Goldener Schnitt - uni-leipzig.de2.1 Der Goldene Schnitt βGeometrische Herleitung Mittels Satz des...
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Goldener Schnitt
Seminar fΓΌr Schulmathematik
Tim Friedemann
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Gliederung
2.1 Der Goldene Schnitt - Geometrische Herleitung
2.2 Konstruktionsverfahren
2.3 Goldener Schnitt im FΓΌnfeck und Pentagramm
2.4 Der Goldene Winkel
2.5 Der Goldene Schnitt und wo wir ihn finden
3. Literatur
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2.1 Der Goldene Schnitt β Geometrische Herleitung
Es gilt: π
π=
π+π
π= Ξ¦
π΄ ist der Anfangspunkt der Zahlenstrahl und erhΓ€lt den Wert 0.
Der Major π = 1 und wird auf der Zahlengerade abgetragen, wobei π entsteht. β a = π΄π
π΄π β₯ ππΆ
Der Mittelpunkt π der Strecke π΄π wird bestimmt und die Strecke ππΆ eingezeichnet.
Dabei entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit
den Katheten ππ =1
2, ππΆ = 1 und der
Hypotenuse ππΆ.
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2.1 Der Goldene Schnitt β Geometrische Herleitung
Mittels Satz des Pythagoras kann die
Hypotenuse ππΆ berechnet werden:
ππΆ2 = ππ2 + ππΆ2
ππΆ2 =1
2
2
+ 12
ππΆ =5
4=
5
2
Nun wird um π ein Kreisbogen mit dem
Radius 5
2gezogen, wobei dieser die
Zahlengerade in π΅(β Ξ¦) schneidet.Es entsteht der Minor π. β b = ππ΅
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2.1 Der Goldene Schnitt β Geometrische Herleitung
Der Wert von Ξ¦ kann direkt abgelesen werden:
π΄π΅ = π + π =1
2+
5
2β Ξ¦
und durch einsetzen in die
Anfangsgleichung folgt:
Ξ¦ =1 + β5
2β 1,618
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2.2.1 Konstruktionsverfahren β Innere Teilung Beispiel 1
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2.2.1 Konstruktionsverfahren β Innere Teilung Beispiel 1
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2.2.1 Konstruktionsverfahren β Innere Teilung Beispiel 1
π΄π + ππ΅
π΄π=π΄π
ππ΅
3,1 + 1,9
3,1=3,1
1,91,612 β 1,631
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2.2.2 Konstruktionsverfahren β Innere Teilung Beispiel 2
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2.2.2 Konstruktionsverfahren β Innere Teilung Beispiel 2
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2.2.2 Konstruktionsverfahren β Innere Teilung Beispiel 2
π΄π + ππ΅
π΄π=π΄π
ππ΅
3,7 + 2,3
3,7=3,7
2,3
1,621 β 1,608
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2.2.3 Konstruktionsverfahren β ΓuΓere Teilung
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2.2.3 Konstruktionsverfahren β ΓuΓere Teilung
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2.2.3 Konstruktionsverfahren β ΓuΓere Teilung
π΄π + ππ΅
π΄π=π΄π
ππ΅
4 + 2,5
4=
4
2,5
1,625 β 1,6
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2.3 Goldener Schnitt im FΓΌnfeck & Pentagramm
In β π seinen zwei verschiedene Strahlen π»1, π»2gegeben, die sich im Punkt π΄ schneiden. Weiterhin seien π, β parallele Geraden; die π»1 und π»2 in den vom Punkt π΄ verschiedenen Punkten schneiden.
Es gelte: π΅ = π β© π»1 ; π΅β² = π β© π»2 ;
πΆ = β β© π»1 ; πΆβ² = β β© π»2
Dann folgt: (1)π(π΄π΅)
π(π΄πΆ)=
π(π΄π΅β²)
π(π΄πΆβ²)
(2)π(π΅π΅β²)
π(πΆπΆβ²)=
π(π΄π΅)
π(π΄πΆ)
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2.3 Goldener Schnitt im FΓΌnfeck & Pentagramm
Beweis:
Die Winkel πΌ β β’(π΅π΄,π΅π΅β²) und πΌ β β’(πΆπ΄, πΆπΆβ²) sind Stufenwinkel an den Parallelen π und β; also sind sie gleich.
Ebenso ist Ξ² β β’ π΅β²π΄,π΅β²π΅ = β’(πΆβ²π΄, πΆβ²πΆ)
Das Bedeutet nach dem HauptΓ€hnlichkeitssatz, dass die
Dreiecke π΅π΄π΅β² und πΆπ΄πΆβ² Γ€hnlich sind.
Es gibt somit ein Ξ» > 0 mit:
π π΄πΆ = Ξ» β π(π΄π΅) , π π΄πΆβ² = Ξ» β π(π΄π΅β²) , π πΆπΆβ² = Ξ» β π(π΅π΅β²)
Somit folgt sofort (1) und (2). β
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2.3 Goldener Schnitt im FΓΌnfeck & Pentagramm
(1)π(π΄π΅)
π(π΄πΆ)=
π(π΄π΅β²)
π(π΄πΆβ²)β
π΄π΅
π΄πΆ=
π΄π΅β²
π΄πΆβ²
(2)π(π΅π΅β²)
π(πΆπΆβ²)=
π(π΄π΅)
π(π΄πΆ)β
π΅π΅β²
πΆπΆβ²=
π΄π΅
π΄πΆ
Aus Gleichung (2) folgt nach umformen:
π΄π΅
π΅π΅β²=
π΄πΆ
πΆπΆβ²
Des Weiteren gilt: π΅π΅β² = π΅πΆ ; πΆπΆβ² = πΆπ·
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2.3 Goldener Schnitt im FΓΌnfeck & Pentagramm
Des Weiteren gilt:
π΅π΅β² = π΅πΆ ; πΆπΆβ² = πΆπ· ;
Und: π΄πΆ = π΄π΅ + π΅πΆ
Dadurch erhalten wir erneut die Gleichung des
Goldenen Schnitts:
π΄π΅ + π΅πΆ
π΄πΆ=π΄π΅
π΅πΆ
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2.3 Goldener Schnitt im FΓΌnfeck & Pentagramm
Entwickel eine Gleichung zur Berechnung des
Goldenen Schnitts, welche die Strecke π΄π·beinhaltet.
π΄πΆ + πΆπ·
π΄π·=π΄πΆ
πΆπ·
Oder:
π΄π΅ + π΅π·
π΄π·=π΅π·
π΄π΅
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2.4 Der Goldene Winkel
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2.5 Der Goldene Schnitt und wo wir ihn finden
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Quellen
- https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/goldener-schnitt# ; zuletzte aufgerufen am
24.06.2020
- Dr. W. Wenzel; Seminar zur Schulmathematik; https://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS20XX27615.pdf ;
UniversitΓ€t Leipzig/Institut fΓΌr Mathematik und Informatik ; SoSe 2020
- Dr. W. Wenzel; Aufbaukurs Geometrie; Satz 5.17 Strahlensatz; UniversitΓ€t Leipzig/Institut fΓΌr Mathematik und
Informatik; SoSe 2018
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/goldener-schnitthttps://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS20XX27615.pdf