Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

56

Transcript of Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

Page 1: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

���������������� ��������������������������������������� �!"��#$�%&"!�'��!�(%��&)*"�!)����+�#�&,$��$����-����� #)#,)."%#�,�#$"("%%��%� (�#,�� /���01�%�234$��("%%��%"!!),�� �%1+�5�$" 1�(�#,�� #$�#,)."%#�)*#$��+�#�&36$),#$"#789:*#$�("%%��%��"!!),��#)&)-�(�#�)�� )#"!!),."%#��!��5�$" 1�;#$� "##$�%&"!�'��!�(%��&#$�.%����%��)*#$�#,)."%#�"%��'�"!;�3�3<= ><? 3@9:*#$�("%%��%�� )#"!!),��#)&)-�(�#"!!),�*)%."%#��!��5�$" 1�;#$� "##$�%&"!�'��!�(%��&#$��$�&��"!.)#� #�"!�)*#$�#,)."%#�"%��'�"!;�3�3A= >A? 3B�1�%�C3D7B�1�%�*)%E%)(!�&C3FGHIJKGL�$�%�"..!��"(!�;,�"..!+#$�.%� ��.!�)*�) ��%-"#�) #)#$��5#� ��-�-"%�"(!��M;N" �O7M>M= PM?N>N= PN?O>O= PO? />Q) �#32

Page 2: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������������������������������������������������������� ������� !������������������"# $%"%& '()* �&+ $%"%, '-)* �,+ $%"%. '-)( �./0�1�12����������������������3������!���3 �������456������������������������7���3������������������������������ ����������3�������8����������� ��9�������������������7���3����7���������7��3���!�����������������������7�� ��������7��3���������������������:�,#%,; +%,< #=>?%,; #>%,< /0�1�@2���������������������������������������������������������!�������!������������!�.#%.; +%.< #=/0�1�02���������!/0�1�02��/0�1�12�"# $%"%& '()* �&+ $%"%, '-)* �,+ #=A BCD$%"%. '-)( �.# $%"%& '()* �&+ $%"%, '-)* �,/0�1�E2�����������/1F0F1=2����������������:$%&%" '()* # 1G H $%&%, 'I)* # JG H $%&%. '()I #> KG9������������L������M������������������������������7�����������J���G����������������3�������$%&%, 'I)* # JG >?G $%&%, 'I)* #J/0�1�N2O����������� ���������/0�1�E2�����7�������������!&�&# $%&%" '()I �"+ $%&%, 'I)* �,+ #=ABCD$%&%. 'I)( �.# $%&%" '()I �"+ $%&%, 'I)* �,/0�1�P2������L���������������!8�����������!��QR?S����������T�������/0�1�P2�������=# $%&%" '()I �"+ $%&%, 'I)* �,/0�1�U2V����� "���.����������������!������/ 0�1�U2=# #=ABCD%&;%"; �"; + %&<%"< �"< + %&;%,; �,; + %&<%,< �,< /0�1�W2

Page 3: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������������������������ �� !�" ���#��$% &'(&)( *)( + &',&), *)( +- .(/ % .,/ +- .( %., �������0123�"44�*� ���"4�#�5�66��6�"7"8���#���#��#������8"�97�5��"7� :*)%&)( ;&), %$<#��� ����4��6����"4���3"6=�6������>�#�����4��������7�#���#�����#�������#�?9>"3=�6���9���� � *� �6�5�*5!*@%&@( ;&@, %$+-&@( %+&@,<�����"4�77�*�����!=��A9=36"7� ����B���==�!������""96�966��� ����6�":*'% C&'&D EFGH *D; %$I JKLC&'&) EHGM *); C&'&@ EHGF *@% C&'&D EFGH *D; C&'&@ EHGF *@������$�����������#�*�N����"�"3�#����6�� ��=6"=�6�!O36"7��PQP�$��C&'&@ EFGH %+ O/ +-+/ C&'&@ EFGH %O��������R ���� �����������#�67���S9���56�97������$�5��"7� $%+ &'(&@( *@( ;+ &',&@, *@( +- O(/ *@( % O,/ *@( +- O( %O,TUVWXYZ[\] 97����#���#����6"=!'��*�#� ���� ������975�6_"3�=#! ���� ! ��7�6�6�����*�#6"9�#���65��6�6!39����"���3"67'%a�_���������b#"4�#���#��**���8��#�6����6"3'��*�#�79���=������8��#�6����6"3_cdedffghijk6�S9�6��#���#�39����"�a�_�5�"3�#�3"67'%lm �"�_��������nopqrsotu#��**���8��#�6����6"3'���5�S9��������8��!*� �6�5�*9 ���� ���������*��������� ' vwx�'( y', �%'( �_( �;', �_, �+-' vwx�_( y_, �%a�_( �;a�_, �������Q�

Page 4: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� �������������������������������������������������� �!� "#$%�& '�( )*�& �( %+�,�,-)��������������������& ��.�( ���������/0123201204���������5��.�����.��6�����������������7��������������.�8���������.�������������������������5����.��6����������������7��������9��������5�����.�8���������%+�,�,:)��!.; "#$%�& '�( ).�& * .; "#$%�& '�( ).� < .�.�& = .; "#$%�& '�( ).� �& %+�,�,>)?���6%+�,�,>)�����������5��������������������7�������!.; "#$%�& '�( ).�& * .; "#$%�& '�( ).� �& %+�,�,@�).; "#$%�& '�( ).�( * .; "#$%�& '�( ).� �( %+�,�,@�)A������.������������%+�,�,@�)��.%+�,�,@�)������7����.��.���B�.5,�& < .; "#$%�& '�( ).�& * ,�( < .; "#$%�& '�( ).�( %+�,�,C)����������������������������.�.����������.��D23EFE4/G0GHIEF/EJK2D��LM�N�5�������������������������������������.����.������������5����������������������������.5������������6��6�����������������������������O������������������������6���O�������������O��5��������5���������5�����������������������������P���������5����������������������Q���R����N�S�������TU �P���.�������� �����.6�5���������������%+�,�,@�)��.%+�,�,@�)5��.V%�& ).�& * .; "#$%�& '�( ).� �( %+�,�,W�).V%�( ).�( * .; "#$%�& '�( ).� �& %+�,�,W�)A������.������������% +�,�,W�)��.%+�,�,W�)����������7����.5�����������%+�,�,C)5��,�& < .V%�( ).�( * ,�( < .V%�& ).�&�( < .V%�( ).�( *�& < .V%�& ).�& %+�,�XY)Z�����6������.���%+�,�XY)�7�������������������5�( < .V%�( ).�( *TU '�& < .V%�& ).�& *TU %+�,�X,)A�������������������������.�8���������7�����������������V%�)*TU ��6%�)[\ ;%�)*TU ��6%�)

Page 5: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� �������������������� !"�#�$"�$%#&'!% #($%")*#(!+�,!'!,!&#�$-$"�$%.#"% #,#%�!,$/!�0�� !"$(.&!12#,�$%&!!(!,.�"�#�!"3456 758 759 :; <=�> ?5 @6 A5 @8 A5 @9 B CDE4�F�F��:G("�!#�)*4�HIHJ:$(K#� ,$#L#&)(.� !&$(!"$(�FIF� )M� #�� !,#�$)NO PNQ $($(� $"%#"!$"IP�L$("�!#�)*JP�FRSTUVWSXY)&&)M$(.K#� ,$#Z"&).$%$(�FILM![()M� #�M!(!!�()�!+2&$%$�&�!-#&�#�!\4]77_:L,#� !,"$'2&�� !2,)��%�*)&&)M$(.� !*),')*4�HIH:LM !,!$(� !,!&#�$-$"�$%%#"!LG%&#$'� #�a_ CDb^;%)("�F4�F�F��:c !,!$()�,%#"!$"� !,!&#�$-$"�$%!(!,.�L.$-!(0�a^; d4e=: @A4f= @: @4�F�F�I:g""�'$(.� #�M!#,!$(� !h!+�,!'!i,!&#�$-$"�$%&$'$�LM!#""�'!� #�jk=L#(�$(� $"&$'$�4�F�F�I:0!%)'!"^le=4�F�F�J:K&)��$(.4 �F�F�I:#(�4�F�F�J:)(� !"#'!"%#&!$(�!!�-!,$m!"� #�� !!(!,.�'#�0!,!#�$&�#22,)+$1'#�!��"$(.4�F�F�J:#�-!,�&#,.!-#&�!")*j4"!!m.�,! n:FY$.�,!�F�aY$.�,!*),K,)0&!'�Fopqrstqtuvtwxyzy{|}~��q���v�uq���u��qwxyzy{�}~���v���tu���y

Page 6: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ����������������������������� ! "#�$�����%��������&'�������(��)�*+,+-#��'����������������(����'�������'�����.�/����%��������������'����������$01234 56 78 9: ;8 9< ;8 9= > ?@A�B���1"#�������C�&����/D���E����F������������������������B���1G#�������������������������-62 H������� B���1"#�������134 - ?@I5�8: +8< +8= #6 78 9: ;8 9< ;8 9= > ?@AJK 5�8: +8< +8= #6 3412 78 9: ;8 9< ;8 9= > ?@A�B���1L#�������������(����B���1L#������B���1B#�������.��(��������������������%�� ! 1G#��������$����0M6J NO,O- PQRS6J OO- TU�����V- W ?@I X6U�����V �B V- YZ@I6U�����V- YZ@I�B���1[#\������$�����(����B���1[#����������������(�����.����������������'��������%�.���$M- Z@I6U������B���1]#��������������'�����(-��� B���1]#�����������������������_����$��$06 ab JK ^6 !Bcdefghijkjl\(������%���������������������&��%'�������(��G������������$����m��������'�����������$no ���n9 ������������������'$�(��&��%������������p��������������������������%(��������������'������������������%����������m����������������pqrstuvrw��_���������(����� G �B#����xy 6*y z{ ��%|-y }; B1 *y z{ ~�;��% �1��y z{ n3 9 ����6�+1�B���B�#�������'���������������'$��(��������&��%�.������'�����\(�����������$����������������m��������'����������B���B�#�������

Page 7: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������ ��� �� ������ �� �� �� �� ������ �� !� �� "�# $ %&'(��)�*�+�+��,-./0/123.�4�56/7/821�8/52.922./�8�:2.18�;.98�/5132./955121�8�<98185/=2�2./182/831>/>90196�/"+?/�0�4@18�9850/9�1�818�*�+�+��,AB/.9>/�� � �� �� �� ��� ������ ������C!� "� ��� &*�+�+��,-./0/D.9>/9331�8/52./;�832982C2�6/5/E8/56:C� � ��# $ *�+�+��,F����B18�2./;�8>/821�8�<*�+�+��,AB/;9839:2.922./@�32G71=18�/820�@:13*989����432�*�HIH�,,J�K � �� �� $L�MN �� ��� �����������C!� "��� &*�+�+�O,P./18;0/93/18Q�A;9��/52./RSTUVWXVYZ[\[S]A132./8�1>/86:Q���K ^ $L�MN �� *�+�+�I,P./E0322/0718* �+�+�I,13<�485<0�7*�+�+�O,2�6/�K � �� �� ��N ��� �����������C!N "��� &��$ ��� �����������C!$ "��� &%*�+�+�_,-.1�/2./34718* �+�+�I,13<�485<0�7*�+�+��,2�6/$L�MN � �� �� ��N ��� �����N ������C!N "N ��� &��$ ��� �����$ ������C!$ "$ ��� &%*�+�+�,a/<�0/B/29b/2./51c/0/8;/�<* �+�+�_,985*�+�+�,A2.43;�7@�/218�2./39�9�<*�+�+�I,AB/8�2/2.922.13@9�/B152.13E812/*;�48296�/A.90.90,AB/50�@2./2/073B.1;.�6>1�43�:;98;/�+DB1��9�3�;�83��1592/9</B2.18�3+d�8218418�AQ�� �� �� ��N ��� ��� ���N %���� �""N %&��$ ��� ��� ���$ %���� �""$ %&%*�+�+�e,f�32�18�2.18�396�429612A*�+�+�e,6/;�7/3Q���� �N g��� ��N ��$�N %���� �""N % hij k��� �$ g��� ��N ��$�$ %���� �""$ % hij k*�+�+�l,P./;�82016421�8�</820�@:18*�+�+�l,7�32;/02918�:5/@/853�8B./2./02./�93/390/513218�413.96�/�018513218�413.96�/+P.13132./3/24@<�0m[nnopqUqrV\+P./�/8/09�15/9132.921<2./@9021;�/3186�2.3:32/7390/513218�413.96�/A2./89<2/0/s41�160147130/9;./5A2./�93@9021;�/379:6/3/@9092/569;b182�2./10�01�189�;�7@9027/823A9334718�2.92B/;980/183/022./@902121�8s41;b�:/8�4�.+P.13

Page 8: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ����������������������������� ��������!�"�����#����"���"��"��$�%�������&!���"�������&�'(%)%�$!(�����*����+'�"�����%�������%��%��%�$�%�"����!�"���"���%���"����'�������%�$�"�(!�������"�,������������� ��������!����"�������&(���%��������-./01234546������%�"�"��(��&��(%����&�"�'��(����7 89:9; <= >?@A�B�CD�E7 89:9F <G >H@A�B�CD�E�)������"���������:�'��%���������%���$��%����(��'�"�,��%�����F���;!���,��%'&�"����,�'��(�����IJKLMNJO��P����������"���%�"%��"�'��(����#�'�"�Q����R����%�������(���!�"�������%����)�"��$�%��������!�������P���"�'�����%�$�"��(��&��(%�������%��ST>UVF�HVW�T>V?�;VH�FV:�7@A�B�CBE�"�����(�������$�%*��"���"%�����"��(��&��(%�������%��%�����"���(����"�(���%��%�%�&�X���������!@ A�B�CD�E����(���T>V?�;YZ[\]^ VH�FY Z[\]^ V:�7VWT>V:�7@A�B�C_E�"���!'�����%�$�"��)�(����'��"���"��(��&��(%�������%���!��(�&�������"��?>V 89T9; <= @A�B�CA�EH>V 89T9F <G @A�B�CA�E����%���%�$@A�B�C_E%���@A�B�CA�E���@A�B�CA�E&%����?>V 89@V:7E9; <= VW ?>7 89:9; <= @A�B�CC�EH>V 89@V:7E9F <G VWH>7 89:9F <G @A�B�CC�E�"������������"��@ A�B�CC�E%��"���(���@A�B�CD�E!�"%��@A�B�CC�E%�%����%�����@A�B�CD�E�

Page 9: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ��������������������������� !"#������������$��%����&��������$!������$���������'(��������)���"���#��*�+���,-./0123 45678 59:6; �<& =>/?@9A6BC 1 D.�EFEG�2��������&����!����H3 BC 1I ��*J-./012K.�EFEGL2 !�����!���*.�EFEG�2����.�EFEGL2#��'����&�!**��*������!�������.�EFEGM�2��'.�EFEGM�2���!����!���������"��������&��#����������'��,����N!�������+��,EOPQRSTUVSWXYQZWS[\UT]�����&�����"#,�!����_�'���<&�������$�������&,�����"��$������������'������!����$!������9 3 a bcdef��������&��������$!������g��*�+���,g3 h9 i jke lmn oEpqrstuqv��_���������������������&,��'�_��'�����"��$���$�������*,��wx3? yz{z1 |}~� .�E�EF2��������$�������*,��*�+���,{3?BC 1��*JgK.�E�E�2 !�����!���*.�E�E�2����.�E�EF2#����+�wx3 zz1 �BC 1��*JgK�.�E�E�2��'�����g�$��!���'�&��'���1#������,���&������'���+���+��!���wx3BC ��*JgK�BC 1 �zz1 ��*JgK �3BC ��*JgK�BC 1 Fg �zgz1 �.�E�EG2�������%���'���"��.�E�EG2����"��w

Page 10: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������� � ��� �� ��� �� ���� � �� ��� � �� �� ��� �� ���� � �!"�#�$%&'��()('()�*!"�#�$%�+,-)�(.!"�#�/%0)�12�3��� 1.*4�56�� � �� 7��� � �� �� ��� �� ���� � � 8��� 91.*4�56 ��� � �� �� �� ��� �� ���� � �:;<=>? @��� 91.*4�56 ��� � �� �� A� @���� 9�1.*4�56 �� A� 9� ���� � @@���� 9�1.*4�56 �� A� 1.* ���� �� ���� � ��@���� 9�� A� 1.* ��� ��� �� ���� � �: ;<=>? �@!"�#�B%C((D)��.)�(EF�,+�(�)G)+110��F�)(�! "�#�B%+�H3���� 9�� A� 1.*4A� 5 @IJKLMNOPQD��������).�3���� RS TS 1.*TS )�+,,��(�2+�(D�*����+12�U�)().�.V(D���(�.�0.V+�0�(�W�X.F)W+*)��(D+(+�0�(�WYZ D+���.�+�)1)(0T [Z\S .V��)�*V.'�2)�+�(+(�]+�2+�0�(�WY D+���.�+�)1)(0T [ \� .V��)�*V.'�2)�+�(+(��QD��.��D+�3Z ���� �S T [Z\S 1.*T [Z\S3 ���� �� T [ \� 1.*T [ \��+,D�(+(�.V(D�,.W�.�)(��0�(�WY,.��)�()�*.VYZ +�2Y ,+�(D����1+��1�2�0(D��+)�.V�'W����]E�_�((D���.�+�)1)(0.VY��)�*V.'�2)�(D)��(+(���2��.(�2�0TS� �QD��)(���(�.�0)�2�U��2+�3���� �S �� TS� 1.*TS� !"�#�%

Page 11: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ����������������������������������� ������!" # $%&" '(!) # $*&) '(!" !) #") '(+,-./% �� /* ���0��1�2������3���4���������2�����������3���2�� ���� ���5����#") '# $%&" # $*&) 67��0����8� �������3��38�����3�����������2��� ���9�5:;<;='=% >=* 6?,-./% �� /* ������0��1�2������3���4#") @'# $%&" # $*&) 5�8����4���������8������������� A# $%&" ' !) #")# $*&) ' !" #")7��0����=BC=% >=* D'EF !"G) #") ��4 H# $%&" # $*&)#") IC�6�6JD�� 8��������K8����2��4LMCLB(D�����0����=MC=% >=* D6N����������������O�����3��.3��������������0�������2�����5 8������������3��������0�������5��� �������8������������ ����������0��������2��������3��������2�� ���� ����.��3������6PQRSTUQV+,����2��4�8����8��������C�6�6�D50���9�A='BEF !" !) #" #) ��4W#" #) X'BEF !" !) #" #) Y��4W#" X>��4W#) XZ'BEF !" !) Y#" #) ��4W#" X>#" #) ��4W#) XZ'BEF [!" !) #" #) ��4W#" X> !" !) #" #) ��4W#) X \'BEF [!) #) !" #" ��4W#" X> !" #" !) #) ��4W#) X \C�6�6]D^���3���.���������9��8������������='BEF _a��4WaX5�� ����2��4������C �6�6]D��� �8���A='BEF [!) #) bB =%EF c> !" #" bB =*EF c \

Page 12: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������ �� �� ��� �� �� �������� !!"#$�%&'�()*&&')&&'�!�+�)�$"$&$��)���+�,)"$-�./��������"�).�0�&+���� ���123�+�.��&+�'+4�����5�/4���%$��#�6)"0)&$�%&'�7894$&'+0�!��6$+0�.�:�$&$+��+(&'����!�*&$6���&�+!$��;�<��� ��� ��<=> �� �� ��� "+%��� < ?<=> �� �� "+%�� <=> �� �� "+%�� @�=> ?< �� �� ��� "+%��� � �� �� "+%�� � �� �� "+%�� @����������*)��A!)�.� �������%$6��&'�!�+6$.�.�0,,)&$+�$.��&$&$��;�<��� ��� ��=> ?< �� �� ��� "+%��� � �� �� ��� "+%�� � �� �� ��� "+%�� @�=> ?< �� �� B��� "+%��� ���� "+%�� ���� "+%�� C @�=> ?< �� �� ��� B"+%��� �"+%�� �"+%�� C @��������3&$��)�#&+���&')&� �������,)#����).$"#��4�$&&��)�;�<��� ��� ��=> �� �� ��� "+% D�� ����� E��������FGHIJKLMNOMP2�6)"0)&�&'�!)�&$&$+�(0�*&$+�)�.&'�,)Q+�&'��,+.#�),$*!�+!��&$��+()�$.�)"%)�*+��$�&$�%+(R�,+"�*0"��+(,)��S� )�.R� ,+"�*0"��+(,)��S� /*+�:��.&+)�!)*�+(6+"0,�T)&&�,!��)&0��U� ��0,�&')&&'�,+"�*0"��+()%$6��V$�.)��,0&0)""#$�.$�&$�%0$�')�"�/4'$"�&'+��+(+��V$�.)��.$�&$�%0$�')�"�(�+,&'+��+(&'�+&'��V$�.�12W+,!)��#+0����0"&�4$&'&'�+���!��&)$�$�%&+)�$.�)"%)�*+��$�&$�%+(�R� �R� �,+"�*0"��/XYYZ[Z\]_\/+(,)��S/�0*'&')&S�R� �R� ��S� R� �S� R� �abcdefbgP2��V�+4&')&&'�6+"0,�)�.&�,!��)&0��+(&'��#�&�,)��'�".*+��&)�&/)�.&'��#�&�,*+��$�&�+(&4+0�$h0�%)���/�)*'.$�&$�%0$�')�"�(�+,&'�+&'��&#!�/�0&$�.$�&$�%0$�')�"�(�+,$&�+4�

Page 13: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� �������������������������� ���!����!����"��������� #����$��!�����!����������� ������"%������&��'��(� ����!������ �!%���"���!��������� ������"%�������)*+,- .,/ .0.123*+,- .0.124*+,/ .0.12+����5627�� ��� ���$$����*+,.0.123 5,89 :; <==�(� >? @;A BACD 1 E!F :;!G :; H;+����5I27�� �����%'�� ���,���'����%�� ����!�J��%&���������� ��������� ������'����������� ���$��#������� �������������$��� ���� &�����K�&�$������#��!������ ����!%������L��������� ���$����J��� !���$�#+����5I2'���&��)*+,.0.123 5,89 : M0 =NON �(� P? F /�QCD 1 R!F :; S;3 5,89 : T0U�VQCD 1W XYZ [;+����5\2J��$����������� �$� ��� ������" �&+ ����5\2��+����562���$!�*+,- .,/ .0.123 5,- 89 : T0U�VQ- CD 1W XYZ [;]4 5,/ 89 : T0U�VQ/ CD 1W XYZ [;Z+����527���� �'�_�!������&�a� b��� &�!���&��� ��� ����'�_�!������K�$&��$�cd ��e�� ��)f3?CD 1$��U*+,- .,/ .0.12W3?CD 1$�� P5,- 89 : T0U�VQ- CD 1W XYZ [;]4 5,/ 89 : T0U�VQ/ CD 1W XYZ [;Z R+����5g2h��&�a� � ��� �������� ���% �#��������'�"�%�!'�!�i� ������������" ����� ������ ��������0)j3 klfl0 mno;3 ll0 $�� p+qqq20 ;] rs ll0 $�� p+qqq20 ;Z r3,- ll0 $��U0Ws,/ ll0 $��U0Wt� �����%�������&�$�!�i� ���������#��� �$�"�����j3 ,- s,/0J����� �&�� ������� &�!���&��� ��� ����������� ��$��� ��#��������������%����_�!)u3? llv $��U*+,- .,/ .0.12W3? llv $�� wx 5,- 89 : <0 P�VQ-v R XYZ H;]4 5,/ 89 : <0 P�VQ/v R XYZ H;Z yz

Page 14: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������� ��� ��� ������ �� � ! "��# ��� ��� ������ �� � ! "�� $��% ��� ��� &����� �� '� $�#% ��� ��� &����� �� '�$�%��(�)��*�$�%��(�+�,-��-./��0� $% 12 3��� 4�# ���,-�-���,-�,5�-.�./���.��678��*�$�%��9�-�:�� ;�<�3 =>?@�� ��3 A�12 3��� &��� BC D EFG%HI� 12 3J � ! K>LM ��# BC D EFG%HI# 12 3J � ! K>! 'N�$�%�%O�PQR����.Q-.Q��� $�%�%O���-S�5�.�:�12 A��� &��� BC D EFG%HI� 12 3J � ! K>LM ��# BC D EFG%HI# 12 3J � ! K>! 'N4 $%3 ��� 4�# �TUV8./��-�Q���������-*QW.5���8.+�5�QX5��6�,Q��Y./��./�6-�.Q.Q��85�,.Q����,�*��Z��� [�# [F[3�� ��� B�# BC \ EFG%HI12 3J � ! K>L ]>!/�6����5��-�SQ�.���-������7��*-Q�5�,/-���SY+/Q��./���.��67��,�*��_:�12 A��� &��� B�# BC \ EFG%HI12 3J � ! K>L ]>! 'N4 $%3 ��� 4�# �abcdefghijk/�+./-../�6-�.Q.Q��85�,.Q��Z> �F[3��8-�lmnolpl���-.QqQ�.Q,�-�,���Q�.Q���8�*��-.�*Q,*���,5���+Q./�����7r*�*��.5*���-.Q���/Q6s�tuYu��Q��./��6��S�8�Q�/.YQ��Qq���7Z> �F[3�� ��B v9HF ;12 3Cu =D w>�$�%�%��k.5S7./�./��*�S7�-*Q,��8./Q��7�.�*Y,/�,xQ��Q�6-�.Q,5�-�./-.yF� �$ 0[0z��$12 -�S{� |$}�W.Y5�Q��./�Q�q���Q��8��*5�-� $�|�~�YS��Qq�-��W6����Q��8��./�S���Q.7�8�.-.�������8./Q��7�.�*���������

Page 15: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ��������������������������������� ���������!��"������#��$%& '()*+, �-./ 0& 122�"� 34 5&6 7689 * :#; 0&#< 0& =&'>?�?��+@�� A��B����� �������C�����B������>DEF����' >?�?��+!���A��$%& '()*+, �-./ 0 122�"� 34 5&6 ;6 G89 * :# 0;# 0< =&, �-./ 0 1( 2�"� 34 5&6 ;6 G89 * :# 0; =&, �-./ 0 H( 222�"� I4 ;G89 * J; K���L#;#L#M N&, �-./ 0 H�O( 2PQ ; K�"� I4 ;G89 * J#; N&, �-./ 0 1�O(R� S89 *G T0 =&'>?�?�>+U������B��B'>?�?�>+��A�V���FV��������V���$%& '()*+, �-. 1WO( S89 */G T0 =&������������A���'>?�?��+?����V�������������������������BX��B�C��!X$Y,4 ZZ[ ��B\%& ]'>?�?��+ !���� ���B' >?�?��+����'>?�?��+FV���C�$Y,4 ZZ[ ��B _�-. 1WO( S89 */G T0 =& ab,4- ZZ[ ��B 3S�-. T cdeWO( S�[/G T0 :,4>- ZZ[ ��B 3S�-. T cdfeWO( S�[/G T :,4>- I4 �[ J'>?�?�g+h��A'>?�?�g+�������X���������$Y- ,>89 * '>?�?�i+

Page 16: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������������������������������������������� !" #���$%& '()�*�*+,-.�����.����()�*�*/,����()�*�*+,0��������� !" #��� 12 /34 5678 9!" #:; <= >& ?@� 3!" #��� A9/34 < BCD678 9!" #:; <= E()�*�*6,�������������������������F����.����G�H��G�����I�������������������J� 9K�K8 <LM& ()�*�*N,O�G��0F.�����( )�*�*6,����()�*�*N,�J� KK8 5 3!" #��� A9/34 < BCD678 9!" #:; <= E>�3!" # KK8 ��� A9/34 < BCD678 9!" #:; <= E� 3!" #8 ()�*�)P,��������I���F.����()�*�*Q,0�.�������3!" #� R) ()�*�)/,O�G����.�����.����( )�*�)/,����()�*�)P,0J� R) S /8 T J8� R) ()�*�)*,�������������������F���H������������������.I���G�H��G���UV � 9KRK# <V ()�*�)),O�G�.�����.����()�*�*Q,����()�*�)),0��������������UV � KK# )3!" # TUV �)3!" ()�*�)W,���������F���H���������������F����.������������I( /X)X/6,���UY � 9K(RZJ8,K# <&MY ()�*�)[,

Page 17: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� �������������������������������������� !"#!� �$�%�%��&��'��(������������ $�%�%�)&*+, - .$�"#/"#&.0-� ..0 "#$�%�%�)&1�2���������!� �����'��������3����"#-456 07$�%�%�)&(�2 ���*+, -� ..0 456 089+, -�456 $�%�%�:&;����$�%�%��&��'$�%�%�:&73�2��� 3<�'=*=- +,+> ? �456 0�456 0 89=- �� $�%�%�@&ABCDEFGHIJJK������ ����! �2� !�������� ��2 �2����� ���L� L ��� ���� ���2�(� !���'��L��2�����%M� 3�����������N�����2������ !��� �2����� ���OPQRS�������L �������������%TUVWXYUZ[�(���� ��\ �����(���2�������������������� !� ��]�������_2��(�! ��'!� ����2 ���a�L �'���'�����(��� �!��2�� �b$_&�22 �'���� *_- c_db$_&'_$�%�%�e&f 37�� �'��� <�'�������N�����2������73���2����������������7���gahN�����2�������������(�*0- ijk lm k$�%�%�n&M 7������������ !���N�����2������������*0- ijk lm k$�%�%�g&[�2��� 3<�'m k!� �$ �%�%�g&(���� !$�%�%�e&7��2�������������'�����(��� �!��2�� �������2������ �� �����������o�p3���aq ��r����s�� 2���h�����(��� �*b$m&- tl�u56 0 �pL v8 lm k�56 0 w$�%�%��&;����$�%�%��&7m k(�2 ���*m k- cxyx m kdb$m&'m

Page 18: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ���� ������ � ���� � ���� ! �� ���� � "#�$%���&%'())*+��,+�)-.���/011)*0)+�)�2�01�+�)*�3,�4,3$%���&%'/0����50160)�#0�7���� 8 ���� 9!:8 � ;#8� <��: =>?(��1@+�2)*+�),$%���&%'-.�*05�7A� �B� ������ � C <�� C ��� �� " =>?� �� �� $%���&&'D6��)+)6)+�2$%���&&'�0/E+�),$%���&F'7A�B� �� C �� �� G �� �� $%���&H'���,.��/011)*0)0//,�#+�2),I,1)J40���)0)+�)+/�-)*�4�0�����2@+�2+5���@7AKB� FL MN KN ��� ! KN�� � "$%���&O'(�#�,.-��4�4���+�2)*���10)+,��*+���).���3,�/�0�#�,)��)+01����2@7P$8'�! QR$8'Q8 $%���&S'��0��01�,),1#)*0))*����),�+�23,�/�+���,�,�)+,�01),)*�/6��,3)*�#+��10/�4��)-�,7P$8'T!U8 V$%���&W'�*���U+��,4�/,��)0�)�(//,�#+�21@-�6��)+)6)+�2$ %���&W'+�),$%���&S'-.�*05�7R$8'TU8 X$%���&Y'Z�+�2I,1)J40���)0)+�)+/�0//,�#+�2),$%���&O'-.�[�#)*0))*�4�0��,)��)+01����2@+�)*��2+5���@7ARB� FL MR$8'C��� ! R$8'�� � "$%���H\'],�5��)+�2)*��64+�$%���H\'+�),0�+�)�2�01-ARB� FL ���� R$8'C��� ! R$8'�� � "#8� FL ���� U8 XC��� ! U8 X�� � "#8� FL C _aX b� C �� �U " c>d$%���HF'

Page 19: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ����������������������������������� ��!����"#"$ %&'& �(� )* +, -./ 0 12,$�34 567- 83 )./ 0+ 1 9:;<=>�>��?@�A��������B< =>�>��?A�!C����<=>�>�D?EFGH$ D� 3 D4< 67- ? 3 )+./ 0 1 9:;3 4 567- 8� 3 )./ 0+ 1 I:;$ ./ 0� <=>�>�=?@�E����JJ��KE ��J<=>�>��?��2<=>�>�=?E������#F0H$ ./ 0� LFGH$ ./ 0� *M�F0H$FGHNOPQRSTUVWXY����2������K���J� ZJ�B����!2������E���2��2��=>D[E�����J�!��!�����!������JA��>\��J����������JA��� J�!��������E]<ZL?E�!!����A��������K���J������BKE��2�����������_���������<ZL?��20<ZL?>Y�J����K��������������< =aD[ab?��2<=aD[ac?>defghiej��������� ��J����C� ���J�!��!������!������JA��E�����������������BK������K���J��k(�2��2����� ���!�������2>l ������J��������J�B����!2������!���������K���� ������_��������<mnon���B��2������p���B��2?E��������������JA��� 2������Z!��A��(������2�����J�� �����2���2���!�J���������#Z$Zq rZs <=>�>��?l���������A���� ����2�k��#t$Zq *Zs <=>�>��?��!�������<=>�>��?��2<=>�>��?B����B�(��������������J�� �����JA������!������#Zq $ Zrt� <=>�>�u�?Zs $ Z*t� <=>�>�uA?v���B<=>�>�u�?��2<=>�>�uA?E��!�����J����������JA��� J�!����������#

Page 20: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ���������� ���� ��� � �� ������� �������� !"������� !"� �#�!�$%���&'()*+,-�+.��,+(�,))'/'0�'+.�1*��'0�#�!�$%�2)'/�������"�)'/ 3��45678 9� 45:78 9� ;�)'/���"�)'/ <=���! >� ?�)'/ <=���! >� ?�#�!�$@���&,�,)�',AA)BC+1�)1�/D�EAA�'F1G,+1'�+'�,&.'0+.�+.���+��G�1��#�!�$@��H.�I��++��G�1�)'/���"��)'/��"���#�!�$J�H.���&'�*+��G&,��'K���FA�����*,�)'/ <=���! >� ?� =���! >)'/ <=���! >?� =���! >� L! M�����)'/ <=���! >?���� N� L! M�)'/ <=���! >?��)'/ <=���! >?���� N�#�!�OP��.1)�+.�+.1�*1�)'/ <=���! >� ?� =���! >)'/ <=���! >?� =���! >� L! M�����)'/ <=���! >?���� N� L! M�)'/ <=���! >?��)'/ <=���! >?���� N�#�!�OL�C(��+1+(+1�/�#�!�$J�Q�#�!�OL�1�+'�#�!�$@�2K�.,R�)'/�������"��)'/�!"��)'/��"� =���! >)'/����"� =���! >)'/����"�#�!�O!�H'I�*S�����2K�I��+��&,))+.,+S�TU )'/��"2,�*,)�'+.,+� #�!�O!�1�1�,&'�R1����+0'�GVS������TU M�)'/�!"��)'/��"� =���! >)'/����"� =���! >)'/����" N�#�!�O#����'K��&,))+.�+.��G'*B�,G1&1*��+1+B*W�X*S�Y*Z�#�!�O[�E+\]_ab]cdef2� #�!�O[���&'G��*W�X*S�� *S*W � LX �#�!�O$�

Page 21: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� �������������������������� !"�"#$%&'(') * '(') + ')', + ',') - '(', + ',') * ./��0���������������������0�')*1',23 ','1 * .14�50�����������05��6����������������&7���8�'(', + .1 * ./ 23 '(', * 1/ !"�"##%9����7�����������1*:;< ="4�50�������� !"�"#!%���� !"�"##%&;< =/ *>< '', ?@���A�BC@���A@B2 D@2,� E���A@2,B2 D@C,� E���A@C,B F* ><� ��� G@2,@C, H !"�"#�%I��0��0���0������ !"�"#�%���5�0��8�'&����'���/ @JK%* �;< =>< ��� G@C,@2, HLMLNOPQROSTULVSOWXQPYZ��0�'���0�0��[�\@���]�����������0���0�\�������[�[����[^��������0�����\���_��������'="a����������8��0\������0������b;< =cd &7����cd *2J2C.JeeeJ"fgZ�[����������������\�������\�����00�0��[ �8���������0�[0%hgZ�[��������8�����[�������[�[���\�����00�0��[igZ�[����������0���0�����* jkl �_�[���\��[���������'���*m���00������0� ��6������[��3m��'b3n0�������;< b������0������0����8����;o %pgq8���������Z�������0����\������������0���^��0�rstuvwsx

Page 22: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ��������������������������������������������������� �!�� �"#$ % &' �(� )* +',- . /01�1�234��������5��������"�� ���������������������6������������� ���7�������!�� 56����������������6����8����������7���9���� ����"501�1�23����7��#$ : ;< =>?&;< =@? �(� )* AB- CDE,- . /01�1�F39����������56� �!����������6���G������"HI: AB- C,- .J�6������01�1�F3�����7���I�� �(��� ��������75#$ : ;< =>?&;< =@? K @L;<:K @LM@?NOK @LM@?>$NOK @LM@?>PNOQQQOK @LM?@PNOK @LM?@$NOK @L?:K LROK M?@$NLOK M?@PNLOQQQOK @M?@PNLOK @M?@$NLOK @L?:K @L? SK PL?OK MP?@$NLOK MP?@PNLOQQQOK PLOK LO2 T:K @L? S2OK LOK PLOQQQOK MP?@PNLOK MP?@$NLOK PL? T:K @L? S2OK LOK PLOQQQOK PM?@$NLOK PM?@ UVW NLOK PL? T01�1�13��X���������� �����56�����������6�����(������YZ[\]��7�����7����6�[ZYZ[\]��7���X�2OO PO _OQQQO L:2OO PO _OQQQ a* `L>$O L>POQQQ a:2OO PO _OQQQ a* L>$2OO PO _OQQQ a:2OO PO _OQQQ a2* L>$ a01�1�b3�������7����"������������"�������������2OO PO _OQQQ a: c&d 22*^ 01�1�e3f����01�1�e356������6��6����01�1�b3��2OO PO _OQQQO L: 2* L>$2*^ 01�1�g3h���������"56��������i��������������������0 1�1�g356����jK L5�� IjFk�9���� ����"501�1�13����7��#$ :K @L? )2*K MP?>$NL2*K L /: K @L?*K M?>$NL2*K L

Page 23: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ����� � ����� ��������� � � � ���� ���� � ���� ����� ������� ���� ����� �� ���� � ���� �� ���� ��� �� ��� � ����� ���� � ��� �� ���� ���� �� ��� ����� � ���� � ��� �� ���� ���� �� ��� � �� ����� � ��� !"#"#$%&'()**+,-./).�0+,/!1%�� ��� ��2! "#"#$%3'(45'06� � 0+,/ 789: �;< =1 >0+,/? �;< @ !"#"#A%BCD4E,F./')G'H)-'5)-,'.+(545',.2I'EH0.H'()**./)../'H'*).+4,0/+J3'.I'',./'5)-,'.+K).+4,!L%),F./'5)-,'.+(545',.!M%+0NL� OP MQR(/./)../'5'),5)-,'.+(545',.(),,4I3'F'E,'F+,.'H504S./'5'),5)-,'.+K).+4,)0TUV�OTWV!"#"#�%X')*04H'()**./)../'5)-,'.+K).+4,+0F'E,'F+,.'H504S./'SH''','H-Y)0TUV�� Z[\[]_ !"#"#�%X/'H'./'SH''','H-Y+04S(4RH0'\��ab c*4-?6d @!"#"#��%&'()**+,-./).S4HF+0.+,-R+0/)3*'2,4,e+,.'H)(.+,-J)H.+(*'0./'SR**J)H.+.+4,SR,(.+4,+0F'E,'F+,.'H504S./'0+,-*'eJ)H.+(*'J)H.+.+4,SR,(.+4,)06d �6 d� #f''J+,-./+0+,5+,F2),F0R30.+.R.+,-!"#"#��%+,.4!"#"#�%2TUV�ab c [[] *4- 76 d� >�gTUV�Oab c �6� [6�[] !"#"#��%h.I+**3'5R(/')0+'H.4'G)*R).'! "#"#��%+SI'(4,G'H../'J)H.+)*F'H+G).+G'4S6I+./H'0J'(..4]+,.4./'JH4FR(.4S.I44./'HJ)H.+)*F'H+G).+G'0R0+,-./'(/)+,HR*'iTUV�Oab c �6� [6�[] [1[6� [6�[1 �gTUV�ab c �6� [1[] [6�[1 !"#"#�"%X'(),04*G'./'EH0.J)H.+)*F'H+G).+G'+,!"#"#�"%3YH'()**+,-/4II'4H+-+,)**YF'E,'F1i[1[] � [[] jkWb ]ab c lm kWbab c !"#"#��%X'(),)*0404*G'./'0'(4,FJ)H.+)*F'H+G).+G'+,!"#"#�"%3YR0'4S!"#"#A%2

Page 24: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� �������� � ��� ����� ���� ��� �� ����! "�� # $����� ���� ��� �� ��� %&����! "�� # '� &����! "�� # ��� ����� ���� ��� �� ����� ���� ��� �� %( &) *+,�! "�� #����! "�� # '� &����! "�� # ���� ��� �*+�� ���� ��� �� �( &) - ���� ���� ��� �� ����! "�� # -*+,�! "�� #� *+�� ���� ��� �� ����! "�� # ��� ��� ��( �) -*+,�! "�� #� *+�� ���� ��� �� ����! "�� # ��� ��� ��( �) - *+��! "�� #����! "�� # � *+�� ���� ��� �� ����! "�� # ��� ��� �� &����! "�� # .*+�� ���� ��� �� ��� ��� �( �) *+��! "�� # /01�1�&2345��,�,5,��60 1�1�&738�901�1�&23�8*:��,+01�1�&13;<��8=�>?@�ABC D &�� EFGCBC D HE&����! "�� # .*+�� ���� ��� �� ��� ��� �( �) *+��! "�� # /H�A FGC����! "�� # .&�� *+�� ���� ��� �� ��� ��� �( &) *+��! "�� # /�A FGC����! "�� # .����! "�� #����!0�� ��� 3�# *+�� ���� ��� �� ��� ��� �( &) *+��! "�� # /�AFGC I*+�� ���� ��� �� ����!0�� ��� 3�# ��� ��� �( &) *+��! "�� #����! "�� # J�AFGC .*+,� ���� ��� �� ��� ��� �( &) *+,�! "�� # /01�1�&K3LMMNO��601�1�&K3,+01�1�P3;<�*8��8O,�8,,��Q�8�Q86��,�*Q+Q��,��>G@� >?@A (R >G@�FGC .*+,� ���� ��� �� ��� ��� �( &) *+,�! "�� # /01�1�&S3TUV�+QN�*,5��;��,��*8��+W�� ��� ;<�*8Q�,+,��*+�*N5��+�,�8,>G@�GC ,8�� %GC XBC D '01�1�&Y3�����8���,��*N8���*8N*8��;<�*8Q�,+,��*+�*N5��+�,�8,>G@� G �C X1BC D 01�1�&P3��*8�,8:�,��N�Q�,+W01�1�&Y38��RZ�8��NO�W<���*8NN,�8,*+,�!Z#R&;>G@�FGC .��� ��� �( &) /(R >G@�FGC �01�1�)[3

Page 25: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ��������������������� !���"#$��%��������&�������� !����$���%'�($)*����+, �����-.��$/0�($��+��1�/���� !���#,�����2.$�$�)"�3��04$)5%�'�"�����#����, ���.�0$��0�5�/�)5�)(���� !���"#$��*$���"��%�")��(��$�60�1�*����1�/����0�"$#��0�)����*��+�$���*$���"��%6$"�)����,��&.���"�$"+��"���0$�� !($����"$��)�$�5�/�)5�)(��)%6$)5"��#"��3��)5�/�)5�)���46�0�"*����+�)�,�����-.�789)��5����:)5;����<";�)"�$)�61�:�"���($���0$�;����<"=$1�"*$��5�)�+�)5��(�)5����)"����1#$�)���>$���), ? @AB? @.6$)55��")��$//�+�)�0�0��0C:��5D��1C��#/��$��������#��E'���($���0$�4�"5���(��+/��/�����)$���F610����)*��"��+/��/�����)$���@�G0�������61�($)�H/$)5�0�(��0I4J���#"�), �����2.$"�(��0IK4JL �K4 M K4� N ,K4. O&� M �,K4. PQ&� NRRRG$S�)��)�+�0�:�"��1����#"�)�0�"�H/$)"��)$)5/�����)��)��, �����2.6� !LT ? UV�,%M WXY .4 M Z%M WXY [4� \Z%M WXY [N �� ]�4 M 4 _LT ? UV�4 M Z%M WXY [Y4� \N ]�4 M 4�� _LT ? UZ% YM%M WXa [4� N 4��LT ? UZ% YM% [4� M 4�� N 4��L T ?� %,%M�.4,������.b�($���)�0�11�(0�"���5�:)�4$��0�3���))�)����0�/��3��#6, ������.3�(�#�"� !L T ?� %,%M�. T ? FB? @ Nc� !L T Y Y? F�B? @ %,%M�.,������.;����<";�)"�$)��"5�:)�53+

Page 26: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ����� �� ������ �� ��������������������� ��!��"#�"�$�%#&&��'"�#"��()*#�+����'� �������*,�%#�-�+����� ��!��"#�".�!/��������#��� (0 1) 12�32 4�456�789:;<=>�!���+��#&�?��+���?��&�����/��!"�"���/#&#�++�@���A��,�"��"�A#B!��"��#"�+#�#��+�#&'#���C!�"��&�?��+*,�,�&&#BB&D"��.!&&!,��'%��+�/!+�&E,�"��#""��&�?��+�#��."��/!&�%�&���"�&&.!�/�+#'#�!./!&�%�&��/!A��'��+�B��+��"&D*��",�"�"��.!&&!,��'%!���+��#"�!���6��#%�/!&�%�&���#���/�+"!�#A�#%!��"#�"B!"��"�#&����'D�F+��"!�"���"��#%"�!�,�"�"��!"���/!&�%�&��*#�+���#%�/!&�%�&���#���/�+.���"!/!A�"��!�'�!�"#"!"#&A!&�/�(G HI *,����HI ��"��#A��#'�A!&�/�#A#�&#�&�B��/!&�%�&���"��&�?��+B�#���JK��"�"����#���/B"�!��*,��"�+!,�"��B#�"�"�!�.��%"�!�.!�#&�?��+%!����"��'!.(G /!&�%�&���LKM!,��""��%��/�%#&B!"��"�#&!."��&�?��+�?�#&"!"��%��/�%#&B!"��"�#&!."��A#B!�B�#��#�+-�+#��NB�����!�.!�"��A#B!�B���������"��/�!."��"�/B��#"���#�+!"���%!��"#�"�&�O�HI #�+F�PQRSTUQVJK����'��!��W!����D�D��%#&&��'"�#""��B#�"�"�!�.��%"�!�%#����NB�����+����"�'�#&.!�/#�XY �(Z[Z��� 6(\] Y _`�NB a� bYc dc32 � e+f Y+g Y hY������i�j��k#/�&"!��#�*d*��!��%#����#%!/���#"�!�!."��O���"�%����'D"��/*#�+"��B!"��"�#&����'D�F*,��%���!��!.!��#���/B"�!����+�-���'!��%��+�/!+�&.!�"��&�?��+�j��k#/�&"!��#���"���'�A���Dd� lc m�c 5[c no Ylc pq 1c�r �F s������t�u���"�"�"��'� �����t���"!������i�*X vGwY �(Z[Z��� 6(\] Y _`�NB a� bYc xq 1c y�r�F z32 � e+f+g hY� 6(\] Y p`�NB {� q 1�r32 � 5 F32 � |+f+g sY� 6(\] Y p�NB {F32 � |�NB {� q 1�r32 � |+f `+g sY

Page 27: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ����� ���� �� ����� ��� ! "�#$%$ ��� �& ' (�)� ! "*' "� +�� ���� �� ,���� ��� ! "-.�/)� ! 0� 1�� ��� ����� ��� ! "��/)� !� ( " 234 +�5�6�6�789�:;<<=>?@A;@@A�@B@;<CB<DE�F�F=GH�<;@�*@B@A�;C�H;?�CB<DE���HEB<�:D<�FIJ F@AHBD?A@A�>DEK�HBLEB<�:D<�G� MNOF;G��� MNOIJ F;>*GB5�6�6�78K�:BE�GP MNO� 5�Q�Q!8� ��� �� MNOIJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 +�5�6�6�R8STUA�:A�E=:;<�B@�>@=;<=G?=C�>KVWXY Z[\[� ]_ Y& Z[� !<B?aPb[� ]_ 5�6�6�c8dBF<�@eGf>*@A�:A�E=:;<�B@�>@=;<BL@A�<=gD=*fHG@6dDKG@=@D@=>?5�6�6�R8=>@B5�6�6�c8FX MNO�&� ! [<B? -P MNO� 0[��&� ! [[� <B? hi ��� ��IJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 +� jk�&� ! [[� lmn <B? hi ��IJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 +� jk&<B?a��b opq�&� ! [[� ��<B? r�IJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 s&<B?a��b +�&� ! �[[� r�<B? r�IJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 sstuvwx & [[� <B?a��btuvwxx +5�6�6�y8z�fHG@�C;<D;@�xLHBE5�6�6�y8Wx� [[� r�<B? r�IJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 ss�<B? r�IJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 s[[� a�b{� [[� r<B? r�IJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 ss�<B? r�IJ ��� ��� ! "��/)� !� ( " 234 s{�5�6�6�|8z�>B}:;HHVBD@@A�H�E;=>=>?�;H@=;<*�H=C;@=C�=>5�6�6�y8F�E�<BV=>?d@=H<=>?eG;��HB�=E;@=B>W

Page 28: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������ ��� �������� ��� ������������������ ��� ��� ��� ������� ��� ������������������� !�!�!�"#$��%&%$%&�� !�!�!'"(�) !�!�!�"�(*+&�%� !�!�,-"./ 012��34 5 6��� 7�89 �:; <=34 5 ><,?@34 5A B > CDE F��������� G��34 5 6��� 789 �:; <=34 5 ><,?@34 5A B > CDE F�� G��34 5 6��� 789 �:; <=34 5 ><,?@34 5A B > CDE F������:;���� G��34 5 6��� 789 �:; <=34 5 ><,?@34 5A B > CDE�:;��� FG��34 5��� 789 �:; <=34 5 �� ><,?@34 5A B > CDE F !�!�!,"H���)��%�I�)%J�*J�K&*(�;�%��%&(��L%J�MNO.P�*(��&K;�Q��P�&%� !�!�!,".PJ���&�%J���P*(��=R'.(�)P�(�����*(��%J(%89 �ST�U/ 0V2��34 5��� 7S� <,?@34 5A B > CDE F !�!�!!"W�*(��&��%J(%�$��(�&�&�L(*%(�XYZN[MNO.P���%&*�%J(%P�*(�K(�&;$�(%�%J�&)�(��(��(P(�\S��34 5�R S� � 34 5\ !�!�!]"#$��%&%$%&�� !�!�!]"�(*+&�%� !�!�!!"./ 0V2��34 5��� 734 5\ <,?@34 5A B > CDE F !�!�!"_�)��P.%�I�)%J�(;��;����$��(%%J��K(�(�))&a$�&��b$&�&��&$K.P���%/ 012�/ 0V2.(�)L��K !�!�!,"(�) !�!�!"P�J(��34 5��� 789 �:; <=34 5 �� ><,?@34 5A B > CDE F��34 5��� 734 5\ <,?@34 5A B > CDE F89 �:; <=34 5 �� ><,?@34 5A B > CDE� 34 5\ <,?@34 5A B > CDE89 �:; <=34 5 �� >� 34 5\ !�!�!c"

Page 29: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ����������������������������� ��!!��"! �#$"�%&���!#�'(%) *+ ,-. �/0 12 34*+ , 56 789:;<=>?@AB�00�����C!�'D�&��E�!�'D����������'F��E�����E!"��#F����'��(�G�'#�������'F��E�����"0�'F����'��(�4�����HI����������B�00��"'!�I'B�0$�"����!�$��'#&�'#�������!�'D'I����JE�'"'!�"0�'�$�!!���!�'D��"���!�$��6KJKLLLKJ26�����!���#�"0�'�MNO�"F�������0������"'$I'E��"'E�'���I���#�'���$"��PQR ) 62S TURVWXYZ62S TYZ ������[�\N]�'#�'�/0�����"'$"����� ���(�'I����"$"0�'!�'D����"�����0����I��,�_abc_dMNe�����'#��#$"��"$�����'(!�f0����E!�0������"'$I'E��"'��QW ) ghij. �/0 12 ki*+ , 8������l�m�E�I�����n0����E!��o���#����'(I�����!�&���'F�E�'(��'���$I!!0������"'$�"�������l�HI�������!�Qi ) ghij. �/0 12 ki*+ , 8i������p���'"F��D��q�!#���0�r��s���D��E!"��!""D�����$"!!"F�'(������PRhij. t i)65t5t u5t v5LLL5t R�����wG���'"F�I!��0!��"����#��"$� ����wG���t�e���!""D�!�D�t Rhij. t i)t5t u5t v5t x5LLL5t RVW�����w6���'"F��D������wG��'#�I����E�$�"��������w6��e������!#��62t� Rhij. t i)62t RVW�����w��

Page 30: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ��������������������������������������� !"!��#!�#�$%&'( ) &* +,) $-.+,) ��������/���0�����������������1�0�� 2�����������"����"�����3�! ���������4�56& * +,�178,�9:+�;<=+,�178,;<= ��������>?��������!������@��A�"����3������ 2������7��!��#���� ��������2BCD* +6& $%&'( CE�178,C;<=������F�/�������0�������0������3���������F��������3��@���0#@��"��#��"���3���3��������!!��������2GBCD* +6& HH�;<� $%&'( �178,C;<=I JKL6& ������M�N��������� �����M���0�2����BCD* +6& HH) 6& ������O���������3�2�"������27����@� ����� ����)*;<���0��3�����0��P���@���� ����A���"���3���3���� �����O��HH) 6& * HH) Q+,�178,�9:+�)=+,�178,)= R* ++,�178,)= SHH) 8+,�178,�9:+�)== T:8+,�178,�9:+�)== SHH) ++,�178,)= T* ++,�178,)= 8�9:+��178,�9:+�)==,8+,�178,�9:+�)== U�178,)=�+,�178,)=� V W*�9:+� �178,�9:+�)=+,�178,)= ,�178,)= U+,�178,�9:+�)=�+,�178,)=� V W*�9:+� �178,�9:+�)=+,�178,)= , �178,)=�+,�178,)=� V : �178,)=�178,�9:+�)=�+,�178,)=� V*�9:+� �178,�9:+�)=+,�178,)= , ++,�178,)= S, �178,)=+,�178,)= : �178,�9:+�)=�178,)=+,�178,)= T* ++,�178,)= S�9:+��178,�9:+�)=, �178,)=+,�178,)= : �178,�9:+�)=�178,)=+,�178,)= T* ++,�178,)= S�9:+��178,�9:+�)=,�178,)= Q+,�178,�9:+�)=+,�178,)= RT������X��������������������17������������0#�����������X����������������6& �N���������

Page 31: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������� �� � ���������� ����� ��������� ������������ ��!"!"#$ %&&'()�*(+&,�-.�.�-/0&*)12)&(&1&�� !"!"#$ -+/�!"!"## (+&*�!"!"#� 3456� ��� 7 ���������� ����� ��������� ����������8� �� ���� ��������� �������������������� ���� ��������� ����������� � ���������������� �!"!"�9 :1&&(+;&'�+1<2�.)2-=>(+&*� !"!"�9 ?�-/)1)&*456� ���� ��������� @A��������@A� � �����@A��������@A� �!"!"�� B�-.�-)>�/&*�C-?1-&�&'�-C�.-;�+1<2�.*D*��+?(+>)D.*<�!"!"�� ;(C�+&'�D*??*,(+;)&(�1E?-&(*+3@FGH I�J@AF�KD@AF�L&'�+-??&'����*+�+&(-?&�.<)-��.*-='M�.*L-+/)*&'�-C�.-;�+1<2�.*D*��+?(+>)()456�9NOPQRSTUVWX'*,&'-&���.�))(*+�#Y!Y�9 D*.&'��+&.*�0*D-)0)&�<(+&'�;.-+/=-+*+(=-?�+)�<2?�=-+-?)*2�,.(&&�+-)3Z�GH [��I �I\ ]_ �!"!"�� abcdefbgB�)��&'-&� #Y!Y�9 D.*<:-&'.(-.�-/)Z�GH I h�\�I ij_ ��GH ?*;�k��GH \�!"!"�! B�+*,.�=-??&'-&&'�/(l�.�+&(-?*D&'�mE�*&�+&(-?'-)&'�D*.</\� h�\�I ij_ /I� h�\�n ij_o /n� h�\�k i_o /k�!"!"�# p*,&'-&,�-.�(+)�(.�/L,�<-0+*,.�,.(&�&'��-.&(-?/�.(C-&(C�(+�!"!"�! -)

Page 32: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� �������� ���� � ����� ���� � ����� ����� ���� � ���� � ���� � ����� ����� ���� � ���� � ����� ���� � � �!!"���#$��%&''�() )*+",$-.%-��&/�0��121�"� 3��� ���121�" 4��� 56 ����� ���� 7 0� � � �!8"9::';.�<� � �!8"=#� � �!!",����� ���� � 0� ���� � ����� ���� � � �!+">?��=.=?=.�<� � �!+"�&%@.�=#� � �! ",A7BC � D0� ���� � ����� ���� E50BC '#<F�G�BC �7BC D0 �� ���� �� ����� ���� 50'#<F�G�� E� � �!H"���#$.��#%��=';�#=.%�=-&=�� ���� 7'#<F�G� � �!I"9%%#�/.�<';,$�%&��#$$�.=�� � �!H"&�A7BC D� ����� ���� �� E7BC D� ����� ���� �� ����� ���� E56 A7BC 3��� ���" 4���JKLMNOPQRST�=��U.��=-�<�&�/:&�=.=.#�V?�%=.#�#V&<&��#?��;�=�U#VWU&<��=.%X&=#U��$.=-Y7 Z[\ &�/]7"$-.%-%&�-&_�,.�&//.=.#�=#=-�@.��=.%����<;,&U&<��=.%:#=��=.&'����<;�?&'=#aC b#�5aC b,/�:��/.�<?:#�=-�.�#�.��=&=.#�$.=-���:�%==#=-�&::'.�/U&<��=.%c�'/b�T��._�&��d:����.#�V#�=-�U&<��=.e&=.#�#V=-��;�=�U,&�/%&'%?'&=�-#$U?%--�&=$.''��<._��#f�;=-��;�=�U$-��=-�U&<��=.%c�'/.���/?%�/V�#Ub=#e��#&=%#��=&�=_#'?U�&�/%#��=&�==�U:��&=?���

Page 33: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ��������������������� ��!"# �$!�%&�'( �!�&�'( ( ��)*��( �� #+�,��+-./0 1 23 4 55�6& 789: ;:<= > ?+ 4@+ 4A�BCBCDE"���F�G !(�� �� �(� #��#� #;1 H I�J KL= M�BCBCD2"N&&!. �$�BCBCD2"(��BCBCDE"O/0 1 23 4 55�6& PH IQ�JKL= M<= > R+ 4@+ 4A1 23 4 55�6& PH I�J<= > K L= M<= > R+ 4@+ 4A1 23 4 �6& PK L= M<= > R5+ 4A 5�6& PH I�J<= > R+ 4@1 S3 4 �6& PK L= M<= > RT5UVU �6& PH I�J<= > R+@ W41 S3 4 �6& PK L= M<= > RXY�ZJ<= > [4�BCBCD�"\���]��( ��(��((���6&����( �!(�'G���-�'�]' ((���#�6& PK L= M<= > R1�6& PL= M<= > R�6& P_ L= M<= > R���#� P_ L= M<= > R�BCBCDB"a*-#( (*( �$�BCBCDB"-��b �(��BCBCD�"O/0 1� S3 4 ��#� P_ L= M<= > Rc�ZJ<= >d efg�BCBCDh"i# �$� BCBCDh"O]������]#�.(��((��)*!!&�'( ( ��)*��( �� #/9 1 2jk T� S3 4 ��#� P_ L= M<= > Rc�ZJ<= >d efg W9�BCBCD�"\���]'���!!(��((���l*�( ��! �b �$(��$'��+&�'( ( ��)*��( ��(�(������� ��!&�'( ( ��)*��( �� #m1 Un9op q 9/9 �BCBCDD"\��'�q #(��)*$�� (.Ca*-#( (*( �$�BCBCD�" �(��BCBCDD"Om1 Un9op q 9 2jk T� S3 4 ��#� P_ L= M<= > Rc�ZJ<= >d efg W9

Page 34: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ���� ����� ��� ��� �� � !�" #$ %& '(& ) *+�,-(& ). /01 2�34�4�567���!89��! ��:;<�� =;;:"=::"����9���>?=��9!�@!�A B9�A B� ����� C ����� =� ;�=�;<���:"=:3 4�4�567@!;;!8�:"9��=D�@!�DE=�F8� =��!88�9:�G��>? #�� �� � !�" #$ %& '(& ) *+�,-(& ). /01 *34�4�5H7I"�D=J��:9K=:9!�ELE9�F�M��F=�L�$ NOPO' QR 34�4�5S7��DT�:�!8M�F:"�@�������J<PE8"9 "9�J9U���<P�$(& );!J+V� .34�4�6W7XT��:9:T:9�J9�:"� =�!�9 =;?=�:9:9!�@T� :9!�@�!D3 4�4�5Y79�:!34�4�6W7EP�$(& );!J Z��� �� �� � !�" #$ %& '(& ) *+�,-(& ). /01 2� [�$�(& );!J #��� \0] � �� � !�" #$ %& '(& ) *+�,-(& ). /01 *34�4�6�7_!8�T��:9:T:9�J3 4�4�6�79�:!34�4�5S7E8� =�M�F:"�D=J��:9K=:9!�L�$ OO' #$�(& );!J #��� \0] � �� � !�" #$ %& '(& ) *+�,-(& ). /01 **��(& ) OO' ;!J #��� \0] � �� � !�" #$ %& '(& ) *+�,-(& ). /01 *��(& ) OO' �;!J # !�" #$ %& '(& ) **a;!J #��� \0] � �� � +�,-(& ). /01 *2��(& ) �OO' ;!J # !�" #$ %& '(& ) **a OO' ;!J #��� \0] � �� � +�,-(& ). /01 *2��(& ) �%&(& ) :=�" #%& '(& ) *234�4�6�7b=� �;;9�J:��D�9�3 4�4�6�7E8�=��;�@:89:"L��%& :=�" #%& '(& ) *34�4�647c: !��:=�::�D?��=:T��=�FU!;TD�E:"���:�!?< =���dT=�:9M�F9�:��D�!@"�=:�<

Page 35: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������� ��� ������������������ !" !#�#$%#��& � �������&''&()*+#$�,$% -�& � #.!)+/0121#$�3&4�.� ,�5�6!.�% 3%6#�.7�8�9$�� #.!)+&'3�: �3%'��� ;<=<� >?@A ������B�CD5'#&#D#& -� �������& #!������B�/��� <<� E�FGH �*!- E�FI JKL M� NO P ,!'$ EQH 7GH � RS�TUGH �V WKX RR�FGH <<� E�*!- E�FI JKL M� NO P MS�TUGH V WKXY Z[\] ,!'$ EQH 7GHYZ[\^ �� R� WKX RR��������_�".&#& -��������& #�.('!6% �",! '#% #% 3a/��FGH <<� E�*!- E,!'$ Ea� R� WKX RR�FGH b*!- E,!'$ Ea� R� WKX Rc� <<� E*!- E,!'$ Ea� R� WKX Rd�FGH b*!- E,!'$ Ea� R� WKX Rc� E��� � a� e #% $ Ea� RRd�FGH b*!- E,!'$ Ea� R� WKX Rc �� � a� #% $ Ea� Rd��������CD5'#&#D#& -5%,f& #!� �������#$�g%*D�!6a/��FGH b*!- E,!'$ EQH 7GH � R� WKX Rc �� � QH 7GH � #% $ EQH 7GH � Rd������h�9$�& &#&%*� #.!)+&'-&g� '&()*+5+������h�/$!"�g�.#$�: %*� #.!)+�"$� 7�8�,% 5�6!D 35+'�##& -7�8& � �����h�i�j �FGH b*!- k� WKX lc �� d������m�9$� D'& -� �����h�% 3������m�/"�,% !": 3��/����j ��n�FGH b*!- k� WKX lc �� d�FGH b*!- E,!'$ EQH 7GH � R� WKX Rc �� � QH 7GH � #% $ EQH 7GH � Rd�FGH b*!- k� WKX lc �� �*!- E,!'$ EQH 7GH � R� WKX R� �� c QH 7GH � #% $ EQH 7GH � Rd�FGH bQH 7GH � #% $ EQH 7GH � R�*!- E,!'$ EQH 7GH � RRd�����h8�

Page 36: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������������������������������������� �!"#$%&' ( )*' +&' ( ���, -*' +&' ( ./0�� -1���, -*' +&' ( ..23456789:7;<=5>;7?@98ABC��������D��E�,��FG�������D���,�����HG��������D�������!��EG���I%J��HI% KJ�L�M�,�M�,��N KO $I% KJ/I%J K$&' ( PI%JP* ��� �Q�RCS,����T��FG�������D��N KO �����M�����������E��D�,�����,��E�0��EG�������0��UH�V��H��WXY $/Z [\�PZ]P�Y �S�H��,��!V����,�M�,��*$�P_]P%�Ya M,���_���,�b����D��������U�cCS,���,�M�,���,�b����D��������U����T���U_$*%!defe�,��,�E���0G�������0���,�b����D��������UG��G�����0��gCL�M�FG����H*�����E��DH��HH(��H�,�M�,��hP*P% ijY $/ Z K% K hPPZ iYO ��� �k�lCm���00U!�,�M�,��N KO% K $ &' (Z nY ��� ���opqrstpuBCS,�b���Hv��������m�������!w!��H�V��H�Uw$ xOy �FG -%*/zyO&' ( .��� � ����0������00�,����������0!�,��T������D���T��{������U|�����H�V��H�UI|J$ x} |}}�,���} ���,�G������0��UH�����������D��������~��������!M��������H��V�HI%J!��H���GG0U����,��G�����G0���%!

Page 37: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� �������� ���� � ��� ��� �� !"���#$ % &'� �� ���� ���� �� !"���#$ % &(�)*)+,-./.0120345�6178139:2�� ;�<=1<�� ;�� �� ���� � ;��� �� !"���#$ % &(�)*)�,>�7:55.8=<:?7@A ;� B<=�?28<8<��.8<:<1C�<=��12<.10@�2.D1<.D�:9�5.<=2�8��6<<:<=�6=�/.610�:<�7<.104 EF�F � FF GHI ���� ��� �� !"���#$ % & JKL� ���� FF ��� �� !"���#$ % &� ���� �#$ % ��� �� !"���#$ % &(�)*)M,N:D.7O<=�916<:2:9#$ %<:<=�PQ-:9(�)*)M,4#$ % F�F � ���� ���� �� !"���#$ % &(�)*)R,>�7:57:<�<=1<5�6172�52.<�(�)*)+,S8.7O(�)*)R,4���� �� #$ % F�F (�)*)T,-./.0120345�7:55.8=<:?7@<=�8�6:7@�12<.10@�2.D1<.D�:9�92:/( �)*)*,4:2�US.D10�7<034<=�?28<@�2.D1<.D�:9( �)*)T,EF ;�F ; � F ;F ; GHI ���� ��� �� !"���#$ % & JKL� FF GHI ���� �#$ % ��� �� !"���#$ % & JKL� ���� �#$ % FF ��� �� !"���#$ % &� ���� � ;(#$ %, ; ��� �� !"���#$ % &(�)*)�V,N:D.7O<=�<=�2/10916<:2:7<=�WQ-:9( �)*)�V,<:<=�PQ-4(#$ %, ; F ;�F ; � ���� � ;��� �� !"���#$ % &(�)*)��,

Page 38: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� �������������������������������������� !"# �$ �%& '� ! ( !$() ! ������*�+,�����,���������-���.������*����/��������0 !1 #� !"2� " !# �$ �%& '� ! ( !$() ! 2 3�$ %& ' ($() 4!# �$ �%& '� ! ( !$() ! 2 �$ ! �%& '� ! 5($() 6!# %& '$ 7%& ' ( !$() ! 2 �$ %& ' 5($() 6! 8# %& '$ 7%& ' ( !$() ! 2 �$ %& ' ($()9 :;< = ($() 8��������>/�������?���?�,�.�������.���@������������� "A�/@�����-��0 !1 # %& '$ B%& ' ( !$() ! 2� " ($() C# %& '$ B(() =%& ' ($()9 :;< 2� " ($() C��������+/DE���� ����F�A/��?�,�.�������.���@������������.@�G����?��,�����,��/��0 !1 # %& '$ B(() �H� "�2� " ($() C������F����/��/�����?���?�I���J�����D.���E���E�@�K��������./,��/��(() �H� "�#$ (� "() L� " ($() ��������+,�����,����� ����������G���/������F����I�.�?��0 !1 # %& '$ B$ (� "() L� " ($() 2� " ($() C2M0 !1 #%& ' (� "() ������N�OPQ/�?/��?�������������?��?�@���DJ/������D�����@�/A�?�R����S��������K���,������.���?�J�/@J����I�������DD�?���?�R����S��������K��.�I��.�K� �T�T�F���U#V2'WLXYZ) ������[��?����?�\]+�����,��.�A�?��������E�J���@�����'����.)��@����/�������?�D��?��_�����E�J���@����� �Y���.V��/�J�/J/���/����DK���?/����/�?���+��S//��/��[/�J��*[��Q?���A/����?��?�@���DJ/������D�����.�I��.�����@�/A�?�R����S��������K��)# 5(U( 6ab ������-�

Page 39: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ���������������������������� �!������������"���#$%&%'(!���)*+,-./0123#&4'4�5(6"7)���"����#&4'4�5(�������896�:#&4'4$;(<=�)������>+#,-./0123(.,-1/0.?>+23#&4'4�$(@�AB����������C�77)D!��A��!�E���F"����G�!�����)E)��F<=����H������� �!�������)�>+2�313�2#&4'4��(I���)�������������� �!�������:>:!�F#&4'4$;(�)�>+.-�,10�/12�3#&4'4�&(AJ"�����# &4'4��(���#&4'4�&(<=�H������2�313�2+.-�,10�/12�3.?�2+. -3 �,1 03 �/#&4'4�'(8�������,?5<# &4'4�'(7���F�)�2+ 03 �/.? K2K/ + 03 #&4'4��(LGG�E�����������!"����# &4'4��(<K2K/ K/K0 K0K/ + 03 .? K2K0 K0K/ + 03 .? K2K0 + 03 K/K0 #&4'4��(LGG�E�����������!"����������������896�:# &4'4��(<K2K0 K0K3 K3K0 + 03 K/K0 K2K3 .? K3K0 + 03 K/K0 #&4'4�M(I���=��������:!�FN�B=���O)!�������)<=����=!���PK3K0 QRST + PK/K2 QRSU #&4'4�;(6"7)���"����#&4'4�;(����#&4'4�M(<PK2K3 QRSU PK/K2 QRSU + 03 PK/K0 QRSV#&4'4�W(D!�F�G!�X��")��F�=�!Y)��<=�=�!��)Y�����)��7��)�.3+0 PK/K2 QRSU .? PK/K2 QRSU +. 30 #&4'4&5(6"7)���"����# &4'4&�(����#&4'4&$(<PK2K3 QRSU 30 +. 03 PK/K0 QRSV .? PK2K3 QRSU +. 0 Z3 Z PK/K0 QRSV #&4'4&$(

Page 40: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� �������������������������������������� ������������ !���"�������!��#$%& $� ���'� ������ �%& () *+ ,-+-. /&01 23�4�3567�� �#����������������� !!#���"������2����8 ��9����� ��6$�������� ���� ��������2 3�4�3*6 �,-:-9 /&0; () + <9 < ,-.-+ /&01 )= ,->9?-: /&0; () 9 <+ < ,-+-. /&01( 9 <+ @) *+ ,-+-. /&01 A23�4�336B�����������2 3�4�356�������CDB�E23�4�336$,->9?-: /&0; ( 9 <+ %& )=FG 8 ,->9?-: /&0; (FG 8 9 <+ %& 23�4�346B�����������2 3�4�*6����23�4�346 ���� �� �����$������� �H <1 (FG 8 9 <+ %& )= H <19 < ( FG 8+ %&����������� �� �23�4�36�IJKLMNOPQ���E ������9 ����"��������������'��!���������� ��R����� !� ����� �������!���!���E�#"�S ��T�� ������� �� U��������������!�S��!���!�����������#)VW �� ����!�T��!���!����������#)VX �Y��Z"�������� ��� ����� !" �������E�������E������ ��������#��������������! ���������������E� ����� !����" �����2[W (\W ]9 ��[X (\X ]96 �����" ��� !"��������W ��X �_abcdeC�� !!����� ����f� ��Y ����� !g �������7�������2hiji���f����B��6����k���#l( m10n �R" o:n 9)pn01FG 8 q23�4�3r6s��������������g�E����� ��������#����$�� ������� ������ ����!#����� ��� k �! �!�������#����$����������!���!�S�� ������� �����������������!���!�T�� ������������������� ����������������!���!������������Z�������������E��������������E���"���!�������� !!�� ����f� ��g�� �����������������E���� ����� !g�E���24t3t*r6 �l( mu v uwu 23�4�3x6

Page 41: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������������������������ ! "# $%& '(�)*+, �������)-)���./012-..-3�)�����4�56.��)�.���-������*�-�7�*-)�-�.������883�)-�����������)-)���./03���*���)�������+, 9, :�46 ;< =>?,@A B C,�D1E1D�(��������*���)�������9F G�G<H(III�G<JKH(JL M GL�G<J(LJL �D1E1DN(O�7�������)��D1E1DN(�)�-�D1E1D�(8+, GL�G<J(LJL �46 ;< =>?,@A B C,�D1E1DP(Q)*)-3��7�������)�� D1E1DP(7��R�)�-���S��)*/0��-5�D1E1D�(8T U,?> �46 ;V>@A B C: GL�G<J(LJL �46 ;< =>?,@A B C, U,?> GL�G<J(LJL �46 ;�V> <=>?, (J@A B C�D1E1EW(X��)����Y�)-5��.Z46�)��-)8� D1E1EW(7��-5��8T U> [HK�46 ;V> <=>@A B C\F�D1E1EH(])-������8��)��3�����3-6-���7.��)������8�����5��������*-���-_�)*`�)*��)�����-).��3-���5�1��)-3�������� D1E1EH(7��-5��T [HK�46 ;�Va Kba (@A B CK�46 ;�Vc Kbc (@A B C\F�D1E1E�(��)-3����..��-5�.��������������5-*�)�5��6-��)���.8d8��*�e)�*�)���5�-����S��)*f�)-)���./0��d <@A B.-�gTh�D1E1ED(O�7�������)��D1E1D�(�)�-�D1E1ED(8d <@A B.-� iU, � ,+, jM<@A B.-�gTh�D1E1EE(����))-3��R����6�����.*�������-�� D1E1EE(3������6����-V83�������.*�< kdkV � kk� .-�gTh�D1E1El(m-����)��������noO-��D1E1El(���p��.�-J8-�qrstusvtwsxyz{sv|}t~�|v{s~z|�s�y�s�83�)-3��)���

Page 42: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������ ���� ������������������� �!��!��"#$%�&"�'(#�����&)*�#"� ����������#��������+��� ��� ,�-. /)# 0123������4�5��!��(#���+6���"�"����!&������"(#��&���#��7��%'&��*�)+&��#�! �&�$�&��&*��'��#�#*�!��(�'�8'��&������!�9������"�:�6����� ������;��#"&<��!��"#���=()�'��+�> ��-. / ���> )# 012������;�5�$�#6����������� �!� �&�$'&�#��'&)?@*�#"������A����#������;�+�> ��-. / ���> )# BCDE�=( F��G EHG �-. / IE�=( F��J EHJ �-. / IKL M��N-. / ���> )# FDE�=( F��G EHG �-. / IE�=( F��J EHJ �-. / II������O���'&� #�#*���!������)6��=()�'��)%$�8��6!�'!��&��6�&���7&)�&��� �> *#����&���� 6��!P+������O���'#"���G �N-. / ���G )# FDE�=( F��G EHG �-. / IE�=( F��J EHJ �-. / II� NQ ���G )# 0DE�=(0��G EHG �Q2E�=(0��J EHJ �Q22� NQ CQ �=(0��G EHG �Q2DE�=(0��G EHG �Q2E�=(0��J EHJ �Q2 K�N �=(0��G EHG �Q2DE�=(0��G EHG �Q2E�=(0��J EHJ �Q2 �����RS�@!�&7��& ���"���#*&$�#���$"#)�'�)��(�������� �7���%T> ��> UN+&�$6�&��#*'#�������������$���!�VWXYZ[\]X'#7��& �#*�&'!�%(�#*"#)�'�)��#�&'!�����5''#�$�� )%+TG '&���*#��$*�#"�����RS��#��TG � �=(0��G EHG �Q2DE�=(0��G EHG �Q2E�=(0��J EHJ �Q2 �����RD�5�$��"�)&�)%+*#�TJ +TJ � �=(0��J EHJ �Q2DE�=(0��G EHG �Q2E�=(0��J EHJ �Q2 �����RA�@!���"�!&��#6'#"��#8�$�!�(&���&)(�������_G &�$_J �@!�8������(���#��#)&���*�#"T�����!�������RD�#������RA��#))#6�� �!��=&"()�*�#")�'����+6�8���6��!�#8�$�!�'!�"�'&)(#�����&)#*�!����*&'���abcd �+&�$�e�&����6��!�!�'!�"�'&)(#�����&)#*�!� &���fga ����&���� 6��!�abcd +6���'# ��h��!&��G ��J i�+&�$&)�#TG �TJ iT+&�$�#

Page 43: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������ � ������������ �� !"#����������� ��$ !"#���������� �� !"#� ����������� �� !"# � ���������� �� !"#���������� �� !"# � ���������� ��$ !"#���������� �� !"#��� ����������� �� !"# �������$ %� !"#�&'(')&!*+,�-�./�0���$ %�$ 123�/�&'(')&!4�567�8����%������ �� !"#� �� %�%����0�"#%9����� �% �" :6; <�� %�%����0�"# =%� �&'(')(!>?675:@881,�A/6,23@223�53�7B5@:�62�/2B@:6+@/B-�@:;@8B8;BC�/1B/;�/�?@:4D�EF� � �" :6;�GHI�J!#�&'('))!KLM@2B/;�&'(')(!@/-�&'(')�!1% �" :6; <�� %�%����0�"# =%� � �" :6;�GHI�N!#:6; <�� %�%����0�"# =�� "�:6; <�GHI�N! =O�� %�%����0�"# P����� "#� �GHI�N! �&'(')�!Q�5@::B/;23@20���$ %� 1� &'(')�!4�567�8O�%�� P����� "#%�����$ "#� �GHI�N! %9G� �I�J! O��%� P������ "#%�����$ "# �&'(')R!*+,�@88M7�23@223�262@:;@87B�2M?�B8;BC�/4DG+?67� &'(')R!123�/23��@?2B@:�?�88M?�B8-�./�-4DST �UT G'V6./-U 1,�+6::6,23B8:6;B5@/-+?67�&'(')W!@/-�&'(')R!1,�5@/./-S XS �Y ������ �� !"#�������� �� !"#�������$ ��$ !"# H �I�J! O��%� P������ "#%�����$ "# �&'(')Z![/-8B7B:@?:D1,�5@/8@D23@223��@?2B@:�?�88M?�6+76:�5M:�\B8;BC�/4DS$ �Y ������$ ��$ !"#�������� �� !"#�������$ ��$ !"# H �I�J! O��%� P������ "#%�����$ "# �&'(')�!*27B;324��688B4:�26?�-M5�� &'(')Z!]�&'(')�!26@8:B;32:D/B5�?+6?7136,�C�?B2,B:::BA�:D82B::4�LMB2�M;:D'_abcde

Page 44: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ���������������������������� � ��!������"������#��$%�������$���$"��� ��&���$����"����$���������$�����'(�"#�����)����������������*���� �����#$������+������ ������$�������������*����#�����,��$ ���������������"$����$��$�������%�����������"$� ����������$��-�� �.-�� /�� !0�1�23&4��5����������$������ ����������"$����$���"�����������������6���������"$� �����7879: ����������;���$�����<���$�������$� 5=;=��">!?&*����>!?&$����������$���������������!�������$����"�����$�"$� ���� +�����*������������&�@ABCDEAFG��"+���$������$��$�! 0�1�23&�������*�$������-�� �H-�� H�� I3!0�1�2J&������(�����! 0�1�2J&$��������K8LMKNLO7P��"PQLKNLP�����"$� �� RS TS US =��"$��������������V�$�������UW I�� XU� I�� XUY I�� �TW IH-XT� IHJXTY I-����������������������"$�$���������$����<�$�$��$�������"�'��"$��������������V�$����TS��ZS TS [S I3!0�1�2-&�������$����"$�$��$����������<�$�$��$������������"������������������(�����!0�1�2J&$������� �� ���!0�1�2-&��-[!�� �&H-[!�� &H[!�� &I3!0�1�20&G������$���������$�������������$��=[S =�����"����$��"�+! J\]\&=*�$�����"�[S !�S X)X6&I_6�� a�S) bc �-deS _6 f ghi j!0�1�21&����*"�'����������$������������+�S =*�$��*�<����$�+��� kS I�S l��m�*�������������� �����������������$�������������"��$"���=����*����*�$��;)I�_6n�l)I;l!_6&=��"*������*�$��! 0�1�21&��[S !�S X)X6&I_6�� o;_6 � kS bc �-deS _6 f ghi pI_6�� o;_6 bc �-deS _6 f ghi p/_6�� q� kS r!0�1�2]&s�$� !0�1�2-&=*���+��*�$��!0�1�2]&��

Page 45: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������ � �� �� ���� ���� � �� �� !� �� � " #$% &'���() *� + ,-./012133456��67�89:;<=8�>67;>�78�;89:?@A<7B>:<>><7�67�C/0121334D:=�A:?E �� �� ��� ���� � �� �� !� �� � " #$% &- �� �� ���() *� +�� ��� ��� �� �� !� �� �� � " #$% &FG- �� ���() *� + FG�� ��� �H)� �� !� �� �� � " #$% &FG- �� ���() *� + FG�� ��� IJ�)� KFG- �� ���() *� + FG/01213�4L>�A�:=8@>:CM:N7�M89<8) FOP Q) F%� Q) F#R QSSS-J FOP QJ F%� QJ F#R QSSSTU/�VH4/01213W4X7BC?6AY�ZDZ[6?@<�67?Y:=86�7�;/ 01213�4CM:=<7?::89<8U/�VH4-J FG� A<N:??:7?:C>:=��76\67�89<8<8:]@6�6D>6@A ^� U� /�VH4-�?�89::]@<86�7>:B@=:?>:<B6�Z8�.-.1_:7�M>:=<��89<8M:=<7<�8:>7<86[:�ZB:7:89::]@6�6D>6@A=�7?8<78678:>A?�;/ 01213.4<?U/�VH4- (a� b+ �(a� + �(b� + T c)/a� b4d �c)/a� 4d �c)/b� 4d /01213e4_:<�?�>:=<��;>�A�:=8@>:89<8f� g)�J� hFG-�/0121�.4XYY�Z67�/0121�.48�89:=<?:�;/01213.4Cg)i% jJi% j h�Q g)i%Ji% hk�Q g)j%Jj% hkP-�/0121��4l9:8�8<�7@AD:>�;?Y:=6:?<8<7Z86A:Cm) *C=<7D:]@<786:BDZm) *-)i% j ')i% ')j% /0121��4_:<>:8��B8��:8nB:7�8:89:;><=86�7�;M<8:>A��:=@�:?opqqrsptuvo<;8:>?�A:Y:>6�B�;86A:C<7B<�?�89<867686<��ZC89:8�8<�7@AD:>�;;>::Y<>86=@�<8:?<>::786>:�ZM<8:>A��:=@�:?C?�89<8m)-)i% j 1X==�>B67��ZCM:?::89<867AZ7�8<86�7n-�E)i% j wm)1_689896?C/0121��4D:=�A:?m) *-m)/�En4')i% ')j% /0121�04L����M67�89:?<A:���6=CM:?::89<8)i% �>�M?Y>�Y�>86�7<��ZM689)i% j CM9:>:<?)j% �>�M?xtyz{Y>�Y�>86�7<��ZM689>:?Y:=88�)i% j /<==�>B67�8�89:?8�6=96�A:8>6==�:|=6:78?;>�A/ 01213.441_:?::89<8/0121�04D:=�A:?

Page 46: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ����� ��������������� ��� ���� ���� � ������ ���� � �� ���� � �� �������� !��"#"!"#�$"%�&''�('�#&"�)�&*"#(�&+*(�,*#��"�#�"(� �������-.�������/01 2 345 6 .���/01 37455 6 .894 ���/21 378555 ��������:����(;��*&++"%&"/< #�=�>��=�?/< � @<AB C 6 D@< 6 @<D EF 4�GH< AB C I JK1� DAB C �<�� EF 4�GH< AB C I JK1� DH JK1< �<�� LF 4�G�AB C� M N JK1OPQRS�C� ��/< � �<�� 6 DH JK1< S�C�������T�U�"%�+&�$!&$�()� �����T�-;�*&���;�#"��&*%()"%�"��V�#�������:�� "&�"#�$;#"%5-5� .�������/01 2 34� WXY �����6 H JK101 2S�C�D Z[\ 4������ 46 H M01 2]S�C�D 4 �������&�55� .���/01 374� WXY �6 H JK101S�C�D Z[\ 74� _� 46 H M01]S�C�D 4 78� �� 4 6 ]S�C�D 4H M01 ���������555� .894 ���/21 378� WXY �� 6 H JK121S�C�D Z[\ 78

Page 47: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ����� �� � ������ ����� ������� �!"#$%&%"%&'(� ������)�*������� �#) +&'%,������-�./�01�� 2� � 34� �5�����6 2 7� /0� 2 � 5�����6 2� 34� 7/�� � ������ ����� 7�0�01�� 2� 3 �� 8� 24� �� 24� ��� 9 ���������0������:�;<)==)'(&'(������:�.><)=<?<@%>&%A������ � 3��01�� 2 8� 24� ���� 24� � 9 ���BCDEFGHIJK)?")%<%A<L<'$&%MN)%=&OPQR ,@)'<?< %=,'$S&'&'%A<=<S=<$<'%)%&,'>A& AN)+<$TUV L&)(,')?�W<O%.$A,>%A)%%A<K)?"<,@XUY Z.=<$"?%&'(@=,N%A&$=<S=<$<'%)%&,'.&$S=< &$<?M%A<$)N<)$%A<,'<,#%)&'<L&'-���[\]_%A<=<S=<$<'%)%&,''<<L<LA<=<@,??,>$@=,N%A<,'<"$<L&'-��#M )==M&'(,"%)%=)'$@,=N)%&,'>&%A%A<A<?S,@%A<"'&%)=M,S<=)%,=T� 80a b�0a b�10a b�0a b� 9������c�defghiejkA<l)"?&$S&'N)%=& <$)=<(&K<'#MTUV � 8m00m 9nTUo � 8m1ppm 9nTUY � 80mm10 9q<',>',%<%A)%>< )'$%=)&(A%@,=>)=L?M=<>=&%<,"="'&%)=M,S<=)%,=@=,N������c�)$T� 0b� 800100 9�����:m�q<)?$,=< ,('&r<%A)%#M"$&'(%A&$N)%=&O.><N)M%=)'$@,=N,"=$S&'N)%=& <$%,)#)$&$&'>A& AUV&$L&)(,')?K&))"'&%)=M%=)'$@,=N)%&,'_TU sV � T tTUV T�����:0�qA<=<TU sV L<',%<$TUV &'%A<#)$&$&'>A& A&%&$L&)(,')?�!"#$%&%"%&'(�����:m�&'%,�����:0�.

Page 48: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ����� �� � ��� ������ �� ����� ���� ������ �� �� ������ ������ ������� �� �� ������ ������� �� �� ������ �� ������ ���� �!�"#$%&'�(�$)*+�+,-&�*.+$��*�+��++*-/$�-0*1���� ���,2�&�$3���'$3*&-4�5&���6 %�� �6 � ��� ������ �� ������ ���� ������ �� �� ������ ������� ������� �� �� ������ ������� �� �� ����� �� ����� ���� �!�"7'�8-,*0&$�*-�$(��-&$�% �9%*�/*)���:� ;<�<�"%�9��=> ?�� �6 ��� �! "�'*5'*�502+��$2���3@-20*A-&�*.�� �6 *�&'��-�*�*�3'*5'��� *�+*-/$�-0�#2��&*&2&*�/��� �!�"*�&$� �� �! "%�9��=> ? ����� ���� �!;"���$3��5-00&'��.(����*$�B$�&'�+���*&:,-&�*.*�&'�5-�$�*5-0����,�0�*�/*)���:� ;<�<�"-���C"� DE FG HI J7� DE FG HI J� �E GKL MNE FGKL M �E GKL M��E FGKL M ���� �!O"P2&&'*�*��$&&'�-��3�����,2�&�$3�.(����&'*�+���*&:,-&�*.*�$2���3�-�*�%*�&'��-,�3-:3�+*+3*&'$2�@-20*�(*�,-&�*5����B$���@��B$�,*�/&'�2�*&-�:&�-��B$�,-&*$�$���� �!O"%

Page 49: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������� ��� ��� ������ �� ��� � ! "#� $� ! " �� � ! "%%� $� ! " �&��� ������ �� �� �� � ! "#� $� ! " ������ ��� � ! "%%� $� ! " ������� �� �� �� � ! "#� $� ! " �� � ! "�� $� ! "� � ! "� $� ! " ������� �� �� � ! "#� $� ! " �� � ! "#� $� ! "� � ! "�� $� ! "� � ! "�� $� ! "� � ! "#� $� ! " �� ��'()*+,-. /0 �'()*+,-. /0)12*+,-. /0)12*+,-. /0'()*+,-. /0 ��34546��789:;2(<:=)(>=?*8'()*?8>9(@?A>(2?(A� 34546��?(12)1B8?*89:?>1CDE8:F12G@)<1?*��� ��� �� ��?:2*+,-. /0?:2*+,-. /0� ��345466�78':2H2B?*88CI8'?:?1(2F:E@8(A�J �K =;G828>:E1L12G?*8A(>9(A� �M3M5�DNJ �K O�P>+�� ��J �0�34546Q�R@=)?1?@?12G�J �S A>(9� 345463�:2B�� �A>(9�345466�12?(�34546Q�DNJ �K O�P> T�� ��?:2*+,-. /0?:2*+,-. /0� ��%��% �U�P> T�� �?:2*+,-. /0��?:2*+,-. /0 �U�3454Q%�V8':EE12G?*:??*8?>:'8(A:9:?>1C1))19IE;?*8)@9(A?*8B1:G(2:E8E8982?)D� 3454Q%�=8'(98)NJ �K O�?:2*+,-. /07*1'*1)?*8):98:)A(@2B12�434WXYZ[\][_abc_[de]\fgC?82)1(2(A?*8h8=;8i(B8E(A:R(E1Bjk))@912G?*8B1)I8>)1(2>8E:?1(2l�mn oD<*8>8l1)?*8:2G@E:>A>8p@82';:2Bn1)?*8<:F8q2@9=8>(A:F1=>:?1(2:E9(B88C1)?12G12:)(E1BD)*(<?*:??*8>8)I8'?1F8'(2?>1=@q?1(2?(<:>B)?*8)I8'1H'*8:?(A?*8)(E1B:?E(<?89I8>:?@>81)I>(I(>?1(2:E?(r stu4

Page 50: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������������������������������� ��!���� �� ��"#�#�����!��$��%�&������'�%'�� ��" (��!�����& ���#������ �)���*������!&�+����'����� ����&������������ ����� � ��,�� ����-������,�������"���# .�/�)����01234 5���' �' ��!����)$���� ����� ��'��.��!�)'����� ��# !����*"����#��$6 ���� 7�#��8��9�: �&9�;���%�����' ���� �������'�%'�� ���������"������ �����$!��$�.���!<= >?@2 ABCB? D= >;�E�E@F��)�$� �����*����%�&��������� �����$!*C* � ")�'�����"�)�&������������ ���������' ��6 ���� 7�&�%�������"���GHIJH")�'����"���>9K;KEL@0M>NO @2 ;N PO QRSO N PT RUE &N>;�E�:@�����#�� .�&�%��&NO ����NO 2 V1W4X ? >;�E�;@Y�&�)�����)���$>;�E�;@� '8����>;�E�:@*M>NO @2; A4X ?V1W DP QRSO N PT RUE &N>;�E�Z@�� ����� ��[��� �*��� 8�����$������� ��� ����*6 ���� � �� &�����)�����)����N2V1\ ]4X ?��' ����$�)�&�%�������"NO "���>;�E�;@*#������� ��������#������ �)�������* ��)$$����&�����������*#������ �NO _E]?`a* �&��> ;�E�Z@��'����M>NO @2; A4X ?V1W DP QbO N PT RUE &N2; A4X ?V1W DP cd eEf g>;�E�f@������!&�+����'����)�' ������ �#�� 8����"����#��$'� �$���>;�E�;@*NO 2 AV1W4X ? D5>;�E�h@���'�#�' ����� 8����&�+����'����������$� �&�">;�E�f@������"���*������)��"���>;�E�f@)���$>;�E�h@����� &�">;�E�;@��M>NO @2; A4X ?V1W D ijk cd eEf g>;�E�9@l���> ;�E�9@#�' �%�&������'�%'�� � ���#������ �)���!)���$���"����#��$ ����,�� ����0<= >?@2;m4X n>N@>;�E�L@

Page 51: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ������������������������ ����!"������� #�$$%&�� '( (���)(' �(��� ���)�#��) (*��$+&����&����$,('�)� �!-!.�!/�+�#��0(��1��(� �� �()234 �5�67�89 �6�: ;<= 5>?@ A BCD EF G-. HIJ 34 K5 BCDLMNOPQRSTUVWXYXUZ[\V]XU_]Va\VbVXcdUbaVeXUVUX[cVYf[YYVgd_2h�)��'(��� �� �i(��'(#0���)�00��j��� ($%(k#�$)#�i(�:��($(� ��)��)'0�� �)��� �(�&��( �(h�#$��i�(0#$���)&�#$'�,(����( �(*��,� � ��)�$�)l (��� ��)�!/��(&�� ��i� ����$%&(&�#$'�$�����#�( �� �(�(���)(k#�$)#�i(���)(# ��)��)'0�� �)�!m�&+� ��()(�*( ���$$%��,���i$(����i�'%�($' �*( �(�i%*��,� � ��)�$����(� �i(�����0�� ��0����i$(!n)o�� �+ �(*��,� � ��)�$����(��)� $��*(()�#*� ��,(����( �(�(0#$��,(����(�i( &(()� ����)'��$(�#$(�!p)��'( �(�#)+�� (�'�(�)� (j�� �) �(������� ����)'��$(�#$(�+&�(�( �(��'�� ��)0�(��#�(���� �()#�$(���#���)q((0� �(� ��������$$�0��)*!�(&�$$��)��'(� �(���(���&�� ('&���+&�(�( �(�#���)������0$( ('�)' �(�(��)�$�)*(���'�� ��)0�(��#�( �0�(,() ��$$�0�(!r��#�( �� �( (�0(�� #�(�� �(� ����$�&()�#*�+���0��(' � �(($(� ��)s(��� (�0(�� #�(+ �� �(($(� ��)���)i(�00��j��� ('i%�56ts(���*���i(��#�(�� �(��$��*(����+ �(q�)( ��()(�*%��0�� �)��)')(# ��)���(���#�(' �i(���$$���0��(' � �� �� �(($(� ��)��!Vup� �(($(� ��)*����)�)l�($� �,�� ��+���& �� �(($(� ��)q�)( ��()(�*%�vo��� �(� ����*�,()i%wxyz 6 �> {-t|} ;�F~ A �CB: �CB� { ��!-!��&�(�(|} �� �(($(� ��)�����)'��� �(��'�#��� �(� ��!Wu"�(*��,� � ��)�$0� () ��$()(�*%��'���)� ('i%)(# ��)��)'0�� �)�!�( |� i( �()#�$(�)����!r��#�( �(����'()�� %���00��j��� ($%��)� �) �)��'( �(� ��!/��& �� +�� �(�(���)(k#�$)#�i(�:��0�� �)��)')(# ��)�+ �() �(*��,� � ��)�$0� () ��$()(�*%��*�,()i%w��� 6I -�. | {� � : {� ��!-!-t�&�(�(�6�����-t ���m� {�q* {�� �(*��,� � ��)�$��)� �) !fus�)' �(��'�#����&���� �(*��,� � ��)�$0� () ��$()(�*%0$#� �(q�)( ��()(�*%�����)��#�����&�� ('&���&� � �(���(������ �(�#)�-����-t �9v*��)#)� �����$����'��������-t ���!up� �('()�� %��,(�%$��*(+ �(s(���,($��� %�� �(($(� ��)�i(���(����0���i$( � �(�0(('��$�*� �)'&(���#$'#�( �(�($� �,�� ������#$���� �(�($� ��)���0i( &(()()(�*%�)'���() #�!h��0# ( �(($(� ��)q�)( ��()(�*%�) �(#$ ���($� �,�� ��$��� ����!_u��#��,(�#� ���&)�)'� �� �) �(#$ ���($� �,�� ��$��� + �(($(� ��)q�)( ��()(�*%��0��0�� ��)�$ �: �CB��+���� �(�'(0()'()�(�� �(���(�� �(*��,� � ��)�$0� () ��$()(�*%���0# ('�)0�� i��&�����(���)�#)���)*('�!/�)�(���$��*(:+: {�: �CB+&(1)' �� �� �(������ �(� ����$��*(()�#*�+ �(*��,� � ��)�$0� () ��$()(�*%&�$$'���)� (!"�(� ��&�$$ �()��$$�0�(!/��& �� �(��� ���$,�$#(��:��� ��� ���00()��

Page 52: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� �������� � �������� � ! " #$% �&�' "(��)�))*+,��-.-,-.�/�,0����12��3�4-56--5.�72����82�4�-26�2,-)9:)�2;6�06�����<5.�.�-5��2=76;;�4>?@ABC@DEF?@CGHIHJ�KLMNOPLQ@R����76;;-56--5�-2-6;����/S2T64�/����6-��;�7-�2�/6�.�/.U���SVWXY � �� �Z[ (��)�)\*�5���-5�]��0.����/S1Z[ 1.�/.U���SZ[ � � �\�^ ��� � �_ " %$#(��)�)�*+,��-.-,-.�/(��)�)�*.�-2(��)�)\*1VWXY � �� � `� �\�^ ��� � �_ " %$# a� �� �)b� � ��� � �_ " %$#� �� �)b�^ c�� � d %$#e )_ %$# e� f$#(��)�)'*g�76;;.�/-56-_� hij �k j1(��)�)'*��720��VWXY � �� �)b�^ c�� � d %$#e ��'�k j " %$#e� f$#� �� �)b�^ �&�'k j " %$#e� f$#(��)�)�*���2-�-56-(��)�)�*06S���-�6./5-T2�l6�4;S��l�.--��6�VWXY � �� �)b�^ �&�' " %$#� f$#k � (��)�)�*mR<23�4-5�/�6U.-6-.2�6;82-��-.6;����/S1l�6��,0�-5��-6�-2��68��T�7-�85���2T06��4���.-Sn1l5���l�4�3��n��i_o��n_�p;�2��76;;.�/-5�U2;,0�2T6�85���1l�3�4-56-�� '� �q jn(��)�):*<5�4.r����-.6;�;�0��-2T(��)�):*.�2T72,���4��'�q �n4q(��)�)s*��6;�2��76;;-56--5�82-��-.6;����/S2T67�;��-.6;�24S.�4�3��4�S

Page 53: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� �������� ��� ������������� !"!�#$�%& '(# #()! *+)#�!#( *�!�&%,-,(!#�%& #(!%� �������. !�/0-/#(#0#(!%(!#)#$(/� ������� !�������1�2�$ '�34567 �� 89: ��� ����� 89: �� ;<=� >?� @A<=� B? C���� �D= B�? B� 89: � E���� �D= B�? B� FG HI J�� �D= B�? B�I G H������K�L0-/#(#0#(!%(!#$���!/(#,(!#�&M/)N#$�OPOQRM //.� �������-��)M�/34567 �� �D= B��I ;SET> =G > @BG H�� �D= B��I ;�S B�D= BG U @G H�� �I �S BG ��������VN2�2 !##)�W+&�//#$(/(!#�&M/)N#$�!0�*�)!M //.2�!)#�#$ #S���X Y. !�/)N&)M��������2�$ '�34567 �� �I ����X Y� BG �Z34567 �� ��I �� BX Y BG ��������[\V!)&��&#)"!�#$��]0(*(-&(0M& �(0/.G.2�M0/#M(!(M(_�#$�#)# *�!�&%,)N#$�/# &.2$(�$(/#$�/0M)N#$�&�/0*#/N&)M#$�+&�'()0/#2)+ &#/)N#$(/+&)-*�M3aba �3cd4 e34567 f �g B�K�^ ;�=< @ hijY kijG B � ��I �� BX Y BG ��������l(!(M(_(!%��������2(#$&�/+��##)G.m3abamG � mmG n�g B�K�^ ;�=< @ hijY kijG B � ��I �� BX Y BG o� �g B�K�^ ;�=< @ hijY kij mmG F�G B J� ��I �� BX Y B mmG F�G J� �g B�K�^ ;�=< @ hijY kij F� �G > J� ��I �� BX Y B F� �G B J�� �g BI�^ ;�=< @ hijY kij �G > e ��I �� BX Y B �G B ������<�

Page 54: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� ������������������������������ ���!"��!��������#�$���%�&'"(������"� ���#(�)*+��, -. /0 1 / �% / 2 �3 /,.4 567� 8 9:;1 <:; �% = >?%2 �� 567� 8 9:;3 /-.4 . /0 �1 @:; ������,�������������(����"��1��������'���'�#��!��'� �A�������)������"(�"��B�� �$("����"�B2�.0 1?12BC��.0 ��"� ������,���$����%2 �� 567� 8 9:;3 /-.4 . /0 5�.0B 8 @:;D ��� @:;� 567� 8 9:;3 /-.4 . <:90 B @:; ������E�F'�����'���G�����"##��#��"��!"('������������E��%4 2 ��� @:;� 567� 8 9:; H�IJ,,K�J L=MNO� P/ H�I66JK�J =QRG P @:;H�IES�K�J LTT� =ORG LTO� / P�6I�J6K�J L=TRG���IES�K�J L/URG� <:92SI�E�K�J V�������S���$"���W�X#����� �����S���������)��("��" ��"�%4% 2 SI�E�K�J V�EI6EJK�J Y� >? %4% 2�IJ�6K�J L/Z[\������("��!����$(�������(��]_�"� ��$"�'����� �����*�)��"���)���'(")����SI�I�E�+a�b� b2 c7de =_ = b / b������c�f�$"((��G��"�e2�73�������c���$����a�b� b2 d7 /3 =_ = b / b������6���$"�����G�"����� �����*�)��"���)���������6���A� ����'�����)#"���$(��1+12 ghiQ a�b� b2 ghiQ d7 /3 =_ = b / b2 d7 /3 =_ = b =j� ������J���$"�����'�����'������� �����J�����&'"����)��!�('���12 �7 /3 =_ = b =j� O �� 7% =D �% =673 =_ = b =j ��������F���("�(*���$"�����G�"����� �����*�)��"���)���������6���A� ���������"(����G*+k2 ghiQ ba�b� b2 ghiQ d7 /3 =_ = b = b2 d7 /3 =_ = b Mj� ��������

Page 55: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

��������������������� ����������������������������� ����!"#�#"�$%&' �( )* +, + - ./0 0" (1 +2 1 +"(* +, + - ./ !"#�#""$3�4����5�����! "#�#"�$���-/ %56�465�5����������������������!"#�#""$#3�7�8�6��9:' �( )* +, + - +/" ; 0" (1 +2 01 +<(* +, + - +/ =>-/ ' ?<(0 : @ ABC*,1 !"#�#"0$������������!"#�#"0$����!"#�#""$%&' 1 +"(* +, + D?<(0 : @ ABC*,1 E.2 1 +"(* +, + ?<(0 @ FBC: FBC !*,$ .1 . !"#�#"G$H��I!"#�#"G$�������J������6���6������J���6��&' *,"( ?<(0 @ FBC: FBC1 !"#�#"K$LMN�7�8�6�4����4���������:%5���������!"#�#"K$����O�����!"#�#��$9*,"( ?<(0 @ FBC: FBCP1 ' ��G QR )S : )P1 =>:P ' DG*,"K( ?<(0 @ FBC�R )S Q E CBT!"#�#"U$H��I!"#�#"U$5�4����IV���J����WV����������:P ��85���������:P ' XG*,"K(R )S Q Y CBT ?<(0 @)Z[\]_ab���6�H��I�8���������������5��IV������������V�������8�J�������6�����!�6�5���H��#�#��$�6��������������6��4����4������c'd#�6�5�6���6���VV��W�I�����V�����������J���8��e4����4�f����������6���5g��IV��������V�4�746������H��I����%�W4�V��6���6����I���4����4����������������I������J���4�����0h( )#i��4���%���O����������I�����%�6����������6���I���4��8��4��V��4J#jklmnokpH���������%q8��r������J��8������8�6��V�����I#H��Is��6���%�6���5��IV��������V�4�746�������������������I!�t�t"<$��uv:wx ' ( )� wx yz/ {ttt!"#�#"�$|�4�������6���6�H��I�}����J4����8�7��8�����I����6�H��I�N�IV���������y/ 'z/ hwx %!"#�#"�$I�J����5��������

Page 56: Graduate Physics Homework Solutions STATISTICAL

����������� �������� � � �� ��� ������� ��!"�#$%�&#�'%(��$'(%)(%*�$�+*�&,$)���-�� � �� �.� /0 ����� � �� ��� �12"3$)$4$�,��� ��5"�-��� �12"6�7�4&#(&� 89:�� ;<=>>� � ?� �� ��� @A ?�� @BCD � �� ��� ��� �1 "E#�F('&G���%(&$�,&#�'%(��$'(%&G&#�H*(�&*I���*%&FG��� (&%G6&�IJ��(&*�����I�$�� �K��E#���(�G�6#-&#�H*(�&*IF('&G�$�%(�,��&#(�&#�'%(��$'(%F('&G�#(�&G4G6$&#&#���#()$G�GF,(���(��02�L�&#�'%(��$'(%'(��M&#��(��$��$�(��*I�4&G��(�&�JF*�'&$G�M-$�%4$�,&#�F('&G�GF�K��L�&#�H*(�&*I'(��M&#$�,�(���G&�G�(�-N6�I*�&$�&�,�(&�&#�����,-F�GI&#�O��I$P3$�('4$�&�$�*&$G�F*�'&$G�M6#$'#-$�%4�(�*I��$'(%���*%&6#$'#��4�*J��$�,(&&�$�*&�4&G&#�F('&G�GF� �K�G*&F�G�&�