ESTADISTICA PARA ASEGURAMIENTO DE ESTADISTICA PARA ASEGURAMIENTO DE CALIDADCALIDAD

La estadística es una herramienta y como tal su utilidad depende de su uso juicioso.

La estadística es un medio de comunicación entre los diferentes departamentos de una empresa y basicamente es una herramienta para la toma de decisiones; una herramienta que nos describe los resultados o nos estima el riesgo de un curso de acción.

La información en el control estadístico de la calidad, se obtiene de muestras y de acuerdo al resultado se toman decisiones.

Una muestra es un juego de resultados tomado de un lote o población..

Un lote o población es la colección completa de artículos, medidas u otros números del tipo en el cual estamos interesados en un momento dado.

Cuando se muestrea se pueden hacer dos tipos de errores:La muestra puede ser peor que el lote. Error tipo I o riesgo alfa (), ambién comúnmente se le llama Riego del productor (RP).

La muestra puede ser mejor que el lote. Error tipo II o riesgo beta (), también comúnmente se le llama Riego del consumidor (RC).

Para que una muestra sea representativa del lote del cual se toma hay dos factores que son de suma importancia:

.- La muestra debe tomarse aleatoriamente. Cada artículo o pieza de la población o lote debe tener la misma oportunidad de formar parte de la muestra. Tomando lasmuestras aleatoriamente minimizamos nuestros prejuicios en la selección.

.- Entre más grande la muestra aleatoria, mayor es la confianza que podemos tener en que sea una muestra representativa del lote o población.

AtributosEstadística

Variables

Atributos (Variable discreta)... Son datos o medidas que sólo pueden tener determinados valores dentro del dominio. Normalmente se obtienen por conteos (número de unidades disconformes)

Variables (Variable continua)... Son datos que pueden adquirir cualquier valor dentro del dominio. Normalmente se obtienen por medición.

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS PARA EL ASEGURAMIENTO DE LA CALIDAD

Histogramas y otras técnicas para resumir datos.

Técnicas estadísticas de control.

Técnicas estadísticas de aceptación

Otras

Técnicas de análisis

Histogramas y otras técnicas para Histogramas y otras técnicas para resumir datosresumir datos

La condensación o resumen de datos puede tomar varias formas: tabular, grafica e índices númericos. Algunas veces una forma es suficiente para obtener para obtener un resumen completo y útil. En otros casos, dos o aún las tres formas pueden ser necesarias para clarificar la información.

Las tablas de frecuencias, histogramas (graficas de Pareto) eíndices númericos se emplean para resumir y visualizar la información disponible y para hacer inferencias acerca de la población.

1.- Resumen tabular de datos o distribución de frecuencias.

Una distribución de frecuencias es una tabulación de los datos arreglados de acuerdo a su magnitud.

Diámetros de ejes de acero producidos en un torno automático

Muestra Mediciones

1-10 2.510 2.517 2.522 2.522 2.510 2.511 2.519 2.532 2.543 2.525

11-20 2.527 2.536 2.506 2.541 2.512 2.515 2.521 2.536 2.529 2.524

21-30 2.529 2.523 2.523 2.523 2.519 2.528 2.543 2.538 2.518 2.534

31-40 2.520 2.514 2.512 2.534 2.526 2.530 2.532 2.526 2.523 2.520

41-50 2.535 2.523 2.526 2.525 2.532 2.522 2.502 2.530 2.522 2.514

51-60 2.533 2.510 2.542 2.524 2.530 2.521 2.522 2.535 2.540 2.528

61-70 2.525 2.515 2.520 2.519 2.526 2.527 2.522 2.542 2.540 2.528

71-80 2.531 2.545 2.524 2.522 2.520 2.519 2.519 2.529 2.522 2.513

81-90 2.518 2.527 2.511 2.519 2.531 2.527 2.529 2.528 2.519 2.521

Construcción de una tabla de frecuencias.Paso 1. Determine el intervalo.Tabla para calculo del intervalo

ValoresMuestra Mediciones . Máx Min. 1-10 2.510 2.517 2.522 2.522 2.510 2.511 2.519 2.532 2.543 2.525 2.543 2.51011-20 2.527 2.536 2.506 2.541 2.512 2.515 2.521 2.536 2.529 2.524 2.541 2.50621-30 2.529 2.523 2.523 2.523 2.519 2.528 2.543 2.538 2.518 2.534 2.543 2.51831-40 2.520 2.514 2.512 2.534 2.526 2.530 2.532 2.526 2.523 2.520 2.534 2.51241-50 2.535 2.523 2.526 2.525 2.532 2.522 2.502 2.530 2.522 2.514 2.535 2.50251-60 2.533 2.510 2.542 2.524 2.530 2.521 2.522 2.535 2.540 2.528 2.542 2.51061-70 2.525 2.515 2.520 2.519 2.526 2.527 2.522 2.542 2.540 2.528 2.542 2.51571-80 2.531 2.545 2.524 2.522 2.520 2.519 2.519 2.529 2.522 2.513 2.545 2.51381-90 2.518 2.527 2.511 2.519 2.531 2.527 2.529 2.528 2.519 2.521 2.531 2.511

Valores Máx. Mín. 2.545 2.502

R = Valor Máx. - Valor Mín. = 2.545 - 2.502 = 0.043

Paso 2. Determine el número e intervalo de clases. En general se recomienda entre 7 y 14 (celdas) si se tienen menos de 250 observaciones y entre 13 y 20 si se tienenmás de 250 observaciones.

Una vez decidido el número de clases, divida el intervalo de los datos (R) entre el número de clases (NC) para obtener el intervalo de clases (I C).

Supongamos que queremos 9 clases, el intervalo de clases será:

I C= R/NC = 0.043/9 = 0.00477 @ 0.005

Paso 3. Determine los límites de cada clase. Determine los límites delos intervalos de manera que incluyan los valores mínimos y máximos. Estos límites usualmente deben tener una figura significativa más que las observaciones de manera que ninguna observación pueda caer en los límites.

Para hacer esto al valor mínimo de las observaciones (2.502) restele un medio del intervalo de clases (0.005/2=0.0025) lo que da un valor inicial de la primera clase (2.502-0.0025 = 2.4995 @ 2.500) lo que daría un valor medio de la primera clase de 2.5025, que se redondea a 2.503 y se establecen los límites definitivos. Los límites de la primera clase serán 2.503 ± 0.0025 = 2.5005 - 2.5055.

Para establecer los límites de la segunda clase sume al valor central de la primera clase el intervalo de clase lo que da el valor central de la segunda clase (2.503 + 0.005 = 2.508) y con este valor calcule los límites y así sucesivamente.

Paso 4. Prepare una tabla con un formato como se da continuación y registre los datos.

Clase Intervalo de clase

Media de la clase

Conteo Frecuencia

1 2.5005-2.5055 2.503 / 1 2 2.5055-2.5105 2.508 //// 4 3 2.5105-2.5155 2.513 ///// //// 9 4 2.5155-2.5205 2.518 ///// ///// //// 14

5 2.5205-2.5255 2.523 ///// ///// ///// ///// // 22 6 2.5255-2.5305 2.528 ///// ///// ///// //// 19 7 2.5305-2.5355 2.533 ///// ///// 10

8 2.5355-2.5405 2.538 ///// 5 9 2.5405-2.5455 2.543 ///// / 6

TOTAL 90

2.- Histograma

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Fre

cuen

cia

2.49

8

2.50

3

2.50

8

2.51

3

2.51

8

2.52

3

2.52

8

2.53

3

2.53

8

2.52

3

2.54

8

Diámetro (mm)

n = 90x = 2.5247s = 0.00906

E.I. E.S.

3.-INDICES NUMERICOS PARA REPRESENTAR LAS DISTRIBUCIONES

Cuando se manejan datos por variables es conveniente considerarlos en conjunto en lugar de tratarlos individualmente. Para poder ver los datos como un conjunto, determinamos primero cual es el centro de los datos, y luego estudiamos como cada dato de información se concentra alrededor del centro.

Una medida corriente para expresar el centro es la media o expectativa, llamada también promedio. La media está dada por:

_x =

1n

i=1

nxi  ,

La variancia y la desviación estándar están entre las medidas que se usan para expresar el grado de concentración de los datos alrededor del centro o media. La variancia está dada por:

s2 1n 1

Xi X i1

n

2

s s2 X2

X 2n

n 1

Cálculo de la media y desviación estándar a partir de una tabla de frecuencia.

Paso 1. Prepare un formato de cálculo como el siguiente.

Clase Intervalo de clase

Media de la clase

Frecuencia f

d df d2f

1 2.5005-2.5055 2.503 1 2 2.5055-2.5105 2.508 4 3 2.5105-2.5155 2.513 9 4 2.5155-2.5205 2.518 14 5 2.5205-2.5255 2.523 22 6 2.5255-2.5305 2.528 19 7 2.5305-2.5355 2.533 10 8 2.5355-2.5405 2.538 5 9 2.5405-2.5455 2.543 6

TOTAL 90

Paso 2. Asigne a el punto medio a la clase media o a la clase que Tiene la mayor frecuencia el valor 0 (d=0). Escriba 0 en la columna d y escriba -1, -2, ... hacía los menores valores observados y 1, 2, ... Hacía los mayores valores observados. La relación entre x y d se expresa por la siguiente ecuación:

donde a es el punto medio de la clase donde d=0 (a=2.523) y h es el intervalo de clase (h=0.005).

Paso 3. Registre los productos df y d2f en sus respectivas columnas. Haga la suma de cada columna y regístrelas en sus espacios correspondientes

d= (x - a)

h

Clase Intervalo de clase

Media de la clase

Frecuencia f

d df d2f

1 2.5005-2.5055 2.503 1 -4 -4 16 2 2.5055-2.5105 2.508 4 -3 -12 36 3 2.5105-2.5155 2.513 9 -2 -18 36 4 2.5155-2.5205 2.518 14 -1 -14 14 5 2.5205-2.5255 2.523 22 0 0 0 6 2.5255-2.5305 2.528 19 1 19 19 7 2.5305-2.5355 2.533 10 2 20 40 8 2.5355-2.5405 2.538 5 3 15 45 9 2.5405-2.5455 2.543 6 4 24 96

TOTAL 90 30 302

Paso 4. Calcule _x y s usando las

siguientes ecuaciones:

_x = a + h ( df/f) = 2.523 + 0.005

(30/90) = 2.52467

s = h d2f - (( df)2/ f)

f - 1 = 0.005

(302 - (30 2/90))

90 - 1 = 0.00906

CALCULO DE LA DESVIACION ESTANDAR POR EL METODO DEL INTERVALO

En el trabajo de control de calidad en muchas ocasiones se estima la desviación estándar por el método del intervalo (Rango) en lugar de calcularlo a partir del total de datos. Formula:

n (tamaño del subgrupo) d2 n (tamaño del subgrupo) d22 1.13 7 2.703 1.69 8 2.854 2.06 9 2.975 2.33 10 3.086 2.53

s =

_R

d2 

Tipos de histograma y su interpretación.

Entre los tipos de histogrmas encontramos:Normal o generalTipo peinetaCon sesgo positivo (o negativo)Tipo precipicio (o recorte) positivo (o negativo)Tipo planicieTipo doble pico (bimodal)Tipo pico aislado (titubeo)

0

5

10

15

20

25

30

2.5

45

2.6

45

2.7

45

2.8

45

2.9

45

3.0

45

3.1

45

3.2

45

3.3

45

Fre

cu

en

cia

Histograma tipo peineta

0

5

10

15

20

25

30

2.5

45

2.6

45

2.7

45

2.8

45

2.9

45

3.0

45

3.1

45

3.2

45

3.3

45

Fre

cuen

cia

Histograma con sesgo

0

5

10

15

20

25

30

35

2.5

45

2.6

45

2.7

45

2.8

45

2.9

45

3.0

45

3.1

45

3.2

45

3.3

45

Fre

cu

en

cia

Histograma con recorte

0

5

10

15

20

25

30

35

2.3

45

2.4

45

2.5

45

2.6

45

2.7

45

2.8

45

2.9

45

3.0

45

3.1

45

3.2

45

3.3

45

Fre

cu

en

cia

Histograma bimodal

Estratificación de histogramas.Cuando los datos observados se dividen en

dos o más subpoblaciones según sus características o la condición que existia al momento de colectar los datos, esas subpoblaciones, se llaman estratos, y la división de los datos en estratos se llama estratificación.

Cuando los datos se estratifican de acuerdo a los factores que se cree pueden causar la variación, las causas de la variación se hacen más fácilmente detectables.

Por lo general la estratificación se hace según los materiales, las maquinas, las condiciones de operación, los operarios, etc..

DIAGRAMAS DE PARETO (Lorentz)

Se utilizan para ordenar y priorizar situaciones en función de su frecuencia e importancia.

Los diagramas de Pareto son sumamente útiles en el análisis de datos cualitativos. Por ejemplo:

a) causas de ausentismo, b) tipos de defectos, c) causas de accidentes, d) factores importantes en un resultado, etc.

Los análisis de Pareto son importantes porque ayudan a identificar los pocos vitales, dejando a un lado los muchos triviales.

Las pérdidas económicas mas grandes se deben a unos pocas causas que producen unos pocos defectos vitales. Si se identifican las causas de estos pocos defectos vitales, se podrán eliminar casi todas las pérdidas.

El uso del diagrama de Pareto permite solucionar este tipo de problema con eficiencia.

Como elaborar un diagrama de Pareto?Como elaborar un diagrama de Pareto?

Decida qué problemas se van a investigar y como recolectar los datos. Diseñe una tabla para conteo de datos, con espacio suficiente para registrar los totales. Aplique la tabla y calcule totales. Elabore una tabla de datos para el diagrama de pareto que incluya la lista de ítems, los totales individuales, los totales acumulados, la composición porcentual y los porcentages acumulados. Organice los datos por orden de cantidad y llene la tabla de datos.

.

El ítem otros debe ubicarse en el último renglón independientemente de su magnitud.Dibuje los ejes verticales y un eje horizontal. El eje vertical izquierdo debe tener una escala de 0 hasta el total general. El eje derecho debe tener una escala de 0 a 100 % y el eje horizontal debe estar dividido en un número de intervalos iguales al número de ítems clasificados.Construya un diagrama de barras.Dibuje la curva acumulada (curva de Pareto).Escriba en el diagrama cualquier información necesaria.

.

Ejemplo: En un proceso de fabricación se encontraron los siguientes defectos:

Tipo de defecto Conteo TotalA.-Fractura ///// ///// 10B.-Rayado ///// ///// ///// ....// 42C.-Mancha ///// / 6D.-Tensión ///// ///// ///// ///// ...//// 104E.-Rajadura //// 4F.-Burbuja ///// ///// ///// ///// 20G.-Otros ///// ///// //// 14 Total 200

Tabla 1.- Tabla de conteo de datos para undiagrama de Pareto.

Tipo de Número Total Composición Porcentaje defecto de defectos acumulado porcentual

acumulado

D.-Tensión 104 104 52 5B.-Rayado 42 146 21 73F.-Burbuja 20 166 10 83A.-Fractura 10 176 5 88C.-Mancha 6 182 3 91 E.-Rajadura 4 186 2 93G.-Otros 14 200 7 100Total 200 --- 100 ---

Tabla 2.- Datos para un diagrama de Pareto

Tipo de Número de Total Composición Porcentaje defecto defectos acumulado porcentual acumuladoD.-Tensión 104 104 52 52B.-Rayado 42 146 21 7F.-Burbuja 20 166 10 83A.-Fractura 10 176 5 88C.-Mancha 6 182 3 91E.-Rajadura 4 186 2 93G.-Otros 14 200 7 100Total 200 --- 100 ---

10 10 14 20 42104

5.0 5.0 7.010.021.052.0

100.0 95.0 90.0 83.0 73.0 52.0

200

100

0

100

80

60

40

20

0

Defect

CountPercentCum %

Pareto Chart for : Defectos

10 10 14 20 42104

5.0 5.0 7.010.021.052.0

100.0 95.0 90.0 83.0 73.0 52.0

200

100

0

100

80

60

40

20

0

Defect

CountPercentCum %

Pareto Chart for : Defectos

Cual defecto se debe atacar primero? Usualmente se ataca el que cueste más y no necesariamente el más frecuente. Para decidir cual atacar se puede usar el índice de prioridad de Pareto (I.P.).

I.P. =F((Costo anual)x(probabilidad de éxito)/(Tiempo de eliminación)x (Inversión)) X 100

Tabla 3.- Cálculo del I.P..Causa Frecuencia Costo* Tiempo Inversión* Prob. I.P.

anual eliminación de éxitoD.-Tensión 104 350 0.8 50 0.70 613

B.-Rayado 42 450 1 100 0.85 383

F.-Burbuja 20 3000 5 1500 0.65 26

A.-Fractura 10 450 1.5 150 0.50 100

C.-Mancha 6 200 2 500 0.80 16

E.-Rajadura 4 130 1.5 100 0.70 61

G.-Otros 14 600 3.5 80 0.30 64

* por mil

Diagramas de Pareto de Fenómenos y de CausasExisten dos tipos de diagramas de Pareto:

1.- Diagramas de Pareto de fenómenos.

En este diagrama se relacionan los resultados indeseable y se utilizan para averiguar cual es el principal problema.

2.-Diagramas de Pareto de causas.

En este diagrama se relacionan los resultados indeseables y se utilizan para averiguar cuales son las principales causas.

Diagramas de Pareto de fenómenos:Diagramas de Pareto de fenómenos:

Calidad Defectos, quejas, retrabajo, devoluciones, garantías, demandas, etc.

Costos Pérdidas, gastos, etc.Seguridad Accidentes, interrupciones, errores, etc.Entrega Inventarios, demoras en entrega, demora en pagos, etc.

Diagramas de Pareto de causas:Diagramas de Pareto de causas:

Operario Turno, grupo, edad, sexo, etc.Máquina Máquina, herramienta, modelo,

instrumentos, etc.Materia prima Productos, planta, lote, clase, turno, etc.Método operacional Condiciones, ordenes, métodos, ajuste,

etc.

Elaboración de los diagramas de Pareto.Elaboración de los diagramas de Pareto.

.- Pruebe varias clasificaciones y construya muchas clases de diagramas.

.- No es conveniente que la clasificación “otros” represente un porcentaje de los más altos.

.- Es mejor si los datos se pueden representar por costos.

Uso de los diagramas de Pareto.Uso de los diagramas de Pareto.

.- Si un ítem se puede solucionar fácilmente, debe afrontarse de inmediato aunque sea de relativamente poca importancia.

.- No deje de hacer diagramas de Pareto de causas después de haber identificado los problemas por medio de diagramas de fenómenos.

DIAGRAMAS DIAGRAMAS CAUSA-EFECTOCAUSA-EFECTO

La NIJ (Normas Industriales Japonesas) definen los diagramas de causa-efecto como un diagrama que muestra la relación entre una característica de calidad y los factores.

Elaborar un diagrama útil no es una tarea fácil. Se afirma que quines tienen éxito en la solución de problemas son aquellos que tienen éxito en hacer diagramas causa-efecto útiles.

Estructura de los diagramas causa-efectoEstructura de los diagramas causa-efecto

Característica

Columna

vertebral

Hueso grande

Hueso mediano

Hueso pequeño

Característica (efecto)

Factores (causas)

Hueso grande : Causas primaria

Hueso mediano: Causas secundarias

Hueso pequeño: Causas terciarias

Distribuciones Importantes:Distribución hipergeométrica o ley de probabilidad.

Número fijo de ensayos (n)Población finita (N)Número de disconformes conocido (D)

h(x/N,D,n) = (Dx )(

N-Dn-x )

(Nn)

h(x c/N,D,n) = x=0

c

(Dx )(

N-Dn-x )

(Nn)

= n(D/N)

2 = nD(N-n) (N-D)N2(N-1)

DISTRIBUCION BINOMIAL O BINOMICA

Esta distribución se aplica a situaciones que se refieren a ensayos repetidos (experimento binomial) que cumplan con las siguientes propiedades;

Existen dos posibles resultados en cada ensayo (denominados “éxito” y “fracaso).

La probabilidad de éxito en cada ensayo es la misma e igual a “p” y, la de fracaso, “q”, donde p + q=1.

Hay n ensayos, donde n es constante.

Los n ensayos son estadísticamente independientes y repetidos.

La función de probabilidad binomial tiene la forma:

p(x) =

n

x px(1 - p) n-x = n!

x!(n-x)! px(1 - p) n-x

x=0,1,...n

Los parámetros de la distribución binomial son n y p, donde n es un número entero positivo, y 0< p <1. La media y la variancia de la distribución binomial son:

= npy

2 = np(1-p)=npq

La función de distribución acumulada toma la forma:

p(x c/n,p) = x=0

c

n

x px(1 - p) n-x

Se usa en el control estadístico de la calidad cuando el tamaño del lote o población es relativamente grande con respecto al tamaño de la muestra (n/N ≤ 0.10) o cuando la producción es continua.

La forma sigue el principio de que:p(x) > p(x - 1) para x < (n + 1)pp(x) < p(x - 1) para x > (n = 1)p

sin embargo, si (n + 1)p = m, es un número entero, entoncesp(m) = p(m-1)

En el control de calidad, a menudo nos encontramos con la variable aleatoria p´=

Xn

donde X tiene una distribución binomial con parámetros n y p. Si X es por ejemplo el número de artículos disconformes, este cociente es llamado la fracción disconforme de la muestra o fracción defectuosa de la muestra. La distribución de probabilidad de p´ puede obtenerse de la distribución binomial, ya que

p(p´ a) = p

X

n   a =p(X na) =   x=0

[ ]na pX (1 -P) n-X

donde [na] es el mayor entero menor o igual que na. La media de p´es p y la variancia esta dada por:

2p´=

p(1 -P)n

DISTRIBUCION MULTINOMIAL Se aplica a multivariables, es decir situaciones donde

podemos tener resultados clasificados en k clases.

Eventos (ensayos) independientesResultados de cada ensayo clasificado en una de k clases;Probabilidad de cada ensayo para resultado de cada una de las k clases es p1, p2,...pk es constanteNúmero de ensayos sin prefijar (n)

P(X1=x1, X2=x2, ...,Xk+xk) = n!

x1!x2!...xk! px11 p

x22 . . . p

xkk

para x 1 + x2 + ...+ xk = n p1 + p2 + ... + pk =1

= E(Xi ) = npi

2= V(Xi )= npi (1- p i )

DISTRIBUCION DE POISSON

La distribución de Poisson es una de las distribuciones discretas más útiles en el control estadístico de la calidad ya que se usa como una aproximación a la distribución binomial.

Si x es el número de ocurrencias de un evento aleatorio en un intervalo de tiempo o espacio (área de oportunidad de ocurrencia), la probabilidad de que x ocurra esta dado:

p(x) =  e -   x 

x! x=0,1,...

La es el único parámetro de esta distribución y es > 0. La media y la variancia de la distribución de Poisson son:

= = np = c

2= = np = c

Usando np la probabilidad de que x ocurra se puede escribir:

p(x/c=np) = (np) x e -np

x!

Una aplicación clásica de la distribución de Poisson en el control estadístico de calidad es la modelación del número de disconformidades en una unidad de producto o muestra.

La función de distribución acumulada toma la forma:

p(x a) = x=0

a

e-   x

x!

La distribución de Poisson es una distribución por mérito propio y modela los llamados experimentos de Poisson que cumplen con las siguientes condiciones.

Los eventos ocurren de manera independiente, es decir, la ocurrencia de un evento en un intervalo de tiempo o espacio no afecta la probabilidad de una segunda ocurrencia del evento en el mismo u otro intervalo.

Teóricamente es posible que el evento pueda ocurrir infinitas veces en el intervalo.

La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo (probabilidad constante)

Distribución Normal.Sin lugar a dudas, la distribución más ampliamente

usada para modelar la distribución de una variable aleatoria, es la distribución normal.

Las características que hacen importante a la curva normal es el hecho de que puede describirse en términos de probabilidad por dos números o medidas numéricas; la media y una medida de dispersión (varianza). La forma de la curva depende de la varianza (parámetro de forma). Una variable X con distribución normal tiene una función de densidad probabilistica:

f(x) = 12

exp -(x -  )2

22 para - x

con parámetros donde -µ < m < µ , y > 0. También:

E(X) = y V(X) = 2

Area bajo una curva normal

Debido a que mas del 0.9973 de la probabilidad de una distribución normal cae en el intervalo de ( -3 , +3 ), 6 se le llama a menudo a este intervalo amplitud de la distribución normal.

La fda de una distribución normal está dada por:

F(X) =

-

x

 12

  exp 

-(x -  )2

22  dt

Si se define una variable normal aleatoria con m =0 y s2=1 llamada variable aleatoria normal estandar y denotada por Z, se puede simplificar los cálculos de probabilidad. La FDA de una variable aleatoria normal estandar es denotada por :

(z) = p(Z z)

Teorema del Limite Central.No importa cual sea la distribución de una población,

la distribución de los promedios de muestras tomadas aleatoriamente de la población se aproxima a la distribución normal a medida que el tamaño de la muestra aumenta.

El teorema del limite central nos permite hacer las siguientes aseveraciones matemáticas acerca de la s muestras y su relación con la población.

1.- La media de las medias de todas las muestras posibles del mismo tamaño tomadas de la misma población es igual a la media de la población.

_x =

2.- La desviación estandar de todas las medias de las muestras es igual a la desviación estandar de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

_x =

n

Distribuciones atípicas.Cuando una variable aleatoria normal presenta una

distribución atípica, su análisis puede dar información para mejorar el proceso o la calidad sin recurrir a análisis estadísticos profundos.

El punto importante a recordar cuando se analizan distribuciones de frecuencia es: Si la distribución no es normal hay que buscar una causa asignable.

Distribución Media Desv.Estándar

Normal Binomial np=np np(1-p)Poisson

Si n es grande y p ≈ 0.5 de manera np > 10 la distribución binomial puede aproximarse con la distribución normal con media np y variancia np(1-p).

La distribución normal como aproximación a la binomial y Poisson

p(x=a) =

(a + 0.5) - np

np (1 - p) -

(a - 0.5) - np

np (1 - p)

Donde denota la función de distribución acumulada de la distribución normal.

p(a x b) =

(b + 0.5) - np

np (1 - p) -

(a - 0.5) - np

np (1 - p)

p(a x b) =

(b + 0.5) - 

-

(a - 0.5) - 

La distribución normal con media = 2 = puede usarse para aproximar la distribución de Poisson si la de la distribución es grande, alrededor de 10 o mayor.

Se pueden hacer otros planteamientos probabilisticos tales como:

no obstante que p debe ser alrededor de 0.5, la aproximación se puede usar sin pérdida excesiva de exactitud con 0.1 ≤ p ≤ 0.9.