GLOSARIO DE ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
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Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Ejemplo 14 x−8=12
Recordemos para solucionar una ecuación, para este caso lineal se debe dejar la X sin ningún número acompañante.
Podemos usar la propiedad de la igualdad para tal fin y consiste en realizar las mismas operaciones con las mismas cantidades en ambos lados o miembros de la ecuación.
4 x−8+8=12+8; 4 x=20
4 x4
=204
x=5
Ejemplo 28 x+92
−5=3 8 x+92
−5+5=3+5 8 x+92
=8
8 x+92
(2)=8(2) 8 x+9=16 8 x+9−9=8−9
8 x=−1 8 x8
=−18 x=−1
8
Ejemplo 3Hallar un número tal que su triple menos cinco sea igual a su doble mas dos.
Solución
Sea X el número dado luego:
3 x−5=2x+2
3 x−2 x=2+5
x=7
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Ejemplo 4Se reparten 170 pesos entre 3 personas de forma que la segunda recibe 25 pesos más que la primera y la tercera tanto como las otras dos juntas. ¿Cuánto recibe cada uno?
Solución:
Sea:
X la cantidad que recibe la primera
X + 25 la cantidad que recibe la segunda
X + X + 25 la cantidad que recibe la tercera
La ecuación queda
x+x+25+x+ x+25=170
4 x+50=170
4 x=170−50=120
x=1204
=30
La cantidad que recibe la primera es 30
La cantidad que recibe la segunda 30 + 25 = 55
La cantidad que recibe la tercera 30 + 30 + 25 = 85
85+55+30=170
Sistemas de ecuaciones de primer grado de 2 x 2
Ejemplo 15 x+2 y=4 ecuación 1
2 x−2 y=8 ecuación 2
Sumando la ecuación 1 y 2 miembro a miembro y cada término semejante
7 x=12 de donde x=127
. Reemplazo este valor en la ecuación 1 se tiene
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5( 127 )+2 y=4de donde2 y=4−607
=−327
de donde y=−327 (2)
=−167
y=−167
Ejemplo 23 x+ y=10 ecuación 1
x+2 y=10 ecuación 2
Despejo y en la ecuación 1
y=10−3 x luego la reemplazo en la ecuación 2
x+2 (10−3 x )=10de donde x+20−6 x=10 luego−5 x=10−20
x=−10−5
=2
x=2
Reemplazo este valor en la ecuación 1
3 (2 )+ y=10=¿6+ y=10entonces y=10−6
y=4
Ejemplo 3Problemas que se pueden resolver mediante un sistema de ecuaciones de 2 x 2
La suma de dos números es 20 y su diferencia es 10. ¿Cuáles son los números?
Solución
Sean x e y los números luego
x+ y=20
x− y=10
Se suman las dos ecuaciones
2 x=30 luego x=302
=15 se reemplaza este valor en la ecuación 1
15+ y=20entonces y=5
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Ejemplo 4Encontremos la velocidad de un bote, en aguas en reposo, y la velocidad de la corriente de un rio, sabiendo que tarda 3 horas en recorrer una distancia de 45 km aguas arriba y 2 horas en recorrer 50 km aguas abajo.
Solución:
Sean
x velocidad del bote en agua en reposo
y velocidad de la corriente
x - y velocidad en contra de la corriente
x + y velocidad a favor de la corriente
3 ( x− y )=45
2 ( x+ y )=50
3 x−3 y=45 si se simplifica quedax− y=15
2 x+2 y=50 si se simplifica queda x+ y=25
Si se suma las ecuaciones se tiene
2 x=40de donde x=20
Si se reemplaza en la ecuación 1
20− y=15 luego y=5
Ecuaciones de segundo grado
Ejemplo 1
3 x2+6x−8=0
Se determinan los valores de a, b y c
a=3b=6c=−8
Se aplica la fórmula general
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−6±√62−4 (3 )(−8)2(3)
=−6±√132
6=
−6±11.496
Se tienen dos soluciones
−6+11.496
=0.915
−6−11.496
=−2.915
Ejemplo 2
4 x2−10x+12=0
Se determinan los valores de a, b y c
a=4 b=−10c=12
Se aplica la fórmula general
−(−10)±√(−10)2−4 (4 )(12)2(4)
=10±√−92
8
No se tiene ninguna solución en los reales, ya que la raíz de una cantidad negativa no pertenece a los reales.
Ejemplo 3¿Cuáles son las medidas de un rectángulo si su área es 40 cm2 y su perímetro es 26 cm?
Solución:
Sea b la base, h la altura, se tiene:
2b+2h=26 yaque los l adossoniguales dedos endos
bh=40
Despejamos a b de la primera ecuación
b=26−2h2
=13−h la reemplazo en la ecuación dos
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(13−h ) h=40organizando13h−h2=40quedah2−13h+40=0
Se determinan los valores de a, b y c
a=1b=−13 c=40
Se aplica la fórmula general
−(−13)±√(−13)2−4 (1 )(40)2(1)
=13±√92
=13±32
Las soluciones son:
13+32
=8
13−32
=5
Reemplazando en la ecuación 2
b (5 )=40 por lo tanto b=8
b (8 )=40 por lotanto b=5
Los lados del rectángulo son 5cm y 8 cm
Ejemplo 4Un hombre es cinco veces tan viejo como su hijo y la suma de los cuadrados de sus edades es 2106. Encuentre sus edades.
Solución:
Sea X la edad del hijo
5x la edad del padre
x2+ (5x )2=2106 luego x2+25x2=2106
26 x2=2106 se tiene x=√ 210626 =±9
Las edades son 9 años y 45 años. El valor negativo no se toma porque se trata de edades.
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Funciones trigonométricas
Ejemplo 1Para el siguiente triángulo rectángulo halle las razones trigonométricas
Determinamos el valor de la hipotenusa
H=√32+52=√34 se definen op = 5 ady = 3
Las razones son
Sen A= 5
√34 cos A= 3
√34 tan A=5
3
cot A=53 Sec A=√34
3 Csc A=√34
5
Ejemplo 2Para el siguiente triángulo rectángulo halle las razones trigonométricas
Determinamos el valor del otro cateto
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c=√102−62=8 se definen op = 6 ady = 8
Las funciones son
Sen A= 610
cos A= 810
tan A=68
cot A=86
Sec A=108
Csc A=106
Aplicaciones
Ejemplo 3Desde un punto de observación los ángulos de depresión de dos botes alineados son 30° y 45°. Encuentra la distancia entre los dos botes si el punto de observación está a una altura de 400 m.
La distancia AB es el cateto opuesto y 400m es el cateto adyacente. Se busca una función que los contenga a ambos, es la tangente.
tan 45 °= AB400m
entonces AB=400m tan 45 °=400m
La distancia BC es el cateto opuesto y 400m es el cateto adyacente. Se busca una función que los contenga a ambos, es la tangente.
tan30 °= BC400m
entonces BC=400m tan30 °=230.94m
Sumamos las distancias 400m + 230.94m= 630.94m
Ejemplo 4El punto de anclaje de un cable que sujeta un poste se encuentra a 12m de éste y lo une con su parte más alta. Si el ángulo que forma el cable con el suelo es de 30º, determine el largo del cable.
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Observando el triángulo que se forma se tiene que 12m es el cateto adyacente y el cable es la hipotenusa.
cos30 º=12mH
de donde H=12m cos30 º
H= 10.392m que es la medida del cable
Funciones trigonométricas de ángulos generales Ejemplo
Un ángulo está en posición normal y su lado terminal está en (3, –4). Determine el valor de las funciones trigonométricas.
Por definición el valor de X representa el cateto adyacente y el valor de Y representa el cateto opuesto. Se necesita determinar el valor de la hipotenusa. Este ángulo tiene su lado terminal en cuadrante IV.
H=√32+(−4 )2=5
Las funciones son
Sen∅=−45
cos∅=35 tan∅=−4
3
cot∅= 3−4 Sec∅=5
3 Csc∅= 5
−4
Identidades trigonométricas
Demostrar la siguiente identidad
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cot A+ sen A1+cos A
≡Csc A
Reemplazamos en función de seno y coseno
cos ASen A
+ Sen A1+cos A
≡1
Sen A
cos A+cos2 A+Sen2 ASen A(1+cos A )
≡1
Sen A
se sabeque Sen2 A+cos2 A=1
cos A+1Sen A(1+cos A)
≡1
Sen A
cancelando cos A+1queda
1Sen A
≡1
Sen A
Demostrar la siguiente identidad
Sen ACsc A
+ cos ASec A
≡1
Reemplazamos en función de seno y coseno
Sen A1
Sen A
+ cos A1
cos A
≡1
Sen2 A+cos2 A ≡1 que es la identidad fundamental
Ley de los senos
Ejemplo 1Utiliza la ley de los senos para resolver los siguientes triángulos
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Se nombran los lados y los ángulos
Aplicamos la ley de senos
Sen Bb
=Sen Aa
=SenCc
Reemplazamos los valores que se tienen
Sen 40°6
=Sen A12
=SenCc
Se observa que se debe tomar los dos primeros términos y despejamos Sen A y luego el ángulo
12∗Sen40 °6
=Sen A de donde Sen A=1.439
De lo anterior se puede concluir que el triángulo no se puede construir realmente ya que el valor del seno es mayor que 1.
Ejemplo 2
Se nombran los lados y los ángulos
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Aplicamos la ley de senos
Sen Aa
= SenBb
=SenCc
Reemplazamos los valores que se tienen
Sen A12
= Sen30 °b
=SenC15
Se observa que no es posible resolver este triángulo ya que ningún par de términos queda con una incógnita, quedan con dos.
Supongamos que el valor del lado c corresponde a b con lo que queda
Sen A12
= Sen30 °15
=SenCc
Despejamos a Sen A de los dos primeros términos y luego el ángulo
12∗Sen30°15
=Sen A , dedonde Sen A=0.4 luego A=Sen−1 (0.4 )=23.58 °
Con el valor de los ángulos A y B se puede determinar el ángulo C
C=180 °−30 °−23.58 °=126.42 °
Ahora se determina el valor de c
0.412
=Sen126.42 °c
se tiene c=12∗Sen126.420.4
=24.14
Realizamos una tabla para comprobar que a mayor ángulo se opone mayor lado
Angulo A = 23.58° Lado a = 12Angulo B = 30° Lado b = 15Angulo C = 23.58° Lado c = 24.14
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Comprobamos que es cierto
Ley de cosenos
Ejemplo Resuelve el siguiente triángulo. Utiliza la ley de cosenos
a=√b2+c2−2bcCosA
Nombramos los lados
Reemplazamos los valores para determinar el valor de b
b=√a2+c2−2acCosB=√122+152−2 (12 ) (15 ) cos30 °=7.57
Hallemos el valor del ángulo A
122=7.572+152−2 (7.57 ) (15 )cos A
cos A=7.572+152−122
2 (7.57 ) (15 )=0.61
A=cos−1 (0.61 )=52.48°
Ahora hallamos el valor de C
C=180 °−30−52.48°=97.52 °
Realizamos una tabla para comprobar que a mayor ángulo se opone mayor lado
Angulo B = 30° Lado b = 7.57
![Page 15: GLOSARIO DE ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55721109497959fc0b8e2f49/html5/thumbnails/15.jpg)
Angulo A = 52.48° Lado a = 12Angulo C = 97.52° Lado c = 15
Aplicaciones
Se desea determinar la distancia entre el punto A y el punto B y entre el punto A y el punto C observe el gráfico.
Determinamos si es posible usar la ley de senos, pero primero se determina el valor del ángulo A
A=180°−40 °−55 °=85°
Sen Aa
= SenBb
=SenCc
Sen85 °30m
=Sen40 °b
=Sen55 °c
Se usa la primera pareja, primero y segundo término, y se determina b
b=30mSen 40 °Sen85 °
=19.35m
Se usa la segunda pareja, tercer y segundo término, y se determina c
c=19.35m Sen55 °Sen40 °
=24.65m