Graf pohon (bagian ke 6)
-
Upload
egysangk-noudabhiru -
Category
Documents
-
view
7.527 -
download
32
Transcript of Graf pohon (bagian ke 6)
Matematika Diskrit 1
Pohon (bagian ke 6)
Matematika Diskrit 2
Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung
yang tidak mengandung sirkuit
p o h o n p o h o n b u k a n p o h o n b u k a n p o h o n
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
Matematika Diskrit 3
H u t a n ( f o r e s t ) a d a l a h - k u m p u l a n p o h o n y a n g s a l i n g l e p a s , a t a u - g r a f t i d a k t e r h u b u n g y a n g t i d a k m e n g a n d u n g s i r k u i t . S e t i a p
k o m p o n e n d i d a l a m g r a f t e r h u b u n g t e r s e b u t a d a l a h p o h o n .
H u t a n y a n g t e r d i r i d a r i t i g a b u a h p o h o n
Matematika Diskrit 4
Sifat-sifat (properti) pohon Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah
sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan
lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah
sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi
pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari
pohon.
Matematika Diskrit 5
Pohon Merentang (spanning tree)
P o h o n m e r e n t a n g d a r i g r a f t e r h u b u n g a d a l a h u p a g r a f m e r e n t a n g y a n g b e r u p a p o h o n .
P o h o n m e r e n t a n g d i p e r o l e h d e n g a n m e m u t u s s i r k u i t d i d a l a m g r a f .
G T 1 T 2 T 3 T 4
Matematika Diskrit 6
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.
Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah
hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).
Matematika Diskrit 7
Aplikasi Pohon Merentang1 . J u m la h r u a s j a la n s e m in im u m m u n g k in y a n g
m e n g h u b u n g k a n s e m u a k o ta s e h in g g a s e t i a p k o ta t e ta p t e r h u b u n g s a tu s a m a la in .
2 . P e r u te a n ( r o u t in g ) p e s a n p a d a j a r in g a n k o m p u te r .
(a) (b)
Router
Subnetwork
( a ) J a r in g a n k o m p u te r , ( b ) P o h o n m e r e n ta n g m u l t ic a s t
Matematika Diskrit 8
Pohon Merentang Minimum
G r a f t e r h u b u n g - b e r b o b o t m u n g k i n m e m p u n y a i l e b i h d a r i 1 p o h o n m e r e n t a n g .
P o h o n m e r e n t a n g y a n g b e r b o b o t m i n i m u m – d i n a m a k a n p o h o n m e r e n t a n g m i n i m u m ( m i n i m u m s p a n n i n g t r e e ) .
a
bc
d
e
f
g
h
55
5
40
25
45
30
5020
15
35 10
a
bc
d
e
f
g
h
5
40
25 30
20
15
10
Matematika Diskrit 9
Algoritma Prim
Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.
Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan
bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.
Matematika Diskrit 10
Contoh:
1 2
3
4
5
6
1050
4530
2015
35
55
25
40
Matematika Diskrit 11
L an g k ah S is i B o b o t P o h o n ren tan g
1 (1, 2) 101 210
2 (2, 6) 25
1 2
6
10
25
3 (3, 6) 151
3
6
10
15
25
4 (4, 6) 201 2
3
4
6
10
2015
25
5 (3, 5) 351 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Matematika Diskrit 12
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
1 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Matematika Diskrit 13
Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.
Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang
akan dipilih berbobot sama.
Matematika Diskrit 14
Contoh:
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a b c d
ef g h
i j k l
3 2
4 2 3
5 4
4 2
4
a b c d
ef h
i j k l
3 2
4 2 3
5 3 4
4 2
4
a b c d
ef g h
i j k l
3 4 2
4 2 3
5 3 4
2
43
Bobotnya sama yaitu = 36
a b c d
ef g
h
i j k l
3
5
6
5 3 5 4
4 2
4 4
4 2
6324
Matematika Diskrit 15
Algoritma Kruskal
( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak
membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.
Matematika Diskrit 16
Contoh: 1 2
3
4
5
6
1050
4530
2015
35
55
25
40
Matematika Diskrit 17
S i s i - s i s i d i u r u t m e n a i k :
S i s i ( 1 , 2 ) ( 3 , 6 ) ( 4 , 6 ) ( 2 , 6 ) ( 1 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 2 , 5 ) ( 1 , 5 ) ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) B o b o t 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5
L a n g k a h S i s i B o b o t H u t a n m e r e n t a n g
1 (1, 2) 10
2 (3, 6) 15
3 (4, 6) 20
0 1 2 3 4 5 6
1 2
1 2 3
6
4 5
1 2 3
6
4
5
4 (2, 6) 251 2 3
4
5
Matematika Diskrit 18
Pohon merentang minimum yang dihasilkan: Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
5 (1, 4) 30 ditolak
6 (3, 5) 351 2
3
6
4
5
1 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Matematika Diskrit 19
Pohon berakar (rooted tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan
sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree).
(a) Pohon berakar (b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat
dibuang
a
b
cd
ef g
h i j
a
b
cd
ef g
h i j
Matematika Diskrit 20
b s e b a g a i a k a r e s e b a g a i a k a r
P o h o n d a n d u a b u a h p o h o n b e ra k a r y a n g d ih a s ilk a n d a r i p e m ilih a n d u a s im p u l b e rb e d a se b a g a i a k a r
a
b
c
d
e f
g
h
f
g
a
b
cd
e
f
g h
d
e
hb
a c
Matematika Diskrit 21
Terminologi pada Pohon Berakar
Anak (child atau children) dan Orangtua (parent)
b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Matematika Diskrit 22
2. Lintasan (path)
Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.
Panjang lintasan dari a ke j adalah 3. 3. Saudara kandung (sibling)
f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan
saudara kandung e, karena orangtua mereka
berbeda.
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Matematika Diskrit 23
4. Subpohon (subtree)
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Matematika Diskrit 24
5. Derajat (degree)
Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut.
Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2, Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0.
Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Matematika Diskrit 25
6. Daun (leaf)
Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.
7. Simpul Dalam (internal nodes)
Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Matematika Diskrit 26
8. Aras (level) atau Tingkat
9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)
Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras
Matematika Diskrit 27
Pohon Terurut (ordered tree)Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree).
(a) (b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
1
2
6 87
34
9
10
5
1
2
68 7
3 4
9
10
5
Matematika Diskrit 28
Pohon n-ary Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai
paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. < sentence>
<subject> <verb> <object> <article> <noun phrase> wears <article> <noun> A <adjective> <noun> a <adjective> <noun> tall boy red hat
Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat
Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.
Matematika Diskrit 29
Pohon Biner (binary tree) Adalah pohon n-ary dengan n = 2. Pohon yang paling penting karena banyak
aplikasinya. Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai
paling banyak 2 buah anak. Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak
kanan (right child) Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon
biner adalah pohon terurut.
Matematika Diskrit 30
a
b c
d
a
b c
d
Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda
Matematika Diskrit 31
Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan
a
b
c
d
a
b
c
d
Matematika Diskrit 32
Gambar Pohon biner penuh
Matematika Diskrit 33
P o h o n B i n e r S e i m b a n g P a d a b e b e r a p a a p l i k a s i , d i i n g i n k a n t i n g g i u p a p o h o n k i r i d a n t i n g g i u p a p o h o n k a n a n y a n g s e i m b a n g , y a i t u b e r b e d a m a k s i m a l 1 .
T 1 T 2 T 3
G a m b a r T 1 d a n T 2 a d a l a h p o h o n s e i m b a n g , s e d a n g k a n T 3 b u k a n p o h o n s e i m b a n g .
Matematika Diskrit 34
Terapan Pohon Biner1. Pohon Ekspresi
Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))
*
+ /
a b+
d e
c
daun operandsimpul dalam operator
Matematika Diskrit 35
2. Pohon Keputusan
Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen
a : b
a : c b : c
b : c c > a > b a : c c > b > a
a > b > c a > c > b b > a > c b > c > a
a > b b > a
a >c c > a
b > c c > b
b > c c > b
a >c c > a
Matematika Diskrit 36
3. Kode Awalan
Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}
1
11
1
0
0
0
0
111001
001000
Matematika Diskrit 37
4. Kode Huffman
Tabel Kode ASCII
Simbol Kode ASCII A 01000001 B 01000010 C 01000011 D 01000100
rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’:
01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001
atau 7 8 = 56 bit (7 byte).
Matematika Diskrit 38
Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman
untuk string ABACCDA
Simbol Kekerapan Peluang Kode Huffman A 3 3/7 0 B 1 1/7 110 C 2 2/7 10 D 1 1/7 111
Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ’ABACCDA’:
0110010101110
hanya 13 bit!
Matematika Diskrit 39
Algoritma pembentukan pohon Huffman1. Pilih dua simbol dengan peluang (probability) paling
kecil (pada contoh di atas simbol B dan D). Kedua simbol tadi dikombinasikan sebagai simpul orangtua dari simbol B dan D sehingga menjadi simbol BD dengan peluang 1/7 + 1/7 = 2/7, yaitu jumlah peluang
kedua anaknya.
2. Selanjutnya, pilih dua simbol berikutnya, termasuk simbol baru, yang mempunyai peluang terkecil.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai seluruh simbol habis.
Matematika Diskrit 40
A = 0, C = 10, B = 110, D = 111
ABCD , 7/7
A , 3/7 CBD , 4 /7
C , 2/7 BD , 3/7
B , 3 /7 D , 3/7
1
1
1
0
0
0
Matematika Diskrit 41
5. Pohon Pencarian Biner
R
T1 T2
Kunci( T1) < Kunci( R )
Kunci( T2) > Kunci( R )
Matematika Diskrit 42
Data: 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70
50
32
4018
50
52 70
5 25
Matematika Diskrit 43
Penelusuran (traversal) Pohon Biner1. Preorder : R, T1, T2 - kunjungi R - kunjungi T1 secara preorder - kunjungi T2 secara preorder 2. Inorder : T1 , R, T2 - kunjungi T1 secara inorder - kunjungi R - kunjungi T2 secara inorder 3. Postorder : T1, T2 , R - kunjungi T1 secara postorder - kunjungi T2 secara postorder - kunjungi R
Matematika Diskrit 44
(a ) p r e o r d e r (b ) in o r d e r
(c ) p o s to r d e r
R
T1 T2
Langkah 3: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1secara postorder
Langkah 2: kunjungi T2secara postorder
R
T1 T2
Langkah 1: kunjungi R
Langkah 2: kunjungi T1secara preorder
Langkah 3: kunjungi T2secara preorder
R
T1 T2
Langkah 2: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1secara inorder
Langkah 3: kunjungi T2secara inorder
Matematika Diskrit 45
preorder : * + a / b c - d * e f (prefix) inorder : a + b / c * d - e * f (infix) postorder : a b c / + d e f * - * (postfix)
*
+ -
a / d *
b c e f
Matematika Diskrit 46
Soal latihan1. Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari
delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.
Matematika Diskrit 47
2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4-ary berikut ini:
a
b c d
e f g h i j k l m
n o p q
Matematika Diskrit 48
3. Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil dari pertandingan tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi, yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain yang pertama memenangkan dua set berturut-turut atau pemain yang pertama memenangkan total tiga set.
Matematika Diskrit 49
4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).
a b c
de
f
g h i
5 4
2 3 5 6 37 1
6 8 3 4 4
4 2
Matematika Diskrit 50
6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut:
P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O
(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk. (b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder,
dari pohon jawaban (a) di atas.