Gli studi fluidodinamici di Laboratorio: la teoria della...
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1
Gli studi fluidodinamici di
Laboratorio: la teoria della
similitudine e la vasca rotante
Manfrin Massimiliano - Dipartimento di Fisica - Università di [email protected]
2
Fenomeni con scale spazio-temporali diverse
Fenomeni naturali (prototipo) e riproduzioni
in laboratorio (modello)
Come far sì che lo studio di laboratorio sia
rappresentativo del prototipo naturale?
3
Importanza di poter riprodurre i fenomeni
naturali in laboratorio:
- Maggiore possibilità di controllare le condizioni
sperimentali e al contorno;
- Possibilità di eliminare o ridurre l’importanza di alcune
delle forze (analisi di scala) in azione potendo così scindere
il problema in sottoproblemi di più semplice interpretazione;
- Possibilità di variare alcuni parametri per verificarne
l’influenza/importanza.
- Ripetibilità dell’esperimento;
4
• Si dice che esiste similarità fra due quantità quando è possibile metterle in relazione attraverso una costante adimensionale (indipendente dal sistema di coordinate)
Teoria della similitudine
La tecnica della Similitudine
5
Permette attraverso opportune trasformazioni (dette di similarità), di proiettare, in modo quantitativamente rigoroso e riproducibile,
l’evoluzione reale di un processo fisico a scala naturale (“prototipo naturale”) sull’evoluzione del medesimo processo, rappresentato però su
una scala ridotta ( “modello”).
Nella riproduzione dinamica su modello di un fenomeno naturale occorre che il pattern del flusso nel prototipo sia una copia ingrandita e non distorta del “pattern” del flusso nel modello.
6
Si ha similitudine geometrica fra due sistemi quando è
possibile far coincidere uno di essi con l’altro mediante un opportuno cambiamento di unità di misura delle
lunghezze (è la meno importante fra le similitudini
possibili).
Si dice che due “oggetti” sono cinematicamente simili se è
possibile trovare due SR, tali che gli “oggetti” siano
geometricamente simili per ogni t e che il rapporto di similitudine
geometrica sia indipendente da t.
Se le rispettive
masse stanno fra loro in un rapporto
costante µ, allora essi sono anche
materialmente simili
7
Se è possibile istituire una corrispondenza biunivoca fra i materiali di due sistemi e fra istanti omologhi di tempo tali per cui essi presentino contemporaneamente similitudine materiale e cinematica, allora i due sistemi si dicono dinamicamente simili.
Un opportuno cambiamento di unità di misura
fondamentali (M, L, T ad esempio) permette
di trasformare le equazioni del moto (e le
condizioni al contorno) di un sistema in quelle
dell’altro.
8
è necessario che, in corrispondenza di punti
geometricamente similari, le forze agenti sulle
particelle siano in rapporti fissi ad istanti
omologhi di tempo
Per avere similarità dinamica
Se esiste similarità dinamica fra due processi fisici, è possibile trasferire i risultati ottenuti per il primo al secondo, e viceversa.
9
Questa metodologia fornisce gli ordini di grandezza dei vari termini delle equazioni attraverso dei coefficienti numerici i cui valori variano al variare delle scale su cui si considerano i processi.
Praticamente la procedura richiede che le equazioni in esame vengano adimensionalizzatetramite gli opportuni parametri di scala.
Lo scaling permette anche di valutare l’importanza relativa dei vari termini che vi compaiono e di procedere quindi a semplificazioni (trascurare le quantità meno rilevanti analisi di scala).
10
In tal modo le equazioni complete che, per quel problema, conterrebbero “piùinformazioni del necessario”, vengono ridotte a forme limite più semplici, dalle quali è poi possibile capire se la scelta delle grandezze di scala é stata, o meno, più appropriata dal punto di vista fisico (attenzione!! La scelta iniziale può non essere corretta)
Con particolare riferimento alle equazioni dinamiche è possibile individuare la seguente procedura per l’adimensionalizzazione.
11
1) Si scelgono le grandezze di scala per ciascuna variabile (spesso rappresentate da gradienti o da differenze). Esse possono anche essere differenti per ciascuna dimensione spaziale cosicché alcune direzioni del modello possono risultare contratte o dilatate rispetto a quelle corrispondenti del riferimento iniziale.
Normalmente la scelta più corretta sarà quella che darà grandezze adimensionali il cui ordine di grandezza si avvicini maggiormente all’unità.
12
2) Si effettua l’adimensionalizzazione e si normalizza l’equazione così ottenuta per quella quantità che riduce all’unità il coefficiente che moltiplica il termine ritenuto più importante nel problema in oggetto.
2 bis) Gli altri coefficienti, che moltiplicano i termini dell’equazione, rappresentano ora i rapporti delle forze
caratteristiche rispetto a quella evidenziata come
fondamentale; la loro grandezza è indice della importanza (o trascurabilità) del termine ad essi
corrispondente.
13
Può accadere che uno dei parametri adimensionatiassuma un valore estremo ( 0, ∞): l’equazione assume una forma limite, cancellando, nel primo caso, il termine corrispondente oppure trattenendo, nel secondo, solo lui (caso di più semplice soluzione, ma contenente ancora la fisica essenziale del problema).
Le operazioni elencate possono dar luogo a leggi approssimate che valgono in certe regioni e non in altre. Occorre pertanto interpretare con cautela i risultati ottenuti e confrontarli sempre con l’esperienza nel prototipo.
14
Esempio
10 °δTFluttuazione di
temperatura
Scala spaziale
orizzontaleL 106 m
Scala spaziale
VerticaleH 104 m
Scala di velocità
orizzontaleU 10 m/s
Scala di velocità
verticaleV 10-2 m/s
Scala temporale t=L/U 105 s
Fluttuazione
orizzontale di
pressione
∆hP 10 hPa
Parametro di
Coriolisf0=2Ωsin45° 10-4 s-1
ugpUxuut
u
dt
ud rrrrrrrr
2*1
2)( ∇++∇−Ω−=∇•+∂
∂=
ρ
µ
ρ
'Re
1*
1'
'
1''
2')'(
'
'
'
' 2
2ug
FrpUx
Rouu
t
u
dt
ud rrrrrrrr
∇++∇−Ω−=•∇+∂
∂=
ρ
•g* valutata nell’approssimazione di Boussinesq
rr
r
L
URo
Ω=
2
1Fr
=
o
rr
r
T
TLg
U
δ
νrr LU
=Re
TT
gδ
0
=
15
2
1Fr
≡
o
R
R
T
TLg
U
δ
Numeri adimensionali
Importanza termini inerziali rispetto a Coriolis
Importanza termini inerziali rispetto a galleggiamento
NUMERO DI EKMAN:
LU
L
U
Coriolisforza
avisforzaEk
Ω=
Ω∝=
νν2
_
cos_
NUMERO DI ROSSBY:
L
U
U
LL
U
Coriolisforza
inerzialeforzaRo
Ω=
Ω
∝=
µ
2
_
_
Importanza termini viscosi rispetto a Coriolis
νµ
ρ
µ
ρUddU
x
u
x
uu
attritodForze
inerziadForze=≡
∂
∂
∂
∂
==
2
2'
'Re
NUMERO DI FROUDE DENSIMETRICO
NUMERO DI REYNOLDS
Importanza termini inerziali rispetto a forze viscose.
16
• Circolazione termoalina (sistema climatico, passato presente, futuro): problematica dello sprofondamento delle acque per aumentata densità (temperatura, salinità); downwelling e upwelling.
• Microburst atmosferici (sicurezza voli aerei)
Esempi applicativi
• Strutture atmosferiche a scala sinottica e a mesoscala;
• Micrometeorologia e turbolenza (strato limite planetario);
• Dispersione degli inquinanti;
• Circolazione polare planetaria;
• …………………
18
Tempo scala
Gradiente Buoyancy
w ~ 0.03 m/sVelocità verticale scala w ~10 m/s
gg
~ 0.2 mAltezza scala H ~1500 m
Modello di Labprototipo
300
7=
∆
T
T
sw
H150≈=τ
300
5.0=
∆
T
T
sw
H7≈=τ
Fr~0.52
1Fr
≡
o
R
T
THg
w
δ Conservazione del
numero densimetricodi Froude
19
Necessità per gli studi in laboratorio di avere anche
apparecchiature rotanti.
Perché una vasca rotante ?
Sulla Terra i processi atmosferici che
coinvolgono i fluidi (atmosfera e oceano)
si svolgono in un sistema di riferimento
rotante.
Presenza della forza di Coriolis: agisce
solo su una particella in moto perturban-
done la direzione del vettore velocità, ma
non il modulo.
Forza particolarmente importante su grandi scale e per alte velocità.
20
•Numero di Rossby:importanza della rotazione
rispetto alle forze
inerziali[U/(f*L)];
•Numero di Reynolds: importanza
della viscosità [UL/υ]
U velocità di scala f frequenza di rotazione L lunghezza di scala
21
Ad esempio, a scala sinottica, alle medie latitudini, si ha:
U= 10 m/s L= 1000 Km f=10-4
Ro=0.1
Se si vuole riprodurre su
scale di laboratorio tale
moto, ridu-cendo la
velocità a 0.1 m/s e la
lunghezza a 10 m, f deve
diventare 0.1: la rotazione
deve essere rapida (1 giro
in 10 secondi).
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1 Mikrotron (8 bit) 1-500 Hz a piena
risoluzione (1280x1024);
501- 1000 Hz at 1/2 ris……
2 Dalsa 1M60P: 1-60 Hz
1024x1024
12-10-8 bit
2 Dalsa 4M60P: 1-60 Hz
2352x1728
10-8 bit
DiametroDiametro vascavasca 5 m5 m
AltezzaAltezza massimamassima acquaacqua 0.8 m0.8 m
VelocitVelocitàà rotazionerotazione 00--20 rpm20 rpm
Il moto della vasca è generato
da un motore elettrico ed il
sistema di rotazione si basa
sulla tecnologia del velo
d’olio ad alta pressione che
riduce gli attriti e le vibrazioni.
23
I flussi nella vasca possono essere generati con pompe
oppure, in generale con migliori risultati, variando
bruscamente il periodo di rotazione dello strumento dopo
che si è ottenuta la condizione di rotazione solida
Tini > Tfin spin-down Tini < Tfin spin-up
Il flusso risultante ha una velocità che decresce
esponenzialmente nel tempo e il cui valore massimo
(in funzione della distanza r dal centro) è dato da:
Umax=2π ABS(1/Tfin-1/Tini)r
Il moto
24
Ogni camera può montare obiettivi standard e anelli di
prolunga utili per cambiare le focali con conseguente
cambio della profondità di fuoco e della grandezza del
campo.
Obiettivi: da 35 mm a 180 mm (di tipo speciale, ad alta
luminosità).
Le 4 camere Dalsa possono essere usate a coppie
sincronizzate per acquisizioni stereo.
25
Processing cluster: 28 core per
calcolo parallelo e un server (11 Tb
di spazio disco in raid 6)
Rete a 1 Gbit per la connessione
con i pc di acquisizione.
2 sistemi di acquisizione con
registrazione direttamente su HD
Laser a diodi allo stato solido (max 15
W): verde e continuo
Lama laser sia orizzontale che
verticale (uscente dal pavimento
per una minor dispersione della
luce).
Spessore lama di circa 0.3 cm (sul
canale).
Possibilità di lame di diversa
grandezza usando differenti lenti.
26
Aspetto unico: canale di vetro sul fondo che permette creazione
di lame verticali potenti e ben definite.
27
Permettono misure quantitative
Densità =1.03 g/cm3
Diametro: 5-1000 micron
Necessitano di agente bagnante
per renderle sospensibili
Buona riflettività Forma simil-
sferica
Economiche
PIV=Particle Image Velocimetry
Approcci sperimentali
Le più piccole (5-10 micron) rimangono in
sospensione, in acqua dolce, per alcune
decine di ore; quelle di grandi dimensioni
(1000 micron) per qualche minuto.
Particelle (PIV)Inchiostri (LIF)
Permettono misure qualitative
Gestione molto più semplice e
veloce
Normali o fluorescenti
LIF=Laser Induced Fluorescency
28
Tra le due immagini è
necessario che le
particelle si spostino di
alcuni pixels.
x x
z
Lo spostamento
osservato dipende da
frame rate di acquisizione
e dalla velocità del fluido.
Vengono computati
anche alcuni flag
associati ad ogni vettore
che ne caratterizzano la
qualità.
Dal massimo di correlazione si
ricava lo spostamento più
probabile e conseguentemente
il vettore della velocità (utilizzo
di algoritmi di interpolazione
subpixel)
PIV
29
Cross – correlazione
t
t +∆t
Processo che può (spesso deve) essere iterato più volte per raffinare
l’analisi con l’uso dei risultati ottenuti in precedenza come “first
guess”.
30
Per migliorare l’analisi risulta necessario filtrare il campo vettoriale ottenuto,
in modo da scartare i vettori errati : confronto della consistenza di ogni
vettore con un suo intorno.
I vettori filtrati vengono scartati. Essi sono sostituiti attraverso processi di interpolazione effettuati mediante spline.
• l’acqua non del tutto limpida;
• la lama laser non perfettamente omogenea;
• immagini poco luminose;
Le principali fonti d’errore possono essere:
• problemi di parallasse e disposizione delle telecamere,• agglomerazione delle particelle.
• non buona messa a fuoco;
31
Esempio di realizzazione sperimentale bidimensionale
Schematizza-
zione dell’interazione
di un flusso con un ostacolo.
32
Risultati dell’analisi:
L’informazione data dall’immagine è in pixel, ma il numero di questi dipende strettamente
dal tipo di obiettivo e le equazioni del moto sono espresse in unità fisiche.
Necessità di calibrazione
33
La ricostruzione del campo delle velocità, attraverso esperimenti con
ripresa monoscopica, non consente di aver informazioni sulla terza
componente della velocità del fluido.
Può essere ricostruita geometricamente disponendo 2 telecamere che
guardano la stessa areaa con angoli diversi
Esperimenti
attraverso la ripresa
stereoscopica 2D
che consente la
ricostruzione
geometrica della
terza componente su
un piano di spessore
limitato (studio
tridimensionale del
campo di velocità).
Sistema stereoscopico
34
Due telecamere che osservano da angolazioni differenti il medesimo bersaglio (assi delle telecamere non paralleli).
Sistema stereoscopico con disposizione
rotazionale
35
• L'obiettivo deve essere parallelo all’interfaccia, altrimenti
si incorre nel problema della aberrazione, dovuta
all'interfaccia acqua-vetro-aria, che causa la distorsione
radiale dell'immagine delle particelle.
Problematica 1
Acqua
n1=1.33
Aria
n2=1
•Se 45°uscita a 70°
•Se 46°uscita a 73°
Linea verde
Linea blu
•Se 10°uscita a 13°
•Se 11°uscita a 14.7°
36
Vasca con acqua
Prisma con acqua
Vetro
Raggio
luminoso
Obiettivo della
telecamera
α = 41 °
35 °
θ=90 °
n=1.33
n=1.52
n=1.33
41 °β = 41 ° Finestra in
vetro della
vasca
Un prisma di vetro, riempito del medesimo fluido che si vuole studiare, è
attaccato alle pareti della vasca rotante.
I suoi angoli scelti in
modo tale che i raggi
luminosi provenienti
dalla lama laser,
osservata con una
certa angolazione,
siano perpendicolari
all’interfaccia.
Soluzione
37
Per realizzare la messa a fuoco di tutta la zona di interesse è necessario
“disassare” la telecamera. Potendo basculare l’obiettivo rispetto alla
telecamera, si aumenta la profondità di campo migliorando anche la
messa a fuoco.
Problematica 2
38
Necessario un opportuno dispositivo.
Ha anche la funzione di proteggere
dalla luce esterna il sensore della
macchina fotografica.
Telecamera TelecameraNon basculata Basculata
Soluzione
Consente di bloccare nelle
reciproche posizioni telecamera ed
obiettivo
39
Necessità di calibrazionegeometrica
La disposizione angolare ha un altro inconveniente: produce campi di
immagini “stirati” in modo opposto.
Essendo la distorsione delle
due telecamere diversa, è
impossibile sovrapporre
direttamente le due aree di
interrogazione senza aver
prima interpolato i dati su una
griglia comune!
Problematica 3 - Soluzione
41
Le stratificazioni
• Lavoro in condizioni stratificate: stratificazioni stabili per studio nebbie, inversioni, intrappolamento inquinanti….
• Stratificazioni instabili per convezione sia atmosferica che marina.
• Eseguite aggiungendo sostanze che modificano densità acqua (sale, glicerina, alcool).
42
Ambiente stratificato stabilmente
Difficoltà dovute a: creazione della stratificazione e dell’interfaccia; variazione dell’indice di rifrazione dei mezzi
43
Soluzione Matching dell’indice di rifrazione
•acqua e sale / acqua
•acqua e sale / acqua e glicerina.
44
Simulazione Vortici polari
•Conservazione momento angolare
•Forze di Coriolis
•Forze di attrito
Forzante esterna: energia solare. Induzione di una
circolazione a cella “chiusa” equatore-polo.
45
Studio delle Instabilita’ fluidodinamiche
• In un fluido che si muove in un SI ruotante, l’energia cinetica del flusso può diventare sorgente per le instabilità barotropiche (tipiche di fluidi non stratificati) o barocline (tipiche di fluidi stratificati).
Stable flow
46
• Flussi non confinati possono diventare instabili in presenza di gradienti di velocità (instabilità di Kelvin-
Helmholtz).
• Nei flussi confinati, il fluido si deve adeguare alle condizioni al contorno boundary layer gradienti di velocità instabilità
47
Instabilita’ nell’atmosfera
• Barotropica nei sistemi tropicali.
• Baroclinica nei sistemi delle medio-alte latitudini.
Hurricane Isabel, 2003
48
Instabilita’ atmosferiche planetarie
• Conservazione momento angolare
• Forze di Coriolis
• Forze di attrito
•Forzanti esterne: energia solare. Induzione di una
circolazione a cella “chiusa”
• Esagono al polo
nord di Saturno
49
Le simulazioni in vasca piccola• Aguiar et al. (2010): usata vasca di 0.3 m
con una struttura, anulare e non, rotanteal suo interno.
• La velocità di rotazione dell’anello èpiccola rispetto a quella della vasca. Equilibrio tra i gradienti di pressioneorizzontali e le forze di Coriolis (quasi-geostroficità).
• Fondo della vasca sia piatto che conico(approssimazione beta).
50
I parametri• In queste condizioni i parametri adimensionali
che caratterizzano il moto sono:– Il numero di Rossby, Ro, che fornisce una misura della forza
inerziale rispetto alle forze di Coriolis,
– Il numero di Ekman, E, che è una misura dell’importanza
delle forze viscose/attrito rispetto alle forze di Coriolis.
51
Risultati in una grande vasca rotante
……. nella diversitànelle condizioni di
bordo.
La maggiore differenza consiste…….
52
Studi dello strato limite
Cambiamenti di rugosità e transizione
rugoso/liscio.
Differenti rotazioni
Valutazione della turbolenza: suo sviluppo e
caratteristiche
53
Lo strato di atmosfera in cui il moto delle masse di fluido è determinato dalla
interazione col suolo è chiamato strato limite. La porzione invece a stretto
contatto col suolo è definito strato superficiale.
Lo strato limite planetario
54
k = costante di Von Karman
( 0.41);
z0 è l’altezza di rugosità,
quota a cui la velocità del
flusso si annulla.
0
ln1
z
y
ku
U=
⟩⟨
τ
Lo strato limite che si forma su di una superficie liscia, rigida e rotante è detto
Strato di Ekman. In questo caso la forza di pressione non bilancia la forza di
Coriolis, perché la forza di attrito non è trascurabile.
Lo strato limite risente notevolmente degli attriti determinati dall’interazione con
la superficie terrestre.
L’andamento del profilo di velocità è di tipo logaritmico:
55
La turbolenza caratterizza la dinamica dello strato limite.
I moti turbolenti appaiono come caotici, la cui evoluzione futura è impossibile da
prevedere, ma in essi sono spesso presenti delle strutture ordinate e coerenti,
detti vortici.
La turbolenza è:
•Quasi random;
•Tridimensionale;
•Diffusiva;
•Dissipativa;
•Non lineare: è proprio questa proprietà a rendere le equazioni non risolvibili;
problema della chiusura delle equazioni turbolente (risoluzione analitica).
Per lo studio della turbolenza è stato proposto da Reynolds (1895) di
esprimere una grandezza fisica come somma della componente media
e della fluttuazione di tale variabile: .'sss +>=<
Fondamentale è l’energia cinetica turbolenta, o TKE: ;
non è conservata; si annulla quando non c’è turbolenza.
2'5.0 ><= iue
La turbolenza
56
a.
Andamento del vettore velocità con la quota (spirale di Ekman) in cui il vettore velocità ruota verso sinistra avvicinandosi al suolo e contemporaneamente il modulo del vettore diminuisce.
b.
Andamento della velocitànello strato di Ekman che si forma in una vasca in rotazione.
57
Analisi e confronto delle caratteristiche dello strato limite con fondo non rugoso.
•Le curve
tratteggiate
sono di un
esperimento
in
monoscopia.
•Le curve
con linea
continua
sono i casi di
un
esperimento
stereo.
E’ visibile lo strato di
Ekman, tra 0 e 1.5 cm
circa, rosso e nero, tra 0
e 4 cm per blu.
Al di sopra si osserva lo
strato geostrofico.
Lo spessore dello strato
limite decresce col
passare del tempo e la
velocità geostrofica è
raggiunta a quote via via
più basse.
58
Essa rappresenta
l'ampiezza della
fluttuazione
turbolenta di questa
componente.
La sua ampiezza
raggiunge valori
tanto maggiori
vicino al fondo
quanto maggiore è
la velocità
geostrofica.
59
Il limite superiore
dello strato limite
turbolento coincide
con la quota a cui
si annulla il valore
dell'energia
cinetica turbolenta.
Per quanto
riguarda gli altri
due casi, la TKE
non va a zero
(residuo di
turbolenza) anche
se si osserva una
sua diminuzione
con la quota.
Per la curva
rossa la TKE
tende a zero a
quote di circa 3
cm.