1

Tài liệu quang phi tuyến:

http://mientayvn.com/Cao%20hoc%20quang%20dien%20tu/Semina%20tren%2

0lop/seminar.html#6

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ QUANG PHI TUYẾN

1.1 Giới thiệu quang phi tuyến

Quang phi tuyến là một phân ngành quang học nghiên cứu sự truyền của chùm

ánh sáng cường độ cao trong chất rắn, chất lỏng, chất khí và sự tương tác của chúng

với các môi trường đó. Sự xuất hiện của laser giúp con người có được những nguồn

phát bức xạ với công suất lên đến 109-1010W, nhờ đó, nhiều hiện tượng quang học mới

lạ đã xuất hiện. Đặc điểm chung của những hiện tượng mới này là sự xuất hiện và bản

chất của chúng phụ thuộc vào cường độ ánh sáng. Trường ánh sáng mạnh làm thay đổi

tính chất quang học của môi trường (chiết suất n, hệ số hấp thụ), và bản chất của các

hiện tượng quang học này gắn liền với đặc tính của những thay đổi đó. Quang phi

tuyến có nhiều điểm giống với lí thuyết dao động phi tuyến, âm học phi tuyến

v.v…Trước đây, trong quang học, người ta sử dụng trường ánh sáng cường độ yếu

không đủ để làm thay đổi tính chất của môi trường nên quang học ở giai đoạn đó gọi

là quang học tuyến tính.

Lịch sử quang phi tuyến. Trong quang học "phi laser", đặc tính cơ bản của

sóng ánh sáng, góp phần xác định bản chất của tương tác của nó với vật chất là tần số

hoặc bước sóng 𝜆 và tính chất phân cực. Đối với đa số các hiệu ứng quang học, cường

độ điện trường E (hoặc mật độ thông lượng bức xạ I = cnE2/ 8𝜋, ở đây c là tốc độ ánh

sáng, n – chiết suất) không ảnh hưởng đến tính chất của môi trường. Chiết suất n, hệ

2

số hấp thụ, tiết diện hiệu dụng của các chùm sáng được ghi trong các tài liệu mà

không cần chú thích về cường độ ánh sáng được sử dụng trong quá trình đo chúng, bởi

vì người ta chưa quan sát thấy sự phụ thuộc của các đại lượng này vào cường độ ánh

sáng. Nhưng về sau đã có vài công trình nghiên cứu về ảnh hưởng của cường độ ánh

sáng đến các hiện tượng quang học. Năm 1923, SI Vavilov và Levshin đã quan sát thấy

sự giảm hệ số hấp thụ của thủy tinh Uranium khi tăng cường độ ánh sáng và đã giải

thích dựa trên quan điểm là: trong một trường điện mạnh, các nguyên tử (hoặc phân

tử) ở trạng thái kích thích không thể hấp thụ photon nữa. Xét thấy rằng đây chỉ là một

trong nhiều hiệu ứng phi tuyến khả dĩ trong quang học, Vavilov đã đưa vào thuật ngữ

"quang phi tuyến".

Một cộng đồng rộng lớn những nhà nghiên cứu quang phi tuyến đã hình thành

sau sự xuất hiện của các laser. Vào năm 1961, P. Franken và các cộng sự (Mỹ) đã

khám phá hiện tượng phát sóng hài bậc hai trong tinh thể thạch anh. Năm 1962, hiện

tượng phát sóng hài bậc ba được khám phá. Trong những năm 1961-1963, Liên Xô và

Mỹ đã thu được các kết quả cơ bản trong việc xây dựng lí thuyết về các hiện tượng

quang phi tuyến. Trong những năm 1962-1963, hiệu ứng Raman cưỡng bức được

khám phá và giải thích. Điều này mở đường cho việc khám phá các loại hiệu ứng tán

xạ cảm ứng khác như tán xạ Mandel'shtam – Brillouin cảm ứng, tán xạ Rayleigh cảm

ứng v.v…..

Vào năm 1965, hiệu ứng tự hội tụ của chùm ánh sáng được phát hiện. Thông

thường, một chùm sáng khi truyền trong môi trường sẽ bị mở rộng do nhiễu xạ.

Nhưng ở đây, khi chùm sáng cường độ cao truyền trong môi trường lại bị hội tụ. Hiện

tượng tự hội tụ của sóng điện từ đã được G.A.Askar'yan (Liên Xô) tiên đoán vào năm

1962. Các công trình thực nghiệm và lí thuyết đã được tiến hành đồng thời bởi

C.H.Townes và các cộng sự (Mỹ, 1964). Đóng góp lớn nhất trong việc hiểu biết bản

chất của hiện tượng này là của AM Prokhorov và các cộng sự.

3

Năm 1965, J.A.Giordmaine và R.C.Miller đã tạo được các bộ phát tham số ánh

sáng, trong đó các hiệu ứng quang phi tuyến được dùng để tạo ra bức xạ quang học kết

hợp, có thể điều chỉnh được bước sóng một cách liên tục trên một khoảng rộng. Năm

1967 bắt đầu nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến liên quan đến sự lan truyền của các

xung ánh sáng siêu ngắn trong môi trường (chu kì cỡ 10-12 s). Kể từ năm 1969, các

phương pháp quang phổ phi tuyến dựa trên các hiệu ứng phi tuyến xuất hiện góp phần

cải thiện độ phân giải và độ nhạy trong nghiên cứu vật chất.

Tương tác của trường ánh sáng mạnh với môi trường. Một số chất điện môi

trong nó đã tồn tại sẵn các lưỡng cực điện, ví dụ như H2O, NaCl,v.v….Một số chất

điện môi khác không có sẵn các lưỡng cực điện, ví dụ như H2, N2,…..Đối với loại điện

môi thứ nhất, khi chưa có trường điện ngoài, các lưỡng cực phân tử sắp xếp hoàn toàn

hỗn loạn theo mọi phương do chuyển động nhiệt. Tổng của các momen lưỡng cực

phân tử sẽ bằng 0 nên vectơ phân cực điện môi cũng bằng 0. Khi có điện trường ngoài

với cường độ không quá lớn tác động vào thì các momen lưỡng cực điện sẽ hướng

theo chiều điện trường. Người ta chứng minh được, lúc này độ phân cực điện môi tỉ lệ

tuyến tính với cường độ trường điện tác dụng theo hệ thức:

�⃗� = 𝜒�⃗� (1.1.1)

Ở đây 𝜒 là độ cảm điện môi tuyến tính chỉ phụ thuộc vào tính chất của môi trường.

Đối với loại điện môi thứ hai, mối quan hệ giữa độ phân cực điện môi và trường

điện ngoài tác dụng vào cũng tuân theo hệ thức tương tự.

Hệ thức (1.1.1) là hệ quả của một nguyên lí quan trọng trong quang tuyến tính.

Đó là nguyên lí chồng chất. Hệ thức (1.1.1) có thể được rút ra từ mô hình dao động tử

cổ điển được dùng phổ biến trong quang học để nghiên cứu tương tác của ánh sáng

với vật chất. Theo mô hình này, nguyên tử và phân tử khi đặt trong trường ngoài sẽ

dao động như các dao động tử trong cơ học. Tất nhiên, với cường độ ánh sáng yếu,

cường độ điện trường tương ứng cũng nhỏ, các dao động này sẽ là các dao động điều

hòa.

4

Tuy nhiên, với ánh sáng Laser, thành phần điện trường trong nó có thể đạt đến

cường độ cỡ 1,2 .108 V /m. Cường độ điện trường này có thể đủ lớn để gây ra sự đánh

thủng không khí (cỡ 3.106 V / m ) và chỉ nhỏ hơn vài bậc so với cường độ trường điện

để giữ các nguyên tử với nhau (cỡ 5.1011 V / m) đối với Hidro, số hạng này cũng còn

được gọi là cường độ trường điện nguyên tử đặc trưng Eat. Với cường độ điện trường

lớn như vậy, dao động của các nguyên tử và phân tử sẽ là phi điều hòa và hệ quả của

nó là độ phân cực điện môi không còn tỉ lệ tuyến tính với cường độ điện trường ngoài

nữa. Nếu môi trường không hấp thụ và không tán sắc, các electron dịch chuyển vị trí

theo cùng hướng với trường điện ngoài thì độ phân cực điện môi và điện trường ngoài

liên hệ với nhau qua hệ thức phi tuyến:

𝑃(𝑡) = 𝜒(1)𝐸(𝑡) + 𝜒(2)𝐸2(𝑡) + 𝜒(3)𝐸3(𝑡) + ⋯ (1.1.2)

Ở đây 𝜒(2) và 𝜒(3) tương ứng là độ cảm điện môi phi tuyến bậc II và bậc III.

Nếu môi trường có hấp thụ và tán sắc, thì 𝜒(2) và 𝜒(3) là các tensor hạng ba và

hạng bốn. Hệ thức (1.1.2) phải được hiệu chỉnh lại. Chẳng hạn như, chúng ta phải viết

độ phân cực phi tuyến bậc hai dưới dạng như sau:

𝑃𝑖(2)

= ∑𝜒𝑖𝑗𝑘(2)

𝐸𝑗𝐸𝑘

𝑗𝑘

Giả sử có một sóng ánh sáng đơn sắc E = Acos (ωt - kz), ở đây A – biên độ, ω –

tần số, k – số sóng, z – hướng truyền sóng, t – thời gian, theo (1.1.2), đóng góp của độ

phân cực phi tuyến bậc hai là:

𝑃(2) = 𝜒(2)𝐸2 =𝜒(2)𝐴2

2+

𝜒(2)𝐴2

2𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) (1.1.3)

Số hạng cuối cùng trong (1.1.3) mô tả sự phân cực biến đổi với tần số 2ω, tương ứng

với sự phát sóng hài bậc hai. Sự phát sóng hài bậc ba và sự phụ thuộc chiết suất vào

cường độ ánh sáng tới được mô tả bởi số hạng 𝜒(3)𝐸3 trong (1.1.2).

Sự đáp ứng phi tuyến của các dao động tử nguyên tử trong trường laser mạnh là

nguyên nhân chủ yếu của các hiệu ứng quang phi tuyến. Tuy nhiên, cũng có những

5

nguyên nhân khác, ví dụ sự thay đổi chiết suất n do nhiệt của môi trường laser. Sự

thay đổi nhiệt độ ΔT = AE2 (A – hệ số hấp thụ ánh sáng) dẫn đến:

𝑛 = 𝑛0 +𝜕𝑛

𝜕𝑇∆𝑇

Ngoài ra, hiệu ứng điện giảo cũng góp phần tạo ra hiệu ứng phi tuyến. Trong

trường laser mạnh, áp suất điện giảo tỉ lệ với E2, mật độ môi trường vật chất thay đổi

dẫn đến sự tạo các sóng âm. Các hiệu ứng nhiệt và điện giảo thường đi kèm với sự tự

hội tụ của ánh sáng.

Sóng hài quang học. Hình 1.1 biểu diễn một bức xạ đơn sắc cường độ cao của

laser thủy tinh neodymium (𝜆1 = 1064 𝑛𝑚) đi qua tinh thể barium niobate được

chuyển thành bức xạ có bước sóng bằng phân nửa bức xạ ban đầu, tức là, sự phát sóng

hài bậc hai (𝜆2 = 532 𝑛𝑚).

Hình 1.1: Bức xạ laser 1064nm qua tinh thể barium niobate được chuyển thành

bức xạ hài bậc hai 532 nm.

Trong những điều kiện nhất định, hiệu suất chuyển đổi sóng hài bậc hai có thể

hơn 60%. Sự nhân đôi tần số cũng được phát hiện với các bức xạ laser khác trong

vùng khả kiến và hồng ngoại. Một số tinh thể và chất lỏng cũng có khả năng tạo sóng

6

hài bậc ba. Ngoài ra còn có thêm nhiều hiệu ứng khác phức tạp hơn nếu trường đầu

vào bao gồm hai hoặc nhiều sóng cường độ cao với tần số khác nhau ω1 và ω2. Như

vậy, cùng với sóng hài của mỗi sóng (2ω1, 2ω1), còn có thêm các sóng có tần số kết

hợp (ω1 + ω2, ω1 – ω2).

Các quá trình phi tuyến bậc ba. Giả sử có 3 sóng phẳng đơn sắc truyền dọc

theo trục z vào một môi trường phi tuyến bậc ba (Hình 1.2). Điện trường tổng hợp

trong môi trường phi tuyến bậc ba sẽ là tổng hợp của ba điện trường ứng với ba sóng

này:

Hình 1.2 Mô hình tương tác trong môi trường phi tuyến bậc ba

tEtEtEE 332211 coscoscos (1.1.4)

),( 111 zEE , ),( 122 zEE và ),( 333 zEE .

Để cho việc tính toán được thuận tiện và ngắn gọn, ta sẽ đặt tEA kkk cos

(k=1,2,3). Vậy theo (1.1.4):

321

3

1,

23

1

3

33

1

3 63 AAAAAAAElk

lk

k

k

k

k

(1.1.5)

Hãy xét từng số hạng dưới dấu xích ma:

)3cos(4

1)cos(

4

3)(cos 33333 tEtEtEA kkkkkkk

)2cos(4

1)2cos(

4

1)cos(

2

1 2222

lklklklkllklk EEtEEtEEAA

k=1,2,3; l=1,2,3;Các cặp k,l khả dĩ là: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1).

7

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1

4

cos cos cos( ) cos( )

A A A E E E

t t

Độ phân cực phi tuyến bậc ba là:

3)3(

0

)3( EtP

sẽ bao gồm các thành phần:

1

2

31

2

2

3

1

)3(

012

1

2

1

4

3EEEEEP

2

2

32

2

1

3

2

)3(

022

1

2

1

4

3EEEEEP

3

2

23

2

1

3

3

)3(

032

1

2

1

4

3EEEEEP

321

)3(

03213213213214

1)()()( EEEPPPP

3

1

)3(

014

13 EP

3

2

)3(

024

13 EP

3

3

)3(

034

13 EP

1

2

2

)3(

012124

1)2(2 EEPP

3

2

2

)3(

032324

1)2(2 EEPP

2

2

3

)3(

023234

1)2(2 EEPP

3

2

1

)3(

031314

1)2(2 EEPP

1

2

3

)3(

013134

1)2(2 EEPP

8

Mỗi thành phần này ứng với một quá trình phi tuyến bậc ba nhất định.

Sự tự hội tụ của ánh sáng Khi chùm song song có

công suất vượt quá một giá trị tới hạn Pcr truyền qua một môi trường phi tuyến thì

chùm bị hội tụ thay vì bị mở rộng do nhiễu xạ (Hình 1.3).

Giá trị của Pcr khác nhau đối với các môi trường khác nhau, đối với một số chất

lỏng hữu cơ Pcr ~ 10-50 kW. Trong một số tinh thể, Pcr không quá vài W. Thỉnh

thoảng, khi một laser xung cường độ mạnh truyền qua chất lỏng, sự hội tụ lại này có

thể phá hủy chính nó. Quá trình này kèm theo sự tăng nhanh của trường ánh sáng, nó

có thể gây ra sự tự hủy của ánh sáng, sự dịch chuyển trạng thái và những thay đổi

khác trong môi trường vật chất. Trong những trường hợp khác, chẳng hạn như sự lan

truyền của laser khí hoạt động ở chế độ liên tục trong thủy tinh, sự tăng của cường độ

trường cũng cần được chú ý, mặc dù không quá nhanh. Có thể hình dung sự co này

giống như sự hội tụ của chùm thông thường bằng thấu kính. Tuy nhiên có một sự khác

biệt đáng kể. Đó là tính tuần hoàn của các điểm hội tụ.

Nguyên nhân của sự tự hội tụ là sự thay đổi chiết suất của môi trường dưới tác

dụng của chùm laser mạnh. Chiết suất của môi trường phi tuyến bậc ba được tính theo

công thức n = n0 + n2E2, ở đây n0 – thành phần không đổi, không phụ thuộc E, n2 > 0.

Do điện trường E ở trục lớn hơn ở ngoại vi và vận tốc pha của ánh sáng v = c / n = c

/(n0 + n2E2), nên mặt đầu sóng bị bẻ cong và các tia bị uốn cong vào trục chùm (hình

1.3).

Hiệu ứng ngược lại – sự lệch tiêu – xuất hiện khi chiết suất giảm trong vùng bị

chiếm bởi chùm sáng (do n2 <0). Trong trường hợp này, chùm laser mạnh sẽ phân kì

nhanh hơn chùm laser cường độ yếu.

Hình 1.3 Sự tự hội tụ

9

Sự trong suốt cảm ứng và sự hấp thụ phi tuyến. Một môi trường không trong

suốt đối với bức xạ cường độ yếu có thể trở nên trong suốt với ánh sáng cường độ cao,

và ngược lại, vật liệu trong suốt có thể hấp thụ ánh sáng khi chiếu bức xạ cường độ

cao (gọi là sự hấp thụ phi tuyến). Đây là những đặc trưng quan trọng nhất của sự hấp

thụ ánh sáng cường độ cao.

Quang phi tuyến và quang phổ. Các bộ dao động tham số. Sự phát triển của

quang phi tuyến góp phần cải tiến các phương pháp quang phổ và phát triển các

phương pháp quang phổ mới. Các phương pháp quang phổ mới này gọi là các phương

pháp quang phổ phi tuyến. Một tiêu chí quan trọng trong kỹ thuật quang phổ hấp thụ

là phải tạo ra nguồn sáng thích hợp, có thể điều chỉnh được tần số. Quang phi tuyến có

thể giải quyết vấn đề này nhờ các quá trình dao động tham số quang học – thiết bị ứng

dụng sự phát tần số hiệu để phát ra bức xạ laser có tần số thay đổi trong khoảng vài

A0. Dưới đây, chúng ta sẽ xét một số hiệu ứng quang phi tuyến đặc trưng có liên quan

đến đề tài.

1.2 Sự trộn ba sóng phẳng:

Chiếu hai sóng điện từ vào một môi trường phi tuyến bậc hai. Một sóng phân

cực theo hướng j được mô tả bởi biểu thức:

𝐸𝑗(𝜔1)(𝑡) = 𝐸𝑗

(𝜔1)𝑒𝑖𝜔1𝑡 (1.2.1)

Sóng thứ hai phân cực theo hướng k:

𝐸𝑘(𝜔2)(𝑡) = 𝐸𝑘

(𝜔2)𝑒𝑖𝜔2𝑡

Sự tồn tại của hai trường này có thể gây ra độ phân cực tại tần số nω1 + m ω2. Các cặp

số nguyên n và m khả dĩ là (0,0), (0,2), (2,0), (-1,1), (1,-1). Thành phần i của độ phân

cực ở tần số ω3 = ω1 + ω2 là:

𝑃𝑖(𝜔3=𝜔1+𝜔2)(𝑡) = 𝑃𝑖

(𝜔3)𝑒𝑖𝜔3𝑡

Biên độ phức của nó là:

10

𝑃𝑖(𝜔3) = 2∑ ∑ 𝑑

𝑖𝑗𝑘

(𝜔3=𝜔1+𝜔2)𝐸𝑗

(𝜔1)𝐸𝑘(𝜔2)

𝑘𝑗 (1.2.2)

Tương tự, đối với sự phát tần số hiệu 𝑑𝑖𝑗𝑘

(𝜔3′=𝜔1−𝜔2)

𝑃𝑖

(𝜔3′ )

= 2∑ ∑ 𝑑𝑖𝑗𝑘

(𝜔3′=𝜔1−𝜔2)𝐸𝑗

(𝜔1)𝐸𝑘(−𝜔2)

𝑘𝑗 (1.2.3)

ở đây, theo (1.2.1), 𝐸𝑘(−𝜔2) = (𝐸𝑘

(𝜔2))∗ (* là kí hiệu cho đại lượng liên hợp phức).

Các biểu thức của �⃗� và �⃗� phải thỏa mãn phương trình Maxwell:

∇2�⃗� = 𝜇0𝜎𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ 𝜇0𝜀

𝜕2�⃗�

𝜕𝑡2+ 𝜇0

𝜕2�⃗� 𝑛𝑙

𝜕𝑡2 (1.2.4)

Xét trường hợp một chiều và các trường đầu vào là sóng phẳng truyền theo trục z:

𝐸𝑖(𝜔1)(𝑧, 𝑡) = 𝐸1𝑖(𝑧)𝑒

𝑖(𝜔1𝑡−𝑘1𝑧𝑧) (1.2.5)

𝐸𝑘(𝜔2)(𝑧, 𝑡) = 𝐸2𝑘(𝑧)𝑒

𝑖(𝜔2𝑡−𝑘2𝑧𝑧) (1.2.6)

𝐸𝑗

(𝜔3)(𝑧, 𝑡) = 𝐸3𝑗(𝑧)𝑒𝑖(𝜔3𝑡−𝑘3𝑧𝑧) (1.2.7)

ở đây i, j, k là kí hiệu x, y, z trong hệ tọa độ Đề Các.

Thành phần theo hướng i của độ phân cực phi tuyến ở tần số 𝜔1 = 𝜔3 − 𝜔2 có dạng:

(𝑃𝑛𝑙(𝜔1))

𝑖= 2𝑑𝐸𝑗

(𝜔3)(𝐸𝑘(𝜔2))

∗= 2𝑑𝐸3𝑗𝐸2𝑘

∗ 𝑒𝑖[(𝜔3−𝜔2)𝑡−(𝑘3𝑧−𝑘2𝑧)𝑧] (1.2.8)

Dùng (1.2.5), chúng ta thu được:

∇2𝐸𝑖(𝜔1) =

𝜕2𝐸𝑖(𝜔1)

𝜕𝑧2

Giả sử biên độ trường biến thiên chậm, tức là:

𝑑𝐸1𝑖

𝑑𝑧<< 𝑘1𝑧𝐸1𝑖

Dẫn đến

𝑑2𝐸1𝑖

𝑑𝑧2≪ 𝑘1𝑧

𝑑𝐸1𝑖

𝑑𝑧

Trong điều kiện này, chúng ta thu được:

∇2𝐸𝑖(𝜔1) = (−𝑘1𝑧

2 𝐸1𝑖 − 2𝑖𝑘1𝑧𝑑𝐸1𝑖

𝑑𝑧) 𝑒𝑖(𝜔1𝑡−𝑘1𝑧𝑧) (1.2.9)

11

Thế (1.2.8) và (1.2.9) vào (1.2.4) và chú ý rằng 𝜕

𝜕𝑡= 𝑖𝜔, chúng ta thu được:

(−𝑘1𝑧2 𝐸1𝑖 − 2𝑖𝑘1𝑧

𝑑𝐸1𝑖

𝑑𝑧) 𝑒𝑖(𝜔1𝑡−𝑘1𝑧𝑧) = (𝑖𝜔1𝜇0𝜎1 − 𝜔1

2𝜇0𝜀1)𝐸1𝑖𝑒𝑖(𝜔1𝑡−𝑘1𝑧𝑧) +

𝜇0

𝜕2(𝑃𝑛𝑙(𝜔1)

)𝑖

𝜕𝑡2 (1.2.10)

Vì 𝜔12𝜇0𝜀1 = 𝑘1𝑧

2 , (1.2.10) trở thành:

2𝑖𝑘1𝑧

𝑑𝐸1𝑖

𝑑𝑧𝑒𝑖(𝜔1𝑡−𝑘1𝑧𝑧) =

−𝑖𝜔1𝜇0𝜎1𝐸1𝑖𝑒𝑖(𝜔1𝑡−𝑘1𝑧𝑧) − 𝜇0(𝑖𝜔1)

22𝑑𝐸3𝑗𝐸2𝑘∗ 𝑒𝑖[𝜔1𝑡−(𝑘3𝑧−𝑘2𝑧)𝑧]

Chia cả hai vế cho 𝑒𝑖(𝜔1𝑡−𝑘1𝑧𝑧) chúng ta thu được:

𝑑𝐸1𝑖

𝑑𝑧= −

𝜎1

2√

𝜇0

𝜀1𝐸1𝑖 + 𝑖𝜔1√

𝜇0

𝜀1𝑑𝐸3𝑗𝐸2𝑘

∗ 𝑒−𝑖(𝑘3𝑧−𝑘2𝑧−𝑘1𝑧)𝑧 (1.2.11)

Tương tự đối với các thành phần trường tần số 𝜔2 và 𝜔3, chúng ta thu được :

𝑑𝐸2𝑘

𝑑𝑧= −

𝜎2

2√

𝜇0

𝜀2𝐸2𝑘 + 𝑖𝜔2√

𝜇0

𝜀2𝑑𝐸1𝑖𝐸3𝑗

∗ 𝑒−𝑖(𝑘3𝑧−𝑘2𝑧−𝑘1𝑧)𝑧 (1.2.12)

𝑑𝐸3𝑗

𝑑𝑧= −

𝜎3

2√

𝜇0

𝜀3𝐸3𝑗 + 𝑖𝜔3√

𝜇0

𝜀3𝑑𝐸1𝑖𝐸2𝑘𝑒

−𝑖(𝑘1𝑧+𝑘2𝑧−𝑘3𝑧)𝑧 (1.2.13)

Nếu môi trường không hấp thụ ở tần số 𝜔1, 𝜔2, và 𝜔3, thì 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 = 0, đặt

∆𝑘 = 𝑘3𝑧 − 𝑘2𝑧 − 𝑘1𝑧, chúng ta thu được:

𝑑𝐸1𝑖

𝑑𝑧= 𝑖𝜔1√

𝜇0

𝜀1𝑑𝐸3𝑗𝐸2𝑘

∗ 𝑒−𝑖∆𝑘𝑧 (1.2.14)

𝑑𝐸2𝑘

𝑑𝑧= 𝑖𝜔2√

𝜇0

𝜀2𝑑𝐸1𝑖𝐸3𝑗

∗ 𝑒−𝑖∆𝑘𝑧 (1.2.15)

𝑑𝐸3𝑗

𝑑𝑧= 𝑖𝜔3√

𝜇0

𝜀3𝑑𝐸1𝑖𝐸2𝑘𝑒

𝑖∆𝑘𝑧 (1.2.16)

1.3 Phát sóng hài bậc hai với sóng phẳng:

12

Bây giờ, xét hiện tượng phát sóng hài bậc hai. Trong trường hợp này, chúng ta

có:

𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔, ∆𝑘𝑧 = 𝑘3𝑧 − 2𝑘1𝑧

𝑑𝐸3𝑗

𝑑𝑧=

1

2𝑖𝜔3√

𝜇0

𝜀3𝑑𝐸1𝑖𝐸1𝑘𝑒

𝑖∆𝑘𝑧 (1.2.16)

Hệ số 1

2 xuất hiện ở vế phải là do độ lớn của vector phân cực trong sự tạo sóng hài bậc

hai khác với độ lớn của vector phân cực trong sự tạo dao động tần số tổng.

Nếu 𝐸3𝑗(0) = 0, tức không có sóng hài bậc hai ở đầu vào, và tinh thể có chiều

dài L. Nghiệm của (1.2.16) là:

𝐸3𝑗(𝐿) =1

2𝑖𝜔3√

𝜇0

𝜀3

𝑑𝐸1𝑖𝐸1𝑘

𝑒𝑖∆𝑘𝐿 − 1

𝑖∆𝑘

Hay

𝐸3𝑗(𝐿)𝐸3𝑗∗ (𝐿) =

1

4

𝜇0

𝜀3𝜔3

2𝑑2𝐿2𝐸1𝑖2 𝐸1𝑘

2𝑠𝑖𝑛2∆𝑘𝐿

2

(∆𝑘𝐿

2)2 (1.3.1)

Mối quan hệ giữa công suất và cường độ trường là:

𝐼(𝜔ℓ) =𝑃(𝜔ℓ)

𝑆=

1

2√

𝜀ℓ

𝜇0

𝐸ℓ𝑗𝐸ℓ𝑗∗

Ở đây 𝜀ℓ = 𝜀0𝑛ℓ2; S là tiết diện ngang của chùm.

Hiệu suất chuyển đổi:

𝜂 =𝑃(𝜔3)

𝑃(𝜔1)=

1

2(𝜇0

𝜀0

)3/2 𝜔3

2𝑑2𝐿2

𝑛12𝑛3

(𝑃(𝜔1)

𝑆)

𝑠𝑖𝑛2 ∆𝑘𝐿2

(∆𝑘𝐿2

)2

Đặt tích của các hằng số thành một hằng số duy nhất, ta được:

𝜂 = 𝐶𝑠𝑖𝑛2∆𝑘𝐿

2

(∆𝑘𝐿

2)2 (1.3.2)

13

Ở đây 𝐶 =1

2(𝜇0

𝜀0)3/2 𝜔3

2𝑑2𝐿2

𝑛12𝑛3

(𝑃(𝜔1)

𝑆)

Ở đây, ta thấy ngay rằng 𝜂 sẽ đạt cực đại khi 𝑠𝑖𝑛2∆𝑘𝐿

2

(∆𝑘𝐿

2)2 → 1 tức là khi ∆𝑘 = 0

k3=2k1 (1.3.3)

Có thể tổng quát hóa các kết quả trên cho sự tạo dao động tần số tổng:

𝑘3(𝑗)

= 𝑘1(𝑖)

+ 𝑘2(𝑘)

(1.3.4)

Các điều kiện (1.3.3) và (1.3.4) được gọi là điều kiện đồng bộ về không gian của

sự phát sóng hài bậc hai và sự tạo dao động tần số tổng.

Đối với sự phát sóng hài bậc hai, khi điều kiện đồng bộ về không gian thỏa mãn

thì (1.3.2) trở thành:

𝜂 = 𝐶 =1

2(𝜇0

𝜀0

)3/2 𝜔3

2𝑑2𝐿2

𝑛12𝑛3

(𝑃(𝜔1)

𝑆)

Nghĩa là hiệu suất chuyển đổi sóng hài bậc hai tỉ lệ với bình phương chiều dài

tinh thể và hệ số quang phi tuyến d.

Đồ thị của hàm 𝒔𝒊𝒏𝟐∆𝒌𝑳

𝟐

(∆𝒌𝑳

𝟐)𝟐 . Đặt 𝑥 =

∆𝑘𝐿

2, ta được hàm

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑥2. Đồ thị của hàm này có

dạng như sau (hình 1.4):

14

Hình 1.4 Đồ thị của hàm sin2x/x2

Bảng 1.1 Giá trị và vị trí cực đại của hàm 𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑥2:

𝑥 0 4,49 7,73 10,10

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑥2

1 0,047 0,016 0,008

Từ bảng 1.1, chúng ta thấy giá trị cực đại thứ hai chỉ gần bằng 5% cực đại thứ

nhất. Độ dài kết hợp sẽ là hiệu của giá trị L tại x=4,49 (ứng với 𝐿 =2.4.49

∆𝑘 ) và x=0

(ứng với L=0).

𝐿𝑐 =2.4.49

∆𝑘

∆𝑘 = 𝑘(2𝜔) − 2𝑘(𝜔) =4𝜋

𝜆[𝑛(2𝜔) − 𝑛(𝜔)]

Từ đó suy ra:

𝐿𝑐 ≈ 0,715/[𝑛(2𝜔) − 𝑛(𝜔)]

Từ (1.3.3), ta viết lại điều kiện hợp pha trong sự phát sóng hài bậc hai là:

𝑘(2𝜔) = 2𝑘(𝜔) (1.3.5)

Vì 𝑘(2𝜔) = 2𝜔𝑛(2𝜔)/𝑐 và 𝑘(𝜔) = 𝜔𝑛(𝜔)/𝑐 nên (1.3.5) trở thành:

15

𝑛(2𝜔) = 𝑛(𝜔)

Điều kiện này khó đạt được trong các môi trường bình thường, tức môi trường

có chiết suất tăng theo 𝜔. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta dựa vào sự kiện: trong

tinh thể bất đẳng hướng, chiết suất phụ thuộc vào hướng truyền của tia sáng. Ánh sáng

khi đi vào tinh thể lưỡng chiết sẽ tách thành hai sóng truyền với vận tốc khác nhau.

Trong tinh thể đơn trục, tia tương ứng với sóng mà chiết suất của nó không phụ thuộc

vào hướng truyền được gọi là tia thường. Tia ứng với sóng ánh sáng mà chiết suất của

nó phụ thuộc vào hướng truyền được gọi là tia bất

thường. Sự phụ thuộc đó có dạng:

1

𝑛𝑒2(𝜃)

=𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑛𝑜2

+𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝑛𝑒2

Ở đây 𝜃 là góc giữa hướng truyền và trục quang học

của tinh thể.

Nếu 𝑛𝑒2𝜔 < 𝑛𝑜

𝜔 thì sẽ có một góc 𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ mà ở đó

𝑛𝑒2𝜔(𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ) = 𝑛𝑜

𝜔 (1.3.6)

Trên hình 1.5, 𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ được xác định bởi giao

điểm của mặt cầu biểu diễn chiết suất của tia thường tần số 𝜔 (mặt cầu màu vàng) với

ellipsoid chiết suất của tia bất thường tần số 2 𝜔 (ellipsoid màu hồng).

Trong trường hợp tinh thể đơn trục âm 𝑛𝑒𝜔 < 𝑛𝑜

𝜔, góc thỏa mãn điều kiện (1.3.6)

là:

𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ

(𝑛𝑜2𝜔)

2 +𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ

(𝑛𝑒2𝜔)

2 =1

(𝑛𝑜𝜔)2

(1.3.7)

𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ =(𝑛𝑜

(𝜔))−2

−𝑛𝑜(2𝜔)−2

(𝑛𝑒(2𝜔)

)−2

−𝑛𝑜(2𝜔)−2 (1.3.8)

1.4 Phát sóng hài bậc hai với chùm Gauss:

Hình 1.5: Bề mặt chiết suất đối

với tia thường và tia bất thường

trong tinh thể đơn trục âm

16

Hình 1.6 Sơ đồ hình học trong phân tích SHG với chùm Gauss

Trường điện đầu vào ứng với chùm Gauss có dạng:

1

20 2

1 0 1

w

w

zr /E r,z,t E e e cos t k z r,z z

z

(1.4.1)

Ở đây, α1 là hệ số tắt dần. và k1 là tần số và vectơ sóng của chùm cơ bản đầu vào.

Vì chúng ta giả sử rằng chùm đối xứng tâm quanh trục z, chúng ta sẽ xác định khoảng

cách từ trục z qua biến 𝑟 = [𝑥2 + 𝑦2]1/2. Tại khoảng cách 𝑟 = 𝑤(𝑧) tính từ trục, biên

độ điện trường giảm 1/e so với giá trị ở trục z. Giá trị 𝑤(𝑧) này được gọi là bán kính

1/e của chùm. Giá trị cực tiểu của bán kính 1/e này xuất hiện tại z=0 và được thiết kế

bằng 𝑤0, “bán kính cổ chùm”. Bán kính 1/e của chùm biến đổi theo z:

𝑤(𝑧) = 𝑤0 [1 + (𝜆𝑧

𝜋𝑛𝑤02)

2

]1/2

(1.4.2)

Số hạng

0w

w z cho biết chùm truyền ra xa trục z = 0 và chùm mở rộng, biên độ peak

giảm.

17

2

2

krr,z

R z (1.4.3)

với 2

2

0w1

nR z z

z

(1.4.4)

thể hiện sự cong của mặt đầu sóng. Tại z=0, 𝑅(𝑧) = ∞, tức là mặt đầu sóng là mặt

phẳng. Và tại 𝑧 = ∞, chúng ta cũng có 𝑅(𝑧) = ∞, tức là với khoảng cách đủ xa từ cổ

chùm, mặt đầu sóng cũng là mặt phẳng (ứng với sóng phẳng). Tại khoảng cách

2

0wnz

, mặt đầu sóng có độ cong cực đại. Khoảng cách này được gọi là khoảng

Rayleigh, 𝑧𝑟. Một đại lượng quan trọng khác là tham số đồng tiêu 𝑏 = 2𝑧𝑟. Góc phân

kì trường xa của chùm là 𝜃0 = 𝜆/𝜋𝑛𝑤0.

Cuối cùng, số hạng

1

r

zz tan

z

(1.4.5)

là số hạng dịch chuyển pha phụ thuộc z.

(1.4.1) tương đương:

2

1

1w0 0 2

1

w

2 w

rz z j r ,z j zj t jk zE

E r,z,t e e e e e e ccz

(1.4.6)

Đặt

2

1

1w0 0 2

1

w

2 w

rz z j r ,z j zjk zE

E r,z e e e e ez

(1.4.7)

Chúng ta sẽ thực hiện tính toán trên số hạng phức 1E r,z này.

Từ các phương trình (1.4.2) và (1.4.4), ta được: 2

2

wo r

z z z

n z b

.

Đặt 2z

b , ta có:

18

1

20w w 1z (1.4.8)

22

2 20w 12

rkr jjj r ,z R z

e e e

(1.4.9)

2

1

1

j z je

(1.4.10)

Phương trình (1.4.7) trở thành:

2 2

1 2 2 20

1w 1 w 1

0 21

2 2

1 1

2 1 1

r rj

zjk zE j

E r,z e e e e

(1.4.11)

2

1

1w 10 2

1

1

2 1

rz j jk zE

E r,z e e ej

(1.4.12)

Các phương trình trên viết khi cổ chùm đặt ở z = 0. Chúng ta có thể làm biểu thức trên

tổng quát hơn bằng cách đặt cổ chùm ở vị trí z = f, và có thể đạt được sự thay đổi này

trong phương trình (1.4.11) bằng cách đặt 2 z f

b

Độ phân cực cảm ứng có thể được viết là:

2

3 1 1 1

2222

w 1 20 12

2 1

r

jz jk z

ff effe

EP d E e ed e

j

(1.4.13)

3 3

323

32

jk zjkdE e

nP dz

(1.4.14)

2

1

22

w 13 03 2

3

1 1

2 2 1 1

r

jzj kz

eff

jk EdE x e d e e dz

n j j

(1.4.15)

Biểu thức này biểu diễn sự đóng góp vào sự phát sóng hài bậc hai của một mảnh

nhỏ tinh thể phi tuyến với chiều dài dz được đặt ở vị trí z bên trong tinh thể (0<z<l).

So sánh phương trình (1.4.15) và (1.4.12), ta thấy đại lượng trong ngoặc của (1.4.15)

có dạng giống như chùm Gauss với kích thước vết 0w 2/ , tham số đồng tiêu b, và

đặt tại z=f .

19

Chúng ta muốn xác định đóng góp của phần này vào trường sóng hài bậc hai

được nhìn bởi một người nào đó ở xa, đứng ở bên ngoài tinh thể tại vị trí 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′. Để

bỏ qua sự phản xạ và khúc xạ ở các đầu tinh thể, chúng ta sẽ xét tinh thể được nhúng

vào môi trường có cùng chiết suất. Do hiện tượng walk-off (giả sử xuất hiện trong mặt

phẳng x-z), đóng góp SHG được tạo ra tại điểm x, y, z vào trường phát hiện tại điểm

x ' x l z và tại điểm 𝑦′ = 𝑦. Phần Gauss trong ngoặc bên trên có thể được

truyền đến vị trí của người quan sát bằng cách thay bằng đại lượng 2

'z f

b

và

dùng mối quan hệ giữa x và 𝑥′ và y và 𝑦′ được cho ở trên, ta có:

2 2

3

1

22

w 13 0 23 2

3

1 1

2 2 1 1

x' l z y'

l z j 'zj kz

eff

jk EdE e d e e e dz

n j j '

(1.4.16)

Ở đây chúng ta đã đưa vào số hạng 3

2l z

e

để tính đến sự mất mát sóng hài bậc

hai khi nó truyền từ điểm ban đầu của nó đến mặt phẳng quan sát. Chú ý rằng số hạng

e mũ không đơn giản chứa r2 nữa. Sự biến đổi của trường trong mặt phẳng ngang lúc

này phức tạp hơn, do hiệu ứng walk-off. Để xác định biên độ tổng cộng tại điểm

𝑥′, 𝑦′, 𝑧′, chúng ta lấy tích phân tất cả các đóng góp từ các vị trí z khác nhau:

2 2

3

22

w 13 0 23 2

3 0

1

2 2 1 1

x' l z y'l z j kz

l j '

eff

jk E e eE ( r',z') d e e dz

n j j '

(1.4.17)

ở đây 𝛼 = 𝛼1 −1

2𝛼3. Bây giờ, chúng ta hãy đặt điểm quan sát ở vô cùng xa tinh thể,

' . Thế thì:

2 2 22 22 20 000 2

1 1 1 1

w 1 w1w 1w 1

j ' j ' j '

j ' '''

'

(1.4.18)

20

Chúng ta định nghĩa thêm một số tọa độ không gian chuẩn hóa:

0w

x' l fu

'

(1.4.19)

0w

y'v

' (1.4.20)

0

(1.4.21)

Sau đó, chúng ta có thể chứng minh rằng:

2 2 2

2

2 2 2

0 0

11 1 2

w 1 w

x' l z j ' x' l zj ' u u j ' ju

j ' ' '

(1.4.22)

Chú ý rằng ' chỉ phụ thuộc z' chứ không phải z, vì thế các số hạng có liên quan đến

nó có thể được đem ra ngoài dấu tích phân:

3 2 22 4

2 13 0 23 2

3 02 2 1

l z j kz jul j ' u v

eff

k E e e eE r',z' d e e dz

n ' j

(1.4.23)

Nếu chúng ta đổi biến tích phân, dùng 2 z f

b

, và do đó 2dz / b ,

chúng ta thu được tích phân:

2

4 42 2

201 2 1

l f b kbjl z j kz ju f j kf jub

f

b

e e e b e e e e edz d

j j

(1.4.24)

Đặt 2

42 2

b kb l f l, , ' u, ,

l b

Tích phân có thể viết lại là:

2 1

j 'f j kfb e e

e e dj

(1.4.25)

Chúng ta đặt:

21

1

2 1

j 'e eH ', , , d

j

(1.4.26)

Thay vào (1.4.23), ta được:

3 2 22

2 13 0 2

3 2

3

22 2 2

l j ' u v f j kf

eff

k E bE r',z' d e e e e H ', , ,

n '

(1.4.27)

Cường độ sóng hài bậc hai:

2 2

3

2 4242 2 2 23 0

3 4 2

3 3

1

8

u vl f

eff

k EI r',z' d e e b e H ', , ,

n '

(1.4.28)

Công suất phát sóng hài bậc hai toàn phần được xác định bằng cách lấy tích phân

cường độ theo diện tích. Kết quả là:

2 2

3

2 23

2 4242 2 2 23 0

3 4 2

3 3

2 422 2 2 2 4 43 0

0 04 2

3 3

1

8

1

8

u vl f

eff

l f u v

eff

k EP d e b e dxdye H ', , ,

n '

k Ed e b e ' due H ', , , ' dve

n '

(1.4.29)

Chúng ta định nghĩa các đại lượng:

2 242

4uF , , , , due H u, , ,

(1.4.30)

Và

2

lh , , , , e F , , , ,

(1.4.31)

Từ đó, công suất phát sóng hài bậc hai có dạng đơn giản:

2

2 4 2 233 0 04

3 3

1

32

' l

eff

kP d E b e h , , , ,

n

(1.4.32)

ở đây 𝛼′ = 𝛼1 +1

2𝛼3

Công suất ở tần số cơ bản là:

22

2 2

0 01

12 2

EP

(1.4.33)

Qua một số tính toán trung gian, chúng ta thu được kết quả:

2 2

2

3 13

0 1 3 1

16 eff ' ld

P P e lh , , , ,c n n

(1.4.34)

1.5 . Các tinh thể phi tuyến:

Các tinh thể phi tuyến được dùng để tạo sóng hài (nhân đôi tần số, nhân ba tần

số), trộn tần số, khuếch đại và dao động thông số quang học.v.v…. Hai tinh thể phi

tuyến đơn trục điển hình là Potassium Dihydrogen Phosphate (KDP) and Potassium

Dideuterium Phosphate (KD*P ). Chúng là một trong số các tinh thể phi tuyến thương

mại được dùng phổ biến nhất trong các ứng dụng nhân đôi tần số. Ngoài ra, đây cũng

là các tinh thể điện quang có hệ số điện quang cao, được dùng phổ biến trong các bộ

điều biến điện quang, Q-switch, tế bào Pockels. Ưu điểm của hai loại tinh thể này là:

hệ số truyền qua trong vùng tử ngoại cao, ngưỡng hủy hoại quang học cao, hệ số

quang phi tuyến cao. Một số tính chất quang học và vật lý khác của chúng được liệt kê

trong phụ lục I.

Ngoài ra, hiện nay người ta đang sử dụng một số tinh thể quang phi tuyến mới

có hệ số quang phi tuyến rất cao như BBO, LBO, KTP. Trong đó, KTP (Potassium

Titanium Oxide Phosphate) có giá thành rất thấp và hệ số quang phi tuyến hiệu dụng

của nó tại bước sóng 1064 nm lớn hơn 1,5 lần so với BBO và KDP. Tuy nhiên, KTP

là tinh thể lưỡng trục nên không thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài này.

23