G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Velocità media Abbiamo definito la velocità vettoriale...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Velocità media

vm =ΔxΔt

=x2 −x1

t2 −t1

• Abbiamo definito la velocità vettoriale media


Descrizione del moto attraverso la velocità media

• Supponiamo di far muovere tra t1 e t2 il punto materiale con la velocità media appena calcolata

• Valutiamo la sua posizione all’istante t=2s.

Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5t (s)

x (m)

t1 t2

x1

x2

ΔxΔt1

2tangxtα=ΔΔConclusione:La descrizione del moto mediante la velocità media è insoddisfacente

Le predizioni sono corrette solo agli estremi t1 e t2.

Posizione al tempo t=2s predetta con la velocità media

Posizione vera al tempo t=2s


Determinazione della velocità media in intervalli di tempo sempre più piccoli

• Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocità media– si ottiene una descrizione del moto

decisamente migliore

Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5t (s)

x (m)

t1 t2

x1

x2

ΔxΔt1

2

Δt/3 Δt/3 Δt/3

• Riducendo sempre più gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media si otterrà una descrizione sempre migliore!

• Sarebbe opportuno ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media, così la descrizione del moto sarà perfetta!

• Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocità del corpo ad ogni istante: la velocità istantanea


Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

t (s)

x (m)

0 1 2 3 4 5

La velocità istantanea• Procediamo nel seguente modo:

• Consideriamo l’istante t1 in cui vogliamo calcolare la velocità

• La velocità media corrisponderà al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico

• Riduciamo ora l’intervallo di tempo Δt facendolo tendere a zero.

• Osserviamo che quando Δt tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocità media in Δt, tende a diventare quello della retta tangente al grafico all’istante t1.

• Consideriamo un intervallo di tempo Δt maggiore di zero.

• Calcoliamo la velocità media in Δt

vxm =ΔxΔt

=x t1 +Δt( )−x t1( )

Δtvx t1( ) =

Δt→ 0limx t1 +Δt( )−x t1( )

Δt• Si definisce velocità istantanea

all’istante t1 il seguente limite: t1+Δt

x(t1+Δt)

ΔtΔx

2

x(t1)

t1

1


Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

t (s)

x (m)

0 1 2 3 4 5

La velocità istantanea 2• Riassumendo:

• Nel grafico essa è rappresentata dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico all’istante t1.

• Il limite di:

• corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) all’istante t1.

• Abbiamo definito la velocità istantanea come all’istante di tempo t1:

vx t1( ) =Δt→ 0lim

x t1 +Δt( )−x t1( )Δt

x(t1)

t1

1

rapporto incrementale

Δt→ 0limx t1 +Δt( )−x t1( )

Δt

dxdt t1

=Δt→ 0lim

x t1 +Δt( )−x t1( )Δt

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

ΔxΔt(m/s)

Δt (s)

vx t1( )= Δt→ 0limx t1 +Δt( )−x t1( )

Δt

ΔxΔt

in funzione di Δt


Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

t (s)

x (m)

0 1 2 3 4 5

Velocità istantanea ad ogni istante di tempo

• Ripetendo l’operazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t2 o t3, possiamo conoscere la velocità istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo.

x(t1)

t1

x(t2)

t2

x(t3)

t3

• Se ripetiamo l’operazione per tutti gli istanti di tempo dell’intervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo

vx(t)

• Questa funzione altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)

vx t( ) =dx t()

dt

Positiva -->

x crescenti

Negativa-->

x decrescenti


Velocità scalare istantanea e velocità vettoriale istantanea

• Anche per la velocità scalare di può definire la velocità istantanea:

Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6t (s)

xmassimo

xiniziale

xfinale

vs = limΔt→ 0

percorso effettuatoΔt

• Ma quando Δt tende a zero, avremo

percorso effettuato= Δx

• Si ottiene quindi la seguente relazione

vs =v

• La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della velocità vettoriale istantanea


Grafico della velocità istantanea

• Nel moto che stavamo studiando:– La pendenza del grafico orario non è

costante

– Questo implica che la velocità non è costante

– Possiamo costruirci il grafico della velocità: la velocità decresce linearmente con il tempo.

– La velocità è maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dell’asse x

– Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dell’asse x.

– Quando x è massimo la velocità è nulla

Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6t (s)


Accelerazione mediae istantanea

• Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia.

• Si definisce l’accelerazione media nell’intervallo di tempo tra t1 e t2 il seguente rapporto:

axm =Δvx

Δt=

vx2 −vx1

t2 −t1

• Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione possiamo passare all’accelerazione istantanea:

– L’accelerazione istantanea all’istante t1 è data da:

ax(t1) =limΔt→ 0ΔvΔt

=limΔt→ 0vx(t1 +Δt)−vx(t1)

Δt

ax(t1) =dvx(t)

dt t=t1• Tenendo conto della definizione di derivata:

vx(t) =vo +aot

voao =tanθ

θ


Grafico dell’accelerazione istantanea• Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo

determinare la funzione accelerazione.

• Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità.

ax(t) =dvx(t)

dt• Dato che noi conosciamo la velocità in

funzione del tempo

vx(t) =vo +aot

ax(t) =dvx(t)

dt=

d(vo +aot)dt

=ao

• L’accelerazione è costante (negativa), come d’altra parte ci aspettavamo dal grafico della velocità.

Grafico dell'accelerazione istantanea

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

00 1 2 3 4 5

t(s)

Accelrazione(m/s^2)

Serie3

ao

t1 t2

• possiamo utilizzare questa relazione per determinare l’accelerazione in funzione del tempo.


Il segno dell’accelerazione

• Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che:– axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x:

• v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità)

– Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta

– Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore assoluto però diminuisce

– axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x:• v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità)

– Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce

– Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta.

• Possiamo concludere:– Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della

velocità aumenta.

– se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce.

axm =Δvx

Δt=

vx2 −vx1

t2 −t1con Δt >0


Conclusioni

• Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo

• Possiamo calcolarci la velocità: vx(t) la velocità in funzione del tempo

vx(t) =dx(t)dt

• E quindi l’accelerazione: ax(t) l’accelerazione in funzione del tempo

ax(t) =dvx(t)

dt

• Combinando le due espressioni:

ax(t) =dvx(t)

dt=

ddt

dx(t)dt

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

d2x(t)dt2

L’accelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo


Applicazione

Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0)

(1) x=3t (2) x=-4t2-2 (3) x=2/t2 (4) x=-2

a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante?

b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x?

a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4)

b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi (2) e (3). Infatti:

vx =dxdt

(1) vx =dxdt

=d(3t)dt

=3ms >0

(4) vx =dxdt

=d(−2)

dt=0 =0

(2) vx =dxdt

=d(−4t2 −2)

dt=−8tm

s <0

(3) vx =dxdt

=d(2

t2)

dt=

2 −2t( )t4 =

−4t3

<0


Applicazione

Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h.

Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno?

Qual è la velocità vettoriale media complessiva?

Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie

Indichiamo con Δt il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto.

Le distanze percorse nelle due parti sono:

d1 =v1Δt2

d2 =v2Δt2

La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo impiegato è Δt.

d=d1 +d2 = v1 +v2( )Δt2

vma=dΔt

=v1 +v2( )

Δt2

Δt=

v1 +v2

2=

55kmh+90km

h2

=72.5kmh


Applicazionecont.

Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari per percorrere le due metà sono:

Il tempo totale impiegato Δt per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei due tempi.

Δt =Δt1 +Δt2 =d2

v1

+d2

v2

vma=dΔt

=d

d2

v1

+d2

v2

=2v1v2

v1 +v2

=2x55km

h90kmh

55kmh +90km

h

=68.3kmh

Δt1 =d

2v1

Δt2 =d2

v2

La velocità vettoriale media complessiva è nulla.


Applicazionecont.

Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie

t

x

Δt Δt


Applicazione

La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dall’espressione x=3t-4t2+t3, ove x è in metri e t in secondi.

a) qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s?

b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4s?

c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s?

d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?

e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d).

a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nell’espressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti:

x(t) =3t−4t2 +t3

x(1s) =3x1−4x12 +13 =3−4+1=0m

x(2s) =3x2−4x22 +23 =6−16+8=−2m

x(3s) =3x3−4x32 +33 =9−36+27=0m

x(4s)=3x4−4x42 +43 =12−64+64=12m


Applicazionecont.

b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4s?

d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?

x(t) =3t−4t2 +t3

x(0) =3x0−4x02 +03 =0m

x(4) =3x4−4x42 +43 =12−64+64=12m Δx =x(4) −x(0)=12m−0m=12m

c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s?

vxm=ΔxΔt

=x(4s)−x(2s)

Δt=

12m− −2m( )2s

=7ms

vx(3s) =dxdt t=3s

=d 3t−4t2 +t3( )

dtt=3s

=d 3t( )dt

+d −4t2( )dt

+d t3( )dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

t=3s

=

= 3−8t+3t2( )t=3s

=3−8x3+3x32 =3−24+27=6ms


Applicazionecont.

e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d).


Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli effetti della contaminazione superficiale.

Vcilindro=Abaseh=πr2h

Scilindro=2Abase+Slaterale=2πr2 +2πrh=2πr2

hh

+2πrrrh

Scilindro=2Vh

+2Vr

=2V1h

+1r

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =2V

1r

rh

+1⎛ ⎝

⎞ ⎠ =2V

1r

ε+1( )

Vcilindro=πr2h=πr2rε

=πr3

ε⇒ r =

Vεπ

3

Scilindro=2Vπ

Vε3 ε+1( )=2V

πV

3⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ 1ε3 ε+1( )

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Applicazione


Applicazionecont.

Scilindro=2VπV

3⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ 1ε3 ε+1( )

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Abbiamo espresso la superficie del cilindro in funzione del suo volume e del rapporto tra il raggio e l’altezza

ε =rh

Poiché il volume del cilindro deve rimanere costante, deve contenere sempre la stessa massa, possiamo limitarci a studiare la dipendenza da .

f(ε) =1ε3 ε+1( ) =ε

−13 ε+1( )

La superficie sarà minima quando f() sarà minima.Abbiamo visto che nei punti di massimo o di minimo relativo derivata si annulla. Cerchiamo in cui df(ε)

dε=0


Applicazionecont.

Calcoliamoci la derivata:

Imponendo che la derivata sia nulla:

df(ε)dε

=0 ⇒ ε−1

3 23 −1

3ε−1( ) =0⇒ 2

3 −13ε−1

( ) =0

df(ε)dε

=ddε

ε−1

3 ε+1( )⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ =

=dε

−13

dεε+1( )+ε

−13 d ε+1( )

dε=

=−13ε

−43 ε+1( )+ε

−13 =−1

3ε−1

3 −13ε

−43 +ε

−13 =ε

−13 2

3 −13ε−1

( )

Da cui 2−ε−1 =0 ⇒ ε−1 =2 ⇒ ε =

rh

=12


Scilindro=2VπV

31ε3

ε+1( )⎛ ⎝

⎞ ⎠

f ε( ) =1ε3 ε+1( )

⎛ ⎝

⎞ ⎠

valore di ε al minimo ≈0.5

rh

=0.5 ⇒ h =2r =d

Applicazionecont.

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