Gli errori sui parametri. Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy385 Gli errori sui...

Gli errori sui parametri

Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 2


• Riprendiamo il caso della retta

• ...e sviluppiamo le cose per benino...

1, , NX XX 1, , NY YY

Y m qX 2

22

k k

k

m qY X



• Ora minimizziamo

2

2

2

2

0 2

0 2 1

k kk

k

k k

k

m q

m

m q

X

Y X

q

YX



• Sviluppiamo

2

2

0

0

k kk

k

k k

k

mY XX

Y

q

m qX

2

2

0

0

k kk

k

k k

k

Y XX

Y X

m q

m q



2

2 2 2

2 2 2

1

k k k k

k k k

k k

k k k

X X X Y

X Y

m q

m q

2

2 2 2

2 2 2

0

10

k k k k

k k k

k k

k k k

mX Y X

q

m

X

Y Xq



• Se facciamo queste posizioni...

2

2 211 12

12 222 2

1

k k

k k

k

k k

X X

X



• ...possiamo scrivere il sistema normale come

• Poniamo

• ...ed avremo le soluzioni per i parametri della retta

11 12 1

21 22 2

m g

g

q

m q

211 22 12 21 11 22 12



1 22 2 12

2 11 1 12

m

q

g g

g g



• Si dimostra che è la matrice dei pesi

• Quindi

è la matrice delle covarianze

22 121

12 11

1



• Quindi 22 12

1

12 11

2

2m mq m q

mq m q q

V



• Esplicitamente 22

2 2 2

222

2

211

1

1

k k

k k k

km

k

kq

X X

X



2

212

2 2

2 2 22

11

k

kk

kmq

m q k k

k k kk

XX

X X



• E se si tratta di qualcosa di più complicato?

Due casiI. Siamo in un caso lineare nei

parametri incogniti– In questo caso ci si arma di pazienza e si

rifà quello che abbiamo visto per la retta



II. Siamo in un caso generale – L’assoluta maggioranza dei casi

• Si può fare il calcolo degli errori usando la forma analitica del 2

min

min

2 21

min

V



• Tenendo presente che se siamo al minimo

min

2

0

min

min

2 21

min

V



min

min

min

21

min

2

min

min min

T

V

V

V



min

min min min

min

min min

2 2

2 2

T

T

T

T

T

V

V V V

V 1



min

min

min

2 2

2 21

2 21

T

T

T

T

T

V 1

V

V



• ...ed infine

min

112 2

T

V



min

mi

mi

n

n

21

min

1 12

12

min

2 2

min

V

V

V



• Infine

– Si tratta di un processo laborioso...

• Altrimenti si può usare la forza bruta del calcolo

• Ricordiamoci che il 2 non è altro che una somma di scarti ridotti

min

min

2

min

V



• ...ed allora si trovano i valori dei parametri per i quali

• Risolvendo l’equazione trascendente ad un parametro per volta

• dà le unità di varianza

2 2 2min mink k s

2s



• Quindi un sistema trascendente

– ...e tanti auguri

2 2min min,1 min

2 2min min

1

,

1

min

1

1NN N



• Fate attenzione che le equazioni trascendenti sono brutte bestie– Se possibile chiaritevi le idee con dei

grafici– Metodo delle secanti e/o bisezione sono

i migliori– Due metodi indipendenti danno maggior

sicurezza

Caso più complesso


Funzioni di variate

• Supponiamo di avere una funzione lineare di una variata multidimensionale

• Come facciamo a calcolarci gli errori su ? – Attenzione: ora siamo in molte dimensioni– Dobbiamo calcolarci la matrice delle

covarianze!

Y = A X Y = A XY


Funzioni di variate

• Avremo...

T

T

Y

T

T

T

T

Y - Y Y - Y

A X - A X A X - A X

A X - X X - X A

V

A X - X X - X A


Funzioni di variate

• Dunque

• Che è la generalizzazione della “vecchia” formula sul calcolo degli errori

TY XV A V A

2 2 2Y X

Y m X

m


Funzioni di variate

• ...e se abbiamo una funzione qualunque?

• ...con lo jacobiano

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

N

N

N N N

y y x x x

y y x x x

y y x x x

Y Y X

ij

iij jJ y

y

x

TY

J YX


Funzioni di variate

• ...svilupperemo in serie...– Intorno ai valori medi

• Valori attesi

– Al primo ordine • Errori piccoli...

– E ricorderemo l’additività delle varianze• Ipotesi normale...


Funzioni di variate

• Risultato...

• Ed al primo ordine...

Y

Y X Y X X XX

T

Y X

Y YV V

X X


Funzioni di variate

• ...che nel caso di variabili indipendenti diviene 2

2 2Y k

k

f

x

Simulazioni statistiche



• Chiamate anche MonteCarli • Il termine (spregiativo) risale ad anni ’40• In fenomeni molto complessi si ricorse a

simulazioni casuali

• Oggi si usano di routine in fenomeni complessi

• Idrodinamica• Plasmi• Scontri fra Galassie• Sviluppi di popolazioni di organismi



• Inizio con gli sciami elettromagnetici– Un gamma materializza in una coppia

elettrone-positrone– Le cariche passano vicino a dei nuclei e

fanno BS– Vengono emessi dei gamma...



• Si può studiare – con equazioni differenziali...

– Ma ne vale la pena?– E come si fa a tener conto delle fluttuazioni?

– ...oppure simulando statisticamente il processo

• Simulazioni: oggi molto usate per una varietà di problemi scientifici e tecnici



• Alternative – Forza bruta del calcolo

• Simulazioni • Calcolo agli elementi finiti

– Uso sofisticato del calcolo differenziale• Molto spesso troppo astratto• Troppe ipotesi difficilmente controllabili• Sistemi di PDE ed IE di difficile soluzione e

controllo• Non linearità delle PDE



• Vari modelli:– PM: Particle-Mesh. Una particella si

muove in un campo predefinito ed immutabile

– Esempio: un satellite nel campo gravitazionale terrestre

– P3M: Particle-Particle-Particle-Mesh. Idem come sopra, però tenendo conto anche delle interazioni fra le particelle

– Esempio: elettroni entro un semiconduttori sottoposti ad un campo esterno (il FET)



• Vediamo alcuni vantaggi– Facilità di modellizzazione

– Parcellizzazione di un fenomeno complesso– Possibilità di controllo del calcolo nelle sue varie

fasi

– Facilità di modifiche al modello– Facilità di riprodurre sistemi non lineari– Facilità di aumentare l’accuratezza

• Svantaggi: tempi di calcolo...



• Il confronto fra dati e previsioni ora ha due facce– Errori sui dati– Errori sulle previsioni– Tipicamente quelli statistici



• Su eventi le fluttuazioni statistiche sono attese dell’ordine di

• Le fluttuazioni percentuali sono dunque

• Domanda:

NN

1N

N N



Quanti eventi statistici dobbiamo produrre affinché gli errori

sperimentali non ne risentano

apprezzabilmente?



• La risposta sta nell’additività delle varianze

• Poniamo che l’errore relativo sia

Regola praticaPer un aumento del 10% dell’errore

relativo occorrono campioni dell’ordine di

x

2

5minN



• Quindi se si ha una statistica di 1000 eventi l’errore sarà incrementato del 10% con una simulazione di 5000 eventi

• ...e se si vuole passare al 5% occorrono 20000 eventi

– Ricordate ?

• ...e se si vuole passare all’1% occorrono 500000 eventi...

N



• In genere si accettano statistiche

» Nel dubbio è sempre meglio abbondare, se possibile...

2

5 10minN

Dati e segnali


Dati e segnali

• Differenza importante:• Sui dati sperimentali non si ha alcuna

informazione– Esempio: la curva di luce di una supernova

• Sui segnali sperimentali si sa (almeno all’incirca) qualcosa

– Esempio: il segnale di un fotomoltiplicatore visto all’oscillografo


Dati e segnali

• Differenza di trattamento fondamentale

• Nei dati tutto può essere importante – Procedimento di analisi standard

• Scelta di un modello teorico• Definizione della legge di distribuzione delle

incertezze• Fit con la ML• Analisi degli errori• Analisi delle correlazioni• Analisi del livello di confidenza


Dati e segnali

• Nei segnali si da già cosa è importante

• Attenzione: mica sempre...

• Quindi si può cercare di eliminare ciò che non è importante

IL RUMORE


Dati e segnali

• ATTENZIONE: queste sono sempre tecniche MOLTO pericolose se non si sa a priori la forma del segnale– Si rischia di perdere informazioni

importanti– Fluttuazioni statistiche (da togliere) si

possono sommare a segnali deboli (da tenere, forse)

• Insomma: molta cautela


Dati e segnali

• Esempi di segnali unidimensionali– Principalmente: serie temporali

• EEG, ECG, sismogrammi

Le serie temporali


Le serie temporali

I dati di partenza • Vengono presi dei dati ad intervalli di

tempo (di solito uguali)Il problema

• Estrarre le informazioni significativeLa soluzione più comune

• Sviluppare in serie di Fourier


Le serie temporali

• Problema di solito complesso• Divenuto più semplice dopo la

scoperta della Fast Fourier Transform (ca.: 1970)

• Si riduce ad una stima parametrica cosk kF t k tA


Le serie temporali

• Ogni termine porta a due parametri in più

• Più uno per tutti: la frequenza fondamentale

• Sviluppare in serie di Fourier comporta la raccolta di molti dati

• L’inizio e la fine dei dati comporta la presenza di frequenze spurie

• Artefatti

• Si ottiene uno spettro di frequenze


Le serie temporali

• Esempi: – Analisi di vibrazioni statiche– Suoni– Elettroencefalogrammi– ...

• Spesso importante non la ma la F t 2F t


Le serie temporali

• Caso particolare l’EEG– Invece della si usa la– Proporzionale alla potenza– Facendo la FT si ottiene la potenza

emanata alle varie frequenze

Uno spettro di potenza

V t 2V t


5 10 15 20

-2

-1

1

2

3


5 10 15 20

-2

-1

1

2

3

4


Le serie temporali

Un problema• Qual’è la frequenza massima che si

può rivelare con un certo campione?Criterio di Nyquist

Segnale e fondo


Segnale e fondo

Il problema• In funzione di una (o più) variabile(-i)

si ha un segnale che è somma– Di un segnale casuale, o comunque non

interessante• Fondo, background, noise

– Di un segnale importante e significativo• Come di fa a separarli? Come si fa a

calcolare gli errori?


Segnale e fondo

Una soluzione• Conoscere in qualche modo il fondo

• Teorie, ipotesi• Misure prima e dopo il segnale

• Simulare il fondo statisticamente• Fare l’ipotesi che il fondo sia lo

stesso anche se il segnale è presente• Indipendenza oltre che struttura


Segnale e fondo

• Ottenere il segnale a fondo sottratto• Calcolo della percentuale di fondo• Normalizzazione

• Tenere conto dell’additività delle varianze

• Nella sottrazione le cose peggiorano

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