Universit`adegliStudidiRomaLaSapienzaFACOLT`ADIINGEGNERIAAERONAUTICAEDELLOSPAZIOCorsodiLaureaMagistraleinIngegneriaaeronauticaAnalisidelladinamicadivolodiunalianteCandidato:MatteoPiccione&AlessandroMenissaleGruppo#21Matricola11638911199741AnnoAccademico2011-2012iI NDI CEElenco delle gure v1 i Ntncntzi cNr 11.1 Modello Semplicato del modo fugoide: Approccio sicodi Lanchester 21.2 Modello matematico del volo librato 31.3 Modello dinamico semplicato del volo librato 42 sttni c nrtt/ ni N/vi c/ 72.1 Ambiente Simulink 72.2 Confronti traiettoria e velocit 102.3 Confronti angolo di rampa 122.4 Fattore di carico 133 ccNcttsi cNi 17Bibliograa 19iiiEL ENCO DEL L E FI GUREFigura 1 Diagrammadequilibriodel velivoloinvololibra-to 3Figura 2 Ambiente Simulink 7Figura 3 Schema a blocchi per la soluzione del sistema 8Figura 4 Schema a blocchi per la soluzione di volo librato 9Figura 5 Traiettoria nel caso di volo rovescio 9Figura 6 Odografa nel caso di volo rovescio 9Figura 7 Traiettoria nel caso di picchiata verticale 10Figura 8 Odografa nel caso di picchiata verticale 10Figura 9 Confronto tra soluzione traiettoria statica e dinami-ca volo rovescio 10Figura 10 Confronto tra soluzione traiettoria statica e dinami-ca picchiata 11Figura 11 Confronto tra odografa statica e dinamica volo ro-vescio 11Figura 12 Confrontotraodografastaticaedinamicavoloinpicchiata 11Figura 13 in funzione del tempo: volo in picchiata vertica-le 12Figura 14 in funzione del tempo: osservazione T=49 picchia-ta verticale 12Figura 15 in funzione del tempo: volo rovescio 13Figura 16 infunzionedel tempo: osservazioneT=49volorovescio 13Figura 17 Fattore di carico normale a confronto T=10 15Figura 18 Fattore di carico tangenziale a confronto T=10 15Figura 19 Fattore di carico normale a confronto T=49 16Figura 20 Fattore di carico tangenziale a confronto T=49 16Figura 21 Osservazione traiettoria T=49 nel caso di picchiataverticale 18Figura 22 Osservazione traiettoria T=49 nel caso di volo rove-scio 18v1I NTRODUZI ONECome si potuto osservare durante lo svolgimento del corso, si vistocomelequazionecaratteristicadelsistemalongitudinaledescrivadelledinamiche che nel caso convenzionale (ovvero per valori non troppo bassidel margine statico e delCmn), sono disaccoppiate: modo fugoide e mododi corto periodo. In particolare il primo una dinamica di traiettoria nellaqualevienesostanzialmentemodicatalavelocit, mentreilsecondouna dinamica di assetto in cui il velivolo ruota attorno al suo baricentromantenendolavelocitcostante. Quindi si puriscriverelequazionecaratteristica del sistema longitudinale separando le due dinamiche:s4+a1s3+a2s2+a3s +a4== (s2+2spnsps +2nsp) (s2+2phnphs +2nph) (1.1)Nellipotesichequestedinamichesianodisaccoppiaterisultaleggitti-mo formulare dei modelli di ordine ridotto i quali dovrebbero ragionevol-mente descrivere le stesse dinamiche. Tali modelli ridotti servono sostan-zialmente a capire da cosa dipendono le caratteristiche di tali dinamiche,cio da quali parametri del velivolo.Per formuare tali modelli si possono seguire due strade:laprimaconsistenellosservarelequazionecaratteristicaesegliautovalori che voglio osservare sono molto piccoli, possibile tra-scurare il termine di quarto grado in s. In sostanza questo primoapproccio non prende in considerazione elementi sici, ma pi chealtro lordine di grandezzadegli autovalori e sulla base di questotrascura i termini di ordine elevato che risultano molto piccoli;laltroapprocciosviluppainveceunmodelloapprossimatosullabase di certi elementi sici.1i Ntncntzi cNr+.+ vcnrttc srvrti ri c/tc nrt vcnc rtcci nr:/rrnccci c ri si cc ni t/NcurstrnSappiamo che loscillazione di lungo periodo avviene ad un angolo diattacco costante: = 0 CLe= costQuindi possiamo assumere costante il coefciente di portanza duranteloscillazione. Laltraipotesi introdottadaLanchesterchelosmorza-mentosiatrascurabile; infatti talemodocaratterizzatodaunvaloremolto basso dello smorzamento. Ci corrisponde al fatto che istante peristante la spinta eguaglia la resistenza e che quindi lenergia meccanicasia costante:D = T E = costIl velivolo oscilla attorno a una quota di equilibriohE. Lungo la traiet-toria variano quota e velocit di volo. La variabilezE indica la posizionedelvelivolorispettoallaquotadiriferimentohEedpositivaversoilbasso. Quindi lenergia meccanica:E = cost 12mV2mgzE=12mV2eda cui ricaviamo:V2= V2e+2gzEda cui si vede che se il velivolo si trova pi in basso rispetto alla quotadi equilibrio la velocit aumenta, viceversa se si trova pi in alto (perchzE positiva verso il basso). Scriviamo quindi le equazioni del moto:m zE= WL = W12V2SCLeSostituisco lespressione di V2e ottengo:m zE= W12V2ESCLegZESCLeed essendo:W=12V2eSCLeRimane:2+.z vcnrttc v/trv/ti cc nrt vctc ti sn/tc zE= gZESCLem m zE+gZESCLe= 0 (1.2)e con la posizione:nph=

gSCLeme ricordano inoltre che allequilibrio vale:CLe=2mgSV2e nph=

SgCLem2mgSV2e2gVeSi vede che il periodo del modo fugoide direttamente proporzionaleaVe. Quindi tanto pi vado veloce tanto pi il periodo delloscillazioneaumenta. Quindi la frequenza inversamente proporzionale alla velocitdi volo.+.z vcnrttc v/trv/ti cc nrt vctc ti sn/tcFigura 1: Diagramma dequilibrio del velivolo in volo libratoIl volo librato avviene in assenza dellazione propulsiva,pertanto du-ranteil motoil velivolodiminuiscelapropriaenergiameccanicanelrispetto delladHdt=Wdove si poned=0. Questo il caso di un aliante o di un qualsiasivelivolo che esegue planate con i motori inoperativi.V= 1mD3i Ntncntzi cNr =LsinScos mV cos =Lcos +SsinWmV x = V cos cos y = V sincos h = V sin+. vcnrttc ni N/vi cc srvrti ri c/tc nrt vctcti sn/tcIn questa esercitazione richiesto di determinare la traiettoria di volodi un aliante utilizzando il modello dinamico semplicato, in forma non-dimensionale, consistenteilsistemadiequazionidelprimoordinenonlineare qui di seguito riportato:dUdt= A(U2+W2)1/2(WBU) (1.3)dWdt= 1 A(U2+W2)1/2(U+BW) (1.4)dXdt= U (1.5)dZdt= W (1.6)Dove A e B rappresentano:A =12v2oSCLmgB =1E=CDCLCon le condizioni iniziali:X(0) = Z(0) = 0 (1.7)4+. vcnrttc ni N/vi cc srvrti ri c/tc nrt vctc ti sn/tcU(0) = cos 0(1.8)W(0) = sin0(1.9)Avendo denito le grandezze di riferimento:v= vot=vogl=v2oge conseguentemente le grandezze adimensionali:U =uvW=wvT=ttX =xlIn particolare si vogliono studiare due casi: il primo in cui il velivoloparte da una manovra di picchiata, il cui angolo di rampa 0 pari a 90,e un altro caso in cui si studia levoluzione della dinamica partendo dauna condizione di volo rovescio, il cui angolo di rampa0 pari a 180.InentrambiicasivienerichiestodiporreivaloridiAeBsecondolaregola:B = 0, ##(# numero gruppo)A = 1, #(# secondo numero gruppo)52STUDI O DEL L A DI NAMI CAz.+ /vsi rNtr si vtti NkPer quanto riguarda lintegrazione delle equazioni del moto, viene ri-chiesto di utilizzare il metodo di Runge-Kutta al quarto ordine, con passodi integrazione T= 0.05 e durata totale dellosservazione pari a 10 unit.Per la risoluzione del sistema di equazioni differenziali descritto prece-dentemente, abbiamo utilizzato allintero del software Matlab il toolboxSimulink. Ambiente SimulinkSimulink un ambiente di calcolo, il quale permette, attraverso un ef-caceinterfacciautente, dipotergenerareunoschemaablocchiperlarisoluzione numerica di problemi statici e dinamici. Lambiente si presen-ta suddiviso in due strutture fondamentali quella di sinistra in cui sonopresenti le librerie contenenti i blocchi e quella di destra dove inserirli perpoi costruire il modello da simulare.Figura 2: Ambiente SimulinkLapossibilitquindidivisualizzaredirettamenteilcodicedicalcolo,agevolanotevolmentelacreazionedi unmodellomatematicochesod-dis le esigenze preposte. Nellambito dellesercitazione era richiesto larisoluzione del sistema di equazioni differenziali al primo ordine, costi-7sttni c nrtt/ ni N/vi c/tuito da due condizioni cinematiche e da due relazioni cinetiche. A talescopo stato realizzato il circuito riportato in gura 3.Figura 3: Schema a blocchi per la soluzione del sistemaInseguitoattraversolacreazionediunleplotter.m(inlinguaggiomatlab) abbiamo messoa confronto le soluzioniottenute tramite il mo-dello dinamico (oscillatorio) di volo librato e quelle ottenute dal modellorelativo al moto rettilineo nel piano verticale 4.8z.+ /vsi rNtr si vtti NkFigura 4: Schema a blocchi per la soluzione di volo libratoIgraciriportatisiriferisconorispettivamenteallacongurazioneinVolo rovescio e Picchiata verticaleFigura 5: Traiettoria nel caso di volo rovescioFigura 6: Odografa nel caso di volo rovescio9sttni c nrtt/ ni N/vi c/Figura 7: Traiettoria nel caso di picchiata verticaleFigura 8: Odografa nel caso di picchiata verticalez.z ccNrncNti tn/i rttcni / r vrtcci t/Al ne di completare lanalisi della dinamica dassetto abbiamo dovutoconfrontare i risultati ottenuti con quelli relativi al caso statico. Le gu-re 9, 10, 11 e 12 illustrano le differenze tra la soluzione statica e quelladinamica.Figura 9: Confronto tra soluzione traiettoria statica e dinamica volo rovescio10z.z ccNrncNti tn/i rttcni / r vrtcci t/Figura 10: Confronto tra soluzione traiettoria statica e dinamica picchiataFigura 11: Confronto tra odografa statica e dinamica volo rovescioFigura 12: Confronto tra odografa statica e dinamica volo in picchiata11sttni c nrtt/ ni N/vi c/z. ccNrncNti /Ncctc ni n/vr/Vengono riportati i graci relativi alla variazione dellangolo di rampaper le due congurazioni di volo. Insieme a questi stato riportato lan-damentodellangolodirampaperilvololibrato. Lobiettivodiquestoconfronto di stabilire la congruenza del modello dinamico con quello divolo librato.(13, 14, 15 e 16).Figura 13: in funzione del tempo: volo in picchiata verticaleFigura 14: in funzione del tempo: osservazione T=49 picchiata verticale12z. r/ttcnr ni c/ni ccFigura 15: in funzione del tempo: volo rovescioFigura 16: in funzione del tempo: osservazione T=49 volo rovescioz. r/ttcnr ni c/ni ccAvendo precedentemente denito le costanti A e B come:A =12v2oSCLmgB =1E=CDCL13sttni c nrtt/ ni N/vi c/Partendo dallespressione del secondo coefciente, esprimiamo la leggedi variazione dei fattori di carico tangenziale e normale.B =CDCL=CD/WCL/W=nxnzRiprendendo la denizione di carico normale in volo livellato risulta:nz=LW=12v2oSCLmg(2.1)Adimensionalizzando rispetto alla velocit di riferimento:nz=12v2SCLmgv2ov2o= AV2(2.2)nx= Bnz(2.3)Cos come viene espresso nella 2.2, il coefciente A rappresenta il fatto-re di carico normale nelle condizioni iniziali. Il coefciente B invece puessereinterpretatocomelinversodellefcienzaaerodinamica; maggio-re tale coefciente e minore sar lefcienza aerodinamica dellaliante.Questo va ad incidere sullo smorzamento del moto con conseguente ri-duzione del transitorio. Riportiamo quindi i graci relativi alle variazionidel fattore di carico in funzione del tempo (gure 17, 18, 19 e 20).Come era prevedibile, il fattore di carico massimo si ha nella dinamicarelativaadunacondizioneinizialedivolorovescio, inquantodurantela manovra ( in particolare allinizio della stessa), le componenti di forzapesoeportanzasiallineanoperuncertoperiododitempoeagisconosul velivolo imprimendogli unaccelerazione maggiore e di conseguenzaunamaggiorevelocitnellafasedirichiamata. Lostessodiscorsopuesserefattoanchedaunpuntodi vistaenergetico, inquantodurantela manovra di assestamento che inizia dal volo rovescio c una perditadi energia potenziale maggiore e quindi il mezzo acquisisce una energiacinetica maggiore, portando a delle conclusioni identiche al discorso pre-cedente. Inoltreinteressantenotarecomeilperiododelleoscillazioninel caso di volo rovescio superiore al caso di volo in picchiata verticale,coerentemente a quanto illustrato nellintroduzione, data la dipendenzadi nphdalla velocit di volo.14z. r/ttcnr ni c/ni ccFigura 17: Fattore di carico normale a confronto T=10Figura 18: Fattore di carico tangenziale a confronto T=1015sttni c nrtt/ ni N/vi c/Figura 19: Fattore di carico normale a confronto T=49Figura 20: Fattore di carico tangenziale a confronto T=49163CONCLUSI ONIDallosservazione dei graci possibile concludere che:Rispetto al modello dinamico rimangono valide le ipotesi di motoad angolo di attacco costante, quindiCLcostante. Mentre a causadellelevato coefciente di smorzamento (B=0.21) non possibiletrascurare le perdite di energia del sistema.Comesi potevaintuiredatoil valorerelativamentebasso(E =4, 7619048) dellefcienza aerodinamica la dinamica del sistema ri-sulta essere sufcientemente smorzata. Questo risultato partico-larmente evidente nella gura 10, nella quale il velivolo esegue unapicchiata verticale e stabilizza il proprio moto raggiungendo la solu-zione stazionaria allinterno dellintervallo preso in considerazione.Per quanto riguarda invece la congurazione di volo rovescio, si os-servacomelacondizioneinizialeportiadunaperditadienergiamaggiore, anche se la frequenza di smorzamento sostanzialmentepoco diversa dalla precedente (risultato coerente con lespressionedella nphriportata nellintroduzione).Aumentando il tempo dosservazione si pu apprezzare come il mo-dello dinamico, avvicinandosi alla soluzione stazionaria, tenda adassumere un andamento pressocch parallelo al caso statico. Le so-luzioni nel piano odografo invece risultano essere sostanzialmentecoincidenti.Come si vede nelle gure 21 e 22, e considerando inoltre la simili-tudine del modello dinamico 1.2 con un modello di oscillatore ar-monicodicostanteelasticaK=SCLg, ilmotooscillatoriotendeasintoticamenteallasoluzionestatica, equestoderivadallazioneelasticaesercitatadallaconservazionedellenergiameccanica. Sipu osservare come questa considerazione trovi riscontro con il fat-to che, se laeromobile si trova al di sotto della quota di equilibrio,17ccNcttsi cNisubisce un aumento di velocit corrispondente ad unazione di ri-chiamo (elastico), la quale si traduce in un aumento di portanza equindi di quota.Comemostratonellegure13, 14, 15e16, ilvaloreastazionariodellangolorisultaessereidenticoaquellodel modellodi vololibrato. Tranne che per un intervallo di tempo (da0 a15 circa), incui si hannoimportanti oscillazioni dellangolodi rampa, si puritenere che il moto avvenga a costante sia per la congurazionedi volo rovescio che per la picchiata verticale.Figura 21: Osservazione traiettoria T=49 nel caso di picchiata verticaleFigura 22: Osservazione traiettoria T=49 nel caso di volo rovescio18BI BL I OGRAFI A[1] Nicola De Divitis, Analisi del volo librato, Dispense del corsodiMeccanicadel Volo, UniversitLaSapienzadi Roma, NicolaDeDivitis[2] Guido De Matteis, Modelli dinamici semplicati, Appunti del corso diDinamica del Volo, Universit La Sapienza di Roma19