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Gráficos de Funções Trigonométricas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Gráficos de Funções Trigonométricas
1.Gráficos de funções trigonométricas
2.Limites de funções trigonométricas
3.Teorema do confronto
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Para traçar o gráfico de uma funçãotrigonométrica, construímos uma tabela de valores,marcando os pontos resultantes e ligando-os por umacurva suave.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
x 0 ππππ/6 ππππ/4 ππππ/3 ππππ/2 2ππππ/3 3ππππ/4 5ππππ/6 ππππ
sen x 0,00 0,50 0,71 0,87 1,00 0,87 0,71 0,50 0,00
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Na figura acima, note que o valor máximo desen x é 1 e o mínimo é -1. A amplitude da função seno(ou da função cosseno) é definida como a metade dadiferença entre seus valores máximo e mínimo. Assim,a amplitude de f(x) = sen x é 1.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
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A natureza periódica da função seno torna-seevidente se observarmos que, quando x cresce além de2π, o gráfico passa a repetir-se indefinidamente,oscilando continuamente em torno do eixo x. O períodode uma função é a distância (sobre o eixo x) entreciclos sucessivos. Assim, o período de f(x) = sen x é 2π.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
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A figura acima mostra os gráficos de ao menosum ciclo das funções trigonométricas sen x, cos x etg x.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
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A figura acima mostra os gráficos de ao menosum ciclo das funções trigonométricas cossec x, sec xe cotg x.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
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A familiaridade com os gráficos das seisfunções trigonométricas básicas permite-nos traçargráficos de funções mais gerais como
y = a sen bx e y = a cos bx.
Note que a função y = a sen bx oscila entre –a ea e tem, assim, amplitude de |a|.
Alem disso, como bx = 0 quando x = 0 e bx = 2πquando x = 2π/b, decorre que a função y = a sen bxtem período de 2π/|b|.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
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Exemplo 1: Trace o gráfico de f(x) = 4 sen x.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
O gráfico tem as seguintes características:amplitude igual a 4 e período igual a 2π. A figura exibetrês ciclos do gráfico, a começar do ponto (0, 0).
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Exemplo 2: Trace o gráfico de f(x) = 3 cos 2x.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
O gráfico apresenta as seguintes características:amplitude igual a 3 e período igual a 2π/2 = π. A figuraexibe quase três ciclos do gráfico, partindo do ponto demáximo (0, 3).
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Exemplo 3: Trace o gráfico de f(x) = -2 tg 3x.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
O gráfico desta função tem período π/3. Asassíntotas verticais desta função tangente ocorrem em
x = …, -π/6, π/6, π/2, 5π/6, …
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Exemplo 3: Trace o gráfico de f(x) = -2 tg 3x.
1. Gráficos de funções trigo-nométricas
A figura acima exibe vários ciclos do gráfico, apartir da assíntota vertical x = - π/6.
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As funções seno e cosseno são contínuas emtoda a reta real. Assim, podemos aplicar asubstituição direta para calcular limites como:
2. Limites de funções trigo-nométricas
0
0
lim 0 0
lim cos cos 0 1x
x
sen x sen
x→
→
= =
= =
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Exemplo 4: Estime o valor de .
Pela tabela, vemos que o limite tende a 1. Istoé,
2. Limites de funções trigo-nométricas
0limx
sen xx→
X -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,05 0,10 0,15 0,20
0,9933 0,9963 0,9983 0,9996 0,9996 0,9983 0,9963 0,9933sen x
x
0lim 1x
sen xx→
=
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2. Limites de funções trigo-nométricas
Pelo gráfico da função, vemos que ela seaproxima de 1 quando a expressão tende a zero, tantopela esquerda quanto pela direita.
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
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3. Teorema do confronto
Da trigonometria, temos:
02
1 1 1( )
x sen x x tg x
Isen x x tg x
π< < ⇒ < < ⇒
⇒ > >
02
1 1 1( )
x sen x x tg x
IIsen x x tg x
π− < < ⇒ > > ⇒
⇒ < <
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3. Teorema do confronto
Multiplicando as igualdades I e II por sen x,resulta
�0
02
1 cos
sen xsen x sen x sen x
xsen x x tg x
sen xx
x
π>
< < ⇒ > > ⇒
⇒ > >
�0
02
1 cos
sen xsen x sen x sen x
xsen x x tg x
sen xx
x
π<
− < < ⇒ > > ⇒
⇒ > >
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3. Teorema do confronto
Temos, portanto:
Considerando
0 cos 12 2
sen xpara x e x x
xπ π− < < ≠ < <
( ) cos
( )
( ) 1
g x x
sen xf x
xh x
=
=
=
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3. Teorema do confronto
e notando que
pelo teorema do confronto, temos
0 0
0 0
lim ( ) lim cos cos 0 1
lim ( ) lim 1 1x x
x x
g x x
h x→ →
→ →
= = =
= =
0lim 1x
sen xx→
=
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3. Teorema do confronto
Exemplo 5: Determine o limite da expressão
0 0 0
0 0 0 0
5 5 5 5 5lim lim lim
3 5 3 3 5
5 5 5 5 5 5lim lim lim lim 1
3 5 3 5 3 3
x x x
x x x x
sen x x sen x x sen xx x x x x
x sen x sen xx x x
→ → →
→ → → →
= ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ = ⋅ =
0
5lim
3x
sen xx→
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3. Teorema do confronto
Exemplo 6: Determine o limite da expressão
0 0
2 2
0 0
0 0
1 cos (1 cos ) (1 cos )lim lim
(1 cos )
1 coslim lim
(1 cos ) (1 cos )
0lim .lim 1. 0
1 cos 1 1
x x
x x
x x
x x xx x x
x sen xx x x x
sen x sen xx x
→ →
→ →
→ →
− − ⋅ += =⋅ +
−= = =⋅ + ⋅ +
= = =+ +
0
1 coslimx
xx→
−