

b = -(k + 3), dan c = 3k + 1

Nilai diskriminan:

D = b2 – 4ac = (-(k +3))2 – 4(1)(3k + 1)

= k2 + 6k + 9 – 12k – 4 = k2 – 6k + 5

Syarat agar grafik fungsi f menyinggung sumbu X adalah D = 0.

k2 – 6k + 5 = 0

(k – 1)(k – 5) = 0

k = 1 atau k = 5

jadi agar grafik fungsi f menyinggung sumbu X, maka nilai k = 1 atau k = 5.

2. Diketahui fungsi kuadrat f dengan f(x) = x2 + 3mx + (4m + 1)

Tentukan batas-batas nilai m agar grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang

berbeda.

Pembahasan:

f(x) = x2 + 3mx + (4m + 1), berarti a = 1, b = 3m, dan c = 4m + 1

nilai diskriminan

D = b2 – 4ac = (3m)2 – 4(1)(4m + 1)

= 9m2 – 16 m – 4

Syarat agar grafik fungsi memotong sumbu X di dua titik yang berbeda adalah D > 0.

9m2 – 16m – 4 > 0

(9m + 2)(m – 2) > 0

m < − 29 atau m > 2

3. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang bernilai negatif untuk 1 < x < 3 dan f(0) = 3.

Pembahasan:

f(x) = a(x – 1)(x – 3)

f(0) = 4 → 3 = a(0 – 1)(0 – 3)

a = 1

f(x) = 1(x – 1)(x – 3)

= x2 – 4x + 3

4. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 0) dan mempunyai puncak P(2, -

1).

Pembahasan:

Puncak (2, -1) maka:

y = a(x – 2)2 – 2

melalui (1, 0) maka:

0 = a(1 – 2)2 – 1

a = 1

jadi persamaannya adalah:

y = 1(x – 2)2 – 1

y = x2 – 4x + 3

5. Parabola f(x) mempunyai nilai minimum – 2 untuk x = 1 dan f(2) = 0. Tentukan persamaan

parabola tersebut.

Pembahasan:

Minimum – 2 untuk x = 1

f(x) = a(x -1)2 – 2

f(2) = 0 ⇒ 0 = a(2 – 1)2 – 2

a = 2

jadi persamaannya adalah :

y = 2(x – 1)2 – 2

y = 2x2 – 4x