13

GOTTLOB FREGE - ŽIVOT A DIELO

František GAHÉR

GOTTLOB FREGE - LIFE AND WORK

G. Frege is one among the most prominent logicians in history. The author deals with the main events not jus t from Frege's awkward private life, but also from his scientific and teaching activities. This text is throwing some light on meaning and significance of the Frege's most important works and his revelations in the field of symbolic logic and semantics. Also, here are explained some notable relations concerning realisation of the main aim of his scientific works - realisation of the logicism programme.

Bez zveličovania môžeme povedať, že Frege patrí medzi najvýznamnejších logikov v dejinách ľudstva. Modernú logiku si bez Fregeho prínosu sotva vieme predstaviť. V čase jeho života si však iba málokto - ak vôbec niekto -toto uvedomoval. Mnohí ho považovali za neúspešného a bezvýznamného vy­sokoškolského učiteľa. Ešte v roku 1908 po 34 rokoch jeho pôsobenia na uni­verzite v Jene univerzitný kurátor o ňom napísal, že od nejakej zvláštnej pocty k Fregeho šesťdesiatke môžeme odhliadať, pretože jeho učiteľské pôso­benie má podradný význam a n i e j e pre univerzitu prínosom (pozri [5], 1).

Študentské obdobie

Friedrich Ludwig Gottlob Frege sa narodil 8. novembra 1848' vo Wis-mare (Mecklenburg) v Nemecku. Jeho otec Karl Alexander (1809 - 1866) bol zakladateľom a riaditeľom súkromnej vyššej dievčenskej školy. Matka Gott-loba Fregeho Augustína Bialloblotzká bola učiteľkou na tejto škole a po smrti svojho manžela riaditeľkou. Rodné meno matky poukazuje na j e j pravdepo­dobne poľský pôvod. Fregeho rodina sa hlásila k evanjelickej cirkvi augs­burského vyznania.

Frege navštevoval gymnázium vo Wismare, kde v roku 1869 zmaturoval. Študoval matematiku, fyziku, chémiu a filozofiu, a to štyri semestre na uni­verzite v Jene v rokoch 1869 - 1870 a päť semestrov na univerzite v Gôttin-gene v rokoch 1871 - 1873. V študentských časoch sa najviac zaujímal o teóriu komplexných matematických funkcií, ktoré študoval u profesora Ern­sta Abbeho v Jene a u profesora Ernsta Scheringa v Gôttingene. Schering bol nástupca po Karlovi Friedrichovi Gaussovi a prvý editor jeho zohraných spi­sov. Ako Fregeho učiteľ matematiky i j eho školiteľ určite vštepoval Fregemu gaussovskú tradíciu a zdôrazňovanie logickej presnosti euklidovského typu

ORGANON F 7 (2000), No. 1, 13-28 Copyright © Filozofický ústav SA V, Bratislava

14 FrantiSek GAHÉR

([6], 335 - 337). Doktorskú dizertáciu Frege napísal z oblasti geometrie "O geometrickom zobrazení imaginárnych útvarov v rovine"2 a 12. decembra 1973 získal titul Doctor Philosophiae na univerzite v Gôttingene.

Frege ako učiteľ

Po získaní doktorského titulu sa uchádzal o miesto súkromného docenta, t.j. neplateného učiteľa na univerzite v Jene. V tom čase ho zrejme finančne podporovala matka. Habilitačnú prácu z odboru matematika "Metódy výpočtu založené na rozšírení pojmu veličiny" napísal v roku 1874 a na základe veľmi pozitívneho hodnotenia profesora Abbeho ho komisia odporúčala na prijatie. Po uskutočnení verejnej diskusie a vykonaní troch skúšobných prednášok sa stal v máji 1874 členom matematickej fakulty. Vyučoval matematiku a spočiatku bol jeho úväzok nezvyčajne vysoký, najmä v roku 1878, keď prednášal za profesora K. Snella. Frege bol veľmi svedomitý učiteľ, ktorý svoje prednášky koncipoval so zreteľom na potreby študentov, prednášal jasne, premyslene a študentov nezaťažoval nadmernou zložitosťou. Rudolf Carnap, ktorý navštevoval Fregeho prednášky v rokoch 1910 1914 a ktorý sa považuje za jeho najväčšieho žiaka, si necenil ani tak prednášky z vlastnej matematiky alebo z vlastnej filozofie, ako práve Fregeho prednášky týkajúce sa hraničnej oblasti medzi nimi. Fregeho učiteľ a neskôr a j priateľ profesor Abbé v hodnotení Fregeho práce pre rok 1879 vysoko hodnotil j eho prednášky ako absolútne perfektné v každej základnej otázke. V tomto ohľade j e príznačná známa historka z neskoršieho obdobia, keď prišiel za Fregem Wittgenstein (1911). Wittgenstein spomína:

"Frege nikdy nediskutoval o niečom inom ako o logike a matematike; ak som začal o nejakom inom predmete, povedal mi čosi zdvorilé a ponoril sa znovu do logiky a matematiky. Raz mi ukázal nekrológ o kolegovi, ktorý ako bolo uvedené nikdy nepoužil slovo bez toho, aby nevedel, čo znamená; vyja­dril obdiv a názor, že tohto človeka by si mali za to vážiť" ([3], 132).

Zmysel tohto nekrológu by sme mohli považovať a j za Fregeho životné krédo.

Zmysel pre presnosť j e pre matematiku a logiku najdôležitejší predpo­klad úspešnosti a musí sa pestovať. Frege ho pestoval s neobyčajnou intenzi­tou a dôslednosťou celý život a z neho vychádzajúca kritičnosť voči názorom ktoréhokoľvek vedca charakterizovala všetky jeho vedecké diela. Provokova­la márnomyselnosť iných do tej miery, že to viedlo až k tomu, že j eho objavy zostali takmer úplne nepovšimnuté. Frege však v tomto ohľade nepripúšťal

GOTTLOB FREGE - ŽIVOT A DIELO 15

žiadny kompromis či zľavenie požiadaviek voči nikomu. Ani voči sebe samému. A tá chvíľa tiež prišla.

Od matematiky k logike

V recenziách, ktoré publikoval v prvých rokoch učiteľského pôsobenia, môžeme zbadať prvé prejavy projektu, ktorý dominoval celej jeho kariére a ktorému venoval väčšinu vedeckej práce, a to dokázať, že aritmetika j e od­vetvím logiky. V recenzii na knihu H. Seegera Die Elemente der Arithmetik kritizuje, že základné teorémy a transformačně formuly sa uvádzajú bez dôka­zu. Študent sa zákony aritmetiky musí učiť viacmenej naspamäť a zvykne si na to, že bude spokojný a j so slovami, ktorým nerozumie (KSch, 85). To, čo tak chýbalo v Seegerovej knihe - jasné a presné vysvetlenie základných poj­mov a dôkazov základných zákonov aritmetiky - j e hlavný cieľ Fregeho pro­gramu logicizmu. Neskôr (v roku 1919) o tom napísal:

"Od matematiky som odišiel. Pre túto vedu som videl najnaliehavejšiu úlohu v tom, postaviť j u na lepšie základy. Skoro som spoznal, že číslo n i e j e súbor vecí ani rad vecí a tiež nie vlastnosť jedného súboru, ale že číselný údaj, ktorý na základe počítania určíme, obsahuje výrok o nejakom pojme. Pri takomto skúmaní prekážala logická nedokonalosť jazyka. Nápravu som hľadal v mojom pojmovom písme. Tak som prešiel od matematiky k logike" (N, 273).

Pojmové písmo

Prvou prácou, ktorou začal realizovať tento program, bolo jeho Pojmové písmo (Begriffsschrift -BS), vydané v roku 1879. Frege zistil, že prirodzený jazyk nie j e vhodný na zachytenie presnosti takého stupňa, aký vyžadujú lo­gické základy aritmetiky: mnohé jednoduché výrazy i celé slovné spojenia z prirodzeného jazyka sú viacznačné, význam mnohých slov n i e j e dostatočne ostrý. Preto buduje symbolický jazyk lingua char aktér istica, v ktorom všetko, čo j e pre vyplývame nepotrebné, bude zatlačené do úzadia a všetko, čo j e z hľadiska vyplývania dôležité, bude jednoznačne a prehľadne zachytené. Všetky predpoklady musia byť explicitne uvedené - nesmie sa vychádzať zo žiadneho implicitného predpokladu. Základné pravidlá usudzovania musia byť čo najjednoduchšie a správne iba na základe svojej logickej štruktúry. Frege vypracoval pre svoj symbolický jazyk dvojdimenzionálny zápis.

Obsah výrazu rozdeľuje akoby do dvoch častí: i) časť, ktorá j e dôležitá z hľadiska vyplývania a j e objektívna; ii) časť, ktorá nie j e pre logické

16 Frantiäek GAHÉR

vyplývame relevantná. Prvú nazýva pojmový obsah (begrifflicher Inhalť). Je to tá časť obsahu, ktorá j e v oboch odlišných vetách

(1) Pri Platajách Gréci zvíťazili nad Peržanmi (2) Pri Platajách boli Peržania porazení Grékmi

tá istá (pozri BS, 3). Pojmový obsah, ktorý môžeme tvrdiť, j e usudzovateľný (pojmový) obsah (beurtheilbare Inhalt). Pojmový obsah predstavy "dom" nie j e usudzovateľný, ale môže byť jeho časťou, to znamená, že usudzovateľný obsah má svoje časti. Avšak gramatické rozlíšenie na subjekt a predikát nepo­važuje pre pojmové písmo za primerane odôvodnené, pretože vety v prirodzenom jazyku s odlišnými subjektmi - ako j e to v prípade viet (1) a (2) - môžu mať ten istý pojmový obsah. Definuje základné výrokové spojky - implikáciu a negáciu. Rozširuje pojem funkcie a j na nečíselné priradenia. Pojem explikuje ako funkciu, ktorej hodnotou sú pravdivostně hodnoty, a miesto gramatických kategórií prísudku a podmetu pracuje s logickými ka­tegóriami funkciou a argumentom funkcie. Zavádza všeobecný kvantifikátor a koncipuje moderný pojem premennej. Ukazuje prepis subjekt-pre-dikátových výrokov v pojmovom písme, čím dokáže, že jeho Pojmové písmo obsahuje a j všetko to, čo zachytávala Aristotelova logika. Napríklad všeo­becný kladný výrok [v dnešnej symbolike napr. (Vx)(S(x)->P(x))] zapisoval vo svojej dvojdimenzionálnej symbolike:

kde |—je znak pre usudzovateľný obsah, u j e znak pre všeobecný kvantifikátor, ktorý viaže premennú x [on používal nemecké (gotické) písmená)], ktorá j e uvedená nad týmto znakom (nad touto "prehlbeninou"), j e znak pre im­plikáciu (antecedentom j e dolný výraz, konzekventom nomý), S, P sú predikáty.

Formuluje v modernej dobe prvý úplný axiomatický systém výrokovej logiky a základy predikátovej logiky. Na základe pojmu logického dôsledku definuje niektoré základné pojmy aritmetiky, napríklad pojem dedičnej vlast­nosti, reláciu nasledovníka, resp. predchodcu a iné. Uskutoční dôkazy 133 lo­gických alebo aritmetických teorém (BS, 26 - 86).

Napriek týmto objavom nemala táto Fregeho prvá monografia takmer žiadny pozitívny ohlas. Zo šiestich recenzií bola iba jedna ako-tak priaznivá ([1], s. 1718). Najdôležitejšie boli recenzie, ktoré napísali odborníci v logike

n P(x)

S(x)

GOTTLOB FREGE - ŽIVOT A DIELO 17

- John Venn v Anglicku a Ernst Schroder v Nemecku. Obaja namiesto toho, aby ocenili veľký pokrok v oblasti logiky, ktorý Pojmové písmo znamenalo, odmietli Fregeho dvojdimenzionálny zápis ako ťažkopádny, nešikovný a nezvyčajný (Venn) či ako obrovskú stratu priestoru, ktorá j e založená na obľube japonského zvyku vertikálneho zápisu (Schroder); sotva sa vyrovná logike Georga Boola. Nezbadali Fregeho objavy, pretože Pojmové písmo neustále porovnávali s Boolovou prácou Zákony myslenia.3 Frege necitoval Boolovu prácu, a preto mu Venn vytýka ignoráciu toho, čo sa v tejto oblasti už urobilo.

Rok vydania Pojmového písma bol pre Fregeho dôležitý. Pred ohlasmi na Pojmové písmo mal všetky dôvody na optimizmus. Získal dobrú reputáciu v Jene, stal sa mimoriadnym profesorom, čím získal určité finančné pro­striedky na zaopatrenie seba a svojej rodiny, a vydal prvú knihu. Po zverej­není ohlasov však nastalo pre neho ťažké obdobie. Viac ako desať rokov bolo jeho dielo ignorované alebo nepochopené. V rokoch 1891 až 1901 postupne získal všeobecné uznanie a j za hranicami Nemecka. Ani v osobnom živote to nemal ľahké - v manželstve s Margaretou Lieseburgovou (1856 - 1905) im zomreli všetky deti ešte ako malé a okolo roku 1900 adoptovali syna Alfreda. Avšak v roku 1905 jeho manželka zomrela a nechala ho s malým chlapcom samého.

Frege si po neúspechu Pojmového písma uvedomil, že sa musí vyrovnať z Boolovou prácou. Ako odpoveď na kritiku napísal brilantnú štúdiu Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift (N, 9 - 52), kde porovnal ciele a vlastnosti jeho vlastnej symboliky s Boolovou logikou. Preukázal tu neoby­čajnú schopnosť, ktorú možno dostatočne nevyužil pri písaní Pojmového písma, presne a jasne vysvetliť problematiku. Presvedčivo vysvetlil, prečo ne­mohol použiť Boolovu symboliku a ukázal prednosti vlastnej notácie. Článok ponúkol do troch časopisov, ale vo všetkých ho odmietli. Keďže to bol veľmi dlhý článok, plný zložitých symbolov, rozhodol sa napísať skrátenú a ústretovejšiu verziu Booles logische Formelsprache und meine Begriffs­schrift (N, 53 - 60). Ani tento článok neprijali, a to R. Avenarius zo Švrťro-čenky pre vedeckú filozofiu ([1], 21).

Frege však nezložil zbrane a v roku 1882 sa mu podarilo publikovať veľmi všeobecný a symbolkov úplne zbavený článok O vedeckom oprávnení pojmového písma' a na zasadnutí Jenskej spoločnosti pre medicínu a prírodovedu v januári 1882 predniesť prednášku, ktorá bola neskôr publiko­vaná pod názvom O účele Pojmového písma (Uber die Zweck der Begriffs­schrift). Zdôrazňuje odlišné ciele svojho diela oproti knihe G. Boola:

18 Frantiíek GAHÉR

"... nechcel som zobraziť abstraktnú logiku vo formulách, ale obsah napísaných znakov vyjadriť čo najpresnejším a najprehľadnejším sposobom, aký j e len vôbec môžný. Nechcel som v skutočnosti vytvoriť čistý "calculus ratiocinator", ale "lingua characteristica" v Leibnizovom zmysle, pričom každý logický dôsledok bude uznaný ako nutná súčasť Pojmového písma" (BS (1964), 9 7 - 9 8 ) .

Poukazuje na nedostatky v Boolovej symbolike, keď jeden a ten istý symbol (taký, ako j e znak "+") raz znamená aritmetickú operáciu sčítavania a inokedy zas logickú operáciu "spojenia". Obhajuje proti Schrôderovej kri­tike svoju notáciu a demonštruje, že jeho dvodimenzionálny zápis j e neoby­čajne vhodný a prehľadný v prípadoch zložitejších tvrdení.

Základy aritmetiky

Frege pochopil, že ak chce naozaj presvedčiť odborníkov i širšie čitateľské auditórium o správnosti svojho projektu, musí zmeniť taktiku. Roz­hodol sa napísať knihu, ktorá by sa týkala základných pojmov aritmetiky, akými bol napríklad pojem čísla, ale bola by napísaná bez symbolických zápisov, voči ktorým bola taká averzia. V roku 1884 vyšlo jeho dielo Základy aritmetiky (Grundlagen der Arithmetik - GLA). Cieľ práce bol zdanlivo jed­noduchý - definovať pojem čísla. Toto dielo j e hádam "najfilozofickejšie" zo všetkých Fregeho prác. V mnohých ohľadoch j e to priam učebnica episte­mologie. Frege s neobyčajnou trpezlivosťou analyzuje najznámejšie vysvetle­nia pojmu čísla: psychologické, formalistické a empiricistické.

Ukazuje neudržateľnosť explikácie čísla ako mentálneho konštruktu -napríklad ak by si nikto práve nemyslel niektoré číslo, tak by toto číslo pre­stalo existovať. Zdrvujúcej kritike podrobuje formalistické vysvetlenie, ktoré čísla stotožňuje s číslicami napísanými na papieri. Argumentuje proti názoru, že môžeme čísla tvoriť; Frege tvrdí, že môžeme tvoriť iba nové symboly (mená) pre čísla, nie samy čísla (FA, 108). Frege s neobyčajným zmyslom pre jemnú iróniu takmer doslova "rozpúšťa v kyseline" vysvetlenie extrémneho empirizmu, ktorého predstaviteľom j e napríklad John Stuart Mill, podľa ktorého zákony aritmetiky sú empirické zovšeobecnenia založené na indukcii a základné aritmetické pojmy sú získané z pozorovania agregátov fyzických objektov.

Ako alternatívu k týmto vysvetleniam predkladá svoju koncepciu logiciz-mu. Podľa nej 1. všetky základné aritmetické pojmy možno definovať výlučne prostredníctvom logických pojmov; 2. pomocou takto definovaných

GOTTLOB FREGE - ŽIVOT A DIELO 19

pojmov možno všetky zákony aritmetiky odvodiť z logických zákonov pomo­cou logických pravidiel.

Aby uskutočnil prvý krok tohto programu, musí definovať kardinálne číslo. Na definíciu kardinálneho čísla (mohutnosť množiny) v Cantorovej teórii množín sú potrebné tri pojmy: »množina«, »byť prvkom množiny« a »jedno-jednoznačné zobrazenie«. Logika sa naproti tomu podľa Fregeho zaoberá pojmami »pojem« (sem patria vlastnosti - pojmy v užšom slova zmysle, a vzťahy), »spadať pod pojem« a »rozsah pojmu«. Pomocou týchto inštrumentov "čistej logiky" definuje dané množinové pojmy, a teda a j pojem »rovnakej mohutnosti pojmov« a pojem »mohutnosti pojmu« či »kardinálne-ho čísla«. Napríklad pojem »rovnakej mohutnosti pojmov« definuje pomocou jedno-jednoznačného vzťahu (GLA, §72) a kardinálne číslo "dva" definuje ako rozsah pojmu, pod ktorý spadajú tie pojmy, medzi rozsahmi ktorých a párom nejakých predmetov j e jedno-jednoznačný vzťah - vzťah rovnakej mohutnosti. Frege tu veľa úsilia vynaložil na to, aby vysvetlil, čo j e to kontex-tuálna definícia, a aby presvedčil čitateľa, že j e prinajmenej rovnako dobrou definíciou ako tradičná. Tzv. kontextuálnu definíciu abstrakciou využil práve pri definovaní jedno-jednoznačného zobrazenia medzi rozsahmi pojmov.

Ohlasy na toto dielo boli rozličné. Napríklad Cantorova recenzia svedčí o tom, že nepochopil príbuznosť Fregeho snaženia s jeho teóriou množín a podľa všetkého toto dielo ani dobre neprečítal, pretože Fregemu pripisuje názor, že kardinálne číslo definuje ako množinu fyzických objektov, a nie ako množinu množín fyzických objektov, t.j. množinu pojmov. Frege na to upo­zornil v krátkej replike v roku 1885 v Deutsche Literaturzeitung: Cantor podsúva Fregemu názor, že "počet Jupiterových mesiacov j e rozsah pojmu »Jupiterov mesiac«". Frege to v skutočnosti definoval inak: "počet Jupite­rových mesiacov j e rozsah pojmu »byť rovnako mohutný s pojmom J u p i t e ­rov mesiac«« (pozri KSch, 112; MLPh, 123). Toto upozornenie zostalo nepovšimnuté. Do Fregeho sa pustili "advokáti" psychologizmu v logike a matematike, ktorý bol vtedy veľmi rozšírený a populárny. Jedným zo zástancov psychologizmu bol R. Hoppe, ktorý mal vplyv a vážnosť: dlhé roky (1873 - 1900) bol editorom Archiv der Mathematik und Physik. Hoppe v recenzii uviedol, že Fregeho teóriu budú učenci považovať za neplodnú a nehodnú vážneho záujmu (pozri [1], 29). Žiaľ, dlhé obdobie to bola pravda.

2 0 František GAHÉR

Objektivita pojmov a nové sémantické nástroje: zmysel a denotát mena

Napriek nepriaznivému ohlasu či skôr ignorovaniu Základov aritmetiky Frege nepoľavoval vo svojom úsilí. Okolo roku 1891 začína Fregeho dielo pomalú expanziu vplyvu po tom, čo taliansky logik G. Peano cituje Fregeho prácu. V tom období sa začína a j plodná korešpondencia Fregeho s E. Hus-serlom. V článku O zákone zotrvačnosti hovorí:

"Ak sa toto ostré ohraničenie [pojmu] neukáže, nemožno ho uznať ako pojem logiky... Logický pojem nemá žiadny vývoj, žiadnu históriu... Nesúhlasím s autorom [L. Langem], že j e veľmi potrebné hovoriť o vývine pojmu ... Ak miesto toho povieme "história pokusov pochopiť pojem" alebo "história chápania pojmu", tak sa mi to zdá byť oveľa primeranejšie; ďalej pojem j e niečo objektívne, čo netvoríme, čo tiež ani v nás nie j e tvorené, ale to, čo sa snažíme pochopiť a nakoniec snáď a j naozaj pochopíme, keď nebu­deme omylom hľadať tu, kde nič n i e j e " (KSch, 122; MLPh, 133)

Pojmy matematiky podľa Fregeho nevytvárame, čo neskôr objasňuje takto:

"Ako geograf nevytvára žiadne more, keď zakresľuje hranice a hovorí: "Touto čiarou ohraničenú časť vodnej plochy budem nazývať Žlté more", rovnako aj matematik definíciou nič vlastne nevytvára..." (GGA I, XIII).

A"by Frege pripravil vhodnú pôdu na prijatie diela, v ktorom sa má pro­jekt logicizmu zavŕšený, predniesol pre svojich kolegov prednášku O funkcii a pojme (FB) a publikoval dva články. Staťou O zmysle a denotáte (SB, 1892) "položil základy intenzionálnej analýzy jazyka ...V druhej polovici dvadsiateho stotočia sa Fregeho štúdia stala jednou z najcitovanejších prác v oblasti filozofie jazyka."5 V tejto štúdii zaviedol miesto pojmového obsahu nové sémantické inštrumenty: zmysel výrazu (Sinn) a denotát či referent výra­zu (Bedeutung). Určitý výraz (meno) vyjadruje zmysel a označuje denotát. Zmysel výrazu j e spôsob danosti toho, čo tento výraz označuje. Meno oz­načuje predmet. Napríklad mená "Večernica" a "Zornica" označujú to isté (planétu Venušu), ale vyjadrujú odlišný spôsob danosti - majú odlišný zmy­sel. Sémantiku, ktorá v tomto článku bola načrtnutá, rozpracoval v modifikovanej podobe pre potreby modernej matematiky A. Church (pozri úvod [4]).

V druhom článku O pojme a predmete vysvetľuje rozdiel medzi predme­tom a pojmom: predmet j e nasýtený, môže byť denotátom nejakého grama­tického subjektu a nikdy nemôže byť sám úplným denotátom gramatického

GOTTLOB FREGE - ŽIVOT A DIELO 21

predikátu; pojem j e nenasýtený a nemôže byť priamo denotátom subjektu; upozorňuje na rozdiel medzi pojmami prvého a druhého rádu (stupňa) a prichádza s veľmi presvedčivým vysvetlením, že existencia j e primárne vlastnosťou pojmov, nie predmetov. (Slovenský preklad tohto článku vychádza práve v tomto čísle Organonu.)

Základné zákony aritmetiky

Fregeho reputácia však stále nebola ani zďaleka na takej úrovni, aby nemal problémy s publikovaním. Hotový rukopis bol veľmi rozsiahly a žiaden vydavateľ nechcel riskovať neúspech. Rukopis bol plný dôkazov v dvojroz­mernej symbolike. Nakoniec sa našiel kompromis. Vydavateľ článku O funk­cii a pojme H. Pohle súhlasil s vydaním práce v dvoch častiach, pričom druhá časť mala byť vytlačená iba v prípade priaznivého ohlasu prvej časti. V roku 1893 vyšiel prvý diel Základných zákonov aritmetiky (Grundgesetze der Arithmetik - GGA I).

V úvode diela možno netakticky hovorí o chladnom prijatí či vlastne ne­prijatí jeho predchádzajúcich prác matematikmi. Ironicky uvádza výhrady k svojej knihe:

"už prvý dojem musí odradzovať; neznáme znaky, veľa strán iba cudzích formúl..." (GGA I, XI).

Napriek tomu sa snaží presvedčiť čitateľa, že symbolický jazyk j e nutný, a práve jeho symbolika umožňuje dosiahnuť požadovanú presnosť a prehľadnosť. Nebol ochotný v tejto veci urobiť ani milimetrový ústupok, hoci by mu mohol konečne priniesť uznanie. Myslel však oveľa ďalej ako na prchavú slávu: zaujímal ho skutočný pokrok vedy. Neoblomne a s ironickou ostrosťou kritizuje najznámejšie východiská vysvetlenia povahy čísel: psy-chologizmus, formalizmus a empiricizmus, čím mnohých čitateľov odradzo-val. Bol si toho plne vedomý, a keďže za najhorší považuje psychologizmus v logike a matematike, priam irituje "psychologizujúcich logikov" konštato­vaním v tom zmysle, že vyhrá iba vtedy, ak jeho knihu odmietnu v prípade, že sa vôbec prinútia ňou vážne zaoberať (pozri GGA I, XXVI).

Rozpracoval ďalšie rozšírenie pojmu funkcie oproti Pojmovému písmu: argumentmi niektorých funkcií môžu byť okrem objektov i nejaké (iné) funkcie; rozlišuje prvo-rádové (erster Stufe) funkcie, ktorých argumentmi sú výlučne objekty, a druho-rádové (zweiter Stufe) funkcie, ktorých argumentmi (aspoň jedným) sú prvo-rádové funkcie. Keďže funkcie môžu mať viac argu­mentov, a tie môžu byť objektmi alebo funkciami prvého rádu, niektoré funkcie sú z hľadiska argumentov rovnakého rádu, iné nerovnakého rádu

2 2 Frantiäek GAHÉR

{ungleichstufige Funktion). Zavádza pojem priebehu funkcie (Wertverlauf) a definuje "pojem" ( B e g r i f f ako vlastnosť) ako "funkciu s jedným argumen­tom, ktorej hodnotou j e vždy pravdivostná hodnota".

Cieľ, ktorý chcel dosiahnuť, opisuje v úvode diela takto:

"Ideál prísne vedeckej metódy v matematike, ktorý som sa tu pokúsil uskutočniť a ktorý môže byť naozaj pomenovaný po Euklidovi, by som opísal nasledovne. Nemôžeme požadovať, aby bolo dokázané všetko, pretože to j e nemožné; ale môžeme požadovať, aby všetky tvrdenia, ktoré budú použité bez dôkazu, boli vyslovene vyjadrené ako také, aby sme zreteľne poznali, na čom spočíva celá stavba. Potom sa musíme snažiť počet týchto základných zákonov čo najviac znížiť dokazovaním všetkého, čo j e dokázateľné. Ďalej požadujem - a týmto prekračujem Euklida - aby sa všetky spôsoby odvodzo­vania, ktoré sa použijú, uskutočnili podľa predchádzajúcich. Inak by sme ne­mohli dosiahnuť splnenie prvej požiadavky. Som presvedčený, že tento ideál som už v podstate dosiahol" (GGA I, XI).

Fregeho výkon - úroveň presnosti a formálnej korektnosti Základných zákonov aritmetiky I - dovtedy nikto nedosiahol a zostal neprekonaný naj­bližších dvadsať rokov. V tomto prvom dieli podal na logickej báze výklad konečných i nekonečných kardinálnych čísel, pojmu »usporiadania«, operácií »prieniku relácií« a »skladania relácií« a iných. Bolo to nebývalé a monumentálne, ale predsa zostávalo toho ešte veľa: chýbala explikácia záporných, racionálnych, iracionálnych a komplexných čísel, ako aj operácií sčítavania, násobenia a iných aritmetických operácií. Pre toto rezervoval druhý diel. O jedinom zákone sa vyjadril rezervovane: základný zákon V o priebehu hodnôt mohol vyvolať pochybnosť, či svojou povahou patrí do čistej logiky (pozri GGA I, VII). Tento zákon tvrdí, že priebeh hodnôt jednej funkcie j e totožný s priebehom hodnôt druhej funkcie vtedy a len vtedy, keď hodnota prvej funkcie pre každý argument j e totožná s hodnotou druhej funkcie pre tento argument i naopak.

Z ohlasov na Základné zákony aritmetiky I bol Frege opäť frustrovaný. V tlači boli publikované iba dve recenzie, z ktorých jedna bola ako-tak priaz­nivá, a okrem nich nič - ani prijatie, ani odmietnutie, iba ticho. Ako dôsledok bolo vydavateľovo odmietnutie vytlačiť druhý diel. Fregeho projekt nemal byť dokončený.

Prvá recenzia od R. Hoppeho bola taká krátka, že sa vlastne dá ťažko nazvať recenziou a podľa všetkého j e j autor knihu okrem úvodu a dodatku vôbec nečítal. Druhú recenziu napísal G. Peano. Táto recenzia bola obšírna a iniciovala plodnú korešpondenciu medzi Peanom a Fregem. V roku 1900

GOTTLOB FREGE - ŽIVOT A DIELO 2 3

alebo 1901 začína čítať Fregeho dielo B. Russell, čo viedlo cez reťaz udalostí k všeobecnejšiemu spoznaniu veľkosti Fregeho výkonu.

Peano mnohé dôležité veci prehliadol a zrejme sa ani nenaučil Fregeho symboliku. V recenzii porovnáva Fregeho systém so svojím: Frege používa viac základných pojmov (päť) ako on - Peano (tri). Peano, ktorý považoval Fregeho systém za konkurenčný a predpokladal, že analýza matematiky na základné pojmy môže byť iba jedna, uzatvára, že jeho analýza j e fundova­nejšia. Frege bol Peanovým záverom o "menšej" fundovanosti svojho systému podráždený a bol presvedčený o j eho nesprávnosti. V septembri 1896 napísal Peanovi ako vydavateľovi Rivista di Mathematica list a požiadal ho o jeho publikovanie, pretože v tomto časopise bola uverejnená a j spomínaná recenzia. Peano spoznal tvrdosť Fregeho polemiky, ktorej j e schopný, ak dostane na ňu priestor. Fregeho replika Lettera del sig. Frege alľEditore, v ktorej poukázal na slabiny a chyby v Peanovom diele, bola zdrvujúca a prinútila ho uverejniť odvolanie pôvodného hodnotenia a poďakovať sa Fregemu za opravy svojej logiky. Z chýb, ktoré vytýkal Frege Peanovi, išlo najmä o tieto chyby: nemal presné pravidlá definovania; nevedel odlišovať vyjadrenie myšlienky od j e j tvrdenia (Frege mal na to základné symboly); Peanova definícia znaku identity bola kruhová, mnohé definície dôležitých pojmov boli chybné; najmenej štyri symboly neboli definované a nedali sa definovať pomocou základných symbolov (pozri KSchr, 234 239). Peano bol nútený priznať, že používa viac ako deväť primitívnych symbolov, a výsledkom polemiky bolo, že na jeho odporúčanie prijal znak pre definičnú rovnosť. Toto Fregeho spresnenie Peanovej logiky sa stalo známym. Podľa všetkého Peano od Fregeho prevzal a j teóriu kvantifikácie. Frege bol konečne "objavený".

Príprava Základných zákonov aritmetiky II

V období rokov 1894 - 1902 Frege okrem písania viacerých štúdií (zväčša nepublikovaných) sa sústreďuje na dokončenie rukopisu druhého dielu Základných zákonov aritmetiky (GGA II). Okrem úspechu s Peanom dosiahol a j iný úspech - menovali ho za čestného riadneho profesora. Pravde­podobne mu ponúkli titul riadneho profesora, ale ten zrejme odmietol, aby sa nezaťažoval administratívnymi povinnosťami a mohol sa plne venovať svoj­mu projektu. To, že mohol prijať neplatené miesto, j e vysvetliteľné tým, že jeho "tútor" E. Abbé mu zabezpečil trvalé štipendium z Carl Zeiss Stiftung, ktoré každý rok venovalo univerzite v Jene stotisíc mariek.

Ďalším úspechom bolo, že sa mu podarilo p o zdrvujúcej recenzii (1894) Husserlovej knihy Philosophie der Arithmetik (vydanej v roku 1891)

2 4 František GAHÉR

a následnej korešpondencii "konvertovať" E. Husserla zo zástancu psycholo-gizmu na jeho odporcu. V roku 1895 publikuje kompromitujúcu kritiku Schrôderových Vorlesungen uber die Algebra der Logik (1890). Humor, irónia a niekedy a j výsmech, ktorý obsahujú jeho recenzie, sú najlepším do­kladom Fregeho výkonu ako satirika. V tom období Frege už vedie bohatú korešpondenciu s Balluom, Couturatom, Hilbertom, Husserlom a inými. Pri­pravil, ale nepublikoval 1. tri rozsiahle rukopisy v "pojmovom písme" dva (301 a 210 strán) o teórii veličín a jeden (258 strán výlučne v symboloch) o iracionálnych číslach; 2. esej o logických chybách v matematike; 3. stať o princípoch definovania; 4. dva články, v ktorých argumentáciou ad ab­surdum vyvrátil stanovisko Weierstrassa a iných, že čísla sú agregáty objek­tov (podľa [1], 43).

Russell objavuje paradox

V roku 1902 j e druhý diel Základných zákonov aritmetiky v tlači. Podľa všetkého toto vydanie financuje Frege z vlastných peňazí. Veril, že sa mu po­darilo ukázať, že aritmetika j e odvetvím logiky, pričom úspešne zaútočil na všetky známe konkurenčné teórie: na extrémny empirizmus (Mill, Weier-strass), psychologizmus (Erdmann, Husserl) i extrémny formalizmus (Hankel, Ballue).

V období spokojnosti z uskutočnenia takého náročného a vyčerpávajúce­ho projektu sa stalo čosi, čo j e pre vedca, ktorý vyznáva hodnoty logickej konzistentnosti a presnosti, azda najviac nepríjemné: nejaký mladý anglický logik menom Bertrand Russell objavil antinómiu v logických základoch mate­matiky, ktoré Frege s takou námahou vypracoval. Russell napísal Fregemu o objave antinómie v júni 1902. Antinómia sa stala neskôr známou ako Ras-sellova antinómia a netýkala sa iba Fregeho systému, ale rovnako a j Cantoro-vej teórie množín a Dedekindovej teórie. Jej zmysel, inšpirovaný starovekou antinómiou luhára, vysvetľuje sám Frege:

"O triede ľudí nikto nebude chcieť tvrdiť, že j e človekom. Máme tu trie­du, ktorá n i e j e prvkom seba samej. Hovorím totiž, že niečo j e prvkom triedy, keď spadá pod pojem, ktorého rozsah j e práve tá trieda. Uvažujme teraz pojem trieda, ktorá nie je prvkom seba samej! Rozsah tohto pojmu, pokiaľ o ňom môžeme hovoriť, j e trieda tých tried, ktoré nie sú prvkami seba samých. Označme j u skratkou T. Teraz sa pýtame, či táto trieda j e prvkom seba samej! Predpokladajme najprv, že áno! Keď j e niečo prvkom nejakej triedy, tak spadá pod pojem, ktorého rozsahom j e táto trieda. Keď v dôsledku toho naša trieda j e prvkom seba samej, tak j e triedou, ktorá nie j e prvkom

GOTTLOB FREGE - ŽIVOT A DIELO 2 5

seba samej. Náš prvý predpoklad vedie k sporu so sebou. Predpokladajme po druhé, že naša trieda T nie j e prvkom seba samej, takže spadá pod pojem, ktorého rozsah sám j e byť prvkom samého seba. A t u j e opäť spor"(GGA II, 253 4).

Túto antinómiu umožnila prílišná "liberálnosť" základného zákona V, o ktorom si Frege hoci s istou rezervou myslel, že j e logickým zákonom. Počas leta korešpondoval s Russellom. N a konci leta bol druhý diel Základných zákonov aritmetiky vydaný. Frege venuje doslov tohto diela Rus-sellovmu objavu, pričom sa pokúsil o opravu, avšak j eho riešenie bol nein­tuitívne a iba ad hoc.

Russell neskôr napísal, že bol zrejme prvým človekom, ktorý ocenil veľkosť Pojmového písma a ktorý ho a j čítal - a to viac ako dvadsať rokov po jeho uverejnení. A to vraj Russell dostal od svojho učiteľa čítať Pojmové písmo ešte počas svojich študentských čias, ale vtedy ho toto dielo vôbec ne­zaujalo. Môžeme povedať, že zatiaľčo Peano objavil Fregeho, Russell objavil jeho "veľkosť". Russell o niekoľko rokov spolu s Whiteheadom napísal slávne Principia Mathematica dielo, ktoré pokračovalo v tradícii logicizmu, ako ho projektoval Frege, avšak bez spomínanaj antinómie. Takže Russellova antinómia nezdiskreditovala program logicizmu. Význam Fregeho prie­kopníckeho diela Základných zákonov aritmetiky bol však takmer úplne zatie­nený prácami jeho pokračovateľov a Russellovi boli pripisované a j mnohé Fregeho zásluhy.

Po Russellovom paradoxe

Je rozšírenou fámou, že po zistení antinómie vo svojom diele Frege za­nevrel a zostal podlomený. Nie j e to pravda, pretože Frege neprestával veriť vo svoj program logicizmu až do rokov 1913 - 1914 ho obhajuje na svojich prednáškach na univerzite v Jene. Frege však nebol šťastný - v roku 1905 mu zomrela manželka. Bezpochyby ho otravovali a unavovali útoky j eho kolegu J. Thomaeho z Jeny a A. Korselta za Fregeho kritiku Hilbertovho raného názoru na axiómy a definície v geometrii. Frege v roku 1910 podľa Carna-pových slov vyzeral na svoj vek zostarnuto.

Slávu, ktorej sa síce nedožil a ani po nej netúžil, Fregemu v istom zmysle "zabezpečil" R. Camap. Camap bol jeho študentom v roku 1910, keď chodil na jeho prednášky z Pojmového písma, ktoré bolo úvodom do Fregeho novej logiky. V roku 1913 chodil na prednášky z Pojmového písma II & v roku 1914 navštevoval jeho prednášky Logika v matematike. O jedno či dve desaťročia sa stal Camap známym a vplyvným vedcom, a keďže sa z logiky a sémantiky

2 6 František GAHÉR

najviac naučil u Fregeho, najmä vo svojom "sémantickom období" šíril a daľej rozvíjal jeho myšlienky. Spolu s Churchom, ktorý odlišným spôsobom modifikoval a rozvíjal Fregeho logiku a sémantiku, sa asi najviac zaslúžili o Fregeho prvú "renesanciu".

V roku 1911 po krátkej korešpondencii prišiel za Fregem Wittgenstein ešte z Manchestru. Okrem diskusie o jeho námietkach sa Wittgenstein radil s Fregem o štúdiu základov matematiky. Na Fregeho odporúčanie odišiel štu­dovať do Cambridgea k Russellovi, ktorému už vyšiel spolu s Whiteheadom prvý diel Principia Mathematica. V úvode k svojmu Tractatus uvádza, že za značnú časť podnetov ku svojím myšlienkam vďačí okrem prác svojho priateľa B. Russella práve vynikajúcemu dielu G. Fregeho. Jeho vplyv na Wittgensteina bol taký veľký, že bez čítania Fregeho sa dá Tractatus sotva pochopiť.

V roku 1918 odišiel z univerzity do Bad Kleinena blízko jeho rodného mesta Wismar, avšak neprestával byť aktívnym vedcom. Publikoval tri významné štúdie Myšlienka6 (1918), Negácia1 (1918) a. Zložené myšlienkyB. Pokračoval v korešpondencii s mnohými vedcami. Žiaľ, časť z jeho celkovej korešpondencie s Husserlom, Jourdainom, Lôwenheimom, Russellom a inými vedcami spolu s mnohými jeho rukopismi bola zničená v munsterskom archíve pri bombardovaní spojencami počas druhej svetovej vojny.

Zomrel 26 júla 1925 vo veku 77 rokov. Jeho smrť možno zostala ne­povšimnutá vedcami vtedajšieho sveta, jeho dielo však zažilo nielen cama-póvsko-churchovskú "renesanciu", ale môžeme povedať, že sa v posledných desaťročiach dožíva druhej renesancie (bližšie o tom napríklad [7]).

POZNÁMKY

' Niektoré podrobnosti o živote G. Fregeho som čerpal najmä z práce [I] , "'Uber eine geometrische Darstelhmg der imaginären Gebilde in der Ebene. ' An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the mathematical teories

of Logic and probabilities z roku 1854. 'Uber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift. In: BS (1964), s. 106-114. 1 Cmorej, P., úvod k slovenskému prekladu, Filozofia, 47, 1992, č. 6, s. 349. ' Der Gedanke\ slovenský preklad Myšlienka: Logické skúmanie bol publikovaný in: Or­

ganon F, III, 1996, č. 3. 7 Die Verneinung. " Gedankengefuge.

GOTTLOB FREGE - ŽIVOT A DIELO 2 7

Výber najdôležitejších Fregeho štúdií a monograf i í publikovaných poCas j e h o ž ivota :

1873 Uber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene, (diss ); znovu publikované in KSch.

1874 Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erwieterung des GrOssenbegriffes grilnden.(habil.); znovu publikované in KSch.

1879 Begriflsschriľt, eine der aritmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. L. Nebert, Halle a. S., X, 88 s.; znovu vydané hg. I. Angelelli, Darmstadt 1964. |BS]

1883 Uber die Zweck der Begriffsschrift, Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft fú r Medizin und Naturwissenschaft filr das Jahr 1882, Jena s. 1-10; znovu vydané in BS (1964). |ZBS]

1884 Die Grundlagen d e r Ari thmetik. Eine Iogisch-mathematische Untersuchung Uber den Begriff der Zahl. W. KObner, Breslau, XI, 119 s.; znovu vydané Darmstadt 1961; nemecký text s paralelným anglickým prekladom J. N. Austina, Oxford 1950. [GLA]

1891 Funhtion und Begriff. H. Pohle, Jena, 31 s.; znovu vydané in FBB; KSch. 1891 Uber das Trägheitsgesetz. Zeitschrift filr Philosophie und philosophische Kritik,

XCVIII, s. 145-161. znovu vytlačené in KSch; anglický preklad in MLPh. |TG] 1892 Ober Sinn und Bedeutung. Zeitschrift filr Philosophie und philosophische Kritik, C

(100), s. 25-50.; znovu publikované in FBB, KSch; slovenský preklad in Filozofia, 47, 1992, č. 6, s. 349-363. | SB |

1892a Uber Begriff und Gegenstand. Vierteljahresschrift filr wissenschaftliche Philosophie, XVI, s. 192-205.; znovu publikované in FBB, KSch; slovenský preklad in Organon F, VII, 2000, č. 1. (BGJ

1893 Grundgesetze d e r Ari thmet ik . Begriffsschriftlich abgeleitet. I. Band. H. Pohle, Jena, XXXII, 253 s.; nové vydanie Darmstadt 1962; 1966.[GGA I]

1896 Lettera del sig. Frege alľEditore. Rivista di Matematica VI, s. 53-59; znovu publi­kované in KSch.

1903 Grundgesetze d e r Ari thmet ik . Begriffsschriftlich abgeleitet. II. Band. H. Pohle, Jena, XV, 265 s.; nové vydanie Darmstadt 1962; 1966.[GGA II]

1904 Was isí eine Funktion? Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburstage, Leipzig.s. 656-666; znovu publikované in FBB, KSch. [WF]

1918 Der Gedanke. Eine logische Untersuchungen. Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, I. s. 58-77; znovu publikované in KSch, LU, anglický preklad in MLPh. | L U I ]

1918 Die Verneinung. Eine logische Untersuchungen. Beiträge zur Phil, des deutschen Idealismus, s. 143-57; znovu publikované in KSch, LU, angl. preklad in MLPh. | L U III

1923 Gedankengefiige. Eine logische Untersuchungen. Dritter Teil. Beiträge zur Philo­sophie des deutschen Idealismus, III. s. 36-51; znovu publikované in KSch, LU, ang­lický preklad in MLPh. [LU III|

Súborné p ráce G . Fregeho publikované po j eho smr t i :

1962 Funktion, BcgrilT, Bedeutung, Filnf logische Studien. hg. G. Patzig, GOttingen. | FBB |

1964 Begr insschr i f t und a n d e r e Aufsätze. Hg.I. Angelelli, Darmastadt. [BS] 1966 Logische untersuchungen. Hg. G. Patzig, GOttingen. [LU]

2 8 FrantiSek GAHÉR

1967 Kleine Schri f ten. hg. I. Angelelli, Darmstadt; obsahuje bibliografiu publikovaných Fregeho prác a listov (s. 423-427). |KSch|

1969 Nachgelassene Schr i f ten . Hg. H. Hermes, F. Kambartel, F. Kaulbach, Hamburg. [N] 1871 Schr i f ten z u ř Logik und Sprachphilosophie (Aus dem Nachlass), G. Gabriel, Ham­

burg; obsahuje kompletnú bibliografiu Fregeho prác, publikovaných poias j eho živo­ta i po smrti do roku 1969, ako a j bibliografiu publikácií o Fregem do roku 1970. (LSI

1976 Wissenschaft l icher Briefwechsel. Hg. G. Gabriel, H. Hermes, F. Kambartel, C. Thiel, A. Veraart, Hamburg. [BW|

Niektoré anglické preklady:

1950 T h e Foundat ions of Ari tmetic. Transl. by J.N. Austin; Blackwell and Mont, Oxford.[FA)

1964 T h e Basic Laws of Ari thmetic . Transl. and ed. by Montgomery Furt, California UP, Berkeley.

1972 Conceptual Notation a n d Related Articles, trans, and ed. T.W. Bynum, Clarendon Press, Oxford.

1984 Collected P a p e r s on Mathemat ics , Logic a n d Philosophy, B. McGuinness (ed ), Basil Blackwell. [ M L P h |

Katedra logiky a metodológie vied Filozofická fakulta UK Šafárikovo nám. 6, 818 01 Bratislava e-mail: František. Gaher@fphil. uniba. sk

L I T E R A T Ú R A

[1] BYNUM, T.W. (1972): On the life and work ofGott lob Frege. In: Frege, G.: Conceptual Notation a n d Related Articles, pp. 1-54.

[2] CARNAP, R. (1956): Meaning a n d Necessity. Chicago U. P., Chicago and London. [3] GEACH, P. T. (1961): "Frege". In: Anscombe, G. E. M. & Geach, P.T. (eds ): T h r e e

Philosophers. Oxford, Blackwell, pp. 129-62. [4] CHURCH, A. (1956): In t roduct ion to Mathemat ica l Logic. Princeton U. P., Princeton,

New Jersey. [5] KUTSCHERA, F.v. (1989): Got t lob Frege. W. de Gruyter, Berlin - New York. [6] SLUGA, H. (1993): Frege: the early years. In: Genera l Assessments a n d Historical

Accounts of F rege ' s Philosophy, Garland Publ., New York & London. [7] TICHÝ, P. (1988): T h e Foundat ions of Frege ' s Logic. W. de Gruyter, Berlin New York. [8] WHITEHEAD, A. N. - RUSSELL, B. (1925): Principia Mathemat ics . Vol. 1, Cambridge U. P.