G I U S E P P E P E A N O

O P E R E S C E L T E

d e l l U N I O N E M A T E M A T I C A I T A L I A N A

e col contributo del

C O N S IG L IO N A Z IO N A L E B E L L E R IC E R C H E

V O L U M E I

A N A L IS I MATEM ATICA - CALCOLO NUMERICO

a c u r a

E D I Z I O N I C R E M O N E S E R O M A 1 9 5 7

G i n S E V V E P E A X O;1 8.5 K - 1 9 a *2

S o n o r i s e r v a t i t u t t i i d i r i t t i a l l a U n i o n e M a t e m a t i c a I t a l i a n a

(c ) 1957 by Edizioni Cremonese, Roma

G u b b i o - S o c . T i p o g r a f i c a O D E H I S I , , 1 9 5 7

P R E F A Z I O N E

L a Facolt di Scienze della Universit di Torino, pochi mesi dopo la morte di G. P e a n o , prendeva in considerazione la possibilit di pubblicare un Selecta delle opere di T e a n o , ed a tale scopo nominava una commissione (professori Carlo S o m ig lia n a , Guido F u b in i e Francesco TRiCOMij che elabor un prim o progetto (1933).

Dopo lu ltim a guerra lo studio di un progetto analogo venite r i preso da parte di vari membri della medesima Facolt, particolarmente ad opera dei professori Tommaso P oggio , Guido A sooli ed A le s sandro T e r r a c in i ; ma in seguito l Universit di Torino decideva (1956) di rinunciare alla realizzazione di un progetto del genere, lasciandola a ll iniziativa dell Unione Matematica Ita liana che aveva gi da tempo incluso G. P ea n o f r a i matematici d i cui pubblicare le opere e che aveva soltanto sospeso le deliberazioni in proposito p er non in terferire con l Universit di Torino.

Cos, il giorno 8 aprile 1956, lAssemblea dei Soci dell Unione Matematica Ita lia n a deliberava in linea di massima di procedere alla pubblicazione di una scelta delle opere di Giuseppe P e a n o .

I n seguito a ci, i l p ro f. Giovanni Sa n s o n e , presidente dell U- nione Matematica Ita liana , incaricava i l p ro f. Ugo CASSiNA 1 di p re parare un progetto per la pubblicazione delle opere d i G. P ea n o da presentare alla adunanza d i Roma, del 5 ottobre 1956, della Commissione scientifica della Unione Matematica Ita liana.

I n questa adunanza venite po i nominata una commissione, per la scelta definitiva delle opere da pubblicare, composta dei professori : Giovanni SANSONE, Alessandro Te r r a c in i ed Ugo Ca s s in a .

Ecco la parte f inale della relazione conclusiva di tale commissione :

. . . . La commissione, dopo esauriente discussione delle proposte presentate dai suoi membri, decide d i pubblicare 1 lavori di Peano contenuti in un apposito elenco tra tto da un a ltro elenco pubblicato dal Cassina nel 1933 nei Rendiconti del Seminario mat. e lis. di Milano.

VI

I lavori saranno d istribu iti in sette categorie ed in tre volumi secondo lo schema seguente :

Voi. X. - Analisi matematica - Calcolo numericon. lavori

I. - Analisi matematica 48II. - Calcolo numerico 5

Voi. II. - Logica matematica - Interlingua ed .Algebra della grammatica

n. lavoriIII . - Logica m atematica 24IV. - In terlingua cd Algebra della gramm atica - 5

Voi. II I . - Geometria e fondamenti - Meccanica razionale - Varie

n . l a v o r i

V. - Geometria e fondamenti 16VI. - Meccanica razionale 7

VII. - Varie 28

Al primo volume sar allegato, dopo una breve introduzione, il c itato indice cronologico dei lavori di Peano ; un elenco degli scritti (italiani o stranieri) commemorativi di Peano o comunque re la tiv i alle sue opere ; inoltre il r itra tto .

U introduzione sar, scritta dal prof. Cassina a cui la commissione affida anche la cura delledizione delle opere di Giuseppe Peano, secondo il piano ap provato, autorizzandolo ad in trodurv i se lo creder opportuno eventuali lievi modifiche.

II Cassina rediger inoltre le note redazionali a tte ad illustrare molto brevemente i singoli lavori o groppi di lavori. Tali note saranno sempre accompagnate dalla firma o dalla sigla dellautore.

La commissione lieta di aver concluso i suoi lavori ed augura che la pubblicazione delle opere di Giuseppe Peano, di cui si fe incominciato a parlare fin dal 1933, sia presto un fa tto compiuto.

Milano, 13 gennaio 1957.G. San so n e .- A. T er r a c in i - U. Cassina

I n seguito a queste deliberazioni, nel febbraio 1957, raccoglievo e completavo il materiale per il Voi. I delle Opere scelte di G. P e a n o , che spedivo alla casa editrice ai p r im i di marzo.

T er il vivo interessamento del pro f. Giovanni S a n so n e , presidente dellUnione-M atematica Ita liana , alla f in e dello stesso mese avevano inizio le operazioni di stampa, che dopo pochi illesi di lavoro alacre e continuo avevano termine, cos da potere avere oggi lonore di presentare il volume completo.

Come detto nella relazione precedente, i l Voi. I delle Opere scelte di G. P ea no dedicato ai lavori di Analisi matematica e di Calcolo numerico.

Vi X

Non i l caso di entrare in particolari / tuttava un breve cenno sul contenuto di detti lavori si trova nella INTRODUZIONE.

Tenuto conto della importanza notevole che ha il P e a n o nella storia del simbolismo matematico, ho creduto opportuno di conservare le notazioni originali, conservando anche nei limiti delle possibilit tipografiche le piccole varianti di forma.

Mi sono limitato a correggere le sviste evidenti e gli errori di stampa (con la speranza di non averne introdotti troppi di nuovi !), e ad aggiungere talvolta, secondo il compito avuto alcune brevissime note editoriali.

Sullo scopo e la natura di esse rimando alla AV VERTENZA premessa ai lavori pubblicati.

Nella difficile opera di correzione delle bozze di stampa ho avuto un valido ausilio dalla; mia assistente, Dr. Fulvia S k of, e di ci la ringrazio vivamente.

Un particolare ringraziamento sento il dovere di porgere oltre che al Consiglio Nazionale delle Ricerche che in questi anni ha dato incoraggiamenti morali e aiuti finanziari per la pubblicazione delle Opere dei grandi matematici italiani anche alla casa editrice C r e m o n e s e e a tutto il personale della tipografia, per la cura posta affinch il volume riuscisse stampato in veste elegante e corretta.

Milano, settem bre 1957

U g o C a s s in a

INTRODUZIONE

Questa introduzione ha lo scopo di fornire brevi notizie sulla vita e sulle opere di Giuseppe P e a n o , ed seguita da una bibliografia che comprende i principali lavori (italiani o stranieri) dedicati al P ea n o dal 1928 ad oggi.

Tale bibliografia incomincia collopuscolo commemorativo Giuseppe Peano , pubblicato da un gruppo di amici in occasione del 70 anniversario del P ea n o (1928), e termina col volume In memoria di Giuseppe Peano , edito dal liceo scientifico di Cuneo (intitolato a G. Peano) e pubblicato a cura di A . T e r r a c in i (1955).

Questo volume contiene studi di Beppo L e v i , G. A sg o li ,B . S e g r e , F . B a r o n e , L. Ge y m o n a t , T. B oggio , U. Ca s s in a ed E. Ca r r u g g io . I titoli di questi studi si trovano nella bibliografia. Qui basti il dire che essi hanno lo scopo di dare una visione sintetica sullopera complessiva di P ea n o (Beppo Le v i ), o di rilevare alcuni tratti caratteristici della sua mente (G. A sg o li), o di lumeggiare alcuni aspetti particolari della sua opera (L. G e y m o n a t , T. B oggio , U. Ca s s in a , E. Car r u g g io ), o di fare un suggestivo raffronto fra le vedute filosofiche e logico-matematiche di P ea n o e l odierno movimento scientifico conosciuto sotto il nome di Bourbaki- 8mo (B. S e g r e ), od infine di fare uno studio dal punto di vista filosofico teoretico della logica simbolica peaniana (P. B a r o n e ).

Nella bibliografia figurano molti miei lavori : a partire dallo scritto sintetico, inserito nellopuscolo commemorativo del 1928, per giungere allo studio sul Formulario mathematico inserito nel volume edito a cura di A . T e r r a c in i (1955).

Quindi mi si vorr perdonare se rimando ad essi ed in particolare agli scritti pubblicati nel 1932 e 1933 chi desidera ampie notizie in proposito.

Qui, mi limiter a pochi cenni comunque necessari nella in troduzione alle opere di un autorie che potranno essere utili a

2 GIUSEPPE PEAN

chi trovasse difficolt a risalire agli scritti originali, pubblicati talvolta in riviste poco diffuse o non pi in vita.

Giuseppe P e a n o nato a Spinetta, frazione del comune di Cuneo, il 27 agosto 1858, da B a r t o l o m e o e da Rosa C a v a l l o . H a fatto gli studi elementari a Cuneo e quelli medi a Torino, dove nel 1876 ha conseguito la licenza liceale, presso il Liceo Cavour, e vinto una borsa del Collegio delle Provincie per frequentare Funivpr- sit (1876-1880).

Il 16 luglio 1880 consegu la laurea di dottore in matematica, avendo avuto come insegnanti : E. D O v i d i o , A . G e n o c o h i , F. S iA c c i e F . F a d i B r u n o . Nel 1880 81 fu assistente di E. D O v i d i o , e dal 1881 al 1890 assistente o supplente di A . G e n o c o h i , fino alla morte di questi (1889).

Nel dicembre del 1884 venne abilitato alla libera docenza di calcolo infinitesimale presso l universit di Torino j nel 1886 (21 ottobre) fu nominato professore stabile nella R. Accademia di artiglieria e genio di Torino (posto clie occup fino al 1901),* e nel 1890 (1 dicembre), dopo regolare concorso (in cui riusc primo), venne nominato professore di ruolo di calcolo infinitesimale nella R. Universit di Torino, cattedra che egli conserv fin quasi alla vigilia della morte. Infatti, solo allinizio dellanno accademico 1931-32, accett il suo trasferimento alla cattedra di matematiche complementari ma la morte doveva colpirlo improvvisamente, alla sera di un consueto giorno di lavoro, il 20 aprile 1932.

Il 21 luglio 1887 egli si era unito in matrimonio con Carolina C r o s i o , che g li sopravvisse alcuni anni senza averne avuto figli.

Egli era membro residente della Reale Accademia delle Scienze di Torino e Socio nazionale della Reale Accademia dei Lincei, oltre ad essere socio di numerose altre accademie italiane e straniere. Era stato pure, prima direttore, e poi presidente della Accademia pr Interlingua.

Nellindice cronologico delle pubblicazioni scientifiche di G. P e a n o (annesso, al presente volume) ho elencato 193 lavori (di cui 13 volumi) dedicati alla matematica ed alla filosofia, e 38 lavori (di cui 3 volumi) dedicati alla filologia ed interlinguistica. Una trentina di questi lavori ebbero varie edizioni e furono tradotti in varie lingue.

I lavori di matematica e di filosofia possono essere divisi nelle seguenti categorie : analisi matematica, calcolo numerico, logica matematica, geometria e fondamenti, meccanica razionale, didattica e questioni varie.

INTRODUZIONE 3

1 lavori d filologia e di interlinguistica possono essere divisi in due categorie : quelli dedicati allo studio della derivazione che lo hanno portato alla creazione della cosidetta algebra della grammatica e quelli di natura strettamente filologica ed interlinguistica che lo hanno portato al latino sine-flexione (divenuto poi l interlingua), allo studio scientifico comparato dei vari progetti di lingua ausiliari internazionale, ed alla redazione del vocabolario comune alle lingue di Europa, che, nella edizione definitiva (1915), costituisce un volume di pagg. X X X II-320, degno per la ricchezza delle notizie raccolte e vagliate di dare da solo fama al suo autore.

Ma non questo il posto per parlare dellopera filologica ed interlinguistica di T e a n o , essendo lo scopo di queste Opere scelte quello di raccogliere e di mettere a disposizione degli studiosi i lavori pi significativi dellopera matematica (in senso lato) di G. T e a n o .

Tuttavia, il Comitato per la scelta delle opere da pubblicare, ha creduto doveroso di inserire in questi volumi anche alcuni scritti dedicati al latino sine-flexione, allinterlingua ed allalgebra della grammatica, perch il lettore di queste Opere scelte possa avere unidea anche di questi studi di P e a n o , che del resto hanno unimportanza notevole per la chiara comprensione di molti suoi scritti matematici posteriori al 1903.

Non nemmeno possibile nei limiti di questa breve introduzione entrare nei particolari dei lavori di matematica e di filosofia di P e a n o , Mi limiter perci a ricordare alcuni dei suoi risultati pi. notevoli incominciando dai lavori di analisi matematica.

Dimostrazione della integrabilit delle equazioni differenziali ordinarie e dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie con la sola condizione della continuit, ; integrazione per serie dei sistemi di equazioni differenziali lineari (col cos detto metodo delle approssimazioni successive) ; la curva continua che riempie un quadrato ; i teoremi sulle derivate, sui wronskiani, sugli jacobiani, sulla serie di Ta y l o r , sulle funzioni interpolari, sulla commutabilit delle derivate parziali, sui massimi e minimi delle funzioni di pi variabili, sul nuovo concetto di limite da lui introdotto, sulla teoria dei complessi di ordine n e sulle sostituzioni lineari su di essi con lestensione a queste ultime dei concetti di modulo, di esponenziale, di esponenziale generalizzato e di limite.

I teoremi sui resti nelle formule di quadratura, ed in particolare il teorema generale sul resto inteso come un particolare operatore lineare per le funzioni reali di variabile reale.

i GIUSEPPE PEAN

I lavori di matematica attuariale fondati sulla nozione d i interesse continuo, e lo studio del problema dellandamento equo di una societ cooperativa con formule indipendenti dalle leggi di decadenza risolto mediante l introduzione di una conveniente equazione alle differenze miste.

II lavoro sul teorema di Ca n t o r -Be r n s t e i n , sul principio di Ze r m e l o e sullantinomia di R ic h a r d che pur di vivo interesse logico da ritenersi di analisi matematica.

Gli studi sulle approssimazioni numeriche ed in particolare sulle operazioni graduali : moltiplicazione, divisione, estrazione di radice quadrata e risoluzione numerica delle equazioni algebriche.

Tutti questi scritti, di analisi matematica e di calcolo numerico, sono contenuti nel presente voi. I di queste Opere scelte .

Il voi. II conterr invece i lavori di logica matematica e quelli gi citati su llinterlingua e l algebra della grammatica.

Nel campo della logica matematica ricordo che G. P e a n o stato il primo a risolvere in modo completo e con una decina di simboli il problema di Le ib n iz di scrivere completamente in simboli di significato preciso e costante e sottoposti a regole analoghe a quelle del calcolo algebrico ogni proposizione di logica.

. N ellintroduzione al voi. II dar qualche ulteriore particolare sui contributi di P ea n o allo sviluppo della logica matematica ; qui mi limiter ad accennare ai suoi lavori dedicati allo studio delle definizioni matematiche, ed allapplicazione sistematica della sua ideografia allanalisi dei fondamenti dellaritmetica e della geometria, iniziatasi nel 18S9 con due lavori, che il Comitato per la scelta delle opere da pubblicare, ha inserito fra quelli di logica (per la loro im portanza dal punto di vista simbolico), ma che sono strettamente connessi a quelli dedicati ai fondamenti della matematica, che saranno contenuti nel voi. I l i di queste Opere scelte .

A proposito di questi lavori sui fondamenti, ricordo che G. P eano si occup pii! volte e da pi punti di vista di questo genere di studi.

Cos, ai principii di aritmetica del 1889, port modifiche notevoli nel 1898 e nel 1901.

Ed i principii di geometria di posizione, sviluppati nel 1889 a partire dai concetti di punto e di segmento , vennero da lui completati dal punto di vista metrico nel 1894, con la teoria dei moti intesi come particolari affinit. In seguito, G. P e a n o dimostr come allidea primitiva di moto potesse sostituirsi quella di distanza di due punti (1902) o di angolo retto (1928).

i n t r o d u z i o n e 5.

U n altra sistemazione logico deduttiva della geometria stata svolta da G. P eano nel 1898 e riportata poi nelle varie edizioni del Formulario : quella fondata sui concetti di punto , di vettore e di prodotto interno di due vettori .

Fra i lavori di meccanica razionale ricordo quelli sul moto del polo e sul pendolo di lunghezza variabile ; e, fra i lavori didattici e vari, quelli dedicati alle operazioni stille grandezze, sullimportanza dei simboli in matematica, sullesecuzione tipografica delle formule, ecc.

Tutti questi lavori saranno contenuti nel voi. I l i di queste Opere scelte .

Poich per ragioni di economia sono stati esclusi i trattati (salvo alcuni passi del trattato di Calcolo del 1884 e del Formulario) credo necessario dire qualcosa su di essi, limitandomi a parlare dei trattati di matematica ed escludendo il Formulario , che ha avuto cinque edizioni di sette volumi complessivi (dal 1895 al 1908) e di cui l ultima, la pi completa dal punto di vista matematico ma non dal punto di vista logico, la quinta pubblicata nel 1908.

Infatti, il parlare pur brevemente del Formulario , della sua genesi e del suo contenuto, mi porterebbe via troppo spazio e del resto non potrei fare altro che ripetere quanto ho scritto in due miei recenti lavori, pubblicati entrambi nel 1955, l uno nel volume In memoria di G. Peano e l altro nel Bollettino dell Unione matematica italiana , entrambi citati nellannessa bibliografa. R imangono i seguenti trattati :

Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale , pubblicato nel 1884, sotto il nome di Angelo Genocchi , ma dovuto completamente a G. P eano , come ha tenuto a dichiarare esplicitamente il Genocchi fin dal suo apparire, e come risulta ancor meglio da alcune lettere e documenti inediti da me fatti conoscere nel 1952.

Lezioni di analisi infinitesimale del 1893 (in due volumi).Il Trattato di Calcolo del 1884 e le Lezioni di analisi del

1893 sono stati citati, dalla Encyklopiidie der mathematischen W issenschaften , come due dei diciannove trattati pi importanti e significativi, per lo sviluppo della teoria generale delle funzioni, pubblicati dal tempo di E u l e r (1748) e C a u ch y (1821) fino ai nostri giorni.

Fra i punti pi notevoli di tali trattati, ricordo innanzi tutto le Annotazioni al trattato di Calcolo del 1884 ormai classiche e che sono state incluse nel voi. I di queste Opere scelte ; poi, nel voi. I delle Lezioni di analisi del 1893, la teoria dellinte-

6 GIUSEPPE PEANO

graie definito introdotto con le sole nozioni di limite superiore ed inferiore e, nel voi. II delle stesse Lezioni , la teoria dei complessi di ordine n , i teoremi sulla esistenza e la derivabilit delle- funzioni implicite e gli elementi della teoria delle variazioni , sv iluppate secondo le nuove concezioni di P e a n o .

Il trattato Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale del 1887 in cui sono svolti i primi elementi di calcolo geometrico (ancora nellindirizzo di B e l l a v it is e di Ch e l i n i ) deve essere ricordato, fra l altro, per le nuove definizioni di lunghezza di un arco di curva e di area di una superficie curva.

A proposito di questultima, osservo che G-. P ea n o divide con H, A . S ch w ar z il merito di avere per primi dimostrato l inesattezza della definizione di area secondo S e r r e t . Che il non ancora ventiquattrenne P ea no sia giunto allo stesso risultato dello S ch w a r z in modo indipendente e contemporaneamente a lui provato da un carteggio inedito di Ge n o c c h i con S ch w a r z ed H e r m it e , da me pubblicato nel 1950.

Nelle stesse Applicazioni geometriche del 1887 compare per la prima volta la nozione di figura tangente ad una linea o ad una superficie (nozione che sar ripresa ed estesa ad un insieme qualsiasi di punti nel Formulario del 1908), e la prima determinazione del resto nella formula di Ca v a l i e r i -S im pso n mediante un valore medio della derivata quarta.

N el trattato Calcolo geometrico del 1888, contenuto, come introduzione, il primo lavoro di logica matematica scritto da G. P e a no (e che sar incluso nel voi. II di queste Opere scelte ), e poi viene esposto il calcolo geometrico scrive l autore secondo VAusdehnwngslehre di G r a ssm a n n . Ma il libro da ritenersi completamente nuovo per la forma e per la sostanza, come ebbe gi occasione di notare Beppo Le v i (1932), che rammenta l interesse quasi entusiastico che, giovane principiante, ha provato alla lettura del calcolo geometrico del 1888 ed a l lopposto l impressione di malsicura astrattezza che il medesimo principiante ricevette volendo affrontare la fonte, YAusdehmmgslchre del 1844 .

Alcuni dei risultati ottenuti da G. P ea n o nelle Applicazioni geometriche (1887) e nel Calcolo geometrico (1888) furono riportati nelle edizioni successive del Formulario e nei libri di calcolo vettoriale sviluppatosi nella scia del calcolo geometrico di P ea n o da C. B u r a l i -Fo r t i , E . Marco lo ng o e T. B oggio , ma da questi trattati non stato ancora ottenuto tutto il frutto che si doveva ; cos da consigliarne lo studio alle nuove generazioni.

INTRODUZIONE 7

A tale proposito, ritengo opportuno riportare un passo del citato articolo di G. A sooli inserito nel volume In memoria di G. Peano (pp. 26-27) :

. . . Deve dirsi tuttavia che il merito maggiore di queste opere, e specialmente delle Applicazioni, non sta tanto nel metodo usato, quanto nel contenuto ; ch vi sono pro fusi, in fo rm a cos semplice da parere definitiva, idee e risulta ti divenuti po i classici, come quelli sulla m isura degli insiemi, sulla rettificazione delle curve, sulla definizione dellarea di una superficie, su ll integrazione di campo, sulle fu n z io n i addittive dinsiem e; ed a ltri che sono tuttora poco noti o poco studiati.

Ci basti indicare tra questi i l concetto di limite di una figura variabile, destinato a ricomparire, con altro nome d i autore, quaranta n n i dopo, presso la scuola di geometria infinitesimale diretta del Bouligand, e loriginalissima definizione di figura tangente ad un insieme in un punto , che ha fo rn ito a chi scrive, or qualche anno, la chiave d i una difficile questione asintotica .

Ricordo infine il trattato Aritmetica generale e algebra elementare del 1902, ebe in buona parte un estratto del Formulario (t. III) con aggiunte varie sia di carattere elementare che superiore ; ed il tr a tta te li Giochi di aritmetica e problemi interessanti del 1924, che un libretto divertente, ricco di erudizione e pieno di saggezza, che costituisce un saggio del come intendeva l insegnamento Giuseppe P e a n o .

Come conclusione del presente scritto credo utile riportare un passo del citato studio di Beniamino S e g e e su Peano ed il Bonr- bakismo (pp. 32-33) :

... Non universalmente noto e riconosciuto quale decisivo effetto orientatore abbiano avuto le vedute filosofiche e logiche-matematiche di Peano, i l suo spirito critico estremamente sottile e lattivit da lui svolta con la stampa del Formulario Mathematico : mentre invece come vedremo il Nostro pu a tale riguardo venir considerato coin un antesignano dellodierno movimento scientifico vivo ed operante sotto il nome d i Bourbakismo. L a grande importanza di tale movimento non pu venir messa in dubbio, anche se su esso avremo da fa re qualche riserva ; va comunque rilevato come i contributi di Peano in quellindirizzo non rappresentino che una parte della sua attivit scientifica, e neppure forse quella migliore.

8 GIUSEPPE PEANO

Peano in fa tti nel mezzo secolo e p i in cui rimase alla ribalta scientifica mut p i volte i suoi interessi di studioso, talvolta addirittura in modo radicale. A ssa i notevoli sono ad esempio f r a l'altroi suoi apporti filologici e glottologici, con la stampa del Yocabulario commune ad liuguas de Europa e con la sua molteplice opera in terlin guistica. E si pu in fine osservare che molte delle sue cose di m inor conto hanno pure un loro stile inconfondibile, in quanto egli non riteneva di abbassarsi occupandosi di questioni lievi od apparentemente irrilevanti, applicandosi ad esse con la stessa seriet e lo stesso im pegno con cui si dedicava a quelle p i gravi, lasciando ovunque lim pronta del suo spirito acutamente logico e del suo ingegno lucido ed originale. Anche siffatta a ttivit secondaria che va dai calcoli nu merici a talune questioni pratiche assicurative, dai passatempi e giochi aritmetici ai problemi sul calendario, da certe questioni didattiche contingenti a quelle su llesecuzione tipografica delle form ule matematiche ha dato i suoi fr u t t i , d i cui non per a, tu tti nota lorigine : cosi, p er lim itarsi ad un solo esempio, a Peano che risale limpiego sistematico ormai molto diffuso specie oltre Atlantico della numerazione decimale per rinvii a form ule e teoremi .

Milano, aprile 1957.U g o C a s s in a

BIBLIOGRAFIA

(Sulla Tita e su l le opere di G. Peano)

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Contiene, f ra altri, i dne scritti seguenti :U. Cassina , In occasione de septuagesimo anno de Giuseppe Peano, pp . 7-28.

E. Stam m , Logica mathematica de G. Peano, pp. 33-35.

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mat. Univer. Parma, 4 (1953), pp. 195-205. , Storia ed analisi del Formulario completo di Peano, Boll. Unione mat.

ital., (3), 10 (1955), pp. 244-265, 544-574.

In memoria di Giuseppe Peano, s tad i d i Beppo Levi, Guido Ascoli, Beniamino Se- gro, Francesco Barone, Ludovico Geymonat, Tommaso Boggio, Ugo Cassia, E tto re Camicoio, raccolti da Alessandro Terracini, Cuneo, presso il Liceo scientifico, 1955, pagg. 116.

^ Contiene, oltre alla prefazione d i A. T e r r a c in i, i seguenti sc ritti :Beppo L e v i , L opera matematica di Giuseppe Peano, pp. 9-21.G. AscOl i, I motivi fondamentali dellopera di Giuseppe Peano, pp. 23-30.B. Se g h e , Peano e il Bourbalcismo, pp. 31-39.F. B a ron e , Unapertura filosofica della logica simbolioa peaniana, pp. 41-50.L. Gey m o n at , I fondamenti dellaritmetica secondo Peano e le obiezioni filosofiche

di B. Russell, 51-63.T. B o ggio , I l calcolo geometrico di Peano, pp . 65-69.U. Cassina , Sul Formulario mathematica di Peano, pp. 71-102.E. C a r r u c c io , Spunti di storia delle matematiche e della logica nellopera di G. Pea

no, pp. 103-114.

Indico cronologico delle pubblicazioui scientifiche

di G IU SEPPE PEANO (*)

Nellindice seguente, lasterisco * indica le pubblicazioni di filologia o di interZin- guistica.

I lavori, dal 1903 in, poi, sono contraddistinti da due numeri in cifre : il primo indica il numero progressivo neWindice cronologico completo; il secondo quello progressivo rispettivamente neWindice delle opere di matematica e filosofia, o neWindice delle opere di filologia ed interlinguistica.

I trattati ed i volumi (di 64 pag.. almeno) sono preceduti anche da un numero romano progressivo.

Le ristampe e le traduzioni sono segnalate sotto alla prima edizione, con lo stesso numero progressivo munito di apici.

A l dovuto posto cronologico sono ricordali anche all1 infuori della numerazione complessiva, e contraddistinti da una lettera latina minuscola gli otto volumi della Rivista' di Matematica ed i sette volumi delle Discussioni e della Rivista del- Z'Academia pr In terlingua, ed inoltre uno scritto di carattere politico (m).

Dallindice furono esclusi solo le brevi osservazioni direttoriali e gli scritti linguistici di carattere propagandistico ; ed inoltre quelli non firmati, anche se indubbiamente dovuti a G. P e a n o .

Risulta cos che G. P eano ha dedicato alla Matematica e Filosofia 193 lavori di cui 13 volumi, ed alla Filologia ed In terlingu istica 38 lavoH di cui 3 volumi. In totale 231 lavori di cui molti in varie edizioni italiane o straniere.

Oltre ai 16 volumi, 27 opuscoli vennero pubblicati a cura di tipografie torinesi e non si trovano in collezioni periodiche. Essi sono i seguenti (i numeri indicano il posto dordine nellelenco completo) : 16, 18, 30, 66, 72, 73, 74, 75, 111, 111', 114, 116, 116"120, 123, 124, 127', 130, 131, 137, 153, 153', 167, 184, 185, 187, 205.

1881 1. Costruzione dei connessi (1,2) e (2,2). (Atti) Acc. (delle scienze di) Torino, 1881,10 aprile, v. 16, pp. 497-503.

2. Un teorema sulle forme multiple. Acc. Torino, 1881, 27 nov., v. 17, pp. 73-79.3. Formazioni invariantive delle corrispondenze. Giorn. di niatem. di B attaglini,

1881, y. 20, pp. 79-100.

(*) E stra tto da : U. Ca ssin a , L opera scientifica di Giuseppe Peano, Rend. Sem. mat. fs. Milano , 7 (1933), pp. 379-389.

12 GIUSEPPE PEANO

1882 4. Sui siatemi di forme binarie di egual grado, e sistema completo di quante si voglianocubiche. Acc. Torino, 1882, 16 apr., v. 17, pp. 580-586.

1883 5. Sullintegrabilit delle funzioni. Acc. Torino, 1883, 1 apr., v. 18, pp. 439-446.6. iSulle funzioni interpolar. Acc. Torino, 1883, 20 maggio, v. 18, pp. 573-580.

1884 7. Teoremi sulle derivate. (E stratti di due lettelo di Peano), (Errore in una dimostr,di C. J ordan e polemica con Ph. Gilbert), Nouv. Ann. math., (3) 1884, gennaio, pp. 45-47 ; maggio, pp. 252-256.

I , 8. A n g e lo G e n o c c h i, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, pubblicato con aggiunte da G. P ea.n o . Torino, Bocca, 1884, pagg. xxxn-338.

I ', 8'. A n g e lo G e n o c c h i, Differentialrechnung und Grundzige der Integralrechnung, herausgegeben von G. P e a n o , versione di G. B o i i lm a n n e A. S c h k fp con nna prof, di A. M a y k r . Leipzig, Tenbner, 1899, pagg. Vin-400.

1886 9. Sullintegrabilit delle equazioni differenziali del primo ordine. Aco. Torino, 1886,20 giugno, v. 21, pp. 677-685.

1887 10. Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari. Aco. Torino, 1887,20 feb., v. 22, pp. 437-446.

II, 11. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. Torino, Bocca, 1887, pagg.xn-336.

1888 12. Integration par sries des quations diffrentielles linaires. ~ Math. Annalen, 1888,aprile, v. 32, pp. 450-456.

13. Definizione geometrica delle funzioni ellittiche. Giorn. d i m at. di B a t t a g l in i,1888, v. 26, pp. 255-256.

13'. Defmipo geometrica das funcpoes ellipticas. Teixeira Jo m ., Coimbra, v. 9,1889, pp. 24-25.

I l i , 14. Calcolo geometrico secondo lAusdehnungslehre di H. Gr assm ann , preceduto dalle operazioni della logica deduttiva. Torino, Bocca, 1888, pagg. xn-170, (F. 1888).

15. Teoremi su lassimi e minimi geometrici, e su normali a curve e superficie. Rend. del Circolo di Palermo, 1888, v. 2, pp. 189-192.

1889 16. Arithmelices principia, nova mcthodo exposita. Torino, Bocca, 1889, paggxvi-20, (F. 1889).

17. Sur les wronskiens. Mathesis, Gand, 1889, v. 9, pp. 75-76, 110-112.18. I principii di geometria logicamente esposti. Torino, Bocca,. 1889, pagg. 40,

(F \ 1889).19. Une nouvelle forme du reste dans la formule de Taylor. Mathesis, Gand, 1889,

v. 9, pp. 182-183.20. Su duna proposizione riferentesi ai determinanti jacobiani. Giorn. m at. di B at

t a g l in e 1889, v. 27, pp. 226-228.21. Angelo Ge n o c c h i (Cenni necrologici). Annuario R. Universit, Torino, 1889-

1890, pp. 195-202.22. Sur une formule dapproximation pour la rectification de Vellipse. Paris, Coni-

ptes R. de lAc. des So., 1889, t. 109, pp. 960-61.

1890 23. Sulla definizione dellarea duna superficie. (Rond.) Acc. Lincei, 1890, 19 genn.,(4), y. 6 pp. 54-57.

24. Sur une oourbe qui remplit toute une aire piane. Math. Annalen, 1890, v. 36,pp. 157-160.

25. Les propo8tion8 du V livre d1 Euclide rfuites en formules, Mathesis, Gand, v.' 10, 1890, pp. 73-75.

In d i c e c r o n o l o g i c o d e l l e p u b b l i c a z i o n i s c i e n t i f i c h e 13

1890 26. Sur linterversion dea drivationa partitile*. Mathesie, Gand, v. 10, 1890, pp.153-154.

27. Dmorwtration de lintgrabilit dea quationa diffrentiellea ordinaires. Math. Ann-, 1890, v. 37, pp. 182-228, (F. 1890).

28. Valori approssimati per l'area di un elliaaoide. Acc. Lincei, 1890, 7 die., (4), v. 6j, pp. 317-321.

29. Sopra alcune curve singolari. Acc, Torino, 1890, 28 die., v, 26, pp. 299-302.

1891 30. Gli elementi di calcolo geometrico. Torino, Candeletti, 1891, gennaio, pagg. 42.30'. Die Grundziige des geometrischen Calculs, versione di A. Sc h e p p . Leipzig,

Tenbner, 1892, pagg. 32.31. Principii di logica matematica. R(ivista) d(i) M(atematica), V. 1, 1891, pp. 1-10,

(F. 1891).31'. Principios de lgica matemtica. E1 progreso matematico, Zaragoza, v. 2, 1892,

pp. 20-24, 49-53.32. Sommario dei libri V II , V i l i , I X AEuclide. R. d. M., v. 1, 1891, pp. 10-12.33. Recensione : E. W . H y d e , The directional Calculue, baaed upon th methoda o f

H. Gra ssm a nn . R. d. M., v . 1, 1891, pp. 17-19.34. Recensione : F. D Arca is , Corso di Calcolo infinitesimale. R. d. M., v. 1, 1891,

pp. 19-21.35. Formule di logica matematica. R. d. M., v. 1, 1891, pp. 24-31, 182-184,

14 GIUSEPPE PEANO

1892 52. Sulla definizione del limite d'uva funzione. R. d. M. v. 2, 1892, apr., pp. 77-79.53. R ecensione : Alb in o Na gy , Lo stato attuale ed i progressi della logica. R. tl.

M., v. 2, 1892, apr., p. 80,54. Breve replica al prof. V e ro n ese . Rend.' Circ. Mat. Palermo, t. 6, 1892, 12

gingno, p. 160.55. Extrait dune lettre M. B r i s s e (so un errore di H. Lanrent). Nouv. Ann.

math. (3), v. 11, 1892, luglio, p. 289.56. Recensione : G. Ver o n e s e , Fondamenti di Geometria a pi dimensioni, ecc.

R. d. M., v . 2, 1892, agosto, pp. 143-144.57. Relazione su una memoria del prof. V. Mo lla m e . Acc. Torino, 1892, v. 28,

p. 781.1). Rivista di Matematica, V. 2. Torino, Bocca, 1892, pagg. lv-215.

1893 58. Formule di quadratura. R. d. M., v. 3, 1893, febb., pp. 17-18.59. Sur les forces centrales (E s tra t to d i u n a le tte ra ). R. d. M., v. 3, 1893, sett.,

pp. 137-138.IV, 60. Lezioni di Analisi infinitesimale. Torino, Candelotti, 1893, I voi. pagg.

iv-319, I I voi. pagg. IV-324.60'. Die Komplexen Zahlen, Anhang V. Differcntialreclin. etc., V 8', pp. 371-395

(versione del cap. 6 del tra tta to precedente).61. Recensione : A. Z iw e t , An elementari/ treatise on theoretical mechanics. R. d.

M., v. 3, 1893, die., pp. 184.c. Rivista di matematica, v. 3. Torino, Bocca, 1893, pagg. iv-192.

1894 62. Sur les systmes linaires. Monatsh. fiir Math., v. 5, 1894, p. 136.6 3 .Sulla parte V del Formulario Teoria dei gruppi di pun ti . R. d. M., v. 4,

1894, m arzo, pp. 33-35.64. Sui fondamenti della Geometra. R. d. M., v. 4, 1894, apr., pp. 51-90.65. Un precursore della logica matematica. R. d. M., v. 4, 1894, agosto, p. 120.66. Notations de Logique Mathmatique, (Introdnction an Form ulaire de Math.).

Tnrin, tip . Guadagnini, 1894, pagg. 52, gr. 8, (F. 1804, F 0).67. Notions de logique mathmatique. Assoc. fran?. ponr lavanc. dea sciences ,

Congrs de Caen, 1894, 11 agosto, v. 23, pp. 222-226.68. Sur la dfinition de la limite dune fovetion, Exercice de logique mathmatique.

Ani. Jonrn . of Math., 1894, v. 17, n. 1, pp. 37-68, (F ' 1894).69. Recensione : H erm a nn Grassm anns Gesammelte math. und phys. Werce. R.

d. M., v. 4, 1894, nov., pp. 167-169.70. Estensione di alcuni teoremi di Cauchy sui limiti. Acc. Torino, 1894, 18 nov.,

v. 30, pp. 20-41.d. Rivista di matematica, v. 4. Torino, Bocca, 1894, pagg. Iv-198.

|oqk V, 71. Formulaire de Mathmatiques, t. 1. Torino, Bocca, 1895, pagg. VII-144, (F. 1895, F,).

72. Logique mathmatique (in collab. con G. V a il a t i). F. 1895, pp. 1-8.73. Oprations algbfiques (in collab. con F. Castella n o ). F. 1895, pp. 8-22.74. Arithmtique (in eollab. con C. B u rali-F orti). F. 1895, pp. 22-28.75. Classes de nombres. F. 1895, pp. 58-65.76. Recensioni : F. Castella n o , Lezioni di meccanica razionale. R. d. M., y. 5,

1895, genn., pp. 11-18.77. I l principio delle aree e la storia di un gatto. R. d. M., v. 5, 1895, febb.,

pp. 31-32.

INDICE CRONOLOGICO DELLE PUBBLICAZIONI SCIENTIFICHE 15

1895 78. Sulla definizione di integrale. Ann. d i m at., (2), 1895, v. 23, pp. 153-157.78'. Uber die Dfinition des Integrale, Anhang IV. Differentialrechnung etc.,

1' 8', pp. 366-370.79. Sopra lo spostamento del polo sulla terra. Aco. Torino, 1895, 5 mag., v, 30,

pp. 515-523. .80. Sul moto del polo terrestre. Acc. Torino, 1895, 23 gingno, v. 30, pp. 845-852.81. E stra tto di nna le ttera (Su una proposizione di Holevar). Monatsh. f. Math.,

1895, v. 6, pp. 204.82. Recensione : G. F r e g e , Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet.

R. d. M., v. 5, 1895, luglio, pp. 122-128.83. Elenco bibliografico sullJusdelmungslehre di H. Qrassmann. R. d. M., v. 5,

1895, die., pp. 179-182.84. Sul moto dun sistema nel quale sussistono moti interni variabili. Acc. Lincei,

1895, (5), v. 4g, 1 die., pp. 280-282.85. Trasformazioni lineari dei vettori di un piano. Acc. Torino, 1895, 1 die., v.

31, pp. 157-166.86. Relazione sulla memoria del prof'. G iu d ic e intitolata Sullequazione di 5 grado.

Acc. Torino, 1895, v. 31, p. 199.e. Rivista di matematica, v. 5n. Torino, Bocca, 1895, pagg. iv-195.

1896 87. Sul pendolo di lunghezza variabile. Rend. Circ. mat. Palermo, 1896, v. 10,(24 nov. 1895), pp. 36-37.

88. Introduciion au tome I I du Formulaire de mathmatiques. R. d. M., v. 6, 1896, pp. 1-4, (F. 1896).

89. Sul moto del polo terrestre. Aco. Lincei, 1896, (5), v. 5 1 mar., pp. 163-168.90. Saggio di calcolo geometrico. Acc. Torino, 1896, 21 gingno, v. 31, pp. 952-975.90'. Zarys Rachunku geometrycznego, versione d i S. D ic k st e in , W arszaw a, 1897,

pagg. 28.90 ''. EntioiMung der Grundbegriffe des geometrischen Calcute, versione d i A. L a n n ek .

Salzburg, 1897-98, pagg. 24.

1897 91. Studii di logica matematica. Acc. Torino, 1897, 4 apr., v. 32, pp. 565-583,(F0. 1897).

91'. ber mathematische Logik, Anhang I. Diflerentialrechn. etc., I ' 8', pp. 336-352.92. Sul determinante wrnskiano. Acc. Lincei, 1897, (5), v. 64 (20 gingno), pp.

413-415.V, 193. Formulaire de Mathmatiques, t. I I $ 1, Logique mathmatique. Tnrin,

Bocca, 1897, (11 agosto), pagg. 64, (F. 1897, F. I I 1).93'. Logica matematica. Congresso in t. dei niatem., Zurigo, 1897, 9-11 agosto,

Leipzig, Tenbner, 1898, p. 299, (presentazione del lavoro precedente).94. Generalit sulle equazioni differenziali ordinarie. Acc. Torino, 1897, 21 nov.

v. 33, pp. 9-18.95. Relazione sulla memoria di M. P ie r i I principii di geometria di posizione com

posti in sistema logico deduttivo . Ace. Torino, 1897, 19 die., v. 33, pp. 148-150.

1898 96. Sulle formule di logica. R. d. M., V. 6, 1898, geun., pp. 48-52.97. Risposta ad una lettera di G. F r e g e . R. d. M., v . 6, 1898, genn., pp . 60-61.98. Analisi della teoria dei vettori. Ace. Torino, 1898, 13 marzo, v. 33, pp. 513-531.VII, 99. Formulaire de mathmatiques, t. II, 2. Tnrin, Bocca, 9 ag. 1898, pagg.

. vm -60, (F. 1898, F. I I $ 2).

16 G i u s e p p e p e a n o

1898 99'. Definitimeli der Arithmetik, Anhang II. Differentialrechn. etc., I ' 8', pp. 353-358.(E stratto del precedente).

100. A cidi! io nx et corrections F2. R. d. M., v. 6, 1998, pp. 65-74, (in collaborazione).

101. Sul $ 2 del Formulario t. I I : Aritmetica. R. d. M., v. 6, 1898, pp. 75-89.102. Recensione: E. S c h rO d er: ber Pasigraphie etc. R. d. M., v. 6, 1898, pp. 95-101.103. La numerazione binaria applicata alla stenografia. Aee. Torino, 1898, 13 nov.,

v. 34, pp . 47-55.

1899 104. E stra tto di una lettera. Period. d i Matem., (2), 1899, v. 14, pp. 152-153(su un artico lo d i C. C ia m b e r l in i),

105. Sui numeri irrazionali. R. d. M., v. 6, 20 maggio 1899, pp. 126-140.V ili, 106. Formulaire de Mathmatiques, t. II , n. 3. Turn, Bocca, 1899, pagg. 200,

(F. 1899, F. I I $3) .f. Eevue de Mathmatique, tome VI (R. d. M., v. 6). - - Tnrin, Bocca, 1896-1899,

pagg . 1V-188.

1900 107. Formule de logique mathmatique. R. d. M., v. 7, 20 loglio 1900, pp. 1-41.(F. 1900).

108. Additions au Formulaire. R. d. M., v. 7, 20 luglio 1900, pp. 67-70.109. Les dfinitions mathmatiques. Congrs intern. de phil., Paris 1900, agosto;

v. 3, Paris 1901, pp. 279-288.

109. Defincye io mathematijce, versione di Z. KzYGOWsnY. Wiadomosci matem., 1902, v. 6, pp. 174-181.

1901 IX, 110. Formulaire de Mathmatiques, t. III . Paris, G. Ca r r et C. NaUd , 1901" (1 gennaio), pagg. vm-231, (F. 1901, F. III).

111. Studio delle basi sociali della Cassa naz. mutua cooperativa per le pensioni. Torino, Tip. Gerbone, pagg. iv-31, 4 giugno 1901.

I l i ' , ibid., 2 edizione con una prefazione in data 3 nov. 1905, Torino, Tip. Cooperativa, 1906, pagg. 34.

112. Additions et correetions au Formulaire t. III. I{. d. M., v. 7, 15 luglio 1901, pp. 85-110, (in collaboraziono).

113. Recensione: O. Stolz n. I. A. G m e iNeu , Theoretisclie Arithmetilc. R. d. M., v. 7, 15 luglio 1901, pp. 112-114.

114. Relazione della Commissione per lo studio delle basi sociali della Cassa etc. - Torino, tip. Gerbone, 10 ag. 1901, pagg. 10.

115. Memoria (in risposta ad una critica al lavoro 111). Boll, di notizie sul credito etc., del Ministero Agr. Ind. e Comm., 1901, p. 1200 e seg.

116. Dizionario di logica matematica, Saggio presentato al Congresso prof, ital., Livorno, ag. 1901, pagg. 8.

116'. Dizionario di matematica, parte I, Logica Matematica. R. d. M., v. 7, 1901, die 338 (4 die.), pp. 160-172.

116". ibidem. Torino, tip . Gerbone, 9 die. 1901, pagg. 16.

117. Additions an Formulaire 1901. R. d. M., v. 7, die 338 ( i die.), pp. 173-18i, (in collabor.).

g. Re vite de Mathmatiques, tome VII (R. d. M., v. 7). Tnrin, Bocca, 1900-1901,pagg. iv-184.

1902 X, 118. Aritmetica generale e Algebra elementare. Torino, G. B. Paravia, 1902,pagg. VHI-144, gr. 8.

1902

1903

1904

1905

1906

1908

1909

INDICE CRONOLOGICO DELLE PUBBLICAZIONI SCIENTIFICHE l

119. Recensione: C. A r z e l A, Lezioni di calcolo infinitesimale. R. d. M., v. 8, 1902, die 72 (13 marzo), pp. 7-11.

120. Seconda relazione della commissione per lo studio delle basi sociali della Cassa etc., Torino, tip . Sacerdote, 12 maggio 1902, pagg. 28.

121. Sur la dfinition des nombres imaginaires (E stratto di una lettera). Bull, de Se. math. e t phys. lm., Paris, v. 7, 1902 (15 giugno), pp. 275-277.

122. La geometria basata sulle idee di punto e distanza. Acc. Torino, 1902, 16 nov., v. 38, pp. 6-10.

123. A proposito di alcuni errori contenuti nel disegno di legge sulle associazioni ton- tinarie presentato al Senato. Torino, tip . Cooperativa, 12 die., 1902, pagg.2, gr. 8.

124. Sul massimo della pensione a distribuirsi dalla Cassa etc. Torino, tip . Cooperativa, 18 apr. 1903, pagg. 20.

XI, 125. Formulaire mathmatique. d. de Ian 1902-03 (tome IV de ld. complte). Turin, Bocca, 1903, pagg. XVI-407, (F. IV, F. 1903).

*126-1. De latino sine-fiexione. R. d. M., v. 8, 1903, die 293 (20 o tt.), pp. 74-83.127-126. Principio de permanentia. R. d. M., v. 8, 1903, d. 293, pp. 84-87.*127'-1'. De latino sine flexione - Principio de permanentia. Torino, tip . Coopera

tiva, 27 ag. 1903, pagg. 14 (ed. prelim inare dei lavori 126-127).*128. 2. I l latino quale lingua ausiliare internazionale. Acc. Torino, 1904, 3 genn.,

v. 39, pp. 273-283.129-127. Sur les primipes de la Gomtrie selon M. P iek i. R apport prsent la

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20 G i u s e p p e p e a n

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1924

1925

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1930, maggio, pp. 138-140.228-192. (F. Au d isio ), Calcolo di ji colla serie di Leibniz. Acc. L incei, g ingno

1930, (6), v. 11 pp. 1077-1080.*229-37. Algebra de Grammatica. Schola e t Vita, v. 5, die. 1930, pp. 323-336. 230-193. Jocos de Arithmetica. Rend. Unione professori, Milano, ott. 1931, pp. 50-51. *231-38. Liberiate et Unione. Schola e t V ita, v. 6, die. 1931, pp. 323-325.

A V V E R T E N Z A

L e brevi annotazioni editoriali (con la sigla U . C.), che ho premesso ad alcuni lavori, hanno soprattutto lo scopo di indicare i lavori collegati f r a loro, e talvolta di richiamare lattenzione su qualche punto del lavoro a cui si riferiscono.

N on si propongono invece m ai d i commentare o di esprimere un giudizio su llopera pubblicata, perch non credo sia questa la sede per fa rlo .

In fa tt i , ritengo che lo scopo di queste Opere scelte sia quello di mettere a disposizione del lettore contemporaneo o fu tu ro il meglio della produzione scientifica d i Giuseppe P ea n o , affinch egli abbia la possibilit di giudicarla da solo, senza suggestioni delleditore.

Tuttavia, 'poich pu esserci invece qualche lettore desideroso di essere guidato nellinterpretazione e nel giudizio comparativo sulle opere pubblicate, ho creduto opportuno citare alcuni lavori a tti a tale scopo e, tra questi, anche alcuni d i quelli da me dedicati, in questultimo trentennio, allo studio ed al commento della vita e delle opere di Giuseppe P e a n o .

U go Ca s sin a

A N ALISI MATEMATICA

I

(5). SULLA INTEGKABILIT DELLE FUNZIONI(A tti delia Reale A ccad. delie Scienze di Torino, Voi. X V 11L A . 1883, pp . 439-146)

In questo lavoro fe nsato per la prim a volta (ancora otto forma implicita) la nozione d i integrale secondo P e a n o .

Questo concetto stato introdotto esplicitamente nel tra tta to n. 8 (Calcolo differenziale etc., 1884, p. 298 od Annotaz. al N. 193), nel tra tta to n. 60 (Lezioni di analisi injinit., 1893, voi. 1, p. 139) e nella nota n. 78 (del 1895).

Alla fine del lavoro n. 5 (del 1883) trovasi anche la definizione di area esterna, in terna e propria di nna figura piana.

G. P eano , nel tra tta to n. 11 (Applicazioni geometriche del calcolo infinit., 1887, pp. 155-158), definisce in modo analogo i concetti di lunghezza di una figura re ttilinea e di volume di una figura solida.

La lunghezza, cos definita, non differisce dalla misura di C. J orda n , il quale per la introdusse solo nel 1893. U. C.

Lesistenza dell5 integrale delle funzioni d una variabile non dimostrata sempre con rigore e semplicit desiderabili in tale questione. Invero spesso si ricorre a considerazioni geometriche ; ma parmi che il modo di ragionare dei principali trattatisti non sia soddisfacente. Le dimostrazioni analitiche sono generalmente lunghe e complicate ; in esse inoltre s introducono condizioni o troppo restrittive, od in parte inutili. Io mi propongo nella presente nota di

dimostrare l esistenza dell integrale, introducendo una semplicissima condizione d integrabilit. Il ragionamento sar analitico, ma si pu in ogni sua parte interpretare geometricamente.

1.

Sia y = f ( x ) una funzione di x data in un intervallo a b ; si suppongono a e b quantit finite, ed i limiti superiore ed inferiore dei valori di y in questo intervallo pure finiti, e li diremo A e B.

Si divida l intervallo a b in parti lii ht . . .h , tutte del segno di b a ; detto y, un valore qualunque assunto da y quando x

26 QIUSEPPE PEANO

varia nellintervallo ht , si faccia la somma

w = Vi -f- y% -|- -J- hn yn = 2 ht ys .Se, col diminuire indefinitamente di tutte le l i , u tende verso

un limite S (l), la funzione dicesi integrabile nell intervallo a b , e questo limite chiamasi il valore dell integrale

b

j / ( * ) x .a

2. .

Siano p e e q, i limiti superiore ed inferiore di y , , cio dei valori assunti da y nell intervallo A,; pongasi

P 2 ha Q 2 hgSiccome A > p B > y , > 5* > B , moltiplicando per 7t* e sommando si ha che le quantit

A (b a) , P , u , Q , B (b a)sono ordinate secondo la loro grandezza (decrescenti se le h sono > 0 , ossia a < b , crescenti se a > 6) ; P e Q sono i limiti superiore ed inferiore dei valori che pu assumere tt corrispondenti a quella divisione di b a.

Variando la divisione di a b , variano P e Q , in modo per che se a < 6 ogni valore di P maggiore dogni valore di Q. Infatti

rn

siano h i h2 . . . hn , h[ h '2 ... h'n>, due divisioni d i a b ; P = 2 K p r ,r 1

87l'Q' = 2 K 1 ; si immagini la divisione formata dalla sovrappo

ni1sizione delle due precedenti, e sia lc1 lc . . . . lcm ; ogni intervallo Tca sar contenuto in un Kp ed in un h'y , ed ogni intervallo l i , ed ogni h eguale ad uno, 0 alla somma di pi. intervalli le ; onde sostituendo :

am am

P = 2 K p p , Q 2 Jca q'f ,a1 a1

(') Col che si intende, che, fissata una quan tit piccola quanto si vuole *, se ne possa trovare ona ltra a tale che per ogni divisione d i a b per cui ogni intervallo h sia < a , e per ogni scelta delle yt negli in tervalli, sia. sempre in valore assoluto S v, < < ,

SULLA INTEGRABILIT DELLE FUNZIONI 27

e P Q' = 2 lca (pp 0 y e P > Q ' , e. v. d.Se a > 6 , ogni valore assunto da P minore di ogni valore

assunto da Q.Quindi si deduce che, se a *< b , le quantit P , tutte finite,

ammettono un limite inferiore, che diremo M ; e le quantit Q un limite superiore N , e sar

P ^ M ^ N ^ Q .. Se invece a > b , detto M il limite superiore dei valori di P ,

ed N il limite inferiore dei valori di Q , sarP ^ M ^ N ^ Q .

h 3.Se ,f(x ) integrabile, preso piccolo ad arbitrio e , si potr fis

sare uua quantit a tale cbe per ogni divisione di a b , per cui ogni w sempre compreso fra ed S e; anche i valori

di P e Q corrispondenti a queste divisioni sono compresi fra /S-j-e ed S e , perch u pu assumere valori tanto prossimi quanto si vuole ad ogni valore di P e di Q ; e M ed N , quantit comprese fra P e Q , saranno anche comprese fra S e ed S e , ossia sar M = N z= 8 , perch M , , S sono quantit costanti, ed e tanto piccolo quanto si vuole ; quindi :

Se la funzione / (x) integrabile,1 Le quantit M ed N sono eguali, ed il loro valore comune

eguale al valore dell integrale';2 Le quantit P e Q tendono verso S col diminuire degli

intervalli ;3 La differenza fra due valori che possono assumere P e Q

corrispondenti alla stessa divisione, o a divisioni diverse di ab si pu rendere tanto piccola quanto si vuole col prendere sufficiente- mente piccoli gli intervalli delle due divisioni .

Se in quest ultima proposizione si suppongono P e Q corrispondenti ad una stessa divisione, posto p , q, = d, (oscillazione di y nell intervallo li,) e D = 2 he d, sar

P Q = 2 h, (p , qs) = D ;

28 GIUSEPPE PEANO

onde : Se / (x) integrabile, D ha per limite zero, col diminuire

indefinitamente degli intervalli li .Le condizioni precedenti, necessarie per l integrabilit, non sono

fra loro indipendenti, come dimostra il seguente semplicissimo teorema.

4.

Teorema. La fu n z io n e /(x ) integrabile nell intervallo a b , se M = N ; ed il loro valore comune $ il valore dellintegrale.

Suppongasi p. es. a < 6 ; facciasi una divisione qualunque di a b , hl li2 . . . hn , tale per che ogni h sia < a , quantit a determinarsi ; e sia m = 2 h y.

Essendo S il limite inferiore dei valori di P , preso ad arbitrio s , si potr fare una divisione h\ h i . . . h'n> di a b , per cui, posto P 1 2 K p [ , sia P ' S < e . Si immagini la divisione di a b proveniente dalla sovrapposizione delle precedenti ; e un intervallo lca di questa sia compreso in hp ed in hy ; sar P ' = 2 K p 'y ,

a

u = 2 h a yfi, e P ' u 2 Jca ( p r yfi). Ora degli intervalli hp al-a

cuni possono essere contenuti in qualche intervallo h'r ; sar per essi P y > y p , ed i termini corrispondenti in P ' u positivi ; gli altri intervalli hp contengono qualche punto della seconda divisione ; essi sono in numero < ri , e, siccome hp < a , la loro ampiezza totale < ri a ; a questi intervalli possono corrispondere in P' u termini negativi, ma, poich p'y yp < A B , sar la loro somma minore numericamente di ri o (A B), onde :

P u > ri a (A B ) ,ossia

S + e + (-4. P ) > i t .Analogamente, essendo S il limite superiore dei valori di

Q , si potr trovare una divisione h li'i, . . hn per cui, posto Q" = 2 h" q", sar S Q" < e ; e, considerando la quantit u Q " , si dimostra nello stesso modo :

u > 8 e r i' a (A B).Ora, preso ad arbitrio piccolo a , potremo nel ragionamento che

precede, supporre < 4 r , e r i a {A B) ed r i' a [A B) minori2t

di , perch baster prendere < , e < i

SULLA INTEGRABILIT DELLE FUNZIONI

allora+ a ,

ossia, fissata una quantit piccola quanto si vuole a , si pu determinare o tale che per ogni divisione di ab per cui ogni h < a , e per qualunque sistema di valori delle ys , si ha sempre S < a , e quindi u tende verso il limite 5 col decrescere indefinitamente delle l i , c. v. d.

5.Dal teorema precedente si deduce questaltra condizione d in

tegrabilit :Teorema. / (x) integrabile, se, fissato piccolo ad arbitrio

e , si pu trovare un valore di P ed un valore di Q (corrispondenti,o no, alla stessa divisione di ab), la cui differenza sia < e ; e fra questi due valori compreso il valore dell integrale.

Invero, essendo M ed 2V compresi fra P e Q , la cui differenza < e , sar M = N~, come nell ipotesi del teorema precedente ; ed pure vera la proposizione inversa, come si visto al 3.

Se nellenunciato di questultimo teorema si fa l ipotesi inutile che P e Q corrispondono ad una stessa divisione di a b, ricordando che P Q D , si ha :

Teorema. f ( x ) integrabile se il limite inferiore dei valori assoluti di D zero (z).

Per completare la trattazione che precede, dar ancora i seguenti teoremi :

Teorema. Ogni funzione continua integrabile .Invero, supposto a < b , fissato e piccolo ad arbitrio, si potr

determinare una quantit hi tale che per ogni valore di x compreso fra a ed a -f- /i, = a, sia / (a) / (a;) < s in valor assoluto ; poi una quantit \ tale che per ogni valore di x compreso fra a, ed i -j- li2 = ia / (ai) / () e cos di seguito. S i avr in tal

(2) I l semplice criterio d in tegrab ilit enunciato in questo teorema trovasi gi dim ostrato nei Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, di U. D ini ; ma esso dedotto come conseguenza di lunghi ragionamenti, che non possono ritenersi come elem entari; invero V illustre A. lo deduce da quest'altro criterio / (x) integrabile se lim D 0 col decrescere di tu tte le /*, nel quale sono inclusi concetti inutili (come quello del lim ite); e nelle Lezioni di Analisi infinitesimale, P isa 1877-78, il D in i si lim ita a dimostrare quest'ultim o criterio ; e ad esso si lim ita pure il P asch Einleitung in die Differential und Tntegralrechnung, Leipzig 1882, a pag. 95.

Dai criterii precedenti si deduce con tu t ta facilit quello enunciato dal R iemann tes. Math. Verke, Leipzig 1876, a pag. 226.

3o G i u s e p p e p e a n

modo una serie di quantit a , at , a2 , . . , crescenti ; dico che possono crescere in modo da raggiungere b : infatti, ove ci non avvenisse, esse tendono verso un limite d g l i ; essendo /(,* ) continua anche per x = c , potr determinare un intervallo c oc, c , tale

gche per ogni valore di x in esso sia f (x) / (c) < ; ed essendoc il limite superiore delle a a i ai . . . esister una quantit di queste serie , dove i finito, compresa nell intervallo c , c ; onde

/ (>) / (c) < -4 - , e supposto x compreso nell intervalli a

SULLA INTEGRABILIT DELLE FUNZIONI 31

Molti autori dimostrano l esistenza dellintegrale con considerazioni geometriche ; ma, oltre allescludere dalla considerazione funzioni integrabili, i ragionamenti non sono del tutto soddisfacenti. Invero in essi si suol considerare larea della figura senza definirla; e parmi che l area, considerata come quantit, duna figura piana curvilinea sia appunto una di quelle grandezze geometriche, che, come la lunghezza dun arco di curva, ecc., spesso la nostra mente concepisce, o crede concepire, chiaramente, ma che hanno bisogno, prima dessere introdotte in analisi, d essere ben definite (4) ; e parmi questo pi importante per l area, perch sul suo concetto si sogliono nei trattati elementari basare altre dimostrazioni.

Ora, avendosi una figura di forma semplice, il metodo pi naturale per concepirne la sua area d immaginare dei poligoni, i quali racchiudono nel loro interno la data figura, e dei poligoni, contenuti nellinterno della data figura ; le aree dei primi ammettono un limite inferiore, e le aree dei secondi un limite superiore ; se questi limiti coincidono, il loro valore comune l area della figura data, quantit ben definita, che si pu calcolare collapprossimazione che si vuole ; se invece quei due limiti potessero non essere eguali, sarebbe ad escludersi in questo caso il concetto di area. Quindi, per parlare dellarea duna figura necessario che si verifichi prima l eguaglianza di quei due limiti, il che non altro che la condizione dintegrabilit precedente.

I l Serret dimostra appunto la loro eguaglianza nel suo Court de Calcul diffrentiel et intgral, Paris 1879 al N. 10, dove comparisce l area limitata dalla curva y = f (x) , da due ordinate, e dallasse delle a; ; ma in questa dimostrazione si debbono anzitutto fare lipotesi che f (x) sia continua (pag. 12, linea 1C), e che non faccia infinite oscillazioni nell intervallo considerato (pag. 13, prime linee), le quali ipotesi non fa il Serret, il quale definisce pi tarili la continuit delle funzioni ; oltre a ci la dimostrazione non pu ritenersi esatta. Invero in essa si ricorre al principio del N. 9, il quale enunciato e dimostrato in termini vaghi ed indeterminati ; n pare facile, colle poche definizioni e proposizioni premesse dall autore, rendere rigorosi i ragionamenti dei numeri 9 e 10 ; ad ogni modo certo che vi si considerano come infinitesime delle quantit

1(4) . . . J e com pte parm i ces 'po in ts dfectoenx (della geom etria) l obscurit

q n i rgne su r les prem ires no tions des g rau d en rs gomtriqnee, e t so r la m anire d o n t on se reprsente la m esnre de ces g r a n d e n r s . . . . L o b a tsG h e w s c k y , Thorie des paralllea, t ra d . p a r H o O el.

32 GIUSEPPE PEANO

della forma / (x + h) / (x) , ove sono variabili ad un tempo x ed h ; in altre parole si ammette nella dimostrazione che si possa, fissato ad arbitrio e , determinare una quantit a tale che per ogni valore di h < a , e per ogni valore di x nellintervallo considerato sia sempre f ( x - \ - h ) / ( * ) < e ; ed vero che se si suppone f { x ) continua, essa soddisfa alla condizione precedente (della continuit equabile), ma questo un teorema che ha bisogno dessere dimostrato.

(6). S U L L E F U N Z I O N I I N T E R P O L A R I(A tti della Reale Accad. delle Scienze di Torino, Voi. X V III , A. 1883, pp. 573-580)

Sia / (x) una funzione della variabile complessa x , uniforme, continua, ed avente derivata per tutti i valori di x rappresentati da punti nell interno d un campo G ; e siano

x t x z x 3 . . .

valori di x nell interno dello stesso campo. Le funzioni interpolari

f ( r r ) - f

perch si ha la formula :

J 1 1 2n i J (t x)n 0

e se si fanno solamente eguali- alcuni dei valori di sc x2 . . . x n , la funzione interpolare si pu esprimere mediante valori di / (x ) e di sue derivate, perch basta decomporre la frazione

______ 1(t X^) . . (t Xn)

in frazioni semplici, e l integrale nella somma di pi integrali della forma

f /( ) dt J (t x)a

34 GIUSEPPE PEANO

Si ha l identit :

| / (*) = / K ) + (* *2) + . . . (2)( -!r (x x l) . . . { x xn^ 1) f ( X i X . . . X n ) - \ - R n

dove fR n = (x asi). . . (a- *) / (xi x2 ... xn x ) ,

ovvero

Rn = ^ ~ X x) . . . ( X - Xn) f {t _ Xi) f ^ _ Xn) (t _ ) (3).c

Suppongasi ora che le quantit Xi x 3 . . . crescano in numero indefinitamente ; / () sar sviluppabile in serie colle funzioni inter- polari ove R n abbia per limite zero col crescere indefinitamente di n . Potremo esaminare alcuni casi in cui questo avviene.

1 Caso.

Suppongasi Xi x2 = x3 = . . . = x 0 ; si ritrova la serie di Taylor.

2 Caso.Suppongasi

X\ = x 3 = x 6 . . . = ae

x = Xi = x 0 = . . . = &, prendendo 2n termini della serie interpolare, si ha :

/ ( * ) = / { ) + ( - 0 / ( > &) + (* ) (* &)/( b , a)+ (* (i)2 (# b ) f (a , b , a , b) + . . . + R 2a (4),

SULLE FUNZIONI INTERPOLARI 36

ovvero sommando a due a due i termini della serie precedente si ha :

/ (*) = (o + ) + (* )(* 6) (1 + h x ) ++ [(* a) (a? 6)]2 (2 - f x) + . . .

. a) (X i))]"- 1 (a_! -j- /?a_i a?) -(- ,

7i>2n = ^ (a? o)n (x b)n f --------~{ ('td! -------------2 n t y ' v ' J (t

GIUSEPPE PEAN

Esem pi: 1 Pongasi a = 1, = 1, onde ( # n ) ( x 6) == x 2 1 . Sia / () = 2 ; questa funzione discontinua perx 0 , onde la massima ovale di Cassini, di fuochi -f~ 1 e 1 nel cui interno / (x) continua la lemniscata ; quindi si ha che-4 - sviluppabile in serie ordinata secondo le potenze di x2 1 , x *(i coefficienti essendo funzioni lineari d x), e si ha :

L = ! _ (* _ 1) + (** _ 1f _ (x* - 1 )* + . . . ,

serie convergente pei valori di x nell interno della lemniscata.Essa divergente per x = 0.2 Moltiplicando la serie precedente per x si ricava la serie

-1 - = x x (x2 1) -{- as (x- l )4 . . .* X

convergente, ed avente per somma per x interno alla stessaOClemniscata ; essa per ancora convergente per x = 0 , ed ha per somma zero.

3 Si moltiplichi la prima serie per le, e si sommi termine a termine colla seconda ; si avr la nuova serie :

l l = (le _L *) - (le + x) (x2 1) -4- (le + x) (x2 - 1)- . . .x 4

la quale convergente nell interno della stessa lemniscata ; essa poi ancora convergente, ed ha |)er somma zero, per x = le , e siccome le arbitrario, il valore le pu essere rappresentato da un punto esterno alla lemniscata ; onde si deduce non essere vero che la serie (4) sia divergente per ogni valore di x esterno alla pi. grande curva del sistema non contenente nel suo interno punti di discontinuit o di diramazione. Ritorner su questo concetto.

4 Si pu formare una serie del tipo (4), convergente nell interno della stessa lemniscata, e che valga -f- x quando la parte reale di x positiva, e x quando la parte reale di x negativa. Questa serie :

* = i + i - _ 1) - (x2 - 1)* + (x2 - 1)* - . . .

5 Pi generalmente la serie :

. -f- m (x2 1) -f m. (m 1) (m 2)

f ( x ) = 1 + m (x2 - 1) + (** - 1)* +

1-2-3

SULLE FUNZIONI INTERPOLAI^ 37

convergente pei valori di x nell interno della stessa lemniscata, e ha per somma, nellovale contenente + 1 , x2m, e nellovale contenente --- 1 , (T X)2m.

6 anche a notarsi la serie

f (x ) = x z a;2 {x2 \) -\- x % (x2 l )3 . . .

che si ottiene moltiplicando quella del 1 esempio per x 2. Interpretandola solamente per x reale, essa convergente purch x sia compreso fra e + 1 2 , ed ha per somma sempre 1 , eccettuato per x = 0 , dove la somma zero.

Essa poi anche convergente, ed ha per somma uno nell in terno della solita lemniscata.

3 Caso.

Generalizzando la discussione precedente, si deduce che, ponendo

x j = = fitg, . . . x n = an ,

#+1 f #h-}-2 == X2n &n j *^2+l == > ............................... ...............5

e{p = y (x) = {x ax) (x a2) . . . { x an),

la funzione / (a?) sviluppabile in serie della forma :

/ (#) = Vo +

38 GIUSEPPE PEANO

4 Caso.

Suppongasi che le quantit, x 1 x2 . . . x n . . . ammettano un sol valore limite a , in modo cio che in ogni intorno di a cadano in fluite quantit del sistema proposto, e siano in numero finito quelle non contenute in questo intorno. Dico che la serie ottenuta colle funzioni interpolari convergente pei valori di x interni al massimo cerchio di centro a , e nel cui interno / (*) continua e univoca ; inoltre la stessa serie pure convergente pei valori di x , esterni al cerchio, ma eguali a qualcuna delle quantit a?i x2 #3 . . .

Invero sia B il raggio di questo cerchio ; pongasi

q mod (x a) ;

onde essendo x interno al cerchio, > < B ; si prenda r in modo cheT n , .

q mod / (t) quando t percorre il cerchio di raggio r , ed li < mod (t x ) , il quale modulo non mai zero, anzi il suo valore minimo x q . Ora

mod {x a;-|-i) < mod (x a) -f- mod {xn+i a)

(x &i). . . (x xn) (x (x x n^_p) J* ^__

ossia

ondemod (x *n+i) r e ;

mod < g - + f < 1t x n+i r e

e11? ^ A x x 1) . . . { x xn) ( Q - \ - \ P A

mod En+P < mod [ J T r ,

e facendo crescere indefinitamente p , si ottiene

Iim = 0 ,

SULLE FUNZIONI INTERPOLARI 39

Se poi si fa * eguale a qualcuna delle' quantit laserie si riduce ad un polinomio, ed perci convergente.

E se m t io . Vogliasi sviluppare in serie colle funzioni interpolati una funzione tale che per x = 0 vale 1 , e che per x 1 e dintorni vale zero. Basta prendere X\ = 0 , x 2 x3 = . . . = 1 ; si ottiene la serie

f (x ) = 1 x x ( l x) : x ( 1 x)2 x ( 1 a;)3 . . .convergente per tutti i valori di x compresi nel cerchio di centro 1 e di raggio uno, ed avente per somma zero ; convergente pure per x = 0 , ed avente per somma uno.

5 Caso.

Ogni funzione / (x) continua ed uniforme in tutto il piano sviluppabile in serie colle funzioni interpolari corrispondenti ad argomenti che non crescano indefinitamente.

Invero sia l i maggiore del modulo di x x x2 . . . , e si prenda per contorno, lungo cui si integra, un cerchio di raggio R ' > R ,

oc *_oc 2 J?e sufficientemente grande ; sar mod -------- - < -------, che posso

I fl'U JXi --- Xbsupporre < 1 , perch baster prendere R ' > 3 R ; il resto della serie

E . = ( ( - , ) ^ ^ ,e

e quindi/ 2 R \ n 1

2* m o d / ^ C ^ r ^ J A . 2. l i ' ,

essendo A > mod / (x) , ove t percorra il cerchio di raggio R ' ; onde lim. mod R n = 0 , e. v. d.

(7). TEOREMI SULLE DERIVATE(ESTRATTI DI DUE LETTER E DI PEANO E DI UNA DI GILBERT)

(Nouvelles Anualea eie M athm atiques, Serie 3, A . 1684, pp. 45-47, 153-155, 252-256)

Alla nozione di derivata, G. P e a n o , ha dedioato i lavori n.> 7 (del 1884), 45 (del 1892) e 159 (del 1912). U. C.

JHxtrat d une lettre de M. le D r. J . Peano (pp. 45-47).Dans son Cours dAnalyse de lcole Polytechnique, p. 21, M.

Jordan donne une dmonstration peu rigoureuse du tliorme suivant: Soit y f (x) une fonction de x dont la drive reste fnie et

determine lorsque x varie dans un certain intervalle.Soient a et a -f- h deux valeurs de x prises dans cet intervalle.

On aura/ (a + h) f (a) = (ih ,

/a dsignant une quantit intermdiaire entre la plus grande et la plus petite valeur de / ' (x) dans l intervalle de a -|- li .

En effet, dit lauteur, donnons x une srie de valeurs a i , a2 , . . . , intermdiaires entre a et a -{ li ; posons

/ (

TEOREMI SULLE DERIVATE 41

mme temps ar et n,.i , si l on ne suppose pas que la drive soit continue.

Ainsi, par exemple, posons

V = / ( * ) = S'n \ ,avec

/ ( 0) = 0;sa drive

f (x) 2x sin ----- cos CO Xpour x ^ 0 , et / ' (0) = 0 , reste toujours finie et dtermine, mais discontinue.

Soita = 0 , li > 0 ;

posons1 1

a 2 n n "2 (2 + l f ^I

n3 , a4 , . . . quelconques.On aura

az almais

/ (i) = o , / (d2) = 0 , / ' (i) = 1 ;donc

= 1 >et sa limite n est pas zro.

Presque la mme faute a t commise par M. Hoiiel (Cours de Calcul infinitsimal, t. I, p. 145). J ajouterai enfinque lon dmontre trs facilement la formule

/ (*o + h) f (x o) = h f (*o + eh) sans supposer la continuit de la drive.

Lettre de M. le pro f. Ph. Gilbert (pp. 153-155).

Monsieur le Edacteur,

Permettez-moi quelques mots de rponse la critique de M. le Dr. Peano (*), laquelle M. Jordan naurait eu aneline peine rpondre lui-mme, s il n eut probablement apergu derrire quelqne difficult plus subtile.

(4) Nouvelles Annales, janv ier 1884.

42 GIUSEPPE PEANO

J observe d aborrt quil nest pas ncessaire que les e tendent vers zro pour tout mode de division de l'intervalle h en parties indiniment dcroissantes } il suffit que cela ait lievi pour un mode de division, et le tliorme dont il s agit sera dmontr. M. Peano suppose, dans sa critique et dans son exemple, que les quantits ar ne sont pas des valeurs fixes de la variable x. Or, rien n empche de concevoir que l on fasse dcrotre les intervalles entre les valeurs conscutives de x , tout en supposant celles-ci fixes, en intercalant entre elles de nouvelles valeurs de * qui resteront fixes leur tour, entre celles-ci de nouvelles valeurs galement fixes, et ainsi de suite indfnimnt (2). Les intervalles , toujours subdiviss, pourrout dcroitre au-dessous de toute grandeur donne, et chaque valeur intercale x restant fixe, le rapport

f { x - \ - ) f ( x )- - l )

ne pourra tendre, pour chaeune delles, vers une limite differente de / ' (,r). A moius donc que, pour tout mode de division de l intervalle li en parties indiniment dcroissantes

TEOREMI SULLE DERIVATE 43

Supposons une fonction / (ar) gale ^2 p x depili x = 0 jusqu x a , et 2p (2a x) depuis x = a jusqu x = 2 a. Cette fonction est continue, mais sa drive cesse de ltre pour

x a , ol elle passe de la valeur l / ~ la valeur 1 / . 1 I' 2a \ 2a

On a videmment, h tant < a ,

f (n -f- h) f (a h) = \'2p (a h) j2 p (a A) = 0 ;or il nexiste entre a h et a - \ -h aucune valeur de x pour la- quelle / ' (x) se rduise zro.

Notons que le tliorme de M. Jordan reste vrai, au contraire, dans ce cas-ci, car zro est compris entre les valeurs

1 / P et _ l / P\ 2 (a h) \ 2 (a h)

de f ' (x) qui correspondent a h et a - \- h. E t cependant M. Peano pourrait ic renouveler son objection, puisque f (a -\- 6) / ( 5) n a pas polir limite / ' (a) lorsque & tend vers zro.

P h . Gil b e r t ,Pvofosasur lUuiverait de Louvain

Lettre de M. le D r. J . Peano (pp. 252-256).

Monsieur,

Permettez-moi de rpondre la Lettre de M. Gilbert. Ses observations n ajoutent rien la rigueur de la dmonstration de M. J ordan . Il suppose fixes les valeurs successivement interpoles dans l intervalle consider ; mais, dans mon exemple, on peut bien les supposer fixes, et le raisonnement subsistera toujours, si lesdeux premires conservent la forme -^------ et - .[2n -\- 1) ji 2)i ti

Enfin on a toujours un systme de quantits si , , . . . dontcbacune a pour limite zro, mais dont le nombre crot indfnimnt;et, quand cela arrive, on ne peut pas conclure en gnral que leurmaximum tende aussi vers zro.

M. Gilbert dit que le tborme sera dmontr si l on prouveque, pour un mode de division, les e ont pour limite zro. Si lonentend par ces mots que, pour un mode de division, le maximumdes s a pour limite zro, la proposition est juste ; mais, commecela n arrive pas pour tout mode de division, le tborme rsultera

44 GIUSEPPE PEANO

dmontr lorsqne M. Gilbert aura trouv ce mode particulier de division, pour lequel la condition prcdente est satisfatte.

Et je dis cela sans malice, pare e que ce mode existe, mais je laisserai le soin de le trouver M. Gilbert ; et, pour bien fixer la question, je lui propose de dmontrer ce tborme, dont il se sert:

S i f ( x ) a une drive dtermine et fin ie / ' (x) pour toutes les valeurs de x appartenant un intervalle f in i ( a , 6), tant fixe une quantit e arbitrairement petite, on peu t toujours diviser V intervalle (a , b) avec les points

Xq a , X\ , X2 , * , 1 , 3*11 = b ,

de fagon que cliacune des diffrences

J Z I M - f (ar) (r = 0 , 1 1) r + l r

soit, en valeur absolue, moindre que e.J ai dit, dans ma premire lettre, quon dmontre facilement la

formulef ( x + h ) - f ( x ) = h f ' ( x + Oh),

sans supposer la continuit de la drive, mais seulement son exi- sten